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Université Sorbonne Paris Nord Institut Galilée Licence 1 Physique-Chimie & Sciences pour l’ingénieur Année universitaire 2020-2021 Outils mathématiques 2 Chapitre 3 Le théorème des accroissements finis Cours du lundi 15 février 2021 Benoît Rittaud [email protected] 2 1 Maximum, minimum, extremum Définition 1. Soit I un intervalle de R et f : I ! R. On dit que a 2 I est un maximum de f (sur I) si, pour tout x 2 I, on a f (x) 6 f (a) ; minimum de f (sur I) si, pour tout x 2 I, on a f (x) > f (a) ; extremum de f (sur I) si c’est un maximum ou un minimum. Définition 2. Sous les mêmes hypothèses, a est un maximum local (resp. minimum local) de f s’il existe un intervalle J ⇢ I contenant a hors de ses bords tels que a soit un maximum (resp. minimum) de f sur J. Autrement dit : 9 > 0 : |x a| 6 =) f (x) 6 f (a). 2 Le théorème de Rolle Proposition 1. Si a est un extremum local et si f est dérivable (en a), alors f 0 (a) = 0. Démonstration. Prenons par exemple a maximum local. On veut calculer ✓ ◆ 0 f (a + h) f (a) f (a) = lim. h!0 h Lorsque h est assez petit, a + h 2 J, donc f (a + h) < f (a). f (a + h) f (a) négatif Pour h > 0, le rapport est donc de la forme , donc négatif. h positif La dérivée à droite de f en a, notée fd0 (a), est donc la limite d’une quatité toujours négative, donc fd0 (a) 6 0. f (a + h) f (a) négatif Pour h < 0, le rapport est lui de la forme , donc positif. h négatif La dérivée à gauche de f en a, notée fg0 (a), est donc la limite d’une quatité toujours positive, donc fg0 (a) > 0. Or la fonction f étant dérivable en a, on doit avoir fg0 (a) = fd0 (a) (les deux valent f 0 (a)). Pour qu’une valeur négative et une valeur positive soient égale, il faut que les deux soient nulles. On a donc bien que f 0 (a) = 0. Attention : la réciproque est fausse (exemple : f (x) = x3 en 0). Corollaire 1. (Théorème de Rolle) Soit f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f (a) = f (b). Il existe c 2]a, b[ tel que f 0 (c) = 0. Ce corollaire est une conséquence du théorème fondamental sur les fonctions continues : toute fonction continue définie sur un intervalle fermé borné admet un maximum et un minimum. En prenant l’un des deux et en appliquant la proposition précédente, on obtient Rolle. Attention : en général, c n’est pas unique. (Prendre par exemple f (x) = sin(x) sur [0, 2⇡].) 3. L’ÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS 3 3 L’égalité des accroissements finis Théorème 1. (Égalité des accroissements finis) Soit f : [a, b] ! R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Il existe c 2]a, b[ tel que f (b) f (a) = f 0 (c)(b a). Là encore, c n’est pas unique en général. Démonstration. On définit la fonction g par : f (b) f (a) g(x) = f (x) (x a). b a Calculons g(a) et g(b). On a : f (b) f (a) g(a) = f (a) (a a) b a = f (a) f (b) f (a) g(b) = f (b) (b a) b a = f (b) (f (b) f (a)) = f (a). On a donc g(a) = g(b), donc on peut : appliquer le théorème de Rolle à g. La dérivée de g s’écrit : f (b) f (a) g(x) = f 0 (x). b a Le théorème de Rolle nous dit qu’il existe c 2]a, b[ tel que g 0 (c) = 0, c’est-à-dire : f (b) f (a) f 0 (c) = 0, b a ce qui se réécrit bien : f (b) f (a) = f 0 (c)(b a). C’est l’égalité des accroissements finis qui permet de dresser le tableau de variations d’une fonction à partir du signe de sa dérivée : Corollaire 2. Soit f : I ! R une fonction dérivable, soit J un sous-intervalle de I. On a les équivalences suivantes : f est croissante sur J () f 0 > 0 sur J. f est décroissante sur J () f 0 6 0 sur J. f est constante sur J () f 0 = 0 sur J. Attention : ce corollaire ne vaut que sur des intervalles. Par exemple, la fonction f dé- finie sur R⇤ par f (x) = 1/x est de dérivée toujours négative (c’est 1/x2 ), mais f n’est pas décroissante sur R⇤. Elle ne l’est que sur chacun de ses intervalles de définition, ] 1, 0[ et ]0, +1[. 