Tema 18.- Matrices.. PDF

“TEMARIO DE OPOSICIONES A PROFESORADO DE SECUNDARIA EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS” Q TEMA 18.- MATRICES. ÁLGEBRA DE MATRICES. RS APLICACIONES AL CAMPO DE LAS CIENCIAS SOCIALES...

“TEMARIO DE OPOSICIONES A PROFESORADO DE SECUNDARIA EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS” Q TEMA 18.- MATRICES. ÁLGEBRA DE MATRICES. RS APLICACIONES AL CAMPO DE LAS CIENCIAS SOCIALES Y LA NATURALEZA Autor: Raúl Sánchez Quirós By  Q Índice general 1. INTRODUCCIÓN RS 2. MATRICES: DEFINICIONES Y NOTACIONES 3. ÁLGEBRA DE MATRICES 3.1. EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES........... 3.2. PRODUCTO DE MATRICES: PROPIEDADES............. 3.3. EL ANILLO DE LAS MATRICES CUADRADAS............ 3 6 10 10 13 15 3.4. MATRIZ INVERSIBLE.......................... 16 4. APLICACIONES DE LAS MATRICES 18 4.1. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL......... 19 4.2. APLICACIONES DE LAS MATRICES AL CAMPO DE LAS CIENCIAS 21 By 5. CONCLUSIÓN 26 6. BIBLIOGRAFÍA 27 2  Q Capı́tulo 1 INTRODUCCIÓN RS El Real Decreto 243/2022, de 5 de abril, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mı́nimas del Bachillerato, dispone que las matemáticas constituyen uno de los mayores logros culturales e intelectuales de la humanidad. A lo largo de la historia, las diferentes culturas se han esforzado en describir la naturaleza utilizando las matemáticas y en transmitir todo el conocimiento adquirido a las generaciones futuras. Hoy en dı́a, ese patrimonio intelectual adquiere un valor fundamental ya que los grandes retos globales, como el respeto al medio ambiente, la eficiencia energética o la industrialización inclusiva y sostenible, a los que la sociedad tendrá que hacer frente, requieren de un alumnado capaz de adaptarse a las condiciones cambiantes, de aprender de forma autónoma, de modelizar situaciones, de explorar nuevas vı́as de By investigación y de usar la tecnologı́a de forma efectiva. Por tanto, resulta imprescindible para la ciudadanı́a del siglo XXI la utilización de conocimientos y destrezas matemáticas como el razonamiento, la modelización, el pensamiento computacional o la resolución de problemas. 3 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN La Orden de 30 de mayo de 2023, por la que se desarrolla el currı́culo correspondien- te a la etapa de Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Andalucı́a, establece que el sentido algebraico proporciona el lenguaje en el que se comunican las Matemáticas: Q ver lo general en lo particular, reconocer relaciones de dependencia entre variables y expresarlas mediante diferentes representaciones, ası́ como modelizar situaciones ma- temáticas o del mundo real con expresiones simbólicas son caracterı́sticas fundamentales del sentido algebraico. RS Los contenidos que se desarrollan en este tema pertenecen a este conjunto de destre- zas, lo cual justifica su inclusión en el temario que rige el ingreso al Cuerpo de Profesores por la especialidad de Matemáticas. El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., “Nueve capı́tulos sobre el Arte de las matemáticas” (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. En el capı́tulo séptimo, ((Ni mucho ni poco)), el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán By Gottfried Leibniz en 1693. Después del desarrollo de la teorı́a de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.  5 El término ((matriz)) fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teorı́a de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógni- Q tas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teorı́a de matrices. Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teorı́a de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado ((fluttering)). RS By  Q Capı́tulo 2 MATRICES: DEFINICIONES Y NOTACIONES RS Sean I, J, K tres conjuntos, se denomina matriz de tipo (I, J ) con elementos en un cuerpo K, o simplemente matriz de tipo (I, J) sobre K, a toda familia A = (aij )(i,j)∈I×J de elementos de K en los que el conjunto de ı́ndices es el conjunto I × J. Para todo i ∈ I, la familia (aij )j∈J se denomina fila de ı́ndice i de la matriz A; para todo j ∈ J, la familia (aij )i∈I se llama columna de ı́ndice j de la matriz A. Si el conjunto I (respectivamente J) es finito, se dice que A es una matriz que tiene By un número finito de filas (respectivamente de columnas). Las denominaciones de ((filas)) y de ((columnas)) proviene de que en el caso en el que los conjuntos I y J sean los intervalos cerrados [1, m], [1, n] se consideran los elementos de la matriz dispuestos en un cuadro rectangular, teniendo m-filas (dispuestas horizontalmente) y n-columnas (alineadas verticalmente). En este caso, en lugar de una matriz de tipo ([1, m], [1, n]) se dirá de tipo (m, n) o matriz de m filas y n columnas. 6  7   a a12 · · · a1n  11   a21 a22 · · · a2n      Q Simbólicamente, A =  · · · · · · · · · · · ·  ∈ Mm×n. A m × n se le denomina      ··· ··· ··· ···      am1 am2 · · · amn dimensión de la matriz. Representamos por aij el elemento que ocupa la fila i y la columna j; a este elemento también se le llama componente i, j de la matriz. RS Ası́ pues, para abreviar la escritura, en algunos casos representaremos las matrices por la notación ya mencionada en un principio A = (aij ), i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n y denotaremos A ∈ Mm×n. Cuando m = n la matriz A se dice que es cuadrada de orden n y se denotará simplemente A ∈ Mn. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar son iguales: A = B ⇔ aij = bij ∀i, j. Se denomina matriz fila a una matriz 1 × n. Evidentemente, una matriz m × 1 se denomina matriz columna. By Para las matrices cuadradas, se denomina diagonal principal de una matriz a la sucesión formada por los elementos aii. Una matriz se dice triangular superior si tiene nulos los elementos situados por debajo de la diagonal principal. Asimismo se llama triangular inferior a una matriz con los elementos nulos situados encima de la diagonal principal. 8 CAPÍTULO 2. MATRICES: DEFINICIONES Y NOTACIONES Una matriz se dice diagonal si son nulos los elementos situados fuera de la diagonal principal. Q Dada una matriz A de tipo m × n, sean i1 ,..., ip ı́ndices de filas y j1 ,..., jq ı́ndices de columnas, se denomina submatriz de A de tipo p × q a la matriz cuyas filas son (aij1 , aij2 ,..., aijq ); i = i1 ,..., ip. Es decir, la submatriz se obtiene suprimiendo en la matriz A las filas y las columnas de ı́ndices distintos de los mencionados. RS Una submatriz cuyos ı́ndices de fila sean consecutivos y asimismo los de columna se denomina bloque o caja de la matriz A. Los bloques más notables son los bloques fila Ai , que son submatrices formadas por una fila, y los bloques columna Aj , que son submatrices formadas por una columna. Por tanto, podemos  A  1  expresar la matriz A en  A2   función de estos bloques de la siguiente manera, A =   ..  o A = (A1 ,..., An ). .     