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Cours de Cosmologie F.-Xavier Désert L ABORATOIRE D ´ A STROPHYSIQUE , O BSERVATOIRE DE G RENOBLE (Figure : WMAP Science Team) v2.3 - 2004-10 Fin des cours Sept-Oct 2004 Ce cours est mis à jour sur le site web suivant : http ://www-laog.obs.ujf-grenoble.fr/~desert/cosmologie Table des matières Chapitre 1. Introduction 5 1.1. Préambule 5 1.2. Définition 5 1.3. Survol historique 5 1.4. L’Univers paradoxal 6 1.5. Plan du cours 7 1.6. Références et autres lectures additionnelles 7 Chapitre 2. Les fondements 9 2.1. La relativité restreinte 9 Exercises 10 2.2. La gravitation universelle 10 Chapitre 3. La relativité générale 13 3.1. Introduction 13 3.2. Métrique de l’espace-temps, principe de covariance généralisé 14 3.3. Rudiments d’analyse tensorielle 15 3.4. Géodésiques 16 3.5. Tenseur énergie-impulsion 16 3.6. Courbure 17 3.7. Équations d’Einstein 18 3.8. Limite Newtonienne 19 3.9. Métrique de Schwarzschild 20 3.10. Ondes gravitationnelles 21 3.11. Redshift gravitationnel 21 3.12. Conclusions 22 Chapitre 4. Cosmologie standard 23 4.1. Métrique de Friedmann-Robertson–Walker 23 4.2. Géodésiques 24 4.3. Equations Friedmann-Lemaître d’évolution de l’Univers 25 Chapitre 5. L’expansion de l’Univers 31 5.1. Distances et horizons 31 5.2. Loi de Hubble 34 5.3. Déterminer la constante de Hubble 34 Chapitre 6. Les constituants de l’Univers 35 6.1. La matière lumineuse 35 6.2. La matière baryonique sombre 35 6.3. La matière noire 35 6.4. Les supernovae, l’accélération de l’Univers et l’énergie noire 35 Chapitre 7. Evolution nucléaire de l’Univers 37 7.1. Thermodynamique de l’univers primordial 37 3 4 TABLE DES MATIÈRES 7.2. de l’asymétrie matière-antimatière 39 7.3. Des quarks aux atomes 40 7.4. Abondance cosmique 40 7.5. Fond cosmologique de neutrinos 41 7.6. Égalité matière-rayonnement 42 7.7. Cosmochronologie : l’âge de l’Univers 42 Chapitre 8. Le fond diffus cosmologique à 3K (CMB) 43 8.1. Le spectre électromagnétique du ciel 43 8.2. Mesure des anisotropies du CMB 43 8.3. Interprétation des anisotropies 44 8.4. Croissance des perturbations 44 Chapitre 9. Théorie Quantique des Champs et Inflation 47 9.1. Paradoxes du big bang standard 47 9.2. L’inflation simple 47 9.3. Conséquences observables 47 Chapitre 10. Réponses aux exercices 49 Bibliographie 51 Bibliographie 51 Index 53 CHAPITRE 1 Introduction 1.1. Préambule Ce cours est destiné aux étudiants en Master 2 de Physique de l’Université Joseph Fourier de Grenoble dans les deux disciplines suivantes : Astrophysique et milieux dilués : http ://www-laog.obs.ujf-grenoble.fr/enseignement/formation-doctorale/dea.html et Physique Subatomique et Astroparticules : http ://lpsc.in2p3.fr/Master/index.html Il représente 15 heures de cours. Ce n’est donc qu’une introduction à la cosmologie. Il présuppose un bagage en physique et mathématiques de niveau Master 1. Pour l’instant, les démonstrations ne sont données qu’en filigrane. Ce cours doit beaucoup au cours pré- cédent de P.-Y. Longaretti. Il tente de se rapprocher des observations contemporaines (3K, cisaillement gravitationnel, supernovae, grandes structures) sans perdre de vue le contexte général mais en détaillant moins les aspects les plus théoriques de la relativité générale et de l’inflation. Remerciements aux étudiants pour avoir signalé quelques coquettes et coquines coquilles. 1.2. Définition La cosmologie s’occupe de comprendre la naissance et l’évolution de l’Univers par la méthode scientifique. C’est uniquement par ce jeu entre théorie physique, modélisation et observation que nous aborderons cette question ici. Nous éviterons soigneusement toute digression métaphysique. Les problèmes spécifiques de la cosmologie tiennent dans sa dé- finition même : la statistique qui est une des grandes méthodes scientifiques est apparem- ment pauvre : nous n’avons qu’un univers à notre disposition. Néanmoins, nous verrons comment cette variance cosmique peut être intégrée dans nos tests des théories. En outre, on n’observe que le passé de l’Univers. Peut-on parler de prédictions dans ces conditions ? Ceci est un probème partagé avec l’archéologie, par exemple. Les théories sont cepen- dant falsifiables dans la mesure où elles prédisent des comportements que des observations peuvent tester. La cosmologie utilise principalement l’arsenal des mathématiques, de la physique théorique, de la physique des particules, de la physique nucléaire, de la physique des dé- tecteurs, et de l’astrophysique. Elle est donc interdisciplinaire. La cosmologie traite des échelles supèrieures à la taille d’une galaxie jusqu’aux échelles définies par elle-même comme les horizons. Encore que la limite soit volontairement floue, la cosmologie ne traite pas des détails internes de la naissance et de l’évolution d’objets astrophysiques (tels que les galaxies, les amas globulaires, ou des amas de galaxies) qui relèvent plus de la cosmo- gonie. 1.3. Survol historique Aristote (-350, le monde sublunaire (terre, eau, air, feu) et le cosmos) Ptolémée (+140, l’Almageste : “la grande synthèse”, épicycles) 5 6 1. INTRODUCTION TAB. 1. Principaux paramètres cosmologiques décrivant notre connais- sance actuelle (, d’après le satellite WMAP). Les densités réduites reviennent à diviser la densité par la densité critique. 1 Gan est un mil- liard d’années. Paramètre Symbole Valeur et Intervalle de confiance Constante de Hubble H0 72±5 km/s/Mpc Densité critique ρc 0.974 × 10−26 kg m−3 Densité totale réduite Ωtot 1.02 ± 0.02 Densité de courbure réduite Ωk 0.02 ± 0.02 Densité de constante cosmologique (énergie noire) réduite ΩΛ 0.70 ± 0.10 Équation d’état w −1.0 ± 0.3 Densité totale de matière réduite Ωm 0.29 ± 0.07 Densité réduite des baryons Ωb 0.0470 ± 0.0006 Densité réduite des photons Ωph 4.76 ± 0.30 × 10−5 Rapport nombre de baryons/photons η 6.5 ± 0.4 × 10−10 Densité numérique des baryons nb 0.27 ± 0.01 m−3 Densité numérique des photons nγ 410.4 ± 0.9 × 106 m−3 Densité réduite de la matière baryonique lumineuse Ωlum 0.010 ± 0.005 Densité réduite des neutrinos Ων 10−4 − 1.4 × 10−2 Age de l’Univers t0 13.4 ± 0.3 Gan Redshift du découplage zdec 1088 ± 2 Redshift égalité rayonnement-matière zeq 3454 ± 390 Copernic (1473-1543, De Revolutionibus : l’héliocentrisme), Bruno, Pascal, Tycho Brahe, Kepler (1571-1630), Galilée (1564-1662, lunette, inertie), Newton (1642-1747, gra- vitation) Einstein (1879-1955), Hubble, Lemaitre, Gamow Penzias & Wilson, Peebles, Silk, Mather & Smoot Maintenant 1.4. L’Univers paradoxal Un faisceau convergent d’indications nous présentent un Univers dont les caractéris- tiques sont proches du tableau 1. Si l’on comparait ce tableau à l’état des connaissances il y a une quinzaine d’années (pre-COBE), on serait surpris de l’avancée dans la précision sur quasiment tous les paramètres cosmologiques. C’est l’un des objectifs de ce cours de comprendre comment on peut arriver à déduire ces paramètres des observations, mais aussi de connaître les limitations et hypothèses inhérentes à ces résultats. Les résultats les plus récents convergent vers un modèle d’Univers présentant néan- moins de curieux paradoxes : – Nous observons principalement l’Univers grâce à la lumière, couvrant tout le spectre électromagnétique, que nous collectons avec des télescopes toujours plus puissants. Et pourtant, il semble que la matière lumineuse dans l’Univers ne représente que moins de 1% de la masse-énergie totale. La masse de l’Univers est principalement sous une forme totalement inconnue sur terre, qui n’intéragit quasiment pas avec les baryons qui nous entourent et dont nous sommes faits ! – La lumière elle-même ne représente qu’une toute petite fraction en masse-énergie de l’Univers. Ce n’était pas le cas dans les premiers 100 000 ans de l’Univers (cf. z eq ). En revanche en densité numérique de particules, ce sont toujours les photons qui dominent l’Univers même maintenant. Conclusion : les particules-antiparticules se 1.6. RÉFÉRENCES ET AUTRES LECTURES ADDITIONNELLES 7 sont presque toutes désintégrées dans la phase chaude de l’Univers. Enfin, presque toutes mais pas toutes (cf. η) sinon la structuration de l’Univers n’aurait pas pu avoir lieu (amas, galaxies, étoiles). C’est l’asymétrie baryon-antibaryon qui n’a pas reçu d’explication quantitative satisfaisante jusqu’à présent. – L’histoire de notre Univers comporte deux épisodes très spéciaux où la densité d´énergie-matière est dominée par une constante cosmologique provoquant une ex- pansion exponentielle : l’inflation primordiale durant l’ère de Planck et l’inflation contemporaine (durant les quelques derniers milliards d’années). La physique de "l’énergie noire" à l’origine de ces deux inflations reste pour l’instant inconnue. 