4 Démonstration. On se contente de démontrer la première équivalence. Implication : supposons f croissante sur J et démontrons que, alors, f 0 > 0 sur J. Soit x 2 J. On a : ✓ ◆ 0 f (x + h) f (x) f (x) = lim. h!0 h Par croissance de f , on a par ailleurs que quel que soit h > 0, f (x + h) f (x) > 0. f (x + h) f (x) positif Pour h > 0, on a donc que est de la forme. h positif Toujours par croissance de f , on a aussi que, quel que soit h < 0, f (x + h) f (x) 6 0. f (x + h) f (x) négatif Pour h < 0, on a donc que est de la forme. h négatif Dans tous les cas (c’est-à-dire : que h soit positif ou négatif), on a donc : f (x + h) f (x) > 0, h et donc que ✓ ◆ f (x + h) f (x) 0 f (x) = lim > 0. h!0 h Réciproque (qui utilise le théorème des accroissements finis) : supposons f 0 > 0 sur J et montrons que f est croissante sur J. Soient x1 < x2 deux éléments de J. Il faut montrer que f (x1 ) 6 f (x2 ). D’après l’égalité des accroissements finis, il existe c 2]x1 , x2 [ tel que f (x2 ) f (x1 ) = f 0 (c)(x2 x1 ). Par hypothèse, on a que f 0 (c) > 0. On a donc bien que f (x2 ) f (x1 ) > 0, c’est-à-dire que f est croissante sur J. 4 L’inégalité des accroissements finis Pour l’essentiel, l’inégalité des accroissements finis dit ceci : si on se déplace à vitesse variable mais majorée par k, alors en un temps t on aura parcouru une distance majorée par kt. Théorème 2. (Inégalité des accroissements finis). Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Supposons qu’il existe un réel k tel que, pour tout x 2]a, b[, |f 0 (x)| 6 k. Alors, quels que soient x1 et x2 2 [a, b], on a : |f (x1 ) f (x2 )| 6 k|x1 x2 |. Démonstration. Prenons par exemple x1 < x2. D’après l’inégalité des accroissements finis appliquée à f sur l’intervalle [x1 , x2 ], il existe c 2]x1 , x2 [ tel que f (x1 ) f (x2 ) = f 0 (c)(x1 x2 ). En passant aux valeurs absolues : |f (x1 ) f (x2 )| = |f 0 (c)| · |(x1 x2 )|. En majorant |f 0 (c)| par k : |f (x1 ) f (x2 )| 6 k · |(x1 x2 )|. 4. L’INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS 5 Exemple d’application. Démontrer que pour tout réel t, on a | sin(t)| 6 |t|. On va appliquer l’inégalité des accroissements finis à la fonction f (x) = sin(x) sur l’intervalle [0, t]. On a que f 0 (x) = cos(x), donc |f 0 (x)| 6 1 quel que soit x. On applique donc l’inégalité des accroissements finis à f , avec k = 1, x1 = 0 et x2 = t. On obtient : | sin(0) sin(t)| 6 1 · |0 t|, ce qui se réécrit (puisque sin(0) = 0) : | sin(t)| 6 |t|. Autre exemple d’application. Étudier la limite de la suite 1 1 1 1 un = + + + ··· +. 0! 1! 2! n! L’idée est d’appliquer le théorème des accroissements finis sur [0, 1] à la fonction fn définie, pour tout n > 0, par ✓ 0 ◆ x x x1 x2 xn fn (x) = e + + + ··· +. 0! 1! 2! n! Ces fonctions fn sont liées à la suite un par le fait que fn (1) = e 1u n. On calcule fn0 : ✓ ◆ ✓ 0 ◆ x0 x1 x2 xn x x x1 x2 xn 1 fn0 (x) = e x + + + ··· + +e + + + ··· + 0! 1! 2! n! 0! 1! 2! (n 1)! ✓ 0 ◆ x x1 x2 xn x0 x1 x2 xn 1 = e x ··· + + + + ··· + 0! 1! 2! n! 0! 1! 2! (n 1)! xn = e x. n! On en déduit une majoration de |fn0 (x)| sur [0, 1] : 1 |f 0 (x)| 6. n! On applique alors l’inégalité des accroissements finis sur [0, 1] : 1 1 |fn (1) fn (0)| 6 (1 0) =. n! n! On a déjà signalé que fn (1) = e 1u n. D’autre part, on a : ✓ 0 ◆ 0 0 01 02 0n fn (0) = e + + + ··· + 0! 1! 2! n! = 1 · (1 + 0 + 0 + · · · + 0) = 1. On obtient donc que, pour tout n : 1 |e 1 un 1| 6. n! On a donc que la suite des e 1u n 1 tend vers 0, c’est-à-dire que lim (un ) = e. n!+1 6 5 Exercices Exercice 1. En étudiant la fonction f (x) = x5 5x+1, démontrer que l’équation x5 5x+1 = 0 a exactement trois racines réelles. Exercice 2. Soit la fonction f (x) = 3x4 11x3 + 12x2 4x + 2 définie sur l’intervalle [0, 1]. Démontrer, sans la calculer, que f 0 s’annule au moins une fois. Exercice 3. Soit f : R ! R la fonction définie par sin(x) + cos(x) f (x) =. 1 + cos2 (x) Démontrer que, pour tout a 2 R, f 0 s’annule au moins une fois sur l’intervalle ]a, a + 2⇡[. Exercice 4.. 1. À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, démontrer que, pour tout réel u > 0 : 1 ln(u + 1) ln(u) <. u 2. À l’aide de l’égalité des accroissements finis, démontrer que, pour tout réel u > 0 : 1 1 < ln(u + 1) ln(u) <. u+1 u 1 Exercice 5. Soit la fonction f définie sur R\{1} par f (x) =. (x 1)2 1. Vérifier que f (0) = f (2). 2. Démontrer qu’il n’existe pas de c 2 R\{1} tel que f 0 (c) = 0. 3. Cela contredit-il le théorème de Rolle ? Exercice 6. Soit f une fonction dérivable sur [2, 5] telle que, pour tout x 2 [2, 5], on a : 1 6 f 0 (x) 6 4. Démontrer que 3 6 f (5) f (2) 6 12. Exercice 7. À l’aide des accroissements finis, démontrer que ✓ ◆ ln(1 + u) lim = 1. u!0 u Exercice 8. Existe-t-il une fonction f définie sur [0, 2], dérivable sur ]0, 2[ et telle que f (0) = 1, f (2) = 4 et f 0 (x) 6 2 pour tout x 2]0, 2[ ? Exercice 9. Utiliser l’inégalité des accroissements finis pour majorer les réels suivants : p 10001 100 ln(2, 72) 1 sin(3, 14).