Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa (PDF)

"Fundamentosde transferencia de momento, calor !" Profesor & DIrecfor del Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Estatal de Oregdn CHARLES E. WICKS Profesor y Director del Departamento de Ingeniería Química Universidad Estatal de OregÓn ROBERTE. WILSON Pr...

"Fundamentosde transferencia de momento, calor !" Profesor & DIrecfor del Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Estatal de Oregdn CHARLES E. WICKS Profesor y Director del Departamento de Ingeniería Química Universidad Estatal de OregÓn ROBERTE. WILSON Profesor de Ingeniería MecAnica Universidad Estatal de Oregón -~ NORIEGA EDITORES MÉXICO Espalla Venezuela Colombia  VERSIÓN AUTORIZADA EN ESPANOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS POR JOHNWILEY & SONS,INC., CON EL T~TULO: FUNDAMENTALS OF MOMENTUM, HEAT & MASS TRANSFER O JOHNWILEY& SONS,INC. COLABORADOR EN LA TRADUCCI~N: CONCEPC16N CALDER6N ACOSTA INTÉRPRETE TRADUCTORA DE LA ESCUELA DE IDIOMAS BERLITZ. REVISI~N: JOSC LUIS FERNANDEZ ZAYAS DOCTOR EN INGENIER~A DE LA UNIVERSIDAD DE BRISTOL, INGLATERRA. PROFESOR INVES- TIGADOR DE LA FACULTAD DE INGENIERíA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUT~NOMA DE MÉxlco. LAPRESENTACIONY DISPOSICI~N EN CONJUNTO DE FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE 1 6$ 5 0 $ MOMENTO, CALOR Y MASA SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPROWCIDA O TRANSMI- TIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA o MÉTODO, ELECTRóNICO O MECÁNICO (INCLUYEN00 EL FOTO- COPIADO, LA GRABACIóN O CUALQUIERSISTEMA DE RECUPERACIóNY ALMACENAMIENTODE IN- FORMACI~N), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS: O 1994, EDITORIALLIMUSA,S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, M É x l c o , D.F. C.P. 06040 TELÉFONO 521-21-05 FAX 512-29-03 CANIEM NÚM. 121 SEXTA REIMPRESI~N HECHOEN M É x l c o ISBN 968-18-1306-5  PROLOG01 Los objetivos básicos de esta edición son los mismos que los de la primera.El proceso de transferencia sigue siendo el tema biisico a tratar, para el cual este libro es el instrumento de estudio. En esta edición hemos actualizado el material, introduciendo aplicacio- nes de la tecnología actual. También hemos modificado la presentación para incluir un estudio adicional y más detallado en aquellas áreas que parecen presentar mayor grado de dificultad para el est.udiante. Creemos? y, verdade- ramente confiamos en que esta edición mantendrá los aci&-tb$:&$.ofcii’de10s que tantas personas han comentado. Realmente el cambio más obvio en esta edición es la incorporación de unidades SI. Hemos introducido un tratamiento equilibrado de unidades SI y sistema inglés, tanto en los problemas que se presentan como ejemplo, co- mo en los que aparecen al final de cada capítulo. También hemos modificado las tablas de propiedades físicas para incluir en ellas datos en SI correspon- dientes a sólidos y gases. No existe, a nuestro juicio, ninguna buenarecopila- ción de ras propiedades de los líquidos en unidades SI. Por esta razón, sigue siendo necesario que tanto el profesor como el estudiante efectúenlas conver- siones pertinentes para los líquidos, cuando las propiedades se requieran en unidades SI. En cada uno delos problemas de ejemplose ha agregado el valor correspondiente entre paréntesis y seguido del resultado final, en el sistema alterno, ya sea que se haya trabajado en sistema inglés o SI. Estamos conven- cidos de que la buena comprensión así como la facilidad para resolver proble- mas en el área delproceso de transferencia, son indispensables para el ingeniero competente sin importar su campo fundamental dentro de la ingeniería. El curso para el cual se ha utilizado como texto durantelos últimos seis años en la Universidad Estatal de Oregón, ha tenido c,ada vez mayor aceptación en 5 6 Prólogo todos los campos de la ingeniería. Esperamos que el tratamiento unificado de los procesos de transferencia se popularice cada vez más también en otras instituciones. Laasistencia y loscomentarioscríticosdenumerososestudiantesen años pasados nos han sido de gran ayuda en la preparación de esta edición. En especial, queremos agradecer el apoyo que nos han brindado varios de nuestros colegas, quienes la han utilizado en sus cátedras. Esperamos haber incorporado todo aquello que contribuya a mejorar el texto. Corvallis, Oregón J. R. Welty C. E. Wicks R. E. Wilson  PROLOG0 A LA PRIMERA EDICION EN INGLES Tradicionalmente los programas de estudio de ingeniería incluíancursos acerca de la transferencia de momento en mecánica de fluidos, por lo general en los departamentos de Ingeniería Civil o Mecánica. Los programas de estu- dios de Ingeniería Química y Mecánica han abarcado cursos de transferencia de energía o calor y el tema de la transferencia de masa o difusión ha sido casi del dominio exclusivo de los ingenieros quílaicos. Cuando se les estudia en esta forma fragmentada, las semejanzas en las descripciones tanto cualita- tivas comocuantitativasentre ambos temas,amenudo o se ignoran o se piensa que son coincidencias. En 1960, con la publicación de Transport Phenomena, de R. B. Bird, W. E. Stewart y E. N. Lightfoot, de la Universidad de Wisconsin, estos tres te- mas, previamente fragmentados, se unieron en urr solo volumen con un enfo- que unificado hacia el proceso de transferencia. Así, los estudiantes pueden aprender una sola disciplina en lugar de tres y utilizar las semejanzas en des- cripción y cálculo para reforzar su conocimiento de los procesos individuales de transferencia. Una razón adicional para la popularidad del enfoque unifi- cado es el interés creciente en situaciones en las que aparecen implicadas en un solo proceso dos o a veces hasta tres clases de transferencia. Es invaluable unadescripciónfundamental y sistemáticadelprocesodetransferencia,a este respecto. La gradual evolución de los programas de estudio de ingenieríapara incluir más áreas importantes de temas básicos ha llevado a muchas institu- ciones a ofrecer cursos de transferencia de mom'ento, calor y masa. En estos casos, el procesodetransferenciaseconsideratanfundamentalparalos conocimientosbásicos del estudiante de ingenieríacomolamecánica,la termodinámica, la ciencia de los materises y la electricidad y el magnetismo básicos. Fue en este contexto en el que evolucionó la presente obra. Desde 1963 este material ha sido desarrollado y utilizado, en parte, por grupos de 7 8 Prólogo a la primera edición en inglés alumnos a nivelde segundo año de la Universidad Estatal de Oregón, en el curso titulado Procesos de Transferencia y Cambio. Este libro es el resultado de los apuntes de clase, que se han revisado y reescrito al menos una vez du- rante cada uno de los cinco años anteriores. Las opiniones y críticas de los estudiantes y profesores, han sido de gran ayuda para los autores. Es necesario hacer ciertas concesiones para escribir un libro de esta na- turaleza. El interés primordial de los autores ha sido escribir un texto básico para aumentar la comprensión del estudiante de la transferencia de momen- to, energíay masa. Hemosmantenido las aplicacionesespecíficasdeeste material en un mínimo; esperamos que los cursos de laboratorio planeados para impartirlos posteriormente, tratarán las aplicaciones específicas asícomo las técnicas para la solución de problemas. En este texto hemos incluido tres capítulos de “aplicaciones” (capítulos 14, 2 2 y 31). Estos aparecen cerca del finaldecadasección con el objeto de proporcionarinformaciónsobre el equipo y para indicar la clase de problemas que se pueden tratar de resolver con el material contenido en el texto. Estos capítulos se han incluido con el finde motivar al alumno,dando sin embargo, un mínimodeaplicaciones para aquellos estudiantes para quienes éste sea un estudio final acerca de la transferencia de momento, energía y masa. La obra se ha escrito a nivel de segundo año de ingeniería. Se presupone que el estudiante ha tomado anteriormente cursos de mecánica y matemáticas, en lo referente a ecuaciones diferenciales, así como cursos de introducción a la química y a la física. Además sería muy útil que hubiera tomado un curso de termodinámica anterior o simultáneamente al uso de este texto. El nivel matemático de la obra ha preocupado mucho a los autores. He- mosempleado lanotaciónvectorialprincipalmente en el desarrollodelas ecuaciones fundamentales. La compacidad, generalidad y exactitud de la no- taciónvectorialnosparecieronsuficientespararechazar las objeciones de aquellosquehan sugerido queestetratamiento es demasiadosofisticado. Otros, aunque en pequeño número, han sugerido que habría sido mejor usar tanto notación como operacianes tensorialesmásgenerales. La selección ha sido un término medio, estimado por los autores como el mejor. Es necesario un conocimiento de las ecuaciones diferenciales en lo que se refiere a la solu- ción de ecuaciones de segundo orden. Se incluyen, a manera de ejemplo, tres problemasquecomprenden la soluciónaecuacionesdiferencialesparciales por el método deseparacióndevariables; sin embargo,puedeomitirse SU estudio sin ocasionar ningún perjuicio en cuanto a la comprensión. Puedenemplearsedosdiferentes enfoques en elusodeestematerial. Ambos son diagramáticamente opuestos. El texto está organizado en forma “vertical”. Los temasdetransferenciade momento,energíay masa,están presentados en ese orden. El enfoque “horizontal” alterno, aparece indicado en el diagrama. Este enfoque implica el estudio de temas semejantes para 10s tres tipos de transferencia, considerando un mecanismo