Politecnico Di Bari Analisi Matematica Past Paper PDF

Politecnico di Bari Analisi Matematica – modulo A – Corso C A.A. 2018/2019 Prova parziale 09 novembre 2018 Traccia A Cognome Nome AA di immatricolazione 1) (a) Scrive...

Politecnico di Bari Analisi Matematica – modulo A – Corso C A.A. 2018/2019 Prova parziale 09 novembre 2018 Traccia A Cognome Nome AA di immatricolazione 1) (a) Scrivere in forma cartesiana il numero complesso  π 6 e1+i 6. Qual è il modulo delle radici dodicesime del numero precedente? (b) Determinare dominio ed eventuale monotonia della funzione  x3 −1 1 f (x) = 1 + arccos(x − 1) +. 2 Determinare poi l’immagine di f. 7 pts. 2) Calcolare almeno due dei seguenti limiti 1 − sin(2x2 ) − cos x lim ; x→0 x2 + x3  2 x x −1 lim ; x→+∞ x2 x4 log2 x − (1 + 2x)2 + 1 lim. x→0+ x 7 pts. 3) Dimostrare che la seguente funzione ha un punto di flesso in x = log 12 : f (x) = (ex − 1)2. Qual è l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di flesso? 8 pts. 4) Dare la definizione di funzione continua in un punto. Enunciare e dimostrare poi il teorema della media integrale per le funzioni continue. 8 pts.  Politecnico di Bari Analisi Matematica – modulo A – Corso C A.A. 2018/2019 Prova parziale 09 novembre 2018 Traccia B Cognome Nome AA di immatricolazione 1) (a) Scrivere in forma trigonometrica le radici quarte del numero complesso e2+iπ. Qual è il modulo delle potenze ottave delle radici precedenti? (b) Determinare dominio ed eventuale monotonia della funzione √ f (x) = arctan( x) − 1 + log3 (x2 − 1) Determinare poi l’immagine di f. 7 pts. 2) Calcolare almeno due dei seguenti limiti 3 ex − 1 − tan(3x3 ) lim ; x→0 x3 + x5  x 1 + log x lim ; x→+∞ log x x3 2x + (1 + x1 )3 − 1 x2
lim. x→−∞ x 7 pts. 3) Dimostrare che la seguente funzione è strettamente decrescente su (0, e) e strettamente concava su (e2 , +∞): f (x) = (log x − 1)2. 8 pts. 4) Dare la definizione di funzione crescente su un insieme A ⊂ R. Dimostrare poi che una funzione crescente su un intervallo chiuso e limitato è integrabile secondo Riemann. (Gli studenti immatricolati negli anni precedenti al 2018/2019 sostituiscano questo esercizio con: Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Enunciare e dimostrare poi il teorema di Fermat.) 8 pts.