Algèbre 4 MIP/IA Cours 2024-2025 PDF

Algèbre 4 MIP/IA Pr S. BENKADDOUR, Pr K.BOUZKOURA,Pr J.MOULINE, 2024-2025  TABLE DES MATIÈRES 1 Logique et raisonnements 6 1.1 I-Logique............................ 6 1.1.1 Asserti...

Algèbre 4 MIP/IA Pr S. BENKADDOUR, Pr K.BOUZKOURA,Pr J.MOULINE, 2024-2025  TABLE DES MATIÈRES 1 Logique et raisonnements 6 1.1 I-Logique............................ 6 1.1.1 Assertions ou propositions.............. 6 1.1.2 Prédicat........................ 7 1.1.3 Connecteurs logiques................. 7 1.1.4 Tautologie........................ 10 1.1.5 Règles logiques..................... 11 2  1.1.6 Quantificateurs..................... 12 1.2 II. Raisonnement Mathématique : Méthodes usuelles de dé- monstration........................... 14 1.2.1 Démonstration directe................ 14 1.2.2 Démonstration par contraposition.......... 15 1.2.3 Démonstration par absurde.............. 15 1.2.4 Démonstration par disjonction des cas........ 16 1.2.5 Démonstration de P ∨ Q............... 16 1.2.6 Raisonnement par contre exemple........... 17 1.2.7 Démonstration par récurrence............ 17 1.3 EXERCICES.......................... 19 2 Ensembles- Applications- Relations binaires 21 2.1 I. Ensembles.......................... 21 2.1.1 Définitions....................... 21 2.1.2 Ensembles de Parties d’un ensemble........ 23 2.1.3 Relations et opérations dans l’ensemble des parties d’un ensemble...................... 23 2.1.4 Propriétés des opérations dans l’ensemble des parties d’un ensemble..................... 24 2.1.5 Produit cartésien................... 24 3  2.1.6 Partition........................ 25 2.2 II. Applications........................ 25 2.2.1 Définitions....................... 25 2.2.2 Image directe- Image réciproque- Antécédents... 26 2.2.3 Injection- Surjection- Bijection............ 27 2.2.4 Application réciproque................ 27 2.3 III. Relations binaires..................... 28 2.3.1 Définitions....................... 28 2.3.2 Relation d’ordre.................... 29 2.3.3 Relations d’équivalence................ 31 2.4 EXERCICES.......................... 33 3 Polynômes 35 3.1 A. L’anneau (K[X], +,.).................... 35 3.1.1 Définitions....................... 35 3.1.2 Egalité et opérations entre les polynômes...... 36 3.1.3 Degré et valuation d’un polynôme.......... 37 3.2 B. La division euclidienne dans (K[X], +,.)......... 37 3.3 C. La division suivant les puissances croissantes....... 39 4  3.4 D. Racines d’un polynôme et ordre de multiplicité..... 40 3.5 E. Factorisation dans C[X] et dans R[X]........... 41 3.6 EXERCICES.......................... 43 4 Fractions rationnelles 50 4.1 A. Le corps (K(X), +,.).................... 50 4.2 B.Décomposition d’une fraction rationnelle sur C(X).... 52 4.3 B.Décomposition d’une fraction rationnelle sur R(X).... 57 4.4 Exercices............................ 59 5 STRUCTURES ALGÉBRIQUES 61 5.1 Groupes et morphismes de groupes.............. 61 5.2 Groupes symétriques Sn.................... 66 5.3 Anneaux et morphismes d’anneaux.............. 68 5.4 Corps et morphismes de corps................. 72 5.5 Exercices............................ 73 5  CHAPITRE 1 LOGIQUE ET RAISONNEMENTS 1.1 I-Logique 1.1.1 Assertions ou propositions Définition 1 Une assertion ou proposition est un énoncé au quel on peut attribuer une valeur de vérité vrai (V) ou faux (F), mais jamais les deux à la fois c’est la loi du tiers-exclu. Exemple : « 8 est un entier pair » est une assertion vraie « 1 / 3 est un nombre décimal » est une assertion fausse « Il va pleuvoir à Casablanca le premier décembre 2030 » n’est pas une 6 assertion « n est un entier pair » n’est pas une assertion car il contient la variable n, il devient une assertion lorsqu’on donne une valeur à l’entier n 1.1.2 Prédicat Un prédicat est un énoncé mathématique contenant des lettres appelées "variables" tel que, quand on remplace chacune des lettres par un élément donné d’un ensemble, on obtient une assertion. Exemple P (x, A) = ”x ∈ A” est un prédicat à deux variables. Il devient une assertion quand on donne une valeur √ aux deux variables. Par exemple, P (1, N) est une assertion vraie, P ( 2, Q) est une assertion fausse. 1.1.3 Connecteurs logiques N égation La négation d’une proposition P notée ¬P ou P̄ est définie de la ma- nière suivante : Si la proposition P est vraie alors P̄ est fausse Si la proposition P est fausse P̄ est vraie En résumé on a la table de vérité suivante : P ¬P V F F V 7  Conjonction La conjonction de deux propositions P et Q notée symboliquement par P ∧ Q est vraie si les deux propositions P et Q sont vraies simultanément et elle est fausse dans les autres cas. D’où la table de vérité suivante : P Q P et Q V V V V F F F V F F F F Disjonction La disjonction de deux propositions P et Q notée symboliquement par P ∨ Q est fausse si les deux propositions P et Q sont fausses simultanément et elle est vraie dans les autres cas. D’où la table de vérité suivante : P Q P ou Q V V V V F V F V V F F F Implication Le connecteur ” ⇒ ” est appelé le connecteur d’implication. Soient P et Q deux propositions, la proposition ”P ⇒ Q” est fausse dans le cas où P est vraie et Q est fausse et elle est vraie dans les autres cas, elle 8 est définie par le tableau suivant : P Q P⇒Q V V V V F F F V V F F V La proposition «P ⇒ Q » se lit ”P implique Q », P est appelée l’hypo- thèse ou antécédent et Q la conclusion ou conséquence. «Q ⇒ P » est l’implication réciproque de «P ⇒ Q » «Q̄ ⇒ P̄ » est l’implication contraposée de «P ⇒ Q » Pour exprimer que la proposition «P ⇒ Q» est vraie on peut, selon l’usage utiliser l’une des expressions suivantes : P ⇒ Q ; P implique Q ; P entraine Q Si on a P , alors on a Q ; Q est conséquence de P P est une condition suffisante pour Q. Pour qu’on ait Q, il suffit (il est suffisant) qu’on ait P Q est une condition nécessaire pour P. Pour qu’on ait P , il faut qu’on ait Q. Equivalence Le connecteur ” ⇔ ” est appelé le connecteur d’équivalence. La proposition ”P ⇔ Q” est vraie seulement dans le cas où P et Q ont la même valeur de vérité. Elle est définie par le tableau suivant : 9  P Q P⇔Q V V V V F F F V F F F V Pour traduire que la proposition ”P ⇔ Q” est vraie, on peut utiliser l’une des expressions suivantes : P ⇔ Q , P est équivaut à Q, P est équivalente à Q, P est une condition nécessaire et suffisante pour Q, Pour qu’on ait Q il faut et il suffit qu’on ait P , On a Q si et seulement si on a P. Propositions composées Soient P1 , P2 ,... , Pn n propositions, on peut construire d’autres propositions en utilisant les connecteurs logiques sui- vants : ¬, ∧, ∨, ” ⇒ ”et” ⇔ ” Exemples : (P ∧ Q) ⇒ R ((P ∧ Q) ⇒ R) est une proposition composée de P , Q, R et les connecteurs ” ∧ ” et ” ⇒ ” sa table de vérité est : P Q R P et Q P et Q⇒ R V V V V V V V F V F V F V F V V F F F V F V V F V F V F F V F F V F V F F F F V 1.1.4 Tautologie Une proposition composée α est une tautologie si et seulement si α est vraie sur toutes les lignes de sa table de vérité, c’est-à-dire que est vraie 10 quel que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent. Exemples : P ⇒ (Q ⇒ P ) ; (P ouQ) ⇔ (nonP ⇒ Q) P Q P⇒ Q P⇒ (Q ⇒ P ) V V V V V F V V F V F V F F V V P Q nonP Pou Q nonP⇒ Q P ou Q⇔ (nonP ⇒ Q) V V F V V V V F F V V V F V V V V V F F V F F V 1.1.5 Règles logiques Théorème 1 (Quelques règles logiques) Pour toute assertion P , (P ∧ ¬P ) est une assertion fausse, c’est la loi de non contradiction. Soient P ,Q, R des propositions alors toutes les propo- sitions suivantes sont des tautologies qu’on appelle des règles logiques (1) P ou P̄ Loi du tiers-exclu (2) P ⇔ P̄¯ Loi de la double négation (3) P ∧ P ⇔ P , P ∨ P ⇔ P Idempotence de ∧ et ∨ (4)P ∧ Q ⇔ P̄ ∨ Q̄ , P ∨ Q ⇔ P̄ ∧ Q̄ Loi de Morgan (5) (P ⇒ Q) ⇔ (Q̄ ⇒ P̄ ) Loi de contraposition (6) (P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P ) Commutativité de ∧ (7) (P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P ) Commutativité de ∨ (8) (P ∧ Q) ∧ R ⇔ P ∧ (Q ∧ R) Associativité de ∧ (9) (P ∨ Q) ∨ R ⇔ P ∨ (Q ∨ R) Associativité de ∨ (10) P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) Distributivité de ∧ par rapport ∨ 11 (11) P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) Distributivité de ∨ par rapport ∧ (12) (P ⇒ Q) ⇔ (Q̄ ⇒ P̄ ) Loi de contraposition (13) ((P ⇒ Q)et(Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R) Transitivité de ” ⇒ ” (14) (P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q Règle du modus ponens (15) (P ⇒ Q) ⇔ (P̄ ∨ Q) (16) (P ⇔ Q) ⇔ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ) (17) ¬((P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q) (18) (P ⇔ Q) ⇔ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ) (19) ((P ⇔ Q)et(Q ⇔ R)) ⇔ ((P ⇒ Q)et(Q ⇒ R)et(R ⇒ P )) (20) (P ouQ) ⇔ (nonP ⇒ Q) (21) (P ⇒ (Q ⇒ R)) ⇔ ((P ∧ Q) ⇒ R) (22) (P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ R) ⇔ (P ⇒ Q ∧ R) (23) (¬P ⇒ Q) ∧ (¬P ⇒ ¬Q) ⇔ P (24) (P ⇒ Q) ∧ (¬P ⇒ Q) ⇔ Q (25) (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R) ⇔ ((P ∨ Q) ⇒ R) (26) (P ⇒ Q)et(P ⇒ R) ⇔ (P ⇒ Q ∧ R) Toutes ces règles peuvent se démontrer en utilisant la table de vérité, voir les exemples du paragraphe précédent. 