Probabilità e Distribuzioni (PDF)

INFORMATICA E BIOSTATISTICA Anno Accademico 2024-2025 Dott. Alberto Bertoncini  LA PROBABILITÀ l calcolo delle probabilità è la base su cui poggiano i metodi di statistica inferenziale. Il concetto di probabilità si basa sulla prov...

INFORMATICA E BIOSTATISTICA Anno Accademico 2024-2025 Dott. Alberto Bertoncini  LA PROBABILITÀ l calcolo delle probabilità è la base su cui poggiano i metodi di statistica inferenziale. Il concetto di probabilità si basa sulla prova casuale: è un esperimento (un’osservazione) che ha 2 o più risultati che non possono essere predetti deterministicamente. EVENTO: risultato di un’osservazione/esperimento SPAZIO CAMPIONARIO: l’insieme di tutti i possibili eventi, in altre parole, tutte le combinazioni di eventi possibili Dott. Alberto Bertoncini  LA PROBABILITÀ Si suppone che in un esperimento si possano verificare N diversi casi possibili (eventi possibili) Definizione classica: LA PROBABILITÀ DI UN DATO EVENTO (E) È IL RAPPORTO TRA IL NUMERO DI CASI FAVOREVOLI (H) ED IL NUMERO DI CASI POSSIBILI (N) Dott. Alberto Bertoncini  LA PROBABILITÀ La probabilità che si manifesti l’evento E (successo): La probabilità che non si manifesti l’evento E (insuccesso): La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1 Altre rappresentazioni derivanti sono le percentuali (0-100%) e i rapporti (1:3) Dott. Alberto Bertoncini  ESEMPIO Qual è la probabilità che in un lancio di un solo dado si presentino i numeri 3 o 4? Si assume che i sei modi (1, 2, 3, 4, 5, 6) in cui può cadere un dado siano equiprobabili. Quindi la probabilità che l’evento E (numeri 3 o 4 in un lancio) è: La probabilità che non si verifichi: Dott. Alberto Bertoncini  PROBABILITÀ DI EVENTI INDIPENDENTI Due eventi (A e B) sono indipendenti, quando il verificarsi di uno non ha alcuna influenza sull’esito dell’altro Principio del prodotto di probabilità Quando due eventi sono indipendenti, la probabilità del verificarsi di uni E dell’altro è uguale al prodotto della probabilità degli eventi Dott. Alberto Bertoncini  PROBABILITÀ DI EVENTI INDIPENDENTI Esempio: Qual è la probabilità di estrarre un asso (evento A) e una carta di cuori (evento B) da un mazzo di carte in una sola estrazione? Pr{A} = 4/52 (4 assi in un mazzo di 52 carte) = 4/52 Pr{B} = 13/52 (13 carte di cuori in un mazzo di 52 carte) = 13/52 Pr{A + B} = 4/52 x 13/52 = 1/52 (in un mazzo c’è solo un asso di cuori) Pr{A + B} = 4/52 x 13/52 = 1/52 = 0.019 Dott. Alberto Bertoncini  PROBABILITÀ DI EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI Regola della somma Due eventi A e B sono mutuamente esclusivi o disgiunti o incompatibili quando non possono verificarsi contemporaneamente. Dott. Alberto Bertoncini  PROBABILITÀ DI EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI Principio della somma della probabilità QUANDO DUE EVENTI SONO MUTUAMENTE ESCLUSIVI, LA PROBABILITÀ DEL VERIFICARSI DELL’UNO O DELL’ALTRO EVENTO (O DI ENTRAMBI) È UGUALE ALLA SOMMA DELLE PROBABILITÀ DEI DUE EVENTI. Il principio della somma delle probabilità si può estendere a più di 2 eventi: Dott. Alberto Bertoncini  PROBABILITÀ DI EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI Esempio 1: Qual è la probabilità di estrarre un asso (evento A) o un re (evento B) da un mazzo di carte in una sola estrazione? Pr{A} = 4/52 (4 assi in un mazzo di 52 carte) = 1/13 Pr{B} = 4/52 (4 re in un mazzo di 52 carte) = 1/13 Pr{A u B} = 1/13 + 1/13 = 2/13 = 0.15 Esempio 2: La probabilità