Matemáticas 3º ESO - Números Racionales PDF

Matemáticas 3º de ESO LOMLOE www.apuntesmareaverde.org.es © TEXTOS MAREA VERDE www.apuntesmareaverde.org.es Reconeixement – NoComercial – CompartirIgual (by‐nc‐sa). No se permite un uso comercial de la obra original ni de las posibles obras derivadas,...

Matemáticas 3º de ESO LOMLOE www.apuntesmareaverde.org.es © TEXTOS MAREA VERDE www.apuntesmareaverde.org.es Reconeixement – NoComercial – CompartirIgual (by‐nc‐sa). No se permite un uso comercial de la obra original ni de las posibles obras derivadas, la distribución de las cuales se debe hacer con una licencia igual a la que regula la obra original. Reconocimiento (Attribution): En cualquier explotación de la obra autorizada por la licencia hará falta reconocer la autoría. No Comercial (Non commercial): La explotación de la obra queda limitada a usos no comerciales. Compartir Igual (Share alike): La explotación autorizada incluye la creación de obras derivadas siempre que mantengan la misma licencia al ser divulgadas I.S.B.N. ‐ 13: 978‐84‐697‐0275‐8 I.S.B.N. ‐ 10: 84‐697‐0275‐0  El Real Decreto 217/2022 del 29 de marzo establece la ordenación y las enseñanzas mínimas de la educación secundaria obligatoria La competencia matemática entraña la comprensión del mundo utilizando los métodos científicos, el pensamiento y representación matemáticos para transformar el entorno de forma comprometida, responsable y sostenible. La competencia matemática permite desarrollar y aplicar la perspectiva y el razonamiento matemáticos con el fin de resolver diversos problemas en diferentes contextos. Saberes básicos A. Sentido numérico ‐ Resolución de situaciones y problemas de la vida cotidiana en los que se tengan que hacer recuentos sistemáticos, utilizando diferentes estrategias (diagramas de árbol, técnicas de combinatoria, etc.). 2. Cantidad‐ Realización de estimaciones en diversos contextos analizando el error cometido.‐ Uso de los números reales para expresar cantidades en contextos de la vida cotidiana con la precisión requerida.‐ Identificación del conjunto numérico que sirve para responder a diferentes necesidades: contar, medir, comparar, etc. 3. Sentido de las operaciones‐ Elección de las operaciones adecuadas con números reales para resolver situaciones contextualizadas.‐ Uso de las propiedades de las operaciones aritméticas para realizar cálculos con números reales de manera eficiente con calculadora, adaptando las estrategias a cada situación. ‐ Reconocimiento de algunos números irracionales en situaciones de la vida cotidiana.‐ Identificación y análisis de patrones y regularidades numéricas en las que intervengan números reales. 4. Razonamiento proporcional‐ Desarrollo, análisis y explicación de métodos para la resolución de problemas en situaciones de proporcionalidad directa 5. Educación financiera. Desarrollo, análisis y explicación de métodos para la resolución de problemas relacionados con aumentos y disminuciones porcentuales, intereses y tasas en contextos financieros. B. Sentido de la medida 1. Medición‐ Deducción y aplicación de la pendiente y su relación con un ángulo en situaciones sencillas. 2. Cambio‐Estudio gráfico de la tasa de variación media en contextos de la vida cotidiana con el apoyo de herramientas tecnológicas. C. Sentido espacial 1. Formas geométricas de dos y tres dimensiones‐ Propiedades geométricas de objetos de la vida cotidiana: investigación con programas de geometría dinámica. 2. Movimientos y transformaciones‐ Transformaciones elementales en la vida cotidiana: investigación con herramientas tecnológicas como programas de geometría dinámica, realidad aumentada, etc. 3. Visualización, razonamiento y modelización geométrica‐ Realización de modelos geométricos para representar y explicar relaciones numéricas y algebraicas en situaciones diversas.‐ Modelización de elementos geométricos de la vida cotidiana con herramientas tecnológicas como programas de geometría dinámica, realidad aumentada, etc.‐ Elaboración de conjeturas sobre propiedades geométricas utilizando programas de geometría dinámica u otras herramientas. D. Sentido algebraico 1. Patrones‐ Patrones: comprensión y análisis, determinando la regla de formación de diversas estructuras en casos sencillos. 2. Modelo matemático‐ Modelización y resolución de problemas de la vida cotidiana apoyándose en representaciones matemáticas y en el lenguaje algebraico, haciendo uso de distintos tipos de funciones elementales. ‐ Obtención y análisis de conclusiones razonables de una situación de la vida cotidiana una vez modelizada. 3. Variable‐ Utilización de los diferentes usos de variables asociando expresiones simbólicas al contexto del problema.‐ Interpretación de diferentes características del cambio mediante la representación gráfica de relaciones lineales y cuadráticas. 4. Igualdad y desigualdad‐ Uso del álgebra simbólica para representar relaciones lineales y cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana.‐ Utilización y generación de formas equivalentes de expresiones algebraicas en la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales.‐ Discusión y búsqueda de soluciones en ecuaciones lineales y cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana.‐ Ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones: resolución mediante el uso de la tecnología. 5. Relaciones y funciones‐ Aplicación de la forma de representación más adecuada en la resolución de problemas de la vida cotidiana.‐ Representación de funciones elementales e interpretación de sus propiedades en situaciones de la vida cotidiana.‐ Interpretación de relaciones cuantitativas en situaciones de la vida cotidiana y selección de los tipos de funciones que las modelizan. 6. Pensamiento computacional‐ Adaptación de procesos de resolución de problemas a partir de otras situaciones.‐ Identificación y análisis de estrategias para la interpretación, modificación y creación de algoritmos.‐ Formulación y análisis de problemas de la vida cotidiana utilizando programas y herramientas adecuadas. E. Sentido estocástico 1. Distribución‐ Análisis e interpretación de tablas y gráficos estadísticos de dos variables cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas. ‐ Recogida y organización de datos de una situación de la vida cotidiana que involucre dos variables.‐ Generación de representaciones gráficas mediante el empleo de medios tecnológicos adecuados para interpretar la información estadística y obtener conclusiones razonadas. 2. Inferencia‐ Diseño de estudios estadísticos reflexionando sobre las diferentes etapas del proceso estadístico.‐ Presentación e interpretación de datos relevantes en investigaciones estadísticas.‐ Interpretación de la relación entre dos variables, valorando gráficamente con herramientas tecnológicas la pertinencia de una regresión lineal.‐ Utilización de los métodos estadísticos y las herramientas digitales adecuadas en investigaciones estadísticas. 3. Predictibilidad e incertidumbre‐ Aplicación del cálculo de probabilidades para tomar decisiones fundamentadas en diferentes contextos, aplicando la regla de Laplace y técnicas de recuento en experimentos simples y compuestos.‐ Planificación y realización de experimentos simples y compuestos para estudiar el comportamiento de fenómenos aleatorios. F. Sentido socioafectivo 1. Creencias, actitudes y emociones‐ Muestras de curiosidad, iniciativa, perseverancia y resiliencia hacia el aprendizaje de las matemáticas.‐ Gestión de las emociones que intervienen en el aprendizaje como la autoconciencia, la autorregulación y la perseverancia‐ Fomento de la flexibilidad cognitiva, buscando un cambio de estrategia cuando sea necesario, transformando el error en oportunidad de aprendizaje. 2. Trabajo en equipo y toma de decisiones‐ Asunción de responsabilidades y participación activa para optimizar el trabajo en equipo.‐ Disposición a pedir, dar y gestionar ayuda para la gestión de conflictos.‐ Reflexión sobre las ideas clave de situaciones problemáticas para ser capaz de tomar decisiones adecuadas en situaciones similares. 3. Inclusión, respeto y diversidad. ‐ Muestra de actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad.‐ Uso de conductas empáticas y estrategias para la gestión de conflictos.  