Wiskunde Examen - Trim 1 PDF

wiskune examen -- trim 1 Parate kennis ============= Merkwaardige producten ---------------------- (a + b)² = a² + 2ab + b² (a -- b)² = a² - 2ab + b² (a -- b)(a + b) = a² - b² Algemene begrippen i.v.m. functies ---------------------------------- - Een **functie** is een verband tussen twee...

wiskune examen -- trim 1 Parate kennis ============= Merkwaardige producten ---------------------- (a + b)² = a² + 2ab + b² (a -- b)² = a² - 2ab + b² (a -- b)(a + b) = a² - b² Algemene begrippen i.v.m. functies ---------------------------------- - Een **functie** is een verband tussen twee variabelen waarbij voor elke waarde van de onafhankelijke variabele hoogstens één waarde voor de afhankelijke variabele bestaat. Bij elke x-waarde hoort hoogstens één y-waarde. - Je kan de **verticale lijntest** uitvoeren om te onderzoeken of een grafiek bij een functie hoort. - Een functie f in de veranderlijke x kan je voorstellen op vier manieren: - Een **verwoording** - Een **(waarden)tabel** - Een **grafiek** met vergelijking y =... - Een **formule** of **voorschrift** f(x) =... - Het **domein** van een functie is de verzameling van alle invoerwaarden waarvoor er een functiewaarde bestaat. Je kan het domein aflezen op de x-as. - Het **bereik** of **beeld** van een functie is de verzameling van alle functiewaarden. Je kan het bereik aflezen op de y-as. - Een **eerstegraadsfunctie** is een functie met voorschrift f(x) = ax + b met a, b ∈ ℝ en a ≠ 0. - a is het **differentiequotiënt** (richtingscoëfficiënt = rico) over elk interval \[x~1~, x~2~\]. Het geeft aan hoe de functiewaarden veranderen als de onafhankelijke variabele met 1 toeneemt. Hoofdstuk 1: Logica =================== Propositie of logische uitspraak -------------------------------- Een **propositie** of **logische uitspraak** is een uitspraak waarvan je met zekerheid kunt zeggen dat ze ofwel waar, ofwel vals is. We stellen ze voor met een kleine letter: **p, q...** De waarheidswaarde - Waar: 1 - Vals: 0 ***Logisch gelijkwaardige proposities zijn logische uitspraken die dezelfde waarheidstabel hebben*** **Tautologie**: altijd waar, onafhankelijk van de waarheidswaarde van de deelproposities. Vb: Ik ga zwemmen of ik ga niet zwemmen **Contradictie**: altijd vals, onafhankelijk van de waarheidswaarde van de deelproposities. Vb: Ik ga zwemmen en ik ga niet zwemmen Negatie ------- De **negatie** van een propositie p is een logische uitspraak die enkel waar is als de propositie vals is. De negatie van de propositie is vals als de propositie waar is. Notatie: **¬p** *(niet p)* p ¬ p --- ----- 1 0 0 1 Conjunctie ---------- De **conjunctie** van twee proposities p en q is een logische uitspraak die enkel waar is als beide proposities waar zijn. De conjunctie van twee proposities is vals als minsten één van de proposities vals is. Notatie: **p ∧ q** *(p en q)* p q p ∧ q --- --- ------- 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ! ENKEL WAAR BIJ p=1 EN q=1 Disjunctie ---------- De **disjunctie** van twee proposities p en q is een logische uitspraak die enkel waar is als minstens één van de proposities waar is. De disjunctie van de twee proposities is vals als beide proposities vals zijn. Notatie: **p ∨ q** *(p of q)* p q p ∨ q --- --- ------- 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Implicatie ---------- De **implicatie** van twee proposities p en q is en logische uitspraak die enkel vals is als de eerste propositie p waar is en de tweede propositie q vals is. Notatie: **p ⇒ q** *(als p dan q)* p q p ⇒ q --- --- ------- 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 - Wiskundige eigenschappen: **ware** implicaties - Implicatie die vals is verklaren via een **tegenvoorbeeld** waarbij eerste uitspraak waar is, maar de tweede vals - De implicatie ¬ q ⇒ ¬ p is de **contrapositie** van p ⇒ q. Ze zijn logisch gelijkwaardig. - **Voldoende voorwaarde**: als p waar is, zal q automatisch waar zijn. Bv: een gegeven getal is groter dan 10, is een voldoende voorwaarde voor het getal is groter dan 8. - **Nodige voorwaarde**: als p niet waar is, zal q automatisch ook niet waar zijn. Bv: een gegeven getal is groter dan 8, is een nodige voorwaarde voor het getal is groter dan 10. Equivalentie ------------ De **equivalentie** van twee proposities p en q is een logische uitspraak die enkel waar is als beide proposities dezelfde waarheidswaarde hebben. De equivalentie is vals als beide proposities een verschillende waarheidswaarde hebben. Notatie: **p ⇔ q** *(p als en slechts als q)* p q p ⇔ q --- --- ------- 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ! ENKEL WAAR INDIEN p EN q DEZELFDE WAARHEIDSWAARDE HEBBEN - De equivalentie is logisch gelijkwaardig met de conjunctie van een implicatie en haar omgekeerde. In symbolen: p ⇔ q logisch gelijkwaardig aan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) - Stel p ⇔ q is waar: dan is p een **nodige en voldoende voorwaarde** voor q en is q een nodige en voldoende voorwaarde voor p. *[Vb:]* Hoofdstuk 2: Tweedegraadsfuncties ================================= 1. De functie met voorschrift f(x) = a(x -- α)² + ϐ met a ∈ ℝ~0~ en α, ϐ ∈ ℝ ---------------------------------------------------------------------------- - Een **tweedegraadsfunctie** is een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = ax²+bx+c met a ∈ℝ~0~ en b, c ∈ℝ. - **Transformaties van de grafiek** De grafiek van de functie met voorschrift f(x) = a(x - α)² + ϐ ontstaat uit de grafiek van de functie met voorschrift g(x) = x² door een aantal transformaties uit te voeren. - Verticale uitrekking met factor \|a\| - Horizontale verschuiving met \|α\| eenheden - Verticale verschuiving met \|ϐ\| eenheden **Opmerkingen** - Als je de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = ax² horizontaal verschuift met \|α\| eenheden en verticaal verschuift met \|ϐ\| eenheden, dan wordt de grafiek verschoven volgens de vector [*v⃗*]{.math.inline}(α, ϐ). - Het functievoorschrift hangt af van de volgorde waarin de transformaties worden uitgevoerd. +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **f(x) = x²** | | +===================================+===================================+ | Spiegeling om de x-as: | Verticale uitrekking met factor | | | 2: | | g(x) = -x² | | | | j(x) = 2x² | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Verticale uitrekking met factor | Verschuiving volgens de vector | | 2: | [*v⃗*]{.math.inline}(-1, 3): | | | | | h(x) = -2x² | k(x) = 2(x-1)²+3 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Verschuiving volgens de vector | Spiegeling om de x-as: | | [*v⃗*]{.math.inline}(-1, 3): | | | | l(x) = -2(x+1)²-3 | | i(x) = -2(x+1)²+3 | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ - **Kenmerken van de functie** Het bereik, de nulwaarde, het tekenverloop, het extremum en het verloopschema wijzigen door de verticale verschuiving. *Voorbeeld: f(x) = 2(x+2)²-8* - **Transformaties** De grafiek van de functie f ontstaat uit de grafiek van de functie met voorschrift g(x) = x² door de volgende transformaties uit te voeren: - a = -2: verticale uitrekking met