Probabilità - Appunti Università San Raffaele PDF

Docente Veronica Redaelli Lezione Probabilità  Veronica Redaelli Sommario üProbabilità classica üProprietà di base üRelazione con il calcolo combinatorio...

Docente Veronica Redaelli Lezione Probabilità  Veronica Redaelli Sommario üProbabilità classica üProprietà di base üRelazione con il calcolo combinatorio üLegge dei grandi numeri Probabilità 2 di 16  Veronica Redaelli PROBABILITA’ CLASSICA ü ESPERIMENTI ALEATORI (casuali) es. dado non truccato ü EVENTI ELEMENTARI : i possibili risultati che assumiamo essere equiprobabili ü SPAZIO CAMPIONARIO S (spazio degli eventi) : l’insieme degli eventi elementari ü EVENTI : i sottoinsiemi di S Probabilità 3 di 16  Veronica Redaelli PROBABILITA’ CLASSICA es. il lancio di un dado ü eventi elementari: i possibili singoli risultati 1, 2, 3, 4, 5, 6 ü spazio campionario: l’insieme S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ü evento “numero dispari” : il sottoinsieme A = {1, 3, 5} Probabilità 4 di 16  Veronica Redaelli PROBABILITA’ CLASSICA ü S abbia un numero finito di elementi ü S non sia l’insieme vuoto Ø NUMEROSITA’ (cardinalità) di S #(S) il numero dei suoi elementi Probabilità 5 di 16  Veronica Redaelli PROBABILITA’ DELL’EVENTO A ⊑ S il rapporto tra le numerosità di A e S #(#) Ø P (A) = # (%) Probabilità 6 di 16  Veronica Redaelli es. il lancio un dado : ü spazio campionario: l’insieme S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ü evento “numero dispari” : il sottoinsieme A = {1, 3, 5} Ø quindi la probabilità che escano due numeri uguali è #(𝐴) & 𝑃 𝐴 = # (𝑆) = ' Probabilità 7 di 16  Veronica Redaelli ü Due eventi sono INCOMPATIBILI o MUTUAMENTE ESCLUSIVI se A∩B =∅ es. minore di 2 e maggiore di 4 ü Se B = S\A gli eventi si dicono COMPLEMENTARI ü Se A e B sono disgiunti, allora #(A ∪ B) = #(A) + #(B) Probabilità 8 di 16  Veronica Redaelli PROPRIETA’ ü Se S è l’evento certo, allora P (S) = 1 ü La propabilità dell’evento impossibile è 0 ü Per ogni evento A si ha 0 ≤ P (A) ≤ 1 ü Per ogni evento A si ha P (S\A) = 1 − P (A) ü Per ogni coppia di eventi A e B si ha : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A B) Probabilità 9 di 16  Veronica Redaelli PROBABILITA’ CONDIZIONATA Considerati due eventi A e B di S, allora la probabilità di B condizionata da A è : #(#∩() Ø P (B| A ) = # (#) ü B `e indipendente da A se P (B| A ) = P (B) Probabilità 10 di 16  Veronica Redaelli ALTRE PROPRIETA’ ü Se B è indipendente da A, allora A è indipendente da B ü Se sono indipendenti, allora P (A ∩ B) = P (A) · P (B| A ) = P (B) · P (A| B ) ü P (A ∩ B) = P (A) · P (B| A ) = P (B) · P (A| B ) Probabilità 11 di 16  Veronica Redaelli PROBABILITA’ E CALCOLO COMBINATORIO Un’urna contiene tre palline colorate, una rossa, una blu e una gialla, e supponiamo che la pallina estratta venga ricollocata nell’urna. Qual `e la probabilità che per due estrazioni esca sempre la pallina blu? S `e l’insieme delle coppie ordinate di colori: Ø la sua numerosità è il numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi a gruppi di 2, perciò si ha #(S) = 3 2 = 9. A consiste nell’unica coppia (b, b) formata da due palline blu Ø la risposta è 1/9 Probabilità 12 di 16  Veronica Redaelli PROBABILITA’ se in un’urna ci sono MOLTE palline bianche e palline nere, che probabilità ho di estrarne una bianca ? Ø approccio diverso: numero ripetuto di estrazioni rimettendo ogni volta la pallina la frequenza relativa dell’evento “pallina bianca” e il rapporto tra il numero di palline bianche estratte e il numero totale delle estrazioni e cambia se il numero delle estrazioni è piccolo o grande Probabilità 13 di 16  Veronica Redaelli LEGGE DEI GRANDI NUMERI Ø Quando il numero N di tende all’infinito, il rapporto tra il numero delle palline bianche e N tende a stabilizzarsi a un numero üquesto numero è la probabilità frequentista (statistica) dell’evento Probabilità 14 di 16  Veronica Redaelli Riassumendo üProbabilità classica üProprietà di base üRelazione con il calcolo combinatorio üLegge dei grandi numeri Probabilità 15 di 16  Veronica Redaelli F| N ∑ Probabilità 16 di 16