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ALGEBRA CON GRÁFICOS Y 6523 EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON RESPUESTAS DR. AURELIO BALDOR Obra aprobada y recomendada como texto para...

ALGEBRA CON GRÁFICOS Y 6523 EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON RESPUESTAS DR. AURELIO BALDOR Obra aprobada y recomendada como texto para los Institutos de Segunda Enseñanza de la Re- Fundador, Director y Jefe de la Cá- pública por el Ministerio de Educación, previo tedra de Matemáticas del Colegio Baidor, Habana, Cubo. informe favorable de la Junta Técnica de Di- Jefe de la Cátedra de Matemáticas, rectores de Institutos de Segunda Enseñanza. STEVENS ACADEMY, Hoboken, New-Jersey, U.S.A. EDICION 1980 Profesor de Matemáticas, SAINT TOTALMENTE REVISADA POR EL AUTOR PETER'S COLLEGE. Jersey City, New-Jersey. Depósito Legal : M. 9.747-1980 I. S. B. N. : 84-357-0062-3 CULTURAL CENTROAMERICANA, S. A. EDICIONES Y DISTRIBUCIONES CODICE, S. A. MADRID Es propiedad intelectual. Queda hecho el depósito que prescribe la ley ; prohibida la reproducción en todo o en parte. Impreso por EDIME ORGANIZACION GRAFICA, S. A. Polígono Industrial de Arroyomolinos, núm. 1 Calle D núm. 12 MOSTO LES (Madrid) Impreso en España - Printed in Spain  Para responder a la gentil deferencia que han tenido con esta obra los Profesores y Alumnos de la América Latina, liemos introducido, en la presente edición, una serie de mejoras que tienden a que este libro sea más eficaz e interesante. Hemos procurado que la presentación constituya por sí sola una poderosa fuente de motivación para el trabajo esco- lar. El contenido ha sido cuidadosamente revisado y se han introducido diversos cuadros y tablas para un aprendizaje más vital y efectivo. El uso del color, en su doble aspecto estético y funcional, hacen de esta obra, sin lugar a dudas, el Algebra más pedagógica y novedosa de las publicadas hasta hoy en idioma español. Los Editores han estimado oportuno introducir algunos aña- didos que contribuyan a completar el contenido de los programas vigentes. Tales anadidos son, para enumerar sólo algunos, las Notas sobre el Concepto de Número; Nota sobre las cantidades complejas e imaginarias y el Cuadro de los Tipos Básicos de Descomposición Factorial. Esperamos que el Profesorado de Hispanoamérica sepa aqui- latar el ingente esfuerzo rendido por todos los técnicos que han intervenido en la confección de esta obra. Sólo nos queda reiterar nuestro más profundo agradecimiento por la acogida que le han dispensado siempre. Los EDITORES Con acendrada devoción y justo orgullo, dedico este esfuerzo editorial, a la inolvidable memoria de mi madre, Profesora Doña Ana Luisa Serrano y Poncet, que fuera Presidenta de esta Empresa durante los años 1921 a 1926. Dr. José A. López Serrano CONCEPTO DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIMI- po y el tonteo del número de animales que poseían ; TIVOS (25,000-5,000 A. C.) Medir y contar fueron así surgió la Aritmética. El origen del Algebra es las primeras actividades matemáticas del hombre pri- posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hom- mitivo. Haciendo marcas en los troncos de los árboles bre alcanzara un concepto abstracto del número, base lograban, estos primeros pueblos, la medición del tiem- indispensable para la formación de la ciencia algebraica. PRELIMINARES O l ÁLGEBRA es la rama de la Matemática que estudia la cantidad consi- derada del modo más general posible. O 2 CARÁCTER DEL ALGEBRA Y SU DIFERENCIA CON LA ARITMETICA El concepto de la cantidad en Algebra es mucho más amplio que en Aritmética. En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos ex- presan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor : veinte ; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un número distinto de 20. En Algebra, para lograr la generalización, las cantidades se represen- tan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede re- presentar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque con- viene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado. O NOTACION ALGEBRAICA Los símbolos usados en Algebra para representar las cantidades son los números y las letras. 5 6 ALGEBRA Los números se emplean para representar cantidades conocidas y de- terminadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfa- beto : a, b, c, d... Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto : u, v, w, x, y, z. Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas ; por ejemplo : a', a", a"', que se leen a prima, a se- gunda, a tercera, o también por medio de subíndices ; por ejemplo : a l , a2 , a8, que se leen a subuno, a subdos, a subtres. O FORMULAS Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general. Así, la Geometría enseña que el área de un rectángulo es A = b x h igual al producto de su base por su altura ; luego, llamando A al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la fórmula/ representará de un modo general' el área de cualquier rectángulo, pues el área de un rec- tángulo dado se obtendrá con sólo sustituir.x2 m.=6 m.2. A=bxh=3 m.X2 b y h en la fórmula anterior por sus valores en el caso dado. Así, si la base de un rec- tángulo es 3 m. y su altura 2 m., su área será : El área de otro rectángulo cuya x 34 m. = 28 A = b x h =8 m4 m.2. (1) base fuera 8 m. y su altura 31 m. sería : /' O SIGNOS DEL ALGEBRA Los signos empleados en Algebra son de tres clases : Signos de Ope- ración, Signos de Relación y Signos de Agrupación. O 6 SIGNOS DE OPERACION En Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética : Suma, Resta, Multiplicación, División, Elévación a Poten- cias y Extracción de Raíces, que se indican con los signos siguientes : El Signo de la Suma es +, que se lee más. Así a + b se lee "a más b". (I) En el Cap. XVIII, página 270, se estudia ampliamente todo lo relacionado con las fórmulas algebraicas.  rl PRELIMINARES 7 El Signo de la Resta es -, que se lee menos. Así, a- b se lee "a me- nos b" El Signo de la Multiplicación es x, que se lee multiplicado por. Así, a x b se lee "a multiplicado por b". En lugar del signo x suele emplearse un punto entre los factores y también se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así, a.b y (a)(b) equivalen a a x b. Entre factores literales o entre un factor numérico y uno literal el signo de multiplicación suele omitirse. Así abc equivale a a x b x c ; 5xy equivale a 5 x x x y. El Signo de la División es -, que se lee dividido entre. Así, a - b se lee "a dividido entre b". También se indica la división separando el di- videndo y el divisor por una raya horizontal. Así, m0 equivale a m -. n: El Signo de la Elevación a Potencia es el exponente, que es un número pequeño colocado arriba y a la de- a3 = aaa ; b 6 = bbbbb. recha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor. Así, Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad. Así, a equivale a al ; mnx equivale a m'n'x'. El Signo de Raíz es V, llamado signo radical, y bajo este signo se co- loca la cantidad a la cual se le extrae la raíz. Así, -,,ra- equivale a raíz cua- drada de a, o sea, la cantidad que elevada al cuadrado reproduce la can- tidad a ; equivale a raíz cúbica de b, o sea la cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad b. O7 COEFICIENTE En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor. Así, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a = a + a + a ; en el producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b e indica que 5b=b+b-'-b+b+b. Estos son coeficientes numéricos. En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, o sea ab = b + b + b + b... a veces. Este es un coeficiente literal. En el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes. Así, en el producto abcd, a es el coeficiente de bcd ; ab es el coeficiente de cd ; abc es el coeficiente de d. Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad. Así, b equivale a lb ; abc equivale a labc.  ALGEBRA 8 8O SIGNOS DE RELACION Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son : =, que se lee igual a. Así, a = b se lee "a igual a b". >, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee "x + y mayor que m". Ejemplos de tales magnitudes son la relación del lado (le un cuadrado con la diagonal del mismo, que se expresa con el número irracional v/u 2 + b''2 ; y la relación de la circunferencia, al diámetro que se expresa con la letra 7c = 3.141592... FIGURA 1 C C = circunferencia D =diámetro a d =v a ' + D s C =Ir =3.14159 (,;) Al exponer sistemáticamente los números irracionales, Euclides los llamó ayymmetros, y a los racionales los llamó symmetros, palabras que significan sin medida y con medida. Para señalar el hecho de que estos números (los irracionales) no tenían expresión los designaba con la voz alogos. Boecio (475-554 D. C.), al traducir empleó conimensurabilis e incommen- surabilis. Sin embargo, Gerardo de Cremona (1114-1187), en una traducción (le un comentario árabe sobre Euclides, utilizó erróneamente rationalis e irrationalis, al tomar logos y alogos como razón y no en la acepción de palabra (verbum), usada por Euclides. Este error se difundió a lo largo de toda la Edad Media, prevaleciendo en nuestros días el nombre de números irracionales. 30 ALGEBRA Como consecuencia de la introducción de los números irracionales, con- sideramos racionales el conjunto de los números fraccionarios y el conjunto de los números enteros. Definimos el número racional como aquel número que puede expresarse como cociente de dos enteros. Y el número irracional como aquel número real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros. Llamamos número reales al conjunto de los números racionales e irra- cionales. LOS NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS Los números negativos no fueton conocidos por los matemáticos de la antigüedad, salvo en el caso de Diofanto (siglo III D. C.?), que en su Aritmética, al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con signo +. En el siglo VI, los hindúes Brahmagupta y Bháskara usan los números negativos de un modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos. Durante la Edad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los números negativos, y fue Newton el primero en comprender la verdadera naturaleza de estos números. Posteriormente Harriot (1560-1621) introdujo los signos + y - para caracterizar los números positivos y negativos. La significación de los números relativos o con signos (positivos y nega- tivos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el resultado de medir magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de medir la longitud geográfica de una región determinada ; o de expresar el grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar de longitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente (Greenwich). En el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero o grados bajo cero. Convencionalmente fijamos los números positivos o con signo + en una dirección, y los números negativos o con signo -, en la direc- ción opuesta. Si sobre una semirrecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hacia la derecha, señalamos puntos que representan una determinada unidad, nos re- sultan los puntos A, B, C, etc. Si sobre esa misma semirrecta, a partir del punto cero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda, tendre- mos los puntos a, b, c, etc. Si convenimos en que los puntos de la semirrecta indi- cados a la derecha del punto cero representan números positivos (A, B, C, etc.) ; los puntos señalados a la izquierda (a, b, c, etc.), representarán números negativos. c b a A B C I -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 Históricamente, los números negativos surgen para hacer po- sible la resta en todos los casos. De este modo, la resta se convierte en una operación inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo menor un sustraendo mayor.  NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO 31 Los números y los símbolos literales negativos se distinguen por el signo - que llevan antepuesto. Los números positivos y su representación literal llevan el signo +, siempre que no inicien una expresión algebraica. El número cero. Cuando tratamos de aprehender el concepto de número natural, vemos cómo éste surge de la comparación de conjuntos equivalentes o coordinables entre sí. Por extensión llamamos conjunto al que tiene un solo elemento y que se representa por el número 1. Ahora, consideramos el número cero como expresión de un conjunto nulo o vacío, es decir, un conjunto que carece de elementos. Por otra parte, el cero representa un elemento de separación entre los números negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. El siguiente diagrama nos aclarará las distintas clases de números con los cuales vamos a trabajar : NUMEROS REALES y I Nega tivos 0 Cero Positivos I I 1 1 1 Racionales Irracionales Racionales Irracionales Enteros Fraccionarios Enteros' l ramonarios LEYES FORMALES DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS REALES Hemos visto sumariamente cómo a través del curso de la historia de las matemáticas, se ha ido ampliando sucesivamente el campo de los números, hasta llegar al concepto de número real. El camino recorrido ha sido, unas veces, el geométrico, que siempre desemboca en la Aritmética pura, formal ; otras veces, el camino puro, formal ha iniciado el recorrido para desembocar en lo intuitivo, en lo geométrico. Como ejemplos del primer caso, tenemos los números irracionales, introducidos como razón de dos segmentos con el propósito de representar magnitudes inconmensurables, y que hacen posible la expresión del resultado de la radicación inexacta. Y también, los números fraccionarios que surgen para expresar el resultado de medir magnitudes con- mensurables, y que hacen posible la división inexacta, Como ejemplo del segundo caso, están los números negativos que aparecen por primera vez como raíces de ecuaciones, y hacen posible la resta en todos los casos, ya que cuando el minuendo es menor que el sustraendo esta operación carece de sentido cuando trabajamos con números naturales. Más tarde, estos números negativos (relativos) servirán para expresar los puntos a uno y otro lado de una recta indefinida. Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico, vamos a exponer las leyes formales (esto es, que no toman en cuenta la natu- raleza de los números) de la suma y de la multiplicación, ya que las demás ope- raciones fundamentales pueden explicarse como inversas de éstas, así, la resta,  ALGEBRA 3 2 40 la división, la potenciación, la logaritmación y la radicación. Conviene ir adaptando la mentalidad del principiante al carácter formal (abstracto) de estas leyes, pues ello contribuirá a la comprensión de los problemas que ulteriormente le plantearán las matemáticas superiores. Por otra parte, el conjunto de estas leyes formales constituirá una definición indirecta de los números reales y de las operaciones fundamentales. Estas leyes que no requieren demostración, pues son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas. IGUALDAD I. Axioma de identidad : a = a. II. Axioma de reciprocidad : si a = b, tenemos que b = a. III. Axioma de transitividad : si a = b y b = c, tenemos que a = c. SUMA O ADICION 1. Axioma de uniformidad : la suma de dos números es siempre igual, es decir, única ; así, si a = b y c = d, tenemos que a + c = b + d. II. Axioma de conmutatividad : a + b = b + a. III. Axioma de asociatividad : (a + b) + c = a + (b + c). IV. Axioma de identidad, o módulo de la suma : hay un número y sólo un número, el cero, de modo que a + 0 = 0 + a = a, para cualquier valor de a. De ahí que el cero reciba el nombre'de elemento idéntico o módulo de la suma. MULTIPLICACION I. Axioma de uniformidad : el producto de dos números es siempre igual, es decir, único, así si a = b y c = d, tenemos que ac = bd. II. Axioma de conmutatividad : ab = ba. III. Axioma de asociatividad : (ab) c = a (bc). IV. Axioma de distributividad : con respecto a la suma tenemos que a (b + c) = ab + ac. V. Axioma de identidad, o módulo del producto : hay un número y sólo un número, el uno (1), de modo que a.1 = 1. a = a, para cualquier valor de a. VI. Axioma de existencia del inverso : para todo número real a 0 7~= (a distinto de cero) corresponde un número real, y sólo uno, x, de modo que ax = 1. Este número x se llama inverso o recíproco de a, y se representa por 1/a. AXIOMAS DE ORDEN I. Tricotomía : Si tenemos dos números reales a y b sólo puede haber una relación, y sólo una, entre ambos, que a > b ; a = b o a < b. Monotonía de la suma : si a > b tenemos que a + c > b + c. Monotonía de la multiplicación: si a > b y c > 0 tenemos que ac > bc.  NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO 0 33 AXIOMA DE CONTINUIDAD 1. Si tenemos dos conjuntos de números reales A y B, de modo que todo número de A es menor que cualquier número de B, existirá siempre un número real c con el que se verifique a :5 c :5 b, en que a es un número que está dentro del conjunto A, y b es un número que está dentro del conjunto B. ÜJ!'!-1 : :. !C. , ENT\LES CON LOS NUMEROS RELATIVOS SUMA DE NUMEROS RELATIVOS En la suma o adición de números relativos podemos considerar cuatro casos : sumar dos números positivos ; sumar dos números negativos ; sumar un positivo con otro negativo, y sumar el cero con un número positivo o negativo. I) de (lin nunii i~, lw i ion, Regla Para sumar dos números positivos se procede a la suma (+4)+(+2)=+6 aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo +. Así tenemos : Podemos representar la suma de dos números positivos del siguiente modo : +6 ---- T i +4- + 2 -~ -4 3 -1 0 +j +Y +3 +4 +5 i-6 +7 FIGURA 2 '') Suma de dos números negativos Regla Para sumar dos números negativos se procede a la suma (- 4) + (- 2) _ - 6 aritmética de los valores absolutos de ambos, y al resultado obtenido se le antepone el signo -. Así tctticmos :_ __ Podemos representar la suma de dos números negativos del siguiente nuxlo : A E- - 2 4 -7 -6 -S 4 -3 - 1 0 +1 2 13 +4 FIGURA 3 w~o~~ww u~oow. ~  ALGEBRA 340 3) Suma de un número positivo y otro negativo Regla Para sumar un número positivo y un número negativo (-i-6)+(-2)=+4 se procede a hallar la diferencia aritmética de los valores (-6)+(+2)=-4 absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo del número mayor. Cuando los dos núme- (-6)+(+6)=0 ros tienen igual valor absoluto y signos distintos la suma es (+6)+(-6)=0 cero. Así tenemos : Podemos representar la suma de un número positivo y otro negativo de los siguientes modos : Representación gráfica de la suma de un número positivo y un número negativo, en que el número positivo tiene mayor valor absoluto que el negativo : +6 3 +2 +3 +4 +5 i FIGURA 4 I Representación gráfica de la suma de un número positivo y un número negativo, en que el número negativo tiene mayor valor absoluto que el positivo : -- 6 , ' + 2---~ 4 i -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 FIGURA 5 1 1 Representación gráfica de la suma de un número positivo y un número negativo, en que el valor absoluto de ambos números es igual. 0 6 >, 6 6 -5 -4 -3 -2 -1 +3 -+4 +5 +6 +6 - 6-  M1 NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO 035 4) Suma clc ccrO y un tlt'uut-)o positivo o negativo Regla La suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos dará el mismo número positivo o negativo. (+4) +O= + 4 Así tenemos : (-4)+0=-4 En general : a +0 = 0 + a = a En que a puede ser positivo, negativo o nulo. SUSTRACCION DE NUMEROS RELATIVOS Llamamos opuesto de un número al mismo número con (+ m) + (- m) = 0 signo contrario. Así, decimos que - m es opuesto de + m. Ya vimos en un caso de la suma que : T La sustracción es una operación inversa de la suma que consiste en hallar un número x (llamado diferencia), tal que, x + m = n (1) sumado con un número dado m, dé un resultado igual a otro número n. de modo que se verifique : 1 Llamando m' al opuesto de m, podemos determinar la diferencia x, sumando en ambos miembros de la x + m + m' - - n + m' (2) igualdad (1), el número m' ; en efecto : Si observamos el primer miembro de esta igualdad (2), x = n + m' (3) veremos que aplicando el axioma de asociatividad tenemos : T rn + m' 0, y como x + 0 = x, tendremos : que es lo que queríamos demostrar, es decir, que para hallar la diferencia entre n y m basta sumarle a n el opuesto de m (m'). Y como hemos visto que para hallar el opuesto de un número basta cambiarle el signo, podemos enun- ciar la siguiente Regla Para hallar la diferencia entre dos nú- (+8)-(+4)=(+8)+(-4)=+4 meros relativos se suma al minuendo el sus- (+8)-(-4)=(+8)+(+4)=+12 traendo, cambiándole el signo. (-8)-(+4)=(-8)+(-4)=-12 Así : __1,111 (-8)-(-4)=(-8)+(+4)=-4 REPRESENTACION GRÁFICA DE LA SUSTRACCION DE NUMEROS RELATIVOS Por medio de la interpretación geométrica de la sustracción de números relativos, podemos expresar la distancia, en unidades, que hay entre el punto que representa al minuendo y el punto que representa al sustraendo, así como el sentido (negativo o positivo) de esa distancia.  