Matemáticas 3º de ESO Capítulo 1: Números Racionales BOCM: – Algunos números irracionales en situaciones de la vida cotidiana. La importancia del número pi y de la proporción aurea. – Orden en la recta numérica. Representación de números irracionales so- bre ella. Intervalos (abiertos, cerrados, mixtos y semirrectas). www.apuntesmareaverde.org.es Autor: Paco Moya Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 6 Números Racionales. 3º de ESO Índice 0. TE CONVIENE RECORDAR 0.1. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES 0.2. USO DE PARÉNTESIS 0.3. OPERACIONES CON ENTEROS 1. NÚMEROS RACIONALES 1.1. DEFINICIÓN 1.2. FRACCIONES EQUIVALENTES 1.3. ORDENACIÓN DE FRACCIONES 1.4. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA 1.5. OPERACIONES CON FRACCIONES 1.6. NÚMEROS IRRACIONALES. EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES 1.7. DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS 2. APROXIMACIONES Y ERRORES 2.1. REDONDEO 2.2. CIFRAS SIGNIFICATIVAS 2.3. ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO 3. FRACCIONES Y DECIMALES 3.1. EXPRESIÓN DECIMAL DE UNA FRACCIÓN 3.2. FORMA DE FRACCIÓN DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL. FRACCIÓN GENERATRIZ 4. INTERVALOS, SEMIRRECTAS Y ENTORNOS 4.1. INTERVALOS. TIPOS Y SIGNIFICADO 4.2. SEMIRRECTAS 4.3. ENTORNOS 5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE FRACCIONES Resumen En este capítulo vamos a recordar muchas de las cosas que ya sabes de cursos anteriores, como las ope‐ raciones con números naturales y enteros, las operaciones con fracciones y expresiones decimales. Es‐ tudiaremos los números racionales, y empezaremos a conocer algo de los irracionales. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 7 Números Racionales. 3º de ESO 0. TE CONVIENE RECORDAR 0.1. Prioridad de las operaciones Cuando no hay paréntesis que nos indiquen qué operación hacer primero o en operaciones dentro de un paréntesis se llegó a un acuerdo para saber, como actuar. A saber: 1º Se resuelven los paréntesis interiores. Si no hay paréntesis o dentro de un paréntesis haremos: 2º Las potencias y las raíces 3º Las multiplicaciones y divisiones. 4º Las sumas y restas. Se deben evitar: Expresiones del tipo 1 – 100 : 5 ∙ 5, donde no está claro qué hacer (la multiplicación y división tienen igual prioridad). Se deben poner paréntesis para indicar cual hacer primero. La expresión de arriba pue‐ de ser: 1  (100 : 5) ∙ 5 = 99 o bien 1 – 100 : ( 5 ∙ 5) = 3. De todas formas, si te la encuentras, harás: 5º Si hay varias operaciones con igual prioridad se harán de izquierda a derecha. Ejemplos: (5  7) ∙ 10 – 8 No podemos hacer 10 – 8 (bueno sí puedes, pero no debes) Primero el paréntesis  –2 ∙ 10 – 8 Después el producto –20 – 8 Por último la resta –28 10 – 2 ∙ 32 = 10 – 2 ∙ 9 = 10 – 18 = –8. Aquí está prohibido hacer 10 – 2 y hacer 2 ∙ 3. 3 ∙ (–2 + 4)2 – 8 – 5 ∙ 22 = 3 ∙ 22 – 8 – 5 ∙ 4 = 12 – 8 – 20 = –16 –102 vale –100 ya que primero se hace la potencia y además el signo menos no está elevado a 2. Sin embargo (–10)2 sí que vale +100. –102 = –10 ∙ 10 = –100 (–10)2 = (–10) ∙ (–10) = +100 √9 25 = 3 ∙ 25 = 75. Primero se hace la raíz. 10 – 9x no es 1x puesto que no puede hacerse la resta bajo ningún concepto. Ten en cuenta que esta prioridad es válida siempre, para operaciones con todo tipo de números u otros objetos (por ejemplo: polinomios). Merece la pena sabérsela, ¿no? Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 8 Números Racionales. 3º de ESO 0.2. Uso de paréntesis Los paréntesis nos indican las operaciones que se tienen que hacer primero. De hecho lo primero que haremos serán los paréntesis interiores y seguiremos de dentro hacia fuera. Es como vestirse: primero te pones la camiseta, luego el jersey y después la cazadora. Es complicado hacerlo al revés. Por ello, antes de ponerte a calcular a lo loco, mira toda la expresión para ver qué se hace primero.  Debe haber tantos paréntesis abiertos como cerrados, en caso contrario se dice que “los parén‐ tesis no están bien balanceados”.  Si algo multiplica a un paréntesis no es necesario poner el símbolo “∙”. Ejemplos: 2 ∙ (2 – 2 ∙ (2 – 2 ∙ 2)) = 2 ∙ (2 – 2 ∙ (2 – 4)) = 2 ∙ (2 – 2 ∙ (–2)) = 2 ∙ (2 + 4) = 2 ∙ 6 = 12 2(3 – 2) = 2 ∙ 1 (2 – 3) ∙ (6 – 4) = –1 ∙ 2 = –2 Si queremos dividir entre 2 el resultado de hacer 75 – 90 no pondremos esto 75 – 90 : 2, aquí el 2 sólo divide a 90. Escribiremos (75 – 90) : 2 Los paréntesis se utilizan para meter argumentos de funciones. Por ejemplo: Si en un programa o en la calculadora queremos hacer la raíz de 100 ∙ 34, escribiremos raíz(100*34). 0.3. Operaciones con enteros Recordamos lo más importante: Regla de los signos para la suma: Suma + – La suma de 2 números positivos es positiva. Ejemplo: +5 + 7 = +12 + + > La suma de 2 números negativos es negativa. Ejemplo: –10 – 17 = –27 – > – Se pone el signo –, y se suman sus valores absolutos. Ejemplo: Si pierdo 10 y después pierdo otros 17, he perdido 27 La suma de un número positivo con otro negativo tendrá el signo del mayor en valor absoluto. Ejemplo: –7 + 15 = +8; +8 + (–20) = 8 – 20 = –12 Se pone el signo del más grande (en valor absoluto) y se restan. Ejemplo: Si pierdo 7 y después gano 15, he ganado 8 (son mayores las ganancias que las pérdidas). Ejemplo: x + – Si gano 8 pero después pierdo 20, he perdido 12 (son mayores las pérdidas). + + – – – + Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 9 Números Racionales. 3º de ESO Regla de los signos para la multiplicación (y la división): Positivo x Positivo = Positivo Positivo x Negativo = Negativo x Positivo = Negativo Negativo x Negativo = Positivo. Ejemplos: +2 ∙ (–7) = –14. Si recibo de herencia 2 deudas de 7 €, tengo una deuda de 14 €. –2 ∙ (–7) = +14. Si me quitan 2 deudas de 7 €, ¡he ganado 14 €! Ahora algo de matemáticas serias, que ¡ya estamos en 3º! Demostración rigurosa de que “0 ∙ x = 0 para todo x” y de que “(–1) ∙ (–1) = +1” Para ello vamos a utilizar 4 propiedades de los números que conoces: 1ª) a + 0 = a para todo número a (0 es el elemento neutro de la suma) 2ª) La propiedad distributiva: a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c 3ª) 1∙a = a para todo número a (1 es el elemento neutro del producto) 4ª) –a es el opuesto de +a, es decir –a + a = a + (–a) = 0 Demostramos “0 ∙ x = 0 para todo número x”: Como a – a = 0, por la propiedad distributiva: x(a – a) = x∙0 = xa – xa = 0 Demostramos que “(–1) ∙ (–1) = +1”: (–1) ∙ (–1 + 1) = (–1) ∙ 0 = 0; pero por la propiedad distributiva (–1) ∙ (–1 + 1) = (–1) ∙ (–1) + (–1) ∙ 1 = (–1) ∙ (–1) + (–1). Luego (–1) ∙ (–1) + (–1) = 0. Si sumamos 1 en ambos miembros: (–1) ∙ (–1) + (–1) + 1 = +1  (–1) ∙ (–1) + 0 = +1 (–1) ∙ (–1) = +1 Actividades resueltas Calcula paso a paso: (((–15 – 5 ∙ (–20 – 6)) : (15 – 42)) + 5 – 4 ∙ 2) ∙ (–10) Calculamos en primer lugar –20 – 6 = –26; 42 = 16 y 4 ∙ 2 = 8 y nos queda: (((–15 – 5 ∙ (–26)) : (15 – 16)) + 5 – 8) ∙ (–10) = (((–15 + 130) : (–1)) – 3) ∙ (–10) = ((115 : (–1)) – 3) ∙ (–10) = (–115 – 3) ∙ (–10) = –118 ∙ (–10) = +1 180 Actividades propuestas 1. Calcula: a) –20 + 15 b) –2 ∙ (–20 + 15) c) –20 : (10 – 2(–20 + 15)) d) (–80 –20 : (10 – 2(–20 + 15))) ∙ (3 – 2 ∙ 32) 2. Calcula: a) –10 + 20 : (–5) b) (–10 + 20) : (–5) c) –100 : ((–20) : (–5)) d) (–100 : (–20)) : (–5) e) √36 4 3. Calcula: a) 3 4⋅3 2⋅5 3 5 b) 5 3 2⋅ 5 7 9 c) 7 2 ⋅ 3 5 2⋅ 3 8 2 d) 2 2⋅3 3⋅4 2 4 Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 10 Números Racionales. 3º de ESO 1. NÚMEROS RACIONALES 1.1. Definición Los números racionales son todos aquellos números que pueden expresarse mediante una fracción de a números enteros. Es decir, el número r es racional si r  , con a, b números enteros y b  0. b 7 Una fracción es una división indicada, así 7 : 3 , pero la división no se realiza hasta que lo necesite‐ 3 mos. Hay muchas ocasiones en las que es mejor dejar las operaciones indicadas. Con un ejemplo bastará: 8 1 Prueba a hacer la división 1.142857142857… : 8, ¿difícil, no?, sin embargo, :8  es algo más 7 7 sencilla y además exacta. El nombre “racional” viene de “razón”, que en matemáticas significa división o cociente. El conjunto de los números racionales se representa por Q. Un número racional tiene infinitas representaciones en forma de fracción. 