מבוא לתורת המשחקים מצגת לתלמיד PDF

‫תורת המשחקים‬  ‫האם אתם אוהבים לשחק?‬ ‫מה יותר נעים? לנצח? להפסיד? או להגיע לתיקו?‬ ‫בשיעור זה נכיר תחום חדש יחסית במתמטיקה‬ ‫שנקרא "תורת המשחקים"‪.‬‬  ‫תורת המשחקים הוא תחום במתמטיקה שחוקר‬ ‫משחקים במונחים מתמטיים מוגדרים‪.‬‬...

‫תורת המשחקים‬  ‫האם אתם אוהבים לשחק?‬ ‫מה יותר נעים? לנצח? להפסיד? או להגיע לתיקו?‬ ‫בשיעור זה נכיר תחום חדש יחסית במתמטיקה‬ ‫שנקרא "תורת המשחקים"‪.‬‬  ‫תורת המשחקים הוא תחום במתמטיקה שחוקר‬ ‫משחקים במונחים מתמטיים מוגדרים‪.‬‬ ‫כל משחק מכיל‪:‬‬ ‫שחקנים ‪ -‬המשתתפים במשחק‪.‬‬ ‫אסטרטגיות ‪ -‬סדרת הפעולות האפשריות לכל‬ ‫שחקן‪.‬‬ ‫ותשלום ‪ -‬פירוט הרווחים שעשויים השחקנים להרוויח‬ ‫(או להפסיד) מכל אחת מסדרת הפעולות‪.‬‬  ‫כיצד משתלטים על המסך המשותף?‬ ‫בחלקו העליון של המסך המשותף יופיע פס ירוק‬ ‫ לחצו על החץ למטה ליד “‪”View options‬‬ ‫ בחרו באופציה " "‪( Request remote Control‬בקשה לשליטה‬ ‫מרחוק)‪.‬‬ ‫לחצו‬ ‫כאן‬ ‫ בחלון שיופיע לחצו על אפשרות ‪( Request‬בקש)‬ ‫לחצו‬ ‫כאן‬ ‫על המסך של התלמיד שמשתף את המצגת תופיע הודעה עם בקשת‬ ‫השתלטות‪.‬‬ ‫כדי לאשר אותה לחצו על ‪( Approve‬אשר)‪.‬‬ ‫לחצו‬ ‫כאן‬  ‫משחק ‪ :1‬משחק המקלות‬ ‫לחצו כאן לתכנות מוכן‪.‬‬ ‫במשחק זה משתתפים שני תלמידים‪.‬‬ ‫כל תלמיד בתורו יכול לסלק מקלות באמצעות העכבר‪.‬‬ ‫בכל פעם ניתן לסלק מקל אחד‪ ,‬שני מקלות או שלושה מקלות‪.‬‬ ‫מי שנשאר עם המקל האחרון – מפסיד‪.‬‬ ‫שחקו את המשחק עם ‪ 15‬מקלות‪.‬‬ ‫ נסו לשחק מספר פעמים‪.‬‬  ‫האם יש שיטה (אסטרטגיה) שתאפשר לכם תמיד לנצח‬ ‫במשחק?‬ ‫האם השיטה שמצאתם תעבוד אם תתחילו את המשחק עם‬ ‫‪ 16‬מקלות?‬ ‫את השיטה לפתרון ניתן לגלות אם ננסה לשחק‬ ‫את המשחק מהסוף‪:‬‬ ‫אם היינו מתחילים עם שני מקלות‪ ,‬מי היה‬ ‫מנצח?‬ ‫מה יקרה אם נתחיל עם ‪ 3‬גפרורים?‬  ‫מה יקרה אם נתחיל עם ‪ 5‬גפרורים?‬ ‫כאן המצב משתנה‪.‬‬ ‫נבדוק מהן אפשרויות המשחק?‬ ‫אם השחקן הראשון מסלק מקל אחד‪ ,‬השחקן השני יכול לסלק עוד ‪3‬‬ ‫וכך לנצח‪.‬‬ ‫אם השחקן הראשון מסלק שני מקלות‪ ,‬השחקן השני יוכל לסלק ‪2‬‬ ‫גפרורים ולנצח‪.