Математикалық анализ тарихы

Символикалық математика дәуірі (XVI ғ. – XVII ғ. соңғы ширегі)

• ХV-ХVІ ғғ. – Қайта өрлеу дәуірі (Ренессанс). Бұл кезеңде жаратылыстану ғылымдарын оқып-игеруге деген қызығушылық артты. Математиктерге деген көзқарас өзгерді, бірақ XVI ғ. дейін қудалау жалғасты.
• Алгоритмшілердің абакшылармен болған дауында алгоритмшілер жеңе бастады.
• Еуропа мұсылмандардың позициялық арифметикасына көшуге бет бұрды. Бұл үш бағытта жүрді: 1) мұсылмандық Испания; 2) мұсылмандық Сицилия мен оңтүстік Италия; 3) Осман империясы.
• XII ғ. бастап араб тіліндегі еңбектер латын тіліне аударылып, араб цифрлары мен позициялық арифметика сауда-саттықта қолданыла бастады.
• Леонардо Пизанский позициялық арифметиканы насихаттады.
• Италияда математикалық жаңалықтар ашылды (Бомбелли, Тарталья, Кардано, Феррари, т.б.).
• 1453 ж. Византия құлады. Осман империясы арқылы Еуропаға ондық бөлшектер, теріс сандар, 𝜋 санының жуық мәнін табу әдісіне қатысты білімдер, Ұлықбек астрономиялық кестелері жетті.
• XVI ғ. математика арифметика, алгебра, геометрия, тригонометриядан тұрды.
• XVII ғ. аналитикалық және проективтік геометриялар, комбинаторика, ықтималдық теориясы, механикалық есептеу құралдары, логарифмдер, есептеудің жуықтап әдістері, сандар теориясының күрделі есептері, инфинитезималдық әдістер пайда болды.
• XVII ғ. математика функциялар мен айнымалы шамаларға, шексіз аз және шексіз үлкен шамаларға көшті.
• Зерттеуді ұйымдастырудың жаңа нысандары пайда болды: «Табиғат құпияларының академиясы», «Сілеусінкөзділер академиясы», «Тәжірибелер академиясы», «Лондон корольдік қоғамы», «Париж академиясы», «Гринвич обсерваториясы», «Париж обсерваториясы» құрылды.
• «Философикал транзакционис», «Жорнал дес Савантс» ғылыми журналдары шыға бастады.
• Бұл дәуірде математика ғылымы риторикалық баяндаудан символикалық аппаратқа көшті, теориялық сипаты күшейді, айнымалы шамалар арасындағы қатынастарды зерттеуге бет бұрды.
• XVII ғ. соңына қарай инфинитезималдық есептер екі түрге бөлінетіні анықталды. Осылайша элементар математика дәуірі аяқталып, математикалық анализдің пайда болуына негіз қалады.