1.1.6 Quantificateurs Soit P (x) un énoncé tel que pour tout x appartenant à un ensemble donné D, P (x) est une assertion. D est le domaine de définition du prédicat P. Pour tout x appartenant à D, l’assertion P (x) est vraie ou fausse. Soit A une partie D. Si pour tout x dans A l’assertion P (x) est vraie, on écrit : Pour tout x ∈ A on a P (x) ou Pour tout x ∈ A, P (x) L’assertion Q ”P our tout x ∈ A, P (x)” est notée ∀x ∈ A, P (x) ou ∀x ∈ A, P Le symbole ”∀” est appelé quantificateur universel. ∀... ,... se lit pour tout... on a... 12 La négation de la proposition « Pour tout x ∈ A, P (x) » est l’assertion «Il existe (au moins un) x ∈ A tel qu’on a P (x) » elle est notée : ∃x ∈ A, P (x) ou simplement ∃x ∈ A, P (x) Le symbole ”∃” est le quantificateur existentiel Soit P (x) un prédicat, l’assertion Q : Il existe x dans A tel qu’on a P (x) est notée : ∃x ∈ A, P (x) ou simplement ∃x ∈ A, P Proposition 1 Soit P un prédicat défini sur un ensemble A. Alors : ¬(∀x ∈ A, P ) ⇔ (∃x ∈ A, ¬P ) L’assertion « il existe un unique x de A tel que tel qu’on a P (x) » se note ∃!x ∈ A, P (x) Exemples : - Pour toute proposition P on a : ∀x ∈ ∅, P (x) (axiome de la théorie des ensembles) - « ∀n ∈ N, (n − 3)n ≥ 0» est une assertion fausse - « ∀n ∈ N, (n2 pair ⇒ n pair) » est une assertion vraie, sa négation est : « ∃n ∈ N,n est pair et n2 impair » qui est une assertion fausse - « ∃x ∈ R , x2 = 1 » est une assertion fausse - « ∃!x ∈ N, x2 = 4» est une assertion vraie Prédicat à deux variables Soit P (x, y) un prédicat à deux variables défini sur E × F Si pour tout (x, y) dans E × F on a P (x, y) on écrit ∀x ∈ E, ∀y ∈ F, P (x, y) S’il existe (x, y) dans E × F tel qu’on a P (x, y) on écrit ∃x ∈ E, ∃y ∈ F, P (x, y) Si pour tout x dans E l’assertion « ∃y ∈ F, P (x, y)» est vraie on écrit ∀x ∈ E, ∃y ∈ F, P (x, y) 13 Si pour tout y dans F l’assertion « ∃x ∈ E, P (x, y) » est vraie on écrit ∀y ∈ F, ∃x ∈ E, P (x, y) Remarque : On peut changer l’ordre d’apparition de deux quantificateurs de même espèce, mais on ne doit pas changer l’ordre de ”∀” et "∃". Exemple « ∀n ∈ N ∃m ∈ N, m > n» c’est une proposition vraie (on prend m = n + 1), elle traduit que l’ensemble N n’est pas majoré. « ∃m ∈ N ∀n ∈ N, m > n » c’est une proposition fausse. Mais on peut remarquer qu’on a l’implication suivante : (∃x ∈ E, ∀y ∈ F, P (x, y)) ⇒ (∀y ∈ F, ∃x ∈ E, P (x, y)) 1.2 II. Raisonnement Mathématique : Méthodes usuelles de démonstration 1.2.1 Démonstration directe L’énoncé d’un Théorème est souvent de la forme H ⇒ C, l’hypothèse H implique la conclusion C. Une démonstration directe de cette implication est une suite finie de propositions P0 , P1 ,..., Pn+1 tellesque H ⇔ P0 , C ⇔ Pn+1 et Pi ⇒ Pi+1 ; 0 ≤ i ≤ n. Par la transitivité de l’implication logique, la donnée d’une telle suite est une démonstration de H ⇒ C. Exemple 1. n impair ⇒ n2 impair n impair ⇔ ∃k ∈ Z, n = 2k + 1 et n2 estimpair ⇔ ∃q ∈ Z, n2 = 2q + 1 n = 2k + 1 ⇒ n2 = 4k2 + 4k + 1 n2 = 4k2 + 4k + 1 ⇒ n2 = 2(2k2 + 2k) + 1 14 1.2.2 Démonstration par contraposition La démonstration par contraposition est basée sur la loi de contraposi- tion H ⇒ C ⇔ C̄ ⇒ H̄) Ainsi pour démontrer H ⇒ C il est commode de démontrer C̄ ⇒ H̄ Exemple 2 : n2 est impair ⇒ n est impair n pair ⇔ ∃k ∈ Z, n = 2k et n2 est pair ∃q ∈ Z, n2 = 2q n = 2k ⇒ n2 = 4k2 = 2(2k2 ) n2 = 2(2k2 ) ⇒ ∃q ∈ Z, n2 = 2q 1.2.3 Démonstration par absurde La démonstration par absurde est basée la loi logique suivante : (¬P ⇒ Q) ∧ (¬P ⇒ ¬Q) ⇔ P Pour montrer qu’une proposition P est vraie, on montre que ¬P ⇒ Q et ¬P ⇒ ¬Q pour une certaine proposition Q. Pour cela, on suppose P fausse et on recherche une proposition Q telle qu’on ait à la fois Q et ¬Q, on aboutit donc à la contradiction Q et¬Q ). On dit que l’hypothèse " P fausse" est absurde et par suite P est vraie. On écrit lors de la rédaction : Raisonnons par l’absurde ; supposons qu’on a ¬P et montrons qu’on ob- tient une contradiction... Pour montrer que (H ⇒ C) est vraie par absurde, on suppose que l’on a H ∧ C̄ et on cherche une proposition Q telle qu’on ait à la fois Q et ¬Q. Exemple 3. Soit x ∈ R. Montrons par absurde que : (∀ε > 0, |x| < ε) ⇒ x=0 Supposons que ((∀ε > 0, |x| < ε)) et x ̸= 0 , alors en prenant ε = |x| on obtient ε < ε On obtient donc une contradiction 15 1.2.4 Démonstration par disjonction des cas Ce raisonnement est basé sur la règle logique suivante : (P ⇒ R) et(Q ⇒ R) ⇔ (P ouQ ⇒ R) Exemple 4. n est un entier ⇒ n(n + 1) est un entier pair n est un entier ⇔ n est un entier pair ou n est un entier impair n est un entier pair ⇔ ∃k ∈ Z, n = 2k n = 2k ⇒ (n + 1) = 2k(2k + 1) Donc , n est un entier pair ⇒ n(n + 1) est un entier pair n est un entier impair ∃k ∈ Z, n = 2k + 1 n = 2k + 1 ⇒ n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) ⇔ n(n + 1) = 2(k + 1)(2k + 1) Donc, n est un entier impair ⇒ n(n + 1) est un entier pair On conclut donc que pour tout entier n on a (n est un entier pair ou n est un entier impair) ⇒ n(n+1) est un entier pair Soit P (X) un prédicat défini sur un ensemble D. Soit E = E1 ∪E2 ∪· · ·∪En une partie de D. Pour démontrer que ∀x ∈ E, P (x) ; on montre que pour tout i; 1 ≤ i ≤ n l’assertion (∀x ∈ Ei , P (x) ) est vraie Exemple. Soit a un nombre réel < 0. Montrer que ∀(x, y) ∈ R2 M ax(ax, ay) = aM in(x, y) Soient x, y deux nombres réels fixés on a (x ≤ y ou y ≤ x) Supposons x ≤ y, alors ax ≥ ay et M ax(ax, ay) = ax = aM in(x, y) Supposons x ≥ y, alors ax ≤ ay et M ax(ax, ay) = ay = aM in(x, y) D’où le résultat. 1.2.5 Démonstration de P ∨ Q On utilise la règle logique suivante : (P ouQ) ⇔ (¬P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ P ) Pour montrer que la proposition P ∨ Q est vraie, on montre ¬P ⇒ Q ou ¬Q ⇒ P. 16 Exemple 4 : ∀n ∈ N, 2 divise n2 ou 8 divise (n2 − 1) En effet supposons que 2 ne divise pas n2 alors n est impair (voir exemple 2), il existe donc un entier k tel que n = 2k + 1 et donc n2 − 1 = 4k(k + 1), or k(k + 1) est pair (voir exemple 5), donc 8 divise n2 − 1. 1.2.6 Raisonnement par contre exemple. Pour montrer qu’une assertion du type (∀x ∈ E, P (x)) est fausse, il suffit de montrer que sa négation (∃x ∈ E, P (X) est vraie. Il suffit donc de trouver de trouver un élément x dans E tel qu’on a P (x) est vraie : on dit qu’on a trouvé un contre-exemple. Ce raisonnement est basé sur l’équivalence logique ¬(∀x ∈ E, P (x)) ⇔ (∃x ∈ E, P (x)) Exemple. Montrer que « ∀x ∈ R, ∀ε > 0, (|x| < ε ⇒ x = 0) » est une assertion fausse La négation de cette assertion est : « ∃x ∈ R, ∃ε > 0, (|x| < ε et x ̸= 0) » Si x = 1 et ε = 2, nous avons |x| < ε et x ̸= 0, la négation de l’assertion est vraie, donc l’assertion est fausse. 1.2.7 Démonstration par récurrence Propriété de récurrence. Soit P (x) un prédicat définit sur N et soit n0 un entier naturel. Supposons que l’on ait les propriétés suivantes : 1) P (n0 ) est vraie 2) Pour tout entier naturel n ≥ n0 , P (n) ⇒ P (n + 1) Alors pour tout entier naturel n ≥ n0 , P (n) est vraie. Cette Propriété s’appuie sur le théorème d’arithmétique suivant : Soit A une partie de N qui vérifie 1) 0 ∈ A 2) ∀n ∈ N; n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A Alors A = N 17 Nous donnons ici d’autres variantes de la propriété de récurrence Propriété de récurrence multiple (d’ordre m; m ∈ N∗ ) Soit P (n) un prédicat définit sur N et soit n0 un entier naturel. Supposons que l’on ait les propriétés suivantes : 1) P (n0 ) ∧ P (n0 + 1) ∧ · · · ∧ P (n0 + m1) est vraie 2) ∀n ≥ n0 , P (n) ∧ P (n + 1) ∧ · · · ∧ P (n + m − 1) ⇒ P (n + m) Alors pour tout entier naturel n ≥ n0 , P (n) est vraie. Cette propriété n’est autre que la propriété e la récurrence simple appliquée au prédicat (P (n) ∧ P (n + 1) ∧ · · · ∧ P (n + m − 1)) Propriété de récurrence forte Soit P (n) un prédicat définit sur N et soit n0 un entier naturel. Supposons que l’on ait les propriétés suivantes : 1) P (n0 ) est vraie 2) ∀n ≥ n0 , P (n0 ) ∧ P (n0 + 1) ∧ · · · ∧ P (n) ⇒ P (n + 1) Alors pour tout entier naturel n ≥ n0 , P (n) est vraie. La récurrence forte s’obtient en appliquant la récurrence simple au prédicat (P (n0 ) ∧ P (n0 + 1) ∧ · · · ∧ P (n)) Exemple. On définit une suite (γn ) par : Pi=n1 γ0 = 1 et, pour tout entier n ≥ 1 , γn = γ0 + · · · + γn−1 = i=0 γi Montrer que pour tout entier n ≥ 1, γn = 2n1. Notons P (n) : γn = 2n−1 ; n ≥ 1 On a P (1) est vraie Supposons que P (1) ∧ · · · ∧ P (n) est vraie pour un entier n ≥ 1 et montrons que P (n + 1) est vraie. Par définition on a γn+1 = γ0 + · · · + γn , γ0 = 1 et par hypothèse de récurrence γ1 + · · · + γn = 1 + 2 + · · · + 2n−1 n −1 Or pour tout nombre réel q ̸= 1, Sn = 1 + q + · · · + q n−1 = qq−1 , donc n 2 1 γn+1 = 1 + 2−1 = 2n , donc P (n + 1) est vraie. Conclusion : ∀n ≥ 1, γn = 2n−1 18 1.3 EXERCICES Série 1 EXERCICE1 Soient P , Q et R trois propositions, montrer que les propositions suivantes sont des tautologies. P ⇔P ∨P P ⇔P ∧P ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R) ((P ⇔ Q) ∧ (Q ⇔ R)) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R) ∧ (R ⇒ P )) (P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q (P ⇒ (Q ⇒ R)) ⇔ ((P ∧ Q) ⇒ R) ((P ∨ Q) ⇒ R) ⇔ (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R) EXERCICE2 : Soient P , Q et R trois propositions. On note V la proposition « toujours vraie » et F la proposition « toujours fausse ». Simplifier les propositions suivantes 1) a) P ou V b) P et F c) P ou P̄ d) ¬(¬P ou V ) 2) a) P ⇒ V b)P ⇒ F c) F ⇒ P d) V ⇒ ¬P 3) a) (P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ ¬Q) b) (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ ¬P ) c) (P ⇒ Q) ∨ (Q ⇒ P ) 4) a) P ou (P ⇒ Q) b) P et (P ⇒ Q) c) (P ⇒ Q) ⇒ P d) P ⇒ (Q ⇒ P ) 5) (P ou¬Q) et ( Q ou ¬R) et (R ou ¬P ) et P EXERCICE3 : Montrer que pour tout entier naturel √ n, 3 divise n2 ⇒ 3 divise n EXERCICE4 : Montrer que 3 est un nombre irrationnel. EXERCICE5 : Montrer que pour tout entier positif n , 2 divise n ou 8 divise (n2 − 1). 