Cálculo Actuarial 1 PDF - Modelos de Seguros
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Universidad Anáhuac México
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Summary
Este documento introduce conceptos clave de cálculo actuarial, incluyendo la teoría del interés y su aplicación en seguros de vida. Explora anualidades, modelos de sobrevivencia, y funciones de mortalidad. También presenta ejemplos y ejercicios prácticos para comprender los modelos actuariales.
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```markdown ## 1 Introducción miércoles, 14 de febrero de 2024 10:21 p.m. Repaso →Teoría del Interés: mide el valor del dinero en el tiempo. **Diagram:** A line with points marked 0, 1, n-1, n. $\newline$ $v^{n} = (1+i)^{-n}$ (factor de descuento) $\newline$ $VP = v^{n}. P$ $\newline$ $VF = M(1+i...
```markdown ## 1 Introducción miércoles, 14 de febrero de 2024 10:21 p.m. Repaso →Teoría del Interés: mide el valor del dinero en el tiempo. **Diagram:** A line with points marked 0, 1, n-1, n. $\newline$ $v^{n} = (1+i)^{-n}$ (factor de descuento) $\newline$ $VP = v^{n}. P$ $\newline$ $VF = M(1+i)^{n}$ (factor de acumulación) $\newline$ $d = \frac{i}{1+i}$ (tasa de descuento) $\newline$ $\delta = \ln(1+i)$ (fuerza de interés) ### Anualidades #### Anticipada **Diagram:** A line with points marked 0, 1, 2, 3, n-1, n, each representing a payment P. $\newline$ $VP = \ddot{a}_{n} = P + Pv + Pv^{2} + \dots + Pv^{n-1} = P(\frac {1-v^{n}}{d})$ $\newline$ $VF = \ddot{s}_{n} = P(1+i) + P(1 + i)^{2} + \dots + P(1 + i)^{n} = P(\frac{(1 + i)^{n} - 1}{d})$ #### Vencida **Diagram:** A line with points marked 0, 1, 2 ,3, n-1, n, representing a payment P. $\newline$ $VP = a_{n} = P(\frac{1 - v^{n}}{i})$ $\newline$ $VF = s_{n} = P(\frac{(1+i)^{n} - 1}{i})$ #### Con tasa continua: $VP = Pe^{-\delta n}$ $\newline$ $VF = Pe^{\delta n}$ $\newline$ $(1 + i)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{\delta n}{n}} = (1 + \frac{i^{(m)}}{m})^{mn} = (1 - \frac{d^{(m)}}{m})^{mn}$ (Linea de Oro) $\newline$ • Datos que conociamos: $i$, periodicidad, monto, temporalidad, certeza en los pagos. →Seguros de vida NOTA: | Teoria del Interés + Probabilidad = VPA (valor presente actuarial) | Valor presente actuarial: Suma del valor presente de los escenarios de pago considerando su probabilidad de ocurrencia. | | :------------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | | Seguro | ¿Cuándo Paga? | | :----------- | :--------------------------- | | OV | a la muerte | | Temporal | si mueres antes de n años | | Dotal Puro | si sobrevives a tiempo n | | Dotal Mixto | mueres antes de n y sobrevives n años | Ejemplo: a) Calcular el costo de un seguro de vida temporal a 5 años para una persona de 50 años, con suma asegurada de $1000 y que paga al final del año de la muerte. Ejercicios: 1) Calcular el VPA de una anualidad anticipada temporal a 5 años para una persona de edad 40 que paga 1,000 si la persona sobrevive. 2) Calcula el VPA de un seguro dotal puro a 5 años para (30) que paga una S.A. de 1,000. 