Математикалық анализ тарихы

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Математикалық анализдің пайда болуының алғашқы нышандары қашан пайда болды?

Элементар математика дәуірінің аяқталу кезеңінде.

Мұсылман математиктері белгісізді қалай атаған?

Олар оны «шай» деп атаған.

Алгебра мен онымен айналысатындарды еуропалықтар қалай атады?

Алгебраны Coss, ал айналысатындарды «Коссистер» деп атады.

А.Ризе мен К.Рудольфтың алгебралық кітаптары қай жылы шықты?

А.Ризенің кітабы 1524 жылы, ал К.Рудольфтың кітабы 1525 жылы шықты. Signup and view all the answers

Кіріспесінде алгебралық қолжазбалардың түпнұсқасы қай тілде жазылған?

Араб тілінде жазылған. Signup and view all the answers

Штифельде 𝑥 7-ні қалай белгілеген?

Штифельде 𝑥 7-ні bβ деп белгіледі. Signup and view all the answers

Ф.Виеттің белгілеу жүйесі сыртқы түрде қандай символдар қолданды?

Дауысты дыбыстар мен дауыссыз дыбыстар, «+» пен «–» символдары. Signup and view all the answers

Виеттің символикасы математика ғылымының қандай жаңа бағытына бет бұрды?

Формулалар жүйесі түріндегі ғылымға. Signup and view all the answers

Алгебралық символиканың дамуы қашан басталды?

ХVІI ғасырдың басында. Signup and view all the answers

Бомбелли белгісіз шаманы қалай таңбалады?

Дәреже көрсеткішті оның сандық коэффициентінің үстіне жазып көрсетті. Signup and view all the answers

Функцияның «қатынас» сөзінің пайда болуы қай кезеңге тән?

XV-XVI ғасырлар. Signup and view all the answers

Декарт пен Ферма тәуелділіктерді қалай өрнектеді?

Олар тәуелділікті теңдеу арқылы өрнектеді. Signup and view all the answers

XVII ғасырда дәрежелік қатар функцияның қандай маңызы болды?

Дәрежелік қатар функцияның аналитикалық түрде өрнектелуінің маңызды құралына айналды. Signup and view all the answers

Ньютон тәуелділіктің қандай концепциясын дамытты?

Кинематикалық-геометриялық концепциясын. Signup and view all the answers

Функция терминін алғашқылардың бірі болып қай ғалым енгізді?

Лейбниц. Signup and view all the answers

Шектеусіз тізбектермен байланысты жаңалық XVII ғасырда кімдермен ашылды?

Виет, Сен Венсан, және де-Сараса. Signup and view all the answers

Гармониялық қатардың жинақсыздығын дәлелдеген ғалым кім?

Менголи. Signup and view all the answers

Логарифмдер XVII ғасырда қандай роль атқарды?

Функцияны жуық түрде өрнектеудегі маңызды рөл атқарды. Signup and view all the answers

Декарт пен Ферма тәуелділіктерді геометриялық мағынамен қалай салыстырды?

Олар аналитикалық түрде өрнектелуін геометриялық мағынамен байланыста қарастырды. Signup and view all the answers

Броункер шектеусіз қатар ретінде қандай формуланы көрсетті?

$rac{1}{1ullet2}+rac{1}{3ullet4}+rac{1}{5ullet6}+ ext{...}$ Signup and view all the answers

Символикалық математика дәуірінің басты ерекшеліктері қандай?

Символикалық математика дәуірі риторикалық баяндаудан символикалық аппаратқа көшуімен, теорялық сипатының күшеюімен және айнымалы шамалар арасындағы қарым-қатынастарды зерттеумен сипатталады. Signup and view all the answers

Символикалық алгебраның пайда болуының маңызы неде?

Символикалық алгебраның пайда болуы математиканың тілін жеңілдетіп, есептеулерді біршама оңайлатты. Signup and view all the answers

Жоғары дәрежелі теңдеулерді зерттеу қандай жаңалықтарды тудырды?

Жоғары дәрежелі теңдеулерді зерттеу алгебралық тіпті аналитикалық геометрияның дамуына мүмкіндік берді. Signup and view all the answers

Жорымал шамалардың математиканың дамуына әсері қандай?

Жорымал шамалар математикалық зерттеулерді тиімді жүргізуге мүмкіндік берді, сонымен қатар есептеу әдістерін жаңартты. Signup and view all the answers

Сан ұғымының кеңейтілуі нені қамтыды?

