Continuous Probability Distribution - 2023 PDF

‫اﻟﺘﻮزﻳﻌات اﻻحﺘﻤاﻟﻴة اﻟﻤﺘصﻠة‬ ‫اﻟدرس اﻟﺜاﻟﺚ‬ ‫‪Continuous Probability Distribution‬‬ ‫ﻓﻲ ھـﺬا‬ ‫اﻟـــﺪرس‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫وأفﴪه التخاذ القرارات اﳌناسبة‪.‬‬ ‫أتعرف التوزيع االحتﺎﻤﱄ اﳌتصل (التوزيع الطبيعي)‪ ،‬وأوجده‪ّ ،‬‬ ‫ّ‬ ‫أحسب االحتﺎﻤالت باستخدام التوزيع الطبيعي‪.‬‬ ‫ﻓﻜﺮ هل ﻤﻳكنـك تطبيق توزي...

‫اﻟﺘﻮزﻳﻌات اﻻحﺘﻤاﻟﻴة اﻟﻤﺘصﻠة‬ ‫اﻟدرس اﻟﺜاﻟﺚ‬ ‫‪Continuous Probability Distribution‬‬ ‫ﻓﻲ ھـﺬا‬ ‫اﻟـــﺪرس‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫وأفﴪه التخاذ القرارات اﳌناسبة‪.‬‬ ‫أتعرف التوزيع االحتﺎﻤﱄ اﳌتصل (التوزيع الطبيعي)‪ ،‬وأوجده‪ّ ،‬‬ ‫ّ‬ ‫أحسب االحتﺎﻤالت باستخدام التوزيع الطبيعي‪.‬‬ ‫ﻓﻜﺮ هل ﻤﻳكنـك تطبيق توزيع احتﺎﻤﱄ للمتﻐﺮﻴ العشـواﻲﺋ اﳌتصـل؛ كﺎﻤ هو الحال مع اﳌتﻐﺮﻴ العشـواﻲﺋ‬ ‫ّ‬ ‫اﳌنفصل؟‬ ‫ﻛﻴﻒ ﻤﻳكن أن تﻈهر القيم ﰲ الدالة االحتﺎﻤلية‪ ،‬وﰲ ﻤﺗثيلها البياﻲﻧ؟‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻحﺘﻤاﻟﻲ اﻟﻤﺘصﻞ‬ ‫قيما‬ ‫هو أن يأخذ المتﻐير العشــوائي المتصل ‪ً X‬‬ ‫صحيحــة وكســرية؛ أي أن المجــال هــو مجموعة‬ ‫األعــداد الحقيقيــة‪ ،‬ويعطــى التوزيــع االحتمالي‬ ‫المتصل بشــكل صيﻐة رياضية تســمي دالة الكثافة‬ ‫االحتمالية ويرمز لها بالرمز)‪.f (x‬‬ ‫اســتخداما في أغلب الجوانب النﻈرية‬ ‫ويعد التوزيع الطبيعي أﺷــهر وأهم التوزيعات االحتمالية المتصلة وأكثرها‬ ‫ً‬ ‫والتطبيقية‪ ،‬وله اســتخدامات متعددة لوصف النمط التكراري للعديد من الﻈواهر حولنا‪ ،‬مثل درجة الحرارة والطول‬ ‫والكتلة والدخل واألخطاء العشوائية الناتجة عند تحليل االنحدار‪.‬‬ ‫والتوزيع الطبيعي توزيع احتمالي مستمر يتصف بالخصائﺺ اآلتية‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪170‬‬ ‫يتخذ المنحنى ﺷكل الجرس‪.‬‬ ‫ً‬ ‫متماﺛال؛ حيث يقسمه المستقيم الرأسي المار بالوسط؛‬ ‫يكون المنحنى‬ ‫إلى قسمين متساويين‪.‬‬ ‫تكون المساحة تحت المنحنى (قيمة االحتمال) تساوي ‪.1‬‬ ‫تتساوى عند الخط المستقيم الرأسي المار بالوسط؛ قيمة المتوسط‬ ‫الحسابي والوسيط والمنوال‪.‬‬ ‫يمسه وال يتقاطع معه‪.‬‬ ‫يقترب المنحنى من المحور األفقي ‪ ،X‬ولكنه ال ّ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻂ = ﺍﻟﻮﺳﻴﻂ = ﺍﻟﻤﻨﻮﺍﻝ‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ )‪:(Normal Distribution‬‬ ‫ﺗﺤﺪ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‪.