1.5. Plan du cours Le chapitre 2 est central à la progression du cours. Après quelques brefs rappels sur la relativité restreinte (2.1) et la gravitation Newtonienne (2.2), nous abordons le cœur théorique de ce cours : la relativité générale (3). Nous verrons comment, avec le prin- cipe cosmologique, elle conduit à la métrique de Friedman-Robertson-Walker (4.1) et aux équations d’évolution de la “fabrique” de l’espace-temps (4.3). 1.6. Références et autres lectures additionnelles Nous recommendons bien evidemment la lecture des livres de base, auxquels ce cours (liber ex libris) ne prétend clairement pas se substituer. Mentionnons tout particulièrement : (1) Dans la langue anglo-saxophone : – Weinberg – Misner, Thorne, Wheeler – Peebles [9, 10] – Kolb & Turner[4, 3] – Padmanabhan – Liddle & Lyth (2) En français : – Einstein : – Coté astrophysique : [1, 6] – Culture générale : [12, 14] (3) Sur le web : – Le cours de RG : Carroll : http ://arxiv.in2p3.fr/abs/gr-qc/9712019 – Toutes les références contenues dans Baez : http ://math.ucr.edu/home/baez/relativity.html – Le cours de Ned Wright (dans les 2 langues) : http ://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmolog.htm – [français] Le cours de Laurent Baulieu : http ://www.lpthe.jussieu.fr/DEA/baulieu.html – [français] Un cours de la SAF : http ://big.chez.com/cosmosaf/RG-presentation-hypertexte-site.htm – [français] Les cours en ligne d’Alain Bouquet et Christophe Balland : http ://cdfpc53.in2p3.fr/~bouquet/ – [français] Les cours poil-à-gratter de Michel Mizony : http ://igd.univ-lyon1.fr/home/mizony – [français] Le cours de Relativité Générale de Jean Kaplan : http ://cdfinfo.in2p3.fr/~kaplan/RG.html – [français] Cours d’histoire de la Gravitation de Sébastien Charnoz : http ://elbereth.obspm.fr/~charnoz/gravitation.html CHAPITRE 2 Les fondements 2.1. La relativité restreinte Un référentiel O 0 x0 y 0 z 0 t0 se déplace par rapport à un autre Oxyzt avec une vitesse u le long de l’axe Ox. Leurs coordonnées se transforment selon la transformation de Lorentz : (2.1.1) x0 = γ(x − βct) (2.1.2) y0 = y (2.1.3) z0 = z (2.1.4) ct0 = γ(ct − βx) , où β = u/c et γ = 1/ 1 − β 2 et c = 2.998 × 108 m/s est la vitesse de la lumière p dans le vide. Observez : (1) Contraction des longueurs par 1/γ. (2) Dilatation des durées par γ. (3) symétrie entre les deux référentiels u → −u (4) Loi des vitesses : vx − u (2.1.5) vx0 = 1 − vx u/c2 Invariance de Lorentz : toutes les lois de la physique ont exactement la même forme dans tous les référentiels inertiels et la vitesse de la lumière dans le vide est un invariant. Pour deux événements infiniment proches dans l’espace-temps l’élément de métrique (2.1.6) ds2 = (cdt)2 − dx2 − dy 2 − dz 2 est un invariant. Ce “théorème de Pythagore” à quatre dimensions correspond à la métrique de Minkowski. L’élément de longueur ds est invariant par une quadri-rotation représentée par la transformation de Lorentz. La signature de la métrique (1 + et 3 −) est le signe que l’espace-temps ne mélange pas complètement la dimension temps avec les trois dimensions d’espace. Maxwell satisfait au groupe d’invariance de Lorentz. Masse=Energie, expressions classiques pour v/c 1 : 9 10 2. LES FONDEMENTS mc2 (2.1.7) E = p 1 − v 2 /c2 mv (2.1.8) p = p 1 − v 2 /c2 Monde de la physique des particules OK Exercises (1) Le muon a une durée de vie de 2.2 × 10−6 s. Il est créé dans la haute atmosphère par les rayons cosmiques à environ 10 km d’altitude. Il se déplace à la vitesse de 0.999 c. Calculer la durée de vie observée par un terrien, et la distance moyenne traversée par ces particules. Montrer que seule la dilatation du temps relativiste permet d’expliquer qu’on observe des muons au sol. (2) Le choc entre un électron et un positron produit deux photons gamma. Quelle est l’énergie minimum (en Joule et en keV) de chacun de ces photons, sachant que m e = 9.11 × 10−31 kg et e = 1.60 × 10−19 C. (3) En partant de l’éq. 2.1.7, quelle est l’expression de l’énergie cinétique d’une particule de masse m en fonction de sa vitesse v ? Retrouvez le cas classique. Qu’en concluez- vous si on veut atteindre la vitesse de la lumière. (4) Effet Doppler relativiste : un signal périodique de fréquence ν 0 est émis dans toutes les directions par une source en mouvement le long de l’axe Ox0. Trouvez l’expression de la fréquence ν mesurée par un observateur au repos situé en O devant et derrière la source en mouvement. Généralisez aux cas où la vitesse n’est pas radiale. 2.2. La gravitation universelle Partant des observations méticuleuses de Tycho Brahé notamment, Kepler a énoncé les trois lois permettant de décrire l’orbite des systèmes gravitant autour d’un corps central M: (1) Les corps décrivent une orbite contenue dans un plan et c’est une ellipse dont M est un des foyers. (2) Loi des aires : le rayon vecteur balaye une aire constante par unité de temps. (3) Les carrés des périodes sont proportionnels aux cubes des demi- grand-axes. Newton déduit des trois lois de Képler la loi de la gravitation universelle. Dans son expres- sion la plus simple, la force exercée par un masse m sur une masse m 0 située à une distance d est attractive et coalignée avec les deux masses. Son intensité vaut : mm0 (2.2.1) F =G 2 , d où G = 6.67 × 10−11 Nm2 kg−2 = 6.67 × 10−11 m3 s−2 kg−1. Sous une forme plus générale, une masse test m subit le potentiel gravitationnel φ de toutes les masses mi environnantes (situées chacune à une distance ri ). Ainsi1 : (2.2.2) F = −m gradφ , X mi (2.2.3) φ = −G. i ri Notez le caractère instantané de la propagation du champ. Le champ φ “existe” partout même sans la masse test. On peut démontrer que la loi de Newton est équivalente aux trois lois de Kepler. Néanmoins le caractère général de cette loi est patent : ainsi Newton fut 1On note en gras des vecteur 3D d’espace. 2.2. LA GRAVITATION UNIVERSELLE 11 capable de calculer l’ordre de grandeur des marées, ce qui est difficile d’entrevoir avec les lois de Kepler. Invariance galiléenne : contrairement aux équations de Maxwell, la gravitation New- tonienne satisfait au groupe de Galilée : (2.2.4) x0 = Rx + ut (2.2.5) t0 = t, où R est une rotation quelconque dans l’espace et le temps a un caractère absolu. Exercice : Comparez les force électromagnétique et de gravitation entre deux protons (kCoulomb = 9.0 × 10−9 Nm−2 C−2 , mp = 1.673 p × 10 −27 kg, et e = 1.60 × 10−19 C) ? Exercice : Notion de champ. Le scalaire r = x2 + y 2 + z 2 représente un champ scalaire. Le vecteur 3D r est un champ vectoriel. Montrer que div(r) ≡ ∇ · r = 3 rot(r) ≡ ∇ × r = 0 r grad(r) ≡ ∇r = r 1 r ∇ = − 3 r r r ∇ · 3 = 4πδ(r). r Pour cette dernière relation on utilisera une variante du théorème d’Ostrogradski qui stipule que pour tout champ scalaire f : Z Z dV ∇f = dSf. Exercice : La version continue et locale de l’équation de NewtonP2.2.3 où l’on rem- place des masses individuelles par une densité de masse ρ(r) = i mi δ(r − ri ) est connue sous le nom d’équation différentielle de Poisson : (2.2.6) ∇2 φ = 4πGρ , où ∇2 ≡ ∇ · ∇ est le laplacien qui transforme un champ scalaire en un autre champ scalaire. CHAPITRE 3 La relativité générale 3.1. Introduction Au départ des considérations pour généraliser la loi de Newton (Eq. 2.2.3), on cherche à comparer la masse inertielle ma (qui multiplie l’accélération a d’un corps pour donner la force sur ce corps : F = ma a) et la masse gravitationnelle m intervenant dans la loi de la gravitation universelle (Eq. 2.2.1). ma et m sont indistinguables, mis à part un facteur universel qu’on fixe à 1 (au besoin en redéfinissant les unités). C’est le principe d’équivalence qui participe à l’ “économie des théories” : pour un corps, inertie et gravité font appel à une seule quantité pour mesurer la matière. Ce principe est à la base de la relativité générale. Les tests expérimentaux de ce principe (expérience d’Eötvös) donnent une limite supérieure de 10 −11 aux variations de ma m d’un corps à un autre, par ex. composé d’aluminium ou en or massif. Le principe de Mach, quant à lui, repose sur la notion qu’il ne peut y avoir d’inertie de la matière que par rapport à la matière environnante. Sans cette matière, la notion même d’accéleration n’a plus vraiment de sens. Ce principe, sans qu’il soit nécessaire à la relati- vité générale, a également fortement influencé Einstein. Que répond la RG au principe de Mach ? Cf. la discussion de Weinberg p. 86. Retour au principe d’équivalence : la gravitation est liée à l’espace-temps. Une façon simple de voir cela est la fameuse parabole (sic) de l’ascenseur pronée par Einstein lui- même. Pour un observateur dans un ascenseur, localement dans le temps et dans l’espace, 13 14 3. LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE la gravité et l’accélération sont indistinguables par des expériences physiques locales. En chute libre, pas de gravité mais pas d’accélération non plus, la particule décrit une “ligne droite” : une