19 EXERCICE6 : Soient Pn : « 3 divise4n −1» et Qn : « 3 divise4n +1» ; n un entier naturel. Montrer que ∀n ∈ N Pn ⇒ P( n + 1) et Qn ⇒ Q( n + 1). Pour quelles valeurs de n, Pn est vraie ? même question pour Qn. EXERCICE7 : Soit (un ) la suite définie par : u0 = 0 ,u1 = 1 et ∀n ∈ N⋆ , u( n + 1) = un + 2un−1 Montrer que : ∀n ∈ N, un est un entier. ∀n ∈ N , un = 31 (2n − (−1)n ) p p EXERCICE8 :RésoudredansRl′ équation (1 − x) = 2x2 −1+2x (1 − x2 ) 20  CHAPITRE 2 ENSEMBLES- APPLICATIONS- RELATIONS BINAIRES 2.1 I. Ensembles 2.1.1 Définitions Un ensemble est une collection d’objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et chacun de ces objets est appelé élément de cet ensemble. Un ensemble est bien déterminé si l’on peut répondre par oui ou par non à la question : tel objet appartient t-il à cet ensemble et ceci quelque soit l’objet considéré. Un ensemble particulier est l’ensemble vide, noté ∅ qui est l’ensemble ne contenant aucun élément. On note x ∈ E si x est un élément de E, et x ∈ / E dans le cas contraire. 21 Exemples d’ensembles : N L’ensemble des entiers naturels, Z l’ensemble des entiers relatifs, Q l’ensemble des nombres rationnels, R l’ensemble des nombres réels, C l’ensemble des nombres complexes. N∗ désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls, Z∗ l’ensemble des en- tiers non nuls, Q∗ l’ensemble des rationnels non nuls, C∗ l’ensemble des nombres réels non nuls. Ensemble défini en extension On définit un ensemble en extension en présentant la liste des éléments qui le forment entre accolades {}, les éléments étant séparés par une virgule ou un point-virgule. L’ordre de présentation des éléments n’intervient pas et chaque élément ne peut figurer qu’une seule fois. Exemples : L’ensemble E dont les éléments sont les chiffres de la base décimale est noté E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} L’ensemble des lettres qui forment le mot ALGEBRE est noté E = {A, L, G, E, B, R} ou E = {A, B, E, G, L, R} Un ensemble ayant un seul élément x est noté {x} et on l’appelle le single- ton {x}. On a x ∈ {x} mais pas x = {x}. Un ensemble qui contient deux éléments s’appelle une paire. Un ensemble fini est un ensemble ayant un nombre fini d’éléments Le nombre d’éléments d’un ensemble fini F s’appelle cardinal de F et se note CardF Ensemble défini en compréhension Soit P une propriété qui porte sur les éléments d’un ensemble donné E, on peut définir l’ensemble F des élé- ments de E qui possède la propriété P. On note de la manière suivante F = {x ∈ E; P (x)} = {x ∈ E|P (x)} F est un ensemble défini en compréhension. Exemples : F = {n ∈ N∗ ; n < 5}, on a aussi F = {1, 2, 3, 4}. La définition en compréhension de l’intervalle ]0, 1] est {x ∈ R; 0 < x ≤ 1} Relation d’inclusion Soient E et F deux ensembles, on dit que F est inclus dans E si chaque élément de F est aussi élément de E (∀x, x ∈ F ⇒ x ∈ E). On dit aussi que F est une partie de E ou F est un sous-ensemble de E ou encore F est contenu dans E. N⊂Z⊂Q⊂R⊂C 22 Egalité de deux ensembles Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E 2.1.2 Ensembles de Parties d’un ensemble Soit E un ensemble donné, l’ensemble des parties de E est l’ensemble de toutes les parties de E, on le note P (E). Un élément de P (E) est une partie de E, on a E ∈ P (E) et ∅ ∈ P (E) Exemple E = {0, 1} ; P (E) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} 2.1.3 Relations et opérations dans l’ensemble des par- ties d’un ensemble Soit E un ensemble. Soient A, B deux éléments de P (E). 1) Inclusion A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ E x ∈ A ⇒ x ∈ B) 2) Egalité A = B ⇔ A ⊂ B et B ⊂ A 3) Intersection A ∩ B = {x ∈ E; x ∈ Aet x ∈ B} est l’intersection de A et B Si A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont disjoints 4) Réunion A ∪ B = {x ∈ E; x ∈ A ou x ∈ B} est l’union des ensembles A et B 5) Complémentaire d’un ensemble Le complémentaire de A dans E est l’ensemble {x ∈ E; x ∈ / A}, on le note CEA ou Ac 6) Différence A\B = {x ∈ E; x ∈ A et x ∈/ B} = A ∩ B c est la différence de A et B 7) Différence symétrique A△B = (A\B) ∪ (B\A) est la différence symétrique de A et B 23 2.1.4 Propriétés des opérations dans l’ensemble des parties d’un ensemble Soient A, B, C des parties d’un ensemble E. Alors on a les propriétés suivantes : (1)A ∩ B = B ∩ A, A ∩ A = A, A ∩ E = A, A ∩ ∅ = ∅ (2) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (3) A ∪ B = B ∪ A, A ∪ A = A, A ∪ E = E, A ∪ ∅ = A (4) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (5) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (6) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (7) (Ac )c = A, (A ∩ B)c = Ac ∪ B c et (A ∪ B)c = Ac ∩ B c (8) A△B = B△A , A△A = ∅, A△∅ = A, A△E = Ac Preuve. Toutes ces propriétés est une reformulation des lois logiques vues au cha- pitre 1 On va montrer à titre d’exemple (7). Soit x ∈ E x ∈ Ac ⇔ x ∈ / A ⇔ non(x ∈ A) x ∈ (Ac )c ⇔ non(x ∈ Ac ) ⇔ non(non(x ∈ A)) ⇔ x ∈ A On a utilisé la loi logique de la double négation : non(nonP ) ⇔ P x ∈ (A)c ⇔ non(x ∈ A ∩ B) ⇔ non(x ∈ A et x ∈ B) En utilisant la loi Morgan, on obtient : x ∈ (A)c ⇔ non(x ∈ A)ounon(x ∈ B) ⇔ x ∈ Ac ou x ∈ B c ⇔ x ∈ Acc ) De même on obtient x ∈ (A ∪ B)c ⇔ x ∈ Ac et x ∈ B c 2.1.5 Produit cartésien Soient E et F deux ensembles. Le produit cartésien, noté E × F , est l’ensemble des couples (x, y) où x ∈ E et y ∈ F. Soient Ei , 1 ≤ i ≤ n, n ensembles. Le produit cartésien, noté 24 E1 × E2 × · · · × En , est l’ensemble des n-uplets (x1 , x2 ,... , xn ) où xi ∈ Ei ; 1 ≤ i ≤ n. Exemples : E 2 = E × E = {(x, y); x ∈ E et y ∈ E}, R2 = {(x, y); x, y ∈ R} [0, 1] × [0, 1] = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1} E n = {(x1 , x2 ,... , xn ); xi ∈ E; 1 ≤ i ≤ n} Rn = {(x1 , x2 ,... , xn ); xi ∈ R; 1 ≤ i ≤ n} 2.1.6 Partition Soit ℑ = {Fi ; i ∈ I} un ensemble de parties non vides d’un ensemble E, Fi ⊂ E pour tout i appartenant à un ensemble d’indices I. On dit que l’ensemble ℑ est une partition de E si ∀i, j ∈ I, i ̸= j ⇒ Fi ∩ Fj = ∅, etE = ∪i∈I Fi Exemple {[n, n + 1[; n ∈ Z} est une partition de R 2.2 II. Applications Soient E, F et G des ensembles 2.2.1 Définitions - Une application f de E dans F , f E → F , c’est la donnée pour chaque élément x de E d’un unique élément de F noté f (x) et appelé l’image de x par l’application f. Notation f : E −→ F x → f (x) 25 -Deux applications f et g définies de E dans F sont dites égales si ∀x ∈ E, f (x) = g(x) - Composition des applications Soient f une application de E dans F et g une application de F dans G. L’application de E dans G qui á tout x dans E fait correspondre g(f (x)) s’appelle la composée de g et f et se note f ◦ g. f : E −→ F g : F → G x → f (x) f (x) → g(f (x)) - L’identité de E est l’application de E dans E qui à tout élément x de E fait correspondre lui même, elle est notée IdE : ∀x ∈ E, IdE (x) = x Pour toute application de E dans F , f ◦ IdE = f et IdF ◦ f = f - Restriction et prolongement Soit A une partie de E. Soient f une application de E dans F et g une application de A dans F telles que ∀x ∈ A, f (x) = g(x) On dit que g est la restriction de f à l’ensemble A et que f est un prolon- gement de g à l’ensemble E. 2.2.2 Image directe- Image réciproque- Antécédents Définition 2 Soit A une partie de E et f une application de E dans F. L’image de A par f est l’ensemble f (A) = {f (x); x ∈ A} Définition 3 Soit f une application de E dans F et B une partie de F. L’image réciproque de B par f est l’ensemble f −1 (B) = {x ∈ E; f (x) ∈ B} Définition 4 Soit f une application de E dans F. Fixons y dans F. Un élément x appartenant à E est dit un antécédent de y si f (x) = y 26 L’ensemble des antécédents de y par f n’est autre que l’image réciproque du singleton {y} par l’application f : f −1 ({y}) 2.2.3 Injection- Surjection- Bijection Soit f une application de E dans F ′ ′ ′ Définition 5 f est dite injective si ∀x, x ∈ E, x ̸= x ⇒ f (x) ̸= f (x ) ; ′ ′ ′ ou si ∀x, x ∈ E, x = x ⇒ f (x) = f (x ) Autrement dit si tout élément de F admet au plus un antécédent par f , c’est-à-dire que pour tout y de F l’équation f (x) = y admet au plus une solution dans E Définition 6 f est dite surjective si tout élément de F admet au mois un antécédent par f : ∀y ∈ F, ∃x ∈ E; y = f (x) Autrement dit, si pour tout y dans F l’équation f (x) = y admet au moins une solution dans E Définition 7 f est dite bijective si tout élément de F admet un antécédent et un seul par f : ∀y ∈ F, ∃! x ∈ E; y = f (x) Autrement dit, si pour tout y dans F l’équation f (x) = y admet une solu- tion unique dans E 2.2.4 Application réciproque Définition 8 Soit f une application bijective de E dans F. L’application qui à tout élément y de F fait correspondre son unique antécédent par f 27 s’appelle l’application réciproque de f et est notée f −1. On a f ◦ f −1 = IdF et f −1 ◦ f = IdE Théorème 2 Soit f une application de E dans F. L’application f est bijective si et seulement si il existe une application g de F dans E telle que f ◦ g = IdF et g ◦ f = IdE Preuve. Si f est bijective, alors f ◦ f −1 = IdF et f −1 ◦ f = IdE , on prend g = f −1. Réciproquement supposons qu’i existe g de F dans E telle que f ◦ g = IdF et g ◦ f = IdE ′ Soient x, x deux éléments de E. f (x) = f (x′ ) ⇒ g ◦ f (x) = g ◦ f (x′ ) Or g ◦ f = IdE donc f (x) = f (x′ ) ⇒ x = x′. Donc f est injective. Soit y un élément de F alors f (g(y)) = y car f ◦ g = IdF , et donc g(y) est un antécédent de y. Ceci montre que f est surjective. On a montré que f est injective et surjective donc f est bijective. 