1 3 6 Así:   ... son infinitas fracciones que representan al mismo número racional, se les llama 3 9 18 “equivalentes” puesto que tienen igual valor numérico. Si hacemos las divisiones en el ejemplo todas valen 0.333… que es su expresión decimal. Los números “enteros” son racionales puesto que se pueden expresar mediante una fracción, por 8 ejemplo 2  4 Todo número racional tiene un representante que es su fracción irreducible, aquella que tiene los nú‐ meros más pequeños posibles en el numerador y el denominador. A esta fracción se llega a partir de cualquier otra dividiendo el numerador y denominador por el mismo número. Si se quiere hacer en un solo paso se dividirá entre el Máximo Común Divisor (M.C.D.) del numerador y el denominador. Por 60 6 3 ejemplo:   donde hemos dividido primero entre 10 y después entre 2, pero podíamos haber 80 8 4 3 dividido entre 20 directamente ya que 20 es el MCD (60, 80). Por tanto es la fracción irreducible y por 4 ello la que representa al número racional que tiene otras muchas formas de fracción como 60/80 = 6/8 = 30/40 = 12/16 = 9/12 = 15/20 = 18/24 = 21/28 = 24/32 = 27/36 … y por expresión decimal 0.75 Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 11 Números Racionales. 3º de ESO 1.2. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes si se verifican las siguientes condiciones (todas equivalentes):  Al hacer la división obtenemos la misma expresión decimal. Ésta es la definición. Ejemplo: 4 8 4 8 4 : 5 = 8 : 10 = 0.8 luego y son equivalentes y puede escribirse . 5 10 5 10 a c  Los productos cruzados son iguales:   aꞏd  bꞏc b d Es fácil de demostrar, multiplicamos a ambos lados del igual por b y por d a c ꞏbꞏd  ꞏbꞏd , como b : b = 1 y d : d = 1 nos queda a∙d = c∙b. b d Por ejemplo: 12 6  puesto que 12 ∙ 4 = 8 ∙ 6 = 48. 8 4  Al simplificar las fracciones se llega a la misma fracción irreducible. Si A = B y C = B a la fuerza A = C. Ejemplo: ; 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜  Se puede pasar de una fracción a otra multiplicando (o dividiendo) el numerador y el deno‐ minador por un mismo número. Ejemplo: 6 24  pues basta multiplicar el numerador y el denominador de la primera por 4 para obtener la 4 16 segunda. a aꞏn En general  b bꞏn Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 12 Números Racionales. 3º de ESO Reducción a común denominador Con objeto de comparar 2 o más fracciones (ver cuál es mayor) y también para poder sumarlas o restar‐ las es importante obtener fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Primero un ejemplo y después la teoría: 5 6 Quiero saber si es mayor que sin hacer la división. Buscamos un múltiplo común de 6 y de 7 (si 6 7 es el mínimo común múltiplo mejor, pero no es imprescindible), 42 es múltiplo de 6 y de 7. Lo escri‐ 5 6 bimos como nuevo denominador para las 2 fracciones:  ;  6 42 7 42 Ahora calculamos los nuevos numeradores: como el 6 lo he multiplicado por 7 para llegar a 42 pues 5 5ꞏ7 35 el 5 lo multiplicamos también por 7 para obtener una fracción equivalente   y como el 6 6ꞏ7 42 6 6ꞏ6 36 7 lo he multiplicado por 6, el 6 también lo multiplico por 6 obteniendo   , ahora está 7 7ꞏ6 42 claro cuál de las 2 es mayor ¿no? a c Para obtener fracciones equivalentes a y con el mismo denominador buscamos un múltiplo co‐ b d m m c a mún de b y d (si es el mínimo común múltiplo mejor) que llamamos m y hacemos b y d m m 1.3. Ordenación de fracciones Para ordenar una serie de fracciones existen varios procedimientos: i) Hacer las divisiones y comparar las expresiones decimales. Este procedimiento es el más fácil pero no el más rápido (salvo que tengas calculadora). Por ejemplo: Nos piden que ordenemos de menor a mayor las siguientes fracciones: 20 21 20 21 29 28 ; ; ; ; ; 19 20 19 20 30 29 Hacemos las divisiones que dan respectivamente: 1,0526…; 1,05; 1,0526…; 1,05; 0,9666… y 0,9655… Mirando los números decimales sabemos que: 20 21 28 29 21 20      19 20 29 30 20 19 Recuerda que Los números negativos son siempre menores que los positivos y además entre números negativos es menor el que tiene mayor valor absoluto (4 < 3). Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 13 Números Racionales. 3º de ESO ii) Usar la lógica y el siguiente truco: Para fracciones positivas ⇔𝑎 𝑑 𝑏 𝑐. 8 10 Ejemplo:  ya que 8 ∙ 11 < 9 ∙ 10. 9 11 Demostración: 8ꞏ11 9ꞏ10 8 10 8 ∙ 11 < 9 ∙ 10     ; hemos dividido entre 9 ∙ 11. Y simplificado. 9ꞏ11 9ꞏ11 9 11 8 10 8ꞏ9ꞏ11 10ꞏ9ꞏ11 Y al revés:     8ꞏ11  10ꞏ9 ; hemos multiplicado por 9 ∙ 11 y simplificado. 9 11 9 11 No es necesario que uses la demostración, la ponemos sólo para que veas que en matemáticas “casi” todo tiene su explicación. ¿Y lo de usar la lógica qué es? Empezamos por lo más fácil, Ejemplo: Comparar 𝑦 20 28  1 puesto que 20 > 19. Pero  1 ya que 28 < 29. Está claro que la segunda es menor. 19 29 20 21 Un poco más difícil, comparamos y : 19 20 20 19  1 19 1 1     1 19 19 19 19 19 21 20  1 20 1 1     1. Pero ¿qué es mayor 1/19 o 1/20? 20 20 20 20 20 Es mayor 1/19 y por tanto es mayor la primera. Piensa que si dividimos una pizza en 19 trozos igua‐ les éstos son mayores que si la dividimos en 20 trozos iguales. 1 1 Si a y b son positivos  a  b  . a b Así que 1/3 > 1/4 por ejemplo. Más difícil todavía: 19 18 Comparamos y. Ahora 19/20 = 1 – 1/20 y 18/19 = 1 – 20 19 1/19. Como 1/19 > 1/20 ahora la fracción mayor es 19/20 puesto que le fal‐ ta menos para llegar a 1. Con números más sencillos se entiende mejor: 2/3 < 3/4 puesto que a 2/3 < 3/4 2/3 le falta 1/3 para llegar a 1, y a 3/4 sólo 1/4. 1 1 Importante: Si a y b son positivos entonces a > b  . a b Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 14 Números Racionales. 3º de ESO iii) Reducir a común denominador y comparar los numeradores: Nos piden que ordenemos de mayor a menor las siguientes frac‐ 5 5ꞏ4 20 ciones:   6 6ꞏ4 24 5 7 9 7 2 7 7ꞏ3 21   ; ; ; ; 8 8ꞏ3 24 6 8 4 3 1 9 9ꞏ6 54   Primero buscamos un número que sea múltiplo de 6, de 8, de 4 y de 3 4 4ꞏ6 24 (si es el mínimo común múltiplo mejor que mejor). Encontramos el 24 7 7ꞏ8 56   que es múltiplo de todos ellos. Lo ponemos como nuevo denomina‐ 3 3ꞏ8 24 dor de todas las fracciones y calculamos los nuevos numeradores pa‐ 2 2ꞏ24 48 ra que las fracciones sean equivalentes: 24:6 = 4 luego el 6 hay que   1 1ꞏ24 24 multiplicarlo por 4 para llegar a 24, lo mismo hacemos con el 5, 5∙4 = 20 es el nuevo numerador. Así con las demás. Después comparamos los numeradores y obtenemos que: 7 5 9 7   2   8 6 4 3 ya que 21 > 20 > –48 > –54 > –56 1.4. Representación en la recta numérica Ésta es la recta numérica, en ella todo número real tiene un lugar exacto. Recordamos cosas que ya sabes:  Para dibujarla sólo se pueden tomar dos decisiones: donde colocamos el 0 y donde colocamos el 1, es decir, dónde está el origen y cuál es el tamaño de la unidad.  Las unidades han de ser siempre del mismo tamaño.  Los números positivos van a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda.  El 0 no es ni positivo ni negativo.  La recta numérica no tiene ni principio ni fin. Nosotros sólo podemos dibujar una “pequeña” parte.  Dados 2 números a, b se cumple: a < b si a está a la izquierda de b y viceversa. Así por ejemplo: 1 < 3; –1 < 1; –4 < –2 Todo número racional tiene una posición predeterminada en la recta numérica. Las infinitas fracciones equivalentes que forman un número racional caen en el mismo punto de la recta. Así que 2/3 y 4/6, que son el mismo número caen en el mismo punto. Veamos como representar las fracciones de forma exacta. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 15 Números Racionales. 3º de ESO Fracción propia, fracción impropia y forma mixta Fracción propia: Se dice de la fracción a/b donde a < b. Es decir, el numerador es menor que el deno‐ minador. Por ejemplo: 4/5 o 99/100. Si a < b al hacer la división la expresión decimal será menor que 1. Por ejemplo: 4/5 = 4 :5 = 0.8. Fracción impropia: Se dice de la fracción a/b donde a > b, numerador mayor que el denominador. Ejemplo: 15/4 o 37/27. Si hacemos la división la expresión decimal es mayor de 1. 15/4 = 3.75 y 37/27 = 1.37037037… Número mixto: Las fracciones impropias pueden escribirse como la suma de un número entero y de una fracción propia. Así por ejemplo: 9 54 4   1  , ésta última es la forma mixta. 5 5 5 4 En España no es frecuente, pero en el mundo anglosajón suele escribirse 1 que significa lo mismo. 