Сан ұғымының кеңейтілуі теріс сандардың, ондық бөлшектер мен логарифмдердің енгізілуін қамтыды. Signup and view all the answers

$ ext{ln}(2)$ теңдеуінде Менголи жіктелуінің алғашқы төрт мүшесін атаңыз.

1 - 2 + 3 - 4. Signup and view all the answers

Логарифмдер мен есептеу құралдарының дамуы не үшін маңызды?

Логарифмдер мен есептеу құралдарының дамуы күрделі есептеулерді жеңілдетіп, математикалық анализдің негізін қалады. Signup and view all the answers

XVII ғасырдың соңына қарай математиканың қандай жаңалықтары пайда болды?

XVII ғасырдың соңына қарай инфинитезималдық есептер мен функциялар, айнымалы шамаларды зерттеу жаңалықтары пайда болды. Signup and view all the answers

$ ext{ln}(1 + x)$ теңдеуіндегі Меркатор жіктелуіндегі алғашқы үш мүшені жазыңыз.

x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}. Signup and view all the answers

Валлис жіктелуінің алғашқы төрт мүшесі қандай?

x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}. Signup and view all the answers

Лондон корольдік қоғамы мен Париж академиясының рөлі қандай болды?

Лондон корольдік қоғамы мен Париж академиясы ғылыми зерттеулерді ұйымдастырудың жаңа формаларын ашты. Signup and view all the answers

Символикалық математика дәуірінде математикалық көркем әдебиет қалай өзгерді?

Символикалық математика дәуірінде математикалық көркем әдебиет риторикалық баяндаудан символикалық формаларға көшті. Signup and view all the answers

Грегори жіктелуінде $ ext{ln}(1 - x)$ қалай жазылады?

$2(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots)$. Signup and view all the answers

Дж. Грегори $ ext{tg} heta$ үшін жіктелуін атаңыз.

$\theta + \frac{\theta^3}{3} + \frac{\theta^5}{15} + \cdots$. Signup and view all the answers

ХVІ ғасырда Еуропадағы математиканың дамуына қандай әсерлер болды?

ХVІ ғасырда Еуропада математика мұсылмандық дәстүрлер және араб цифрларының пайда болуы арқылы дамыды. Signup and view all the answers

$ ext{lnsec} heta$-ның жіктелуіндегі алғашқы үш мүшені жазыңыз.

$\frac{\theta^2}{2} + \frac{\theta^4}{12} + \frac{\theta^6}{90}.$ Signup and view all the answers

Ньютонның $(1 + x)^n$ үшін жіктелу формуласын жазыңыз.

$1 + \frac{n}{1!}x + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \cdots$. Signup and view all the answers

Галлейдің $ ext{log}(1 + x)$ жіктелуінің алғашқы мүшелерін атаңыз.

$k(x - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} - \cdots)$. Signup and view all the answers

Логарифмдік функциялардың кестелерін қай ғасырда жасау басталды?

Логарифмдік функциялардың кестелерін XVII ғасырда жасау басталды. Signup and view all the answers

Бригс интерполяция техникасының негізін қайда қолданды?

Бригс интерполяция техникасын логарифмдік кестелер құрастырғанда қолданды. Signup and view all the answers

Ньютонның n-ретті айнымалылары туралы айтқан пікірі неде?

Ньютон n-ретті айнымалылары тұрақты функциялардың n-дәрежелі көпмүшелік болатынын тағайындады. Signup and view all the answers

Грегори интерполяциялау әдісінде қандай жетістіктерге жетті?

Грегори екінші ретті тұрақты айырмалар үшін интерполяциялау әдісін ұсынды. Signup and view all the answers

Ньютонның интерполяциялық формуласы қандай мақсатта қолданылды?

Ньютонның интерполяциялық формуласы алдыға қарай интерполяциялауға арналған. Signup and view all the answers

Интерполяцияның дамуында қандай математикалық әдістер маңызды рөл атқарды?

Интерполяция барысында жаңа математикалық әдістер, әсіресе интеграциялық және дифференциалдық есептер маңызды рөл атқарды. Signup and view all the answers

Симпсон формуласының ерекшелігі неде?

Симпсон формуласы қисықтарды жуықтап квадратуралауда қолданылатын ереже. Signup and view all the answers

Логарифмдік кестелер құрастыру барысында кездескен жоғары ретті айырмалардың мәндері нені білдіреді?