2.3 III. Relations binaires 2.3.1 Définitions Définition 9 Une relation binaire ℜ sur un ensemble E c’est la donnée d’un sous-ensemble Γℜ de E × E. Si (x, y) ∈ E × E, on dit que x est en relation avec y et on note xℜy si et seulement si (x, y) ∈ Γℜ. Γℜ = {(x, y) ∈ E 2 ; xℜy} Définition 10 Une relation binaire ℜ sur un ensemble E est dite : 1) Réflexive si ∀x ∈ E; xℜx 2) Symétrique si ∀x, y ∈ E; xℜy ⇒ yℜx 3) Antisymétrique si ∀x, y ∈ E; xℜy et yℜx ⇒ x = y 4) Transitive si ∀x, y ∈ E; xℜy et yℜz ⇒ xℜz 28 2.3.2 Relation d’ordre 2.3.2.1 Définitions Définition 11 Une relation binaire ℜ sur un ensemble E qui est réflexive, antisymétrique et transitive est dite une relation d’ordre. Un ensemble muni d’une relation d’ordre est dit un ensemble ordonné Notation : Une relation d’ordre est souvent notée ≤ ou ⪯ Définition 12 Deux éléments a et b d’un ensemble ordonné par une re- lation ℜ sont dit comparables si aℜb ou bℜa. Définition 13 Soit ℜ une relation d’ordre sur un ensemble E. Si tous les éléments de E sont deux à deux comparables on dit que ℜ est une relation d’ordre total et que E est totalement ordonné. Dans le cas contraire on dit que la relation ℜ est une relation d’ordre partiel et que l’ensemble E est partiellement ordonné. Exemples 1) La relation ≤ d’ordre usuel dans R est une relation d’ordre total 2) La relation de divisibilité dans N est une relation d’ordre partiel ∀(n, m) ∈ N2 nℜm ⇔ n|m ⇔ ∃q ∈ N; m = qn 3 et 5 ne sont pas comparables 3) Soit E un ensemble qui contient au moins deux éléments, la relation d’inclusion dans P (E) est une relation d’ordre partiel. Soient a, b deux éléments distincts de E, alors {a} et {b} ne sont pas comparables. 4) La relation de divisibilité dans Z est une relation réflexive et transitive mais non antisymétrique. On a ∀(a, b) ∈ Z2 a|b et b|a ⇔ b = a ou b = −a 29 2.3.2.2 Éléments remarquables dans un ensemble or- donné Dans ce paragraphe ⪯ une relation d’ordre quelconque dans E. M aximum etM inimum Proposition 2 définition Soit A une partie de E. S’il existe un élément a de A tel que ∀x ∈ A, x ⪯ a alors il en existe qu’un seul, on l’appelle le maximum de A ou le plus grand élément de A et on le note M ax(A). S’il existe un élément b de A tel que ∀x ∈ A, b ⪯ x, alors il en existe qu’un seul, on l’appelle le minimum de A ou le plus petit élément de A et on le note M in(A) Remarque : Il n’y a pas nécessairement l’existence de Max et Min d’un ensemble Pour la relation ≤ dans R , A =]0, 1[ n’a ni plus petit élément ni plus grand élément Pour la relation de divisibilité dans N, on a : ∀n ∈ N, 1|n et n|0 donc M in(N) = 1 , M ax(N) = 0 , M in(N∗ ) = 1. Il est clair que N∗ n’a pas de plus grand élément. M ajorants, minorants Définition 14 Soit A une partie de E et soit α ∈ E. On dit que α est un majorant (respectivement un minorant) de A si ∀x ∈ A, x ⪯ α (respective- ment ∀x ∈ A, α ⪯ x) 30  Bornesupérieure, borneinf érieure Définition 15 Soit A une partie de E. Si A est majorée (respectivement minorée), et si l’ensemble des majorants (respectivement l’ensemble des minorants) admet un plus petit élément (respectivement un plus grand élément), celui-ci est appelé borne supérieure (respectivement borne in- férieure) de A, notée Sup(A) (respectivement Inf (A)) Remarque. Si A admet un maximum alors il a une borne supérieure et Sup(A) = M ax(A). Si A admet un minimum alors il a une borne inférieure et Inf (A) = M in(A) Exemple Pour la relation ≤ dans R, Sup(]0, 1[) = sup(]0, 1]) = 1 et Inf (]0, 1[) = inf ([0, 1[) = 0 Pour la relation de divisibilité dans N , on a : Inf (n, m) = pgcd(n, m) et Sup(n, m) = ppcm(n, m) Sup(N) = 0 et Inf (N) = 1 Sup(2N) = 0 et Inf (2N) = 2 2.3.3 Relations d’équivalence 2.3.3.1 Définition Une relation binaire ℜ sur un ensemble E qui est réflexive, symétrique et transitive est dite une relation d’équivalence Exemples 1) E = N2 , (a, b)ℜ(c, d) ⇔ a + d = b + c 2) E = Z × N, (a, b)ℜ(c, d) ⇔ ad = bc 3) E = Z, a ≡ b (modulo n) ⇔ b − a est un multiple de n; n ∈ N∗ 31 2.3.3.2 Classe d’équivalence et ensemble quotient Définition 16 Soit E un ensemble muni d’une relation d’équivalence ℜ Soit x ∈ E. On appelle classe d’équivalence de x l’ensemble noté cl(x) = {y ∈ E, yℜx} , on le note aussi x̄. L’ensemble {cl(x), x ∈ E} s’appelle l’ensemble quotient de E par la relation ℜ et se note E/ℜ. Théorème 3 Soit E un ensemble muni d’une relation d’équivalence ℜ, alors : 1) ∀x, y ∈ E, cl(x) = cl(y) ⇔ xℜy 2) ∀x, y ∈ E, cl(x) = cl(y)ou cl(x) ∩ cl(y) = ∅ 3) Soit F une partie de E telle que : i) ∀x ∈ E, cl(x) ∈ F ii) si x et y sont deux éléments distincts de F alors cl(x) ̸= cl(y) Alors {cl(x), x ∈ F } est une partition de E. L’ensemble F est un ensemble de représentants de toutes les classes de l’ensemble E. Exemple L’ensemble quotient pour la relation de congruence modulo n est noté Z/nZ, on a Z/nZ = {0̄, 1̄,... , n − 1} et Z = 0̄ ∪ 1̄ ∪ · · · ∪ n − 1 = n̄ ∪ n + 1 ∪ · · · ∪ 2n − 1 32 2.4 EXERCICES Série 2 EXERCICE1 : Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E. Montrer que 1- A ∪ B = A ∩ C ⇔ B ⊂ A ⊂ C 2- A ∪ B ⊂ A ∪ C et A ∩ B ⊂ A ∩ C ⇒ B ⊂ C 3- (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A) 4- A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) 5- A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C) EXERCICE2 : 2x Soit f : R → R, f (x) = 1+x 2 f est-elle injective ? surjective ? Montrer que f (R) = [−1, 1] Montrer que l’application g : [−1, 1] → [−1, 1], g(x) = f (x) est une appli- cation bijective. EXERCICE3 : Dans chacun des cas suivants, déterminer f (I) puis vérifier que f réalise une bijection de I sur J = f (I), puis préciser f (−1). 1- f (x) = x2 − 4x + 3 I =] − ∞, 2] (2x−1) 2- f (x) = (x+2) I =] − 2, +∞[ p 3- f (x) = (2x + 3) − 1 I = [ −3 2 , +∞[ x 4- f (x) = (1+|x|) I=R EXERCICE4 : Sur C on considère la relation binaire R définie par : ′ ′ ∀z, z ∈ C zRz ⇔ |z| = |z ′ | Montrer que R est une relation d’équivalence sur C Déterminer la classe d’équivalence d’un nombre complexe z. EXERCICE5 : 33 Sur R2 on définit la relation binaire R par : ′ ′ ′ ′ ′ (x, y), (x , y ) ∈ R2 (x, y)R(x , y ) ⇔ x < x ou (x = x′ et y ≤ y′ ) Montrer que R est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total ? Soit (a, b) ∈ R2 , déterminer l’ensemble des majorants du singleton {(a, b)} pour la relation R Exercices supplémentaires. EXERCICE1 : Soit f : E → F et gF → G deux applications. Notons h = g ◦ f. Montrer que h injective implique f injective. Montrer que h surjective implique g surjective. Montrer que si h est injective et f est surjective alors g est injective. EXERCICE2 : Soit f une application de E dans F. a- Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes : 1- f injective 2- ∀A, B ∈ P (E), f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) 3- ∀A ∈ P (E) f (−1) (f (A)) = A b- Montrer que pour toute partie B de F on a f (f (−1) (B)) = B ∩ f (E) c- Prouver que f est surjective si et seulement si ∀B ⊂ F f (f (−1) (B)) = B d- Montrer que f est bijective si et seulement si ∀A ⊂ E f (Ā) = (f A)) EXERCICE3 : Soit E un ensemble non vide et A une partie non vide de E. On définit dans l’ensemble des parties de E la relation R par : ∀X, Y ∈ P (E) XRY ⇔ X ∪ A = Y ∪ A 1- Montrer que R est une relation d’équivalence. 2- Déterminer cl(∅), cl(A), cl(E\A), cl(E) puis la classe d’un élément quel- conque de P (E). Donner l’ensemble quotient E\R. mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 34  CHAPITRE 3 POLYNÔMES Dans toute la suite on considère le corps (K, +,.) où K = R ou K = C. 3.1 A. L’anneau (K[X], +,.) 