Am Obsérvese que una matriz fila 1 × n es en realidad una n-upla de elementos de K y, por tanto, un vector de K n. Los nombres con que se designe pueden considerarse sinónimos y se usarán según convenga; ası́, un bloque fila se dice también un vector fila y un bloque columna se dice también un vector columna. By Se denomina descomposición en bloques á o cajas de una ë matriz A a una partición A11......A1k en bloques de dicha matriz, es decir, A =............... Ah1......Ahk  9 Si en la descomposición en bloques o cajas de una matriz A resulta que h = k, y todos los bloques Aij con i 6= j son nulos, la matriz A se denomina suma diagonal o suma directa de las matrices Aii , y se escribe A = (A11 , A22 , A33 ,..., Ahh ). Q Dada la matriz A de tipo m × n, la matriz cuyo elemento (j, i) es el elemento (i, j) de la matriz A para todo i, j, se denomina traspuesta de A y se representa por At. Es decir, la matriz traspuesta de A se obtiene intercambiando las filas por las columnas.     a11 a12... a1n a11 a21... am1 RS    Simbólicamente, A =    ............ am1 am2... amn......          , entonces At =     Evidentemente si A ∈ Mm×n entonces At ∈ Mn×m y se verifica que A = (At )t.................. a1n a2n... amn Una matriz se denomina simétrica si se verifica que aij = aji ∀ i, j. Es obvio que.        las matrices simétricas han de ser necesariamente cuadradas. Una matriz se denomina antisimétrica o hemisimétrica si se verifica que aij = −aji ∀ i, j. Obviamente las matrices antisimétricas han de ser necesariamente cuadra- das también y los elementos de la diagonal principal han de ser todos nulos. By De la definición se deduce que en las matrices simétricas se verifica que A = At y en las matrices antisimétricas A = −At.  Q Capı́tulo 3 ÁLGEBRA DE MATRICES 3.1. RS EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES Designamos por Mm×n el conjunto de las matrices m × n de elementos de un cuerpo K. Las definiciones que damos a continuación tienen por objeto dotar a dicho conjunto de una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K. Dadas dos matrices A = (aij ) y B = (bij ), de dimensión m × n, se define la matriz suma, y se designa por A + B, como la matriz cuyo elemento (i, j) es aij + bij para todo i, j. Es decir, A + B = (aij + bij ), ∀ i, j. By Notemos que la aplicación (A, B) → A + B no es una operación binaria en el con- junto total de las matrices (para sumar matrices es necesario que sean m × n), pero sı́ es una operación binaria interna en el conjunto de las matrices m×n, donde m y n son fijos. 10 3.1. EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES 11 Teorema 3.1.1: El conjunto de las matrices m × n con la operación suma tiene estruc- tura de grupo abeliano y lo denotaremos por (Mm×n , +). Demostración. Q Para probar que (Mm×n , +) es un grupo tenemos que ver: 1. La operación + es asociativa. 2. Existencia de elemento neutro respecto de la operación. 3. Toda matriz A ∈ Mm×n posee simétrico respecto de la operación. RS Además para que sea abeliano se tiene que dar la conmutatividad en la operación +. Como K es un cuerpo entonces (K, +) es un grupo abeliano. Por tanto, las propie- dades asociativa y conmutativa de (Mm×n , +) son evidentes. El elemento neutro con respecto a la operación + es la matriz A = (aij ), donde aij = 0 ∀ i, j. Asimismo, el elemento simétrico de la matriz A = (aij ) ∈ Mm×n es la matriz B = (bij ) ∈ Mm×n , donde bij = −aij ∀ i, j. Sea una matriz A = (aij ) ∈ Mm×n y sea un escalar t ∈ K, se define la matriz producto por un escalar, y se designa por t · A, como la matriz que se obtiene mul- tiplicando cada elemento de la matriz A por t, es decir, t · A = (t · aij ), ∀ i, j. By Sean λ, µ ∈ K y sean A, B ∈ Mm×n , es de comprobación inmediata: 1 · A = A (1 elemento unidad de K). (λ + µ) · A = λ · A + µ · A. λ · (A + B) = λ · A + λ · B. 12 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA