Cours de Thermodynamique I 2021/2022 PDF

Compus Universitaire Faculté des Sciences Ait Melloul ‫بسم هللا الرحمان الرحيم‬ Appliquées-Département CUAM de Physique Réalisé par : Professeur DERRA Mourad...

Compus Universitaire Faculté des Sciences Ait Melloul ‫بسم هللا الرحمان الرحيم‬ Appliquées-Département CUAM de Physique Réalisé par : Professeur DERRA Mourad Filière : SMC– S1 Année universitaire : 2021/2022  Outil Mathématique Fonction de plusieurs variables Une fonction de plusieurs variables f ( x1 , x2 ,..., xn ) , est une relation mathématique qui n relie deux ensembles et f ( x, y , z )  0 x  x( y, z ) ; y  y( x, z ) ; z  z ( x, y) Exemple : ☻ Gaz parfait d’équation d’état PV  nRT 2 Pr. Derra Mourad  Outil Mathématique Dérivées partielles La dérivée partielle de la fonction f(x, y) par rapport à x (ou à y) est la fonction dérivée « normale » de f par rapport à x (ou à y) en supposant que y (ou x) est constant. Dérivées premières Dérivées secondes  f ( x, y)    f ( x, y )   2 f ( x, y ) f x' ( x, y)   f xx ( x, y )     x  x  x 2   x y  f ( x, y)    f ( x, y)   2 f ( x, y) f y' ( x, y )    f yy ( x, y)      y x y  y  y 2   f ( x, y)   2 f ( x, y) f xy ( x, y)    x  y  xy Critère de Cauchy   f ( x, y )   2 f ( x, y ) f yx ( x, y )    y  x  yx 3 Pr. Derra Mourad  Outil Mathématique Exercice : f ( x, y )  xy 2  y cos( x)  f ( x, y)   f ( x, y )     ??    ??  x  y  y  x   2 f ( x, y )    2 f ( x, y)     ??    ??  x  y 2  y, y 2  x, x   2 f ( x, y )    2 f ( x, y )     ??    ??  yx  y , x  xy  x , y 4 Pr. Derra Mourad  Outil Mathématique Différentielle d’une fonction La différentielle de la fonction f(x,y) de deux variables indépendantes x et y (f supposée continue et dérivable) s’écrit :  f ( x, y)   f ( x, y)  df    dx    dy  x  y  y  x Exemple 1 : P  nkT  P (n, T ) dP  ?? Exemple 2 : f ( x, y )  xy n  2 x  y 2 df  ?? 5 Pr. Derra Mourad  Outil Mathématique Différentielle Totale Exacte (D.T.E)  f ( x, y)   f ( x, y)  df    dx    dy  x  y  y  x A( x, y ) B ( x, y )  A( x, y )   B( x, y )    Si :   D.T.E   y x  x y Si :  A( x, y )    B( x, y )      D.T.E  y x  x y La quantité A( x, y ) dx  B ( x, y )dy représente dans ce cas une forme différentielle que l’on désigne par  f 6 Pr. Derra Mourad  Outil Mathématique Exercice 1 : 1/ df  ydx  xdy x y 2/ df  dx  dy x y 2 2 x y 2 2 Exercice 2 : 1/ Montrer que la forme différentielle suivante est totale exacte df  ( x 2  y 2 )dx  2 xydy 2/ Déterminer la fonction f(x,y) correspondante 7 Pr. Derra Mourad  Outil Mathématique Relation entre les dérivées partielles x  x( y, z ) Soit l’équation caractéristique : f ( x, y , z )  0 y  y ( x, z ) z  z ( x, y )  x   z  1  x     dx    dy    dz (1)  x  y  x   y  z  z  y    z  y  y   y  dy    dx    dz (2)  x  z  z  x  z   z   x   y   z           1 dz    dx    dy (3)  x  y  y  z  z  x  x  y  y  x 8 Pr. Derra Mourad  Outil Mathématique Exercice : Trouver la relation entre les coefficients thermoélastiques 1  V  ❶ p    Coefficient de dilatation à pression constante V  T  P 1  P  ❷ V    Coefficient de variation de pression à volume constante P  T V 1  V  ❸ T     Coefficient de compressibilité isotherme V  P T 9 Pr. Derra Mourad  Outil Mathématique Intégration d’une forme différentielle Considérons une grandeur physique f dépendant de deux paramètres d'état x et y. L'intégration de la différentielle totale exacte (D.T.E) df, entre deux états A (x1,y1) et B(x2,y2), conduit à : B f   df ( x, y)  f ( x2 , y2 )  f ( x1 y1 )  f ( B)  f ( A) A On en déduit les propriétés suivantes : ✍ L'intégration d'une différentielle totale exacte df, entre un état initial A et un état final B, ne dépend pas du chemin suivi. ✍ La variation Δf = f (B) - f (A), le long du chemin suivi, ne dépend donc que de l'état initial A et de l'état final B. ✍ La grandeur f représente une fonction d'état du système. 10 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Thermodynamique Thermos: chaleur La sciences des transformations de l’énergie. Dynamique: mouvement Système thermodynamique Région de l’espace qui contient un corps délimité par une frontière. On appelle l’extérieur tout ce qui n’appartient pas au système. Frontière Système Milieu extérieur Un système est constitué (pour ce qui nous concerne) d'un grand nombre de particules microscopiques (atomes ou molécules) délimitées par une surface à travers laquelle sont susceptibles de s'effectuer des échanges d'énergie et de matière avec le milieu extérieur. 