‬‬ ‫אם השחקן הראשון מסלק שלושה מקלות‪ ,‬השחקן השני יסלק אחד‬ ‫וינצח‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬אם מתחילים עם ‪ 5‬מקלות‪ ,‬השחקן שיתחיל שני יכול תמיד‬  ‫מה יקרה אם נתחיל עם ‪ 6‬גפרורים?‬ ‫מה יקרה אם נתחיל עם ‪ 7‬גפרורים?‬ ‫מה יקרה אם נתחיל עם ‪ 8‬גפרורים?‬ ‫נסחו עבור כל מצב את האסטרטגיה‪.‬‬ ‫מי ינצח?‬ ‫כמות גפרורים‬ ‫מנצח‬ ‫התחלתית‬ ‫‪1‬‬ ‫שחקן ‪ 2‬מנצח‬ ‫‪2‬‬ ‫שחקן ‪( 1‬מסלק מקל ‪ 1‬ומנצח)‬ ‫‪3‬‬ ‫שחקן ‪( 1‬מסלק ‪ 2‬מקלות ומנצח)‬ ‫‪4‬‬ ‫שחקן ‪(1‬מסלק ‪ 3‬מקלות ומנצח)‬ ‫‪5‬‬ ‫שחקן ‪( 2‬נסחו את האסטרטגיה)‬ ‫‪6‬‬ ‫שחקן ‪( 1‬מסלק מקל ‪ 1‬ומגיע למצב של ‪ 5‬מקלות)‬ ‫‪7‬‬ ‫שחקן ‪( 1‬מסלק שני מקלות ומגיע למצב של ‪ 5‬מקלות)‬ ‫‪8‬‬ ‫שחקן ‪( 1‬מסלק ‪ 3‬מקלות ומגיע למצב של ‪ 5‬מקלות)‬ ‫‪9‬‬ ‫שחקן ‪2‬‬ ‫ האם ניתן לראות חוקיות?‬ ‫מה משותף למספרים שמסומנים באדום?‬ ‫ כיצד ננסח את האסטרטגיה לניצחון במשחק‬ ‫כמות גפרורים‬ ‫מנצח‬ ‫התחלתית‬ ‫‪1‬‬ ‫שחקן ‪ 2‬מנצח‬ ‫‪2‬‬ ‫שחקן ‪( 1‬מסלק מקל ‪ 1‬ומנצח)‬ ‫‪3‬‬ ‫שחקן ‪( 1‬מסלק ‪ 2‬מקלות ומנצח)‬ ‫‪4‬‬ ‫שחקן ‪(1‬מסלק ‪ 3‬מקלות ומנצח)‬ ‫‪5‬‬ ‫שחקן ‪( 2‬נסחו את האסטרטגיה)‬ ‫‪6‬‬ ‫שחקן ‪( 1‬מסלק מקל ‪ 1‬ומגיע למצב של ‪ 5‬מקלות)‬ ‫‪7‬‬ ‫שחקן ‪( 1‬מסלק שני מקלות ומגיע למצב של ‪ 5‬מקלות)‬ ‫‪8‬‬ ‫שחקן ‪( 1‬מסלק ‪ 3‬מקלות ומגיע למצב של ‪ 5‬מקלות)‬ ‫‪9‬‬ ‫שחקן ‪2‬‬ ‫ מה משותף למספרים שמסומנים באדום?‬ ‫רשמו ביטוי אלגברי לחוקיות של מספרים הרשומים‬ ‫כדי להחליט אם כדאי להתחיל את המשחק ראשון או שני‪:‬‬ ‫ספרו את מספר מקלות ההתחלתי‪.‬‬ ‫אם מספר המקלות נותן שארית ‪ 1‬בחלוקה ב‪,9 ,5 ,1( 4 -‬‬ ‫‪...13‬וכן הלאה) המשחק השני יכול תמיד לנצח‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬הציעו לחברכם להתחיל את המשחק‪.‬אתם תהיו‬ ‫המשחק השני ולכן תוכלו לנצח!‬ ‫נבדוק מה קורה כאשר מתחילים את המשחק עם ‪15‬‬ ‫מקלות‪:‬‬ ‫כלומר‪ ,‬השארית היא ‪ 3‬ולא ‪ 1‬ולכן המשחק הראשון‬ ‫יכול תמיד לנצח‪.‬הפעם כדאי להתעקש לשחק ראשון‪.‬‬  ‫האם בחירה של התור מבטיחה את‬ ‫הניצחון? ללא קשר כמה מקלות יסלק‬ ‫כל אחד?‬  ‫לא‪.‬‬ ‫ניקח דוגמא פשוטה ביותר‪.‬‬ ‫משחקים עם שלושה מקלות‪.‬השחקן‬ ‫הראשון יכול לנצח בקלות על ידי סילוק‬ ‫שני מקלות‪.‬‬ ‫אבל מה יקרה אם יטעה ויסלק רק מקל‬ ‫אחד?‬ ‫במקרה הזה יוכל לנצח המשחק השני‪.