factor 2. - α = -2: een horizontale verschuiving naar links met 2 eenheden. - ϐ = -8: een verticale verschuiving nar beneden met 8 eenheden. - **Grafiek** De grafiek is een dalparabool die smaller is dan die van g. De top is T(-2, -8) en de symmetrieas is s: x -2. - **Kenmerken** - dom f = ℝ - ber f = \[-8, +∞ \[ - symmetrie: de grafiek is symmetrisch ten opzichte van de - nulwaarden: -4 en 0 - tekenverloop - de functie bereikt een minimum voor -8 voor x = -2 - verloopschema - **Minimum -- maximumproblemen** 1. Stel datgene wat je wil minimaliseren of maximaliseren gelijk aan de afhankelijke variabele (vb. y) 2. Stel datgene waarvan de afhankelijke variabele afhangt gelijk aan de onafhankelijke variabele (vb. x) 3. Schrijf de afhankelijke variabele in functie van de onafhankelijke variabele (vb. y = f(x)) 4. Bepaal het minimum of maximum van f(x). vergeet niet te controleren of de bijhorende x-waarde zinvol is binnen het gestelde probleem 5. Vertaal de oplossing naar het concrete probleem - **Opstellen van een voorschrift van een tweedegraadsfunctie als de top en een punt gegeven zijn** **Werkwijze + voorbeeld**: *Stel een voorschrift op van de tweedegraadsfunctie waarvan de grafiek door het punt A(1, -8) gaat met top T(-3, 2).* 1. Noteer een voorschrift van een tweedegraadsfunctie; - f(x) = a(x -- α)²+ϐ 2. Vul de coördinaatgetallen van de top in; - T(-3, 2) f(x) = a(x + 3)²+2 3. Vul de coördinaatgetallen van het gegeven punt in; - Het punt A(1, -8) ligt op de grafiek: f(1) = -8 4. Noteer het functievoorschrift. - [\$f\\left( x \\right) = - \\frac{5}{8}\\left( x + 3 \\right)\^{2} + 2\$]{.math.inline} - **Tekenen van de grafiek** **Werkwijze + voorbeeld**: 1. Kies een vijftal x-waarden groter of kleiner dan α en bereken de functiewaarde. 2. Duid de top aan en teken de symmetrieas. 3. Duid de punten aan in het assenstelsel. 4. Duid de punten aan die de spiegelbeelden zijn van de getekende 2. De functie met voorschrift f(x) = ax² + bx + c met a ∈ ℝ~0~ en b, c ∈ℝ ------------------------------------------------------------------------- **Eigenschap**: een functie van de vorm f(x) = ax² + bx + c kan steeds geschreven worden in de vorm f(x) = a(x - α)² + ϐ en omgekeerd.  Daarbij is [\$\\mathbf{\\alpha =}\\frac{\\mathbf{- b}}{\\mathbf{2}\\mathbf{a}}\$]{.math.inline} en ϐ [\$= \\frac{4ac\\ - \\ b²}{4\\mathbf{a}}\$]{.math.inline} of f(α) = ϐ De **standaardvorm:** f(x) = ax² + bx + c De **α-ϐ-vorm:** f(x) = a(x - α)² + ϐ **Transformaties** De grafiek van de functie met voorschrift f(x) = ax² + bx + c ontstaat uit de grafiek van de functie met voorschrift g(x) = x² door de volgende transformaties uit te voeren: - Horizontale verschuiving naar links met \|α\| eenheden - Verticale verschuiving naar beneden met \|ϐ\| eenheden - De grafiek van de functie met voorschrift f(x) = ax² + bx + c snijdt de y-as in het punt met coördinaat (0, c). **Grafiek** De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool. - Als a \> 0, dan is de grafiek een **dalparabool** - Als a \< 0, dan is de grafiek een **bergparabool** Afbeelding met tekst, schermopname, Lettertype, nummer Automatisch gegenereerde beschrijving **Kenmerken van een tweedegraadsfunctie**  - Symmetrie - Nulwaarden en tekenverloop Hoofdstuk 4: Vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad ================================================================ 1. Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen ------------------------------------------ - Een **tweedegraadsvergelijking**, **vergelijking van de tweede graad** of **vierkantsvergelijking (VKV)** met één onbekende is een vergelijking die je kan herleiden naar de standaardvorm ax² + bx + c = 0 met a ∈ ℝ~0~ en b, c ∈ ℝ. De oplossingen van ax² + bx + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0) zijn de nulwaarden van de functie f(x) = ax² + bx +c. Een VKV heeft 0, 1 of 2 oplossingen. Deze oplossingen worden ook **wortels** genoemd. - **Een tweedegraadsvergelijking grafisch oplossen** - **Methode 1** - **Methode 2** - **Een veelterm ontbinden in factoren** - **Methodes** - **Gemeenschappelijke factoren afzonderen** - **Ontbinden van een tweeterm van de vorm a² - b²** - **Ontbinden van een drieterm van de vorm a² + 2ab + b²** De veelterm x² + 8x + 16 is ontbonden in de factor x + 4 en komt twee keer voor. **Opmerking***: je kunt soms een MP beter herkennen door een gemeenschappelijke factor af te zonderen* - **Werkwijze** 1. Herleid de vergelijking naar de standaardvorm ax² + bx + c = 0 2. Ontbind het linkerlid in factoren 3. Als een product nul is, dan is minstens één van de factoren nul. Stel elke factor gelijk aan nul. - **Werkwijze** om de oplossing van een tweedegraadsvergelijking te berekenen met de discriminant. 1. Herleid de vergelijking naar de standaardvorm 2. Bereken de discriminant D. 3. Bereken, indien mogelijk, de waarde(n) voor de onbekende x. **Opmerking**: om het rekenwerk te vergemakkelijken, is het zinvol om een vergelijking te vereenvoudigen als dat mogelijk is. Vb: 100x² + 200x -- 300 = 0 x² + 2x -- 3 = 0 - **Bewijs:** - Linkerlid is positief - Teken van het rechterlid is afhankelijk van b² - 4ac - **Besluit:** - **Som- en product formules** Als x~1~ en x~2~ de oplossingen zijn van de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0, dan is **S = x~1~ + x~2~ =** [\$\\frac{\\mathbf{- b}}{\\mathbf{2}\\mathbf{a}}\$]{.math.inline} en **P = x~1~. x~2~ =** [\$\\frac{\\mathbf{c}}{\\mathbf{a}}\$]{.math.inline} - **Bewijs** - **Werkwijze** om een tweedegraadsvergelijking op te lossen met de som- en productformules 1. Bereken S = [\$\\frac{- b}{2a}\$]{.math.inline} en P = [\$\\frac{c}{a}\$]{.math.inline}. 2. Noteer twee getallen waarvan de som gelijk is aan S en het product gelijk is aan P. Dat zijn de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking. 2. Oplossen van tweedegraadsongelijkheden ----------------------------------------- Het **tekenverloop** van een tweedegraadsfunctie met voorschrift f(x) = ax² + bx + c is afhankelijk van het teken van de coëfficiënt a en van het teken van de discriminant D bij de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0. Afbeelding met diagram, lijn, Perceel Automatisch gegenereerde beschrijving  - **Werkwijze** om het tekenverloop op te stellen 1. Berken de nulwaarden van de tweedegraadsfunctie 2. Onderzoek of de grafiek van de tweedegraadsfunctie een dal- of berparabool is 3. Stel het tekenverloop op Een **tweedegraadsongelijkheid** of **ongelijkheid van de tweede graad** met één onbekende is een ongelijkheid die je kunt herleiden naar de vorm ax² + bx + c \< 0 (of ≤, \>, ≥) met a ∈ ℝ~0~ en b, c ∈ ℝ. De oplossingenverzameling bestaat uit ℝ die voldoen aan de ongelijkheid. - **Tweedegraadsongelijkheid grafisch oplossen** - **Methode 1** - **Methode 2** - x² + 18x -- 45 ≤ 0 x ∈ \]0, 3\] ∪ \[15, 18\[ - **Tweedegraadsongelijkheid algebraïsch oplossen** 1. Herleid de ongelijkheid naar de vorm ax² + bx + c \< 0 (of ≤, \>, ≥) 2. Stel het tekenverloop van de functie met voorschrift f(x) = ax² + bx + c op 3. Lees de waarden van x af waarvoor f(x) \< 0 (of ≤, \>, ≥) 4. Noteer de oplossingsverzameling