11 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Types du système thermodynamique : Système Échange Matière Échange Énergie Exemple Ouvert oui oui Bougie allumée Fermé non oui Piles électriques Isolé non non Univers 12 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Exercice : Indiquez la nature des systèmes suivants ❶ Vous (oui, vous, là, en face du cours). ❷ Une bouteille isotherme (thermos). ❸ Un réfrigérateur en fonctionnement. 13 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Variables d’état L’état du système est définit ou décrit par des variables macroscopiques : Pression P ( Pa ) ou ( N / m 2 ) 3 Volume V ( L ou m ) Température T ( K ) Variables d’état Masse m ( Kg ) Nombre de moles n ( mol ) Masse volumique  Unités: 1atm  1.013bar 1bar  105 Pa 1atm  76cmHg T ( K )  T (C )  273,15 1cal  4,18 J 14 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Variables d’état Variables extensives Variables intensives proportionnelles à la masse indépendantes de la quantité du système. Elles sont de matière contenue dans le additives lors de la réunion de système. deux systèmes identiques. Volume Pression Masse Température Nombre de molécules Masse volumique Exemple : 1 litre d’eau à 25°C + 1 litre d’eau à 25°C ??? 15 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Équation d’état Les variables d’état ne sont pas toutes indépendantes, mais liées entre elles par une relation appelée équation d’état du type : f ( P ,V , T )  0 L’exemple le plus connu est celui du GAZ PARFAIT, pour lequel la pression P, le volume V, la température T et le nombre de moles (n) sont liés par la relation : PV  nRT  0 Dans ce cas, il n’y a que deux variables indépendantes : P  f (V , T ) ou V  f ( P, T ) ou T  f ( P, V ) Il suffit donc, pour définir l’état d’une certaine quantité de gaz parfait, de connaître la valeur de deux des trois variables puisque celle de la troisième en résulte. 16 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Exercice : Sachant qu’une mole de gaz occupe un volume de 22,4 l dans les conditions normales (T= 0 °C et P = 1atm), calculer la valeur de la constante des gaz parfait R : ❶ Lorsque la pression est mesurée en (atm) et le volume en (l). 3 ❷ Lorsque la pression est mesurée en (atm) et le volume en ( cm ). ❸ Lorsque la pression est mesurée en (cm Hg) et le volume en (l). ❹ En système international. 17 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Fonction d’état Souvent, on peut réaliser des transformations entre un état 1 (état initial) et un état 2 (état final) de plusieurs façons différentes, c.à.d en empruntant des chemins différents. État 1  État 2 En général, la variation f , entre l’état 1 et l’état 2, dépend du chemin suivi. Il existe en thermodynamique des fonctions f(P,V,T,…) liées aux variables d'état dont les variations f au cours d'une transformation sont indépendantes du chemin suivi. Ces fonctions sont dites fonctions d'état : f12 = f2 - f1 = Cste quelque soit le chemin suivi. 18 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Représentation graphique d’un état Considérons un système constitué de n moles d’un gaz parfait. Son état à un instant t est déterminé par la connaissance de deux variables d’état indépendantes. Cet état peut ainsi être représenté par un point dans l’un des digrammes suivants : P P V B(VB, TB) B (PB,VB) B (PB,TB) PB A(VA, TA) PA A (PA,VA) A(PA,TA) V T T VA VB TA TB TA TB Diagramme de Diagramme (P,T) Diagramme (V,T) Clapeyron (P,V) 19 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions État d’équilibre d’un système Un système se trouve dans un état d’équilibre si les variables qui définissent son état ne varient pas au cours du temps. Par exemple : Si la température est la même en chaque point et n'évolue pas au cours du temps, on a un équilibre thermique. Si la pression est la même en chaque point et n'évolue pas au cours du temps, on a un équilibre mécanique. 