de transferencias a la vez. Los autores estamos conscientes de que los profesores pueden preferir  Prólogo a la primera edición 9 r"z1 r-* r---h 1-4, I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ""_ 1 I 1 1 1 1 I I 1 T I I I 10 Prólogo a la primera edición en inglés cualquiera de estos enfoques y hemos organizado el libro para que se acomo- de a ambas escuelas de pensamiento. Los primeros tres capítulos pueden estudiarse u omitirse, a criterio del profesor. Probablemente el material contenido en ellos ya se haya estudiado en cursos previos, pero puede ayudar a igualar el nivel de conocimientos de los estudiantes de diversas ramas, antes de empezar el estudio de los procesos de transferencia. Los capítulos 4, 5 y 6 son fundamentales para la comprensión de todo el texto, por lo que debe profundizarse en su estudio y asegurarse su compren- sión total antes de procederal estudio de los subsecuentes. El concepto de vo- lumen de control que se introduce en este punto,es básico para la compren- sión de los siguientes capítulos. Esta forma de estudiar los procesos de trans- ferencia es una de las principales diferencias entre este textoy el de Bir, Ste- wart y Lightfoot. Los capítulosdel 7 al 14 tratanexclusivamentedetransferenciade momento, del 15 al 23, de transferencia de energía y del 24 al 31 de trans- ferencia de masa. Todos pueden considerarse en secuencia horizontal como se mencionit anteriormente. La única parte separada es el capítulo 23 que trata de la transferencia de energía radiante que no tiene paralelo en la trans- ferencia de momento ni en la de masa. Los autoresestamosfirmementeconvencidosde que losprocesos de cambio son fundamentales para los estudios ingenieriles. Creemos que la falta de un texto ampliamente aceptado ha obstaculizado la adopción de este punto de vista en numerosas instituciones. Esperamos que este texto pueda persua- dir a algunas escuelas a aceptar, como parte de sus programas, latransferencia de momento, energía y masa, dotando así asus egresados de un conocimiento vital. Corvallis, Oregón J. R. Welty C. E. Wicks R. E. Wilson  CONTENIDO Capítulo 1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES 21 1.1 Fluidos y el continuo, 21 1.2 Propiedades en un punto, 22 1.3 Variación de las propiedades de un fluido de un punto a otro, 27 1.4 Unidades, 30 Capítulo 2 ESTATICADEFLUIDOS 35 2.1 Variación de presión en un fluidoestático, 35 2.2Aceleración recti1ínea uniforme, 39 2.3 Fuerzassobre las superficiessumergidas, 40 2.4 Flotación, 44 2.5 Conclusión, 46 Capítulo 3 DESCRIPCION DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO 53 3.1 Leyesfísicas fundamentales,53 3.2 Campos de flujo de fluidos: representacioneslagrangiana y euleriana, 54 3.3 Flujos permanentes y no permanentes, 55 3.4Líneas de corriente,56 3.5 Sistemas y volúmenes de control, 57 Capítulo 4 OBSERVACIONDELAMASA:ENFOQUEDEVOLUMEN DE 59 4.1 Relación integral, 59 4.2 Formas específicas dela expresión integral,60 4.3 Conclusión, 65 11  12 Contenido Capítulo 5 SEGUNDALEYDENEWTONDELMOVIMIENTO: ENFOQUE VOLUMEN DECONTROL DE 71 5.1 Relación integralpara el momentolineal, 71 5.2 Aplicaciones de la expresiónintegralpara el momento lineal, 76 5.3 Relación integralpara el momento de momento,83 5.4 Aplicaciones a las bombas y turbinas, 85 5.5 Conclusión, 90 Capítulo 6 CONSERVACIONDELAENERGIA:ENFOQUEDE CONTROL DE VOLUMEN 101 6.1 Relación integralparalaconservación de la energía, 101 6.2 Aplicaciones de la expresión integral, 109 6.3La ecuación de Bernoulli,113 6.4 Conclusión, 118 Capítulo 7 ESFUERZO CORTANTE ENELFLUJO LAMINAR 127 7.1 Relación de Newton parala viscosidad,127 7.2Fluidosnonewtonianos,129 7.3 Viscosidad, 130 7.4Esfuerzocortante en los flujos laminares multidimensionales de un fluido newtoniano, 135 7.5 Conclusión,140 Capítulo 8 ANALISISDEUNELEMENTODIFERENCIALDE FLUJO LAMINAR FLUIDO ELEN 1 43 8.1 Flujo laminartotalmente desarrollado enun conducto circular de sección transversal constante, 1 4 4 8.2 Flujo laminar de un fluido newtoniano haciaabajo por una superficie plana inclinada, 147 8.3 Conclusión, 150 Capítulo 9 ECUACIONESDIFERENCIALESDEFLUJODE FLUIDOS 153 9.1 La ecuación de continuidaddiferencial,153 9.2Ecuaciones de Navier-Stokes,157 9.3Ecuación de Bernoulli,167 9.4 Conclusión,169 Capítulo 10 FLUJO FLUIDOS DENO VISCOSOS 173 10.1 Rotación de un fluido en un punto,173 10.2 L a función de corriente,175 10.3Flujono rotacional,noviscoso,alrededordeuncilindro infinito, 177 10.4Flujonorotacional. El potencial de la velocidad,180  Contenido 13 10.5 Carga total en el flujo no rotacional, 182 10.6 Utilización del flujo potencial, 182 10.7 Conclusión, 184 Capítulo 1 1 ANALISIS DIMENSIONAL 187 11.1 Dimensiones, 187 11.2 Semejanzas geométrica y cinemática,, 188 11.3 Análisis dimensional de la ecuación de Navier-Stokes, 189 11.4 El método de Buckingham, 191 11.5 Teoría de modelos, 194 11.6 Conclusión, 196 Capítulo 12 FLUJO VISCOSO 203 12.1 Experimento de Reynolds, 203 12.2 Arrastre, 205 12.3 El concepto de capa I ímite, 208 12.4 Las ecuaciones de capa Iímite, 21 1 12.5 Solución de Blasius para la capa laminar limite en una placa plana, 212 12.6 Flujo con un gradiente de presión, 2'18 12.7 Análisis integral de von Kármán del momento, 220 12.8 Conclusión, 225 Capítulo 13 EL EFECTO DE LATURBULENC1.A EN LA TRANSFERENCIA DE MOMENTO 229 13.1 Descripción de la turbulencia, 229 13.2 Esfuerzos cortantes turbulentos, 231 13.3 Hipótesis de la longitud de mezclado, 234 13.4 Distribución de la velocidad a partir de la teoría de la longitud de mezclado, 235 13.5 Distribución universal de velosidades, 236 13.6 Relaciones empíricas adicionales para un flujo turbulento, 239 13.7 La capa límite turbulenta en una placa plana, 240 13.8 Factores que afectan la transición de flujo laminar a turbulento, 242 13.9 Conclusión, 243 Capítulo 14 FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS 245 14.1 Análisis dimensional del flujo en los conductos, 245 14.2 Factores de fricción para flujos laminar, turbulentoy de transición totalmente desarrollados en conductos circulares, 247 14.3 Factor de fricción y determinación dle la pérdida de carga en el flujo de un tubo, 252 14.4 Análisis del flujo en un tubo, 256 14 Contenido 14.5 Factores de fricción correspondientes a un flujo a la entrada de un conducto circular, 259 14.6 Conclusión, 263 Cap ítu lo 1 5 FUNDAMENTOS DE LA TRANSFERENCIA Y/p DE 269 15.1 Conducción, 270 15.2 Conductividad térmica, 271 15.3 Convección, 278 15.4 Radiación, 279 15.5 Mecanismos combinados de transferencia de calor, 280 15.6 Conclusión, 286 Cnpítulo 16 ECUACIONESDIFERENCIALESDELA / TRANSFERENCIA DE CALOR 293 16.1 La ecuacióndiferencial generalde transferencia de energía, 293 16.2Formas especialesde la ecuacióndiferencial de energ ía, 297 16.3Condiciones de fronteracomúnmente encontradas, 299 16.4 Conclusión, 300 Capítulo 17 CONDUCCIONENELESTADO b” PERMANENTE 303 17.1 unidimensional, 303 Conducción 17.2Conducciónunidimensionalcon generación interna de energía, 312 17.3 Transferencia de calor de superficies extendidas, 317 P 7.5 Sistemas en dos y tres dimensiones, 325 Conclusión, 339 Capítulo 18 CONDUCCIONENESTADONO L /’ PERMANENTE 35 1 18.1 Soluciones analíticas, 351 18.2 Tablas de temperatura y tiempo correspondientes.a formas geométricas simples, 362 18.3’Solución gráficadel flujotransitoriounidimensional de energía, gráfica Schmidt, 366 18.4Un método integral de conducciónunidimensional no permanente,370 18.5 Conclusión, 375  Contenido 15 Cap ítu lo 19 TRANSFERENCIACONVECTIVADE J CALOR 38 1 19.1 Consideraciones fundamentales acerca de la transferencia convectiva de calor, 381 19.2 Parámetros importantes en la transferencia convectiva de calor, 382 19.3 Análisis dimensional de la transferencia convectiva de energía, 384 19.4 Análisis exacto de la capa laminar I limite, 388 19.5 Análisis integral aproximado de la c:apa térmica Iímite, 393 19.6 Analogías entre transferencias de energía y momento, 396 19.7 Consideraciones acerca del flujo turbulento, 398 Capítulo 20 CORRELACIONES EN LA TRANSFERENCIA J CALOR DECONVECTIVA 413 20.1 Convección natural, 413 20.2Convecciónforzada enel flujointerno,422 20.3Convecciónforzada en el flujoexterno,429 20.4 Transferencia de calor en el punto de estancamiento, 437 20.5 Conclusión, 441 Capítulo 21 EBULLICION Y CONDENSACIOIU /' 447 21.1 Ebullición, 447 21.2 Condensación, 454 21.3 Conclusión, 461 Capítulo 22 EQUIPOPARALATRANSFEREINCIADECALOR 22.1 Tipos cambiadores de de calor, 46Ei / 465 22.2 Análisis de cambiadores de calor de un solo paso: diferencia logar ítmica media de temperatura, 468 22.3 Análisis de cambiadores de calor de contraflujo y de tubo y coraza, 474 22.4 El método de número de unidades de transferencia ( N U T ) de análisis y diseño de cambiadores; de calor, 477 22.5 Consideracionesadicionalesacercadeldiseño de cambiadores de calor, 487 22.6 Conclusión,488 Capítulo 23 TRANSFERENCIADECALOR POR RADlAClON ' 493 23.1Naturaleza dela radiación, 493 23.2 Radiacióntérmica, 494 23.3La intensidad de la radiación,497 16 Contenido 23.4 Ley de Planck de la radiación, 498 23.5 Ley de Stefan-Boltzmann, 500 23.6 Emitancia y absorbencia de las superficies sólidas, 502 23.7 Transferencia de calor radiante entre cuerpos negros, 508 23.8 Intercambio de energía radiante en cavidades negras cerradas, 513 23.9 Intercambio de energía radiante habiendo superficies rerradiantes presentes,516 23.10 Transferencia de energía radiante entre superficies grises, 517 23.1 1 Radiación de los gases, 521 " '-\ 23.12 El coeficiente de transferencia de calor radiante, 525..' 