DE MATRICES Por tanto, teniendo en cuenta estas propiedades y el teorema anterior, podemos rea- lizar la siguiente afirmación: ((El conjunto de las matrices m × n con las operaciones suma y producto por un escalar es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, que Q representaremos por (Mm×n , +, ·K), o simplemente Mm×n )). Es interesante observar que hasta ahora no se ha diferenciando entre los conceptos de matriz m × n y m · n-upla, pues en ambos casos se trata de un conjunto totalmente ordenado de m · n elementos de K, que en el caso de matriz se escribe en forma rectan- RS gular (de m filas y n columnas) y en el caso de m · n-upla en una sola fila. La diferencia matemática entre los dos conceptos reside en el producto de matrices que definiremos más adelante, y que utiliza de manera especial la distribución de los números en m filas. La definición de suma y producto por un escalar es la misma en ambos casos y por ello, la aplicación Mm×n → K m·n definida de la siguiente forma: a la matriz A = (aij ) le asocia la m · n-upla (a11 , a12 ,..., a1n ,..., am1 ,..., amn ) es un isomorfismo de espacios vectoriales. Teniendo en cuenta el isomorfismo anterior, vemos que la base natural o canónica del By K-espacio vectorial Mm×n está formada por las matrices m×n que tienen sus elementos nulos excepto el que ocupa el lugar (i, j) que vale uno. Se suele designar por ij la matriz que tiene eij = 1 y todos los demás elementos m X X n nulos. Una matriz A = (aij ) se escribe en función de esta base, A = aij ij. En i=1 j=1 consecuencia, la dimensión de Mm×n es m · n. 3.2. PRODUCTO DE MATRICES: PROPIEDADES 13 Para finalizar con esta sección, probemos un resultado interesante para matrices cua- dradas. Q Teorema 3.1.2: Toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simétrica y de otra antisimétrica. Además esta descomposición es única. Demostración. Admitiendo una descomposición de la matriz A = S + T , con S matriz simétrica y T RS matriz antisimétrica, se tiene que At = S t + T t (es inmediato que la traspuesta de una suma es la suma de las traspuestas). Ahora bien, S t = S por ser simétrica y T t = −T por ser antisimétrica, por tanto, A = S + T y At = S − T. Despejando se tiene que S = 1/2(A + At ) y T = 1/2(A − At ), de donde resulta la existencia y unicidad de la descomposición. 3.2. PRODUCTO DE MATRICES: PROPIEDADES Vamos ahora a definir una nueva ley de composición que, en ciertos casos, permite asociar a dos matrices A y B una tercera matriz C, llamada producto, y representada por la notación habitual C = A · B. By Esta operación no va a ser en general conmutativa, pero es asociativa y distributiva a la derecha y a la izquierda con respecto a la suma, lo que justifica el nombre de producto. El producto de una matriz A = (aij ) de tipo m × n por una matriz B = (bjk ) de n X tipo n × p es una matriz m × p, C = A · B = (cik ), donde cik = aij · bjk. j=1 14 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA DE MATRICES Notemos que (A, B) → A · B no es una operación binaria en el conjunto total de matrices. Para que exista A · B es necesario y suficiente que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B. Q A continuación se enumeran algunas propiedades interesantes de la multiplicación de matrices. Omitimos las demostraciones, cuyos fundamentos epistemológicos se en- cuentran en el libro Álgebra y Geometrı́a del autor Braulio de Diego, referenciado en la bibliografı́a del tema. RS Sean las matrices A, B, C, supongamos que existen los productos A · B y A · C y que las matrices B y C pueden sumarse, entonces existe