géodésique dans un espace-temps courbe. De même si l’ascenseur est sur terre et ne subit aucune accélération. On doit abandonner le concept d’espace-temps euclidien propre à la RR. (1) La nouvelle théorie doit retrouver la loi de Newton pour les champs faibles, et des vitesses petites devant c. (2) La nouvelle théorie doit retrouver la Relativité Restreinte pour les champs nuls et des vitesses quelconques. La Relativité Générale (RG) est la plus simple des théories satisfaisant ces deux dernières contraintes et le principe d’équivalence. Elle stipule que tous les systèmes de coordonnées sont en principe équivalents pour décrire les lois de la physique. Il faut tout de même des systèmes de coordonnées non pathologiques (dits de Gauss). Elle est falsifiable : (so far so good) plusieur tests ne remettent pas en question pour l’instant la RG : – les rayons lumineux suivent des trajectoires courbes au voisinage des masses. Grâce aux eclipses du soleil, on a pu montré que les étoiles subissent une déviation d’en- viron deux secondes d’arc lorsque leur rayons lumineux frôlent la surface du soleil dans leur propagation vers la terre. Une application (douteuse) de la loi de Newton donne deux fois moins. – le périhélie de Mercure subit une précession dont 43 secondes d’arc par siècle res- taient jusque là inexpliquée. – le redshift gravitationnel : horloge dans un champs de gravité – l’existence d’ondes gravitationnelles indirectement mises en évidence par le pulsar double PSR1913+16... Problème : la RG n’est pas quantifiable. 3.2. Métrique de l’espace-temps, principe de covariance généralisé Le temps propre est un invariant, c’est-à-dire qu’il ne dépend pas du choix de la mé- trique1 : (3.2.1) dτ 2 = ds2 = −gµν dxµ dxν = −gµν 0 dx0µ dx0ν Dérivation des géodésiques (cf. 3.4). La covariance généralisée stipule que si je connais deux systèmes de coordonnées x µ et x , 0µ – soit je peux exprimer les lois de la physique dans les deux systèmes – ou bien je peux écrire les lois dans le premier système et les transformer dans le deuxième à partir des relations de nature tensorielle (cf. 3.3). J’obtiendrai le même résultat dans les deux cas. Contrairement à l’invariance de Lorentz, on ne prétend pas que les lois s’écriront de la même façon, et d’ailleurs tout le doigté en RG se trouve dans le choix d’un système où les équations s’écrivent simplement. On dit seule- ment que les lois doivent s’écrire de façon covariante, i.e. que les quantités décrites par les lois physiques doivent se transformer comme des tenseurs lors de changements de sys- tèmes de coordonnées, ces changements étant eux-mêmes conditionnés par leur métrique gµν respective. La métrique dans un univers vide ou localement en chute libre s’écrit : (3.2.2) ds2 = −ηµν dξ µ dξ ν. 1Convention de sommation : un indice répété (ici à la fois µ et ν le sont) signifie un signe somme implicite µ=0 Σν=0 ). Un indice grec se comprend sur les quatre sur cet indice (ici on a une double somme implicite : Σµ=3 ν=3 dimensions, un indice romain sur les 3 dimensions d’espace. 3.3. RUDIMENTS D’ANALYSE TENSORIELLE 15 C’est la métrique de Minkowski vue à l´équation (3.2.2). La convention générale est de mesurer l’espace dans les mêmes unités que le temps. En d’autres termes, on pose c = 1 (attention, c’est un jeu subtil dés qu’il faut remettre les unités). La métrique d’un univers vide doit se réduire (en opérant si besoin des rotations 3D et des normalisation de coordonnées) à la métrique de Minkowski (cf. Eq. 2.1.6) qui est diagonale et dont la diagonale (signature) vaut (-1, +1, +1, +1). Les expressions 3.2.1 et 3.2.2 comportent un signe − pour s’adapter à la convention de signe précédente. 3.3. Rudiments d’analyse tensorielle Voir le complément de cours écrit par Denis Gialis : http ://laog-www.obs.ujf-grenoble.fr/~desert/cosmologie/cours/Gialis_FormTensor.pdf Ici nous ne faisons que le strict essentiel pour la suite. L’espace-temps peut être maillé par différents systèmes de coordonnées. Un scalaire ne dépend pas du système de coordonnées. Par exemple ds 2. Un vecteur (dit quadri- vecteur) de composantes V ν dans un système (x) se retrouve avec les composantes V 0µ dans un système (x0 ) telles que : ∂x0µ ν (3.3.1) V 0µ = V , ∂xν où l’on adopte la convention qu’un indice répété (ici ν) est sommé sur ses quatre valeurs : P3 le signe ν=0 est implicite dans le second membre de l’équation. Par exemple, le vecteur énergie-impulsion d’une particule de masse m qui s’écrit : dxα (3.3.2) pα = m , dτ est bien un quadri–vecteur (dont le premier élément est l’énergie : p ◦ = E) ainsi que la quadri-force : d 2 xα (3.3.3) fα = m. dτ 2 Exercice :Montrer que le tri-vecteur quantité de mouvement p est égal au produit Ev de l’énergie par le tri-vecteur vitesse. Quelle est la quadri-norme du vecteur p α , c’est-à-dire (p0 )2 − Σi (pi )2 dans une métrique de Minkowski ? Comment généraliser à une métrique quelconque ? Un tenseur du deuxième ordre qui pourrait formellement s’écrire T =Σ αβ T αβ eα eβ (où eα représente le quadrivecteur des coordonnées) se transforme de la façon suivante : ∂x0µ ∂x0ν αβ (3.3.4) T 0µν = T. ∂xα ∂xβ Deux formes du même tenseur ou vecteur existent : covariante (indices en bas) et contravariante (indices en haut). On passe de l’une à l’autre par l’utilisation du tenseur g µν sachant que (3.3.5) g µσ gνσ = δνµ , où δ est le symbole de Kronecker (qui vaut 1 seulement si µ = ν). Ainsi g µν et gµν sont des matrices inverses l’une de l’autre. Un quadri-vecteur covariant U ν obéit à une loi de transformation similaire à 3.3.1 (propre aux vecteurs contravariants) excepté qu’on ∂xν utilise la transformation inverse : Uµ0 = ∂x 0µ Uν. Les scalaires, 0 et Kronecker sont les seuls tenseurs identiques dans tous les systèmes de coordonnées. La métrique permet de “monter” ou “descendre” les indices de tenseurs : par exemple, T αβ = gαµ gβν T µ ν avec, comme toujours, la convention de sommation implicite. 16 3. LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE La dérivée d’un scalaire f définie par ∂µ f est un quadri-vecteur. En revanche, en cherchant l’expression d’une dérivée covariante (et contravariante) d’un vecteur V λ , on est obligé d’introduire la connection affine Γµλν (qui n’est pas un tenseur) telle que la quantité dV λ ∂V λ (3.3.6) = + Γλµν V ν , dxµ ∂xµ est bien un tenseur. La connection affine (symboles de Christoffel) s’exprime à partir de la métrique grâce à : λ 1 αλ ∂gαµ ∂gαν ∂gµν (3.3.7) Γµν = g + −. 2 ∂xν ∂xµ ∂xα 3.4. Géodésiques Tous les symboles mathématiques précédents sont importants car ils permettent d’écrire les “lignes droites” dans un espace courbe : les géodésiques. Pour cela, prenons un système de coordonnées inertiel (cf. Eq. 3.2.2) et une masse test en chute libre, c’est-à-dire ayant une vitesse constante : d2 ξ α (3.4.1) = 0. dτ 2 Dans un système de coordonnées quelconques, la connection affine nous permet d’af- firmer que : d 2 xλ dxµ dxν (3.4.2) 2 + Γλµν = 0, dτ dτ dτ ou encore, en terme de vitesses locales uλ : duλ (3.4.3) + Γλµν uµ uν = 0. dτ Exercice : : Montrer l’Eq. 3.4.2 à partir de l’Eq. 3.4.1. On utilise ∂ξ α = (∂ξ α /∂xµ )∂xµ , on dérive par rapport à τ et on multiplie enfin par ∂xλ /∂ξ α. En effet, on peut montrer (, p. 71 & 75) que la définition : ∂xλ ∂ 2 ξ α (3.4.4) Γλµν ≡ ∂ξ α ∂xµ ∂xν est équivalente à l’équation 3.3.7 et contient l’effet du champ gravitationnel (en anti- cipant sur la suite). Le changement de référentiel implique que : ∂ξ α ∂ξ β (3.4.5) gµν = ηαβ. ∂xµ ∂xν Enfin, si la particule n’a pas de masse (par exemple un photon), on remplace τ par σ = ξ 0. Retenons que la dérivée covariante d’un vecteur est un tenseur qui coïncide avec la dérivée locale dans un référentiel inertiel. En outre, (non démontré ici) les géodésiques ainsi définies sont bien des extremas d’une certaine mesure de longueur entre deux points quelconques de l’espace-temps. 3.5. Tenseur énergie-impulsion Le tenseur énergie-impulsion T est symétrique. Il a 16 composantes dont 10 sont indépendantes (à cause de la covariance) car on demande que T se conserve au sens des tenseurs lors d’un changement de référentiel. 