23.13 Conclusión, 526 Capítulo 24 FUNDAMENTOS DE L A TRANSFERENCIA DE MASA 533 24.1 Transferencia de masa molecular, 534 "h4.2 El coeficiente de difusión, 546 24.3 Transferencia convectiva de masa, 562 24.4 Conclusión, 563 Cap ítulo 25 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA MASA TRANSFERENCIA DE 571 25.1 La ecuación diferencial de transferencia de masa, 571 25.2 Formas especiales de la ecuación diferencial de transferencia de masa, 575 25.3 Condiciones de frontera encontradas usualmente, 578 25.4 Conclusión, 581 Capítulo 26 DlFUSlON MOLECULAR EN ESTADO PERMANENTE 587 26.1 Transferencia unidimensional de masa, independiente de reacciones químicas, 588 26.2 Sistemas unidimensionales asociados con la reacción química, 601 26.3 Sistemas bidimensionales y tridimensionales, 610 26.4 Transferencia simultánea de momento, calor y masa, 617 26.5 Conclusión, 627 Ca ítulo 27 DlFUSlON MOLECULAR EN ESTADONO "+e PERMANENTE 639 27.1 Soluciones anal íticas, 640 27.2 Tablas de tiempos de concentración correspondientes a algunas formas geométricas simples, 644 27.3 Solución gráfica correspondiente al flujo unidireccional transitorio de masa: la gráfica modificada de Schmidt, 647 27.4 Conclusión, 651  Contenido 17 4 Capítulo28 TRANSFERENCIA CONVECTIVA MASA DE 657 28.1 Consideraciones fundamentales acerca de la transferencia convectiva de masa, 657 28.2 Parámetros importantes en la transferencia convectiva de masa, 659 28.3 Análisis dimensional de la transferencia convectiva de masa, 661 28.4 Análisis exacto de la concentración laminar de la capa I ímite, 664 28.5 Análisis aproximado de la capa I ímite de concentración, 672 28.6 Analogías de transferencia de masal, energía y momento, 675 28.7 Modelos de coeficientes de transferencia de masa,684 28.8 Conclusión, 687 Capítulo29 TRANSFERENCIADEMASA ENi UNA , & INTERFASE 697 29.1 Equilibrio, 697 29.2Teoría delas dosresistencias, 701 29.3 Conclusión, 709 CORRELACIONES DE TRANSFERENCIA MASA DE CONVECTIVA 717 30.1 Transferencia de masa a placas, cilindros y esferas, 717 30.2 Transferencia de masa para flujo turbulento a través de tubos, 727 30.3 Transferencia de masa en columnas de pared mojada, 727 30.4 Transferencia de masa en camas empacadas y fluidificadas, 730 30.5 Transferencia de masa con reacción química, 731 30.6 Coeficientes de capacidad para torres industriales, 732 30.7 Conclusión, 733 Cap ítu lo 3 1 EQUIPOTRANSFERENCIA DE MASA DE 739 31.1 Tipos de equipos de transferencia (le masa,740 31.2 Tanques o estanques de transferencia de masa intermitentes,743 31.3 Balance de masas correspondiente a torres de contacto continuo: ecuaciones de la línea de operación, 746 31.4 Balances de entalpia correspondierltes a las torres de contacto coqtinuo, 757 31.5 Coeficientes de capacidad de transferencia de masa, 758 31.6 Análisis de equipo de contacto conltinuo,760 31.7 Cortclusión, 771 18 Contenido NOMENCLATURA 783 APENDICES A Transformaciones de los operadores V y V z a coordenadas cilíndricas, 791 B Sumario de operaciones diferenciales vectoriales en diversos sistemas de coordenadas, 795 C Simetría del tensor de esfuerzo, 799 D La contribución viscosa al esfuerzo normal, 801 E Las ecuaciones de Navier-Stokes correspondientes a p y p constantes en coordenadas cartesianas cilíndricas y esféricas, 803 F Tablas para la solución de problemas de transferencia en estado no permanente, 805 G Propiedades de la atmósfera estándar, 819 H Propiedades físicas de los sólidos, 823 I Propiedades físicas de gases y I íquidos, 827 J Coeficientes de transferencia de masa por difusión en sistemas binarios, 855 K Constantes de Lennard-Jones, 859 L L a función error, 863 M Tamaños estándar de tubería, 865 N Medidas estándar de tubería, 867 RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS 869 INDICE 879 Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa  CONCEPTOS Y DEFINICIONES La transferencia de momento en un fluida incluye el estudio del movi- miento de los fluidos asi como delas fuerzas que producen dicho movimiento. A partir de la segunda ley de Newton del movimiento, se sabe que la fuerza se relaciona directamente con la rapidez de cambio del momento de un siste- ma. Excluyendo alas fuerzas de acción a distancia, tales comola gravedad, se puede demostrar que las que actúan sobre un fluido, como la presión y el es- fuerzo cortante, son el resultado de una transferencia microscópica (molecular) de momento. Así pues, al tema que estamos estudiando, al que históricamente se le ha llamado mecánica de fluidos,se le puede denominar también transfe- rencia de momento. La historia de la mecánica de fluidos nos muestra la hábil combinación del trabajo analítico realizado en hidrodinámica en los siglos XIX y XX, y el conocimiento empírico acerca de la hidráulica (que el hombre ha acumulado a lo largo deltiempo. Launión de estas disciplinas desarrolladas separadamente fue realizada por primeravez por Ludwig Prandtl.en 1904, con su teoría dela capa límite, que fueverificada por medio de la experimentacih. La mecánica de fluidos o moderna transferencia de momento es tanto analítica, como ex- perimental. Cada área de estudio tiene su fraseología y su nomenclatura propias. Ya que la transferencia de momento es típica, introduciremos las definiciones y conceptos básicos para tener una base de comunicación. 1.1 F L U I D O S - Y E L CONTINUO - i Un fluido se definecomounasubstanciaque se deformacontinuamente ";bajo la acción de un esfuerzo cortante. Una consecuencia importante de esta definición es que cuando un fluido se encuentra. en reposo, no pueden existir 21 22 Conceptos y definiciones esfuerzos cortantes. ‘lanto los líquidos como los gases son fluidos. Algunas substancias, como el vidrio, se clasifican técnicamente como fluidos. Sin em- bargo, la rapidez con la que se deforma el vidrio a temperaturas normales es tan pequeña que no es práctico considerarlo como fluido. Concepto de Continuo. 1,os fluidos, a l igual que el resto de la materia, estin formados por moléculas, cuya cantidad supera a la imaginaciOn. En una pul- gada cúbica de aire a temperatura arnbimte, hay apro>timadamente 102 o mo- léculas. Para poder predecir el movimiento individual de tales moli-culas se necesitaría una teoría extremadamente complicada, que estaría ~ n i salli de nuestra capacidad actual. Y a que tanto la teoría cinética de l o s gases como la mecánica estadística estudian el movimiento dc las moléculas, este estudio se realiza en términos de grupos estadísticos y no de moléculas individuales. En ingeniería, la mayor parte del traba,¡(>se rclacionacon el compor- tamiento por lotes o rnacroscbpico y no con el molecular o microscópico. En muchos casos, es conveniente imaginar un fluido como una distribucih continua de materia,o un continuo. llestle luego,en algunos casos no es vilido utilizar dicho concepto. Consideremos, por ejemplo, el número de moltculas que hay en un pequeño volumen de gas en reposo. Si el volumen se toma su- ficientemente pequeño,el número de moléculas por unidad de volumen depen- derá del tiempo para el volumen macroscilpico aunque este Último contenga un número constante demoléculas. El concepto de continuosblo sería vilido en el último caso. Así pues, se ve que la validez de este concepto depende del tipo de información que desee obtenerse y no de la naturaleza del fluido. 1% válido tratar a los fluidos como continuos siempre que el menor volumen de fluido del cual nos ocupemos contenga un número suficiente de moléculas para que tenga sentidohacer promedios estadísticos. Se considera que las pro- piedades macroscbpicas de un continuo varían continuamente de uno a otro punto del fluido. Procederemos ahora definira estas propiedadesen un punto. 1.2 P R O P I E D A D E S E N U N P U N T O Cuando un fluido se encuentra en movimiento variarán las cantidades que se asocian con el estado y con el movimiento de dicho fluido, de unpunto a otro. A continuación daremos la definición de algunas variables de los flui- dos en un punto. Densidad en un Punto. La densidad de un fluido se define como lamasa por unidad de volumen. Bajo condiciones de flujo, particularmente en los gases. la densidad puede variar considerablementeen todo el fluido. Se define la densidad, p , como:  Propiedadesen un punto 23 donde Am es la masa contenida en un volumen AV, y SV es el volumen mí- nimo, para el cual tienen sentido los promedios estadísticos que circunda al punto. El límite se muestra en la figura 1.1. El concepto de densidad en un punto matemático, esto es, en A V = O ob- viamente es ficticio. Sin embargo, tomar p = limAv+,,(Arn/AV) es muy útil ya que nos permite describir el flujo de un fluido en términos de funciones continuas. En general, la densidad puedevariar de uno a otro puntodel fluido así como con respecto al tiempo, como en un neumático perforado de auto- móvil. AV Figura 1.1 Densidad en un punto Propiedades de los Fluidos y del Flujo. Algunos rluidos, especialmentel o s lí- quidos, poseen densidades que permanecen constantes dentro de un amplio rango de temperatura y presibn. Los fluidos que tienen esta cualidad usual- mente se tratan como fluidos incomprensibles; sin embargo los efectos de la compresibilidad son una propiedad de la situación más que del fluido. Por ejemplo, el flujo de aire a bajas velocidades se describe exactamente mediante las mismas ecuaciones que describenel flujo del agua. Desde un punto devista estático, el aire es un fluido compresible y el agua es un fluido incompresible. En lugar de clasificarlos de acuerdo con el fluido, los efectos de la compresi- bilidad se consideran como una propiedad del flujo. A menudo se hace una distinciGn sutil entre las propiedades del fluido y las del flujo, y el estudiante debe estar consciente del a importancia de este concepto. Esfuerzo en un Punto. Consideremos la fuerza AF , la cual actha sobrc un elemento AA delcuerpo que se observa en la figura 1.2. La fuerza AF se des- compone en sus componentes normal y paralela a la superficie del elemento. 