ALGEBRA 36 Para expresar la diferencia (+ 4) - (- 8) = + 12, tendremos : r +12 -0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 FIGURA 7 Para expresar la diferencia (- 8) - (+ 4) _ - 12, tendremos : -12 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 MULTIPLICACION DE NUMEROS RELATIVOS Regla El producto de dos números relativos se halla multiplicando los valores absolutos de ambos. El producto hallado llevará signo positivo (+), si los signos de ambos factores son iguales ; llevará signo negativo (-), si los fac- tores tienen signos distintos. Si uno de los factores es 0 el producto será 0. Cuando operamos con símbolos literales (+2) (+3)=+6 (0) (+3)=0 el producto es siempre indicado, bien en la (-2) (-3)=+6 (0) (-3)=0 forma a x b ; bien en la forma a. b ; y más (+2) (-3)=-6 00=0 usualmente ab. (-2) (+3)=-6 Así : i El siguiente cuadro es un medio de re- + por + da + + por - da - cordar fácilmente la ley de los signos en la - por - da + - por + da - multiplicación de los números relativos. ,/' REPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO DE DOS NUMEROS RELATIVOS El producto de dos números relativos puede expresarse geométricamente como el área de un rectángulo cuyo largo y cuyo ancho vienen dados por ambos números. A esta área podemos atribuirle un valor positivo o negativo,  NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO 37 según que sus lados tengan valores de un mismo sentido o de sentidos dis- tintos respectivamente. A i 6 +2 +2 +6 -3 +3 3 +3 E +6 2 -6 v FIGURA 9 1 POTENCIA DE NUMERO$ RELATIVOS Llamamos potencia de un número relativo al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera. Si a es un número relativo cualquiera y n > 1 es un número ~a c natural, tendremos la notación a°, que se lee a elevado a la a°=a.a.a a enésima potencia. e indica que a debe tomarse como factor n veces. Así : En la notación al = x, llamamos potencia al producto x, base al número que tomamos como factor a, y exponente a n, que nos indica las veces que debemos tomar como factor a a. A la operación de hallar 45 = 1024 el producto x, la llamamos potenciación o elevación a potencia. Ejemplo : En este ejemplo, 4 es la base ; 5 es el exponente, y 1024 es la potencia. Regla La potencia de un número positivo siempre es positiva. La po tencia de un número negativo será positiva si el exponente es entero y par : negativa si cl exponente entero es impar. Así :  ALGEBRA 380 PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE Regla Para multiplicar dos potencias de igual base, am. a n = a m+n se eleva dicha base a la potencia que resulte de la (3)2 (3) 4 = 32+4 = 3 0 = 729 suma de los exponentes respectivos. Ejemplo : POTENCIA DE UNA POTENCIA Regla Para hallar la potencia de una potencia se mul- (all)"' = a rum = an- tiplican los exponentes y se mantiene la base primi- 22)3 = -2 2x3 =-2 6 -64 tiva.. Ejemplo : Hay que poner especial cuidado en no confun- (42)8 = 42x8 = 4 0 = 4096 dir la potencia de una potencia, con la elevación de un número a una potencia cuyo exponente, a la vez (423 ) = 42x2.2 = 4 8 = 65536 esté afectado por otro exponente. Así, no es lo mismo (4 2) 3 que (423 ). Ejemplo : %` DIVISION DE NUMEROS RELATIVOS Ya vimos, al tratar de las leyes formales de la multiplicación, que de acuerdo con el axioma VI (existencia del inverso), a todo número real a # 0, corresponde un número real, y sólo uno, x, de modo que ax = 1 : Este nú- mero x se llama inverso o recíproco de a, y se representa por 1/a. El inverso de -f 4 es + 41 El inverso o recíproco de un número rela- El inverso de - 4 es --1., ' tivo cualquiera distinto de cero tiene su mismo signo. El inverso de - 4e es ,3 El inverso de + 1 es + 2 La división es una operación inversa de la multiplicación que consiste en hallar uno de los factores, conocidos el otro factor y el producto. Es decir, dado el dividendo d y el divisor d' hallar el cociente c, de ¡nodo que se ve- rifique d'c = d. Recordamos que esta operación sólo es posible si d' es distinto de cero. Aplicando el axioma de existencia del inverso, tenemos que : 1/d' (d'c) = 1/d' d Sabemos que : 1/d' (d'c) = (1/d' d') c = (+ 1) c = c Eliminando queda : c = 1/d' d De lo cual deducimos la siguiente Regla Para dividir un número cualquiera d por otro número distinto de cero d', multiplicamos d por el recíproco d' (1/d'). El cociente que resulte será positivo si los dos números son del mismo signo ; y negativo, si son de signos contrarios. + entre + (la + Con el siguiente cuadro podemos recordar fácilmente la - entre - (la + ley de los signos de la división con números relativos. / + entre - da - - entre + (la -  NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO 0 39 Ahora que estudiamos la división, podemos enunciar tres casos de la elevación a potencia de un número cualquiera. a° =+1 1) Si un número cualquiera a=91=0, se / 30 =+1 eleva a la potencia 0 es igual a + 1. Así : 2) Si un número cualquiera a =A0, se eleva a un exponente - am1 negativo cualquiera -7n es igual al recíproco de la potencia a l", de a exponente positivo. Así : 3-2 = 1 1 9 32 3) La división de dos potencias de igual base es igual a- -= am -n a la base elevada a la potencia que dé la diferencia de ambos an exponentes. Así : --- 3 4 =34-2 =3 2 =9 32 UNIFORMIDAD DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS RELATIVOS Hemos visto en las operaciones estudiadas, a saber : suma, resta, multipli- cación, potenciación y división, que se cumple en todas ellas el axioma (le uniformidad. Quiere esto significar que cuando someternos dos números rela- tivos a cualquiera de las operaciones mencionadas, el resultado es uno, y sólo uno, es decir, único. Sin embargo, cuando extraemos la raíz cuadrada de un número positivo, tenemos un resultado doble. Pues como veremos, al estudiar la extracción (le las raíces, un número positivo cualquiera siempre tiene dos raíces de grado par,una positiva y otra negativa. Así : f+aa = --* a' porque : (+ a') 2 = (+ a') (+ a') = + a (-a')2=(- a') (- a') = + a del mismo modo : \/+ 64 = ± 8 porque : (+ 8) 2 = (+ 8) (+ 8) = + 64 (- 8) 2 = 1- 8) (- 8) = + 64 POSIBILIDAD DE AMPLIAR EL CAMPO NUMERICO Los números reales no cierran la posibilidad de ampliación del campo numérico. Tal posibilidad se mantiene abierta para la introducción de nuevos entes, siempre que tales entes cumplan las leyes formales. Dentro de los límites de este texto, el estudiante todavía se enfrentará con una nueva ampliación del campo numérico. Se trata del número complejo, que es un par de números dados en un orden determinado y que está constituido por un número real y un número imaginario, Con estos números podremos representar un punto cualquiera en el plano. En el capítulo XXXII se presentará una discusión amplia sobre estos números. EL ALC,EBRA EN EL ANTIGUO EGIPTO (5,000-500 los llevaron a perfeccionar la Aritmética y la Geome- A. C.) En Egipto, maravilloso pueblo de faraones y tría. En el papiro de Rhind, debido al escriba Ahmes pirámides, encontramos los primeros vestigios del de- (1650 A. C.), el más valioso y antiguo documento sarrollo de una ciencia matemática. Sus exigencias vi- matemático que existe, se presentan entre múltiples tales, sujetas a las periódicas inundaciones del Nilo, problemas, soluciones de ecuaciones de segundo grado, CAPITULO SUMA 33 LA SUMA O ADICION es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última expresión es la reu- nión de las dos expresiones algebraicas dadas : a y b. La suma de a y - b es a - b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas : a y - h. CARÁCTER GENERAL DE LA SUMA ALGEBRAICA En Aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en Algebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o dis- n>linución, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que equivale a una resta en Aritmética. Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una cantidad positiva de igual valor absoluto. Así, la suma de m y - n es m - n, que equivale a restar de m el valor absoluto de - n que es ¡ni. La suma de - 2x y - 3y es - 2x - 3y, que equivale a restar de - 2x el valor absoluto de - 3y que es 13yJ. 40  SUMA 41 35 REGLA GENERAL PARA SUMAR Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a con- tinuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos se- mejantes si los hay. I. SUMA DE MONOMIOS 1) Sumar 5a, 6b y 8c. Los escribimos unos a continuación de otros con sus 5a + 6b + 8c. R. propios signos, y como 5a=+5a, 6b=+6b y 8c=+8c la suma será : í El orden de los sumandos no altera la suma. Así, 5a + (ib + 8c es lo mismo que 5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a. Esta es la Ley Conmutativa de la suma. 2) Sumar 3a2 b, 4ab 2 , a 2 b, 7ab 2 y 6b 3. Tendremos : 3a'-'b + 4ab 2 + a 2 b + 7ab 2 + 6b 3. Reduciendo los términos 4a 2 b + llab 2 + 6b 3. R. semejantes, queda : - 3) Sumar 3a y - 2b. Cuando algún sumando es negativo, suele incluirse 3a + (- 2b) dentro de un paréntesis para indicar la suma ; así :. La suma será: - `3a 2b R 4) Suma 7a, - 8b, - 15a, 9b, - 4c y 8. Tendremos : 7a+(-8b)+(-15a)+9b+(-4c.)+8=7a-8b-15a+9b-4c+8=-8a+b-4c+8. R. 5) Sumar ?dl, tab, -2b', - 8ab, 3a 2 , - g b 2. 23 a2 + lab 2 + (- 2b 2 ) + (- 3i ab) +!a :S 2 + (- $2 S b ) z = a 2 + - ab - 21)* - áab + 3a" - -b2 = a 2 - áab - g b 2. R. f EJERCICIO 15 Sumar : 1. m, n. 11. -11 m, 8m. 18. - lx y , - 2 x y. 24. a, -b, 2c. 2. m, -n. 12. 9ab, -15ab. 25. 3m, -2n, 4p. 3. -3a, 4b. 13. -xy, -9xy. 19. - sabc, - sabc. 26. a 2, - 7ab, -5b 2. 4. 5b, -6a. inn, -llmn. 27. X2, -3xy, -4y2. 14. 5. 7, -6. 20. -4x 2y, sx2 y. 28. X3, -x 2 y, 6. 1 2 za,- 6. -6, 9. 15. ab. 3 8 29. 2a, -b, 3a. 7. -2x, 3y. á 21. -mn, --inn. 30. -in, -8n, 4n. s -c. x 4 8. 5mn, -m. 16. -b, a, b, c. 31. -7a ; 8a, -b- 22. 9. 5a, 7a. 1 2 8 a, - b, c. 10. -8x, -5x. 17. 3 b, s b. 23. 32. 2_x, $y, - 4x.  420 ALGEBRA s 2 m3 , -4m2n, 5m3, -7mn 2, - 4m 2 n, -5m 3. 33. - á n, -m, - $mn. 42. 43. 9x, -11y, -x, -6y, 4z, -6z. 34. -7a 2, 5ab, 3b 2 , -a2. 44. 5 2, -7b2, - 11, -5ab, 9a 2 , -8b 2. 35. -7mn2, -5m, 17mn2, - 4m. 45. -x2y 2, - 5xy 8 , -4y4, 7xy 3 , - 8, x2y2. 36. _x 8, -8x2y, 5, -7x 8 , 4x 2 y. 3a, b, -4, -b, - 46. ' 2a, 6. 37. 5x2, 9xy, -6xy, 7y2, -x2. sx2, 8 xy, 8 1 2 6 1 8 6 -8a2 b, 5ab 2, -a2 b, -11ab 2 , -7b 8. y2, - $ xy, A x2, - 6 y2 38. 47.. 39. m8, -8m2n, 7mn2, -n 8, 7m 2n. 48. 5a x, -6a x + 1 , 8a x +l, 5ax + 1 , -5a x. + 2 , ax X2, - xy, 40. l,a, 2 8 b, - 4 42 a, 16 b, -6. 49. á ~2, - 3x y , x 2, 5y 2. a, -3b, -8c, 4b, =a, 8c. i 41. 50. $a2 b, 4 1ab 2 2 , - 4 a2b, 1 2 ab 2 , alb, - - 66 ab 2. II. SUMA DE POLINOMIOS 1) Sumar a-b, 2a+3b-c y -4a+5b. La suma suele indicarse incluyendo (a - b) + (2a + 3b - c) + (- 4a + 5b). los sumandos dentro de paréntesis ; así : % Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a conti- nuación de otros con sus propios signos, y tendremos : a-b+2a+3b-c-4a+5b=-a+7b-c. R. En la práctica, suelen colocase los polinomios unos debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columna ; se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos. a- b Así, la suma anterior 2a + 3b - c se verifica de esta manera : / - 4a + 5b - a+7b-c. R. 2) Sumar 3m-2n+4, 6n + 4p - 5, 8n-6 y m-n-4p. Tendremos : 3m - 2n + 4 6n+4p-5 8n - 6 m- n-4p 4m+11n -7. R. 36 PRUEBA DE LA SUMA POR EL VALOR NUMERICO Se halla el valor numérico de los sumandos y de la suma para los mis- mos valores, que fijamos nosotros, de las letras. Si la operación está co- rrecta, la suma algebraica de los valores numéricos de los sumandos debe ser igual al valor numérico de la suma.  SUMA 43 Ejemplo Sumar 8a - 3b + 5c - d, - 2b + c - 4d y - 3a + Sb - c y probar el resultado por el valor numérico para a = 1, b = 2, c = 3, d = 4. Tendremos : 8a - 3b + 5c - d = 8 - 6+15- 4 = 13 -2b+ c-4d= - 4+ 3-16= -- 17 -3a+5b- c =-3+10- 3 = 4 Sa +5c-5d 5 +15-20= 0 La suma de los valores numéricos de los sumandos 13 - 17 + 4 = 0, igual que el va- lor numérico de la suma que también es cero. I> EJERCICIO 16 Hallar la suma de : 1. 3a+2b-c ; 2a+3b+c. 7. -7x-4y+6z ; 10x-20y-8z ; -5x+24y+2z. 2. 7a-4b+5c ; -7a+4b-6c. 8. -2m+3n-6 ; 3m-8n+8 ; -5m+n-10. 3. ni+n-p ; -m-n+p. 9. -5a-2b --3c ; 7a-3b+5c ; -8a+5b-3c. 4. 9x-3y+5 : -x-y+4 ; -5x+4y-9. 10. ab+bc+cd; -Sab-3bc-3cd ; 5ab+2bc+2cd. 5. a+b-c ; 2a+2b-2c ; -3a-b+3c. 11. ax-ay-az ; -5ax-7ay-6az ; 4ax+9ay+8az. 6. p+q+r ; -2p-Gq+3r ; p+5q-8r. 12. 5x-7y+8 ; -y+6-4x ; 9-3x+8y. 13. -am+6mn-4s ; 6s-am-5mn ; -2s-5nzn+3am. 14. 2a+3b ; 6b-4c ; -a+8c. 15. 6m-3n ; -4n+5p ; -m-5p. 16. 2a+3b ; 5c-4 ; 8a+6 ;. 7c-9. 17. 2x-3y ; 5z+9 ; Gx-4 ; 3y-5. 18. 8a+3b-c ; 5a-b+c ; -a-b-c ; 7a-b+4c. 19. 7x+2y-4 ; 9y-6z+5 ; -y+3z-6 ; -5+8x-3y. 20. -m-n-p ; m+2n-5; 3p-Grn+4 ; 2n+5m-8. 21. 5a' -3am-7a " ; -8a x +5a°'-9an ; -11ax+5am+16a °. 22. (inz a + 1 -7ma+ 2 -5nz a+3. 4ma +' -7m a + 2 -7n a + 3 ; -5m''+ 1 +3ma+ 2 -I-12ma+a 23. Sx+y+z+u ; -3x-4y 2z+3u ; 4x+5y+3z-4u ; -9x-y+z+2u. 24. a+b-c+d ; a-b+c-d ; -2a+3b-2c+d ; -3a-3b+4c-d. 25. 5ab-3bc+4cd ; 2bc+2cd-3de ; 4bc-2ab+3de ; -3bc-6cd-ab. 26. a-b ; b-c ; c+d ; a-c ; c-d ; d-a ; a-d. 3) Sumar 3x 2 - 4xy + y2, - 5xy + 6x 2 - 3y 2 y - 6y 2 - Sxy - 9x 2. Si los polinomios que se suman pueden ordenarse con relación a una letra, deben ordenarse todos con relación a una misma letra antes de sumar. 3x 2 - 4xy + y2 Así, en este caso vamos a ordenar en orden 6x 2 - 5xy - 3y 2 descendente con relación a x y tendremos : /11 - 9x 2 - 8xy - 6y2 -17xy - 8y2. R.  44 ALGEBRA 4) Sumar a3b - b4 + ab3, - 2a-b2 + 4ab 3 + 2b 4 y 5a3 b - 4ab 3 - 6a2b2 - b' - 6. a3b + ab 3 - b4 Ordenando con relación a la a - 2a2b2 + 4ab 3 + 2b 4 se tiene : y 5a3b - 6a.'-b 2 - 4ab 3 - b4-6 6a3b - 8a2b 2 + ab 3 - 6. R. I> EJERCICIO 17 Hallar la suma de: 1. x2 +4x ; -5x+x 2. 8. 3x+x 3 ; -4x 2+5 ; -x 3 +4x 2 -6. 2. a 2 +ab ; -2ab+b 2. 9. x 2-3xy+y 2; -2y 2 +3xy-x 2 ; x 2+3xy-y 2. 3. x3+2x ; -x 2+4. 10. a2-3ab+b 2; -5ab+a 2-b 2; 8ab-b 2-2a2. 4. a4-3a2 ; a 3+4a. 11. -7x 2+5x-6 ; 8x-9+4x 2; -7x+14-x 2. 5. -x 2+3x ; x3 +6. 12. a3-4a+5 ;'a 3-2a2 +6 ; a2 -7a+4. 6. X 2 -4x ; -7x+6 ; 3x 2 -5. 13. -x 2 +x-6 ; X3-7X2+5 ; -X3+ 8x-5. 7. m2 +n 2; -3mn+4n 2; -5m2-5n 2. 14. a3-b 3; 5a 2 b-4ab 2 ; a 3-7ab 2-b 3. 15. x3+xy 2 +y3; -5x 2y+x 3-y3; 2x 3-4xy2-5 y3. 16. -7m 2 n+4n 8; m 3 +6mn 2-n 3; -m3+7m 2 n+5n 3. 17. x4-x 2 +x ; x 3-4x 2 +5 ; 7x 2 -4x+6. 18. a4+ae+6 ; a 5-3a 3+8 ; as-0-14- 19. xs+x-9 ; 3x 4-7x 2 +6 ; -3x 3-4x+5. 20. a3 +a ; a2 +5 ; 7a 2 +4a ; -8a 2 -6. 21. x4-x 2y 2; -5x 8y+6xy 3; -4xy3 +y 4; -4x 2y2-6. 22. xy+x 2 ; -7y 2+4xy-x 2 ; 5y2-x 2+6xy ; -6x2-4xy+y 2. 23. a3 -8ax2+x3; 5a2x-6ax 2-x 3; 3a3 -5a 2x-x 3 ; a 3+14ax 2-x3. 24. -8a2m+6am2-m3; a 3 -5am 2+m3; -4a 3+4a 2m-3am2 ; 7a2m-4am 2-6. 25. x5 -x3y 2-xy 4 ; 2x 4y+3x2 y 3-y 5 ; 3x3y2-4xy4 -y 5 ; x 5+5xy4+2y 5. 26. a &+ae+a 2 ; a 4+a 3+6 ; 3a 2+5a-8 ; -a 5-4a2-5a+6. 27. a4 -b 4 ; -a3b+a 2b2-ab 3 ; -3a 4+5a 3b-4a2b2 ; -4a 3b+3a2b2-3b4. 28. m3-n3+6m2n; -4m 2n+5mn2+n3; m 3-n 3+6mn 2; -2m3-2m 2n+n3. 29. ax-3az -2; 5a x-1 +6az-3 ; 7ax-3+a x-4 ; ax-1 -13ax-3. 30. ax + 2 -ax+ax +' ; -3a x + 3 -a x-l +a:-2 ; --ax+4ax+3-5ax+2 ; a x-l- ax-2+ax+2 37 SUMA DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS 1) Sumar x 8 + 2y3 -5 x2y + 3, - ó x2y + 4 xy2 - 3 y 3, - 2 y 3 + x y 2 - 5. á Tendremos : 3x 3 - 2x2y + 2y8 + 3 lox2y + xy 2 _ 9y3 á _x y2 - Zy3 - 5 áx3- á x2y + -xy2 +14y8 -2. R.  