3.6. COURBURE 17 Pour un ensemble discret de particules d’indice n dont le vecteur énergie-impulsion (cf. Eq. 3.3.2) est pα n on peut former ce tenseur ainsi : αβ X (3.5.1) Tpart (x) ≡ pα β n vn δ(x − xn ) , n XZ pα β n pn 4 (3.5.2) ≡ dτ δ (x − xn (τ )). n En L’équation 3.5.1 se réfère à une fonction Dirac δ ainsi que x à 3 dimensions. La for- mulation 3.5.2 est plus directement covariante et fait appel à une fonction de Dirac δ 4 et des vecteurs x et xn dans l’espace à 4 dimensions. Elle montre que le tenseur est symé- trique. S’il n’y a pas d’autres forces que la gravitation agissant sur ces particules, la loi de conservation de l’énergie-impulsion s’écrit : αβ ∂Tpart (3.5.3) = 0. ∂xβ Pour le champ électromagnétique, la formulation des équations de Maxwell est la plus élégante sous sa forme covariante. On commence par former le tenseur électromagnétique F αβ antisymétrique (donc de diagonale nulle) à partir des champs électrique E et magné- tique B tel que F 12 = B3 et F 01 = E1 (etc...). Les équations de Maxwell relient alors le champ F aux courants J : ∂F αβ (3.5.4) = −J β , ∂xα et l’absence de charge magnétique se traduit par : ∂Fγδ (3.5.5) αβγδ = 0; ∂xβ (seulement localement covariant ici) enfin, la force de Lorentz s’écrit : dxγ (3.5.6) f α = eFγα. dτ Le tenseur énergie-impulsion lié au champ électromagnétique s’inspire donc des no- tions liées au vecteur de Poynting et s’écrit (de façon covariante) : αβ 1 (3.5.7) TEM ≡ Fλα F λβ − g αβ Fλµ F λµ. 4 Dans le cas général, on somme les tenseurs d’énergie-impulsion pour obtenir le tenseur total : αβ αβ αβ (3.5.8) Ttot = Tpart + TEM +... , qui est le seul à être vraiment conservé : αβ ∂Ttot (3.5.9) = 0. ∂xβ 3.6. Courbure Comment définir les propriétés intrinsèques de la métrique ? Comment reconnaître dans la métrique qu’elle n’est pas qu’une variante de la mé- trique espace-temps vide (Eq. 3.2.2) déguisée sous les oripeaux par exemple de coordon- nées sphériques ? Dans une variété à seulement deux dimensions, penser à l’analogie entre le plan et la sphère : la courbure, qui est l’inverse du produit des rayons de courbure locaux nous indique si l’espace est courbe ou non (un cône, un cylindre, un tore sont-ils courbes ?). Pour cela, l’idée est de regarder “autour”, dans le voisinage. On cherche donc une combi- naison linéaire de gµν avec ses dérivées premières et secondes, qui soit un tenseur. Si on ne gardait que les dérivées premières, un changement de coordonnées permettrait de les 18 3. LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE annuler. Il faut dériver jusqu’à l’ordre deux pour arriver à des quantités physiques. Seul le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel répond à ces exigences. Il est défini à partir de la connection affine (Eq. 3.3.7) selon : λ ∂Γλµν ∂Γλµα (3.6.1) Rµνα ≡ − + Γηµν Γλαη − Γηµα Γλνη. ∂xα ∂xν En contractant deux indices, on en déduit le tenseur de Ricci : λ (3.6.2) Rµα ≡ Rµλα , qui est symétrique. En contractant une dernière fois, on obtient le scalaire de courbure (scalaire donc identique dans tous les systèmes de coordonnées) : (3.6.3) RS ≡ g µα Rµα. Le tenseur de Riemann-Christoffel est nul loin des champs de gravitation, et on re- trouve la métrique de Minkowski dans ce cas. La propriété majeure de ces nouveaux ten- seurs tient dans les identités de Bianchi qui relient leurs dérivées premières : d d d (3.6.4) Rλµνα + α Rλµην + ν Rλµαη = 0 , dxη dx dx d 1 (3.6.5) (Rµν − g µν RS ) = 0. dxµ 2 3.7. Équations d’Einstein La dérivation des équations d’Einstein (cf. , p. 151) est obtenue simplement en recherchant le tenseur contenant des dérivées d’ordre maximum 2 de la métrique qui serait proportionnel au tenseur énergie-impulsion Tµν. En fait, il n’y a pas grand choix du fait des identités de Bianchi : 1 (3.7.1) Rµν − gµν ( RS + Λ) = −8πGTµν , 2 La géométrie (membre de gauche) est directement connectée à l’énergie-impulsion totale (membre de droite). Le contenu en énergie-impulsion courbe l’espace-temps. C’est une théorie non-linéaire car le membre de droite contient lui-même une contri- bution provenant de la courbure de l’espace-temps. Ce sont des équations de propagation, voir version linéarisée (cf. Section 3.10) 4 des 16 équations sont redondantes, grâce aux identités de Bianchi (Eq. 3.6.5). Lié au choix (arbitraire) du système de coordonnées à 4D : la RG est une théorie de jauge. Les mesures physiques ne dépendent pas du choix de jauge. La physique hors-gravitation s’insère dans un cadre inséparable espace-temps-gravité. La constante 8πG est déduite de la limite Newtonienne (voir 3.8) où G = 6.67 × 10−11 m3 s−2 kg−2 est effectivement la constante gravitationnelle classique. G est une “vraie” constante, indépendante du lieu et de l’instant. Les théories où G varie, sont hors RG, ce qui ne veut pas dire qu’elles sont fausses : la physique des particules arrive à construire des champs dont l’interaction avec la matière produit une constante gravitation- nelle “effective” variable. Une autre constante λ apparaît dans la partie gauche de l’équation. C’est la fameuse constante cosmologique sur laquelle nous reviendrons à propos des périodes d’inflation de l’Univers. 3.8. LIMITE NEWTONIENNE 19 3.8. Limite Newtonienne Dans le cas des champs faibles, on peut écrire que finalement la relativité générale n’est qu’une petite déformation de la métrique de Minkowski : (3.8.1) gµν = ηµν + hµν , où |h| 1. Au premier ordre en |h|, le tenseur de Ricci (Eq. 3.6.2) s’approxime en : ∂Γλλµ ∂Γλµν (3.8.2) Rµν ' −. ∂xν ∂xλ La connection affine (Eq. 3.3.7) se simplifie en : 1 ∂hαν ∂hαµ ∂hµν (3.8.3) Γλµν ' η λα + −. 2 ∂xµ ∂xν ∂xα D’autre part, l’équation des géodésiques (3.4.2) s’écrit, en supposant de petites vi- tesses de déplacement (par rapport à la vitesse de la lumière), grâce à : dx dt dτ dτ (On cherche donc gµν fixe dans le temps, tout au moins pour des temps courts où les corps n’ont pas traverser de distance significative, ce qu’on vérifiera à la fin), ainsi : d 2 xλ dt (3.8.4) + Γλ00 ( )2 = 0. dτ 2 dτ Pour λ = 0 cela veut dire que d2 t/dτ 2 = 0 donc que le temps est “universel” (on peut prendre t = τ ). Pour les 3 autres indices, on a : d2 x 1 (3.8.5) 2 = ∇h00 , dt 2 car la connection affine se résume à Γλ00 = − 21 g αλ ∂g ∂xα. En identifiant l’équation de 00 mouvement avec la loi de Newton (Eq. 2.2.2, 2.2.3), on trouve que : (3.8.6) h00 = −2φ. Le tenseur énergie-impulsion pour de la matière non-relativiste est dominé par T 00 = ρ. Dans ce cas, on peut montrer que l’Eq. 3.7.1 se réduit au terme temporel : Rµν − 2 gµν RS ∼ 2R00 = ∇ g00 = ∇ h00 = −8πGρ, la dernière égalité provenant directe- 1 2 2 ment de l’équation de Poisson (Eq. 2.2.6), en supposant que la constante cosmologique est négligeable. En remettant la vitesse de la lumière explicitement, nous voyons comment s’écrit l’élément de métrique en champ faible : φ (3.8.7) g00 = − 1 + 2 2. c De même qu’en mécanique quantique où les solutions moyennes ne font plus interve- nir ~, on retrouve ici que la dynamique des particules massives décrites par l’Eq. 2.2.2 ne contient pas c. Exercice : Combien vaut h00 au ras de notre vieille terre ? au ras du soleil ? (M⊕ = 5.98 × 1024 kg, R⊕ = 6.38 × 106 m, M = 1.99 × 1030 kg, R = 6.96 × 108 m) 20 3. LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE 3.9. Métrique de Schwarzschild On cherche une solution des équations d’Einstein qui soit stationnaire et isotrope dans le vide au voisinage d’une masse M (cette masse peut être ponctuelle, ou à symétrie sphé- rique). On peut montrer que la seule solution est donnée de façon simple evidemment en coordonnées sphériques selon (Schwarzchild 1916) : −1 2GM 2GM (3.9.1) 2 ds = 1 − 2 dt − 1 − dr2 − r2 dθ2 − r2 sin2 θdϕ. r r En développant les géodésiques (Eq. 3.4.2) dans cette métrique, on peut montrer que les rayons lumineux venant de l’infini sont déviés lorsqu’il passent au voisinage (à la dis- tance R) de la masse M par un angle total de : −1 4M G M R (3.9.2) α= = 1.75”. c2 R M R C’est la première prédiction de la RG qui ait pu être vérifiée. C’est le double de ce qu’on obtiendrait avec un raisonnement “naïf” newtonien. Le facteur 2 est d’origine rela- tiviste : le photon a une énergie égale à c fois l’impulsion. Les orbites de corps massifs gravitant autour de M peuvent également être calculées. On retrouve les lois de Képler au premier ordre. Au deuxième ordre, la perturbation de la métrique ne se fait sentir que pour l’orbite de Mercure qui n’est plus fermée. Le périhélie de Mercure (point de l’orbite le plus proche du soleil à la distance r − , l’aphélie à r+ ) subit une rotation lente dans le sens de rotation de la planète avec une vitesse angulaire de : GM 1 1 radians (3.9.3) ∆ϕ ∼ 3π 2 + , c r+ r− revolution qui vaut 43 secondes d’arc par siècle pour Mercure. C’était l’un des derniers mystères dans les observations du 19ème siècle qui ne collaient pas avec la théorie de Newton. En fait, ce n’est qu’une partie de la précession de Mercure qui n’est pas expliquée. En effet, les autres planètes influencent Mercure en produisant une précession (dominante) de 532 secondes d’arc par siècle. Les développements récents sur les tests de lar RG concernent d’autres effets fins (dé- veloppements à l’ordre 2 en l’intensité du champ gravitationnel, l’ordre 1 étant Newton). On pourra consulter http ://www.resonancepub.com/gravity.htm http ://www-cosmosaf.iap.fr/Gravity-probe-B.htm pour l’aventure moderne du satellite (en orbite en ce moment) Gravity Probe B. Lancé le 20 avril 2004, il doit mesurer l’effet géodésique (6.6 ”/an, effet de couplage spin–orbite entre des gyroscopes et le champ gravitationnel terrestre) avec une précision de 10 −5 et, pour la première fois, l’effet Lense-Thirring (0.042 ”/an) couplage spin–spin (Terre–Gyros) d’entrainement de référentiels tournants dit “gravito–magnétique”) avec une précision de 1 %. Enfin, nous mentionnons en passant (faute de temps) la description des trous noirs avec cette métrique, pour le cas où le rayon limite R d’une masse M est plus petit que GM/c2. Un trou noir se caractérise uniquement par sa masse, son moment cinétique et sa charge. En principe, rien ne s’échappe de l’intérieur d’un trou noir, pas même la lumière. Néanmoins, des effets quantiques subtils permettent de prédire que les trous noirs s’éva- porent (rayonnement de Hawking). Leur surface peut être identifiée à l’entropie du trou noir. De fortes indications montrent que les trous noirs de une à un milliard de masses so- laires peuplent les galaxies. Se pourrait-il que les trous noirs (dont le nombre baryonique a disparu) soient une fraction non négligeable de la matière noire ? 