Applied Mathematics III Past Paper PDF - Dec 2019

https://www.bteuponline.com Q.1) Answer any ten parts of the following: 1 2 3 4 a) Find transpose of a matrix A = 2 3 4 1 3 4 2 1 3×4 b) Define Characteristic of vector. c) Find the nth differe...

https://www.bteuponline.com Q.1) Answer any ten parts of the following: 1 2 3 4 a) Find transpose of a matrix A = 2 3 4 1 3 4 2 1 3×4 b) Define Characteristic of vector. c) Find the nth differential coefficient of sin ax. cos bx. 𝑑𝑦 d) If x = a (t–sin t) and y = a (l–cos t) finds 𝑑𝑥 𝜕(𝑥,𝑦) e) If x = r.cos𝜃, y = r.sin𝜃 show that: =r 𝜕(𝑟,𝜃) 1 𝑥2 f) Express the following integral in term of beta function. 0 1−𝑥 5. dx g) If r= 𝑥 where r = xi + yj + zk Prove that ∇ 1 (r) = ′ ′ 1 (𝑟)∇𝑟 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 h) Solve −3 − 4𝑦 = 0 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 i) Write unit matrix and their rank. 2 4 4 6 j) Find A+B if A= ,B= 6 8 8 2 k) Find the L.T. of the function: f(t)=(sin t - cos t)2  https://www.bteuponline.com 2 −1 3 l) Find |A|, Where A= −5 3 1 −3 2 3 Q.2) Answer any five parts of the following 1 + 2𝑖 2 − 3𝑖 3 + 4𝑖 a) Find Transpose conjugate matrix: A= 4 − 5𝑖 5 + 6𝑖 6 − 7𝑖 8 7 + 8𝑖 7 4 b) Find L–1 { } 𝑃−2 c) Show that (a.∇) ∅ = 𝑎. ∇∅ d) Apply divergence to evaluate: ∬s [(x+z) dydz + (y + z) dzdx + (x + y) dxdy] where S is the surface of the sphere x2 + y2 + z2 = 4. 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 e) If u = log (x2 + y2 + z2) show that: x. =𝑦 =𝑍 𝜕𝑦𝜕𝑧 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 f) Verify Euler's theorem in following case: u = x4 – 3x3y + 5x2y2 + 4xy3 – 2y4. 1 1 2 g) Reduce the matrix A= 1 2 3 to normal form and compute rank if A, 0 −1 −1 Q.3) Answer any two parts of the following. a) If r is a vector function of a scalar t, r its module and a, b are constant vectors, differentiate the following with respect to x. http://www.bteuponline.com 𝑑𝑟 r3. r + a × 𝑑𝑡 1 b) Find L1 {log (1 + )} 𝑃2 2 1 0 c) Determine the eigenvectors of the matrix. A= 0 2 1 0 0 2 Q.4) Answer any two parts of the following. 𝑒′ 0 < 𝑡 < 5 a) Find L {f(t)}, if f(t)= 3 𝑡>5  https://www.bteuponline.com 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 b) Solve + + 𝑦 = 𝑒𝑥. 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 c) Find the Fourier sine series for the function: (𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 for 0 < x < 𝜋, where a is constant. Q5) Answer any two parts of the following: 𝑃 1 a) Prove that L-1 = sin 𝑡. sin ℎ 𝑡, 𝑝 2 −2𝑝+2 (𝑝 2 +2𝑝+2) 2 𝑑𝑦 b) Solve (x2+1) + 2xy = 4x2 ? 𝑑𝑥 1 c) The probability of a man hitting a target is how many time must he fire so that 4 probability of his hitting the target least once is greater than 2 3.  