Символикалық математика дәуірі (XVI ғ. – XVII ғ. соңғы ширегі). PDF

7-дәріс. «Символикалық математика» дәуірі (XVI ғ. – XVII ғ. соңғы ширегі) Қарастырылатын мәселелер: 1. Символикалық математика дәуірінің жалпы сипаттамасы 2. Символикалық алгебраның пайда болуы 3. Жоғары дәрежелі теңдеулер 4. Жорымал шамалар 5...

7-дәріс. «Символикалық математика» дәуірі (XVI ғ. – XVII ғ. соңғы ширегі) Қарастырылатын мәселелер: 1. Символикалық математика дәуірінің жалпы сипаттамасы 2. Символикалық алгебраның пайда болуы 3. Жоғары дәрежелі теңдеулер 4. Жорымал шамалар 5. Сан ұғымының кеңейтілуі 6. Логарифмдер және есептеу құралдары 1. ХV-ХVІ ғғ. Қайта өрлеу дәуірі (Ренессанс) деп аталады. Осы кезеңде жаратылыстану ғылымдарын оқып-игеруге деген ынта мен құлшыныс артты, математиктерге деген көзқарас өзгерді. Дегенмен, оларды қудалау ХVІІ ғ. дейін де толастамады. Абакшылар мен алгоритмшілер арасындағы дау алгоритмшілердің пайдасына шешіле бастады. Еуропа мұсылмандардың позициялық арифметикасына көшуге бет бұрды. Ол 3 бағытта жүрді: 1) мұсылмандық Испания; 2) мұсылмандық Сицилия мен оңтүстік Италия және 3) Осман империясы арқылы. ХІІ ғ. бастап араб тіліндегі математикалық әдебиет латын тіліне аударылып, араб цифрлары мен позициялық арифметика сауда-саттық істерінде қолданыла бастады. Л.Пизанский математикалық еңбектер жазу арқылы позициялық арифметиканы насихаттады. Италияда іргелі математикалық жаңалықтар ашылды (Бомбелли, Тарталья, Кардано, Феррари, т.б.). 1453 ж. Византия құлады. Осман империясы арқылы Еуропаға ондық бөлшектер, теріс сандар, 𝜋 санының жуық мәнін табу, Ұлықбек астрономиялық кестелері,т.с.с. жаңалықтар белгілі болды. XVI ғ. математика арифметика, алгебра, геометрия, тригонометриядан тұрды. XVII ғ. мынадай жаңалықтар ашылды: аналитикалық, проективтік геометриялар; комбинаторика мен ықтималдықтар теориясы; механикалық есептеу құралдары, логарифмдер және жуықтап есептеу әдістері; сандар теориясының кейбір қиын есептері; инфинитезималдық әдістер, т.б. XVII ғ. математика функциялар мен айнымалы шамаларды, шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды қарастыруға бет бұрды. Зерттеу жұмыстарын ұйымдастырудың ұжымдық формалары пайда болды: «Табиғат құпияларының академиясы», «Сілеусінкөзділер академиясы», «Тәжірибелер академиясы», «Лондон корольдік қоғамы», «Париж академиясы», «Гринвич обсерваториясы», «Париж обсерваториясы» құрылды. «Философикал транзакционис», «Жорнал дес Савантс» ғылыми журналдары шыға бастады. Осы дәуірде математика ғылымы: 1) риторикалық баяндаудан символикалық аппаратқа көшті; 2) оның теориялық сипаты күшейді; 3) айнымалы шамалар арасындағы қатынастарды қарастыруға көшті. XVII ғ. соңына қарай инфинитезималдық есептерді өзара кері екі түрге келтіруге болатындығы анықталды. Осылайша, элементар математика дәуірі аяқталып, математикалық анализдің пайда болуының алғашқы нышандары бой көрсеттті. 