SUMA 0 45 f EJERCICIO 18 Hallar la suma de : 1. ;X 2 + 3xy ; 2xy + ly 2. a 2 + zab ; - 41 ab + 2 b 2 ; - 41-ab --b 2. 3. X2 + 2 xy ; - áxy + y2 ; - áxy + 3y 2. 4. 4 x 2 -2y 2 ; - 2xy+é y2 ; óxy+ 1 y 2. 5. -a2 3 +lab-1b 5 2 2 ; 66 a 2 - l b2 10 ab+ l6 ; - -a 121 2 + lab-'b 20 3 2. 6. 0 x 2- 3y2 +4xy ; -1xy-8X2 +$y 2 ; _ xy-3X 2 +4y2. 7. a3 - -2 ab2 + b3 ; 56 a2 b - -ab8 2 - 2b 3 ; -'a--" 4 - -alb 2 - -ba. 5 2 3 3 3 8. X'-x2+5 ; 3X3- 8x - 3 ; - Jx 4 + -5~ x3- * X. 2 n3 ; 9. 3m 3 -4ndn2 + Qrn 2n+8mn 2 --n 3 ; m 3 - 2 n - n3. 10. x4 + 2x 2y 2 +=y 4 ; -ex' + ñx 2y 2 -áxy~' - 4 ; --x 3y - ax 2 y 2 + -y 4. - -x ; - x3 11. xs - -x 3 3+5 - 3x 5 + Ax2 -1 x - -x 4 + 6 - --x 3 8 10 ; 3 4 2 ; --x 12 + -X- 5 4. 2 5 2 1 3' 3 2 7 2 1 1 2 1 2 12. n aa +~ax - 3 x4, - _ a 3 + 2 a x - 4 ax. - 7 a x - 8 ax - 63 13. a 6 -a4 +a2 ; 8a5 - 3 a3 - 1 a ; - 3 a4 - 5 a 2 +6 ; -Aa-6. 5 8 2 7 8 8 1.4. x - y5 ; óxay2-4xy4-áy5 ; 5x 4y-ex 2y3 -á y5; 2x 4 y-á x 3y2 -y á 5. E> EJERCICIO 19 Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a=2, b=3, c=10, x=5, y=4, m= 2, n= 9. 1. 4x-5y ; -3x+6y-8 ; -x+y. 2. x 2 -5x+8 ; -x 2 +10x-30 ; -6x 2 +5x-50. 3. x 4 -y 4 ; - 5x 2y 2 -8+2x 4 ; - 4x 4 +7x 3 y+10xy 3. 4. 3m-5n+6 ; -6m+8-20n ; -20n+12m-12. 5. nx+cn-ab ; -ab+8nx-2cn ; -ab+nx-5. 6. a3 +b 3 ; -3a2 b+8ab 2 -b 3 ; -5a 3 -6ab 2 +8 ; 3a2 b-2b 3. 7. 27m 3 +125n 3 ; - 9m : n+25mn- ; -14mn 2 -8 ; 11mn 2 +10m 2 n. 8. xe-l+yb-2+mz-4 ; 2xa -1- 2y b-2 - 2 mz-4. 3y'' 2 -2nzx-4. 9. n 1-1 -mx -3 +8 ; -5n " -3m x-3 +10 ; 4n " +5mc -3 -18. lo. x 3y-xy 3 +5 ; x 4 -x 2 y 2 +5x 3y-6 ; -6xy 3 +x 2y 2 +2 ; -y4 +3xy 3 +1. s 11. 9a2+ b2 ; - 3ab+ 9 b 2 ; -6ab- b 2. 3 12. 7m 2 + g n2- a ; - 15mn+ 2 ; ° n 2 + 34m2- ; - n12-30nzn+3. 4 á 8 a b2 3 13. 1 b2m- cn-2 ; 2 5 4 m+6- 1cn ]0 ; - 141 b 2m+ 1 25 cn+4 ; 2cn+ 5 - 18 b 2 m. 14. 0.2aá+0.4ab=-0.5a2 b ; -0.8b 3 +0.6ab 2-0.3a 2 b ; -0.4a 3 +6-0.8a 2 b ; 0.20 +0.9b 3+1.5a 2b. EL CALCULO EN CALDEA Y ASIRIA (5,000-500) tiempo (1930), figuran operaciones algebraicas coc A. C.). No ha sido sino recientemente que se ha ecuaciones de segundo grado y tablas de potencias puesto de manifiesto la enorme contribución de los que requieren un dominio de la matemática elemen- cuidaos, asirios y babilonios al acervo matemático de tal, pero no supone esto que los caldeos tuvieran la Humanidad. En tablillas descifradas hace muy poco toda una concepción abstracta de las matemáticas. CAPITULO 11 RESTA 38 LA RESTA O SUSTRACCION es una operación que tiene por obje- to, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sus- traendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la dife- rencia tiene que ser el minuendo. Si de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será a- b. En efecto : a- b será la diferencia si sumada con el sustraendo b reproduce el minuendo a, y en efecto : a - b + b = a. 39 REGLA GENERAL PARA RESTAR Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay. I. RESTA DE MONOMIOS 1) De - 4 restar 7. Escribimos el minuendo - 4 con su propio signo -4-7=-11. R. y a continuación el sustraendo 7 con el signo cambiado y la resta será : En efecto : - 11 es la diferencia porque sumada -11 + 7 = -4. con el sustraendo 7 reproduce el minuendo -4 : 46  RESTA 47 2) Restar 4b de 2a. Escribirnos el minuendo 2a con su signo y a continua- 2a-4b. R. ción el sustraendo 4b con el signo cambiado y la resta será : En efecto: 2a-4b es la diferencia, porque su- 2a - 4b + 4b = 2a. ¡nada con el sustraendo 4b reproduce el minuendo :__ / 3) Restar 4a2 b de - 5a 2 b. Escribo el minuendo - 5a 2 b y -5az b -4a z b = - 9az b. R. a continuación el sustraendo 4a 2b con el signo cambiado y tengo : % - 9azb es la diferencia, porque sumada con -9a2b + 4a2 b = - 5a 2b. el sustraendo 4(¿zb reproduce el minuendo : 4) De 7 restar - 4. Cuando el sustraendo es negativo suele incluirse den- tro (le r-rn paréntesis para indicar la operación, de este mo- 7- (- 4)=7+4=11. R. do distinguimos el signo - que indica la resta del signo - que señala el carácter negativo del sustraendo. Así : ' El signo - delante del paréntesis está para indicar la resta y este sig- no no tiene más objeto que decirnos, de acuerdo con la regla general para restar, que debemos cambiar el signo al sustraendo - 4. Por eso - a conti- nuación del minncmlo 7 escribimos +4. 5) De 7x3y' restar - 8x 3 1ia Tendremos : 7x3 y 4 - (- 8x 3y 4) = 7x3 y' + 8x3 y 4 =15x 3 y'. R. 6) De - i ab restar - i ab. Tendremos : -1 ab - (-1 ab) = - ab + 1 ab = ab. R. CARÁCTER GENERAL DE LA RESTA ALGEBRAICA En Aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la resta algebraica tiene un carácter más general, pues puede significar dis- minución o aumento. Hay restas algebraicas, como las de los ejemplos 4 y 5 anteriores, en que la diferencia es mayor que el minuendo. Los ejemplos 4, 5 y 6 nos dicen que restar una cantidad negativa equi- vale a sumar la misma cantidad positiva. EJERCICIO 20 De : 1. -8 restar 5. 6. 2a restar 3b. 11. -9a 2 restar 5b 2. 2. -7 „ 4. 7. 3b „ 2. 12. -7xy „ -5yz. 3. 8 „ 11. 8. 4x „ 6b. 13. 3a „ 4a. 4. -8 -11. 9. -5a 6b. 14. 11 m 2 „ 2,5 m2 5. -1 11 -9. 10. -8x „ -3. 15. -6x 2y 11 -x zy.  ALGEBRA 48 16. 11a 3 m2 restar -7a 3 m 2. 22. 6a° restar -5a". 27. - 2 restar 3 3 4 17. -8ab 2 „ -8ab 2. 23. -45ax -1 „ -60a x-1. 1 „ 2 18. 31x 2y -46x-'y. 28 --x - --x 2. 24. 54bn-1 „ - 86 b o-1 3 3 19. -84a 2 b -84a 2 b 11 26. -35m" ,. -60m". 29. 4 x3y „ _ 5x 3y, 20. 3ax+ 1 „ 5bx , 2. 1 21. -8xa+ 2 „ 11. 26. 5 „ 30. _ Iab 2 - 3 ab 2. 8 4 Restar 31. 3 de -2. 43. -a de 3a. 55. 54a' + 2 de -85ax + 2_ 32 -1 „ 7. 44. -3b „ -4b. 1 33. -5 -8. 45. -11x 3 54x 3. 56. -6a „ „ 34. -4 „ 5. 46. 14a2 b 78a 2 b. 35. -7 47. -43a-y - 2 „ -7. „ -54a 2y. 57. -5 -3. 36. -5 2a. 48. 9ab „ -ab. 37. b ,. -3x. 49. -31x 2y -31 x 2y. 7 58. g nl a 38. 5m „ -2n. 50. ax „ -3ax. - „ -m3. 10 39. -6a 11 3b. 51. -7ax+ 1 11 31 lax I1. s 40. -5a3 „ 8b. 52. !)mx „ 105W 59. -1-a 2b2 „ -a'-6 2. 12 u 41. -9 „ -7a. 53. 18ax -1 „ -31ax -1. 42. -25 „ 25ab. -236 ?0. 60. 45a 3 b 2 54. -19m „ n a3b2. 1 21 II. RESTA DE POLINOMIOS 41 Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos. Ejemplos (1) De 4x - 3y + z restar 2x +5z-6. La sustracción se indica incluyendo el sustraen- 4x - 3y + z - (2x + Sz - 6). do en un paréntesis precedido del signo -, así : Ahora, dejamos el minuendo con sus propios sig- nos y a continuación escribimos el sustraendo 4x - 3y + z - 2x - 5z + 6. cambiándole el signo a todos sus términos y ten- dremos : Reduciendo los términos semejantes, tendremos : , 2x-3y-4z+6. R. En la práctica suele escribirse el sustraendo con sus signos cambiados deba- jo del minuendo, de modo que los términos semejantes queden en columna y se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos. 4x-3y+ z Así, la resta anterior se verifica de esta manera : ---' - 2x - 5z + 6 2x-3y-4z+6. R.  RESTA 49 PRUEBA La diferencia sumada con el sustraendo debe dar el minuendo. En el ejemplo anterior, sumando la dife- 2x-3y-4z+6 rencia 2x - 3y - 4z + 6 con el sustraen- 2x +5z-6 do 2x + 5z - 6, tendremos : 4x-3y+ z (minuendo). (2) Restar - 4a 5 b - ab 5 + 6a 3b 3 - a"b 4 - 3b° de 804 b2 + a° - 4a"b' + 6ab '. Al escribir el sustraendo, con sus signos cambiados, debajo del minuendo, deben ordenarse ambos con relación a una misma letra. Así, en este caso, ordenan- a° + 8a 4 b 2 - 4a2 b 4 + 6ab 5 do en orden descendente + 4a 5'b - 6a 3b3 + a2 b 4 + ab 5 + 3be con relación a la a ten- o 6 + 4a-_'b + 8a 4 b 2 -6a 3b3 - 3a2 b 4 + 7ab 5 + 3b°. R. dremos :---- la diferencia suma- a 6 + 4a 5 b + 8a4 b 2 - 6a 3 b 3 - 3a 2b4 + 7ab5 + 3be da con el sustraen- - 4a-'b + 6a 3b3 - a 2 b 4 - ab 5 - 3b° do, debe darnos el minuendo : ae + 8a''b2 - 4a2 b 4 + 6ab 5 (minuendo). (3) Restar - 8a 2 x + 6 - 5ax 2 - x3 de 7a 3 + 8a 2x + 7ax'` - 4 y probar el resul- tado por el valor numérico. 