9. ,..I 24 Conceptos y definiciones Figura 1.2 Fuerza ejercida sobre un elemento de fluido La fuerza por unidad de área o esfuerzo en un punto, se define como el lí- mite de hF/AA cuando AA -+ 6A, donde 6A es el área mínima para la cual tienen sentido los promedios estadísticos: Aquí o;, se llama esfuerzo normal ~ i esfuerzo , cortante. En este texto se utilizará la notación de subíndice doble como en la mecánica de sólidos. El estudiante recordará que el esfuerzo normal es positivo en la tensi6n. El pro- ceso límite para el esfuerzo normal aparece en l a figura 1.3. AA Figura 1.3 Esfuerzo normal en un punto Las fuerzas que se ejercensobreunfluidopuedenclasificarseendos el cuerpo y fuerzas superficiales. Las primeras grupos: fuerzas que actúan sobre  Propiedades en un punto 25 son las ejercidas sin contacto físico; por ejemplo,gravedad la y las fuerzas elec- trostáticas. Por el contrario, la presión y las fuerzias de fricción requieren del contacto físico para su transmisión. Ya que se requiere de una superficie para la acción de estas fuerzas, se llaman fuerzas superficiales. Por lo tanto, el es- fuerzo es una fuerza superficial por unidad de área.* Presión en un Punto en un Fluido Estático. Para un fluido estático, puede de- terminarse el esfuerzo normal en un punto a partir dela aplicación delas leyes de Newton a un elemento del fluido haciendo que este elemento tienda a cero. Debe recordarse que n o puede existir esfuerzo cortante en uTfluido estático. Por esto, las únicas fuerzas superficiales presentes serán las debidas a esfuerzos normales. Analícese el elemento de la figura 1.4. Mientras este elemento per- manece en reposo, la gravedad y los esfuerzos nclrmales actúan sobre él. El peso de un elemento de fluidoes pg(Ax Ay Az/2). Para un cuerpo en reposo,CF = 0.En la dirección de x, AFx - AF, sin 6 = O A;;; Figura 1.4 Elemento de un fluido 1:stático Ya que sen O = Ay/As, la ecuación anterior se convierte en: AFx AY-AF,-=O As Dividiendo toda la ecuación por A y A z y tornando el límite cuando el volumen del elemento tiende a cero,se obtiene: *Matemáticamente, el esfuerzo está clasificado como tensor de segundo orden, ya que requiere magni- tud, dirección y orientación con respecto a un plano para quedar perfectamente determinado. -.--.-,,.. "..... ".. 26 Conceptos y definiciones Recordando que el esfuerzo normal es positivo en la tensión, evaluando la ecuación anterior, se obtiene: o;,= u s , (1-1) En la dirección dey , al aplicar1 F = O queda: Ax Ay AZ AFy - AFs COS 0 - pg 2 = o Como el cos e = AxjAs , se tiene: Ax Ax Ay Az AFy - AF,- - pg As 2 =o Dividiendo toda la ecuación por AxAZ y tomando el mismo límite que to- mamos anteriormente, se obtiene: lo cual se reduce a: -uyy+a,,- q o ) =o 2 O uyy =ass Se notará que el ángulo 8 no aparece en la ecuación ( 1-11ni en la ( I - Z ) ,. I por esto el esfuerzo normal en un punto de un fluido estático es independiente de la dirección y , por lo tanto, es una cantidad escalar. Como el elemento se encuentra en reposo, las únicas fuerzas superficiales que actúan son las debidas al esfuerzo normal. Si se fuera a medir l a fuerza por unidad de área que estuviera actuando sobre un elemento sumergido, se observaría que, o actuaría hacia adentro, o colocaría al elemento en compre- sión. L a cantidad que se mediría sería, desde luego, la presibn, la cual debido ’al desarrollo anterior, debe ser el negativo del esfuerzonormal. Esta importante simplificación, la reducción del esfuerzo que es un tensor, a l a presión que es un escalar, también puede observarse parael caso en que el esfuerzo constante es nulo en un fluido en movimiento. Cuando se encuentran presentes los es- fuerzos cortantes, las componentes del esfuerzo normal en un punto pueden no ser iguales, sin embargo, la presión sigue siendo igual al esfuerzo normal promedio. Esto es: P = -$(uxx+ U ’ y y + u z z )  Variación de las \propiedadesde un fluido 27 con muy pocas excepciones, una de ellas, el flujo en las ondas de choque. Ahora se han estudiado algunas de las propiedades que existen en un punto, investiguemos la forma en que varían las propiedades de un fluido de un punto a otro. 1.3 V A R I A C I O N D E L A S P R O P I E D A D E S D E U N F L U I D O DE UN PUNTO A OTRO En el enfoque del continuo a la transferencia de momento, se usarán campos de presión, temperatura, densidad, velocidad y esfuerzo. Ya en estu- dios previos se ha introducidoel concepto de campogravitacional. L a gravedad es desde luego un vector, y por lo tanto el campo gravitacional es un campo vectorial. En este libro se escribirán los vectores en letras negritas. Todos los días se publican en los diarios de este país, mapas 'que describen las variacio- nes de presión. Ya que la presión es una cantidad escalar, dichos mapas re- presentan un campo escalar. Los escalares se encontrarán en tipo normal en este libro. En la figura 1.5, las líneas trazadas representan el lugar geométrico de los puntos con igual presión. Desde luego, la presikln varía continuamente en toda la región y podemos observar sus niveles y deducir la forma en que varía la presión, examinando uno de estos mapas. La descripción de la variación de la presión d,e un punto a otro es inte- resante especialmente en la transferencia de momento. Llamado x e y a las direccioneseste y norte de la figura 1.5, respectivamente, podemos repre- sentar la presión en toda la región por medio de la función general P ( x , y ). Figura 1.5 Mapa climatológico, ejemplo de un campo escalar 28 Conceptos y definiciones El cambio en P entre dos puntos cualesquiera dentro de la regibn (que se escribe dP),separados por las distancias dx y d y , está dado por la diferen- cial total: En la ecuación (1-3), las derivadas parciales representan l a forma en la que cambia P a lo largo de los ejes x e y , respectivamente. A lo largo de la trayectoria arbitrariasen el plano xy,la derivada total es: dP " aPdx aPdy ""+- - ds ax ds ay ds En la ecuaciim (1-4), el término dp/ds es l a derivada direccional y su relacihn funcional describel a rapidez de cambio deP en la dirección s. En la figura 1.6 se ha representado una pequeña porción del campo de presión. Puede observarse la trayectoria arbitrariaS y fácilmente se ve que los términos: d x / d s y X Figura 1.6 'Trayectoria S en el plano xy dy/ds son el coseno y el seno del ángulo de trayectoria, 01, con respecto al eje x. La derivada direccional, por lo tanto, puedeescribirse: aP dP aP -=-cos CY +-sena (1-5) ds ax Existe un número infinito de trayectorias que pueden escogerse en el plano xy. Sin embargo, hay dos trayectorias que son de especial interés: aquella para l a cual dP/ds es igual a cero y aquella para l a que dP/ds es un miximo. Es muy fácil de encontrar l a trayectoria para la cual la derivada direc- cinal es igual a cero. Haciendo dplds igual a cero, se tiene:  Variación de las lpropiedades de un fluido 29 o, ya que tan 01 = d y / d x , tenemos A lo largo de l a trayectoria cuya pendiente está definida enla ecuación (1-6), tenemos dP = O , y por lo tanto P es constante. Las trayectorias a lo largo de las cuales una cantidad escalar es constante se llaman isolineas. Para encontrar la dirección para la que dP/ds e s un máximo, la derivada (dl&) (dP/ds) debe ser igual a cero, o sea: d dP aP aP "" - sena-+cos (Y- =O d a ds ax ay O tan al - ". (4-7) d P / d s es máx dP/dx Comparando las relaciones (1-6) y (1-7) se puede observar que las dos direcciones definidas por estas ecuaciones son perpendiculares. La magnitud de la derivada direccional, cuando es mrixima, es: donde cos 01 y sen 01 se evalúan a lo largo de la trayectoria representada por l a ecuación (1-7). Ya que el coseno se relaciona con la tangente por medio de: 1 cos a = JíTGz se tiene: Calculando sen 01 en forma semejante, se obtiene:..._" , 30 Conceptos y definiciones Las ecuaciones (1-7) y (1-8) sugieren que la mixima derivada directional es un vector de la forma: dP -e, ax +-aPey ay donde ex y ey son vectores unitarios en las direcciones x e y , respectivamente. L a derivada direccional a lo largo de la trayectoria de máximo valor se encuentra con frecuencia el enanálisis de los procesos de transferencia yse le da el nombre de gradiente. Así, el gradiente de P, o sea, grad P,es: aP ap grad P=--,+-ee, ax ay donde P = P (x, y). Este concepto se puede extender para incluir casos en los que P = P (x,y, z ). En este caso más general, ap ap ap gradP=-e,+-ee,+-ee, ax ay az La ecuaci6n (1-9) puede escribirse de manera más compacta por medio del operador (llamado nabla), en l a forma siguiente: ap aP a~ VP=-ee,+-ey+-ee, ax ay az donde: a a a V=-e,+-ey+-ee, (1-10) ax ay az L a ecuación (1-10) es l a relación que define al operador en coordenadas cartesianas. Este símbolo indica que se va a realizar una diferenciación en una forma prescrita. En otros sistemas de coordenadas, tales como el de coorde- nadas cilíndricas o el de esféricas, el gradiente adopta una forma diferente.* Sin embargo, el significado geométrico del gradiente permanece idéntico, es un vector cuyas dirección y magnitud son las de l a máxima rapidez de cambio de la variable dependiente con respecto a l a distancia. 