2. Мұсылман математиктері белгісізді «шай» деп атаған еді. Еуропалықтар оны латын тіліне «cosa» деп аударды (екеуінің де мағынасы - нәрсе). Олар алгебраны Coss, ал онымен айналысатындарды «Коссистер» деп атады. Еуропада алгебрадан алғашқы кітаптар шықты (А.Ризе. «Coss», 1524; К.Рудольф. «Әдетте Косс деп аталатын алгебраның көркем ережелері арқылы жылдам және әдемі есептеулер», 1525), бірнеше қолжазбалар болды. Кіріспесінде олардың түпнұсқасының араб тілінде жазылғандығы анық айтылған. Бұл Еуропада алгебраның қалыптасуында мұсылман математикасының ықпалының қандай болғандығын байқатады.  1480 жылғы қолжазбада: дәрежелер гот әріптері арқылы таңбаланған: 𝔯 (готтық r – res-нәрсе); 𝔷 (готтық z-zensus-квадрат); 𝔠 (готтық c-cubus-куб), т.с.с. Ал, 1500 ж. қолжазбада: 𝑥 4 = 𝔷𝔷, 𝑥 5 = alt, 𝑥 6 =𝔷𝔷+ 𝔠. А.Ризенің кітабында: x белгісізі Radix немесе Coβ деп аталады да 𝔯 (яғни r), 𝑥 2 – zensus немесе quadrat (𝔷, яғни z), 𝑥 3 –cubus (𝔠, яғни c), 𝑥 4 –zensusdezensu (𝔷𝔷), бос мүше - ∅ т.с.с. Штифельде: 𝑥 7 -ін bβ, 𝑥 11 = 𝑐𝛽, 𝑥 13 = 𝑑𝛽, 𝑥 17 = 𝑒𝛽,т.с.с. Рамуста: 𝑥 - latus(l), 𝑥 2 - quadratus (q), 𝑥 3 - cubus(c),𝑥 4 - biquadratus (bq), 𝑥 5 -solidus(s),т.с.с. Бомбелли белгісіз шаманы таңбалау үшін дәреже көрсеткішті оның сандық коэффициентінің үстіне жазып көрсетті (8 = 4𝑥 2 + 4𝑥 теңдеуін мына түрде жазды: 2 1 8 𝑒𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 ẚ 4 · 𝑝 · 4 Символикада ХVІ ғ. бірізділік болған жоқ. Ол ХVІ ғ. соңында Ф.Виеттің кітабында жүйеге түсіріле бастады. Ол белгісіздерді дауысты, ал белгілі шамаларды дауыссыз дыбыстарға сәйкес келетін бас әріптермен белгілеп, «+» пен«–» символдарын қолданды. Дәрежелерді таңбалауды әріптің жанына quadrato (кейде plano), cubus (кейде solido) сөздер арқылы жазды. Мысалы, 𝑥 3 + 3𝐵2 𝑥 = 2𝑧 3 теңдеуі: 𝐴 𝑐𝑢𝑏𝑢𝑠 + 𝐵 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 3 𝑖𝑛 𝐴 𝑎𝑒𝑞𝑢𝑎𝑟𝑖 𝑍 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 2 Виеттің символикасы бүкіл математика ғылымының дамуындағы үлкен жаңалық болды. Одан кейін математика формулалар жүйесі түріндегі ғылымға айналуға бет бұрды. Алгебралық символика ХVІI ғ. басында жетілдіріліп, қазіргі түрге келе бастады. Рекорд «=», Гарриот «>», «,< Артық, кем Гарриот 1631 𝑠𝑖𝑛 Синус Оутред 1631 𝑐𝑜𝑠 Косинус Оутред 1631 𝑠𝑒𝑐 Секанс Норбут 1631 : Бөлу Джонсон 1633 ∠ Бұрыш Эригон 1634 Перпен- Эригон 1634 ┴ дикуляр 𝑎, 𝑏, 𝑐, … Белгілі Декарт 1637 шамалар 𝑥, 𝑦, 𝑧, … Белгісіз Декарт 1637 шамалар √𝑎 Квадрат Декарт 1637 түбір 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 Дәреже Декарт 1637 ∞ Шексіздік Валлис 1655 ÷ Бөлу Ран 1659 𝑦,̇ 𝑦̈ , 𝑦⃛ Функция Ньютон 1666 туынды- лары Кем емес, Дж.