‬‬  ‫מה צריך לעשות כדי לנצח?‬ ‫נמשיך אם הדוגמה של ‪ 15‬מקלות‪.‬‬ ‫נדגיש רביעיות של מקלות (ללא התחשבות במקל המסומן באדום‬ ‫אותו אנו רוצים להשאיר)‪.‬‬ ‫נשארו שני מקלות שאינם כלולים ברבעיה‪.‬‬ ‫אם השחקן הראשון יוריד אותם בתורו הראשון‪ ,‬ניתן לטעון‬ ‫שכבר ניצח במשחק‪.‬‬ ‫מדוע?‬ ‫ נסו לשחק שוב‪.‬הפעם תוך בחירת אסטרטגיה נכונה‪.‬‬ ‫בחרו מספר מקלות שונה בכל פעם‪.‬‬  ‫המשחק אותו שחקנו הוא דוגמה למשחקים בעלי תכונות משותפות‪.‬‬ ‫ במשחק משתתפים שני שחקנים‪.‬‬ ‫ כל שחקן מבצע מהלך מסויים בתורו‪.‬‬ ‫ אין במשחק מהלכי גורל (כמו הטלת קוביה)‪.‬‬ ‫ המשחק מסתיים אחרי מספר סופי של צעדים‪.‬‬ ‫ תוצאת המשחק יכולה להיות‪ :‬ניצחון של שחקן ראשון או ניצחון של שחקן‬ ‫שני או תיקו (בדוגמא שלנו‪ ,‬תיקו אינו אפשרי כמובן)‪.‬‬ ‫האם אתם מכירים משחקים נוספים העונים על התנאים האלה?‬ ‫אילו מבין המשחקים הבאים עונים על הדרישות הבאות?‬  ‫משחק ‪2‬‬ ‫כל שחקן בתורו בוחר מספר מ‪ 1-‬עד ‪.6‬‬ ‫לאחר כל בחירה מחברים את המספרים‪.‬‬ ‫השחקן שבתורו הגיע הסכום לראשונה ל‪ 50-‬או יותר‪,‬‬ ‫מנצח‪.‬‬  ‫ תכנתו את המשחק באמצעות סקראץ'‪:‬‬ ‫ המחשב יבקש מהשחקן הראשון ומהשחקן השני לסירוגין לבחור‬ ‫מספר מ‪ 1-‬עד ‪.6‬‬ ‫ את התשובה יוסיף המחשב לסכום שהתקבל מהבחירות‬ ‫הקודמות ויציג אותו על המסך‪.‬‬ ‫הצגת הדמות תעשה על ידי דמות שהוכנה לכם מראש בתכנות‬ ‫אותו תוכלו לפתוח בשקף הבא‪.‬‬ ‫ כאשר הסכום יגיע ל‪ 50-‬או יותר – המחשב יכריז על המנצח‪.‬‬ ‫לחצו כאן לתכנות מוכן‪.‬‬  ‫לדמות שלנו ‪ 100‬תלבושות‪.‬‬ ‫כל תלבושת מייצגת מספר שונה‪.‬‬ ‫תלבושת מספר ‪ 100‬תייצג את המספר ‪0‬‬ ‫המחשב יבקש מהשחקן הראשון או מהשחקן השני לסירוגין לבחור‬ ‫מספר מ‪ 1‬עד ‪.6‬‬ ‫אילו פקודות יעזרו לנו לשאול את השאלות? באיזה מקבץ נחפש‬ ‫אותן?‬ ‫את התשובה יוסיף לסכום התוצאות הקודמות‬ ‫כיצד התוכנה תזכור את המספרים?‬ ‫אילו פקודות יעזרו לחשב את הסכום?‬ ‫את התשובה יוסיף לסכום הבחירות הקודמות‪ ,‬ויציג אותו על‬ ‫המסך‪.‬‬ ‫הצגת התוצאה תעשה באמצעות החלפת תלבושת למספר‬ ‫המתאים‪.‬‬ ‫ הוסיפו את הפקודות הדרושות לתכנות‪.‬‬  ‫האם מספיק לשאול את השאלות פעם אחת?‬ ‫כיצד נגרום לתוכנה להמשיך ולשאול את השאלות עד שנגיע‬ ‫לסכום הרצוי?