20 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Transformation d’un système Une transformation = une modification de l’état du système qui se traduit par des variations des variables de ce dernier. Transformation quasi-statique : C’est une transformation constituée d’une suite continue d’états d’équilibre interne pour le système étudié. A tout instant de la transformation, les variables du système sont définies. m1 m2 P1V1T1 P2V2T2 21 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Transformation d’un système Transformation réversible : La transformation réversible est un processus idéal constitué par une suite d’états d’équilibre du système, il est alors théoriquement possible d’inverser le sens de cette transformation par une modification infinitésimale des conditions de l’expérience. Transformation irréversible : C’est une transformation (brutale, spontanée, rapide, réelle, naturelle) qui ne répond pas au critère précédent. C’est le cas si les états intermédiaires ne sont pas des états d’équilibre. Remarque : une transformation réversible est quasi-statique mais l’inverse n’est pas toujours vrai. 22 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Transformations réversibles particulières Transformation isochore : V = Cste Transformation isobare : P = Cste Transformation isotherme : T = Cste P V = Cste P = Cste T = Cste V 23 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Transformations réversibles particulières Transformation cyclique : Pour ce type de transformation l’état final est identique à l’état initial. P V Transformation adiabatique : C’est une transformation au cours de laquelle le système n’échange pas de chaleur avec le milieu extérieur. 24 Pr. Derra Mourad  Concepts de base et définitions Exercice : Transformations d’un gaz L’état initial d’une mole de gaz parfait est caractérisé par P0  2.105 Pa et V0  14 l, Ce gaz subit successivement : - Une détente isobare, qui double son volume, - Une compression isotherme, qui le ramène à son volume initial, - Un refroidissement isochore, qui le ramène à l’état initial.  Déterminer l’état du gaz (pression, volume et température) après chaque transformation.  Représenter le cycle de transformation dans le diagramme de Clapeyron. 25 Pr. Derra Mourad  Éléments de thermique Température T La température d’un corps ou de façon plus générique d’un système, est une mesure d’une propriété globale de ce système, c’est une mesure macroscopique portant sur l’ensemble du système. Si on met en contact deux systèmes de températures différentes, le système composé atteindra, après un temps, une température intermédiaire entre la plus haute et la plus basse de ces deux températures, c’est l’équilibre. Ce qui est généralement moins connu, c’est que la température a une origine microscopique et est une mesure de l’énergie cinétique moyenne des atomes/molécules qui constituent le système. Les échelles de température usuelles sont les échelles Celsius, utilisée dans la plupart des pays et l’échelle Fahrenheit encore utilisée aux U.S.A. Nous utiliserons l’échelle Kelvin, surtout utilisée par les scientifiques : T ( K )  T (C )  273,15 Le zéro de l’échelle Kelvin est le zéro absolu en deçà duquel on ne peut descendre. L’intérêt de l’échelle Kelvin vient de ce que son zéro est le zéro absolu. 26 Pr. Derra Mourad  Éléments de thermique Chaleur Q La chaleur mesure une quantité de quelque chose transmise d’une source (chaude) à un corps (froid), de telle façon que la température du corps augmente. La chaleur ne mesure pas une propriété du corps, mais une quantité d’énergie échangée entre des corps ou entre un environnement et un corps. La chaleur passe toujours d’un corps chaud à un corps froid, JAMAIS l’inverse, l’échange menant à un équilibre où la température est la même dans les deux corps en contact. lorsqu’on fournit de la chaleur à un corps, c’est en fait de l’énergie qu’on lui fournit. Le corps stocke cette énergie en la distribuant comme énergie cinétique à ses atomes/molécules, ce qui, à notre échelle est détecté comme une augmentation de la température. Si on enlève et on enlève et on enlève encore au corps cette énergie cinétique, nous arriverons à un point où il n’en restera plus, le corps n’étant pas un réservoir infini. À ce moment on a atteint une température en deçà de laquelle on ne peut plus descendre, c’est le zéro absolu de température. Historiquement, la mesure de la chaleur est la calorie, notée cal. Nous utiliserons surtout la Cal qui vaut 1000 cal et est la norme en système SI. La chaleur n’est pas une fonction d’état, c'est-à-dire dépend du chemin suivi. 