3) Calcula el VPA de un seguro dotal mixto a 5 años para (30) que paga una S.A. de 1,000. ## 2 Modelos de sobrevivencia miércoles, 14 de febrero de 2024 11:15 p.m. Variables aleatorias. (Características, funciones y notación) Una función que adjudica números a eventos posibles pero aleatorios. Ejemplo: Lanzar una moneda águila → 0 sol → 1 En la vida: Sobrevivencia → 1 Muerte → 0 a) Función de probabilidad o densidad: Es la función que muestra la probabilidad de que la variable aleatoria resulte en un valor específico. Si $X$ es mi $v.a.$, entonces $P(X=x) = f(x)$ b) Función de distribución acumulada o probabilidad acumulada: Es la función que muestra la probabilidad de que la $v.a.$ tome un valor menor o igual a un valor dado. $F(x) = P(X \leq x)$ c) Esperanza: El valor de la $v.a.$ que es más probable que ocurra. "Promedio ponderado" del valor de la $v.a.$ por su probabilidad. $E(x) = \int x \cdot f(x) dx$ ## 2.1 Variable aleatoria X miércoles, 14 de febrero de 2024 11:15 p.m. $X$ → variable aleatoria continua de la edad a la muerte de un recién nacido ($r.n.$) ### Función de mortalidad ($f.d.a$) Failure: $F_{x}(x) = P(X \leq x) = {}_{x}q_{0}$ → La probabilidad de que un $r.n.$ muera antes de edad $x$. ### Función de sobrevivencia Survival: $S_{x}(x) = 1 - F_{x}(x) = P(X > x) = {}_{x}p_{0}$ → La probabilidad de que un $r.n.$ muera después de edad $x$. #### La probabilidad de fallecimiento diferida Probabilidad de que un $r.n.$ muera entre $x$ y $z$. ${}_{x|u}q_{0} = {}_{x}p_{0 u}q_{x}$ $\newline$ $= F_{x}(z) - F_{x}(x)$ $\newline$ $={}_{z}q_{0} - {}_{x}q_{0}$ $\newline$ $= (1 - {}_{z}p_{0}) - (1 - {}_{x}p_{0})$ $\newline$ $={}_{x}p_{0} - {}_{z}p_{0}$ **Diagram:** Plot showing the area representing the probability of dying between ages x and z. $\newline$ Esperanza de vida: $\newline$ Edad esperada de muerte de un recién nacido. $E[X] = \int_{0} xf_{x}(x) dx$ $\newline$ $= \int_{0}^{\infty} x q_{0} dx$ <--continua Esperanza de vida temporal La edad esperada a la muerte de un $r.n.$ si trunco la edad máxima a $n$ años. En otras palabras, si aseguramos a un $r.n.$ solo $n$ años cuando es más probalble que se muera en ese periodo. $\stackrel{∘}{e}_{0:n} = \int_{0}^{n} xp_{0} dx$ Función de densidad $\newline$ La probabilidad de que un $r.n.$ muera exactamente a edad $x$. $\newline$ $f_{x}(x) = P(x = x) = {}_{x}p_{0} \cdot \mu_{x}$ **Diagram:** A line indicating the probability distribution. NOTA: $\newline$ Para poder definir y entender la función de densidad debemos definir primero la fuerza de mortalidad. #### Fuerza de mortalidad Fuerza instantánea de mortalidad a edad x. ejemplo: that caiga un rayo exactamente en $x$. $\mu_{x} = \frac{f_{x}(x)}{S_{x}(x)} = \frac{{}_{x}p_{0}}{{}_{x}p_{0}} \mu_{x} = \mu_{x} $ $\newline$ Definición formal: Una medida de la fuerza instantánea de la mortalidad a edad $x$, dado que ya se llegó a esa edad. $f_{x}(x) = P(X=x) = {}_{x}p_{0} \mu_{x}$ $\newline$ $=F_{x}'(x)$ $\mu_{x} = \frac{f_{x}(x)}{S_{x}(x)}= \frac{F_{x}'(x)}{S_{x}(x)} = \frac{-S_{x}'(x)}{S_{x}(x)} = - \frac{d}{dx} \ln (S_{x}(x))$ $\newline$ $\rightarrow \mu_{x} = - \frac{d}{dx} \ln (S_{x}(x))$ si integro ambos lados... $\int_{0}^{x} \mu_{y} dy =-\int_{0}^{x} - \frac{d}{dx} \ln (S_{x}(x)) dx$ $\newline$ $\int_{0}^{x} \mu_{y} dy = - \ln (S_{x}(x))$ $\newline$ $e^{-\int _ {0} ^ {x} \mu_y dy} = e^{\ln(S_x(x))} = S_{x}(x)$ $\newline$ $S_{x}(x)$ | | | | -------------------------------------------- | :------------------------------------ | | NOTA: $F_{x}(x) = (1 - S_{x}(x))$ | $F_{x}'(x) = -S_{x}'(x)$ | Ejercicios: $\newline$ 1) Sea $S_x(x)=\frac{18000−110x−x^2}{18000}$, $0\leq x\leq 90$ $\newline$ a) La probabilidad de que un $r.n.