7ax2 + 8a 2 x + 7a 3 - 4 Efectuemos la resta ordenando con relación x8 + 5ax2 + 8a 2x - 6 a la x : x3 + 12ax2 + 16a 2 x +7a 3 _10. R. La prueba del valor numérico se efectúa hallando el valor numérico del mi- nuendo, del sustraendo con los signos cambiados y de la diferencia para un mismo valor de las letras (el valor de cada letra lo escogemos nosotros). Reduciendo el valor numérico de minuendo y sustraendo con el signo cam- biado, debe darnos el valor numérico de la diferencia. Así, en el ejemplo 7ax 2 + 8a 2x + 7a3 - 4 = 28 + 16 + 7 - 4 = 47 anterior para a=1, x 3 + 5ax 2 + 8a2 x -. 6 = 8 + 20 + 16 - 6 = 38 x = 2, tendremos : x 3 +12ax 2 +16a"x+7a 3 -10 = 8+48+32+7-10=85 M> EJERCICIO 21 De : 1. a-I-b restar a-b. 9. x 3 -x2 +6 restar 5x'2 -4x+6. 2x-3y restar -x+2y. 10. y2 +6y :1 -8 restar 2y'-3y-+6y. 2. 3. 8a+b restar -3a+4. 11. a :'--6ah2 +9a restar 15a 2 b-8a+5. 4. x 2 -3x restar -5x+6. 12. x 4 +9xy 3 -11y 4 restar -Sx 3 y-6x 2y"+20y 4. 5. a 3 -a'-'b restar 7a 2 b+9ab 2. 13. a+b+c-d restar -a-b+c-d. 6. x- y +z restar x- y +z. 14. ab+2ac-3cd-5de restar -4ac+8ab-5cd+5de. 7. x+y-z restar -x-y+z. 15. x 3 -9x+6x 2 -19 restar -11X2 +21x-43+6X 3. 8. x2+y2 -3xy restar -y 2 +3x 2 -4xy. 16. y 9y :1 +6y 2 -31 restar -lly 4 +31y 3 -8y2-19y. 17. 5na 3 -9n 3 +6m"n-8mn" restar 14mn'=-21rn 2 n+5m 3 -18. 18. 4x 3y-19xy 3 +y 4 -6x 2 y 2 restar -x 4 -51xy 3 -I-32x 2 y 2 -2.5x 3 y. 19. m"+m 4 n 2 -9m'n 4 +19 restar -131n :In 3 +16rnn 5 -3Um 2 n 4 -61. 20. -a 5 b+6a 3 b 3 -18ab 5 +42 restar -Sa°+9b°-11a 4 b 2 -11a 2 b 4.  50 ALGEBRA 21. 1-x 2 +x 4 -x 3 +3x-6x 5 restar -xe+8x 4 -30x 2 +15x-24. 22. -6x 2 y 3 +8x 5 -23x 4 y+80x 3y 2 -18 restar -y 5 +9xy 4 +80-21x 3 y 2 -51x 4y. 23. M6-8M4n 2 +21m 2 n4 +8-6mn 5 restar -23m 5 n+14m 8 n 3 -24mn 5 +8ne-14. 24. x'-8x+16x 5 -23x 2 -15 restar -8x 8 +25x'-30x 3 +51x-18. 25. 9an-15a 4 b 2 +31a2 ó 4 -b 6 +14 restar 25a 5 b-15a 4b 2 +53a 3 b 3 -9ab 5+3b 6. 26. a x +ax+l-ax. 2 restar 5ax-6ax+l-ax + 2. 27. m a- ma- l+3mw -2 restar 3ma+ 1 -4ma+5m9 --2 -l-8ma-3. 28. am + 4 -7a m+L- 8a m +6am-1 restar -5a m + 3 -14am+ 2-lla'°+ 1 -8am -1 , 29. xa+ 2 -7x a +9xn -1 +25xa -2 restar -11x 41 +19x5+45xx -1 +60xa-3. 30. mn +1- 6mn-2 +8mn -3 -19mn -5 restar Sin o+5mo -2 4-bel 3 +m n-4 +9m i-5. f EJERCICIO 22 Restar : 1. a-b de b-a. 1 1. m 2 -n2 -3mn de -5m 2 -n 2 +6mn. 2. x-y de 2x+3 y. 12. -x 3 -x+6 de -8x 2 +5x-4 3. -5a+b de -7a+5. 13. m 3 +14m 2 +99 de 14m2 -8n+16. 4. x 2 -5x de -x 2 +6. 14. ab-bc+6cd de 8ab+5bc+6cd. 5. x 3 -xy 2 de x 2y+5xy 2. 15. 25a 2 b-8ab 2 -b 3 de a-1 -9a-"b-b 3. 6. 6a 2 b-8a 3 de 7a 2 b+5ab 2. 16. xy2-6y3+4 de 6x 3 -8x 2y-6xy 2. 7. a-b+2c de -a+2b-3c. 17. m 2 +7n-8c+d de m 2 -9n+llc+14. 8. m-n+p de -3n+4m+5p. 18. 7a 3 b+5ab :I-8a 2 b 2 +b 4 de 5a 4 +9a " b-40ab 3 +6b 4. 9. -x+y-z de x+3y-6z. 19. 6x 3 -9x+6x 2 -7 de xs-8x 4 +25x 2 +15. lo. 3a 2 +ab-6b 2 de -5b 2 +8ab+a 2. 2 0. x 5 -x 2y 3 +6xy 4 +25y 5 de -3xy 4 -8x 3y 2 -19y 5 +18. 21. 25x+25x 3 -18x 2 -11x 5 -46 de X 3- 6x 4 +8X 2 -9+15X. 22. 8a 4 b+a 3 b 2 - 15a2 b 3 -45ab 4 -8 de a 5 -26a 3 b 2 +8ab 4 -b5 +6. 23. 23y 3 +8y 4 -15y 5 -8y-5 de y'° +y 3 +y 2 + 9. 24. 7x 7 +5x 5 -23x 3 +51x+36 de x 8 -x 6 +3x 4 -5x 2 -9. 25. y7 -60x 4 y 3 +90x3y 4 -50xye-x2y 5 de x7 -3x 5 y 2+35x 4 y 3-8x2y 5+60. 26. ax +2-5ax + 1 -6a x de a-3-8a-1-5. 27. Sa n-1 +5an-2 +7an+an-3 de -8an+l6a '+15a 2+ a n-3. 28. 31xa+ 1 - 9x ° + 2 -x a + 4 -18xx-1 de 15x°+ 3 +5xa +2- 6xa+41xa -1. 29. l2am -2 -5a m-l- a n' - Sa m 4 de 9a m-1 -2lao -2 +26ao-3 +14am -5. 30. -mx+ 4 -6m x+1- 23m x-2 -in x-1 de -15mx 1 ;'+5Ornx+ 1 -14mx-6mx-1 +8mx-2. 1 (4) De 1 restar x 2 +x+5. -5-x-x 2 -4-x-x 2. R. x2 +x+5 El sustraendo x 2 + x + 5 sumado con la di- -x 2 -x-4 ferencia -- 4 - x - x2 nos da el minuendo : - 1 (minuendo). ( 5) Restar 9ab 3 - 11 a 3 b + 8a 2 b 2 - b4 de a' - 1. Tendremos : a4 - 1 lla 3 b - 8a 2b2 - 9ab 3 + b4 a 4 + lla 3 b - 8a2 b 2 - 9ab8 + b4- 1. R.. f EJERCICIO 23 De : 1. 1 restar a-1. 3. -9 restar 3a+a 2 -5. 5. 1 restar a 3 -a 2 b+ab 2. 2. 0 restar a-8. 4. 16 restar 5xy-x 2 +16. 6. x 3 restar -x 3 -8x 2y-6xy 2.  RESTA 51 7. a 3 restar -8a 2 b+6ah 2 -b 3. 8. y4 restar -5x 3y+7x 2y 2 -8xy 3. 9. m 4 restar a 3 m-a 4 +7a 2 m 2 -18am3 +5m 4. 10. 16 restar b-a+c+d-14. 11. x 2 -1 restar xy+y 2. 12. a 3 +6 restar 5a 2 b-8ab 2 +b 3. 13. Restar -5x-y+17xy 2 -5 de x 3 +y 3. 14. Restar 9x 3y-15xy3 -8x 2y 2 de x 4 -1. 15. Restar -l l a 4 b+2a 2 b 3 +8a 3 b 2 -4ab 4 de a 5 +b 5 16. Restar 5x 3 -25x de x 4 +x 2 +50. 17. Restar 9y'+17y 4 -y 3 +18y 2 de ye+y-41. 18. Restar -15a 5b+17a 3 b 3-14ab 5 -be de a 8 +9a 4 b 2 +a 2 b 4. 19. Restar -x-+5x-34 de x 4 +x 3-11x. 20. Restar mn 2 n±7mn 2 -3n 3 de m 3 -1. 42 "STA DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS E jeni plos 1 x3 - 2 xy2 + 3 x2y - 1 yx. (1) De áx3 5 restar - _ 3 4 2 8 f3 Tendremos : 5x— i x§ 3 x 2y J 2 xy 2 t 2y3. 'x3 _x-y. _ xy 2.. 2 y'. R. 1 (2) Restar -4a 3 b 3 - 1ab+ 2 a2 b 2 -9 de -dab +éa 2 b 2 -8. Tendremos : - alb- - gab - 8 4a3 b 3 -- -a b2 l~ab - 9 4a3 b 3 - 2a 2 b 2 -- 2ab -- 1. R. EJERCICIO 24 Dc : 1 2 21 a- restar - 41 a-„ -.{ ab + 6=. 1 " 4 2 1 1. 4. -a--b restar -a+-b,, _ s 5 9 2 2. 15 restar. xy + 3yz - 9- 5. 2X 2 y- restar 5 xy + 1y2 -- - 11. 3 z 3. -bc restar - 3 ab + a bc - -cd. 2 6. ám 9 3 + 9 n 3 restar - _men 2 + =8 mn 2 - 15 n 3.  ALGEBRA 52 3 5 1 1 7. =7 a"+ '-ab - -b 2 restar 14 a 2 + 2 ab - s. 3 5 8 5 1 , 3 x2 s 3 8. -x- + ---xy - -restar - + 2y 2 - - xy. 5 7 A 7 9. a-, -r a 2 - a + ~ restar - 8a°+10 +- 8. 10. 77,3 + ~` mn 2 - 7 n3 restar -21 m 2 n + n mn 2 + n 3 - s 3 3 5 2 5 11. s x} + -- x 3y - - xy 3 + 3 y' restar x 4 + 8 x2y2 - f xy3 + 6y }. 12. 1 7+ 3b- 7 c+ bd restar - Y31 b + 3 c - - d +. W. EJERCICIO 25 Restar : 3 1. a2 de 3a 2 - áa. 4, 1--a- c de a+b-c. 3b+ 2. 3a- 5b 3 de Sa+6b-5. 6. in + n - p de -3 in + 5c n+ 1p. - 3. 3x'y de x 3 + 3x2 y -6. 6. 3a 1 - -ab 2 +6 de 3a-b+ ;ab-- 3. 7 - 1)2 mn 3 de --12 in-3 n + 1a 5 1 - m 4 + -m ' n' 111-n 2 + s mn 3 - 6. xy4 ---x5 de - x 4 y + x'y2 + x 2 y 3 + xy4 s + 37 x 3 y - - ti 14 3 s - 7. x0 - x4y2 + 1x'y 1 4 - y° + xy 5 de -x5 y + 3 x 4y 2 - x3 y 3 - x2 y 1 + xy + 3)'6. 0 8 -(; x 2 y+ _xy 2 - ,; x 3 +6 de _xy 2 - áx'-y+ 3x~; -- 3- 2 2 1 7 , 5 3 3 3 5 - -MI, + -n° - -m , 'n~ + -?n-'n 4- - de -M4 n" - -m 2 n' + --n 6. Is 3 20 14 - 10 9 3 - Scld + 3d5 - + 3 cd 4 de 9 c, 11 13 3 G csd2 4 3 + - c 2d 3 - 1 1 d5 + c1d 2 + -c Id - 35. 3 12 22 w EJERCICIO 26 Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a=1, b=2, c=3, x=4, y=5, m= 3 , n== 2 5 De : 1. a 2 -ab restar 3ab+b 2. 2. a 3 +b-; restar -5a 2 b+6ah 2 -2h 3. 1 1 5 3. -a restar -b -3 c + a. 2 4. 31n -5n 2 restar m 2 +8mn+10n'. 5. x -18x 2y'- } 15y 4 restar -1(ix 33y-6xy 3 +9ya. 6. al-7a rn 2 +rn 3 restar -5am 2 + 8a 2m-5n1 3. 7. 3 a 2 + hab - 3 b 2 restar -a 2 + ab - 1 b 2. 2 3 1 3 restar - m 3 - 6I m-n „ 1 1 8..1 m„-n + 4m n- - -n - 4 mn- - 2 n3.  