el producto A · (B + C) y se verifica que A · (B + C) = A · B + A · C. Análogamente, se enuncia la propiedad distributiva por la izquierda, (A + B) · C = A · C + B · C. Sean A y B dos matrices tales que existe el producto A · B y sea t ∈ K, entonces se verifica que A · (t · B) = t · (A · B). Sean A, B, y C matrices tales que existen los productos A · B y B · C, entonces existen los productos A · (B · C) y (A · B) · C y además se verifica que A · (B · C) = (A · B) · C. La traspuesta de un producto se obtiene multiplicando en orden inverso las tras- By puestas de sus diferentes factores, es decir, (A · B)t = B t · At. En general, no cabe hablar de conmutatividad en el producto de matrices, ya que si A es una matriz m × n, y B una matriz n × p, existe el producto A · B, y es una matriz m × p; mientras que el producto B · A es sólo posible cuando m = p, pero aún en este caso A · B es cuadrada de orden m, y B · A es cuadrada de orden n. 3.3. EL ANILLO DE LAS MATRICES CUADRADAS 15 Ası́ pues, no se obtienen dos productos de igual dimensión más que multiplicando matrices cuadradas del mismo orden, pero aún ası́, en general, A · B 6= B · A. Q 3.3. EL ANILLO DE LAS MATRICES CUADRADAS Teorema 3.3.1: El conjunto de las matrices cuadradas de orden n sobre un cuerpo K RS dotado de la suma y el producto de matrices, tiene estructura de anillo con elemento unidad y lo denotaremos por (Mn , +, ·). Obsérvese que el anillo (Mn , +, ·) en general tiene divisores de cero, como por ejemplo, Ñ 2 no esé −1 −2 4 conmutativo · Ñ 0 2 0 −1 y que Ñ é = dicho anillo 0 0 0 0 é. En sı́ntesis, (Mn , +, ·) representa el anillo de las matrices cuadradas, que tiene elemento unidad In , no verifica la propiedad conmutativa y posee di- visores de cero. Es más, resumiendo todas las propiedades de la suma de matrices, producto de ma- By trices y multiplicación por un número, podemos decir que (Mn , +, ·, ·K) es un álgebra, denominada álgebra de las matrices cuadradas de orden n. En la siguiente ilustración se observa, a modo de resumen, un mapa conceptual con las estructuras algebraicas construidas en el conjunto de las matrices de orden m × n y en el conjunto de las matrices cuadradas de orden n. 16 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA DE MATRICES Q 3.4. RS MATRIZ INVERSIBLE Una matriz cuadrada se denomina inversible, no-singular o regular si tiene in- versa. Es decir, una matriz A ∈ Mn es inversible si existe una matriz cuadrada B de orden n tal que A · B = B · A = In , donde In denota la matriz unidad de orden n. La matriz B se denomina matriz inversa de A, y se representa por A−1. Teorema 3.4.1: Si la matriz A es inversible entonces la matriz inversa es única. By Demostración. Supongamos que existen dos matrices B, B 0 ∈ Mn , B · A = A · B = In y B 0 · A = A · B 0 = In. Veamos que B = B 0. En efecto, B = B · In = B · (A · B 0 ) = (B · A) · B 0 = In · B 0 = B 0 y, en consecuencia B = B 0. 3.4. MATRIZ INVERSIBLE 17 Enunciemos a continuación un teorema que caracteriza el producto de dos matrices no-singulares. Omitimos la demostración del teorema, cuyos fundamentos epistemológi- cos se encuentran en el libro Curso de Álgebra y Geometrı́a del autor Juan de Burgos, Q referenciado en la bibliografı́a del tema. Teorema 3.4.2: Sean A y B dos matrices cuadradas regulares, entonces su producto es también una matriz no-singular y, además, su matriz inversa es (A·B)−1 = B −1 ·A−1. RS Para finalizar esta sección, daremos los conceptos de matrices equivalentes y seme- jantes. Dos matrices A y B de tipo m × n se dicen equivalentes si existen dos matrices inversibles P ∈ Mm y Q ∈ Mn tales que B = P · A · Q. Dos matrices cuadradas A y B de orden n se dicen semejantes si existe una matriz inversible P ∈ Mn tal que B = P · A · P −1. By  Q Capı́tulo 4 APLICACIONES DE LAS MATRICES RS Las matrices juegan un papel muy importante en el campo del álgebra y de la geo- metrı́a. Como veremos al estudiar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el uso del cálculo matricial posibilitará enfocar la resolución de aquéllos de otra forma diferente al método de Gauss (aunque éste también hace uso de la notación matricial). En su momento oportuno pondremos de manifiesto que conceptos tales como los de matriz, rango de una matriz, vector, determinante, juegan un papel fundamental. Ası́: By El conocimiento del rango de una matriz permitirá determinar si el sistema es o no compatible sin necesidad de efectuar su resolución. El uso de matrices, rango de matrices, junto a vectores y determinantes, permite dar un enfoque actualizado a los temas de geometrı́a afı́n y geometrı́a métrica. Conexión con el estudio de las aplicaciones lineales y homomorfismos entre espacios vectoriales. 18 4.1. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL 19 4.1. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL Sean E y F dos espacios vectoriales de dimensiones n y p respectivamente so- Q bre un cuerpo conmutativo K. Consideremos B = {e1 , e2 ,..., en } una base de E y C = {u1 , u2 ,..., up } una base de F , y sea I una aplicación lineal de E en F. Por tanto, I(x + y) = I(x) + I(y), I(k · x) = k · I(x), ∀ x, y ∈ E, ∀ k ∈ k. Vamos a estudiar cómo está definida esta aplicación lineal. Sea x ∈ E, x = x1 e1 + n X x2 e2 +... + xn en = RS xi ei , siendo (x1 ,..., xn ) las coordenadas de x en la base B; en- i=1 tonces como I(x) ∈ F será de la forma I(x) = y1 u1 + y2 u2 +... + yp up = (y1 ,..., yp ) son las coordenadas de I(x) en la base C. p X j=1 También sabemos que una aplicación lineal queda totalmente definida si conocemos las imágenes de una base. Sea pues: yj uj donde I(e1 ) = a11 u1 + a12 u2 +... + a1p up , (a11 , a12 ,..., a1p ) coordenadas de I(e1 ) en C. I(e2 ) = a21 u1 + a22 u2 +... + a2p up , (a21 , a22 ,..., a2p ) coordenadas de I(e2 ) en C... By. I(en ) = an1 u1 + an2 u2 +... + anp up , (an1 , an2 ,..., anp ) coordenadas de I(en ) en C. Hay, pues, n relaciones que se pueden escribir de manera más abreviada como p X I(ei ) = aij uj , ∀ i = 1,..., n. j=1 20 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS MATRICES Calculemos, a continuación, I(x). Q I(x) = I(x1 e1 + x2 e2 +... + xn en ) = x1 · I(e1 ) + x2 · I(e2 ) +... + xn · I(en ) = x1 (a11 u1 + a12 u2 +... + a1p up ) + x2 (a21 u1 + a22 u2 +... + a2p up ) +... + xn (an1 u1 + an2 u2 +... + anp up ) = (x1 a11 + x2 a21 +... + xn an1 ) · u1 + (x1 a12 + x2 a22 +... + xn an2 ) · u2 +... + (x1 a1p + x2 a2p + p X... + xn anp ) · up = yj uj. j=1  y1 = x1 a11 + x2 a21 +... + xn an1  Por tanto, yj = n X i=1 RS xi aij , ∀j = 1,..., p, es decir, ecuación de la aplicación lineal I. y2 = x1 a12 + x2 a22 +... + xn an2..................................... yp = x1 a1p + x2 a2p +... + xn anp a  11  a21                 a12 · · · a22 · · · , a1p a2p      Matricialmente se puede escribir como (y1 , y2 ,..., yp ) = (x1 , x2 ,..., xn ) ·  · · · ··· ··· · · · ,   | {z } | {z }   x  ··· I(x) ··· ··· ···      an1 an2 · · · anp | {z } M (I) que es la ecuación matricial de la aplicación lineal I. En consecuencia, una apli- By cación lineal queda totalmente definida por una matriz M (I) (matriz asociada a la  aplicación lineal I) cuyas filas son las imágenes de la base, es decir, M (I) = a a · · · a1p → coordenadas de I(e1 ) en la base {u1 , u2 ,..., up }  11 12   a21 a22 · · · a2p  → coordenadas de I(e2 ) en la base {u1 , u2 ,..., up }      ··· ··· ··· ··· ................................................................      ··· ··· ··· ··· ...............................................................     an1 an2 · · · anp → coordenadas de I(en ) en la base {u1 , u2 ,..., up } 4.2. APLICACIONES DE LAS MATRICES AL CAMPO DE LAS CIENCIAS 21 4.2. APLICACIONES DE LAS MATRICES AL CAMPO DE LAS CIENCIAS Q El concepto de matriz (Sylvester, 1848) es, sin duda, uno de los más fructı́feros de toda la matemática, y su importancia ha sido decisiva para el desarrollo de ésta y de todas las ciencias. Actualmente podemos encontrarnos con matrices en diversidad de campos tales como RS la fı́sica, informática, estadı́stica, economı́a, y en general, casi siempre que trabajamos con un gran número de datos, éstos se organizan y disponen en matrices para su poste- rior manipulación y transmisión: calendarios, hojas de cálculo, base de datos, recuentos de todo tipo, horarios, etc. En realidad, las matrices representan únicamente una innovación del lenguaje ma- temático: son expresiones que resumen de un modo claro y operativo, ideas que ya existen de forma mucho más complicada y difı́cil de manejar. Ñ é a b Fue Cayley en 1855 quien introdujo la matriz para plasmar toda la in- c d   x0 = ax +by By formación de la transformación y ası́ surgió, de manera natural, la  y 0 = cx +dy definición de producto de matrices como la matriz asociada a la composición de dos transformaciones. La principal utilidad del álgebra matricial está en la posibilidad de poder represen- tar, estudiar y resolver sistemas de ecuaciones con ayuda de nociones como rango de una matriz, matriz inversa y determinante. 22 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS MATRICES Ejemplos Q     2x − y + 3z = 5  El siguiente sistema 2x − 5z = −3 se puede escribir en forma matricial como    x − 3y + z = 0  á ë á ë á ë 2 −1 3 x 5 2 0 −5 · y = −3 , es decir, A · X = C, y la solución del 1 −3 1 −1 z sistema serı́a X = A · C. RS 0 En Análisis, y por tanto en una amplı́a gama de problemas fı́sicos, de ingenierı́a, etc., aparecen las matrices para estudiar las funciones de varias variables y determinar sus máximos y mı́nimos. En efecto, si tenemos una función f : Rn → Rm , se define su derivada por medio de una matriz m × n llamada jacobiana y cuyos elementos son aij = Dj fi (x) (derivada de la componente i-ésima respecto a la variable j-ésima, i = 1,..., m; j = 1,..., n). Ejemplos By Sea f : R2 → R3 , definida como f (x, y) = (2x + y, 5y, 2xy), sus componentes son á f1 (x, y) ë = 2x + y, f2 (x, y) = 5y y f3 (x, y) = 2xy, y su matriz jacobiana será 2 1 0 5. 2y 2x 4.2. APLICACIONES DE LAS MATRICES AL CAMPO DE LAS CIENCIAS 23 La matriz de las segundas derivadas se llama hessiana. También se trabaja con matrices a la hora de aplicar la regla de la cadena en funciones de varias variables. Q En Geometrı́a, las matrices sirven para representar los movimientos y semejanzas en el espacio que son de vital importancia en la dinámica, cristalografı́a, e incluso en la teorı́a de la relatividad. Ejemplos á x RS Ecuación de la traslación de vector t = (a, b, c). 