https://www.bteuponline.com (हिन्दी ाऄनुवाद) नोट : सभी प्रश्नों के ाईत्तर दीहिए। प्र.1) ककन्िीं दस भागों को िल करो: 1 2 3 4 ाऄ) ाअव्यूि A = 2 3 4 1 का पररवर्त ज्ञार् करो। 3 4 2 1 3×4 ब) Characteristic of vector को पररभाहिर् करो। स) sin ax. cos bx का nh ाऄवकल गुणाांक ज्ञार् करो। 𝑑𝑦 द) यकद x = a (t- sin t) र्था y = a (1- cost) िै र्ो को ज्ञार् करो। 𝑑𝑥 𝜕(𝑥,𝑦) य) यकद x = r.cos𝜃, y = r.sin𝜃 िै र्ो दर्ाताआये कक =r 𝜕(𝑟,𝜃) 1 𝑥2 र) हनम्न समाकल को Beta Function के रूप में हलखो। 0 1−𝑥 5. dx ल) यकद 𝑟 = 𝑥 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 िो र्ो हसद्ध करो। ∇ 1 (r) = 1 ′′(𝑟)∇𝑟 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 व) −3 − 4𝑦 = 0 को िल करो। 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 र्) ाआकााइ ाअव्यूि र्था ाईसकी Rank हलखो। 2 4 4 6 थ) यकद A+B if A= ,B= िो र्ो A+ B का मान ज्ञार् करो। 6 8 8 2 ध) फलन f(t)=(sin t - cos t)2 का L.T. फलन ज्ञार् करो। 2 −1 3 न) यकद A= −5 3 1 , र्ो |A| का मान ज्ञार् करो। −3 2 3 प्र.2) ककन्िीं पााँच भागों को िल करो:  https://www.bteuponline.com 1 + 2𝑖 2 − 3𝑖 3 + 4𝑖 ाऄ) ाअव्यूि A= 4 − 5𝑖 5 + 6𝑖 6 − 7𝑖 का पररवर्त, सांयुग्मी ज्ञार् करो। 8 7 + 8𝑖 7 4 ब) L–1 { } को िल करो। 𝑃−2 स) दर्ाताआये कक (a.∇) ∅ = 𝑎. ∇∅ द) ∬s [(x+z) dydz + (y + z) dzdx + (x + y) dxdy] का मान ज्ञार् करने के हलये Divergence को Apply करें ; ििााँ S गोला x2 + y2 + z2 = 4 का पृष्ठ िै। 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 य) यकद u = log (x + y + z ) िै र्ो दर्ाताआये कक x. 2 2 2 =𝑦 =𝑍 𝜕𝑦𝜕𝑧 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 र) हनम्न के हलये Euler's Theorem को सत्याहपर् करो। u = x4 – 3x3y + 5x2y2 + 4xy3 – 2y4. 1 1 2 ल) ाअव्यि A= 1 2 3 को normal form में पररवर्तर्र् कर Rank ज्ञार् करो। 0 −1 −1 प्र.3) ककन्िीं दो भागों को िल करो: ाऄ) यकद r ाऄकदर् का सकदर् फलन िै और t, r ाआसके module र्था a, b सकदर् के हथथराक िै र्ो x के सापेक्ष हनम्न का ाऄवकलन करो। 𝑑𝑟 r3. r + a × 𝑑𝑡 1 ब) L1 {log (1 + )} का मान ज्ञान करो। 𝑃2 2 1 0 स) ाअव्यूि A= 0 2 1 Eigenvectors ज्ञार् करो। 0 0 2 प्र.4) ककन्िीं दो भागों को िल करोाः  https://www.bteuponline.com 𝑒′ 0 < 𝑡 < 5 अ) L {f(t)}का मान ज्ञार् करो। यकदाः f(t)= 3 𝑡>5 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 ब) 2 + + 𝑦 = 𝑒 𝑥 को िल करो। 𝑑𝑥 𝑑𝑥 स) हनम्न फलन के हलये Fourier sine series हनकालो। (𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 for 0 < x < 𝜋, जह ाँ a हथथराांक िै। प्र.5) ककन्िीं दो भागों को िल करोाः 𝑃 1 ाऄ) हसद्ध करो L-1 = sin 𝑡. sin ℎ 𝑡, 𝑝 2 −2𝑝+2 (𝑝 2 +2𝑝+2) 2 𝑑𝑦 ब) िल करो: (x2+1) + 2xy = 4x2 𝑑𝑥 स) एक व्यहि की लक्ष्य को भेदने की प्राहयकर्ा 1/4 िै ककर्ने बार व्यहि को फायर करना िोगा कक लक्ष्य को भेदने की प्राहयकर्ा कम से कम एक बार 2/3 से ाऄहधक िो।