3.11. REDSHIFT GRAVITATIONNEL 21 3.10. Ondes gravitationnelles En utilisant les approximations de champ faible (Eqs. 3.8.2 & 3.8.3), on résoud les équations d’Einstein (3.7.1). De façon générale, on trouve : (3.10.1) hµν = 0 , avec le choix de jauge (système de coordonnées) tels que : ∂hµν 1 ∂hµµ (3.10.2) µ =. ∂x 2 ∂xν Le d’Alembertien est défini comme le laplacien à 4D : ∂ ∂ ∂2 (3.10.3) = η αβ = ∇ 2 −. ∂xβ ∂xα ∂t2 De même que les équations de Maxwell comportent des solutions dans le vide qui correspondent à la propagation d’ondes électromagnétiques à la vitesse de la lumière, les équations de propagation (3.10.1 & 3.10.2) possèdent des solutions en tant qu’ondes se propageant à la vitesse de la lumière. Les ondes gravitationnelles correspondent à une déformation locale de l’espace-temps se propageant dans le vide. Les ondes électroma- gnétiques ont une polarisation décrite par un vecteur et sont donc d’hélicité (spin) 1. La polarisation des ondes gravitationnelles se décrit à l’aide d’un tenseur d’ordre 2. Les ondes sont donc d’hélicité 2. La source des ondes gravitationnelles s’écrit comme un terme de droite non nul (−16πG[Tµν − 12 ηµν T λλ ]) dans l’Eq. 3.10.1. L’effondrement d’une masse gravitationnelle peut engendrer des ondes gravitationnelles s’il se produit de façon non iso- tropique (par ex., avec un quadrupole non nul, en forme de ballon de rugby). Celui-ci peut se produire lorsqu’une étoile arrive en fin de combustion nucléaire, lorsque la pression du gaz ne supporte plus sa gravité. A l’heure actuelle, des interféromètres (par ex. VIRGO en Europe et LIGO aux USA) commencent leurs observations afin de détecter directement les ondes gravitationnelles, une prédiction parmi les plus tranchantes de la RG. Nous verrons que le Big Bang a sans doute produit un fond d’ondes gravitationnelles stochastique dont la trace est activement recherchée dans la polarisation du rayonnement fossile à 3 K. La meilleure indication que des ondes gravitationnelles existent bel et bien est indirecte. Le pulsar double PSR1913+16 a permis de mesurer précisément les paramètres orbitaux au cours du temps. La perte d’énergie mesurée par la décroissance de l’orbite est en accord avec le taux d’émission d’ondes gravitationnelles prédit par la RG. Ces calculs sont très complexes (N. Deruelle et T. Damour en sont les champions en France). Les observations du pulsar double, capitales pour la RG, ont été couronnées par un prix Nobel de physique (1993, R. Hulse et J. Taylor). 3.11. Redshift gravitationnel Mettez une horloge à une position fixe r dans un faible champ gravitationnel. Son battement peut s’identifier au temps propre dτ dans la métrique ( 3.2.1 on page 14). En an- nulant les composantes spatiales dxi , on trouve qu’un observateur va mesurer un battement égal à dt (le temps universel dont nous avons parlé au paragraphe 3.8 on page 19) : 1 (3.11.1) dt ∝ p. −g00 (r) En utilisant l’expression de la métrique en champ faible (Eq. 3.8.7), cette dernière expression indique que la fréquence d’une horloge (ou d’une raie spectrale) subit un déca- lage 4ν tel que : 4ν Φ (3.11.2) = 2. ν c 22 3. LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE Ainsi les raies visibles du soleil devraient être décalées vers le rouge (redshift) car le potentiel gravitationnel est négatif de l’ordre de cΦ2 ∼ −2×10−6. Ce décalage se superpose au décalage Doppler et est d’une autre nature. Bien que présent dans les données, le red- shift gravitationnel dans les observations du spectre solaire ne peut se mettre en évidence de façon non ambigue. Des expériences sur terre (effet Mossbauer) ont permis de mettre en évidence l´ effet avec une précision de un pourcent (p. 82-83). Exercice :Retrouver l’expression 3.11.2 par un raisonnement sur des photons envoyés ver- ticalement dans un ascenseur accéléré (localement équivalent à un champ de gravitation par le principe d’équivalence). 3.12. Conclusions La Relativité Générale part du principe d’équivalence et des lois asymptotiques que sont la Relativité Restreinte pour l’électromagnétisme sans gravité et la gravitation New- tonnienne en champ faible. L’interprétation de la RG la plus admise conclut que le conti- nuum espace-temps est courbé par la totalité de son contenu en énergie-matière, le champ gravitationnel en faisant lui-même partie. Les effets de la RG se font sentir avec une in- tensité proportionnelle à GM/(c2 r) où M et r sont la masse et la distance en jeu et les deux constantes G de la gravitation Newtonienne et c de la Relativité Restreinte appa- raissent ensemble. Cette intensité est très faible dans le voisinage solaire (10 −6 à la surface du soleil). La RG est une théorie non-linéaire dont les solutions analytiques sont peu nom- breuses (métrique de Schwarschild : section 3.9, métrique de Robertson-Walker : plus loin, section 4.1). Outre les effets de courbure des rayons lumineux et de redshift gravitationnel, la RG prédit l’existence d’ondes gravitationnelles se propageant à la vitesse de la lumière qui, si elles étaient détectées, nous informeraient sur les premières phases du Big Bang et les effondrements gravitationnels violents de l’Univers. CHAPITRE 4 Cosmologie standard 4.1. Métrique de Friedmann-Robertson–Walker De fortes indications (distribution des galaxies, et rayonnement fossile à 3 K), sur lesquelles nous reviendrons plus tard, nous portent à considérer un univers homogène à grande échelle et isotrope. Les défauts à cette double hypothèse peuvent généralement être considérés comme locaux et semblent peu significatifs pour l’univers observé à grande échelle. En outre, nous disposons de fortes indications que l’Univers etait (encore plus) homogène et isotrope dans le passé et sur des échelles spatiales beaucoup plus diverses. Analogie : un mur de briques est homogène à 2D mais pas isotrope (cf. Wright). Met- tez vous au centre d’un oignon : l’oignon vous parait isotropique mais pas homogène à cause de ses couches différentes (OK : comparaison gastronomique n’est pas raison astro- nomique). Juste armés de la RG et de cette double hypothèse nommée principe cosmologique, nous voilà en mesure de trouver la métrique de l’espace-temps (à grande échelle à tout le moins, disons au-delà de 10 Mpc) et son évolution dans le temps (cf. 4.3). Ici, la métrique qui ne dépend pas des équations d’Einstein (Eq. 3.7.1), s’exprime généralement, pour un observateur donné, en coordonnées radiales (r, θ, ϕ) comme : dr2 2 2 2 2 2 2 2 2 (4.1.1) ds = dt − R(t) + r dθ + r sin θ dϕ. 1 − kr2 Plusieurs remarques permettent d’appréhender cette métrique : La forme de la métrique a très peu de paramètres libres, car les espaces homogènes et isotropes sont des espaces à symétrie maximale. La démonstration que c’est la bonne forme est intégralement dans , Chap. 13. La métrique est dite ortho-chrone car les termes croisés de type dt.dx sont nuls. L’ab- sence de termes croisés (par ex. dt dr ou dr dθ) résulte d’un choix de jauge pratique, non unique, mais très communément employé. R(t) se nomme le facteur d’échelle. Il est universel. Il s’applique globalement à la métrique de l’espace. Il ne peut dépendre de r, θ, φ puisque cela briserait l’hypothèse d’homogénéité. Son unité est le mètre. Nous verrons qu’il est intimement lié à la courbure de l’Univers si k 6= 0. Si k = 0, il y a une dégénérescence entre R et r par un facteur constant. Toute la dynamique de l’Univers va se manifester dans la fonction R(t). Les observateurs sont d’accord sur le temps t. C’est une particularité de la métrique de FRW qui vient de l’homogénéité de l’espace. Ce n’est pas une contradiction de la RG. La sphère céleste conserve ses angles habituels en projection sphérique (θ, ϕ) et le bout de métrique associé traite les angles solides sur le même pied d’égalité où qu’il soit, hypothèse d’isotropie oblige. 