$ sobreviva a edad 40. $\newline$ b) La probabilidad de que un $r.n.$ muera antes de edad 30. $\newline$ c) La probabilidad de que un $r.n.$ muera después de edad 20. $\newline$ d) la esperanza de vida de un $r.n$. $\newline$ e) La probabilidad de que un $r.n.$ muera exactamente a edad 50. $\newline$ f) La probabilidad de que un $r.n.$ muera exactamente a edad 50 dado que ya sobrevivió a esa edad. $\newline$ g) La probabilidad de que un $r.n.$ muera entre las edades 30 y 40. $\newline$ 2) Si $\mu_{x} = \frac{1}{100-x}$ $\newline$ a) Encuentra ${}_{50}p_{0}$ $\newline$ b) Encuentra la probabilidad de que un $r.n.$ muera exactamente a edad 50. $\newline$ ## 2.2 Variable aleatoria T(X) miércoles, 14 de febrero de 2024 11:15 p.m. $\newline$ Definición: V.d. continua del tiempo futuro de vida de una persona de edad $x$. $\newline$ Función de fallecimiento ($f.d.a.$) $\rightarrow$ $F_{T(x)}(t) = P(T(x) \leq t) = {}_{t}q_{x} $ $\newline$ La probabilidad de que una persona de edad $x$ muera antes del tiempo $t$. $\newline$ Función de sobrevivencia (1 - fallecimiento) $\rightarrow S_{T(x)}(t) = P(T(x) >t) = {}_{t}p_{x}$ $\newline$ ó $S_{T}(t) = e^{-\int_{0}^{t}\mu_{x}(s)ds}$ $\newline$ La probabilidad de que $(x)$ sobreviva por lo menos a edad $x + t$ $\newline$ Función de densidad $\rightarrow f_{T(x)}(t) = P(T(X)= t) = F_{t}'(t) = -S_{t}'(t) = {}_{t}p_{x} \mu_{x}(t)$ $\newline$ La probabilidad de que el tiempo futuro de vida de $(x)$ sea exactamente igual a $t$. $\newline$ Fuerza de mortalidad$\rightarrow \mu_{x}(t) = \mu_{x + t} = \frac{ft(t)}{S_{T(t)}}$ $\newline$ La probabilidad de que $(x)$ muera exactamente a edad $x+t$, dado que ya sobrevivió a esa edad. NOTA: $\mu_{30}(20) = \mu_{50} = \mu_{10}(40) = \mu_{0}(50)$ $\newline$ Esperanza del tiempo futuro de vida $\rightarrow E(T) = \stackrel{\circ}{e}_{x}= \int_{0}^{\infty Time Máximo} t p_x dt $ $\newline$ Temporal $\stackrel{\circ}{e}_{x:m} = \int_{0}^{n} t p_x dt $ $\newline$ Probabilidad de fallecimiento diferida $\rightarrow$ ${}_{n}p_{x} {}_{m}q_{x+n}$ $\newline$ $\frac{{}_{n+m}p_{x}}{{}_{n}p_{x}}-{}_{n}q_{x}$ $\newline$ ${}_{n\,+m}q_{x} - {}_{n}q_{x}$ **Diagram:** A line indicating probabilities over time. $\newline$ Probabilidad Condicional $\newline$ Para un r.n.$\rightarrow$ ${}_{t}p_{x}=\frac{x+t P_{0}}{x P_{0}}$ $\newline$ Cuando tenemos información de $(x)$ y nos piden información de $(y)$ $\newline$ $(y)>(x):{}_{t}p_{y} =\frac{y-x+t P_{x}}{\cdotyp_{x}}$ $\newline$ Ejemplo: $\newline$ 1) Sabemos que $S_{0}(x) = (\frac{50}{50 + x})^3$ y me piden la probabilidad de que una persona de edad 35 sobreviva 20 años mas. 2) $F_{T(30)}(t)=\frac{t}{70}$ encuentra la probabilidad de que (40) sobreviva 10 años. $\newline$ Ejercicios: $\newline$ 1)Sabemos que $S_{x}(x) = \frac{18000 - 110x - x^2}{18000}$, $0\leq x\leq 90$. Encuentra: $\newline$ a) la probabilidad de que (40) sobreviva a edad 50 . $\newline$ b) la esperanza de vida de (50) $\newline$ c) la probabilidad de que (30) muera entre las edades 50 y 70. $\newline$ 