Валлис 1670 ≥ және ≤ артық емес 𝑚 𝑎𝑛 Бөлшек Ньютон 1676 көрсеткіш- ті дәреже 𝑎−𝑛 Теріс Ньютон 1676 көрсеткіш- ті дәреже || Параллель Оутред 1677 Алайда, бұл дәуірде математиканың тұтастай символикасы жасалған жоқ. Кейіннен ол жаңа символдармен толығып отырды. Осылайша, математика біртіндеп халықаралық ғылымға айнала бастады. 2. Ежелгі заман мен орта ғасырларда функция туралы айқын түсініктер болған жоқ. Алғашқыда ол құбылыстардың себепті байланыстарын интуитивті қабылдау формасында болды. Бұл ұғым табиғат құбылыстарының арасындағы байланыстарды аңғару мен бақылау барысында біртіндеп қалыптасты. XIV ғ. орта шенінде Еуропада сапаның конфигурациясы туралы ілім атты философиялық бағыт пайда болды (Суайнсхед, Орем). Онда айнымалы шама ұғымының ұғымының алғашқы көріністері байқалады. Оларда функция үшін «қатынас» (proportio) сөзі пайдаланылды. Алайда, бұл идея XV-XVI ғғ. онан әрі дамытылмады, өйткені оның таза дерексіздік сипаты басым болды. Функция туралы ілімнің қалыптасуына символикалық алгебра мен Декарт математикасының пайда болуы игілікті ықпалын тигізді. Ферма мен Декарт екі айнымалы шаманың арасындағы тәуелділікті теңдеу арқылы қалай өрнектеуге болатындығын көрсетті. XVII ғ. 2-жартысында дәрежелік қатар функцияның аналитикалық түрде өрнектелуінің аса маңызды құралына айналды. Декарт пен Ферма тәуелділіктердің аналитикалық түрде өрнектелуін олардың геометриялық мағынасымен байланыста қарастырса, Ньютон тәуелділіктің кинематикалық-геометриялық концепциясын дамытты. Ол ақпа шамалар деп қозғалыс арқылы қисық сызықтарды алу барысында тұрақты түрде өсетіндерді немесе кемитіндерді түсініп, оларды «флюенталар» деп атады және x, y, z, u,… әріптерімен белгіледі. «Функция» терминін Лейбниц енгізді. «Функция» сөзін ол алғашқыда «жүзеге асыру», «орындау», «өрнектеу» мағыналарында қолданса, кейін аналитикалық өрнек мағынасында пайдаланды. Алайда, функцияның айқын түрдегі анықтамасының жариялануы үшін әлі де болса біраз уақыт керек еді. 3. XVII ғ. шектеусіз тізбектерге қатысты бірқатар жаңалықтар ашылды. Тізбектердің жаңа түрі – шектеусіз көбейтінділер алғаш Виетте кездеседі (1593). XVII ғ. ашылған жаңалық: функцияны жуық түрде өрнектеуде шектеусіз қатарлардың пайдаланылуы. Мұнда логарифмдер айрықша роль атқарды. Гиперболамен, оның асимптотасымен және екі түйіндес ординаталармен шектелген ауданның логарифмдермен байланысын Сен Венсан (1647) және айқын түрде де-Сараса (1649) ашты. Бұл байланысты Броункер шектеусіз қатар ретінде өрнектеді (1668): 1 1 1 𝑙𝑛2 = + + +⋯ 1∙2 3∙4 5∙6 1 Менголи ∑∞ 𝑘=1 гармониялық қатарының жинақсыздығын дәлелдеді, жалпыланған 𝑘 ∞ 1 1 гармониялық ∑𝑘=1 және ∑∞ 𝑘=1 𝑘 2 қатарларын зерттеді (1650). 