5 La calculadora científica pasa a forma mixta, investígalo. La forma rápida y automática de escribir una fracción en forma mixta es la siguiente: 77 es impropia pues 77 > 6, para escribirla en forma mixta hacemos la divi‐ 6 sión entera 77 : 6, es decir, sin decimales, nos interesa el cociente y el resto. El cociente es la parte entera, el resto es el numerador de la fracción y el divi‐ sor es el denominador. Es importante que lo intentes hacer de cabeza (cuando sea razonable), es fácil, por ejemplo: 47/6, buscamos el múltiplo de 6 más cercano a 47 por abajo, éste es 7 ∙ 6 = 42, por tanto: 47/6 = 7 + 5/6 puesto que de 42 a 47 van 5. Piénsalo, si nos comemos 47/6 de pizza, nos hemos comido 7 pizzas ente‐ ras y además 5/6 de pizza. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 16 Números Racionales. 3º de ESO Nota: También es fácil hallar el cociente y el resto con la calculadora, por si tienes prisa. Para 437/6, haz la división 437 : 6 , obtienes 72.83333…, la parte entera es 72, sólo nos queda calcular el resto. Tenemos 2 caminos: 1º) Haces 437 – 72 ∙ 6 = 5 y listo. 2º) Multiplica la parte decimal por el divisor: 0.8333… ∙ 6 = 5, que es el resto. Si es necesario redondea (0.8333 ∙ 6 = 4.9998 que redondeamos a 5). Sólo te permitimos hacer esto si sabes por qué funciona, si no lo sabes, olvídalo. Si la fracción es negativa procedemos de la siguiente forma: 19  4 4    3    3  , ya que la división da 3 de cociente y 4 de resto. 5  5 5 Representación de fracciones a) Si la fracción es propia: Por ejemplo Representa la fracción 5/6: El valor está entre 0 y 1, por tanto dividimos la primera unidad en 6 par‐ tes iguales y tomamos 5. En la figura se indica cómo hacerlo de forma exacta usan‐ do el Teorema de Tales. Trazamos una recta oblicua cual‐ quiera que pase por 0, marcamos con el compás 6 puntos a igual distancia entre sí (la que sea, pero igual). Unimos el último punto con el 1 y trazamos paralelas a ese seg‐ mento que pasen por los puntos intermedios de la recta oblicua (las líneas discontinuas). Estas rectas paralelas dividen el intervalo [0, 1] en 6 partes iguales. Fíjate que para dividir en 6 partes iguales sólo hay que marcar 5 puntos intermedios a igual distancia, siempre uno menos. Para dividir en 8 partes iguales marcamos 7 puntos intermedios. Si la fracción es negativa se hace igual pero en el intervalo [1, 0]. En la figura hemos representado –5/8, hemos dividido el intervalo [–1, 0] en 8 partes iguales y hemos contado 5 empezando en el 0. Asegúrate de entenderlo y si no es el caso pregunta. Por cierto, la flecha apunta al punto y no al espacio que hay entre ellos. Si queremos representar la fracción propia a/b se divide la primera unidad en “b” partes iguales y se cuentan “a” divisiones. En caso de ser negativa se hace igual pero contando desde 0 hacia la izquierda. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 17 Números Racionales. 3º de ESO b) Si la fracción es impropia: Actividades resueltas 13 1 Representamos 13/6. Lo primero es escribirla en su forma mixta,  2  , ahora es fácil represen‐ 6 6 tarla, nos vamos al 2, la unidad que va del 2 al 3 la dividimos en 6 partes iguales y tomamos 1 (ver imagen). 11 3 Igual para  1  , nos vamos al 1 y la unidad que va del 1 al 2 la dividimos en 8 partes iguales y 8 8 tomamos 3. Si la fracción es negativa procedemos así: 12  5 5 Representamos   1    1  , nos vamos al –1, la unidad que va del –1 al –2 la dividimos 7  7 7 en 7 partes iguales y contamos 5 hacia la izquierda empezando en –1. 11  3 3 Representamos    2    2  , nos vamos al –2, dividimos en 4 partes iguales y tomamos 4  4 4 3, contando hacia la izquierda y empezando en –2 (ver imagen). Actividades propuestas 50 25 101 4. Pasa a forma mixta las siguientes fracciones: ; ; 7 11 6 30 50 100 5. Pasa a forma mixta las fracciones ; ; 7 13 21 1 3 5 3 6. Representa en la recta numérica las fracciones: ; ; ; 5 7 8 4 23 23 180 26 7. Pasa a forma mixta y representa las fracciones: ; ; ; 8 8 50 6 8. Halla las fracciones que se corresponden con los puntos A, B, C, D y E, expresando en forma mixta y como fracción impropia las representadas por los puntos A, B y E. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 18 Números Racionales. 3º de ESO 1.5. Operaciones con fracciones Vamos a repasar las operaciones con fracciones, en concreto, la suma, la resta, el producto y la división. Suma y resta de fracciones La suma y la resta son las operaciones más exigentes puesto que sólo pueden sumarse o restarse cosas iguales. No podemos sumar metros con segundos, ni € con litros. De la misma forma no pueden sumar‐ 5 3 se tercios con quintos ni cuartos con medios. Es decir, no se puede hacer la suma  así tal cual, ya 6 4 que los sextos y los cuartos son de distinto tamaño. Pero, ¿habrá alguna manera de sumarlas?, si. Lo primero es hallar 2 fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, y entonces ya sí se podrán sumar. Veamos el ejemplo: Un múltiplo de 6 y 4 es 12. Escribimos 12 como nuevo denominador y hallamos los numeradores para que las fracciones sean equivalentes: 5 3 5ꞏ2 3ꞏ3 10 9 10  9 19        , los doceavos ya sí se pueden sumar, y el resultado son 6 4 12 12 12 12 12 12 doceavos. Otro ejemplo: Hemos hallado un múltiplo de 6, de 10 y de 12 (si es el mínimo común múltiplo mejor que mejor), se escribe como denominador común y hacemos 60 : 6 = 10, luego el 13 lo multiplicamos por 10, 60:10 = 6 luego el 51 lo multiplicamos por 6, etc. Cuando todas las fracciones tienen igual denominador, se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Si es posible se simplifica la fracción resultante. En los casos en que no sea fácil hallar el mínimo común múltiplo se hace lo siguiente: a c aꞏd cꞏb ad  cb     b d bꞏd bꞏd bd Así por ejemplo: 15 19 15 155 19 387 9 678 3 226 387 155 387 155 59 985 19 995 Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 19 Números Racionales. 3º de ESO Producto y división de fracciones: Sorprende que el producto y la división de fracciones sean más sencillos que la suma y la resta. a c aꞏc Producto: ꞏ  , se multiplican los numeradores entre sí para obtener el numerador de la fracción b d bꞏd producto y los denominadores entre sí para determinar el denominador de dicha fracción, fácil ¿no? Así: 3 5 3ꞏ5 15 ꞏ   11 7 11ꞏ7 77 ¿Por qué las fracciones se multiplican así? No vamos a demostrar el caso general, con un ejemplo nos bastará. 23 ꞏ significa dividir en 4 partes iguales y coger 3 (las 3 franjas inferiores 54 de la figura). Ahora debemos hacer 2/5 de lo que nos ha quedado, esas 3 franjas las dividimos en 5 partes iguales y tomamos 2. Como puede verse nos quedan 6 partes iguales de las 20 totales. A veces conviene hacer la multiplicación con inteligencia: Antes de multiplicar nos fijamos en que el 17 se puede simplificar (¿para qué vamos a multiplicar por 17 y luego dividir por 17?) y después el 5 puesto que 15=3∙5. Otro ejemplo: 12345 ꞏ ꞏ ꞏ ꞏ hazla, esperamos que llegues al resultado correcto ya simplificado que es 1/6  23456 Tenemos algo importante que decirte, no queremos ver esto nunca, nunca: es absolutamente falso (10/12 = 5/6 es lo correcto). Sólo pueden simplificarse si el número está multiplicando en el numerador y en el denominador (si es factor común). Esto tampoco está nada bien. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 20 Números Racionales. 3º de ESO Fracción inversa: a b a b ab La fracción inversa de es pues se cumple que ꞏ   1 que es la definición de inverso. b a b a ab Ejemplos: La inversa de 3/4 es 4/3 y la inversa de 2 es 1/2. División: a c a d ad :  ꞏ  b d b c bc 6 9 6 15 2ꞏ3ꞏ3ꞏ5 3 Luego para dividir se multiplica por la inversa de la fracción que divide. :  ꞏ   10 15 10 12 2ꞏ5ꞏ2ꞏ2ꞏ3 4 90 3 También puedes multiplicar y luego simplificar:  120 4 Preguntarás que si puedes multiplicar en x, pues dependerá de tu profesor. Casos curiosos: 1 a 10  Dividir entre una décima es multiplicar por 10 ya que a :  ꞏ  10 a 10 1 1 Como caso general: dividir entre 1/a es multiplicar por a. 1 a  Dividir entre un número es como multiplicar por su inverso: a : 2 = aꞏ  2 2 6  Torres de fracciones: No te asustes si ves esto 10 , es muy fácil, es lo mismo que 4 15 6 4 3 15 3ꞏ3ꞏ5 9 :  ꞏ   , no olvides que “__” es lo mismo que “:” 10 15 5 4 5ꞏ4 4 Ahora todo junto. Operaciones combinadas. Aplicaremos todo lo que “sabemos” sobre prioridad y uso de paréntesis. Actividades resueltas  Calcula paso a paso y simplifica:  3  1 4   1 3 2        :   ·   4  2 6    2 14 3  Primero hacemos el paréntesis de más adentro y la multiplicación del segundo paréntesis que tiene prioridad sobre la resta.  