3.1.1 Définitions Définition 17 On appelle polynôme à coefficients dans K toute suite (ao , a1 , · · · , an , · · · ) (notée (ap )p∈N ) d’éléments de n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls. 35 Un polynôme est dit normalisé (ou unitaire) si son dernier coefficient non nul, appelé coefficient dominant est égal à 1. Le polynôme O = (0, 0, · · · ) est appelé le polynôme nul. Le polynôme (1, 0, · · · ) est appelé le polynôme unité. Exemple La suite u = (ap )p∈N avec ap = (−1)p n’est pas un polynôme à coefficients dans R. √ En prenant K = C La suite u = (i, 0, 2, ln 5, π, 0, · · · , an , · · · ) avec an = 0 pour n ≥ 5 est un polynôme à coefficients dans C. 3.1.2 Egalité et opérations entre les polynômes Soit P = (ap )p∈N et Q = (bq )q∈N deux polynômes et α ∈ K. On définit : L’égalité : P = Q si et seulement si ap = bp pour tout p ∈ N. L’addition P + Q = (ao + bo , a1 + b1 , · · · , an + bn , · · · ) = (ap + bp )p∈N La multiplication P P.Q = (ao bo , ao b1 + a1 bo , · · · , cn , · · · ) = (cn )n∈N où cn = a b = ao bn + a1 bn−1 + · · · + an−1 b1 + an bo , p+q=n p q cn est bien nul pour n ≥ 2mo lorsque ap = 0 et bq = 0 ∀p ≥ mo et ∀q ≥ mo. La multiplication externe. αP = (αao , αa1 , αa2 , · · · ). Notations : Posons X = (ak )k = (0, 1, 0, · · · ), tel que a1 = 1 et ak = 0 ∀k ̸= 1. Ce polynôme est appelé l’indéterminée. Par convention on pose X 0 = (1, 0, · · · ) = eo (le polynôme unité). Et l’on définit X 1 = X = e1 , X 2 = X.X = (0, 0, 1, 0, · · · ) = e2 · · · X n = en. Ainsi tout polynôme P = (ak )k s’écrit de façon unique (puisque les ak s’annulent à partir d’un certain rang) P: P = ao X 0 + a1 X 1 + a2 X 2 + · · · = k∈N k a Xk. 36 3.1.3 Degré et valuation d’un polynôme Définition 18 1. Le degré d’un polynôme P = (ak )k , non nul, est n le plus grand des entiers k tel que ak ̸= 0. On note deg(P ) = n (ou d◦ (P )). En fait deg(P ) est P le plus grand exposant k à coefficient non nul dans l’écriture P = k∈N k a Xk. 2. La valuation d’un polynôme P = (ak )k , non nul, est r le plus petit des entiers k tel que ak ̸= 0. On note val(P ) = r. En fait val(P ) P est le plus petit exposant k à coefficient non nul dans l’écriture P = k∈N k a Xk. 3. Par convention on pose : deg(0) = −∞ et val(0) = +∞. Exemple : Pour P = (0, 0, −1, 5, 0, i, 0, · · · ) = −X 2 + 5x3 + iX 5 , deg(P ) = 5 et val(P ) = 2. j : K 7→ K[X] Remarques : L’application a → (a, 0, · · · ) est un homomorphisme d’anneau, injectif. Ce qui nous permet d’identifier les constantes a ∈ K et les polynômes dits constants de la forme (a, 0, · · · Propriétés : Soit P et Q deux polynômes de K[X]. Alors 1. deg(P + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q)) et l’on a égalité si deg(P ) ̸= deg(Q). 2. deg(P.Q) = deg(P ) + deg(Q). 3. val(P + Q) ≥ min(val(P ), val(Q)) et l’on a égalité si val(P ) ̸= val(Q). 4. val(P.Q) = val(P ) + val(Q). 3.2 B. La division euclidienne dans (K[X], +,.) Théorème 4 et définition : Soit A et B deux polynômes, B non nul. 37 Il existe un couple unique de polynômes (Q, R) tel que : A = BQ + R et deg(R) < deg(B). Q est appelé le quotient et R est appelé le reste de la division euclidienne de A par B. Exemples : 1) Faire la D.E de A1 = X 5 + X 4 − X 3 + X − 1 par B1 = X 3 + X 2 + 2. 2) Faire la D.E de A2 = X 2 + X − 1 par B2 = X 3 + X 2 + 2. Définition 19 On dit qu’un polynôme B divise un polynôme A, et on note B/A (ou que A est divisible par B ou multiple de B), si le reste R de la D.E de A par B est le polynôme nul. Exemples : 1) B = X 2 − 1 divise A = X 4 + X 2 − 2. 2) Un polynôme constant non nul P = c, divise tout polynôme A. Définition 20 1) Si B divise A1 et A2 , alors B est un diviseur commun de A1 et A2. 2) Si A1 et A2 n’ont pas de diviseur commun de degré supérieur ou égal à un, alors A1 et A2 sont dits premiers entre eux. 3) Un polynôme P de deg(P ) ≥ 1, est dit irréductible dans K[X], si ses seuls diviseurs sont les polynômes A = α ou A = α.P où α ∈. Exemples : 1) B = X + 1 est un diviseur commun de A1 = 1 + 2X + X 2 et A2 = 1 − X 2. 2) D1 = X − 1 et D2 = X + 1 sont premiers entre eux. 3) Tout polynôme de degré un P = aX + b est irréductible dans [X]. Proposition 3 Soient A1 et A2 deux polynômes à coefficients dans K. Il existe un polynôme unitaire D et un seul tel que : 1) D est un diviseur commun de A1 et A2 , 38 2) d◦ (D) est le plus grand parmi les diviseurs communs de A1 et A2. D est appelé le plus grand commun diviseur (pgcd). On note D = A1 ∧ A2. Remarques : 1) Le pgcd D de A1 et A2 est le dernier reste non nul normalisé dans la suite des divisions euclidiennes successives (connue sous le nom d’algorithme d’Euclide). 2) Par l’algorithme d’Euclide on a l’existence de deux polynômes U et V tel que D = U.A1 + V.A2. En particulier on a le théorème Théorème 5 A1 et A2 sont premiers entre eux, si et seulement si il existe deux polynômes U1 et U2 tels que U1.A1 + U2.A2 = 1 (l’identité de Bezout). Exemples : 1) Déterminer le pgcd(A, B) avec A = 2X 4 − 4X 2 + 2 et B = X 3 + 2X 2 + X. 2) Déterminer le pgcd(A, B) avec A = X 4 − X 2 et B = X 2 + 2. Théorème 6 de Gauss Soient A, B, C trois polynômes. On a l’implication : si C est premier avec B et C divise AB alors C divise A. 3.3 C. La division suivant les puissances croissantes. Proposition 4 Pour tous polynômes A et B = b0 X 0 + b1 X + · · · + ap X p (b0 ̸= 0), et tout entier k ∈ N , il existe un couple unique (Q, R) de poly- nômes, tels que A = BQ + X k+1 R avec dcirc Q ≤ k. Q et X k+1 R sont respectivement appelés quotient et reste de la division suivant les puissances croissantes de A par B à l’ordre k. (faire la DSPC de A par B c’est trouver Q et R). 39 Exemples : 1) Faire la DSPC de A = X 5 −3X 4 −2X 3 +X 2 +3X +2 par B = 2+3X +X 2 à l’ordre k = 5. 2) Faire la DSPC de A = X 3 − 2X 5 par B = 3 − 5X 3 à l’ordre k = 2. 3.4 D. Racines d’un polynôme et ordre de multiplicité 0 1 , · · · ) = a0 X +a1 X +· · ·+ Définition 21 A chaque polynôme P = (ao , a P e: K 7→ K an X n de degré n on associe l’application notée x → e(x) = ao + a1 x + · · · + a P e = 0 ∀x ∈ K. Au polynôme O on associe l’application nulle O(x) P est dite la fonction polynôme associée à P e Remarques : 1)Par cette association on a une correspondance bijective entre les polynômes à coefficients dans K et les fonctions polynômes de K dans K. 2) Et l’on a P^ +Q=P e + Q, e Pf Q=P eQ e et λf P = λP e. 3) Faire la différence entre fonction polynôme et les fonctions qui ne sont pas des fonctions polynômes. Théorème 7 et définition a ∈ K est dit une racine (ou zéro) du polynôme P s’il vérifie l’une deux conditions suivantes qui sont équivalentes : 1) Pe(a) = 0. 2) le polynôme X − a divise le polynôme P Exemples : A = 1 + X 2 = (1, 0, 1, 0, · · · ) n’a pas de racines dans. Par contre √ il a des √ racines dans. B = 2 − X = ( 2, −1, 0, · · · ) a une racine dans. Proposition 5 Formule de Taylor : 40 Soit P un polynôme de degré n et a ∈. On a n 1 e(o) (a)+Pe(1) (a) 1 (X−a)+· · ·+Pe(n) (a) 1 (X−a)n X P = e(k) (a) P (X−a)k = P k! 1! n! k=0 Exemples : Écrire la formule de Taylor en a = 1 puis en b = −1 pour le polynôme P = −1 + X − X 2 + X 4 Théorème 8 et définition a ∈ K est dit une racine d’ordre -k ∈- (ou de multiplicité k) du polynôme P , lorsqu’il vérifie l’une des conditions suivantes qui sont équivalentes : 1) Pe(a) = Pe′ (a) = · · · = Pe(k−1) (a) = 0 et Pe(k) (a) ̸= 0. 2) Le polynôme (X − a)k divise P et (X − a)k+1 ne divise pas P. 3.5 E. Factorisation dans C[X] et dans R[X] Théorème 9 de D’Alembert Tout polynôme, à coefficients dans C, de degré n, possède exactement n racines dans C (une racine d’ordre k comptant pour k racines). Remarques : Si x1 , x2 , · · · , xp sont toutes les racines deuxPà deux dis- n tinctes d’ordres respectifs α1 , α2 , · · · , αp du polynôme P = k=0 k a Xk, α α d’après ce qui précède, (X − x1 ) /P , ainsi que (X − x2 ) /P ,etc · · ·. 1 2 Étant premiers entre eux donc : (X − x1 )α1 (X − x2 )α2 · · · (X − xp )αp /P. Et l’on a α1 + α2 + · · · + αp = n et le quotient est de degré 0, le terme de degré n devant être an X n , on a donc P = an (X − x1 )α1 (X − x2 )α2 · · · (X − xp )αp Exemples : Factoriser P = X 4 − 6X 3 + 8X 2 + 6X − 9 dans C[X]. 41 Remarques : Tout polynôme à coefficients réels, est un cas particulier de polynômes à coefficients complexes, et donc possède autant de racines complexes que son degré. Ses racines sont nécessairement conjuguées deux à deux. Si z est racine d’ordre k de P alors z est aussi racine d’ordre k de P. Théorème 10 Tout polynôme de degré n ∈ N⋆ , à coefficients réels, se décompose en facteurs du premier degré (X − a) (où a est une racine réelle), et(ou) en facteurs du second degré à discriminant négatif. Exemples : Factoriser en facteurs irréductibles, dans R[X], le polynôme P = 2X 4 + 2. Remarques : Les polynômes irréductibles dans C[X] sont les polynômes de la forme aX + b avec a, b ∈ C. Les polynômes irréductibles dans R[X] sont les polynômes de la forme aX + b avec a, b ∈ R ou de la forme aX 2 + bX + c à discriminant né- gatif ( cad : ∆ = b2 − 4ac < 0). 