Символикалық алгебраның пайда болуы

• Мұсылман математиктері белгісізді “шай” деп атаған.
• Еуропалықтар оны латын тіліне “cosa” деп аударған. “Cosa” деген сөздің мағынасы да - нәрсе.
• Еуропада алгебраны Coss деп атады, ал онымен айналысатындарды – «Коссистер» деп атады.
• Еуропада алгебра туралы бірінші кітаптар жарық көрді (А.Ризе «Coss», 1524; К.Рудольф «Әдетте Косс деп аталатын алгебраның көркем ережелері арқылы жылдам және әдемі есептеулер», 1525), қолжазбалар болды.
• Алғашқы кітаптардың араб тілінде жазылғандығы айтылған. Бұл Еуропада алгебраның қалыптасуына мұсылман математиктерінің әсерін көрсетеді.
• 1480 жылғы қолжазбада: дәрежелер гот әріптері арқылы белгіленген: 𝔯 (готтық r – res-нәрсе); 𝔷 (готтық z-zensus-квадрат); 𝔠 (готтық c-cubus-куб).
• 1500 ж. қолжазбада: 𝑥 4 = 𝔷𝔷, 𝑥 5 = alt, 𝑥 6 =𝔷𝔷+ 𝔠.
• Ризенің кітабында: x белгісізі Radix немесе Coβ деп аталады, 𝔯 (яғни r), 𝑥 2 – zensus немесе quadrat (𝔷, яғни z), 𝑥 3 –cubus (𝔠, яғни c), 𝑥 4 –zensusdezensu (𝔷𝔷), бос мүше - ∅
• Штифельде: 𝑥 7 -ін bβ, 𝑥 11 = 𝑐𝛽, 𝑥 13 = 𝑑𝛽, 𝑥 17 = 𝑒𝛽.
• Рамуста: 𝑥 - latus(l), 𝑥 2 - quadratus (q), 𝑥 3 - cubus(c),𝑥 4 - biquadratus (bq), 𝑥 5 -solidus(s).
• Бомбелли белгісіз шаманы таңбалағанда, дәреже көрсеткішін сандық коэффициенттің үстіне жазды (8 = 4𝑥 2 + 4𝑥 теңдеуін мына түрде жазды: 8 𝑒𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 ẚ 4 · 𝑝 · 4).
• ХVІ ғ. символикада бірізділік болған жоқ. Ол ХVІ ғ. соңында Ф.Виеттің кітабында жүйеге түсіріле бастады.
• Виет белгісіздерді дауысты, ал белгілі шамаларды дауыссыз дыбыстарға сәйкес келетін бас әріптермен белгіледі, «+» пен«–» символдарын қолданды.
• Дәрежелерді таңбалауды әріптің жанына quadrato (кейде plano), cubus (кейде solido) сөздер арқылы жазды.
• Виеттің символикасы бүкіл математика ғылымының дамуындағы үлкен жаңалық болды. Одан кейін математика формулалар жүйесі түріндегі ғылымға айналды.
• Алгебралық символика ХVІI ғ. басында жетілдіріліп, қазіргі түрге келе бастады.

Жоғары дәрежелі теңдеулер

• Функция үшін «қатынас» (proportio) сөзі пайдаланылды.
• Ферма және Декарт екі айнымалы шаманың арасындағы тәуелділікті теңдеу арқылы қалай өрнектеуге болатындығын көрсетті.
• XVII ғ 2-жартысында дәрежелік қатар аналитикалық түрде өрнектеудің маңызды құралына айналды.
• Декарт пен Ферма тәуелділіктердің аналитикалық түрде өрнектелуін олардың геометриялық мағынасымен байланыста қарастырса, Ньютон тәуелділікті кинематикалық-геометриялық концепциясын дамытты.
• Ньютон "ақпа шамалар" деп қозғалыс арқылы қисық сызықтарды алу барысында тұрақты түрде өсетіндерді немесе кемитіндерді түсініп, оларды "флюенталар" деп атады және x, y, z, u,… әріптерімен белгіледі.
• "Функция" терминін Лейбниц енгізді. "Функция" сөзін ол алғашқыда "жүзеге асыру", "орындау", "өрнектеу" мағыналарында қолданған, кейін аналитикалық өрнек мағынасында қолданған.