23 24 4. COSMOLOGIE STANDARD La constante k peut valoir −1, 0, +1 seulement. Les coordonnées d’espace à l’inté- rieur des crochets sont dites comobiles. On verra plus loin que les objets en chute libre tendent à se retrouver avec des coordonnées comobiles fixes (Eq. 4.2.6). On retrouve la métrique d’espace euclidien pour k = 0, équivalente à dx2 + dy 2 + dz 2. On dit que l’es- pace est “plat” dans ce cas, ce qui n’est qu’un raccourci de language. k = +1 correspond à un univers de géométrie sphérique. Mais, c’est d’une 3-sphère dont il s’agit ici. L’univers est fini. Son volume est de 2π 2 R3. Dans ce cas, il est correct de parler de R comme du rayon de courbure de l’Univers. La variable r n’est pas inter- prétable directement comme la distance d’un rayon vecteur. On imaginera plutôt l’analo- gie suivante. L’espace étant isotrope, restreignons-nous un instant à ne considérer qu’une feuille d’espace (r, θ). Cette feuille peut être plongée dans un espace 3D, en fait sur la surface d’une sphère de rayon 1 (on ne regarde que la métrique dans les crochets de 4.1.1). Un point quelconque sur cette sphère est paramétré par : x = sin χ cos θ y = sin χ sin θ (4.1.2) z = cos χ , où χ désigne un angle qui vaut zéro pour l’observateur situé au sommet de la sphère. En différenciant ces expressions, on trouve facilement que la métrique vaut dχ 2 + sin2 χ dθ2. dr 2 En identifiant r ≡ sin χ, on retrouve la métrique 1−r 2 2 + r dθ 2 des crochets. Ce n’est qu’une analogie. Notre Univers peut être décrit par une métrique Riemanienne sans plon- gement spécifique dans un espace possédant une dimension de plus. k = −1 : l’Univers est ouvert, infini, de type hyperbolique. Il possède une géométrie en “selle de cheval” moins facile à visualiser. De manière générale on peut reformuler la métrique de FRW sous : (4.1.3) ds2 = dt2 − R(t)2 dχ2 + Sk (χ)2 (dθ2 + sin 2 θ dϕ2 ). La fonction Sk (χ) vaut sin(χ), χ, ou sh(χ) selon que le paramètre de courbure k vaut +1, 0, ou −1, en accord avec notre plongement précédant. Il n’est pas rare de mettre le temps “à la norme” de R. Ainsi on définit le temps conforme avec dη = dt/R et la métrique devient : (4.1.4) ds2 = R(t)2 dη 2 − dχ2 − Sk (χ)2 (dθ2 + sin 2 θ dϕ2 ). 4.2. Géodésiques L’équation des géodésiques (3.4.3) nous permet de trouver la loi des corps en chute libre. La quadri-vitesse satisfait à : du0 (4.2.1) + Γ0µν uµ uν = 0. dτ Les seules composantes non nulles des symboles de Christoffel sont : Ṙ (4.2.2) Γ0ij = gij , R où gij est la métrique de l’espace (indices latins) et, par définition, Ṙ ≡ dR/dt. La norme 3D du vecteur vitesse est par définition : (4.2.3) |~u|2 ≡ gij ui uj , et elle satisfait à : 2 (4.2.4) (u0 )2 − |~u| = 1. 4.3. EQUATIONS FRIEDMANN-LEMAÎTRE D’ÉVOLUTION DE L’UNIVERS 25 L’équation (4.2.1) devient donc : 1 d |~u| Ṙ (4.2.5) =− , |~u| dt R qui intégrée montre que : 1 (4.2.6) |~u| ∝. R Ainsi la 3D norme du vecteur vitesse d’une particule en chute libre tend à décroître comme 1/R. La vitesse particulière se “dilue” si l’Univers est en expansion. La tempé- rature d’un gaz non-relativiste décroit donc comme 1/R 2. Une démonstration similaire conduit à la même relation pour les photons. Dans ce cas, c’est l’énergie du photon h p ν qui décroit (et non la vitesse), où hp est la constante de Planck. Ainsi, entre l’émission (ν1 , t1 ) et la réception du photon (ν2 , t2 ), la fréquence suit la loi : ν2 R(t1 ) (4.2.7) = ,5.1.1 ν1 R(t2 ) qui indique un décalage vers le rouge (redshift) des photons lors de leur traversée d’un Univers en expansion. La température d’un gaz de photons décroit comme 1/R. 4.3. Equations Friedmann-Lemaître d’évolution de l’Univers 4.3.1. Tenseur énergie-impulsion homogène et isotrope. Le tenseur énergie-impulsion Tµν de l’Univers doit être symétrique tout comme la métrique. Ceci impose que le tenseur est diagonal. En faisant l’hypothèse d’un fluide parfait, c’est-à-dire qu’on peut définir lo- calement une vitesse moyenne du fluide, la forme générale du tenseur est :   −ρ 0 0 0  0 P 0 0  (4.3.1) T µν =   0 , 0 P 0  0 0 0 P avec (4.3.2) T µν = T µρ g ρν , où ρ(t) et P (t) sont des fonctions uniquement du temps qu’on identifie avec la densité et la pression moyenne du fluide. Dans le référentiel choisi des coordonnées comobiles de la métrique FRW, le tenseur d’un fluide parfait de vitesse moyenne uν : (4.3.3) T µν = P η µν + (P + ρ) uµ uν , comparé à l’expression (4.3.1) nous montre que le fluide est globalement au repos. La conservation de l’énergie-impulsion (Eq. 3.5.9) : dT 0β /dxβ = 0 se convertit donc en : (4.3.4) d(ρR3 ) = −P dR3 , qui exprime le premier principe de la thermodynamique dans un Univers en expansion : (T dS = 0 = P dV + dU ). C’est le comportement physique des constituants dominants qui va nous permettre de résoudre cette équation en imposant une relation entre ρ et P , appelée équation d’état. Quatre états différents sont discutés ici, car particulièrement pertinents pour l’Univers pré- sent et passé. 26 4. COSMOLOGIE STANDARD 4.3.1.1. Matière Relativiste. Le rayonnement (ou tout autre matière relativiste) véri- fie : 1 (4.3.5) P = ρ, 3 ce qui combinée à l’Eq. (4.3.4) montre que la variation de la densité : (4.3.6) ρ ∝ R−4 , varie comme l’inverse de la puissance 4 du paramètre d’échelle. L’expansion de l’espace dilue les photons, mais les photons perdent de l’énergie (Eq. 5.1.1). En revanche, la densité numérique comobile (nombre de particules par volume comobile) est conservée. Exo : Montrer la relation (4.3.5) en utilisant l’équation (4.3.1) et l’équation (3.5.2) appli- quée à un gaz de photons. 4.3.1.2. Matière Non-Relativiste. La matière non-relativiste a une densité de masse beaucoup plus grande que sa pression, car l’énergie de masse de chaque particule (∼ mc 2 ) est beaucoup plus grande que l’agitation thermique ou sa vitesse particulière (∼ mv 2 ). Donc on peut prendre l’approximation : (4.3.7) P = 0, c’est-à-dire celle d’un fluide sans pression. Pour cette raison, certains théoriciens appellent ce fluide un gaz de poussières. Cette matière voit donc sa densité obéir à : (4.3.8) ρ ∝ R−3 , ce qui signifie que la densité comobile est conservée dans l’expansion de l’Univers. 4.3.1.3. Energie Noire. L’énergie du vide (notion quantique sur laquelle nous revien- drons) possède une équation d’état particulière : (4.3.9) P = −ρ , puisqu’une pression négative correspond à une répulsion. En outre, les équations d’Ein- stein (3.7.1) peuvent formellement se réécrire : 1 Λ (4.3.10) Rµν − gµν R = −8πG(Tµν − gµν ) , 2 8πG et ainsi, en identifiant terme à terme avec l’Eq. (4.3.1), on trouve qu’une constante cosmo- logique est formellement équivalente à un constituant de l’Univers possédant une équation d’état : Λ (4.3.11) ρ = −P =. 8πG Tous ces cas conduisent (avec l’Eq. 4.3.4) à une densité d’énergie et une pression constantes, indépendantes du temps. 4.3.1.4. Cas général. Exercice : Montrer que de façon générale, si un constituant de l’Univers satisfait à l’équation d’état : (4.3.12) P = wρ, où w est une constante (généralement comprise entre −1 et +1), alors sa densité suit la loi : (4.3.13) ρ ∝ R−3(1+w). Tant que les intéractions entre constituants sont négligeables, l’évolution de la densité de chaque constituant suivra également sa loi de décroissance respective. 4.3. EQUATIONS FRIEDMANN-LEMAÎTRE D’ÉVOLUTION DE L’UNIVERS 27 4.3.2. Équations de Friedmann-Lemaître. Nous sommes maintenant prêts pour al- lier la géométrie et l’énergie-impulsion de l’Univers, grâce aux équations d’Einstein (3.7.1). La structure diagonale du tenseur énergie-impulsion (Eq. (4.3.1) nous montre que seule- ment deux équations d’Einstein, parmi les 16 au départ, sont indépendantes et non triviales, ce sont les équations de Friedmann-Lemaître. En injectant la métrique de Friedmann- Roberston-Walker (Eq. 4.1.1) dans l’expression du tenseur de courbure de Ricci, ici diago- nal, on trouve que ses composantes diagonales sont : R̈ (4.3.14) R00 = 3 , R R̈R + 2Ṙ2 + 2k (4.3.15) R11 = R22 = R33 = − , R2 et que le scalaire de courbure (à ne pas confondre avec le facteur d’échelle) vaut : R̈R + Ṙ2 + k (4.3.16) Rs = 6. R2 De par la symétrie des équations et le nombre de termes nuls dans la jauge choisie, il ne reste que deux équations d’Einstein utiles, appelées équations de Friedmann. Pour simplifier, la somme des densités d’énergie, incluant l’éventuelle constante cosmologique, est notée ρ. La première équations provient du terme R 00 et contient explicitement la dy- namique : Ṙ2 k 8πG (4.3.17) 2 + 2 = ρ. R R 3 La dernière équation utile est l’une des 3 équations identiques qui proviennent des termes en Rii : R̈ 4πG (4.3.18) =− (ρ + 3P ) , R 3 Exercice : Montrer que cette équation est équivalente à la conservation de l’énergie-impulsion (Eq. 4.3.4), déjà développée (Section 4.3.1). Les conséquences de cette loi d’évolution de l’Univers (Eq. 4.3.17 & 4.3.18) peuvent maintenant être précisées. 