42 3.6 EXERCICES Série 3 EXERCICE1 : Soient P (X) = X 3 + 3X − 2 et Q(X) = 6X − X 2 + 1 Déterminer P + Q, 3P − 2Q, P 3 et P Q EXERCICE2 : Trouver le polynôme P ∈ R3 [X] tel que : P (0) = 1, P (1) = 0, P (−1) = −2 et P (2) = 4 EXERCICE3 :. Déterminer le degré et le coefficient dominant des poly- nômes suivants : P1 (X) = X 3 − (X − 1 + i)2 P2 (X) = X 3 − X(X − 1 + i)2 P1 (X) = (X + 1)n − (X − 1)n , où n est un enier naturel EXERCICE4 : Effectuer la division euclidienne du polynôme A par le polynôme B A = X 3 − 3X 2 , B = X2 − X + 2 A = X 3 + iX 2 + X, B =X −i+1 EXERCICE1 :5 Déterminer les pgcd des polynômes suivants : X3 − X2 − X − 2 etX 5 − 2X 4 + X 2 − X − 2 X 4 + X 3 − 2X + 1 etX 3 + X + 1 1 2 EXERCICE6 : Soit P (X) = X4 + 4 X− 34 X + 14 1 Montrer que 2 est une racine multiple de P En déduire la factorisation de P dans R[X] puis dans C[X] EXERCICE7 : Factoriser X 4 + 2X 3 + 4X 2 + 2X + 3 en facteurs irréduc- tibles sur R[X] sachant que le nombre complexe i est une racine. EXERCICE8 : Soit P (X) = 2X 3 + 3X 2 + 6X + 1 − 3j 43  2iπ Montrer que j = e 3 est une racine double de P Factoriser P dans C[X] EXERCICE9 : P (X) = X 6 + 2X 5 + 4X 4 + 4X 3 + 4X 2 + 2X + 1 2iπ Montrer que j = e 3 est une racine multiple de P Factoriser P dans C[X] Factoriser P dans R[X] 44  Exercices supplémentaires Exercice1 : Soit P (X) = ao + a1 X + a2 X 2 + a3 X 3. Montrer que si P e(x) est la fonction nulle e(x) = 0 ∀x ∈ K) alors ao = a1 = a2 = a3 = 0 (càd P est le polynôme (P nul). En fait c’est général e(x) = ao + a1 x + · · · + an xn = 0 ∀x ∈) ⇒ ao = · · · = an = 0. (P A partir de là on a : e(x) = ao + a1 x + · · · + an xn = Q(x) P e = bo + b1 x + · · · + bm xm ∀x ∈ K ⇒ ao = bo , a1 = b1 , · · · (Deux polynômes sont égaux dans [X] si et seulement si les fonctions polynômes, qui leur sont associées, sont égales). Exercice2 : Déterminer a, b, c, α, β ∈ C pour que les polynômes P = aX 5 + bX 4 + X 3 + cX 2 − (2 + 3i)X + 1 et Q = iX 4 + αX 3 + βX + iγ vérifient : (1 − i)P + 2Q = O (O le polynôme nul). Déterminer dans ce cas d◦ (P ) et d◦ (Q). Exercice3 : Déterminer a, b, c, u, v ∈ C pour que les polynômes P = aX 4 + bX 3 + X 2 − (2 + i)cX + 2 et Q = X 4 + uX 3 + X + iv vérifient : d◦ (P + Q) = 3 et val(P + Q) = 2. Exercice4 : Donner suivant la√valeur √ de m ∈ R les degrés d◦ (P Q) et d◦ (P + Q) pour P = (1 − m 2X 2 )( 2X 4 + 2X 3 ) et Q = 2X 6 + 5X 5 − X. Exercice5 : Faire la D.E de A par B et de B par A dans les cas suivants et dire si l’un divise l’autre : 1) A = 4X 3 + X 2 et B = X + 1 + i, 2) A = (X − 1) et B = X 4 − 4X 3 + 6X 2 − 4X + 1, 3) A = X 4 − 4X 3 + 6X 2 − 4X + 1 et B = −8X + 2 + 2X 4 − 8X 3 + 12X 2. Exercice6 : Quelles conditions doivent vérifier p, q et m pour que X 3 + pX + q soit 45 divisible par X 2 + mX − 1 ? Exercice7 : En utilisant l’algorithme d’Euclide donner le pgcd de A et B dans les cas suivants : 1) A = X 4 − 1 et B = 2X 3 + X 2 − 2X − 1. 2) A = X 4 + 1 et B = X 4 + X 2 + 1. Exercice8 : Faire -si possible- la division suivant les puissances croissantes de A par B et de B par A : 1) A = X 4 − 3X 3 + 2X et B = X 2 + 2 à l’ordre 3. 2) A = X 5 − 3X 4 et B = X 2 + 2 à l’ordre 3. Exercice 9 : Trouver les racines complexes et leurs ordres de multiplicité des polynômes suivants 1) A1 = 4X 3 + X 2 , A2 = X 4 − 4X 3 + 6X 2 − 4X + 1 et A3 = 64X − 32 − 2X 4 + 16X 3 − 48X 2. 2) B1 = (X 4 − 1)2 et B2 = 2X 3 + X 2 − 2X − 1. 3) C1 = X 4 + 1 et C2 = X 4 + X 2 + 1. 4) D1 = X 4 − 3X 3 + 2X et D2 = X 2 + 2. 5) E1 = X 5 − 3X 4. Exercice10 : 1) Trouver les racines complexes des polynômes P = (X 3 − 1)2 (X 2 − 1) et Q = (X − 1)(2X 2 + 2) et donner le pgcd(P, Q) 2) Donner le pgcd(A, B) avec A = X 100 + X 50 + 1 et B = X 50 + 1. Exercice11 : Pour quelles valeurs de m le polynôme Pm = (X + 1)m − X m − 1 est-il divisible par Q = X 2 + X + 1 ? Même question si Pm = 1 − X m + X 2m − X 3m + X 4m et Q = 1 − X + X 2 − X 3 + X 4 (K = C). Exercice12 : Soit A ∈ R[X] un polynôme non constant. e = 0 (z ∈ C) alors A(z) a) Montrer que si A(z) e = 0. b) Montrer que z est racine d’ordre n de A si et seulement si z est racine d’ordre n de A. Application : décomposer en facteurs irréductibles A = X 4 + 3X 3 − X 2 + 3X − 2 46 sachant que A(i) e = 0. Exercice13 : a) Décomposer en facteurs irréductibles dans R[X] les polynômes suivants : P1 = X 4 + 1 , P2 = X 4 + X 2 + 1 , P3 = (X 2 − X + 1)2 + 1. b) Trouver : pgcd(P1 , P2 ) , pgcd(P1 , P3 ) et pgcd(P2 , P3 ). Exercice14 : Décomposer P = X 4 + 12X − 5 dans C[X] puis dans R[X] sachant qu’il a deux racines x1 et x2 vérifiant x1 + x2 = 2. Exercice15 : Décomposer le polynôme B en facteurs irréductibles dans R[X] √ √ √ √ B = X 5 + ( 2 − 1)X 4 − 2X 3 − X 2 + (1 − 2)X + 2 Exercice16 : On considère le polynôme : P = X 6 + 5X 5 + 5X 4 − 12x3 + aX 2 + bX + c où a, b, c ∈ R 1) Effectuer la division euclidienne de P par (X + 2)3 et déterminer a, b et c pour que P soit divisible par (X + 2)3. 2) Pour les valeurs trouvées dans (1) montrer que j est racine de P. 3) Décomposer alors, en facteurs irréductibles, P dans C[X], puis dans R[X]. Exercice17 : Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine 1 des polynômes suivants : a) P = X 6 − X 5 + (a − 1)X 4 + (1 − a)X 2 + X − 1 b) Q = X 2n − nX n+1 + nX n−1 − 1 Exercice18 : Déterminer trois polynômes P,Q,R de R[X] tels que : X 2 P 2 + Q2 − X 3 R2 = 2XP Q Essayer d’utiliser l’identité u2 + v 2 − 2uv = (u − v)2 Exercice19 : Montrer que cos(nθ) est une fonction polynôme de degré n par rapport à 47 x = cos(θ) et que son coefficient dominant est 2n−1 (pour n ≥ 1) Exercice20 : Soit une suite de polynômes (Pn )n telle que : Po = 1 , P1 = X ,et par récurrence : Pn = 2XPn−1 − Pn−2 pour n ≥ 2 Calculer P3 , P4 , P5 ;. On pose x = cos(θ), montrer que P fn (x) = cos(nθ). Exercice21 : n Calculer Pn = (1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 ) · · · (1 + X 2 ) par récurrence. Exercice22 : On pose P = (1 + aX)(1 + a2 X) · · · (1 + an X) , a ∈ avec ak ̸= 1 ∀k ∈ N⋆. a) Établir une relation entre P (X) et P (aX). b) Trouver une relation entre ak et ak−1 pour k ≤ n et P = 1 + a1 X + · · · + an X n. Exercice23 P:n Pour P = a X k un élément de C[X], on pose k=0 k n X P = ak X k k=0 a) Comparer les degrés de P et P. b) On considère l’application : ϕ = C[X] −→ C[X] P → P.P En exprimant les coefficients de ϕ(P ), montrer que ϕ(P ) est à valeurs réelles. c) ϕ est-elle injective ? d) On définit ϕ = C[X] −→ R[X] P → P.P ϕ est-elle surjective ? Exercice24 : On pose P = 1 + X + X 2 + · · · + X n et Q = 1 + 2X + · · · + (n + 1)X n. Calculer le coefficient de X n dans le développement du polynôme produit 48 P Q. Exercice25 : Déterminer deux polynômes P et Q ∈ R[X] premiers entre eux tels que : P 2 + Q2 = (X 2 + 1)2. (indication : utiliser P 2 + Q2 = (P + iQ)(P − iQ)). Exercice26 : Déterminer le reste de la division euclidienne de Pn = (X − 2)2n + (X − 1)n − 2 a) par (X − 2)(X − 1) b) par (X − 1)2. Exercice27 : √ √ Soit a = 1 + 2 + 4 2. Donner un polynôme P tel que P (a) = 0 et les coefficients de P sont rationnels (P ∈ Q[X]). mmmmmm mmmmmmmm mmmmmmm mmmmmmmm mmmmmm 49  CHAPITRE 4 FRACTIONS RATIONNELLES 4.1 A. Le corps (K(X), +,.) On pose K = K[X] × K[X]⋆ et on définit sur K la relation ℜ (qui est une relation d’équivalence) par : (A, B)ℜ(A′ , B ′ ) si et seulement si AB ′ = A′ B. L’ensemble K étant muni des deux lois de composition internes (compatibles avec ℜ) (A, B) + (A′ , B ′ ) = (AB ′ + A′ B, BB ′ ) addition (A, B).(A′ , B ′ ) = (AA′ , BB ′ ) multiplication A L’ensemble noté K(X) = K/ℜ , dont les éléments sont notés A/B ou B est muni des′ lois ′ ′ ′ ′ A A AB +A B A A AA B +B ′ = BB ′ et B. B ′ = BB ′ 50 c’est un corps. L’application P → P1 est un morphisme injectif d’anneau de K[X] dans K(X), à l’aide duquel on identifie les éléments de K[X] à ceux d’un sous- anneau de (X). L’élément nul est 01 (noté 0). A L’élément unité de K(X) est 1 ; l’inverse de B (A ̸= 0 et B ̸= 0) est B A. Proposition 6 1) Pour chaque fraction rationnelle F ∈ K(X), il existe P un représentant Q de F , tel que les polynômes P et Q soient premiers entre eux. Ce représentant est unique aux constantes multiplicatives près, et est appelé la forme irréductible de F. Si en plus Q est normalisé on parle de forme irréductible normalisée de F. A 2) F = B est la forme irréductible de F (K = R ou ) si et seulement si A et B n’ont pas de racine commune dans C. P Définition 22 Soit F = Q une fraction rationnelle mise sous forme ir- réductible.On définit : 1) Les racines (ou les zéros) de F sont les racines de P. 2) Les pôles de F sont les racines de Q. 3) deg(F ) = deg(P ) − deg(Q). 4) L’ensemble noté D(F ) = {x ∈ K / Q(x) e ̸= 0} est l’ensemble de défi- nition de F. Fe : D(F ) 7→ K 5) L’application P e(x) x → Q(x) e est appelée la fonction rationnelle associée à F. 3 2 Exercice : F = X −3X +3X−1 X 2 −1 et G = 4X2X+1 2 +4X+1 , donner les racines et les pôles de F et G, leurs degrés et leurs ensembles de définition et les fonctions rationnelles associées. P R Proposition 7 Pour F = Q et G = S deux fractions mises sous forme irréductible, on a : 51  — ∀x ∈ D(F ) ∩ D(G) F e(x) + G(x) e = (F^+ G)(x), e(x) · G(x) F e = ^ (F · G)(x) — F = G (au sens des fractions rationnelles) si et seulement si ∀x ∈ D(F ) ∩ D(G) : Fe(x) = G(x) e 4.2 B.Décomposition d’une fraction rationnelle sur C(X) A U Lemme 1 1) Pour F = B = V (B ̸= 0 et V ̸= 0), on a deg(A) − deg(B) = deg(U ) − deg(V ). 2) Pour F = F1 + F2 , deg(F ) ≤ max(deg(F1 ), deg(F2 )) En effet : A U B = V ⇒A·V =U ·B ⇒ deg(A · V ) = deg(U · B) 1) ⇒ deg(A) + deg(V ) = deg(U ) + deg(B) ⇒ deg(A) − deg(B) = deg(U ) − deg(V ) ceci car deg(B) et deg(V ) des entiers A Par suite deg(F ) = deg(A) − deg(B) = deg(U ) − deg(V ) (même si B n’est pas la forme irréductible). A A1 A2 2) Si on a F = B , F1 = B et F2 = B , alors 1 2 A1 A2 F = F1 + F2 = B +B = A1 BB2 +A 2 B1 1 2 1 B2 ⇒ deg(F ) = deg(A1 B2 + A2 B1 ) − deg(B1 B2 ) ≤ max(deg(A1 B2 ), deg(A2 B1 )) − deg(B1 B2 )) ⇒ deg(F ) ≤ max (deg(A1 B2 ) − deg(B1 B2 ), deg(A2 B1 ) − deg(B1 B2 )) (ceci car max(a, b) − c = max(a − c, b − c)).