27 Pr. Derra Mourad  Éléments de thermique Chaleur Spécifique ou massique Nous avons parlé de stocker de la chaleur, c’est-à-dire de l’énergie reçue sous forme de chaleur dans le corps. Expérimentalement, certains corps sont plus difficiles à chauffer, on en conclut que les corps n’ont pas tous la même efficacité pour stocker de l’énergie reçue sous forme de chaleur. La grandeur qui mesure la capacité du corps à stocker de la chaleur est appelée chaleur spécifique ou massique. C’est la quantité de chaleur qu’il faut fournir à 1kg de ce corps pour que sa température augmente de 1K sans modifier son état physique. On la note c et elle est donnée par la relation suivante: 1 Q Avec C = mc est la capacité thermique. c  ou  Q  mcdT m dT Élément Chaleur c Élément Chaleur c Élément Chaleur c Eau 4185 Fe 456 sodium 1256 Air 1000 Al 900 Huiled’olive 2000 Pétrole 2093 Cu 389 Béton 800 à 1000 Glace 2060 Hg 139 Hydrogène 14300 28 Pr. Derra Mourad  Éléments de thermique Unités : Joule & Calorie 2  1J  1N.m  1kg.m.s 2  Calorie : quantité d’énergie qu’il faut fournir à un gramme d’eau pour élever sa température de 1°C sans modification de son état physique. Application : Connaissant la chaleur massique de l’eau c  4185J.kg 1. K 1 , déterminer la conversion entre Joule et Calorie. 29 Pr. Derra Mourad  Éléments de thermique Chaleur Spécifique à volume constant ou à pression constante La chaleur massique dépend de la nature de la transformation. Ainsi, pour un système décrit par les trois variables P, V et T reliées par une loi d'état f(P,V,T)=0, la quantité de chaleur reçue pour une transformation élémentaire et par unité de masse s'écrit à l'aide de deux des trois variables sous la forme :  Q   Q   Q   Q  Q    dT   V  dV ou Q    dT   P  dP  T V  T  T P  T V=cste P=cste 1  Q  1  Q  cV  cP  m   T V m   T  P ✍ Capacités calorifiques massiques : Cv  mcv et C p  mc p ✍ Capacités calorifiques molaires : Cmv  Mcv et C mp  Mc p 30 Pr. Derra Mourad  Éléments de thermique Chaleur Latente La chaleur latente d’un corps est la quantité de chaleur qu’il faut apporter à 1kg de ce corps pour qu’il change d’état en conservant sa température constante. Pour un corps de masse m, l’énergie nécessaire pour le faire changer d’état à température constante est : Q  mL Pour chaque type de matière, il existe trois types de chaleurs latentes liées aux six changements d’état physiques ( Ls , Lv , Lf ) 31 Pr. Derra Mourad  Application : Calorimétrie La calorimétrie est la mesure des quantités de chaleurs. Elle est basée sur deux principes: ❶ Principe de l’égalité des échanges de chaleur: Lorsque deux corps n’échangent que de la chaleur, la quantité de chaleur gagnée par l’un ( Q > 0 ) est égale à celle perdue par l’autre ( Q < 0 ). ❷ Principe des transformations inverses: la quantité de chaleur qu'il faut fournir à un système pour le faire passer d'un état 1 à un état 2 est égale à celle qu'il restitue lorsqu'il revient de l'état 2 à l'état 1. ✍ Par contact du mélange de deux corps à des températures différentes, il y a transfert de chaleur : à l’équilibre thermique, les deux corps sont alors à la même température Tm = Téq (température d’équilibre du mélange). Cette température s’obtient à partir du bilan énergétique des deux systèmes. 32 Pr. Derra Mourad  Application : Calorimétrie Exemple : si le système est adiabatiquement isolé du milieu extérieur on aura : adiabatique m f c f T f  mc ccTc Tf Tc Téq  mf mc m f c f  mc cc cf cc froid chaud Application : On mélange de l’eau à 20°C et de l’eau avec la même quantité à 60°C. Calculer la température d’équilibre si on considère que le mélange est un système adiabatique. 