1.4 U N I D A D E S Además del sistema internacional estgndar de unidades hay dos diferen- tes sistemas ingleses de unidades que se utilizan comúnmente en ingeniería. Estos sistemas tienen su origen en la segunda ley de Newton del movimiento: *Las formas del operador gradienteensistemasde coordenadas rectangulares,cilíndricas y esféricas, aparecen en el Apéndice B.  Unidades 31 L a fuerza es igual a la rapidez de cambio del momento con respecto al tiempo. Al definir cada uno de los términos de esta leyse ha establecido una relación directa entre las cuatro cantidades físicas básicas usadasen mecánica, que son: la fuerza, la masa, la longitud y el tiempo. I\ causa de esta seleccicin arbitraria de dimensiones fundamentales, se hanoriginadoalgunasconfusionesen el uso de los sistemas ingleses de unidades. La adopcibn del sistema de unidades SI como norma en todo el mundo servirá para superar estas dificultades. La relación entre fuerza ymasa se puede expresar por medio del siguiente enunciado de la segunda ley de Newton del movimiento: donde g, es un factor de conversibn que se incluyó para hacer la ecuación consistente en cuanto a dimensiones. En el sistema SI, la masa, la longitud y el tiempo, se toman como unida- des básicas. Las unidades básicas son: la masa en kilogramos (kg), la longitud en metros (m) yel tiempo en segundos (seg). L a unidad correspondiente para la fuerza es el newton (N). Un newton es la fuerza quese necesita para acelerar una masa de un kilogramo con la rapidez deun metro por segundo por segundo ( lm/seg’ ). E1 factor de conversión,g,, es entonces, igual a un kilogramo metro por newton por segundo por segundo( 1 kg. m/n’ seg2 ). En la práctica ingenieril, la fuerza, la longitud y el tiempo se escogen írecuentemente como unidades fundamentales. Usando este sistema, la fuerza se expresa en libras fuerza (lbf),la longitud en pies (ít) y el tiempo en segun- dos. La unidad correspondiente para la masa será aquella que sea acelerada con la rapidez de 1 ft/(seg)’ por 1 lb,. Estaunidadde masacuyasdimensionesson(lb,) (seg)2/(ft)se llama slug. Entonces el factor de conversibn g, es un factor de multiplicación para convertir slugs en (lb,) (seg)2/(Et),y su valor es 1 (slug) (ft)/(lb,)(seg)2. ‘También se encuentra un tercer sistema en la práctica ingenieril, que in- cluye las cuatro unidades fundamentales. L a unidad de fuerza es 1 lb,, la de masa 1 lb,, la longitud yel tiempo están dadas en unidades pies de y segundos, respectivamente. Cuando 1 lb, al nivel del mar se deja caer bajo la influencia de la gravedad, su aceleracihn será de 32.1 74 (ft)/(s:eg)’. La fuerza que la gra- vedad ejerce sobre 1 lb,al nivel del mar se define como 1 lb,. Por lo tanto, el factor de conversibng,, para este sistema, es 32.1 7 4 (lb, )(ft)/(lb,)(seg)2.* En la Tabla 1.1 se proporciona un sumario de.los valores de gc para estos tres sistemas ingleses de unidades ingenieriles, junto con las unidades de lon- gitud, tiempo, fuerza ymasa. *En cálculos subsecuentes comprendidos en este libro,& será redondeado al valor de 32.2 lb, ftlsegzlbf. 32 Conceptos y definiciones Ya que los tres sistemas son de uso común en la literatura técnica, el estudiante debe ser capaz de utilizar las fórmulas en cualquier situación par- ticular. En todos los cálculos se requiere de una verificación cuidadosa de la consistencia en cuanto a las dimensiones. El factor de conversión g,, relacio- nará correctamente las unidades que correspondan a un sistema. Los autores no tratarán de incorporar el factor de conversiónen ninguna delas ecuaciones; en cambio, se deja al lector la responsabilidad de utilizar unidades que sean consistentes con todos los términos de la e c u a c i h. TABLA 1. 1 Sistema Longitud Tiempo I>uerza Masa & 1 Metro Newton Segundo Kilogramo I- k g. m N. 'S 2 Pie Segundo lb f Slug 32.174 (Ib,)(ft) 3 Pie lb, Segundo lbf (Ib,)(s)* PROBLEMAS 1.1 El número de moléculas que atraviesa una unidad de área por unidad de tiempo en una direccibn está dado por: N='I nv- donde n es el número de moléculas por unidad de volumen y 77 la velo- cidad molecular promedio. Como la velocidad molecular es aproximada- mente igual a la velociad del sonido en ungas perfecto, calcule el número de moléculas que atraviesaun hoyo circular dein. de diámetro. Su- póngase que el gas se encuentra en condiciones estándar. En condiciones estándar hay 4 X 1 O2' moléculas por in3. 1.2 Encuentre el gradiente de l a presiim en el punto (a, b ) , cuando el campo de presiones está dado por: donde val, a y b son constantes. 1.3 Fhcuentre el gradiente de temperatura en el punto (a, 6 ) en el tiempo t = (4L2/a)ln e cuando el campo de temperaturas está dado por  Problemas 33 T = T,,e-w1/4I.J sen - 'Y x cosh : - a li donde To,a, d y b son constantes. 1.4 ¿Son dimensionalmente homogéneos los catmpos descritos en los pro- blemas 1.2 y 1.3? ;Cuáles deben ser las unidades de p,, para que la presión esté dada en libras por pie cuadrado cuando urnesté dado en pies por segundo (pro- blema 1.2)? 1.5 ¿Guiles de las cantidades enumeradas a continuación son propiedades de flujo y cuiiles son propiedades de fluido? presión temperatura velocidad velocidad esfuerzo densidad calor específico gradiente de presih 1.6 Demuestre que los vectores unitarios e, y e, en un sistema de coorde- nadas cilíndricas están relacionados con los; vectores unitarios e, y ey por medio de: e, = e, cos 8 + e , sen I3 e, = -e, s e n @ + e ,COS 8 1.7 Usando los resultados del problema 1.6, dernuestre que d e , / & ) = e o y d e ,/de = -er. 1.8 Usando las relaciones geométricas que aparecena continuación y la regla de la cadena para l a diferenciación, demuestrce que: a -=-- sen8 a -+cos 6- a ax r a8 ar Y a - cos 8 a a " ay - r -+ 30 seno- ar 1.9 Transforme el operador V a coordenadas cilíndricas (r, 8, z ) usando los resultados de los problemas 1.6 y 1.8. 1.10 Para un fluido cuya densidad es p y en el cual se encuentran uniforme- mente dispersadas algunaspartículas sólidas cuya densidad es p,, demues- 34 Conceptos y definiciones tre que si x es la fraccihn de masa de s6lido en l a mezcla, l a densidad e s t i dada por: 1. I 1 En campo escalar está dado por la funcibn 4 = 3 x 2 y + 4 y 2. (a) Encuentre V4 en el punto (3,j). (b) Encuentre la componente de V + que forme un ángulo de -60" con el eje x sobre el e.je x. 1.1 2 Si el fluido del problema 1.lo, cuya densidad es p, obedece la ley de los gases perfectos, obtenga l a ecuación de estado de la mezcla, o sea P = ~ ( P(,R~T, I M ) ,pmrx). ;Será vAlido este resultado si se encuentra pre- sente un líquido en lugar de un sólido? 1.13 Usando l a expresión para el gradiente en coordenadas polares, (Apéndice A ) , encuéntrese el gradiente de +(r, 0 ) cuando LDÓnde es máximo el gradiente? Los términos A y a son constantes.  2 ESTATICA DE FLUIIDOS Ya en el Capítulo 1 se vio la definición de 'una variable de fluido en un punto. En este capítulo se estudiará la variación de una variable particular, la presión, de un punto a otro, de un fluido en reposo. Con frecuencia, en un fluido estacionario que se encuentre sobre la su- perficie terrestre, se hallará una situación estática. Aunque la Tierra tiene mo- vimiento propio, es correcto, dentro de los límites normales de la exactitud, despreciar la aceleración absoluta del sistema de coordenadas que, en esta si- tuación, permanece fijo con respecto a la Tierra. Un sistema de coordenadas como éste se denomina sistema inercial de referencia. Si por el contrario, el fluido es estacionario con respecto a un sistema de coordenadas que posea una aceleración se llama no inercial. Un ejemplo de este último seríael fluido con- tenido en un carro tanque de ferrocarril alviajar a. lo largo de una parte curva de la vía. La aplicación de la segunda l e y de Newton del movimiento a una masa fluida fija, se reduce a la expresión que establece: que la suma de las fuerzas externas es igual al producto de la masa y la aceleración. En el caso de un sis- x tema inercial, desde luego se tendría la relación: F = O; en tanto que la re- x lación más general, F = ma debe usarse para el caso n o inercial. 2.1 V A R l A C l O R l D E P R E S I O N E N U N FLUIDO1 E S T A T I C O A partir de la definición de fluido, se sabe que no se puede existir nin- gún esfuerzo cortante en un fluido en reposo. Esto significa que las únicas fuerzas que actúan sobre el fluido son las debidas :2la gravedad y a la presión. Como la suma de las fuerzas debe ser igual a cero en todo el fluido, se puede satisfacer la ley de Newton aplicándola a un cuerpo arbitrario libre, de fluido 35 36 Estática de fluidos de tamaiio diferencial. E1 cuerpo libre que se seleccioni) aparece en la ligura 2- 1 J. es el elemento de fluido Ax Ay Az que tiene uno de sus vbrtices en el punto xyz. I.:l sistema x ~ es~ inercial. z Figura 2.1 luerzas de presi6n sobre un elemento estático fluido Las presiones que actúan sobre las di\.ersas caras del elemento están nu- meraclas tlel l al 6. Para encontrar la suma de l a s I'uerzas que actúan sobre el elemento, se debe primero evaluar la presihn sobre cada una de las caras. Designaremos a la presihn de acuerdo con la cara tlel elemento sobre la cualactúa. Por ejempIo,P, =PI,P2 = J. así sucesinmente. Calculando las fuerzas que actúan sobre cada una de las caras, ademis de la fuerza debida a la gravedad que actúa sobre el elemento p g Ax Ay Az, se 1.w; que la suma de las fuerzas es: Si se divide entre el volumen del elemento AX Ay Az, se observa que a l ecuacicin anterior se convierte en: donde se ha invertido el orden de los términos que indican presibn. A l tender ;I cero el tamaño del elemento, A, , A,, y 4 tambidn tienden a cero J. el clc- mento tiende al punto (x,y , 2 ). 