che un bambino abbia un peso alla nascita inferiore a 2 kg (evento A) è 0.025; la probabilità che un bambino abbia un peso alla nascita compreso tra 2 e 2.5 kg è 0.043. Qual è la probabilità che un bambino abbia un peso inferiore a 2.5 kg? Pr{A} = 0.025 (peso inferiore a 2 kg) Pr{B} = 0.043 (peso tra 2 e 2.5 kg) Pr{A + B} = 0.025 + 0.043 = 0.068 Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Calcolare la probabilità che lanciando due dadi a sei facce: A) - la somma sia 5 B) - escano due 1 Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Calcolare la probabilità che lanciando due dadi a sei facce: A) - la somma sia 5 B) - escano due 1 Soluzione: 36 eventi possibili A) 4 eventi A Pr{A} = 4/36 = 1/9 = 11.11% B) 1 evento B Pr{B} = 1/36 = 2.78% Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Lanciando due dadi a sei facce quale è il valore (somma dei due dadi) che si ottiene più frequentemente? Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Lanciando due dadi a sei facce quale è il valore (somma dei due dadi) che si ottiene più frequentemente? Soluzione: 36 eventi possibili Pr{2}=Pr{12}=1/36 Pr{3}=Pr{11}=2/36 Pr{4}=Pr{10}=3/36 Pr{5}=Pr{9} = 4/36 Pr{6}=Pr{8} = 5/36 Pr{7}= 6/36 Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Esercizio - Calcolare la probabilità che lanciando 3 monete: A) escano due teste B) non esca alcuna testa C) esca una sola testa D) escano tre teste Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Esercizio - Calcolare la probabilità che lanciando 3 monete: A) escano due teste B) non esca alcuna testa C) esca una sola testa D) escano tre teste Soluzione: 8 eventi possibili A) 4 eventi A, Pr{A}= 3/8 B) 1 evento B, Pr{B}= 1/8 C) 3 eventi C, Pr{C}= 3/8 D) 1 evento D, Pr{D}= 1/8 Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Abbiamo un sacchetto con 10 palline bianche, 20 rosse e 30 nere: trovare la probabilità di estrarre una pallina bianca oppure nera. Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Abbiamo un sacchetto con 10 palline bianche, 20 rosse e 30 nere: trovare la probabilità di estrarre una pallina bianca oppure nera. Soluzione: Le palline in totale sono 60 quindi ho 60 eventi possibili. Mi interessano gli eventi : Estrarre una pallina bianca che sono 10. Pr{bianca} = 10/60 = 1/6 Estrarre una pallina nera che sono 30. Pr{nera} = 30/60 = 1/2 Quindi Pr{bianca o nera} = Pr{bianca} + Pr{nera} = 1/6 + 1/2 = 2/3 = 0.6667 = 66.67% Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Esercizio - Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa? Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Esercizio - Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa? Soluzione: Pr{Dif/A} = 5/100, Pr{Dif/B} = 20/100, Pr{Dif/C} = 10/100 Ho uguale probabilità di scgliere una delle tre scatole quindi: Pr{A} = Pr{B} = Pr{C} = 1/3 La probabilità di scegliere una lampada difettosa è: Pr{Dif} = Pr{A}*Pr{Dif/A} + Pr{B}*Pr{Dif/B} + Pr{C}*Pr{Dif/C} = 1/3*5/100 + 1/3*20/100 + 1/3*10/100 = 7/60 = 0.11667 Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Esercizio (eventi non disgiunti) – Dato un mazzo di 52 carte consideriamo i due seguenti possibili eventi: A) Pescare un 10 dal mazzo B) Pescare una carta di picche Si calcoli qual è la probabilità che avvenga l’evento A o l’evento B ma non entrambi. Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Esercizio (eventi non disgiunti) – Dato un mazzo di 52 carte consideriamo i due seguenti possibili eventi: A) Pescare un 10 dal mazzo B) Pescare una carta di picche Si calcoli qual è la probabilità che avvenga l’evento A o l’evento B ma non Entrambi. Soluzione: Pr{A} = 4/52 Pr{B} = 1/4 Pr{A e B} = 1/52 Pr{A o B} = 4/52 + 1/4 – 1/52 = 16/52 = 0.3077 = 30.77% Dott. Alberto Bertoncini  VARIABILI ALEATORIE Una variabile che può assumere numerosi valori tali che qualsiasi risultato è determinato dal caso. Può essere di due tipi:  DISCRETA > quando assume un numero finito di risultati  CONTINUA > può assumere qualsiasi valore nell’ambito di uno specifico intervallo Ogni variabile casuale ha una corrispondente DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ La distribuzione di probabilità di una variabile discreta specifica tutti i possibili risultati della variabile casuale (x) insieme alla probabilità che ciascuno di essi si verifichi (y). Le probabilità rappresentano la frequenza relativa del verificarsi di ogni risultato x in numerosi esperimenti ripetuti. Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Distribuzioni di probabilità discreta Distribuzione binomiale Distribuzione di Poisson Distribuzioni di probabilità continua Distribuzione normale Distribuzione χ2 Distribuzione t di Student Distribuzione F Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE BINOMIALE Ha le seguenti caratteristiche: Insieme di prove ripetute Ogni prova ha solo 2 esiti (eventi) possibili MUTUAMENTE ESCLUSIVI I risultati sono indipendenti Esempi: Lancio di una moneta: eventi TESTA/CROCE Esito di un test diagnostico: eventi POSITIVO/NEGATIVO Con 2 eventi che siano mutuamente esclusivi la distribuzione binomiale calcola la probabilità che l’evento si presenti x volte in n prove Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE BINOMIALE Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE BINOMIALE Y = sieropositività alla Leptospira nei bovini Variabile casuale Evento Y1: Positivo p(Y1) = p = 0.70 Evento Y2: Negativo p(Y2) = 1-p = q = 0.30 Distribuzione di probabilità Data una popolazione n = 2 soggetti (bovini) Ci possono essere 0, 1 o 2 positive X = il numero di soggetti POSITIVI nella coppia X può assumere 3 valori: 0, 1 o 2. Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE BINOMIALE SE P È LA PROBABILITÀ CHE SI PRESENTI UN CERTO EVENTO IN UNA PROVA E Q = 1 – P LA PROBABILITÀ CHE NON SI PRESENTI, ALLORA LA PROBABILITÀ CHE L’EVENTO SI PRESENTI X VOLTE IN N PROVE È DATA DA:  n! = n fattoriale  n! = n (n-1) (n-2) (n-3)... 1  0! = 1  0n=0 Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE BINOMIALE Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE BINOMIALE I coefficienti 1, 2, 1 (Caso 1) e 1, 3, 3, 1 (Caso 2), definiti dalla Formula: Possono essere calcolati utilizzando il triangolo di Tartaglia: Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE BINOMIALE Se si eseguono 4 prove, ci sono 1, 4, 6, 4, 1 possibilità (combinazioni) che ci siano 0, 1, 2, 3 , o 4 bovini positivi Se si esegue una sola prova, c’è una sola possibilità che ci sia 1 bovino positivo e 1 possibilità che sia 1 bovino negativo Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE BINOMIALE Probabilità di ‘almeno’ e di ‘al massimo’ Determinare la probabilità che, in n prove, l’evento x si verifichi ALMENO y volte o AL MASSIMO y volte Qual è la probabilità che su 3 bovine ce ne sia almeno 1 positiva alla Leptospira? Significa ‘1 o più di 1 bovine positive alla Leptospira’ P(almeno 1 positiva) = 0.441 + 0.189 + 0.027 = 0.657 Calcolabile alternativamente come 1 – 0.343 = 0.657 Qual è la probabilità