𝑎+𝑘𝑏 Мынадай жіктелулер ұсынылды: 1 1 1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑙𝑛2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (Менголи); ln(1 + 𝑥 ) = 𝑥 − + − + ⋯ (Меркатор) 2 2 2 1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 1+𝑥 𝑥3 𝑥5 𝑙𝑛 1−𝑥 = 𝑥 + + + + ⋯(Валлис), 𝑙𝑛 1−𝑥 = 2(𝑥 + + + ⋯ ) (Грегори). 2 3 4 3 5 1 𝑥2 𝑥3 𝑦2 log(1 + 𝑥 ) = 𝑘 (𝑥 − + − ⋯ ) және 1 + 𝑥 = 1 + 𝑦 + 1∙2 + ⋯ (Галлей) 2 3 Дж.Грегори: 1 1 𝜑 = 𝑡𝑔𝜑 − 𝑡𝑔3 𝜑 + 𝑡𝑔5 𝜑 − ⋯ 3 5 𝜑3 2𝜑5 𝑡𝑔𝜑 = 𝜑 + + +⋯ 3 15 𝜑2 𝜑4 𝜑6 𝑙𝑛𝑠𝑒𝑐𝜑 = + + +⋯ 2 12 90 𝜑2 5𝜑4 𝑠𝑒𝑐𝜑 = 1 + + +⋯ 2 24 𝜑 𝜋 𝜑3 𝜑5 𝑙𝑛𝑡𝑔( + ) = 𝜑 + + +⋯ 2 4 6 24 Ньютон: 𝑛 𝑛(𝑛 − 1) 2 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 3 (1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 +⋯ 1! 2! 3! 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ln(1 + 𝑥 ) = 𝑥 − + − + ⋯ 2 3 4 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 1 1 3 3 5 5 7 = 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +⋯ 2 2 12 80 224 1 𝑥3 1 ∙ 3 𝑥5 1 ∙ 3 ∙ 5 𝑥7 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 + ∙ + ∙ + ∙ +⋯ 2 3 2∙4 5 2∙4∙6 7  𝑥 𝑥3 𝑥5 𝑥7 𝑠𝑖𝑛𝑥 = − + − +⋯ 1! 3! 5! 7! 𝑥2 𝑥4 𝑥6 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − + − + ⋯ 2! 4! 6! 4. Қарастырылып отырған дәуірде интерполяция техникасының негізі салынды. XVII ғ. басында тригонометриялық және логарифмдік функциялардың кестелерін жасау және 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑖𝑛𝑥 функциясының жеті және одан да көп ондық таңбаға дейінгі дәлдіктегі мәндерін табу жүзеге асырылды. Осы сияқты есептеулерде негізінен, сызықтық интерполяцияның бұрыннан белгілі кейбір әдістері кеңінен қолданылды. Интерполяцияның ерекшелігін ең алғаш Бригс байқап, интерполяциялау техникасының негізін салды. Логарифмдік кестелер құрастыру кезінде ол өзіне кездескен жоғары ретті айырмалардың, ол айырмалар өзара тең болғанға дейінгі мәндерін есептеп шығарды. Ньютон n-ретті айнымалылары тұрақты функциялардың n-дәрежелі көпмүшелік болатынын тағайындады. Валлис алғашқы болып «Интерполяция» терминін қолданды. Интерполяция мәселесінде Грегори жоғары табыстарға жетті, екінші ретті тұрақты айырмалар жағдайы үшін интерполяциялау әдісін ұсынды. Қисықтарды жуықтап квадратуралауға қолдану барысында ол Симпсон формуласына пара-пар ережені алды, мына формуланы ашты: 𝑥 𝑥 (𝑥 − 1) 2 𝑥 (𝑥 − 1) … × 2 × 1 2 𝑓 (𝑥0 + 𝑥ℎ) = 𝑓 (𝑥0 ) + ∆𝑓(𝑥0 ) + ∆ 𝑓 (𝑥 0 ) + ⋯ + ∆ 𝑓 (𝑥 0 ) 1 2! 𝑛! Бұл формула Ньютонға да белгілі болған (1675), қазіргі күні ол алдыға қарай инерполяциялауға арналған Ньютон формуласы деп аталады. Ол кейін қарай инерполяциялау формуласын да ұсынды. Интерполяциялық формулалар жаңа математикалық әдістердің дамуында зор роль атқарды. 