1.h el límite:  Variación de presión en un fluido estático 37 aP aP aP pg=-e,+-e, +-e, (2-1) ax ay a2 Al recordar la forma del gradiente, se puede escribir la ecuacibn (2-1) en la forma: pg=VP (2-2) La ecuación (2-2)es la ecuación básica de la estática de fluidosy establece que la máxima rapidez de cambio de la presibn ocurre en la direccibn del vec- tor p v i t a c i b n. Además, ya quelas isolíneas son perpendicularesal gradiente, las líneas de presi6n constante son perpendiculares al vector gravitacibn. L a variación de presibn de un punto a o t r o se puede obtener integrando la ecua- cibn (2-2). EJEMPLO 1 I:.l manómetro, instrumento que se utiliza para medir la presión, puede analizarse a partir del estudio previo. C1 tipo de manómetro más sencillo es el de tubo U , que aparece en la figura 2-2. Fluidocontenido en el tanque -pT Fluido del rnanómetro -p, Figura 2.2 Un manómetro de tubo U. Se va a medir la presión del tanque en el puntoA. 1-1 fluido del tanque llega al manómetro hasta el punto R. Si escogemos el eje 1' en la dirección marcada en la figura, observamos que la ecuación ( 2 - 2 ) se convierte en: dP -ey = -pge, dY Si se integra en el fluido del manómetro entre los puntos C y n,se obtendrá -.".I.,.... 1..... , I.. 38 Estática de fluidos Y después integrando entre los puntos H y A que se encuentran en el tanque de fluido, re- sultará: Ya que el principio de Pascal establece que la presión en un mismo fluido en reposo es la misma en todos los puntos quetenga la misma elevación, podemos combinar la ecua- ción anterior para obtener: El manómetro de tubo U mide la diferencia que existe entrelas presiones absolutay atmos- férica. Esta diferencia se denomina presibn rnanométrica y con frecuencia se utiliza en la medición de presiones. EJEMPLO 2 En la estática de fluidos de los gases se necesita una relación entre la presión y la densidad para integrar la ecuación ( 2 - 2 ). El caso más sencillo es el del g a s perfecto isotér- mico,donde P= p RT/M. Aquí, R es la constante universal de los gases,M el peso molecular del gas y T la temperatura, que en este caso es constante. Escogiendo el eje y paralelo a g, se observará que la ecuación (2-2) se transforma en: Si se separanlas variables, se observará que la ecuación diferencial anterior queda: Al integrar entre y = O (donde P = patm)e y = y (donde la presión es P ) ,se obtiene O En los ejemplos anteriores aparecieron en los resultados la presión at- mosférica y un modelo de variación de la presión con la elevacibn. Ya que el desempeño de los aviones, cohetes y diversos tipos de maquinaria industrial varía con la presibn, la temperatura y la densidad ambientales,se ha fijado una atmósfera estándar para poder evaluar correctamente dicho desempeño. Al nivel del mar las condiciones atmosféricas estándar son:  Acelleración rectílineauniforme 39 P = 29.92 in. Hg= 21 16.2 Ibf/ft2= 14.696 1bf/in.*= 101 325N/mZ T=519"R=59"F=288K p = 0.07651 lb,/ft3 = 0.002378 slug/ft3= 1.;!26 kg/m3 En el Apéndice G* aparece una tabla de 1a.s propiedades atmosféricas estándar en función de la altitud. 2.2 A C E L E R A C I O N R E C T l L l N E A U N I F O R M E En el caso en el queelsistemadecoordenadasqueapareceen la figura 2.1 no sea inercial, l a ecuación (2-2) no será válida. En el caso de la ace- leración rectilínea uniforme; sin embargo, el fluido se encontrará en reposo con respecto al sistema acelerado de coordenadas.. Si se tiene una aceleración cocstante se podrá aplicar el mismo análisis que en el caso del sistema inercial decoordenada,exceptoporque C F = m a = p n x n y n z a , como la estipula la segunda le!. de Newton del movimiento. El resultado será: V P = p(g-a) (2-3) La máxima rapidez de cambio de la presión se encuentra ahora en l a di- reccii~n$-a y las líncas de presi6n constante son perpcndiculares a g-a. La variacihn de la presión de un punto a otro se obtiene integrando la ecuación (2-3). EJEhlPLO 3 En la figura ( 2 - 3 ) apareceuntanqueconcombustible. Si se aplicaaltanque una aceleración constante hacia la derecha 2Cuál será la presión en el punto B? De la ecuación (2-3) se deduce que el gradiente de la presión está en la dirección g-a por lo tanto la su- perficie del fluido será perpendicular a esta dirección. Ventila I Figura 2.3 Tanque de combustible en reposo *Estas condiciones estándar de desempeño al niveldel mar no deben confundirse con las condiciones estándarde la ley de losgases, de: P=29.92 in; Hg= 14.696 lb/in* =lo1 325 P a ; T = 4 9 2 " R = 3 Z 0 F = 273Ok. 40 Estática de fluidos 1;scogiendo el eje , I ' de tal manera que quede paralelo a g- a se observa que la ecuacicin (2-3) se puede integrar entre el punto H y la superficie. E.l gradiente de la presión se con- vierte en d p / d y e y, seleccionando el e,je y paralelo a g--a conlo puedeverse en l a figura 2.4. Así: dP -ey = -p lg-ale, =- p & G F e , dY L a integración entre los puntos = O e 1'= a', da: O PH-Pa,, = pJRz+a'(d) Figura 2.4 Tanque de combustible uniformemente acelerado La profundidad del fluido d , en el punto H , se determina a partir de la geometría del tan- que y del ángulo 6. 2.3 F U E R Z A S S O B R E L A S S U P E R F I C I E S S U-M E R G I D A S " La determinacihn de las fuerzas que actúan sobre las superficies sumer- gidas se realiza frecuentemente en estitica de fluidos. \-a que estas I'uerzas se deben a l a presión, se usarán las relaciones que describen la v-ariacibn d e al presión de un punto a otro y que se han desarrollado en secciones anteriores. la 2.5 está inclinada formando un ángulo L a superficie plana mostrada enfigura a con la superficie del fluido. El área del plano inclinado es A y l a densidad del fluido, p. I,a magnitud de la fuerza sobre el elemento d A es P,dA, donde 1% cs 1:1 presihn manométrica ; PC = -pgy = p g q sen O! , dando como resultado: dF = pgr) sin CY d A  Fuerzas sobre las superficiessumergidas 41 Figura 2.5 Superficie plana sumergida Si se integra sobre la superficie de la placa, se obtiene La ttefinicibn de centroide de Area es: Por esto,al fuerza debidaa la prcsi6n es igual aa l prcsihn cvaluacla cn el centroide del área sumergida, multiplicada por el área sumergida. 1 1 punto en el que actúa esta fuerza (centro de presiim) no es el centroide del Arca. Para encontrar el centro de presihn, deberá encontrarso el punto en cl que debe estar concentradala fuerza total e,jercida sobrea l placa para producir el m i s m o momento que la presibn disrribuitla, o sea: Substituyendo a l presihn, queda: FqC+ = /A pg sin CY q 2dA 42 Estática de fluidos 1 %p. =- 7) 2 dA=-Iaa (2-5) Af A 4 ' 77 El momento del área cerca de la superficie se puede trasladar de un eje aa lo- calizado en la superficie del fluido, a un eje bb que pase por el centroide, por medio de: 2 Zaa = Ibb i- fj A y así: 12l centro de presi6n se encuentra bajo el centroide a una distancia EJEMPLO 4 Se va a colocar una ventana circular de observación a 1.5 ft. bajo la superficie de un tanque tal como aparecen en la figura 2.6. Encuentre la magnitud y la localización de la fuerza que actúa sobre la ventana. Figura 2.6 Ventana sumergida La fuerza que actúa sobre la ventana es: F'= pg sen cy A7) donde : (Y =IT/? Y 7)= 1. S f t ; la fuerza es: (62.3 lb,/ft')(32.2 ft/s')(rr/4 ()'tf 1.S ft) F=pgAr)=- 32.2 Ib,ft/s2 lb, = 73.5 lb, (327 N)  Fuerzas sobre las superficies sumergidas 43 EJEMPLO 5 Se ha ido almacenando el agua de lluvia detrás del muro de concentración que apa- rece en la figura 2.7. Si la tierra saturada con agua (gravedad específica 2.2) actúa como fluido, determine la fuerza y el centro de presión en una por’ción de un metro ladepared. Figura 2.7 Muro de contención SOLUCION L a fuerza ejercida sobrela pared se obtiene integrando la presión. Tomando el origen en la parte superior de la pared, la fuerza de la presión es: de manera que: -1 F = [ ; Y P d l ) d Y = P H dY[ dl Y + 2. 2 l ; Y d Y ] F = ( 1 0 0 0 k g / m ’ ) ( Y. 8 0 7 m / s ’ ) ( l m)(17m2)= 166700N(374801bs) E1 centro de presión de la pared se obtiene tomando los momentos cercanos a la parte superior de la pared. ) ( I O 0 0 kg/m3)(Y.8O7 m/s’)(l m)(-47.2’7 m’)=-2.78 m(-C).12ft) = L 7 0 0 N Se puede encontrar la fuerza que actúa sobre una superficie curva surner- gida a partir del conocimiento que se tiene acerca de l a fuerza sobre una SU- períicie plana y de las leyes de la estlitica. Ilstudiemos la superficie curva BC, de la figura 2.8. 44 Estitica de fluidos Figura 2.8 Superficie curva sumergida I , a fuerza del líquido sobre la placa curva es el ncgati\-o de l a expresihn ante- rior, o sea: W + F,,. Por l o tanto, la I'uerza ejercida sobre una superficie curva sumergida pucde obtenerse ;I partir del peso s o b r e el \,olumt.n HCO y la fuerza e,jercida sobre una superficie planasulnergida. d F = ( P i- P2)d A e , -p,gh d A e,.  Flotación 45 1,a integraci0n sobre el volumen del cuerpo, suporliendo que las densidades son constantes, da como resultado: I;igura 2.9 I'uerzas que actílan en un volumen sumergido donde I.'c's el voluruen del cuerpo. l,a I'uerm result ante, I:, est& l'ormatla por d o s partes: el peso --p,gVe, y la l'uerza hoyante pgve,. l$ll cuerpo suíre la ac- cibn de una l'ucrza hacia arriba igual al peso del fluido cksplazado. liste es el conocido principio dc.Irquímcdcs. Cuando p >pB. la I'uerza resultante harh que el cuerpo Ilote en la superlicie. 