che su 3 bovine ce ne sia al massimo 1 positiva alla Leptospira?? Significa ‘non più di 1 positiva alla Leptospira’ P(al massimo 1 positiva) = 0.343+0.441 = 0.784 Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE BINOMIALE Qual è la probabilità che scegliendo 12 palline da un’ urna, si prendano almeno 5 palline rosse? Significa ‘5 o più palline rosse’ P(almeno 5 rosse) =.011 +.04 +.103 +.194 +.258 +.232 +.127 +.032 = 0.998 Qual è la probabilità che scegliendo 12 palline da un urna, si prendano al massimo 4 palline rosse? Significa ‘non più di 4 palline rosse’ P(al massimo 4 rosse) = 0 + 0 + 0 +0 + 0.002 = 0.002 Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE BINOMIALE  È definita da p e da n  È simmetrica se p = 1-p, ossia se p=q  In base a p (valutato sulla popolazione con un’apposita sperimentazione) possiamo fare previsioni circa un campione di dimensione n, estratto casualmente dalla popolazione  Se il campione è piccolo tutte le combinazioni sono abbastanza probabili  Man-mano che n cresce, le combinazioni lontane dalle attese diventano sempre meno probabili  Per n → ∞ la distribuzione binomiale tende alla normale se p è vicino a 0.5 Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Considerando l'insieme di famiglie con 5 figli. Nell'ipotesi che la nascita di un maschio abbia la stessa probabilità della nascita di una femmina, studiare la variabile casuale: X=numero di figli maschi Determinare la funzione di probabilità; Calcolare la probabilità che in una famiglia con 5 figli scelta a caso siano: a) tutti maschi b) al massimo due maschi, ma non zero. c) il numero dei maschi sia inferiore a quello delle femmine Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE DI POISSON E’ utilizzata per descrivere eventi che si verificano raramente nel tempo e nello spazio E’ un limite della binomiale per n → ∞ e p → 0 (n è molto grande e p molto piccolo) Consideriamo la variabile casuale x, ossia il numero di volte in cui un determinato evento si verifica in un determinato intervallo di tempo Sia λ (lambda) il numero medio di volte in cui si verifica l’evento nell’intervallo di tempo La probabilità che l’evento si verifichi x volte è pari a: e (base dei logaritmi naturali) = 2.71828 Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE DI POISSON Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE DI POISSON La distribuzione di Poisson è definita da un solo parametro λ che ne rappresenta sia la media che la varianza λ = Media = Varianza Dott. Alberto Bertoncini  DISTRIBUZIONE DI POISSON Probabilità che in un anno una persona sia coinvolta in un incidente automobilistico = 0.00024 N° medio di persone coinvolte in un anno in una popolazione di 10000 soggetti = np = 10000 * 0.00024 = 2.4 Probabilità che nessun soggetto sia coinvolto Probabilità che 1 soggetto sia coinvolto Probabilità che 2 soggetti siano coinvolti Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO Una persona addetta alla battitura testi, afferma di compiere mediamente un errore di battitura per pagina. Da un suo documento di lavoro viene estratta casualmente una pagina dove vengono riscontrati 4 errori. Si tratta di una casualità sfortunata? Qual è la probabilità che una sua pagina contenga più di 3 errori? Dott. Alberto Bertoncini  ESERCIZIO «mediamente un errore di battitura per pagina» quindi λ = 1 La probabilità che in una pagina ci siano esattamente 4 errori è: La probabilità che una sua pagina contenga più di 3 errori: Dott. Alberto Bertoncini