5. XVII ғ. ғылым мен техника арасындағы қатынастардағы түбірлі өзгерістер инфинитезималдық есептердің ролінің күшеюіне әкеліп соқтырды (интеграциялық әдістер, дифференциалдық есептер). Интегралдық есептерді қарастыру барысында Кеплер шексіз аз шамаларды пайдалану әдісін ойлап тапты (1615). Кеплер бойынша, кез келген фигураны шексіз аз бөліктердің жиындарының бірігуі түрінде қарастыруға болады. Сол сияқты, шар төбелері оның центрінде жататын, ал табандары біріге отырып, шар бетін құрайтын саны шексіз кішкене конустар жиынының бірігуінен тұрады. Кеплер осы әдіспен көптеген денелердің көлемдерін тапты (барлығы 92). Кеплердің әдісін дамытып, өзінің атақты «Бөлінбейтіндер әдісін» ұсынған Б.Кавальери болды. Ол мынадай тұжырым жасады: биіктіктері бірдей денелердің немесе жазық фигуралардың бірдей деңгейдегі ортақ регулаға параллель қималары тең шамалы болса, онда олардың өздері де тең шамалы болады. Бұл тұжырым Кавальери принципі деп аталады. Кавальери әдісі бірқатар қиын есептерді шешуге мүмкіндік берді, ол арқылы қазіргі күні интегралдар арқылы шығарылатын бірқатар есептер шешілді (Торричелли, Паскаль, т.б.). Ферма осыған жақын интегралдық әдісті ұсынып, оны бірқатар қисықтарды квадратуралауда қолданды. Валлис бөлінбейтіндер әдісінің арифметикалық нұсқасын жасап, кейбір интегралдардың мәніне пара-пар тұжырымдарды алды, мұнда ол шек ұғымына сүйеніп, шексіздік таңбасын (∞) енгізді. Енді бір ғана серпіліс, осы әдістердің барлығын бірыңғай көзқарас тұрғысынан қарастыра отырып, интегралдық есептеулерді жасау қалған еді. 6. XVI-XVII ғғ. инфинитезималдық есептерді шешудің дифференциалдық әдістеріне де мән берілді. Осы әдістермен шешілетін есептердің үш түрі қарастырылды: 1) қисыққа жанама жүргізу есебі; 2) функцияның экстремумдарын табу есебі; 3) алгебралық теңдеулердің еселі түбірлерін табу есебі.  Жалпы, бұл есептердің қай-қайсысы болмасын дейін әртүрлі элементар әдістер арқылы шешіліп келді. Осы дәуірде бұл әдістерді жаңа идеялармен толықтыру қолға алынды (Кеплер, Торричелли, Гюйгенс, Ферма, Декарт, т.б.). Торричелли кинематикалық әдісті қолданып, циклоидаға жанама жүргізу мәселесін шешті. Роберваль өз әдісін ұсынып, конустық қималар мен бірқатар қисықтарға жанамалар жүргізу есептерін шешті. Декарт нормальдар әдісін ұсынды (1637). Бұл әдіс бірқатар қисықтарға жанама жүргізуде қолданылды. Алайда, бұл әдістер жекеленген қисықтардың өзіндік ерекшеліктеріне қарай қолданылғандықтан, кемшіліктері көп болды. Ферма нормальдарды анықтауға да экстремумдарды табуға да қолдануға болатын тағы бір әдісті ойлап тапты (1629). Қазіргі тілмен айтсақ, Ферманың бұл