A1 B 2 A2 B 1 ⇒ deg(F ) ≤ max deg( B B ), deg( B B ) 1 2 1 2 52  A1 A2
⇒ deg(F ) ≤ max deg( B ), deg( B ) 1 2 ⇒ deg(F ) ≤ max (deg(F1 ), deg(F2 )). Lemme 2 Pour F = P PA ·P , telle que ∀i ̸= j, Pi ∧ Pj = 1, ils existent 1 2 r A1 , · · · , Ar des polynômes tels que : A1 A2 F = P + P + ··· + A P r. 1 2 r Par récurrence sur r : 1) pour r = 1, F = PA (A1 = A) c’est évident. 1 2) Supposons que le résultat est vrai à l’ordre r − 1, Q A P P ·P = AP 1 +AP 2 + · · · + P r−1. 1 2 r−1 2 2 r−1 3) Soit F = P P ·PA ·P , telle que ∀i ̸= j, Pi ∧ Pj = 1. 1 2 r−1 r Posons S = P1 P2 · Pr−1 et T = Pr. T et S sont premiers entre eux (car n’ont pas de racine commune dans C, puisque Pk premier avec les autres Pi ). Par l’identité de Bezout, ∃U, V ∈ K[X] tels que U T + V S = 1. Ce qui donne A·(U T +V S) F = P A×1 P ·P = ST = AU S + AVT 1 2 r et donc F = P PAU + AV , en posant Ar = AV et en appliquant l’hy- 1 2 ·Pr−1 Pr pothèse  de récurrence, on trouve  A1 A2 Ar−1 Ar F = P1 + P2 + ··· + Pr−1 + Pr. Lemme 3 Avec F1 = A 1 P1 et P1 = (X − a1 )α1 , ∃E1 et R1 ∈ [X], ∃c11 , · · · , c1α1 ∈ K, tels que R1 c11 c12 c1α1 F1 = E1 + = E1 + + +· · ·+. (X − a1 )α1 (X − a1 )1 (X − a1 )2 (X − a1 )α1 En faisant la division euclidienne de A1 par P1 , on a A1 = E1 · P1 + R1 avec deg(R1 ) < deg(P1 ) = α1. 53 Et donc F1 = E1 ·PP1 +R1 = E1P·P1 + R P1 1 = E1 + (X−a) R1 α1. 1 1 En posant n1 = deg(R1 ) < α1 et en appliquant la formule de Taylor on obtient R˜ ′ (a ) R˜ (n1 ) (a ) R1 = R˜1 (a1 ) + 1 1! 1 (X − a1 ) + · · · + 1 n ! 1 (X − a1 )n1 1 R˜1 ′ (a1 ) R˜1 (α1 −1) (a1 ) = R˜1 (a1 ) + 1! (X − a1 ) + ··· + (α1 −1)! (X − a1 )α1 −1 (k) ceci car lesdérivées R1 f n1 < k ≤ α1. = 0 pour Ce qui donne, après changement de l’ordre des termes R1 = c11 (X − a1 )α1 −1 + c12 (X − a1 )α1 −2 + · · · + c1α1 (X − a1 )o Finalement on arrive à c11 (X−a1 )α1 −1 +c12 (X−a1 )α1 −2 +···+c1α1 (X−a1 )o F1 = E1 + (X−a )α1 1 c11 c12 c1α1 = E1 + (X−a1 )1 + (X−a1 )2 + ··· + (X−a1 )α1 A Soit F = B mise sous forme irréductible normalisée. Décomposons B en facteurs irréductibles dans [X] : r Y B= (X − ai )αi = (X − a1 )α1 (X − a2 )α2 · · · (X − ar )αr i=1 où les (ai )i , sont les racines de B distinctes deux à deux, et chaque ai est racine d’ordre αi de B, deg(B) = α1 + · · · + αr. Théorème 11 et définition : Avec les notations ci-dessus, la fraction F s’écrit, d’une manière unique et d’une seule, sous la forme :   c11 c12 c1α1 F = E + (X−a1 ) + (X−a1 )2 + ··· + (X−a1 )α1   c21 c22 c2α2 + (X−a2 ) + (X−a2 )2 + ··· + (X−a2 )α2 + ·· ·  cr1 cr2 crαr + (X−ar ) + (X−ar )2 + ··· + (X−ar )αr 54 Le polynôme E est appelé la partie entière de F. Les (cij )i,j sont des constantes de.  ci1 ci2 ciαi La partie (X−ai ) + (X−ai )2 + ··· + (X−ai )αi est appelée partie prin- cipale relative au pôle ai , et les monômes dont elle est formée se nomment les fractions de première espèce. Propriétés : 1) L’existence : On a F = P P A···P et d’après lemme1 et lemme2 1 2 r A1 Ar R1 Rr F = P1 + ··· + Pr = (E1 + (X−a1 )α1 ) + · · · + (Er + (X−ar )αr ). R1 Rr
= (E1 + · · · + Er ) + (X−a1 )α1 + · · · + (X−a α
r) r R1 Rr = E + (X−a α + · · · + (X−a )αr. 1) 1 r Et en passant par Lmme3 pour chaque ai , on trouve l’écriture de F sous la forme   c11 c12 c1α1 F = E + (X−a1 ) + (X−a1 )2 + ··· + (X−a1 )α1   c21 c22 c2α2 + (X−a2 ) + (X−a2 )2 + ··· + (X−a2 )α2 + ·· ·  cr1 cr2 crαr + (X−ar ) + (X−ar )2 + ··· + (X−ar )αr 2) L’unicité : Soient P ∈ [X], d1 , · · · , dm ∈, G ∈ (X) une fraction rationnelle telle que a ∈ D(G) et deg(G) < 0. Montrons que : d1 d2 dm Si on a P = (X−a) + (X−a) 2 + · · · + (X−a)m + G (∗) alors on a P = 0, d1 = · · · = dm = 0 et G = 0 (∗∗) d1 dm En effet, (∗) implique que deg(P ) ≤ max(deg( (X−a) ), · · · , deg( (X−a)m ), deg(G)) et donc deg(P ) ≤ max(−1, · · · , −m, deg(G)) < 0. Comme le seul polynôme à degré strictement négatif est le polynôme nul, on obtient P = 0. d1 d2 dm Il reste 0 = (X−a) + (X−a) 2 + · · · + (X−a)m + G, en multipliant les deux membres par le polynôme (X − a)m , on obtient 55 0 = d1 (X − a)m−1 + · · · + dm−1 (X − a)1 + dm + (X − a)m · G. En passant aux fonctions rationnelles associées et en prenant x = a, on obtient 0 = d1 (a − a)m−1 + · · · + dm−1 (a − a)1 + dm + (a − a)m · G(a) e = dm , e ∈ puisque a ∈ D(G)). (sachant que G(a) Ensuite on fait le même raisonnement pour dm−1 , · · · , d1. Et l’on arrive à P = 0, dm = · · · = d1 = 0 et G = 0. Ensuite si on a  c11 c12 c1α F = E1 + (X−a ) + (X−a )2 + · · · + (X−a 1)α1 + · · · 1 1 1 c′11 c′12 c′1α   = E1′ + (X−a1 ) + (X−a1 )2 + ··· + 1 (X−a1 )α1 + ··· Ce qui donne c11 −c′11 c1α1 −c′1α   E1′ − E1 = (X−a1 ) + ··· + (X−a1 )α1 1 + G. D’après ce qu’on vient de voir, on a forcément E1 − E1′ = 0, c1i − c′1i = 0 pour 1 ≤ i ≤ α1 et donc E1 = E1′ , c1i = c′1i pour 1 ≤ i ≤ α1 et de même cji = c′ji pour 1 ≤ i ≤ αj et 1 ≤ j ≤ r Ce qui montre l’unicité de la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples. Étapes à suivre pour faire la décomposition en éléments simples A d’une fraction F = B dans C(X) P 1) Écrire F sous forme irréductible normalisée F = Q (en simplifiant par le pgcd(A, B)). R 2) Faire la D.E de P par Q pour avoir la partie entière : F = E + Q 3) Décomposer Q en facteurs irréductibles dans C[X] : Q = (X − a1 )α1 · · · (X − ak )αk. 4) Donner la forme de la DES et calculer les coefficients (cij ). Exercice : différentes méthodes pour faire la décomposition en éléments simples dans C(X) : Par identification (calcul direct) 2X 4 +3X 2 Décomposer en éléments simples dans (X) la fraction F = (X−1)(X 2 +1). Utilisation de valeurs, passage aux limites 56  X 3 −X 2 +1 Décomposer en éléments simples dans (X) la fraction F = (X−1)(X 2 +2). Division suivant les puissances croissantes X 2 −X+1 Décomposer en éléments simples dans (X) la fraction F = (X−1)4 (X+1)2. 4.3 B.Décomposition d’une fraction rationnelle sur R(X) A Soit F = B mise sous forme irréductible normalisée. En faisant la divi- sion euclidienne de A par B, il existe deux polynômes uniques, E et R tels que : A = BE + R et deg(R) < deg(B). La factorisation de B en facteurs irréductibles dans R[X] est de la forme : s Q αi B= Pi où chaque Pi est de la forme Pi = (X − ai ) avec ai une racine i=1 réelle de B d’ordre αi ou Pi = X 2 + bi X + ci avec ∆i = b2i − 4ci < 0. Théorème 12 et définition : Avec les notations ci-dessus, la fraction F s’écrit, d’une manière unique et d’une seule, sous la forme :   C11 C12 C1α1 F = Q + + P12 + ··· + α P1 P1 1   C21 C22 C2α2 + + P22 + ··· + α P2 P2 2 + ·· ·  Cs1 Cs2 Csαs + Ps + Ps2 + ··· + α Ps s Les (Cij )i,j sont des polynômes de R[X] tels que deg(Cij < deg(Pi ). Si deg(Pi ) = 2, aX+b k est dit un élément du second espèce. Pi Étapes à suivre : Ils sont les mêmes, sauf que la décomposition en facteurs irréductibles du 57 dénominateur, doit se faire dans R[X]. Exercice : différentes méthodes pour faire la décomposition en éléments simples dans R(X) : En plus des techniques citées avant, on peut rajouter la technique des divisions euclidiennes successives, ceci lorsque Q est puissance d’un polynôme du second degré, à discriminant négatif. 3 Faire la DES de F = X +X+1 (X 2 +1)3 58 4.4 Exercices Exercice1 : Faire la décomposition en éléments simples des fractions suivantes en utili- sant la méthode indiquée : 3X 3 +3X+3 1) F = (X−1) 2 (X 2 +2) en réduisant au même dénominateur (calcul direct dans R(X)). 4X 2 +3X+1 2) G = (X 2 +2X+1)(X−1) en donnant des valeurs particulières à X. X 3 −X 2 −3X−2 3) H = (X+1)3 (X 2 +1) dans (X) puis dans (X) en utilisant la DSPC. 4) I = X 61+1 dans C(X) puis dans R(X). Exercice2 : Décomposer en éléments simples dans R(X) la fraction suivante : X5 − X3 − X + 1 T =. suivant la valeur de n ∈ N (X 2 + 1)n Donner la décomposition de T dans C(X) pour n = 2. Exercice3 : Décomposer en éléments simples dans C(X), puis dans (X) les fractions suivantes : 3 4X 3 n! U = , V = , W =. X3 +1 X4 − 1 X(X + 1) · · · (X + n) Exercice4 : Décomposer en éléments simples dans R(X) la fraction suivante : 1 F =. (X + 1)3 (X 2 − 2X + 4) Exercice5 : Décomposer en éléments simples dans C(X) les fractions suivantes : (2n)! n! 1 x(x2 −k2 ) x(x−1)···(x−n) cos(n arccos x) 1 1 1 xm (1−x)n (x2 −a2 )n (xn −1)2 1 x4 +1 (x2 +a2 )n (x2 −x+1)n 59 Exercice6 : Décomposer en éléments simples dans R(X) les fractions suivantes : xm xm x2n+1 −1 , x2n+1 +1 , 2m x 1 x2n +1 (m < n), (x2n −1)2 Exercice7 : Soit F = fg une fraction rationnelle mise sous forme irréductible ; a étant A B un pôle double de F , on pose F = (x−a)2 + x−a + ···. Montrer que :   2f (a) 2 3f ′ (a)g ′′ (a) − f (a)g (3) (a) A= , B= g ′′ (a) 3 (g ′′ (a))2 1 Application : décomposer [H(x)]2 , où x1 , x2 , · · · , xn sont tous distincts et n Y H(x) = (x − xi ) i=1 60  CHAPITRE 5 STRUCTURES ALGÉBRIQUES 5.1 Groupes et morphismes de groupes A. Lois de composition internes Définition 23 Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composi- tion interne (LCI) sur E toute application de E × E dans E. Notation :Si ∗ : E × E −→ E est une LCI, l’image de (x, y) est ∗(x, y) et sera notée x ∗ y. En général on utilise les symboles + ou. pour une LCI. Exemple : 61  — E = {♣, ♢}.... — L’application (x, y) −→ 2 √ x − |y| est une LCI sur. Par contre (x, y) −→ x + y ne l’est pas — La composition des applications est une LCI sur (X, X) l’ensemble des applications de X dans X. B. Groupes Définition 24 Soit G un ensemble non vide muni d’une loi de composi- tion interne notée ∗. On dit que (G, ∗) est un groupe lorsque l’opération ∗ vérifie — a) ∀x, y, z ∈ G : (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) c’est l’associativité. — b) ∃e ∈ G : ∀x ∈ G x ∗ e = e ∗ x = x. e est dit un élément neutre de ∗. — c) ∀x ∈ G ∃x′ ∈ G : x ∗ x′ = x′ ∗ x = e tout élément admet un symétrique noté x′ = x−1 (on verra qu’il est unique). Si de plus la loi ∗ vérifie — d) ∀x, y ∈ G x ∗ y = y ∗ x, elle est dite commutative et l’on dit que (G, ∗) est un groupe abélien (ou commutatif). Notation : Dans un groupe commutatif la loi est souvent notée +, le symétrique x′ noté x′ = −x. Sans information sur la commutativité elle est notée · et x′ = x−1. Exemple : 1. L’ensemble des permutations de trois personnes de leurs places muni de la composition est un groupe. 