4.3.3. Paramètres cosmologiques. Les paramètres réduits permettent de définir une équation encore plus simplifiée. Pour cela, on définit d’abord le paramètre de Hubble (en fait une fonction du temps) : Ṙ (4.3.19) H≡. R C’est le taux d’expansion relatif de l’Univers. Pris maintenant (pour t = t 0 ), il est égal à ce qu’on définit comme la constante de Hubble : (4.3.20) H0 ≡ H(t0 ). On verra le rôle de cette constante homogène à l’inverse d’un temps caractéristique. On définit ensuite la densité critique : 3H 2 (4.3.21) ρc ≡. 8πG et on mesure la densité des différents constituants de l’Univers par rapport à cette densité : ρi (4.3.22) Ωi ≡ , ρc 28 4. COSMOLOGIE STANDARD ce qui définit leur densité réduite. Pour la constante cosmologique, cette expression devient la constante cosmologique réduite (qui n’est plus constante !) : Λ (4.3.23) ΩΛ =. 3H 2 L’équation (4.3.17) se réécrit alors : X k (4.3.24) Ωi − = 1, i H 2 R2 qui est valable à tout instant t. Si on définit la densité réduite d’énergie de courbure, ou encore courbure réduite, comme : k (4.3.25) Ωk ≡ − , H 2 R2 alors, quel que soit l’Univers considéré et à un instant quelconque de sa vie, la somme des densités d’énergie réduites vaut l’unité. On peut aussi choisir de n’utiliser que les densités réduites définies maintenant pour l’instant t = to. C’est notre convention pour la suite. Dans ce cas, on peut transformer l’équation précédente en : H2 X R −αi (4.3.26) = Ωi , H02 i R0 où αi = 3(1 + wi ) est l’exposant de variation de la densité avec le facteur d’échelle, tel qu’exposé en section (4.3.1), Eq. (4.3.13). Ainsi wi = 31 , 0, −1 pour la matière relati- viste, non-relativiste et énergie du vide, respectivement. En particulier, un mélange quel- conque de rayonnement, de matière non-relativiste, de courbure et de constante cosmolo- gique contraint la vitesse d’évolution du facteur d’échelle comme : −4 −3 −2 H2 R R R (4.3.27) = Ωr + Ωm + Ωk + ΩΛ. H02 R0 R0 R0 C’est sous cette forme que l’on voit le mieux comment chaque terme va dominer les autres sur une tranche de R, et dans l’ordre de gauche à droite, pour un Univers en expansion. Les paramètres provenant de nombreuses mesures convergent vers la liste donnée dans la table à la page 6. Pour un Univers en expansion (Ṙ > 0), R croît, donc l’Eq. (4.3.26) implique que H 2 décroît. Dans ce cas, l’Univers a un âge fini. La condition exacte est que w > − 13 (Exo). On définit t = 0 comme le moment où R s’annule et les densités deviennent infinies. L’âge de l’Univers peut se calculer à partir des densités réduites de ses constituants. En changeant de variable a ≡ R/R0 , on peut écrire l’équation Friedmann-Lemaître (4.3.26) sous de nouveaux habits : sX (4.3.28) ȧ = H0 Ωi a2−αi , i ce qui donne, sous forme intégrale : 1 1 Z (4.3.29) H 0 t0 = da pP , 2−αi 0 i Ωi a où la constante de Hubble définit l’ordre de grandeur de cet âge. En utilisant l’Eq. (4.3.18), on trouve que l’accélération de l’Univers peut se mesurer avec ce que l’on définit traditionnellement par le paramètre de décélération (cf. plus loin) 4.3. EQUATIONS FRIEDMANN-LEMAÎTRE D’ÉVOLUTION DE L’UNIVERS 29 mesuré maintenant : R̈R (4.3.30) q0 = −. Ṙ2 Exercice : Evaluer q0 en fonction de Ωm et ΩΛ. Ce paramètre apparait naturellement dans le développement limité du facteur d’échelle : 1 (4.3.31) R = R0 (1 + H0 (t − t0 ) − q0 H0 2 (t − t0 )2 +...). 2 4.3.4. Des infortunes diverses de l’Univers. L’intégration analytique des équations de Fridmann-Lemaître est lourde et n’existe pas dans le cas général. Nous donnons ici la solution lorsqu’un des constituants, d’équation d’état donnée par (Eq. 4.3.12), domine. Dans ce cas, la donnée de w permet d’écrire : 3(1+w) 2 R t = R0 t0 1 + 3w q = 2 Pour le cas d’une constante cosmologique, on parle d’un Univers de de Sitter : c(t − t0 ) R = R0 exp p Λ/3 En combinant une constante cosmologique et une courbure positive, on peut arriver à un Univers statique : c’est le modèle d’Einstein, qui est malheureusement instable. Le- maître a trouvé les paramètres d’un Univers en expansion, tels que la période ressem- blant au modèle statique d’Einstein peut être rendue très longue. Un modèle d’Univers d’Einstein-de Sitter se caractérise par (k = 0, Λ = 0 et donc ΩM = 1). Figure : Quelques cas typiques de paramètres cosmologiques, le temps est dans l’unité de 1/H0 centré sur maintenant. Dans ces unités, la pente en 0 vaut toujours l’unité. CHAPITRE 5 L’expansion de l’Univers 5.1. Distances et horizons 5.1.1. Le décalage vers le rouge dit redshift. Les observations des spectres de ga- laxies permettent de mesurer la fréquence (reçue νr ) d’une raie connue d’un élément (par exemple, l’hydrogène, le sodium) et de la comparer à la fréquence de la même transition mesurée au laboratoire (émise νe ). On a constaté que toutes les raies identifiables (en ab- sorption ou en émission) subissent un facteur de réduction constant : νr R (5.1.1) =a= , νe R0 où R est le facteur d’échelle au moment où la galaxie émet son rayonnement et R 0 au moment où on le détecte. À l’époque de Hubble (1920), les astronomes n’imaginaient pas de grands décalages vers le rouge et créèrent la quantité mesurée z avec la définition suivante : ∆ν νe − ν r (5.1.2) z≡ = , νr νr ce qui est tout-à-fait correct si on n’oublie pas ce qui est exactement au numérateur et au dénominateur. On obtient ainsi que : R0 (5.1.3) 1 + z = a−1 =. R On appelle vitesse de récession, la vitesse d’un objet local en mouvement par rapport à nous et montrant le même décalage vers le rouge : (5.1.4) v ≡ cz , ce qui est un raccourci de language, car les galaxies ne s’éloignent pas de nous en co- ordonnées comobiles. La vitesse particulière des galaxies (celle qui serait mesurée par le dipole cosmologique local) est en général faible par rapport à la vitesse de récession due à l’expansion de l’Univers. On parle ici de vitesse radiale et comptée positivement pour un objet s’éloignant de l’observateur. Une vitesse tangentielle ne produit pas de changement de fréquence au premier ordre. 5.1.2. Le long voyage des photons. L’équation des géodésiques pour les photons, dans le cas d’un Univers de Friedmann, nous conduit (en valeur absolue) à : dr (5.1.5) c dt = R dχ = R √. 1 − kr2 Le paramètre d’échelle R est quant à lui déterminé par l’équation de Friedmann (4.3.27). On peut ainsi passer de la variable t à la variable R (ou encore z avec 1 + z = R 0 /R) grâce à dt = dR/Ṙ. En relativité générale il n’y a pas de notion universelle de distance. Si on se donne un type de mesure, alors, par analogie, on peut définir une distance qui se confond avec la notion traditionnelle loin des masses ou pour un petit trajet. Nous allons montrer les définitions les plus usuelles de distances entre un observateur en r 0 = 0 et R = R0 , et 31 32 5. L’EXPANSION DE L’UNIVERS un émetteur de lumière situé en r1 et R = R1 < R0. Dans ce cas-là, les trois quantités satisfont à : Z r1 Z R0 dr dR (5.1.6) √ = χ1 = c. 1 − kr 2 0 R1 R Ṙ 5.1.3. Distance propre. C’est simplement le temps de traversée des photons que multiplie la vitesse de la lumière : Z R0 dR (5.1.7) DP ≡ c. R1 Ṙ C’est une notion d’utilité limitée bien que fondamentale. 5.1.4. Distance comobile. C’est la notion qui se rapproche le plus des coordonnées comobiles, mais rapportées à des mesures présentes (t = t0 ) : Z R0 dR (5.1.8) D C ≡ R 0 χ1 = c R 0. R1 R Ṙ Pour effectuer une telle mesure de distance, il faut imaginer que les petits éléments de distance parcourue par la lumière R0 dχ et mesurés au même instant t = t0 sont ensuite additionnés. Ce n’est clairement pas ce qu’on mesure d’habitude, mais c’est un concept très utile pour les calculs théoriques. Notez que pour un Univers en expansion, la distance propre est toujours plus petite que la distance comobile. Un photon a plus voyagé que son temps de vol ne le laisserait penser, car l’Univers était plus petit dans le passé. Enfin remarquez qu’on est insensible au choix de normalisation de R 0 (arbitraire surtout lorsque la courbure est nulle)". 5.1.5. Distance de luminosité. Un objet de luminosité L (en Watt par exemple) situé en r1 voit une partie de sa lumière détectée par un télescope de surface S. Le flux de l’objet est la puissance détectée par unité de surface : f ≡ P/S. On définit la distance de luminosité Dl comme la distance équivalente intervenant dans la relation euclidienne entre flux et luminosité : 1 L 2 (5.1.9) DL ≡. 4πf En élaborant sur le transport des rayons lumineux (toujours les géodésiques), on montre que le flux d’une source vaut : 2 L R1 (5.1.10) f= 2. 