3  3 4    1 1   3  1    7 2   4   6  6   :  2  7    4   6   :  14  14             3 1 5  9 2  5 11 14 154 77    :    :  ꞏ    4 6  14  12 12  14 12 5 60 30 Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 21 Números Racionales. 3º de ESO La fracción como operador a) Fracción de un número: Nos piden hallar las 3 cuartas partes de 120. Traducimos: hallar de 120. Este “de” se traduce en matemáticas por un “por”, luego: 3 3 3 120 𝑑𝑒120 120 3 30 90 4 4 4 a a ac En general de c  ꞏc  b b b b) Fracción de una fracción: Ejemplos: 10 4 10 4 40 4 de  ꞏ   6 15 6 15 90 9 Halla las dos quintas partes de las diez doceavas partes de 360. 2 10 2ꞏ10ꞏ360 20ꞏ360 ꞏ ꞏ360    20ꞏ6  120 5 12 5ꞏ12 60 c) Problema inverso: Me dicen que las tres cuartas partes de un número va‐ len 66. ¿Qué número es? Está claro que un cuarto será 66 : 3 = 22 y los 4 cuartos son 22 ∙ 4 = 88. 4 Resumiendo 66ꞏ = 88 3 a b El caso general es: ꞏx  c  x  cꞏ , se multiplica el número por la fracción inversa. b a Actividades propuestas 9. Halla las cuatro quintas partes de las tres cuartas partes de 12. 10. Las cinco sextas partes de un número son 100, ¿qué número es? Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 22 Números Racionales. 3º de ESO 1.6. Números irracionales. Expresión decimal de los números irracionales Existen otros números cuya expresión decimal es infinita no periódica. Ya conoces algunos: π, 2 … Cuando los griegos demostraron que existían números como 2 , o como el número de oro, que no se podían poner en forma de fracción y que tenían, por tanto, infinitas cifras decimales no periódicas, les pareció algo insólito. Por eso estos números recibieron ese extraño nombre de “irracionales”. No lo podían entender dentro de su filosofía. Lo interesante es que existe una longitud que mide exactamente 2 , que es la diagonal de cuadrado de lado 1, o la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles de catetos 1. El método para demostrar que 2 no se puede escribir en forma de fracción se denomina “reducción al absurdo”. Consiste en suponer que sí se puede, y llegar a una contradicción. Este procedimiento sirve igual para todas las raíces no exactas, como con 3, 5… Pero no vale para todos los irracionales. Para demostrar que  es un número irracional hay que estu‐ diar mucho. Está relacionado con el interesante problema de la cuadratura del círculo. Fue demostrado a finales del siglo XVIII por Lambert. Hasta ese momento todavía se seguían calculando decimales para encontrar un periodo que no tiene. Estos números cuya expresión decimal es infinita y no periódica se denominan números irracionales. Se llaman números reales al conjunto formado por los números racionales y los números irracionales. Con estos números tenemos resuelto el problema de poder medir cualquier longitud. Esta propiedad de los números reales se conoce con el nombre de completitud. A cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un número real. Observa que también a cada número racional le corresponde un punto de la recta, pero no al contrario, pues 2 es un punto de la recta que no es racional. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 23 Números Racionales. 3º de ESO 1.7. Distintos tipos de números Ya conoces distintos tipos de números: Naturales  N = {1, 2, 3, …} Son los números que se usan para contar y ordenar. El 0 no suele considerarse un número natural. Enteros  Z = {…, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …} Son los números naturales, sus opuestos y el cero. No tienen parte decimal, de ahí su nombre. Incluyen a los Naturales. A los números que se pueden expresar en forma de cociente de dos números enteros se les denomina números racionales y se les representa por la letra Q. Por tanto a Racionales  Q = { ; a  Z , b  Z , b  0} b Los números racionales incluyen a los Enteros. También contienen a los números que tienen expresión decimal exacta (0.12345) y a los que tienen expresión decimal periódica (7.01252525…) pues pueden escribirse en forma de fracción. Los números como 2, 3,...π… son los números irracionales. Tienen una expresión decimal infinita no periódica. Junto con los números racionales forman el conjunto de los números reales. Por tanto Irracionales  I =  Q. Son números irracionales aquellos números que no pueden ponerse como fracción de números ente‐ ros. Hay más de lo que podría parecer (de hecho, hay más que racionales ¡!), son todos aquellos que tienen una expresión decimal que no es exacta ni periódica, es decir, infinitas cifras decimales y sin periodo. Ejemplos: 17.6766766676… que me lo acabo de inventar o 0.1234567891011… que se lo in‐ ventó Carmichael. Invéntate uno, busca en Internet y si no lo encuentras, pues es tuyo (por ahora ) Reales   = Q  I. Es la unión de los números racionales y de los irracionales. Tenemos por tanto que: N  Z  Q  . I  ¿Son estos todos los números? No, los reales forman parte de un conjunto más amplio que es el de los Números Complejos C (en 1º de bachillerato se estudian en la opción de Ciencias). Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 24 Números Racionales. 3º de ESO 2. APROXIMACIONES Y ERRORES En la vida cotidiana y también en las Ciencias Aplicadas es necesario trabajar con números aproxima‐ dos. Unos ejemplos: Queremos comprar un tercio de metro de tela, tenemos que decirle al dependiente cuanto quere‐ mos y no vamos a ser tan idiotas como para decirle que nos dé 0.333… metros o 33.333… cm que es lo exacto. Lo normal es pedir 33 cm o 333 mm si somos muy finos. Medimos un folio A4 con la regla y nos da 29.7 cm, la regla llega a los mm. Queremos dividirlo en 8 partes iguales, ¿cuánto medirá cada parte?, si hacemos 29.7 : 8 nos da 3.7125 cm, pero la regla no llega a tanto, será mejor aproximar a 3.7 cm. Hacemos un examen con 9 preguntas que valen todas igual. Tenemos 5 bien y las demás en blanco. ¿Qué nota tenemos?, 10 ∙ 5/9 = 5.555555556 según la calculadora, ¿las ponemos todas?, si lo ha‐ cemos estamos suponiendo que somos capaces de distinguir 1 parte de entre 10000 millones de partes iguales del examen. Lo razonable es 5.6 o 5.56 si somos muy pero que muy precisos. Resulta curioso y debería ser delito que en las gasolineras se anuncie: Precio del gasoil 1.399 €/litro. Si alguien va y pide un litro exacto, o 2 o 15 no se lo pueden cobrar exactamente puesto que ¡no existen las milésimas de €!, deberían escribir 1.40 €/litro. Es cierto que de esa manera te ahorras 5 céntimos si echas 50 litros, pero a ellos les compensa el tema psicológico, la gente poco culta en números ve 1.3 en lugar de 1.4. Exactamente lo mismo pasa en los supermercados: merluza 5.99 €/Kg. Son trucos baratos que una mente entrenada sabe detectar y actuar en consecuencia. La diferencia entre 6 €/Kg y 5.99 €/Kg es que te ahorras ¡1 céntimo! si compras 1 Kg, si compras medio, ¿cuánto te ahorras?, ¡nada!, 5.99 : 2 = 2.995 que redondeado es 3, que es lo que cobran. Aunque bien mirada la oferta no está tan mal, sin compras 5 Kg. de merluza ahorras para comprarte un caramelo, eso sí, tienes que com‐ prar más de medio Kg por vez. Utilizar demasiadas cifras decimales sin estar seguro de ellas no es sinónimo de precisión sino de torpe‐ za. 2.1. Redondeo Te recordamos como se redondean correctamente los números. Redondear  a las diezmilésimas:  = 3.1415926535…, la cifra de las diezmilésimas es 5, como la cifra siguiente es 9 que es  5, le sumamos 1 al 5 y pondremos 𝜋 3.1416. Fíjate que  está más cerca de 3.1416 que de 3.1415 Redondear 2 a las centésimas: 2 = 1.41421356…, ahora la cifra siguiente es 4 < 5 luego la de‐ jamos tal cual, √2 1.41 La regla es: Localizamos la cifra de redondeo, miramos la siguiente cifra (sólo la siguiente), si ésta es menor que 5 dejamos la cifra de redondeo igual, si la cifra siguiente es 5 o mayor que 5 incrementamos en 1 la cifra de redondeo. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 25 Números Racionales. 3º de ESO Más ejemplos: Redondea 1.995 a las centésimas  2.00 y los ceros hay que escribirlos para indicar dónde hemos redondea‐ do. 1 555 555 en los miles  1 556 000 donde hay que completar con ceros después de los miles. 