33 Pr. Derra Mourad  Application : Calorimétrie Calorimètre Un calorimètre est un récipient formé de parois quasi-adiabatiques, destiné à mesurer les échanges de chaleur. Cet échange peut se produire entre plusieurs corps et aussi mettre en jeu des changements d’états. Le calorimètre constitue un système thermodynamique isolé, ce qui implique qu’il n’y a pas d’échange de matière et d’énergie avec l’extérieur. Le calorimètre participe aux échanges de chaleur avec les corps qu’il contient. Il est caractérisé par sa capacité calorifique μ (exprimée en J/K) : c’est la chaleur échangée par le calorimètre si sa température varie de 1K (de 1°C). Si la température du calorimètre varie de ΔT, la chaleur qu’il reçoit/qu’il fournit vaut : Q = μ ·ΔT 34 Pr. Derra Mourad  Application : Calorimétrie Méthode calorimétrique  Q  0   Qcalorimètre   Qeau   Qmatériau  0      T f  T1  me ce T f  T1  mc T f  T2  0       m e ce   T f  T1  c  m T2  T f  c est la chaleur spécifique du matériau. 35 Pr. Derra Mourad  Application : Calorimétrie Application: Dans un calorimètre contenant 200 g d’eau à 18°C, on verse 220 g d’eau à 25°C. On agite soigneusement et on note la température d’équilibre : 21,4°C. En déduire la capacité thermique du calorimètre. On donne la Chaleur spécifique de l’eau 4185 J/kg.K Réponse : µ = 137,85 J/K 36 Pr. Derra Mourad  Travail des forces de pression Le travail (W) est une autre forme d’énergie (énergie mécanique), exprimée en [J] ou en [cal]. Il s’écrit sous la forme suivante : Fext  W  Fext. dl  Pext. S.dl  Pext.dV Pext Avec dV l’élément de volume balayé par le piston au cours du déplacement. Par convention: dl Travail reçu par le système W > 0 Pint Travail cédé par le système W < 0 S ✍ Si le piston se déplace vers le bas (dV0 ✍ Si le piston se déplace vers le haut (dV >0), le travail est cédé par le système, donc W 0 Sene des transferts thermiques Schéma de principe Premier principe : QC  QF  W Source TC chaude Deuxième principe : QC QF  0 TC TF QC  0  1 1  W W 0  QF    W  0  F T TC  TC M.T Comme : QC  QF  W  QC  0 QF  0 QF  0  W  0 et QC  0 Source TF froide 76 Pr. Derra Mourad  Application des deux principes Pompe à chaleur (Machine Dynamo-Thermique) : QC < 0 Sene des transferts thermiques Schéma de principe Premier principe : QF  QC  W Source TC chaude Deuxième principe : QC QF  0 TC TF QC  0  1 1  W W 0  QC    W  0  F T TC  TF M.T On conçoit la pompe à chaleur pour que : QF  0 QC  W  QF  0 QF  0  W  0 et QC  0 Source TF froide 77 Pr. Derra Mourad  Application des deux principes Performance d’une machine thermique Énergie utile (gain) Performance Énergie payée (dépense) Moteur Réfrigérateur Pompe à chaleur (rendement  ) (éfficacité e) (Coefficient de Performance COP ) W Q QF QC   1 F e e QC QC W W QF   1 car 0 e 1 QC 78 Pr. Derra Mourad  Application des deux principes Cycle de CARNOT SADI CARNOT (1796-1832) Le cycle de CARNOT est un cycle réversible décrit par une machine ditherme en contact avec deux thermostats. Il comporte : 2 évolutions isothermes aux températures TC et TF, 2 évolutions adiabatiques. P Diagramme de Clapeyron T Diagramme entropique 1 QC 1 2 TC 2 TC 4 TF 4 3 TF QF 3 S V 79 Pr. Derra Mourad  Application des deux principes Rendement de CARNOT WCycle  QC Premier principe : QF   1 WCycle  QF  QC QC Deuxième principe : TF QC QF  0 Carnot  max  1  TC TF TC Ce rendement est un rendement d’une machine idéale fonctionnant entre deux sources de chaleur à températures TC et TF 80 Pr. Derra Mourad  Application des deux principes Performance de CARNOT d’une machine thermique Moteur Réfrigérateur Pompe à chaleur  eréf eP Q QF QC   1 F eréf   eP  QC QF  QC QF  QC TF TF TC    1  eréf   eP  TC TC  TF TC  TF    max  Carnot  eréf  eréf max  eréf Carnot  e P  e P max  e P Carnot Performance MT  PerformanceCarnot 81 Pr. Derra Mourad  Application des deux principes Récapitulatif sur la performance des machines thermiques Machine Performance de thermique W QC QF Performance CARNOT W TF Moteur 0 0 0  C  1  QC TC Q TF Réfrigérateur 0 0 0 eréf  F erC  W TC  TF Pompe à 0 QC TC 0 0 eP  e PC  chaleur W TC  TF 82 Pr. Derra Mourad