1:,n el caso tie un cuerpo que est; Ilotando, la fuerza boyante es pgV,e,, donde 1.: es el volumen sumergido. Un cubo de 1 ft por ladose encuentra sumergido de t:xl manera que su cara superior está a 10 ft bajo la superficie libre del agua. Determínese la magnitud y dirección de la fuerza necesaria para mantener el cubo en esta posición, si dicho cubo está hecho de: (a) corcho ( p = 1 0 lb,,,/ft3) (b) acero ( p = 490 Ib,,/ft') Las fuerzas debidas a la presión se cancelan en todas las superficies laterales del cubo, pero las que actúan en las caras superior e inferior no se cancelan porque éstas se encuen- tran a diferentes profundidades. Sumando las fuerzas que actúan en dirección vertical,se obtiene: donde k , es la fuerza adicional requerida para rnantcner en posición al cubo. kixpresando cada una de las presiones en la forma Pa,, + pwgh,y W como p,gV, se ob- tiene, para el equilibrio de nuestras fuerzas, 46 Estática de fluidos -pcgv+p,g ( 1 1 ft)(l ft2)-pwg (lOft)(l ft2)+Fy =o Se ve que el primer término es una fuerza boyante igual al peso del agua desplazada. Finalmente, resolviendo la ecuación para Fy,se obtiene: (a) pc = 10 lb,/ft3 F = - (62.4 lb,/ft3)(32.2 ft/s2)(1 ft’)+(101b,,,ft3)(32.2 ft/s2)(1 ft’) 32.2 Ib,,,ft/szlb, 32.2 lb,,, ft/s2 lb, = -52.4 lb, (hacia abajo) (-233 N) (b) pc = 490 Ib,/ft3 = -(62.4 lb,/ft3)(32.2 ft/s2)(1 ft’) ft/s2)(1ft’) Y 3 2. 2 lb, ft/s2 lb, + (490 lb,,,/ft3)(32.2 32.2 lb, ft/s2 lb, = +427.6 lb, (hacia arriba) (1902 N) I-nel caso (a), la fuerza boyante fue mayor que elpesodel cubo, demanera que, para mantenerlo sumergido a 10 ft bajo la superficie, se requirió una fuerza hacia abajo mayor de 5 2 lb. En el segundo caso, el peso fue superior a la fuerza boyante y se necesitó una fuerza que actuara hacia arriba. 2.5 C O N C L U S I O N En esta capítulo hemos examinado el funcionamiento de la estática de fluidos. La aplicación de las leyes de Newton del movimiento llevó a la des- cripción de la variación de presihn en un fluido, de un punto a otro, a partir de la cual se obtuvieron relaciones de fuerza. Se han estudiado aplicaciones específicas, incluyendo los manhmetros, las fuerzas en un plano, las super- ficies curvas sumergidas y la flotación de los objetos susceptibles de flotar. Los análisis estáticos que se han realizado se verán después como casos especiales de relaciones más generales que rigen el comportamiento de los fluidos. Nuestra pr6xima tarea será examinarel comportamiento delos fluidos en movimiento y describir el efecto de dicho movimiento. Se necesitarán otras leves fundamentales además de las de Xewton para este análisis. PROBLEMAS 2.1 ?,Cud sería la altura de l a atmOsfe1-a si fuera incompresible? Utilice con- diciones estándar para determinarla densidad del aire. 2.2 El módulo global, p, de una substancia, está dado por p = dP/(dp/p). Calcule 0 correspondiente a un gas perfecto.  Problemas 47 2.3 En el agua, el módulo 0,definido en el problema 2.2 es casi constante y tiene un valor de 300,000 psi. Determine el porcentaje de cambio devo- lumen en elagua debido a una presión de 2000psi. 2.4 Encuentre la presión enel punto A Mercurio ' 2.5 El carro que aparece en la figura está uniformemente acelerado hacia la derecha. 2Hacia dónde se moverá el globo con relación al carro? Agua 2.6 El tanque está uniformemente acelerado hacia arriba. 2Subirá o bajará el nivel del manómetro? 2.7 Se van a instalar en un acuario ventanas de vidrio para poder observar los peces. Cada ventana será de 0.6 m de diámetro y estará centrada a 2m por debajo del nivel del agua. Encuentre la fuerza que actúa sobre la ven- tana y diga en qué lugar actúa. 2.8 Cierto día la presión barométrica al nivel del mar es de 30.1 in de Hg. y la temperatura es de 70" F. El manómetro de un aviGn en vuelo indica 48 Estática de fluidos que hay una presibn de 10.6 psia y la lectura tiel term0metro e s -1.6" I. Calcule, l o mis exactamente posible, la altitud del a\zihn sobre el nivel del mar. 2.9 Seutiliza un manOmet1-o diferencial para medir el cambio de presiGn ocasionado p o r una rcduccihn de flu.jo en el sistema cle tubos que spa- rece cn la I'igura. Determine a l dil'erencia de presihn entre l o s puntos A J. B en libras por pulgada cuadrada. ;Cui1 secciOn tiene l a presihn m i s alta? 2.1 O E1 extremo abierto d c un tanque cilíndrico de 2 í't de tliimetro y 3 f t de altura est5 sumergidoen agua, como puede \.erst en la figura. Si el tanque pesa 2 3 0 I t ) , ?.a qu6 prol'undidad, 12, se sumcrgirri el tanque? 1,a presihn harométrica local es de 14.7 psia. Se tlespreciari el grosor de la pared d e l tanque. 2Quéfuerzaadicional se requiereparaque la partesuperior del tanque quede al mismo ni\.el que la superficie del agua? 2.1 1 En el problema anterior, 2.1 O, encuentre la prol'undidada la cual la fuer- za neta sobre el tanque es nula. 2.1 2 Encuentre el valor mínitno de h para el cual la compuerta que se ve en la figura girará en direccihn contraria a las rnanecillas del reloj, si la sec- ci6n transversal de la compuerta es (a) rectangular, de 4 ft X 4 i t ; ( b ) triangular, de 4 ft de base X 4 f t de altura. Desprecie l a fricci6n.  Problemas 49 2.13 Un trozo cúbico de madera cuyo perímetro tiene una longitud L , flota en agua. La gravedad específica de la madera es de 0.90. 2Qué momento M se requiere para sostener al cubo en la posición que se ve en la figura? La arista derecha del cubo está al nivel del agua. 2.14 Se va a usar un tronco circular como barrera, en la forma que muestra la figura. Si el punto de contacto es O, determine la densidad que debe tener el tronco. 2.15 Un cubo rectangular de concreto de 4 ft X 4 ft.X 6 in tiene su lado de 6 in semi enterrado en el fondo de un!ago de 23 pies de profundidad. ZCuáI es la fuerza que se necesita para liberar al cubo del fondo? iQué fuerza se requiere para mantener el bloque en esta posición? (El concreto pesa 150 Ib/ft3) 2.16 La compuerta del vertedor de una presa contiene agua con una profun- didad h. L a compuerta pesa 500 Ib/ft y tiene una bisagra en A. iA qué profundidad delagua subirá la compuerta permitiendo la salidad del agua? 50 Estática de fluidos t+"lo f t " 4 2.17 Se ,$esea utilizar una pelota de playa de 0.75 m de diámetro para tapar tl desagüe de una piscina. Obtenga una expresión que relacione el diá- metro, D ,del desagüe y la altura mínima, h , del agua para la cual la pe- lota permanezca en sulugar. 2.1 8 Si la densidad del agua de mar se logra calcular aproximadamente por medio de la ecuación de estado p = po exp [(p -patm)/p)], donde (.? es la compresibilidad, determínese la presión y la densidad en un punto loca- lizado a30,000 ft bajola superficie del mar. Suponga que(.?=300,000 psi. 2.19 El cambio en la densidad debido a la temperatura hace que las velocida- des de despegue y aterrizaje de los vehículos aéreos y más pesados que el aire aumenten en proporción al cuadrado de la temperatura 2Qué efec- to tienen los cambios de densidad inducidos por la temperatura sobre la potencia de despegue delos vehículos rígidos másligeros que el aire? 2.20 Encuéntrese una expresión que corresponda a la fuerza boyante que ac- túasobreunobjetosumergido en unfluidoquetieneunadensidad P =d Y ). 2.21 La materia es atraída hacia el centro de la tierra con una fuerza propor- cional a su distancia radial del centro. Usando el valor conocido de g en la superficie, dondeel radio es de 6,330 km, calcule la presión en el cen- tro de la tierra, suponiendo que el material se comporta como un líquido y que la gravedad media específica es 5.67 (para comodidad se puede considerar un tubo de diámetro constante en lugar de un segmento es- férico). Obténgase primero una fórmula en símbolos antes de substituir valores numéricos.  Problemas 51 2.22 Un muro de contención a prueba de agua, de 22 ft de altura, sirve de dique para un trabajo de construcción. Los 12 ft superiores que se en- cuentran detrás del muro consisten en agua de mar, cuya densidad es de 2 slugs/ft3 pero los10 ftinferiores están formados por una mezcla de lodo y agua, que puede ser considerada como un. fluido cuya densidad es de 4 slugs/ft3. Calcúlese la carga horizontal total por unidad de ancho yla localización del centro de presión medidodesde el fondo.  3 DESCRIPCION DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO El desarrollo de una descripción analítica de un fluido en movimiento se basa en la expresión delas leyes físicas relacionadas conel flujo de fluidos, en una forma matemática apropiada. Por lo tanto, se expondrán las leyes físicas necesarias y se presentarán los métodos utilizados para describir un fluido en movimiento. 3.1 L E Y E S F l S l C A S F U N D A M E N T A L E S Hay tres leyes físicas fundamentales que, a excepción delos fenómenos relativistas y nucleares, se aplican a todos y cada uno de los flujos, indepen- dientemente de la naturaleza del fluido que se e:;té considerando. Estas leyes se encuentran en la lista que se proporciona a continuación, con las denomi- naciones de sus formulaciones matemáticas. Ley' Ecuación 1. Ley de conservación de la masa ecuación de continuidad 2. Segunda ley de Newton del movimiento teorema del momento 3. Primera ley de la termodinámica ecuación de la energía Los tres capítulos siguientes están dedicados exclusivamenteal desarrollo de una forma de estas leyes que resulteapropiadal para su uso.