6.94999 en las décimas  6.9 sólo hay que mirar el 4 Nota importante: Si el resultado de un problema son € se redondeará siempre en los céntimos. Redondeo de números decimales. En este vídeo el alumnado aprenderá a través de ejemplos muy visuales y didácticos a redondear números deci‐ males a la unidad, la decena y la centésima más cercana. A lo largo del vídeo se plantean breves ejercicios para interactuar con el alumnado y comprobar la comprensión de los contenidos. ¡Te animo a verlo! Aula chachi. https://www.youtube.com/watch?v=YfLZajSwm4c Otra nota importante: Si queremos dar un resultado con 2 decimales en los pasos intermedios trabaja‐ remos con más decimales, al menos 3 o 4, de lo contrario el resultado no tendrá la precisión que pre‐ tendemos, un ejemplo: A = 9.65; B = 6.98 y C = 4.99. Queremos hacer (A ∙ B) ∙ C2, si hacemos A ∙ B y redondeamos en las centésimas nos queda 67.36 y si ahora multiplicamos por 4.992 = 24.90 nos sale 1 677.26. El resultado correcto es 1 677.20 donde sólo hemos redondeado al final. 2.2. Cifras significativas. Es el número de cifras “con valor” que se utilizan para expresar un número aproximado. Unos cuantos ejemplos y lo entiendes: 2.25 tiene 3 cifras significativas; 28.049 tiene 5 cifras significativas. 5.00 tiene 3; 4 000.01 tiene 6; 10 000 no sabemos las cifras significativas que tiene, puede ser 1 o 2 o 3 o 4 o 5, nos tienen que decir en qué cifra se ha aproximado. Para este último caso puede recurrirse a la notación científica para decir con precisión el número de cifras significativas, así: 1∙104 tiene una cifra significativa, 1.0 ∙ 104 tiene 2 y así hasta 1.0000∙104 que tiene 5. Consideraciones:  Las cifras distintas de 0 siempre son significativas.  Los ceros a la izquierda nunca son cifras significativas: 0.0002 tiene una cifra significativa.  Los ceros en medio de otras cifras distintas de 0 siempre son significativos 2004 tiene 4 cifras significativas. Más que el número de decimales la precisión de una aproximación se mide por el número de cifras significativas. No deben utilizarse más cifras de las que requiera la situación. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 26 Números Racionales. 3º de ESO Cifras Significativas (Ejercicios Resueltos + 5 Reglas CLAVE). Las cifras sig‐ nificativas, el redondeo y la notación científica son muy importantes. En este vídeo aprenderás todas las reglas y criterios de las cifras significati‐ vas con ejercicios resueltos. Javier Delgado https://www.youtube.com/watch?v=ey5EgiPIuOA Actividades propuestas 11. Copia esta tabla en tu cuaderno y redondea con el número de cifras indicado Cifras significativas Número 1 2 3 4 10 1/7 95 549 100 000 30 000 3∙104 1.9995 2.000 20.55 2.3. Error absoluto y error relativo I.‐ Error absoluto Se define el error absoluto (EA) como EA = valor real  valor aproximado. Las barras verticales se leen “valor absoluto” y significan que el resultado se dará siempre positivo. Ejemplo: Aproximamos 1/3 de litro por 0.33 litros. EA = 0.33 0.00333... 0.0033 litros Otro ejemplo: Aproximamos 16/6 Kg. con 2 cifras significativas (2.7 Kg.) EA = 2.7 | 0.0333... | 0.033 Kg.  No deben ponerse demasiadas cifras significativas en el error absoluto, 2 o 3 es suficiente.  El error absoluto tiene las mismas unidades que la magnitud que se aproxima. ¿Estos errores son grandes o pequeños?, la respuesta es, ¿comparados con qué? Para ello se define el error relativo que sí nos da una medida de lo grande o pequeño que es el error absoluto. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 27 Números Racionales. 3º de ESO II.‐ Error relativo Para comparar errores de distintas magnitudes o números se define el Error Relativo (ER) como: EA ER = Valor real que suele multiplicarse por 100 para hablar de % de error relativo. Si no se conoce el valor real se sustituye por el valor aproximado (la diferencia normalmente es peque‐ ña). Calculamos el error relativo para los ejemplos de arriba:.. 1º) 𝐸𝑅 0.0099 ⇒ 0.99 % de ER 2ª) 𝐸𝑅 0.0124 ⇒ 1.2 % de ER / / Ahora sí podemos decir que la 1ª aproximación tiene menos error que la 2ª, puesto que el error relativo es menor. El error relativo (ER) no tiene unidades y por ello se pueden comparar errores de distintas magnitudes o con distintas unidades. ¿Qué hacer si no se conoce el valor exacto? En este caso no se puede calcular el error absoluto, sin embargo todos los aparatos de medida tienen un error absoluto máximo. Balanzas de baño que miden de 100 g en 100 g su error absoluto máximo es de 50 g. Cronómetros que miden centésimas de segundo, su error absoluto máximo será de 0.005 s, media centésima. Reglas normales que miden mm, su error absoluto máximo será de 0.5 mm = 0.05 cm = 0.0005 m A esto se le denomina cota de error absoluto. Actividades resueltas Te pesas en una báscula de baño y te marca 65.3 Kg, el error absoluto máximo es de 0.05 Kg (50 g) Ahora pesamos un coche en una báscula especial y pesa 1 250 Kg con error absoluto máximo de 10 Kg. ¿Qué medida es más precisa? , Tú  𝐸𝑅 0.00077 ⇒ 𝐸𝑅 0.077 % , Coche  𝐸𝑅 0.008 ⇒ 𝐸𝑅 0.8 % Es mucho más precisa la báscula de baño en este caso. Sin embargo, si en la misma báscula pesamos a un bebé y marca 3.1Kg, el error relativo sale menor o igual que 1.6 % (pruébalo) y ahora la medida de la báscula de baño es mucho menos precisa. Así que el error depende de la precisión de la máquina y de la medida que hagamos con ella. Actividades propuestas 12. Prueba que 123.45 con EA = 0.005 y 0.12345 con EA = 0.000005 tienen el mismo ER. 13. Contesta Verdadero o Falso y justifica tu respuesta: a) Para una misma máquina de medir el error cometido es menor cuanto más pequeña sea la medida. b) No se pueden comparar errores relativos de distintas magnitudes. c) Poner precios como 1.99 €/Kg es un intento de engaño. d) Comprar a 1.99 €/Kg frente a 2 €/Kg supone un ahorro. e) Poner muchas cifras en un resultado significa que uno es un gran matemático. f) La precisión se mide por el número de cifras decimales. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 28 Números Racionales. 3º de ESO 3. FRACCIONES Y DECIMALES Vamos a ver cómo se pasa de fracción a decimal y de decimal a fracción. 3.1. Expresión decimal de una fracción Toda fracción tiene una expresión decimal que se obtiene dividiendo el numerador entre el denomina‐ dor: a/b = a : b. Ejemplos: 3 68 91 177 0.12; 0.686868... ; 1.1375; 1.9666... 25 99 80 90 Como puedes observar unas veces la expresión decimal es exacta (puesto que el resto sale 0) y otras veces sale periódica, infinitos decimales entre los que se repite un bloque de cifras que se denomina periodo. ¿Siempre sale así, exacto o periódico?, tú te contestas cuando leas lo siguiente. Hacemos 1/17 = 1 : 17 = 0.05882352941…, que son las cifras que muestra la calculadora, no parece tener periodo, pero ¿será posible que sí lo tenga pero que no lo veamos por ser muy largo? Empezamos a hacer la división: Los restos obtenidos son 10; 15; 14; 4; 6; … Como sabes los restos son inferiores al divisor y en este caso pueden ser 1; 2; 3; 4; …; 15 o 16, el 0 no puede salir, lo explicamos después. Hacemos ahora 2 preguntas: ¿Qué ocurre si vuelve a salir el mismo resto 2 veces?, ¿tiene a la fuerza que repetirse alguna vez un resto? La respuesta a la primera pregunta es que si se repite un resto se repetirá la cifra del cociente y a partir de ahí se repetirán todas en forma de periodo. La respuesta a la segunda pregunta es: ¡Sí, a la fuerza, seguro que sí!, si tengo 16 posibles restos y su‐ ponemos que han salido los 16 posibles ya, ¿qué ocurre al sacar el siguiente? Lo entiendes mejor con caramelos, tengo muchos caramelos para repartir entre 16 personas, ya le he dado 1 caramelo a cada uno, es decir, todos tienen ya 1 caramelo, me dispongo a repartir el siguiente, ¿le tocara a alguien que ya tiene? A esto se le denomina en matemáticas “Principio del Palomar” y es una herramienta muy potente. Busca algo sobre él. Meto 5 pelotas en 4 cajas, ¿habrá alguna caja con más de 1 pelota? Esperamos que lo hayas entendido, en el peor de los casos el resto número 17 tiene que coincidir con alguno de los anteriores, se repetirán las cifras del cociente y por tanto la expresión decimal es periódi‐ ca. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 29 Números Racionales. 