Outils mathématiques 2

Study Notes

Maximum, Minimum, Extrême : Un point ( a ) est un maximum local si ( f(x) \leq f(a) ) pour tout ( x ) dans un intervalle autour de ( a ). Il est un minimum local si ( f(x) \geq f(a) ).
Théorème de Rolle : Si ( f ) est continu sur ([a, b]) et dérivable sur (]a, b[) avec ( f(a) = f(b) ), alors il existe un ( c ) dans (]a, b[) tel que ( f'(c) = 0 ).

Théorème : Pour une fonction continue ( f ) sur ([a, b]) et dérivable sur (]a, b[), il existe ( c ) tel que ( f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) ).
Interprétation : Cette égalité aide à établir des tableaux de variations en analysant le signe de la dérivée ( f' ).
Corollaire : Régar des propriétés de croissance, décroissance et constance basées sur la dérivée ( f' ) :
- ( f ) croissante si ( f' > 0 )
- ( f ) décroissante si ( f' < 0 )
- ( f ) constante si ( f' = 0 )

Théorème : Si ( |f'(x)| \leq k ) sur (]a, b[), alors pour tous ( x_1, x_2 \in [a, b] ), on a ( |f(x_1) - f(x_2)| \leq k|x_1 - x_2| ).
Application : Montre que ( |\sin(t)| \leq |t| ) en utilisant ( f(x) = \sin(x) ) et ( f'(x) = \cos(x) ).

Exemple 1 : Démontre que pour tout ( t ), ( |\sin(t)| \leq |t| ) via l'inégalité des accroissements finis.
Exemple 2 : Étudier la limite de la suite ( u_n = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \ldots + \frac{1}{n!} ) en appliquant les accroissements.
Exercices :
- Prouver des inégalités pour ( \ln(u + 1) ) et ( \ln(u) ).
- Vérifier des propriétés de plateau de ( f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} ).
- Démontrer des inégalités sur ( f'(x) ) et montrer l'existence d'une fonction dérivable.

L'importance des théorèmes d'accroissements finis dans l'étude des comportements des fonctions est cruciale, permettant de dériver des propriétés analytiques essentielles dans le calcul différentiel.