‬ ‫לשם כך נשתמש בלולאה אינסופית‪.‬‬ ‫האם נכניס את כל הפקודות שיצרנו עד כאן ללולאה?‬ ‫כאשר הסכום יגיע ל‪ 50-‬או יותר – המחשב יכריז על המנצח‪.‬‬ ‫מהן הפקודות שיעזרו לנו לבצע תנאי זה?‬  ‫צריך להשוות את התוצאה אחרי כל אחת מן השאלות ל‪.50 -‬‬ ‫אם הסכום קטן מ‪ 50-‬יש להמשיך את המשחק‪.‬‬ ‫אחרת‪,‬‬ ‫אם הסכום שווה או גדול מ‪ 50 -‬לאחר שנשאל השחקן הראשון‪ ,‬יש‬ ‫להכריז שהשחקן השני ניצח‪.‬‬ ‫אם הסכום שווה או גדול מ‪ 50 -‬לאחר שנשאל השחקן השני‪ ,‬יש‬ ‫להכריז שהשחקן הראשון ניצח‪.‬‬ ‫(כלומר נדרשות שתי פקודות של התנייה)‬  ‫המלצה לתכנות (הילדים‬ ‫יכולים לחשוב על פתרונות‬ ‫משלהם)‪.‬‬ ‫הציעו לילדים להוסיף‬ ‫דמויות של שני שחקנים‬ ‫שיופיעו בתורם ויעלמו‬ ‫בתור הבא‪...‬‬ ‫מהי האסטרטגיה במשחק‬ ‫שבנינו?‬ ‫את האסטרטגיה ניתן לזהות בדומה לדוגמה הקודמת על‬ ‫ידי "משחק מהסוף"‪.‬‬  ‫משחק ‪3‬‬ ‫בין שאר המשחקים הזכרנו את גם את איקס‪-‬עיגול‪.‬‬ ‫האם גם למשחק זה יש אסטרטגיה מנצחת?‬ ‫ נסו לשחק מספר פעמים‪.‬‬ ‫מהי האסטרטגיה המנצחת במשחק זה?‬ ‫באיקס עיגול יכול השחקן הראשון לנצח או לכפות תיקו‪(.‬תלוי במהלכים של‬ ‫שחקן השני‪).‬‬ ‫בהתאם לנקודות ההתחלה הבאות‪:‬‬ ‫מהלך ראשון של שחקן א (‪)X‬‬ ‫תגובת שחקן ב (על מנת לכפות תיקו)‬ ‫אחת הפינות‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫מרכז‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫מרכז‬ ‫אחת הפינות‬ ‫‪X‬‬ ‫אחת השפות‬ ‫מרכז‪ ,‬פינה שליד האיקס או השפה הנגדית‬ ‫‪X‬‬ ‫ל‪.X-‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬  ‫משחק ‪3‬‬ ‫בדקו בעצמכם את האסטרטגיות שהוצגו בטבלה‪.‬‬ ‫נסו לגלות את האסטרטגיה במשחק הבא‪:‬‬ ‫לפניכם לוח שחמט ריק‪.‬‬ ‫ומספר צורות של פרש‪.‬‬ ‫הפרש נע בתנועה מיוחדת‪,‬‬ ‫המשלבת ישר ואלכסון‪ :‬הוא נע‬ ‫שתי משבצות באחד הכיוונים‬ ‫(אופקי או אנכי) ולאחר מכן‬ ‫משבצת אחת בכיוון ניצב‪.‬‬ ‫נסו לגלות את האסטרטגיה במשחק הבא‪:‬‬ ‫כל שחקן בתורו יכול למקם את הפרש כך‬ ‫שהפרש האחר לא יוכל "לאכול" אותו‪.‬‬ ‫(בדוגמה מוצגת התאים מסומנים באיקס‬ ‫מציינים מקומות בהן הפרש "אוכל" צורה אחרת‬ ‫ולכן אין להניח עליהם את הצורה הבאה)‬ ‫מי שלא מוצא מקום למקם את הפרש‪ ,‬מפסיד‪.‬‬ ‫איסוף תובנות‬