3º de ESO Puedes comprobar que efectivamente los restos son 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7, 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1, 10, …, el peor de los casos posibles, se repite el que hace el número 17. Lo normal es que se repita antes. Por cierto, que la división sale: 1 : 17 = 0.05882352941176470588235294117647… un periodo de ¡sólo 16 cifras! Aunque hemos visto un caso particular, ésta es una regla general: La expresión decimal de una fracción es exacta o periódica. El número de cifras del periodo de 1/n es menor o igual que n – 1. ¿Cuándo sale exacta y cuándo periódica? 27 Pues es fácil, nos dan una fracción como por ejemplo , primero la simplificamos hasta obtener la 150 27 9 irreducible:  , nos fijamos sólo en el denominador y lo descomponemos en factores pri‐ 150 50 mos, 50 = 5 ∙ 10 = 5 ∙ 2 ∙ 5 = 2 ∙ 52, como los factores primos son sólo 2 y 5 la expresión decimal es exacta. Veamos la razón: 2 ∙ 52 es divisor de 22 ∙ 52 = 100 una potencia de 10. Se cumple 2⇒ 0.02, sólo falta multiplicar por 9  0.02 9 0.18. Fíjate que el número de decimales es 2, el mayor de los exponentes de 2 y 5. Por ejemplo 0.0005 tiene 4 cifras decimales pues el mayor exponente es 4. 1 En general tiene expresión decimal exacta y el número de cifras decimales es el máximo entre n y 2 ꞏ5m n m. 20 10 El otro caso:  , descomponemos el 21 en factores primos, 21 = 3 ∙ 7, como hay factores dis‐ 42 21 tintos de 2 y 5 la expresión será periódica. Veamos: si la expresión fuese exacta podríamos escribir 10  a n  10ꞏ10  a , con “a” un núme‐ n 3ꞏ7 10 3ꞏ7 ro entero. Pero ¡esto no puede ser!, 10 sólo tiene los factores 2 y 5 y los factores 3 y 7 no pueden simplificarse. Como no puede ser exacta será periódica. Si en el denominador de una fracción irreducible aparecen factores primos distintos de 2 y de 5 la ex‐ presión decimal será periódica. Actividades propuestas 14. Sin hacer la división indica si las siguientes fracciones tienen expresión decimal exacta o periódica: 21 75 11 35 a) b) c) d) 750 21 99 56 Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 30 Números Racionales. 3º de ESO 3.2. Forma de fracción de una expresión decimal 1 175 47 Los números decimales exactos o periódicos pueden expresarse 1.175 como una fracción. A esta fracción se la denomina fracción gene‐ 1 000 40 2 068 517 ratriz. 20.68 100 25 De decimal exacto a fracción: 31 416 3 927 3.1416 Es muy fácil, mira los ejemplos de la derecha. 10 000 1 250 ¿Has pillado el truco? Para obtener la fracción generatriz se pone en el numerador el número sin la coma y en el de‐ nominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene. Se simplifica la frac‐ ción. Las personas inteligentes comprueban lo que han hecho, divide 47 entre 40, si te da 1.175 ¡está bien!, y no hace falta que nadie te lo diga  De decimal periódico a fracción: Antes de ver el método riguroso vamos a jugar un rato. Coge la calculadora y haz las siguientes divisiones y apunta los resultados decimales en tu cua‐ derno: 1:9; 2:9; 3:9; 8:9; 1:99; 13:99; 37:99; 98:99; 1:999; 123:999; 567:999; 998:999. Nota: Al hacer 6/9 la calculadora da 0.6666666667, realmente es 6 periódico, la calculadora lo hace bien y redondea en la última cifra. Si has observado bien ya sabes escribir un montón de expresiones decimales periódicos a su forma de fracción, es decir, sabes calcular su fracción generatriz. Por ejemplo: 0.444…= 4/9; 0.333… = 3/9 = 1/3. 0.171717…= 17/99; 0.454545… = 45/99 = 5/11; 0.878787= 87/99 = 29/33 0.337337337… = 337/999; 0.549549…= 549/999 = 61/111 ¿Cómo será 0.1234512345…?, pues 12 345 / 99 999 = 4 115 / 33 333 Así que ya lo sabes, para tener un periodo de n cifras el denominador tiene n nueves. Pero el truco anterior no vale para 5.888… 8 45 8 53 Lo adaptamos: 5.888… = 5 + 0.888… = 5 +    9 9 9 9 Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 31 Números Racionales. 3º de ESO Sigue sin valer para 0.7333… 7 3 7 3 21 1 22 11 Hacemos 0.7333… = 0.7 + 0.0333… =  :10       10 9 10 90 30 30 30 15 Combinando los 3 trucos anteriores salen todos, pero no seguimos, te dejamos que investigues tú. No‐ sotros vamos a explicar el método serio. ¿Es 0.99999…, con infinitos 9s, igual a 1? https://www.youtube.com/watch?v=11dd4srNb_E Otro ejemplo: Nos piden expresar el número 7.3252525... a su forma de fracción. Lo primero será ponerle un nombre, por ejemplo, N = 7.3252525…, lo segundo es conseguir 2 números con la misma parte de‐ cimal. El ante periodo tiene 1 cifra y el periodo 2. Para conseguir la misma parte decimal multiplicamos por 1000 y la coma se va hasta después del primer periodo, si multiplicamos por 10 la coma se va has‐ ta delante del primer periodo. Ya tenemos 2 números con la misma parte decimal, si los restamos ésta desaparece y podemos despejar N. Fíjate que la resta se hace en los 2 miembros a la vez. Método formal: Para obtener la fracción generatriz de una expresión decimal multiplicamos el número por la potencia de 10 necesaria para llevarnos la coma al final del primer periodo, luego lo multiplicamos otra vez para que la coma quede al principio del primer periodo. Otro ejemplo y lo entiendes: N = 15.25636363… ¿Cómo conseguir 2 números con la parte decimal.636363…? Pues lo más fácil es 10 000N = 152 563.6363… y 100N = 1 525.6363… Restamos: 9 900N = 151 038  N = Estos son los casos más difíciles (periódicos mixtos), cuando no haya ante periodo (periódico puro) sólo habrá que multiplicar una vez puesto que ya tenemos el periodo justo después de la coma: Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 32 Números Racionales. 3º de ESO N = 4.545454… 100N = 454.5454…  1N = 4.5454… __________________ 450 50 99N = 450  N =  99 11 Ejemplos: N 10N  1N = 9N 1.333… 13.333…  1.333… = 12 N = 12/9 N 100N  10N = 90N 5.6777… 567.77…  56.77… = 511 N = 511/90 N 1 000N  100N = 900N 8.65888… 8 658.88…  865.88... = 7 793 N = 7 793/900 Por último, si te dicen que hay un truco para hacer esto en segundos y sin calentarse la cabeza, pues es cierto, lo hay, lo conocemos. Es una regla que se olvida y por tanto no vale para nada, no es razonada. Actividades propuestas 15. Pasa a fracción y simplifica: a) 1.4142 b) 0.125 c) 6.66 16. Pasa a fracción y simplifica: a. 1.41424142… b. 0.125125… c. 6.666… 17. Pasa a fracción y simplifica: 1) 1.041424142… 2) 0.7125125… 3) 6.7666… 18. Determina la fracción generatriz de: A. 0.333… + 0.666… B. 0.888… ∙ 2.5 C. 0.65 : 0.656565… Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 33 Números Racionales. 3º de ESO 4. INTERVALOS, SEMIRRECTAS Y ENTORNOS Entre dos números reales hay infinitos números. Hay una notación especial para referirse a esos infini‐ tos números que deberás conocer. 4.1. Intervalos. Tipos y significado (Del lat. intervallum): 2. m. Conjunto de los valores que toma una magnitud entre dos límites dados. RAE. Definición: Un subconjunto de  es un intervalo si para cualquier par de elementos, a y b, de ese subconjunto se verifica que si a < x < b entonces x debe pertenecer a dicho subconjunto. Vamos a estudiar en este apartado intervalos acotados de distintos tipos: los intervalos abiertos, los intervalos cerrados y los intervalos semiabiertos (o semicerrados) Intervalos abiertos Si nos queremos referir al conjunto de los números que hay entre dos valores pero sin contar los ex‐ tremos, usamos un intervalo abierto Ejemplo: Los números superiores a 2 pero menores que 7 se representan por (2, 7) y se lee “intervalo abierto de extremos 2 y 7”. A él pertenecen infinitos números como 2.001; 3.5; 5; 6.999; … pero no son de este conjunto ni el 2 ni el 7. Eso representan los paréntesis, que entran todos los nú‐ meros de en medio pero no los extremos. Ejemplo: Los números positivos menores que 10, se representan por (0, 10), el intervalo abierto de ex‐ tremos 0 y 10. Fíjate que 0 no es positivo, por lo que no entra y el 10 no es menor que 10, por lo que tampoco entra. Nota: No se admite poner (7, 2), ¡el menor siempre a la izquierda! También hay que dominar la expresión de estos conjuntos usando desigualdades, prepárate: (2, 7) = {x  / 2 < x < 7}. Traducimos: Las llaves se utilizan para dar los elementos de un conjunto, dentro de ellas se enumeran los elementos o se da la propiedad que cumplen todos ellos. Se utiliza la x para denotar a un número real, la / significa “tal que” (en ocasiones se utiliza un punto y coma “;” o una raya vertical “”) y por último se dice la propiedad que cumplen mediante una doble desigualdad. Así que no te asustes, lo de arriba se lee: los números reales tal que son mayores que 2 y menores que 7. Usaremos indistintamente varias de estas nomenclaturas para que todas te resulten familiares. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 34 Números Racionales. 3º de ESO Es necesario dominar este lenguaje matemático puesto que la frase en castellano puede no entenderse en otros países pero te aseguramos que eso de las llaves y la  lo entienden todos los estudiantes de matemáticas del mundo (bueno, casi todos). El otro ejemplo: (0, 10) = {x  / 0 < x < 10}. Por último la representación gráfica: Se ponen puntos sin rellenar en los extremos y se resalta la zona intermedia. En ocasiones también se pueden poner en el 2 y en el 7 paréntesis: “( )”, o corchetes al revés: “] [“. Pregunta: ¿Cuál es número que está más cerca de 7, sin ser 7? Piensa que 6.999… = 7 y que entre 6.999 y 7 hay “muchos, muchísimos …” números. Nota: En algunos textos los intervalos abiertos se representan así: ]2, 7[ lo cual tiene algunas ventajas como que los estudiantes no confundan el intervalo (3, 4) con el punto del plano (3, 4), que aseguramos que ha ocurrido (pero tú no serás uno de ellos ¿no?. Intervalos cerrados Igual que los abiertos pero ahora sí pertenecen los extremos. Ejemplo: El intervalo de los números mayores o iguales que 2 pero menores o iguales que 5. Ahora el 2 y el 5 sí entran. Se hace igual pero poniendo corchetes: [2, 5]. En forma de conjunto se escribe: [2, 5] = {x  ; 2  x  5}. Fíjate que ahora ponemos  que significa “menor o igual”. Ejemplo: El intervalo de los números cuyo cuadrado no es superior a 4. Si lo piensas un poco verás que son los números entre el 2 y el 2, ambos incluidos (no superior  menor o igual). Por tanto: [2, 2] = {x  ; 2  x  2}. La representación gráfica es igual pero poniendo puntos rellenos. En ocasiones también se puede representar gráficamente con corchetes: “[ ]”. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 35 Números Racionales. 3º de ESO Intervalos semiabiertos (o semicerrados, a elegir) Por supuesto que un intervalo puede tener un extremo abierto y otro cerrado. La notación será la misma. Ejemplo: Temperatura negativa pero no por debajo de 8 C: [8, 0) = {x  ; 8  x < 0}. Es el intervalo cerrado a la izquierda de extremos 8 y 0. Números superiores a 600 pero que no excedan de 1000. (600, 1000] = {x  ; 600 < x  1000}. Es el intervalo cerrado a la derecha de extremos 600 y 1000. 4.2. Semirrectas Muchas veces el conjunto de interés no está limitado por uno de sus extremos. Ejemplo: Los números reales positivos: No hay ningún número positivo que sea el mayor. Se recurre en‐ tonces al símbolo  y se escribe: (0, +) = {x   x > 0}. Nótese que es equivalente poner x > 0 que poner 0 < x, se puede poner de ambas formas. Ejemplo: Números no mayores que 5: (, 5] = {x   x  5}. Aquí el 5 sí entra y por eso lo ponemos cerrado (“no mayor” equivale a “menor o igual”) Ejemplo: Solución de x > 7: (7, +) = {x   x > 7}. Nota: El extremo no acotado siempre se pone abierto. No queremos ver esto: (7, + ] Las semirrectas también son intervalos. Son intervalos no acotados. Incluso la recta real es un intervalo: (, +) = {x    < x < +} = . Es el único intervalo no acotado ni superiormente ni inferiormente. Observa que con esta nomenclatura estamos diciendo que  y que + no son números reales. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 36 Números Racionales. 3º de ESO 4.3. Entornos Es una forma especial de representar los intervalos abiertos. Se define el entorno de centro a y radio r y se denota E(a, r) (otra forma usual es Er (a) ) como el con‐ junto de números que están a una distancia de a menor que r. E(a, r) = (a  r, a + r) Observa que un entorno es siempre un intervalo abierto y acotado. Con un ejemplo lo entiendes mejor: Ejemplo: El entorno de centro 5 y radio 2 son los números que están de 5 a una distancia menor que 2. Si lo pensamos un poco, serán los números entre 5  2 y 5 + 2, es decir, el intervalo (3, 7). Es como coger el compás y con centro en 5 marcar con abertura 2. Fíjate que el 5 está en el centro y la distancia del 5 al 7 y al 3 es 2. Ejemplo: E(2, 4) = (2  4, 2 + 4) = (2, 6) Es muy fácil pasar de un entorno a un intervalo. Vamos a hacerlo al revés. Ejemplo: Si tengo el intervalo abierto (3, 10), ¿cómo se pone en forma de entorno? 3  10 13 Hallamos el punto medio  = 6.5 que será el centro del entorno. Nos falta hallar el radio: 2 2 (10  3) : 2 = 3.5 es el radio (la mitad del ancho). Por tanto (3, 10) = E(6.5 ; 3.5). En general:  b  c c b  El intervalo (b, c) es el entorno E  , .  2 2  Ejemplo: El intervalo (8, 1) = 𝐸 , 𝐸 3.5; 4.5. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 37 Números Racionales. 3º de ESO 4.‐ RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE FRACCIONES Vemos unos cuantos ejemplos: i) ¿Cuántos litros hay en 80 botellas de 3 cuartos de litro cada una? Lo primero que debes hacer es ponerte un ejemplo con números más fáciles. HAZLO MÁS FÁCIL PARA EMPEZAR Tengo 10 botellas cada una de 2 litros. Está claro que tenemos 20 li‐ tros, ¿qué operación hemos hecho?, ¿multiplicar?, pues lo mismo hacemos con los números del pro‐ blema: 3 litros 3ꞏ80 ꞏ80botellas   60litros 4 botella 4 (Observa que botellas se van con botellas y las unidades finales son litros). ii) ¿Cuántas botellas de 3 octavos de litro necesito para envasar 900 litros? Nuevamente cambiamos los números por otros más sencillos: quiero envasar 10 litros en botellas de 2 litros. Está claro que necesito 5 botellas (10 : 2). Hacemos lo mismo con nuestros números: 3 900 litros : litros/botella = 900 ∶ 900 300 8 2 400botellas 8 Fíjate que litros se va con litros y que las botellas que dividen en el denominador al final pasan multipli‐ cando en el numerador, por lo que unidad del resultado es “botellas”. litros litros litrosꞏbotella :   botella 1 botella litros iii) Lluvia gana cierto dinero al mes, si se gasta el 40 % de él en pagar la letra del piso, el 75 % de lo que le queda en facturas y le sobran 90 € para comer. ¿Cuánto gana y cuánto gasta en el piso y en facturas? 40 2 75 3 Lo primero: 40 % =  y 75 % =  100 5 100 4 Lo hacemos de 2 maneras y eliges la que más te guste: a) Método gráfico: Hacemos un rectángulo de 5 x 4 cuadrados que son los denominado‐ res. De las 5 franjas verticales iguales quitamos 2 que es lo que se gasta en la letra del piso. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo 1: Números Racionales Autor: Paco Moya www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Paco Moya y Banco de Imágenes de INTEF 38 Números Racionales. 3º de ESO Lo que queda está dividido en 4 partes iguales y quitamos 3 que es lo que se gasta en facturas. Nos quedan 3 cuadraditos que son los 90 € de la comida. Luego un cuadradito es 90 : 3 = 30 €. Lo que gana es 30 ∙ 20 = 600 €. En la letra se gasta 30 ∙ 8 = 240 € y en facturas 30 ∙ 9 = 270 €. b) Con fracciones: Si a una cantidad le quitamos sus 2/5 nos quedan 3/5 de ella (1  2/5 = 5/5 – 2/5) 33 9 En facturas nos gastamos ꞏ  4 5 20 3 9 12  9 3 Si teníamos 3/5 y nos gastamos 9/20 nos quedan    de la cantidad inicial. Esos 3/20 5 20 20 20 nos dicen que son 90 €. Por lo tanto 1/20 serán 90 : 3 = 30 €. La cantidad total son los 20/20 luego 30 ∙ 20 = 600 €. En la letra del piso me gasto 2/5 de 600 = 1200 : 5 = 240 € y en facturas 3/4 de (600 – 240) = 3/4 de 360 = 270 €. Tengo Quito Me queda En cualquier caso los problemas se comprueban. 1 2/5 3/5 40 % de 600 = 0.4 ∙ 600 = 240 € se gasta en la letra. 3/5 3/4 de 3/5 = 9/20 3/5 – 9/20 = 3/20 600 – 240 = 360 € me quedan. 75 % de 360 = 0.75 ∙ 360 = 270 € se gasta en facturas. 360 – 270 = 90 € que le quedan para comer. ¡Funciona! iv) Una pelota pierde en cada bote 1 quinto de la altura desde la que cae. a) ¿Cuántos botes debe dar para que la altura alcanzada sea inferior a 1 décimo de la inicial? b) Si después del cuarto bote su altura es de 12.8 cm, ¿cuál era la altura inicial? Lo primero es darse cuenta de que si pierde un quinto de la altura se queda con los 4 quintos de ésta. Por tanto en cada bote la altura se multiplica por 4/5. n 4 1 a) Tenemos que ver para qué n se cumple    = 0.1  5  10 Y esto lo hacemos probando con la calculadora: 0.107 0.1 pero 0.0859 0.1 , lue‐ go hacen falta 11 botes. Matemáticas. 3º ESO. Capítulo