әдісі дифференциалданатын 𝑓(𝑥) функциясы экстремумының 𝑓 ′ (𝑥 ) = 0 теңдігімен өрнектелетін қажетті шартына сәйкес келеді. Қазір ол Ферма теоремасы деп аталады. Ферма өз әдісін қолданып, бірқатар есептерді шешті, жанамалар жүргізудің жалпы әдісін тұжырымдады, оны қисықтың 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 теңдеуі жағдайында қалай қолдануды көрсетіп берді. Гудде алгебралық теңдеудің еселі түбірлерін табу әдісін жасады. Гудде бұл мәселеге алгебралық пайымдаулар жүргізу арқылы қол жеткізді және 𝑓(𝑥) функциясын дифференциалдаған жоқ, өзінің әдісін біршама басқа және неғұрлым жалпы түрде баяндады. Қорыта айтқанда, XVII ғ.ортасына қарай инфинитезимальдық есептерді шешу әртүрлі әдістері жинақталды. Алайда, әлі де болса, дифференциалдаудың математикадағы ерекше амал ретінде мән-мағынасы айқындала қоймаған еді. 7. Қазіргі күні дифференциалдау мен интегралдаудың өзара кері амалдар екендігін түсіну аса қиындық тудырмайды, себебі бұл мәселе дифференциал мен интегралдың анықтамаларынан-ақ бірден байқалады. ХVII ғ. негізінен, мына екі есепке баса мән берілді: қисықтың жанамасы туралы есеп және қисықпен шектелген аудан туралы есеп (қисықтың квадратурасы туралы есеп деп те аталады). Осы екі есепті шешу барысында орындалатын «жанаманы табу амалы» мен «квадратуралау амалының» табиғаттары өзара кері болып табылады. Мысалы, 𝑥 𝑚+1 параболаны квадратуралау 𝑥 𝑚 функциясына функциясын, ал жанаманы анықтау 𝑚+1 𝑥 𝑚+1 функциясына 𝑥 𝑚 функциясын сәйкестендіреді. Осы сияқты байланыстарды 𝑚+1 тағайындауға түрткі болған мәселелердің бірі – жанамаларға берілген кері есептер. Оларда қисықтарға жүргізілген барлық жанамалардың жалпы қасиеттері бойынша 𝑥−𝑦 қисықтардың өзін табу талап етіледі. Мысалы, Дебон есебі: «𝑦 ′ = теңдеуін 𝑎 қанағаттандыратын қисықты табу керек». «Жанаманы табу амалы» мен «Квадратуралау амалының» арасындағы байланыс механикалық және геометриялық тұрғыда негізделді (Торричелли, Менголи, Валлис). Барроу өзара кері болып табылатын, қазіргі математика тілімен былай баяндауға болатын екі теореманы дәлелдеді (1670): 𝑥 1) 𝑦 = ∫0 𝑧𝑑𝑥 интегралдық теңдігінен 𝑑𝑦 = 𝑧𝑑𝑥 дифференциалдық теңдігі шығады; 𝑥 2) 𝑑𝑦 = 𝑧𝑑𝑥 дифференциалдық теңдігінен 𝑦 = ∫0 𝑧𝑑𝑥 интегралдық теңдігі шығады. Бұл теоремалар интегралды табу мен дифференциалдаудың өзара кері сипаттағы амалдар екендігін тағайындауға мүмкіндік туғызды. Алайда, бұл мәселе ХVII ғ. математиктеріне сәл кейінірек, интегралдау мен дифференциалдау амалдары аналитикалық тұрғыда анықталғаннан кейін ғана түсінікті болды. Қорыта айтқанда, XVII ғ. 4-ширегіне қарай математикада дифференциалдық және интегралдық есептеулердің ашылуына қолайлы жағдай туғызған алғышарттар толығымен пісіп, жетілді.