Жоғары ретті айырмалар өзара тең болғанға дейінгі мәндер есептелді. Signup and view all the answers

XVII ғасырдағы интерполяция техникасының ерекшелігі неде?

Интерполяция техникасының негізі қаланды және логарифмдік функциялардың жоғары дәлдіктегі мәндері табылды. Signup and view all the answers

Ньютонның ұсынған интерполяциялау формуласының маңызы қандай?

Ньютонның интерполяциялау формуласы жаңа математикалық әдістердің дамуына зор мән берді. Signup and view all the answers

Study Notes

Символикалық математика дәуірі (XVI ғ. – XVII ғ. соңғы ширегі)

ХV-ХVІ ғғ. – Қайта өрлеу дәуірі (Ренессанс). Бұл кезеңде жаратылыстану ғылымдарын оқып-игеруге деген қызығушылық артты. Математиктерге деген көзқарас өзгерді, бірақ XVI ғ. дейін қудалау жалғасты.
Алгоритмшілердің абакшылармен болған дауында алгоритмшілер жеңе бастады.
Еуропа мұсылмандардың позициялық арифметикасына көшуге бет бұрды. Бұл үш бағытта жүрді: 1) мұсылмандық Испания; 2) мұсылмандық Сицилия мен оңтүстік Италия; 3) Осман империясы.
XII ғ. бастап араб тіліндегі еңбектер латын тіліне аударылып, араб цифрлары мен позициялық арифметика сауда-саттықта қолданыла бастады.
Леонардо Пизанский позициялық арифметиканы насихаттады.
Италияда математикалық жаңалықтар ашылды (Бомбелли, Тарталья, Кардано, Феррари, т.б.).
1453 ж. Византия құлады. Осман империясы арқылы Еуропаға ондық бөлшектер, теріс сандар, 𝜋 санының жуық мәнін табу әдісіне қатысты білімдер, Ұлықбек астрономиялық кестелері жетті.
XVI ғ. математика арифметика, алгебра, геометрия, тригонометриядан тұрды.
XVII ғ. аналитикалық және проективтік геометриялар, комбинаторика, ықтималдық теориясы, механикалық есептеу құралдары, логарифмдер, есептеудің жуықтап әдістері, сандар теориясының күрделі есептері, инфинитезималдық әдістер пайда болды.
XVII ғ. математика функциялар мен айнымалы шамаларға, шексіз аз және шексіз үлкен шамаларға көшті.
Зерттеуді ұйымдастырудың жаңа нысандары пайда болды: «Табиғат құпияларының академиясы», «Сілеусінкөзділер академиясы», «Тәжірибелер академиясы», «Лондон корольдік қоғамы», «Париж академиясы», «Гринвич обсерваториясы», «Париж обсерваториясы» құрылды.
«Философикал транзакционис», «Жорнал дес Савантс» ғылыми журналдары шыға бастады.
Бұл дәуірде математика ғылымы риторикалық баяндаудан символикалық аппаратқа көшті, теориялық сипаты күшейді, айнымалы шамалар арасындағы қатынастарды зерттеуге бет бұрды.
XVII ғ. соңына қарай инфинитезималдық есептер екі түрге бөлінетіні анықталды. Осылайша элементар математика дәуірі аяқталып, математикалық анализдің пайда болуына негіз қалады.