4π(R0 r1 ) R0 Le terme en (R0 r1 )2 (qui n’est pas si intuitif) représente la “bonne distance” au carré. Deux autres effets doivent être inclus qui contribuent chacun à un terme en R 1 /R0. Un des termes provient de la dilation du temps : imaginez un pulse de durée ∆t 1 qui se voit détecté pendant la durée ∆t0 = ∆t1 R R1 (Eq. 5.1.1 où on identifie l’inverse d’un temps 0 avec une fréquence). L’autre terme vient de l’énergie des photons qui est “dégradée” dans l’expansion. Finalement, la distance de luminosité devient : R0 (5.1.11) DL = R0 r1. R1 Dans cette expression, le lien entre r1 et χ1 provient de la métrique (Eq. 4.1.3). 5.1. DISTANCES ET HORIZONS 33 5.1.6. Distance angulaire. Prenez un objet de taille fixe U. Il va sous-tendre un angle ψ variable si vous le mettez le à des redshifts différents. La distance angulaire se définit comme celle qui intervient dans le cas euclidien et pour des petits angles : U (5.1.12) DA ≡. ψ Tous calculs faits, cette distance angulaire n’est pas égale mais est liée à la distance de luminosité : 2 R1 R1 (5.1.13) D A = R 1 r1 = R0 r1 = DL. R0 R0 Étant le produit d’une quantité décroissante R1 par une quantité croissante r1 , la distance angulaire peut dans certains cas ne pas croître avec le redshift. 5.1.7. Horizons. La vitesse finie de la lumière et et l’âge fini de l’Univers nous im- posent des limites sur l’Univers observable. On définit l’horizon particulaire comme la distance maximum comobile qui nous sépare des particules ayant pu nous influencer : Z R dR (5.1.14) DHP ≡ c R0. 0 R Ṙ Exercice :Déterminer que, pour des redshifts plus grands que 10 (la constante cosmolo- gique devient surement négligeable), la distance d’horizon s’écrit en fonction de a ≡ RR0 : 2c p p (5.1.15) DHP = Ωr + Ωm a − Ωr. H0 Ω m De la même façon, on peut définir notre cône d’influence en calculant la distance d’évène- ment : Z ∞ dR (5.1.16) DHE ≡ c R0. R R Ṙ Cette dernière quantité n’est pas forcément finie. Ces quantités existent pour n’importe quelle période de l’Univers grâce à la limite de l’intégrale R(t) (en revanche, toujours garder R0 devant l’intégrale). 5.1.8. Volume comobile élémentaire d’Univers. Très souvent, les comptages d’ob- jets font intervenir une population de densité comobile constante (les astronomes appellent cela une évolution passive !). Dans ce cas le nombre d’objets comptés est directement lié au volume comobile accessible dV dans un intervalle dr et dans un angle solide dΩ qui s’écrit : r2 (5.1.17) dV = dΩ R03 √ dr. 1 − kr2 On peut calculer ce volume en utilisant l’équation des géodésiques (Eq. ??), si l’on connait par exemple la tranche de redshifts utilisés. 5.1.9. Affaiblissement de la brillance de surface (cosmic dimming). Il va comme (R1 /R0 )4 = (1 + z)−4. Une galaxie résolue en visible ou un amas résolu en rayons X voit sa brillance de surface diminuer. Les seuils de détection d’objet au dessus du bruit sont liés à cette notion. Les objets distants sont de moins en moins bien observés. 34 5. L’EXPANSION DE L’UNIVERS 5.2. Loi de Hubble Hubble (1920) a montré que la distance des galaxies D était lié linéairement à leur vitesse de récession : (5.2.1) v = cz = H0 D , où la constante de Hubble H0 s’exprime généralement en km/s/Mpc, mais peut aussi s’écrire comme l’inverse d’un temps caractéristique. H0 = 100 h km/s/Mpc=(9.78 h−1 Gan)−1 Exercice : Retrouver la loi de Hubble en développant la distance de luminosité en fonction de z 1. 5.3. Déterminer la constante de Hubble 5.3.1. Echelle des distances. On évalue directement la distance d’objets proches (pa- rallaxes), puis on propage cette mesure aux Céphéides dont la période de pulsation est liée à la luminosité absolue. On propage cet indicateur de distance aux SNIa. 5.3.2. Les comptages. 5.3.3. L’effet SZ. La comparaison de l’émission X du gaz chaud d’un amas avec l’effet Sunyaev-Zel’dovich (effet Compton des électrons chauds sur le CMB) donne accés à la profondeur de l’amas. En supposant l’amas sphérique, la distance angulaire déduite donne accés à la constante de Hubble. 5.3.4. Le délai temporel. des images multiples d’un quasar variable. Les décalages en temps combinés à un modèle gravitationnel de la lentille procurent une mesure de H 0 5.3.5. calcul ab initio SNIa. CHAPITRE 6 Les constituants de l’Univers 6.1. La matière lumineuse 6.1.1. La masse lumineuse des galaxies et des amas. 6.1.2. Formation des grandes structures et relevé profond des galaxies. 6.1.3. Les baryons. Les baryons : principalement, le proton et le neutron, formés de trois quarks, et les mésons (formés de deux quarks) forment le groupe des hadrons, les particules sensibles à l’intéraction forte. Les leptons (electron, positron, neutrinos) n’y sont pas sensibles (seulement l’intéraction électrofaible). Il y a à peu près autant d’électrons que de baryons. Et la masse d’un proton est deux mille fois plus grande que celle d’un électron. Ainsi, les protons et neutrons (dans les noyaux) constituent l’essentiel de la masse baryonique dans l’Univers. 6.2. La matière baryonique sombre Il doit exister des baryons non-lumineux car Ωlum ∼ 0.01. Lyalpha, Macho (EROS). 6.3. La matière noire 6.3.1. Courbes de rotation. galaxies, amas, vitesse particuliere 6.3.2. cisaillement gravitationnel. cartographie des gradients de densité de matière (totale= noire et baryonique). 6.3.3. La physique des particules. Elle recèle de candidats issus des théories de grande unification et de supersymétrie. La cosmologie permet de cerner la masse des par- ticules susceptibles d’être la composante principale matérielle de l’Univers. Si la masse est de l’ordre de quelques dizaines d’eV (par exemple, un neutrino massif), alors on parle de matière noire chaude. Elle est relativiste au moment de son découplage du reste de la soupe cosmique. Si la masse est de l’orde de 5 GeV ou 1 TeV, alors on parle de parti- cules massives intéragissant faiblement (Weakly Interacting Massive Particles : WIMPs, c’est un euphémisme). Leur découplage s’est fait lorsqu’elles étaient déjà non-relativistes (T ∼ 50 MeV). Dans ce cas on parle de matière sombre froide (Cold Dark Matter : CDM). On pense que la particule est un fermion. Son antiparticule est elle-même si elle est de type Majorana (Dirac dans le cas contraire). 6.3.4. Détection directe. Edelweiss, CDMS. 6.4. Les supernovae, l’accélération de l’Univers et l’énergie noire SN cosmology project, Riess, Perlmutter, SNIF, SNAP... 35 CHAPITRE 7 Evolution nucléaire de l’Univers 7.1. Thermodynamique de l’univers primordial 7.1.1. Introduction. On a vu que la température de la matière non-relativiste décrois- sait comme TN R ∝ R−2 et que celle de la matière relativiste variait comme les photons : TR ∝ R−1. La matière est actuellement transparente aux photons du rayonnement fossile à 3 K (CMB). Mais dans le passé, il est inévitable que la matière et les photons aient été en intéraction beaucoup plus forte lorsque la matière baryonique était ionisée. Nous al- lons supposer dans la suite que dans les phases primordiales, l’Univers était en équilibre thermodynamique et chimique. Nous étudierons la validité cette hypothèse ensuite. Pour un gaz de particules à l’équilibre cinétique, on peut définir localement une tem- pérature T et un potentiel chimique µ, correspondant à une fonction de distribution des impulsions f (p) qui s’écrit avec l’aide de E 2 = p2 + m2 , suivant la statistique de bosons ou de fermions : −1 E−µ (7.1.1) f (p) = exp ±1. kT La densité, la densité d’énergie et la pression d’un constituant de l’Univers s’écrivent ainsi : g Z n = d3 p f (p) (2π)3 g Z ρ = d3 p f (p) E (2π)3 g p2 Z 3 P = d p f (p) (2π)3 3E g est le nombre d’états de spin : 2 pour les photons, 2s + 1 pour les particules massives de spin s, 2 pour un neutrino (gauche) et son anti-neutrino (droit). L’équilibre chimique, valable aussi pour des réactions nucléaires, Ai + Bj ↔ Ck + Dl , conduit à la condition sur les potentiels chimiques : Aµi + Bµj = Cµk + Dµl. Dans le cas relativiste (kT µ,m), on obtient selon la statistique (de bosons ou de fermions) : 3 n ∝ (1, )gT 3 4 7 ρ ∝ (1, )gT 4 8 ρ P = , 3 où les coefficients entre parenthèses dépendent de la nature bosonique ou fermionique des particules en question. 37 38 7. EVOLUTION NUCLÉAIRE DE L’UNIVERS Dans le cas non-relativiste (m kT ) : 3/2 mT m−µ (7.1.2) n ∝ g exp − 2π kT ρ ∝ mn P = kT n ρ. 7.1.2. Le potentiel chimique des particules primordiales. Le potentiel chimique correspond au coût en énergie qu’il faut dépenser pour importer une particule dans le gaz. Le potentiel chimique des photons est nul car ils sont produits en nombre aléatoire au cours des réactions. En revanche, les réactions de type p + p̄ ↔ γ + γ impliquent que les potentiels chimiques d’une particule et de son anti-particule sont égaux et opposés : µp̄ = −µp. La différence de densité, quant à elle, suit. µ np − np̄ ∝ gT 3 f ( ) kT En principe, la densité comobile de baryons est invariante au cours du temps, excepté à l’échelle électrofaible : kT ∼ 100 GeV, t ∼ 10−12 s, et l’échelle

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