SUMA Y RESTA COMBINADAS 0 53 Restar : 9. a 4 b 2 -5a 3 b3 de as-3a 2 b4+bs. 11. lla 2 b-9ab 2 +b 3 de a3. ' 10. 15ab de -ab+l0mn-8mx. 12. x2 + x - de 4x4. Q 3 6 8 13. 4x 3 - 4 xy2 - 3 de x 3 + sx 2 y - 5 xy 2. 14. ax-1 - 9ax-3 + ax-2 2 5 ax-1 + a x - -Wax-3 + ax-2. de SUMA Y RESTA COMBINADAS 43 SUMA Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Ejemplos (1) De a 2 restar la suma de 3ab - 6 y 3a2 - 8ab + 5. 3a 2 - 8ab + 5 Efectuemos primero la suma : 3ab - 6 3a 2 -5ab-1 a2 Esta suma, que es el sustraendo, hay que restarla de a'-' que -3a2 +5ab+1 es el minuendo, luego debajo de a 2 escribo 3a2 - 5ab - 1 con los signos cambiados, y tendremos : _ -2a 2 +5 +1. R. (2) De x3 - 4x 2y + 5y3 restar la suma de -x3 + 5x 2y - 6xy2 + y3 con -6x 2y + 9xy2 - 16ys. - xs + 5x 2 y - 6xy 2 + y 3 Efectuemos primero la suma : - 6x2 y + 9xy 2 - 16y 3 - x 3 - x 2y + 3xy 2 - 15y 3. Esta suma, que es el sustraendo, tengo que restarla x 3 - 4x 2y + 5y 3 de x 3 - 4x 2y + 5y 3 que es el minuendo, luego de- x 3 + x2 y - 3xy 2 + I5y 3 bajo de este minuendo escribiré el sustraendo con _ 2x 3 - 3x 2 y - 3xy 2 + 20y. R. los signos cambiados y tendremos: (3) De la suma de x3 +4X 2 -6 y - 5X2- 1 1 x + 5 restar x 3 + 42 -6 Efectuemos la suma : - 5x2 - 11 x + 5 X 3- X2 -11X-1 3 - x 2 - l lx - 1 Esta suma es el minuendo, luego debajo de ella es- - x4 x + 1 cribiré el sustraendo x 4 - 1 con los signos cambia- dos y tendremos : - - JT - x 4 + x 3 - x2 - 11 x R. 540 ALGEUkA A. EJERCICIO 27 1. De a 2 restar la suma de ab+b 2 con a2 -5b 2. 2. De 1 restar la suma de a+8 con -a+6. 3. De -7x 2y restar la suma de 4xy 2 -x 3 con 5x 2y+y3. 4. De 5m 4 restar la suma de -3m 3 n+4mn 2-n 3 con 3m 3 n-4mn 2 +5n 3. 5. De 6a restar la suma de 8a+9b-3c con =7a-9b+3c. 6. De a+b-c restar la suma de a-b+c con -2a+b-c. 7. De m-n+p restar a suma de -m+n-p con 2m-2n+2p. 8. De x 2 -5ax+3a 2 restar la suma de 9ax -a 2 con 25x'2 -9ax+7a 2. 9. De a3 -1 restar la suma de 5a 2 +6a-4 con 2a 3 -8a+6. 10. De x 4 -1 restar la suma de 5x 3 -9x 2 +4 con -11x 4 -7x 3 -6x. 11. De a 3 +b 3 restar la suma de -7ab 2 +35a 2 b-11 con -7a3 +8ab 2 -35a 2 b+6. 12. De n5 -7n 3+4n restar la suma de -11n4 +14n 2 -25n+8 con 19n 3 -6n 2 +9n-4. 13. De a4 -8a 2 rn 2 +m 4 restar la suma de -6a 3 m+5am 3 -6 con 7a 4 -11a 2 m2 - 5a 3 m-6m 4. 14. De x 5 -3W;y 2 +40xy 4 +y 5 restar la suma de -4X 4 y+13x 2y 3 -9Xy 4 con. -6x 5 +8x 3 y 2 +xy4 -2y 5. 15. De la suma de a+b con a-b restar 2a-b. 16. De la suma de 8x+9 con 6y-5 restar -2. 17. De la suma de x 2 -6y 2 con -7xy+40y 2 restar -9y 2 +16. 18. De la suma de 4a 2*+8ab-5b 2 con a 2 +-6b 2 -7ab restar 4a 2 +ab-b 2. 19. De la suma de x 3 -y 3 con -14x 2 y+5xy 2 restar -3x 3 +19y 3. 20. De la suma de x 4 -6x 2y 2 + y 4 con 8x 2y 2 +31y 4 restar x 4 -2x 2y 2 +32y 4. 21. De la suma de n 4 -6n 5 +n 2 con 7n 3 -8n-.n 2 -6 restar -3n 4 -n 6 -8n 3 +19. 22. Restar 5a 4 b-7a 2 b 3 +b 5 de la suma de a 5 -3a 3 b 2 +6ab 4 con 22a 4 b+10a 3 b 2 -11ab 4 -b 5. 23. Restar 5-rn 4 de la suma de -5m 2 +4m 3 -2m con -7m 3 +8m+4. 24. Restar -4 de la suma de 7a 2 -llab+b 2 con -7a 2 +11ab+b 2 -8. 25. Restar a-b-2c de la suma de 3a-4b+5c ; -7a+8b-11 ; -a+2b-7c. 26. Restar a 4 -3a 3 +5 de la suma de 5a 3 +14a 2 -19a+8 ; a5 +9a-1 y -a 4 +3a 2 -1. 27. Restar la suma de m 4 +10m 2 n 2 +15n 4 con -11m 3 n-14m 2 n 2 -3mn 3 +n4 de 6m 4 +7m 2 n 2 +8ntn 3 -n 4. 28. Restar la suma de a 5+4a 3 b 2 +8ab 4 -b 5 ; - 7a4 b+15a 2 b3 -25ab 4 +3b 6 y -5ab 4 +3a 2 b 3 -a3 b 2 de 3a 5 -6a 2 b 3 -21ab 4 -6. 29. Restar la suma de x 5 +y 5 con 3x 4y+21x 3 y 2 +18x 2y 3 -y 5 de x 5 +32x 4y-26x 3 y 2 +18x 2 y 3 -2xy 4 +y5. 30. Restar la suma de 3ax+6a x- ' con a x- 7a x- '+az -2 de 8axy 2 -7ax + t -ax +12ax-1. (4) Restar la suma de 5x4 y2 + 6x 2 y4 - 5ye con - 3x 6 + x 2y 4 - 11 y 6 de la suma de x 6 + 2x 2 y4 - y`' con - 44 y 2 + 3x2 y4 + 3y6. 5X 4 y 2 + 6X2y4 - 5y8 Efectuemos la primera suma que será el - 3x8 + x2y4 - l l y6 sustraendo : - 3x 6 + 5x 4 y 2 + 7x2 y4 - 16y6 X6 + 2x2y 4 - y6 Efectuemos la segunda suma que será el mi- - 44 y 2 + 3X 2 Y 4 + 3ye nuendo : xe - 44 y 2 + 5x 2 y4 + 2y 6  SUMA Y RESTA COMBINADAS 055 xe - 4x 4 y 2 + 5x 2y 4 + 2ye Como esta suma es el minuendo escribimos debajo 3x6 - 5x'y 2 - 7x 2 y' + 16y6 de ella, con los signos cambiados, la suma anterior que es el sustraendo y tenemos : 4x° - 9x'y 2 - 2x 2 y' + 18y 6. R. l. EJERCICIO 28 1. De lasuma de x 2 +5 con 2x-6 restar la suma de x-4 con -x+6. 2. De lasuma de 3a-5b+c con a-b-3c restar la suma de 7a+b con -8b-3c. 3. De lasuma de x 3 +1 con 5x 3 +7-x 2 restar la suma de 9x+4 con -3x 2 -x+1. 4. De lasuma de a 2 +1 con a 3 -1 restar la suma de a'+2 con a-2. 5. De lasuma de ab+bc+ac con -7bc+8ac-9 restar la suma de 4ac-3bc +5ab con 3bc+5ac-ab. 6. la suma de a 2 x-3x3 con a 3 +3ax 2 restar la suma de -5a 2 x+llax 2 -11x 3 con as+8x 3 -4a 2 x+6ax 2. 7. De la suma de x'+x 2 -3 ; -3x+5-x 3 ; - 5x2+4x+x' restar la suma de -7x 3 +8X 2 -3x+4 con x'-3. 8. De la suma de m'-n' ; -7mn 3 +.17n1 3 n-4m 2 n2 y - m'+6m 2 n 2 -80n 4 restar la suma de 6-m' con -m 2 n 2 +inn3 -4. 9. De la suma de a-7+a 3 ; a 5 -a'-6a2 +8 ; -5a 2 -lla+26 restar la suma de -4a 3 +a 2 -a 4 con -15+16a 3 -8a 2 -7a. 10. Restar la suma de 3x'-y* con -11xy+9y2 -14 de la suma de x2 -3xy -y 2 con 9y 2 -8xy+19x 2. 11. Restar la suma de a-1 con -a+1 de la suma de a 2 -3 ; a-4 ; -3a+8. 12. Restar la suma de a 2 +b 2 -ab ; 7b 2 -Sab+3a 2 ; - 5a2 -17b 2 +11ab de la suma de 3b 2 -a 2 +9ab con -Sab-7b 2. 13. Restar la suma de m'-1 ; -m3 +8m 2 -6m+5 ; -7m-m 2 +1 de la suma de m 5 -16 con -16m 4 +7m 2 -3. 14. Restar la suma de x 5 -y 5 ; - 2x'y+5x 3y 2 -7x 2y 8 -3y 5 ; 6xy'-7x$y 2 -8 de la suma de -x 3y 2 +7x'y+llxy' con -xy4 -1. 15. Restar la suma de 7a'-a6 -8a ; -3a5 +11a$-a 2 +4 ; -6a'-11a 8 -2a+8 ; -5a 3 +5a 2 -4a+1 de la suma de -3a'+7a2 -8a+5 con 5a 5 -7a$+41 a 2 -50a+8. 16. Restar la suma de a 5 -7a3 x 2 +9 ; -20a'x+21a 2 x$-19ax' ; x 5 -7ax 4 +9a 8 x 2 -80 de la suma de -4x 5 +18a3 x 2 -S ; -9a'x-17asx 2 +11a 2 x 3 ; a 5 +36. O SUMA Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS Ejemplos ( 1) De sae - sb2 restar la suma de aa2 + eb2 - 9ab con - é a 2 + 1 b2 - 12 - iab. 4a 2 -9ab+ 9b 2 Efectuemos la suma que será el sustraendo : 1 7 1 -- a 2 - P ab + 32-b2 8 9a2 - ab + * b2  ALGEBRA 56 1 , 3 -a 2 - -b 2 2 s Debajo del minuendo 1a 2 - 3 b- escribimos el - + ab - á b2 resultado de esta suma con los signos cambia- -a2 dos y tendremos : - --o +ab- 1~b. 2 2 R. (2) Restar la suma de sm3 - lmn + 6 con 2 m n + -mn - n 2 2 3 de la suma de 4 s 2 1 2 3 1 1 5. ,i m3 + `n3 - - mn 2 con gm2 n + ;mn~ - 2 3 - 2 1 3.{m' Smn +`n' _ 1 Efectuamos la segunda suma que será 3 m n + lmn2 2 a el minuendo. i 2 3 1 1 1 -m '-I- -m-n - -mn + -n - 3 2 3 3 4 1í 3m3 - -mn2 +6 3 1 3 Efectuamos la primera suma que será -m 2 n + ~ mn- - n3 - el sustraendo : 3 3 1 „ 3 m3 +~m 2 n+C4 mn2-`n 3 +6 3 1 2 1 1 ,1 m 3 + -m-n- 1:mn + ; s 3 3., 1 Ahora, de la primera suma 4 2 + 3s n3- 6 restamos esta última suma y tendremos : - / l 13 7 31 1rm' i - lsnmn2+8 3 - 7. R. i EJERCICIO 29 1. De sa restar la suma de a + 12 b con - --a + 34 b. 4 3 2. De l2 a3 + 3J a 2 restar la suma de 3s a-6 con 3a2- 5a 3. s a 3. Restar -'a - -1 b de la suma de a+3b con 6--a- -b. 3 1 1 3 7x2 2 1 L 4. Restar la suma de -3 x 3 + s- con 6 - x + 14x2 de - s x 3. 5. De la suma de 1