Символикалық алгебраның пайда болуы

Мұсылман математиктері белгісізді “шай” деп атаған.
Еуропалықтар оны латын тіліне “cosa” деп аударған. “Cosa” деген сөздің мағынасы да - нәрсе.
Еуропада алгебраны Coss деп атады, ал онымен айналысатындарды – «Коссистер» деп атады.
Еуропада алгебра туралы бірінші кітаптар жарық көрді (А.Ризе «Coss», 1524; К.Рудольф «Әдетте Косс деп аталатын алгебраның көркем ережелері арқылы жылдам және әдемі есептеулер», 1525), қолжазбалар болды.
Алғашқы кітаптардың араб тілінде жазылғандығы айтылған. Бұл Еуропада алгебраның қалыптасуына мұсылман математиктерінің әсерін көрсетеді.
1480 жылғы қолжазбада: дәрежелер гот әріптері арқылы белгіленген: 𝔯 (готтық r – res-нәрсе); 𝔷 (готтық z-zensus-квадрат); 𝔠 (готтық c-cubus-куб).
1500 ж. қолжазбада: 𝑥 4 = 𝔷𝔷, 𝑥 5 = alt, 𝑥 6 =𝔷𝔷+ 𝔠.
Ризенің кітабында: x белгісізі Radix немесе Coβ деп аталады, 𝔯 (яғни r), 𝑥 2 – zensus немесе quadrat (𝔷, яғни z), 𝑥 3 –cubus (𝔠, яғни c), 𝑥 4 –zensusdezensu (𝔷𝔷), бос мүше - ∅
Штифельде: 𝑥 7 -ін bβ, 𝑥 11 = 𝑐𝛽, 𝑥 13 = 𝑑𝛽, 𝑥 17 = 𝑒𝛽.
Рамуста: 𝑥 - latus(l), 𝑥 2 - quadratus (q), 𝑥 3 - cubus(c),𝑥 4 - biquadratus (bq), 𝑥 5 -solidus(s).
Бомбелли белгісіз шаманы таңбалағанда, дәреже көрсеткішін сандық коэффициенттің үстіне жазды (8 = 4𝑥 2 + 4𝑥 теңдеуін мына түрде жазды: 8 𝑒𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 ẚ 4 · 𝑝 · 4).
ХVІ ғ. символикада бірізділік болған жоқ. Ол ХVІ ғ. соңында Ф.Виеттің кітабында жүйеге түсіріле бастады.
Виет белгісіздерді дауысты, ал белгілі шамаларды дауыссыз дыбыстарға сәйкес келетін бас әріптермен белгіледі, «+» пен«–» символдарын қолданды.
Дәрежелерді таңбалауды әріптің жанына quadrato (кейде plano), cubus (кейде solido) сөздер арқылы жазды.
Виеттің символикасы бүкіл математика ғылымының дамуындағы үлкен жаңалық болды. Одан кейін математика формулалар жүйесі түріндегі ғылымға айналды.
Алгебралық символика ХVІI ғ. басында жетілдіріліп, қазіргі түрге келе бастады.

Жоғары дәрежелі теңдеулер

Функция үшін «қатынас» (proportio) сөзі пайдаланылды.
Ферма және Декарт екі айнымалы шаманың арасындағы тәуелділікті теңдеу арқылы қалай өрнектеуге болатындығын көрсетті.
XVII ғ 2-жартысында дәрежелік қатар аналитикалық түрде өрнектеудің маңызды құралына айналды.
Декарт пен Ферма тәуелділіктердің аналитикалық түрде өрнектелуін олардың геометриялық мағынасымен байланыста қарастырса, Ньютон тәуелділікті кинематикалық-геометриялық концепциясын дамытты.
Ньютон "ақпа шамалар" деп қозғалыс арқылы қисық сызықтарды алу барысында тұрақты түрде өсетіндерді немесе кемитіндерді түсініп, оларды "флюенталар" деп атады және x, y, z, u,… әріптерімен белгіледі.
"Функция" терминін Лейбниц енгізді. "Функция" сөзін ол алғашқыда "жүзеге асыру", "орындау", "өрнектеу" мағыналарында қолданған, кейін аналитикалық өрнек мағынасында қолданған.