2. (N, +), (Q, ×) ne sont pas des groupes. 3. V l’ensemble des vecteurs du plan muni de l’addition des vecteurs est un groupe commutatif. 62  4. P l’ensemble des paniers (achetés ou retournés) dans un supermarché muni de "l’addition" des paniers est un groupe. Proposition 8 Dans un groupe (G,.) on a : — Le symétrique x′ de x élément de G est unique. — ∀x, y, z ∈ G : (xy = xz =⇒ y = z) et (yx = zx =⇒ y = z) (tout élément est simplifiable à gauche, comme à droite). — ∀x, y ∈ G : (x.y)−1 = y −1.x−1 — ∀x ∈ G (x−1 )−1 = x (le symétrique du symétrique de x est x lui même ). C. Sous-groupes Définition 25 Une partie H de G, est dite un sous-groupe de (G,.) si : a) H ̸= ∅ H est non vide b) ∀x, y ∈ H x.y ∈ H H est stable pour le produit (càd H.H ⊂ H) c) ∀x ∈ H x−1 ∈ H H est stable pour le passage au symétrique (càd H −1 ⊂ H). On note alors : H ≤ G. Exemple : — {e} et G sont des sous-groupes de G. — 2Z = {· · · , −4, −2, 0, 2, 4, · · · } est un sous-groupe de (Z, +), par contre {· · · , −5, −3, −1, 1, 3, 5, · · · } = {2k + 1 / k ∈ Z} ne l’est pas. Proposition 9 Les trois conditions précédentes sont équivalentes à : i) H ̸= ∅ ii) ∀x, y ∈ H x.y −1 ∈ H. Propriétés : 63  — D’après ce qui précède l’élément neutre eG ∈ H pour tout sous- groupe H de G, H muni de la restriction de la loi (·) est un groupe et eH = eG. — Si H et K sont des sous-groupes de G alors H ∩ K est un sous- groupe de G. Et en général si (Hi )i∈I sont des sous-groupes de G alors ∩i∈I Hi est un sous-groupe de G. — Si A est une partie quelconque de G, On note par gr(A) l’intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent A. gr(A) est le sous- groupe de G engendré par A. Par exemple gr(∅) = {e} et gr({e}) = {e}. Dans (∗ , ·) on a gr({2}) = {· · · , 81 , 41 , 12 , 1, 2, 4, 8, · · · }. Notation et proposition : groupe et x ∈ G, on définit : Pour (G,.) un  x. · · ·.x  | {z } si n > 0 n−f ois ∀n ∈ , xn = 0 =e  x −1  −n si n = 0 (x ) = (x−1 )|n| si n < 0 Et l’on démontre que : ∀(n, m) ∈ : xm xn = xm+n et (xm )n = xmn. Remarques : A est un sous-groupe de (G,.) si et seulement si A = gr(A). On dit que B est une partie génératrice de (G,.) si G = gr(B). On dit que (G,.) est un groupe monogène quand il existe a ∈ G tel que G = gr({a}). Un groupe (G,.) est dit cyclique s’il est fini et monogène. D. Morphismes de groupes Définition 26 Soient (G1 ,.) et (G2 , ∗) des groupes et f une application de G1 dans G2. C’est un morphisme (ou homomorphisme) de (G1 ,.) dans 64 (G2 , ∗) si : ∀(x, y) ∈ G21 , f (x.y) = f (x) ∗ f (y) 1. Un isomorphisme est un morphisme bijectif. 2. Un endomorphisme est un morphisme d’un groupe dans lui même. 3. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. Exemples : — Si (G,.) est un groupe et a ∈ G, alors L’application ha : (, +) → (G,.) avec ∀n ∈ : ha (n) = an est un morphisme de groupes ; — Si (G,.) est un groupe commutatif, g : G → G avec ∀x ∈ G : g(x) = x−1 est un automorphisme. Notations : — Hom(G1 , G2 ) est l’ensemble de tous les morphismes du groupe (G1 ,.) dans le groupe (G2 , ∗). En particulier End(G) = Hom(G, G). — S’il existe un isomorphisme entre (G1 ,.) et (G2 , ∗) on écrit G1 ∼ = G2 — Aut(G) est l’ensemble des automorphismes de (G,.). Propriétés : Si f est un morphisme du groupe (G1 ,.) dans le groupe (G2 , ∗) alors : 1. Soit e1 (resp. e2 ) l’élément neutre de G1 (resp. G2 ) alors : f (e1 ) = e2 2. ∀x ∈ G1 : f (x−1 ) = (f (x))−1 3. Si H1 est un sous-groupe de (G1 ,.) alors f (H1 ) = {f (x) / x ∈ H1 } est un sous-groupe de (G2 , ∗). 4. Si H2 est un sous-groupe de (G2 , ∗) alors f −1 (H2 ) = {x / f (x) ∈ H2 } est un sous-groupe de (G1 ,.). 5. En particulier f (G1 ) est un sous-groupe de G2 , appelé l’image de f et noté f (G1 ) = Im(f ). Et f −1 ({e2 }) est un sous-groupe de G1 appelé le noyau de f et noté 65  Ker(f ) = f −1 ({e2 }) f g 6. Soient (G1 ,.) , (G2 , ∗) et (G3 , ) trois groupes et G1 −→ G2 −→ G3 deux morphismes de groupes. La composée g ◦ f : G1 −→ G3 est aussi un morphisme de groupes. E. Produit de groupes Définition 27 et propsition Étant donnés deux groupes (G1 ,.) et (G2 , ∗), on définit sur G = G1 × G2 la loi △ définie par : ∀X = (a, b) ∈ G et ∀Y = (c, d) ∈ G, X△Y = Z avec Z = (a.c, b ∗ d). (G, △) est un groupe, nommé le groupe produit de G1 et G2. Exemples : Z2 , Z3 , R2...... 5.2 Groupes symétriques Sn A. Permutations d’un ensemble fini Dans ce paragraph E désigne un ensemble fini de cardinal n ∈ N∗. Définition 28 On appelle permutation de E toute bijection de E dans E. On note S(E) l’ensemble des permutations de E. Exemples : Pour E = {a} il n’y a qu’une seule bijection c’est Id(a) = a et donc S({a}) = {Id}. Pour E = {a, b} on a deux bijections : IdE : E −→ E f : E −→ E a → a et a → b b → b b → a 66 et donc S(E) = S({a, b}) = {IdE , f }. (S(E), ◦) est un groupe d’ordre n! (l’ordre d’un groupe est le nombre de ses éléments). B. Le groupe symétrique Sn Définition 29 Pour E = Jn = {1, 2, 3, · · · , (n−1), n}, le groupe (S(E), ◦)  n. On le note Sn. est appelé le groupe symétrique d’ordre  1 2 ··· n Un élément σ ∈ Sn est noté σ =. σ(1) σ(2) · · · σ(n) La composition de deux permutations σ1 ◦ σ2 sera notée σ1 σ2. Le support de σ ∈ Sn noté supp(σ) = {k ∈ Jn / σ(k) ̸= k} est l’ensemble des éléments qui ne sont pas invariants. Exemples : - S1 = {Id} est d’ordre 1= 1!.    1 2 1 2 - S2 est formé de : Id = et σ = 1 2 2 1 donc d’ordre 2 = 2!. Et l’on a supp(Id) = ∅ et supp(σ) = {1, 2}. C. Les cycles et les transpositions Définition 30 On appelle cycle toute permutation σ ∈ Sn telle que : - supp(σ) = {i1 , i2 , · · · , im } (m > 1), - σ(i1 ) = i2 , σ(i2 ) = i3 , · · · , σ(im−1 ) = im et σ(im ) = i1. m est appelé la longueur du cycle σ. On convient que Id est un cycle de longueur 0. Exemples : Dans S5 on a : c1 = (2 3 4) est un cycle d’ordre 3 et c2 = (2 1 5 4) est un cycle d’ordre 4. 67 Définition 31 On appelle transposition, toute permutation σ qui échange deux éléments de Jn = {1, 2, · · · , n} en laissant les autres éléments inva- riants   1 ··· i ··· j ··· n (c.à.d. supp(σ) = {i, j}). On la note τij ou (i, j) =. 1 ··· j ··· i ··· n 2 = τ ◦ τ = τ τ = Id. Remarque : τij ij ij ij ij E Théorème 13 1. Tout cycle de Sn est produit de transpositions. 2. Toute permutation est produit de cycles à supports disjoints deux à deux. 3. Toute permutation de Sn est produit de transpositions. Cette dé- composition n’est pas unique. 4. Le nombre des transpositions figurant dans la décomposition d’une permutation a toujours la même parité. ε : Sn −→ {−1, 1} Soit l’application ; σ → (−1)ν(σ) où ν(σ) est le nombre de transpositions intervenant dans une décompo- sition de σ en transpositions. Proposition 10 et définition : L’application ε est un morphisme du groupe (Sn , ◦) dans le groupe ({−1, 1},.). ε(σ) s’appelle la signature de σ. 5.3 Anneaux et morphismes d’anneaux A. Anneaux 68 Définition 32 Soit A un ensemble non vide muni de deux lois de compo- sition internes (+) et (.). Le triplet (A, +,.) est un anneau si : 1) (A, +) est un groupe commutatif 2) a− ∀x, y, z ∈ A : x.(y.z) = (x.y).z la loi (.) est associative b− ∃1A ∈ A : ∀x ∈ A x.1A = 1A.x = x 1A est un élément ( neutre de la loi (.) x.(y + z) = (x.y) + (x.z) c− ∀x, y, z ∈ A : et (y + z).x = (y.x) + (z.x) la distributivité de (.) par rapport (+) Si de plus la loi (.) est commutative (∀x, y ∈ G x.y = y.x) on dit que (A, +,.) est un anneau commutatif. Exemples : - (Z, +,.), (R, +,.) et (C, +,.) sont des anneaux commutatifs. - ((E), △, ∩) est un anneau commutatif (E étant un ensemble). Notations : — L’élément neutre de la loi (+) est noté 0A et celui de la loi (.) 1A. Le symétrique (dit opposé) de x ∈ A est noté −x. Le symétrique de x ∈ A pour la loi (.)