* Además de las leyes arriba citadas, se emplean ciertas relaciones auxiliares o secundarias en la descripción de un fluido. Estas relaciones dependen de la *La segunda ley dela termodinámica también es fundamental para el análisis $el movimiento de 10s fluidos, pero su consideración analítica está más allá del alcance de la presente obra. 53 54 Descripción de un fluido en movimiento naturaleza del fluido bajo estudio. Desafortunadamente,a la mayoría deestas relaciones auxiliares también se les ha llamado “leyes”. Ya en nuestros estu- dios anteriores nos hemos topado con las leyes de Hooke, cog la ley de los gases ideales y con algunas otras, y aunque son precisas, sólo son válidas den- tro de un límite restringido; su validez depende totalmente de la naturaleza del material del que se esté tratando. Así, en tanto que a algunas de las rela- ciones auxiliares que se utilizarán se les llamará leyes, el estudiante deberá distinguir la diferencia de alcance entre las leyes físicas fundamentales y las relaciones auxiliares. 3.2 C A M P O S D E F L U J O D E F L U I D O S : R E P R E S E N T A C I O N E S LAGRANGIANA Y EULERIANA El término campo se refiere a una cantidad definida como función,tanto de la posición, como del tiempo, en una región dada. Existen dos formas di- ferentes de representar campos en la mecánica de fluidos: la representación de Lagrange y la de Euler. La diferencia entre ambos enfoques está en la for- ma de identificar la posición enel campo. En el enfoque Lagrangian0 se describen las variables físicas para un ele- mento particular de dicho fluidoal moverse a lo largo del flujo. Estaes la nota- ción con la que estamos familiarizados en dinámica de partículas y de cuerpos rígidos. En la representación Lagrangiana, las coordenadas (x, y, z ) son varia- bles dependientes. El elemento de fluidose identifica por medio de su posición en el campo en un tiempo arbitrario, usualmente t = O. El campo de veloci- dad en este caso,se escribe en forma funcional, de lasiguiente manera: v = v(a, b, c, t ) (3-1) donde las coordenadas (a, b, c ) se refieren a la posición inicial del elemento de fluido. Las otras variables de flujo de fluido, siendo función delas mismas coordenadas, se pueden representar de modo semejante. La notación Lagran- giana se utiliza rara vez en mecánica de fluidos yaque el tiempo de información deseado es usualmente elvalor de unavariable particular del fluidoen un punto fijo de éste y no el valor de una variable experimentado por un elemento de fluido a lo largo de su trayectoria.Por ejemplo: La determinación de la fuerza ejercida sobre un campo estacionario en un campo de flujo, requiere del co- nocimiento de la presión y el esfuerzo cortante en todoslos puntos del cuerpo. La representación Euleriana proporciona este tipo de información. El enfoque Euleriano nos da el valor de la variable de un fluido en un punto y en un tiempo determinados.El campo develocidad, en forma funcio- nal, se escribe de la siguiente manera: v = v(x, y, 2 , t ) (3-2)  Flujos permanentes y no permanentes 55 donde x, y, z, t , son todas ellas variables independientes. En un punto par- ,, ticular ( x *,y z , ) y en un tiempo t l , la ecuación (3-2) nos proporciona la velocidad del fluido en ese lugar en el tiempo t ,. En este texto se utilizará exclusivamente la notación Euleriana. 3.3 F L U J O S P E R M A N E N T E S Y NO P E R M A N E. N T E S Al adoptar la notación Euleriana se percata. uno de que, en general, el flujo del fluido será una función de las cuatro variables independientes (x,y, 2, t ). Figura 3.1 Flujo variable con respecto a un sistema fijo de coordenadas. Si el flujo en todos los puntos del fluido es independiente del tiempo, se le llama flujo permanente. Si el flujo en un punto varía con el tiempo se le llama pujo no permanete. En algunos casos es posible reducir un flujo no permanente a flujo permanente cambiando el marco de referencia. Tómese como ejemplo un aeroplano que vuela con una velocidad constante vo, como puede verse en la figura 3.1. Cuando se le observa desde el sistema fijo de coordenadas x, y, z , el patrón de flujo es no permlanente. El flujo en el punto P,que se ilustra, por ejemplo, variará al aproximársele un vehículo. Ahora consideremos la misma situación cuando se le observa desde el sistema de coordenadas x , y , z , el cualse mueve con una velocidad constante I l l u,, , como se muestra en la figura 3.2. Ahora las condiciones de flujo son indepen'dientes del tiempo en todos los puntos del campo de flujo y así, el flujo es permanente cuando se le ob- serva desde el sistema de coordenadas en movimiento. Siempre que un cuerpo se mueve a través de un fluido con unavelocidad constante, el campo de flujo, puede transformarse de flujo no permanente en flujo permanente, seleccio- nando un sistema de coordenadas quese encuentre fijo con respecto al cuerpo en movimiento. 56 Estática de fluidos 't Figura 3.2 Flujo constante con respecto a un sistema de coordenadas en mo- vimiento. En las pruebas de modelos que se realizan en el túnel del viento, se uti- lizaeste concepto. Los datos obtenidos en relación con un modelo estático en un fluido en movimiento serán los mismos que los de un modelo móvil en un fluido estático. Las simplificaciones físicas, así como las analíticas que esta transformación logra, son considerables. Se utilizari esta transformación cuan- do sea posible. 3.4 L l N E A S D E C O R R I E N T E Un concepto muy útil para describir el movimiento de un fluido es el de linea de corriente. Esta se define como la tangente al vector velocidad en cada uno de los puntos del campo de flujo. La figura 3.3 muestra el patrón de lí- neasde corriente para un flujo idealquepasa por un objeto cuya figurase asemeja a la de un balón de futbol. En un flujo permanente, ya que todos los vectoresvelocidad no varian con el tiempo, la trayectoria deuna particula del fluido sigue una línea de corriente, por lo tanto, una línea de corriente es Figura 3.3 Ejemplo de líneas de flujo.  Sistemias y volúmenes de control 57 la trayectoria deun elemento de fluido en la situación descrita. En un flujo no permanente, los patrones que siguen las líneas de corriente cambian de un instante a otro. Así, la trayectoria de un elemento de fluido será diferente de la de una línea de corriente en cualquier momento dado. La trayectoria real de un elemento de fluido al moverse a lo largo del flujo se denomina línea de trayectoria. Obviamente, las líneas de trayectoria y las líneas de corriente coinciden ÚnicamTnte en los flujos permanentes. Las líneas de corriente son útiles para relacionar las componentes de la velocidad del fluido con la geometría del campo de flujo. En un flujo bidimen- sional. la relación es: ya que la línea de corriente es tangente al vector velocidad y sus componentes en x y en y son u, y u y. En tres dimensiones resulta esta relación: La utilidad de las relaciones anteriores es la obtención de una relación analítica entre las componentes de la velocidad y las del patrón de líneas de corriente. 3.5 S I S T E M A S Y V O L U M E M E S D E C O N T R O L Las tres leyes físicas básicas enunciadas ena l sección 3.1 se definen en términos de un sistema. Un sistema se define corr~ouna porción de materia cuya identidad permanece fija. Las leyes básicas esta.blecen la interacción de un sistema con sus alrededores. La selección delsistema para la aplicación de estas leyes es muy flexible y , en algunos casos, representa un problema complejo. CuaIquier análisis que se realice utilizando una ley fundamental debe estar de acuerdo con la designación de un sistema específico y la dificultad para en- contrar la solución varía enormemente con relación al sistema escogido. Como ejemplo, analícese la segunda ley de Newton, F = ma. Los térmi- nos que ésta incluye son los siguientes: F = fuerza resultante ejercida sobre el sistema por los alrededores. m = masa del sistema. a = aceleración del centro de masa del sistema. En el sistema, que consta deun pistón y un cilindro, de l a figura 3.4, un sistema conveniente para ser analizado, fácilmente identificable en virtud 58 Estátic: de fluidos de su aislamiento, es lamasademateriaencerrada por el pistón dentro del cilindro. En el caso de la tobera de la figura 3.5, el fluido que se encuentra dentro de ésta cambia cada instante. De este modo,en diferentes momentos, distintos fluidos ocupan la tobera. Figura 3.4 Un sistema fácilmente identificable, Fibmra 3.5 Volumen de control para el análisis de flujo a través de la tobera. Un método más conveniente paraanalizar la tobera sería elde considerar la región limitada por la línea punteada. Dicha región se denomina volumen de colttrol. Un volumende control es una región del espacio a través de la cual circula un fluido." La movilidad extrema de los fluidos convierte en un trabajo tedioso a la identificación de un sistema particular. El análisis del mo- vimiento de un fluido se simplifica grandemente sise desarrollan las leyes fí- sicas aplicables a un volumen de control (en el cual cambie el sistema en cada momento). El método del volumen de control salva los obstáculos para iden- tificar el sistema. En los capítulos subsecuentes las leyes físicas fundamentales se convertirán del métododel sistema al del volumen decontrol. El volumen de control que se seleccione puede ser tanto finito como infinitesimal. De hecho, se obtendrán las ecuaciones diferenciales de flujo de un fluido aplicando las leyes fundamentales, utilizandovolúmenes de control infinitesimales. * Unvolumen de control puede permanecer fijo o moverse uniformemente(inercial), o puede estar acelerado (no inercial). Aquí se concederá la mayor importancia a los volúmenes inerciales controlados.  OBSERVACION DE LA, MASA: E,NFOQUE DE VOLUMEN DE CONTROL La aplicación inicial de las leyes fundamentales de la mecánica de fluidos incluye la ley de la conservación de la masa. En este capítulo se obtendrá una relación integral que ex