Сан ұғымының кеңейтілуі

XVII ғ. шектеусіз тізбектер жайында жаңалықтар ашылды. Шектеусіз көбейтінділер алғаш Виетте кездеседі (1593).
XVII ғ. ашылған жаңалық – функцияны жуықтап өрнектеуде шектеусіз қатарлардың пайдаланылуы. Бұнда логарифмдер негізгі рөл атқарды.
Сен Венсан (1647) және де-Сараса (1649) гипербола, оның асимптотасы және екі түйіндес ординаталармен шектелген ауданның логарифмдермен байланысын ашты.
Броункер бұл байланысты шектеусіз қатар ретінде өрнектеді (1668): 𝑙𝑛2 = 1 1 1 + + +⋯ 1∙2 3∙4 5∙6
Менголи ∑∞ 𝑘=1 гармониялық қатарының жинақсыздығын, жалпыланған гармониялық ∑𝑘=1 және ∑∞ 𝑘=1 𝑘 2 қатар
1 ∞ 1 1 қатарларын зерттеді (1650).𝑎+𝑘𝑏
Жаңа қатарлар жіктеле ұсынылды: 1 1 1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑙𝑛2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (Менголи); ln(1 + 𝑥 ) = 𝑥 − + − + ⋯ (Меркатор) 2 2 2 1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 1+𝑥 𝑥3 𝑥5 𝑙𝑛 1−𝑥 = 𝑥 + + + + ⋯(Валлис), 𝑙𝑛 1−𝑥 = 2(𝑥 + + + ⋯ ) (Грегори). 2 3 4 3 5 1 𝑥2 𝑥3 𝑦2 log(1 + 𝑥 ) = 𝑘 (𝑥 − + − ⋯ ) және 1 + 𝑥 = 1 + 𝑦 + 1∙2 + ⋯ (Галлей) 2 3
Дж.Грегори: 1 1 𝜑 = 𝑡𝑔𝜑 − 𝑡𝑔3 𝜑 + 𝑡𝑔5 𝜑 − ⋯ 3 5 𝜑3 2𝜑5 𝑡𝑔𝜑 = 𝜑 + + +⋯ 3 15 𝜑2 𝜑4 𝜑6 𝑙𝑛𝑠𝑒𝑐𝜑 = + + +⋯ 2 12 90 𝜑2 5𝜑4 𝑠𝑒𝑐𝜑 = 1 + + +⋯ 2 24 𝜑 𝜋 𝜑3 𝜑5 𝑙𝑛𝑡𝑔( + ) = 𝜑 + + +⋯ 2 4 6 24
Исаак Ньютон: 𝑛 𝑛(𝑛 − 1) 2 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 3 (1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 +⋯ 1! 2! 3!𝑥2 𝑥3 𝑥4 ln(1 + 𝑥 ) = 𝑥 − + − + ⋯ 2 3 4 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 1 1 3 3 5 5 7 = 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +⋯ 2 2 12 80 224 1 𝑥3 1 ∙ 3 𝑥5 1 ∙ 3 ∙ 5 𝑥7 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 + ∙ + ∙ + ∙ +⋯ 2 3 2∙4 5 2∙4∙6 7 𝑥 𝑥3 𝑥5 𝑥7 𝑠𝑖𝑛𝑥 = − + − +⋯ 1! 3! 5! 7!𝑥2 𝑥4 𝑥6 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − + − + ⋯ 2! 4! 6!

Логарифмдер

Бұл дәуірде интерполяция техникасының негізі салынды.
XVII ғ. басында тригонометриялық және логарифмдік функциялардың кестелерін жасау және 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑖𝑛𝑥 функциясының жеті және одан да көп ондық таңбаға дейінгі дәлдіктегі мәндерін табу жүзеге асырылды.
Бұндай есептеулерде негізінен, сызықтық интерполяция әдістері кеңінен қолданылды.
Интерполяцияның ерекшелігін ең алғаш Бригс байқап, бұл техниканың негізін салды. Логарифмдік кестелер жасау кезінде ол жоғары ретті айырмалардың өзара тең болғанға дейінгі мәндерін есептеді.
Ньютон n-ретті айнымалылары тұрақты функциялардың n-дәрежелі көпмүшелік болатынын тағайындады.
Валлис алғашқы болып «Интерполяция» терминін қолданды.
Грегори интерполяция мәселесінде жоғары табыстарға жетіп, екінші ретті тұрақты айырмалар жағдайы үшін интерполяциялау әдісін ұсынды.
Қисықтарды жуықтап квадратуралауға қолдану барысында ол Симпсон формуласына пара-пар ережені алды, мына формуланы ашты: 𝑥 𝑥 (𝑥 − 1) 2 𝑥 (𝑥 − 1) … × 2 × 1 2 𝑓 (𝑥0 + 𝑥ℎ) = 𝑓 (𝑥0 ) + ∆𝑓(𝑥0 ) + ∆ 𝑓 (𝑥 0 ) + ⋯ + ∆ 𝑓 (𝑥 0 ) 1 2!𝑛!
Бұл формула Ньютонға да белгілі болған (1675), қазіргі күні ол алдыға қарай инерполяциялауға арналған Ньютон формуласы деп аталады.
Ол кейін қарай инерполяциялау формуласын да ұсынды.
Интерполяциялық формулалар жаңа математикалық әдістердің дамуында зор рөл атқарды.

Есептеу құралдары

XVII ғ. ғылым мен техника арасындағы қатынас инфинитезималдық есептердің рөлінің күшеюіне әкелді (интеграциялық әдістер, дифференциалдық есептер).

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Бұл тест математика ғылымының дамуына арналған. Мұнда алгебра, функциялар, және олардың тарихы мен маңызды концепциялары туралы сұрақтар қамтылған. Тест қазіргі математиканың негіздерін түсінуге көмектеседі.