0 y0 z0 ë á = 1 0 0 ë á ë 0 1 0 0 0 1 Ecuación del giro de ángulo α y eje Z. á x 0 ë á · cos α − sin α 0 x y z ë á ë x + á a b c ë. y0 = sin α cos α 0 · y z0 0 0 1 z También se puede estudiar de forma matricial las simetrı́as axiales, centrales, con deslizamiento, etc. By Siguiendo con la Geometrı́a, las matrices se utilizan también para estudiar los planos y rectas, y sus posiciones relativas. Por último, recalcar la importancia del cálculo de matrices al trabajar con cónicas, que son pieza clave en el estudio del movimiento de los planetas y en toda la astronomı́a. 24 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS MATRICES Ejemplos x2 y 2 Ecuación matricial de la elipse 2 + 2 − 1 = 0. Q a b á ë á ë −1 0 0 1 (1 x y) · 0 1/a2 0 · x =0 0 0 1/b2 y En la teorı́a especial de la relatividad nos encontramos con la siguiente matriz de Ñ x t0 0 RS la transformación de Lorentz, que juega un papel importantı́simo en ese campo de la fı́sica: é = Ü p p 1 1 − (v/c)2 −v/c2 1 − (v/c)2 p p y0 = y z0 = z −v 1 − (v/c)2 1 1 − (v/c)2 ê · Ñ x t é que indica que un punto (x, y, z, t) se transforma en (x0 , y 0 , z 0 , t0 ), siendo (x, y, z) las coordenadas en el espacio, t el tiempo, c la velocidad de la luz y v la velocidad del sistema. En el campo de la Estadı́stica también se emplean las matrices: matriz de da- By tos para presentar la información; matriz de desviaciones; matriz de varianza- covarianza que está definida ası́: aii = varianza de la variable i ; aij = covarianza entre las variables i y j (i 6= j). Esta matriz es simétrica y se emplea a menudo en psicologı́a para estudiar, por ejem- plo, una serie de conductas de sujetos determinados. 4.2. APLICACIONES DE LAS MATRICES AL CAMPO DE LAS CIENCIAS 25 Otra matriz simétrica que aparece en los trabajos estadı́sticos es la matriz de corre- laciones, cuya diagonal principal está formada por “unos”. Q En el campo de la Economı́a, Von Neuman demostró que muchas situaciones com- petitivas que se presentan tantas veces en este área, pueden estudiarse con ayuda de las matrices de pago, que informan de las ganancias o pérdidas en diversas situaciones. Continuando en el área de las ciencias económicas y empresariales, hay que referir- RS se a una matriz de especial relevancia, la matriz input-output de una economı́a. Esta matriz de entradas y salidas fue presentada por el ruso Leontief, lo cual le ayudó a conseguir el premio Nobel de economı́a en 1973. La matriz input-output permite ofrecer una visión cuantitativa del conjunto de tran- sacciones que se establecen entre los distintos sectores (agricultura, industria, alimen- tación, etc.) de un sistema económico (ciudad, paı́s, etc). Esta matriz nos proporciona modelos de estimación y simulación de situaciones no vividas. Cada término aij de dicha matriz indica cuantitativamente la producción que el sector i suministra al sector j. Valiéndose de la matriz input-output y de la matriz demanda final (es una matriz de una sola columna en la que cada fila refleja la demanda By de sectores), se puede contestar a preguntas como cuánto debe producir cada rama para satisfacer una demanda ya determinada, cómo se ven afectados los precios de cada rama al variar ciertos aspectos como salarios o impuestos, etc.  Q Capı́tulo 5 CONCLUSIÓN RS El eje central de este tema ha sido el estudio de las matrices, las operaciones que podemos realizar con ellas, y sus aplicaciones al campo de las Ciencias en general. Las Órdenes de 30 de mayo de 2023, por las que se desarrollan los currı́culos co- rrespondientes a las etapas de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Andalucı́a, determinan que estos contenidos han de ser estudiados en Matemáticas II y en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de segundo de Bachillerato, dentro de los saberes básicos del sentido algebraico. By 26  Q Capı́tulo 6 BIBLIOGRAFÍA RS Álgebra y Geometrı́a. Aut: Braulio de Diego. Ed. Deimos. Curso de Álgebra y Geometrı́a. Aut: Juan de Burgos. Ed. Alhambra. By 27