2.3 Variable aleatoria K(X) $\newline$ miércoles, 14 de febrero de 2024 11:15 p.m. $\newline$ Definición: V.a. discreta del tiempo futuro de vida de una persona de edad $x$. $\newline$ $K(x) =\lfloor T(x)\rfloor$ (Piso de T) $\newline$ Nota: $\newline$ Función piso: Toma el entero más grande (quita decimales sin redondear) $\newline$ ejemplo: $\lfloor54.99 \rfloor = 54$ $\newline$ Función de densidad $\rightarrow P(k(x)=k) = P(K\leq T(x)<k+1)$ $\newline$ = $P(K \leq T(x) =K+1)$ $\newline$ = $PT(x) \leq k+1 - PT(x) \leq k$ $\newline$ $= k+19x - k9x$ $\newline$ $\rightarrow$ Px - k+1PX ${}_{k|}q_{x}$ $\newline$ Función de fallecimiento ($f.d.a.$) $\rightarrow$ ${}_{n|}q_{x} = \sum _{k= 0} ^ {\infty} {}_{k}p_{x}{}_{1}q_{x+k}$ $\newline$ Función de sobrevivencia (1 - fallecimiento) $\rightarrow {}_{n}p_{x} = P(K(x)<n) = \prod _{k= 0} {}_{1}p+{k }$ $\newline$ Esperanza de vida $\rightarrow \overset{\circ}{e}_{x}= \sum _{k= 0} {}_{n}p_{x}$ Nota: $\newline$ "W" es la edad maxima de vida $\newline$ Temporal: $\overset{\circ}{e}_{x:m} = {\sum _ {K= 1} ^ {\infty-1} } {k P_x} \newline$ Ejercicios: $\newline$ 1) Tenemos. $\newline$ | k | P(K(95)=K) | | --- | ----------- | | 0 | 0.30 | | 1 | 0.20 | | 2 | 0.15 | | 3 | 0.10 | | 4 | 0.15 | | 5 | 0.10 | $\newline$ a) la probabilidad de que (95) muera durante ese año. $\newline$ b) La probabilidad de que (95) sobreviva un año. $\newline$ c) la probabilidad de que (95) muera despues de los 97 pero no llegue a los 98. $\newline$ d) la probabilidad de que (95) muera antes de 98. $\newline$ e) La probabilidad de que (97) muera antes de 98. $\newline$ f) $\stackrel{\circ}{e}_{95}$ $\newline$ 2) Suponer que $P(k(20)=k) = \frac{1}{10}, k=0,1,\dots ,9$. Encuentra: $\newline$ a) ${}_{1}p_{20}$ $\newline$ b) ${}_{3|}q_{20}$ $\newline$ C) ${}_{3}q_{20}$ $\newline$ d) ${}_{2|2}q_{20}$ $\newline$ 3) Si $\mu_{x} = \frac{1}{100 -x}$ encuentra ${}_{10} P_{50}$ ## 3 Leyes analíticas de mortalidad miércoles, 14 de febrero de 2024 11:15 p.m. 1. De Moivre → Las muertes se distribuyen uniformemente. $\newline$ Distribución Uniforme de Muertes (Dum) W es la edad máxima $\newline$ $X \sim (0,w)$, 0≤x≤w μ_x 2. -μ 3\. $\hat Ex = 1/μ x τ (x)~ U (0, w-x) θ μ(t) =M $\hat Ex = μ^{-1} X x θ −μw θ X 0 ≤ x ≤ − μ X θ = 1/ -x La exponencial 4\. S(x)=e w θ = No tiene memoria ! 5\. (x)=1-e −μx− τ μ X θ = 1/ -x -τ x= μ $\hat Ex = w−x x τ θ 2 = nq (X) = m m τ w−x Examples: $\newline$ 1 Se sabe que X sigue la ley de Demoirve con θ w 10. X 1. Encuentra la probabilidad de que un RN un RN θ X 5 w 2. Se sabe que ( x) . Encuentra wX muera entre las edades 50 y 60. θ X 5 w 50 3. Encuentra π θ q X q θ θ θ θ 20 − θ 1. Se sabe que ( ) Encuentra π θ w =60 X 5 . 5 θ w π µ µ 4. La probabilidad de que (50) muera 40 5. Se sabe que ( x) , encuentras wx . exactamente a edad 70 dado que ya sobrevivió. 6. π 10 q θ µ 40 = ## 4. Fuerza Constante de Mortalidad Suponemos que la fuerzas de mortalidad es (CCM) constante μX . μ X µ ,X=µ θ Entonces se suponemos: θ z X . µ = µ X y (µ) T(x) y (µ) π θ X w f(t)=μe , θ µ w(t)π θ X X θ θ = e − w (t), w( X θ s)z = θ e − s (t) − ( ) 1- e X X θ s θ ### X Encuentra θ X− μ x 4 0 Se sabe que ( ). θ E (0) =1 23−w(50,0 θ μ f(x). π 7. Encuentra μ con parametre encuentra θ µ θ 05 z. μ. θ = θ