Сан ұғымының кеңейтілуі

• XVII ғ. шектеусіз тізбектер жайында жаңалықтар ашылды. Шектеусіз көбейтінділер алғаш Виетте кездеседі (1593).
• XVII ғ. ашылған жаңалық – функцияны жуықтап өрнектеуде шектеусіз қатарлардың пайдаланылуы. Бұнда логарифмдер негізгі рөл атқарды.
• Сен Венсан (1647) және де-Сараса (1649) гипербола, оның асимптотасы және екі түйіндес ординаталармен шектелген ауданның логарифмдермен байланысын ашты.
• Броункер бұл байланысты шектеусіз қатар ретінде өрнектеді (1668): 𝑙𝑛2 = 1 1 1 + + +⋯ 1∙2 3∙4 5∙6
• Менголи ∑∞ 𝑘=1 гармониялық қатарының жинақсыздығын, жалпыланған гармониялық ∑𝑘=1 және ∑∞ 𝑘=1 𝑘 2 қатар
  1 ∞ 1 1 қатарларын зерттеді (1650).𝑎+𝑘𝑏
• Жаңа қатарлар жіктеле ұсынылды: 1 1 1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑙𝑛2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (Менголи); ln(1 + 𝑥 ) = 𝑥 − + − + ⋯ (Меркатор) 2 2 2 1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 1+𝑥 𝑥3 𝑥5 𝑙𝑛 1−𝑥 = 𝑥 + + + + ⋯(Валлис), 𝑙𝑛 1−𝑥 = 2(𝑥 + + + ⋯ ) (Грегори). 2 3 4 3 5 1 𝑥2 𝑥3 𝑦2 log(1 + 𝑥 ) = 𝑘 (𝑥 − + − ⋯ ) және 1 + 𝑥 = 1 + 𝑦 + 1∙2 + ⋯ (Галлей) 2 3
• Дж.Грегори: 1 1 𝜑 = 𝑡𝑔𝜑 − 𝑡𝑔3 𝜑 + 𝑡𝑔5 𝜑 − ⋯ 3 5 𝜑3 2𝜑5 𝑡𝑔𝜑 = 𝜑 + + +⋯ 3 15 𝜑2 𝜑4 𝜑6 𝑙𝑛𝑠𝑒𝑐𝜑 = + + +⋯ 2 12 90 𝜑2 5𝜑4 𝑠𝑒𝑐𝜑 = 1 + + +⋯ 2 24 𝜑 𝜋 𝜑3 𝜑5 𝑙𝑛𝑡𝑔( + ) = 𝜑 + + +⋯ 2 4 6 24
• Исаак Ньютон: 𝑛 𝑛(𝑛 − 1) 2 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 3 (1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 +⋯ 1! 2! 3!𝑥2 𝑥3 𝑥4 ln(1 + 𝑥 ) = 𝑥 − + − + ⋯ 2 3 4 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 1 1 3 3 5 5 7 = 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +⋯ 2 2 12 80 224 1 𝑥3 1 ∙ 3 𝑥5 1 ∙ 3 ∙ 5 𝑥7 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 + ∙ + ∙ + ∙ +⋯ 2 3 2∙4 5 2∙4∙6 7 𝑥 𝑥3 𝑥5 𝑥7 𝑠𝑖𝑛𝑥 = − + − +⋯ 1! 3! 5! 7!𝑥2 𝑥4 𝑥6 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − + − + ⋯ 2! 4! 6!

Логарифмдер

• Бұл дәуірде интерполяция техникасының негізі салынды.
• XVII ғ. басында тригонометриялық және логарифмдік функциялардың кестелерін жасау және 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑖𝑛𝑥 функциясының жеті және одан да көп ондық таңбаға дейінгі дәлдіктегі мәндерін табу жүзеге асырылды.
• Бұндай есептеулерде негізінен, сызықтық интерполяция әдістері кеңінен қолданылды.
• Интерполяцияның ерекшелігін ең алғаш Бригс байқап, бұл техниканың негізін салды. Логарифмдік кестелер жасау кезінде ол жоғары ретті айырмалардың өзара тең болғанға дейінгі мәндерін есептеді.
• Ньютон n-ретті айнымалылары тұрақты функциялардың n-дәрежелі көпмүшелік болатынын тағайындады.
• Валлис алғашқы болып «Интерполяция» терминін қолданды.
• Грегори интерполяция мәселесінде жоғары табыстарға жетіп, екінші ретті тұрақты айырмалар жағдайы үшін интерполяциялау әдісін ұсынды.
• Қисықтарды жуықтап квадратуралауға қолдану барысында ол Симпсон формуласына пара-пар ережені алды, мына формуланы ашты: 𝑥 𝑥 (𝑥 − 1) 2 𝑥 (𝑥 − 1) … × 2 × 1 2 𝑓 (𝑥0 + 𝑥ℎ) = 𝑓 (𝑥0 ) + ∆𝑓(𝑥0 ) + ∆ 𝑓 (𝑥 0 ) + ⋯ + ∆ 𝑓 (𝑥 0 ) 1 2!𝑛!
• Бұл формула Ньютонға да белгілі болған (1675), қазіргі күні ол алдыға қарай инерполяциялауға арналған Ньютон формуласы деп аталады.
• Ол кейін қарай инерполяциялау формуласын да ұсынды.
• Интерполяциялық формулалар жаңа математикалық әдістердің дамуында зор рөл атқарды.

Есептеу құралдары

• XVII ғ. ғылым мен техника арасындағы қатынас инфинитезималдық есептердің рөлінің күшеюіне әкелді (интеграциялық әдістер, дифференциалдық есептер).

Бұл тест математика ғылымының дамуына арналған. Мұнда алгебра, функциялар, және олардың тарихы мен маңызды концепциялары туралы сұрақтар қамтылған. Тест қазіргі математиканың негіздерін түсінуге көмектеседі.