‬وﺗﻌﻄﻰ ﺻﻴﻐﺔ ﻫﺬه اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻫﻮ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ رﻳﺎﺿﻴﺔ ّ‬ ‫‪< µ < ∞ ,σ > 0‬‬ ‫∞‪; −‬‬ ‫∞ < ‪< x‬‬ ‫_(‪-‬‬ ‫‪x−µ) 2‬‬ ‫∞‪, −‬‬ ‫‪2σ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫_‬ ‫‪e‬‬ ‫_ = )‪f(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪√ 2π σ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺣﻴﺚ )‪ (µ‬ﻳﻤﺜﻞ اﻟﻤﺘﻮﺳــﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ‬ ‫وﻫــﻮ ﻗﻴﻤــﺔ ‪ X‬اﻟﻤﻨﺎﻇــﺮة ﻟﻠﻘﻴﻤــﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‪ ،‬أﻣــﺎ )‪ (σ2‬ﻳﻤﺜﻞ اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ وﻣﺪى اﻧﺘﺸــﺎر‬ ‫اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‪.‬وﻳﻮﺿﺢ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺠﺎور أﺛﺮ‬ ‫اﻟﻤﺘﻮﺳــﻂ اﻟﺤﺴــﺎﺑﻲ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺴــﻬﻴﻞ ﺣﺴــﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻓــﻲ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬ ‫اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ‪ ،‬ﻣﻦ ﺧﻼل ﺗﺤﻮﻳﻠﻪ إﻟــﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ﻃﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻣﻌﻴﺎري ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪاول ﺧﺎﺻﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻤﻌﻴﺎري )‪:(Standard Normal Distribution‬‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺬي ﻳﻜﻮن ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﺻﻔﺮ‪ ،‬وﺗﺒﺎﻳﻨﻪ واﺣﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻌﺸــﻮاﺋﻲ ‪X‬‬ ‫ﻫﻮ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﺑﻤﺘﻮﺳــﻂ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ µ‬وﺗﺒﺎﻳﻦ ‪،σ2‬‬ ‫ﻓﺈﻧﻪ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺻﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ‪Z = x-µ :‬؛ ﻳﺼﺒﺢ‬ ‫‪σ‬‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺗﻮزﻳ ًﻌﺎ ﻃﺒﻴﻌ ﻴﺎ ﻣﻌﻴﺎر ﻳﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺪول اﻟﻤﺮﻓــﻖ ‪ 1‬و‪ 2‬ﻓﻲ اﻟﻤﻠﺤــﻖ ﻫﻮ اﻟﺠﺪول‬ ‫اﻟﻤﺴــﺘﺨﺪم ﻓﻲ ﺣﺴــﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‬ ‫اﻟﻤﻌﻴﺎري‪.‬‬ ‫ﺗﺤﻮﻳﻞ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ إﻟﻰ‬ ‫ﺗﻮزﻳﻊ ﻃﺒﻴﻌﻲ‬ ‫إﺛــــﺮاء‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﻮﻳﻞ أي ﺗﻮزﻳــﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ إﻟﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ﻃﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﻌﺮﻓﺔ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻬﺬا اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬ ‫أو اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت؛ ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن ﻣﺘﻮﺳﻂ وﺗﺒﺎﻳﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻫﻮ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ‪.‬‬ ‫‪171‬‬ ‫مﺜال‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻤﻌﻴﺎري‪ ،‬أوﺟﺪ ًّ‬ ‫ﻛﻼ ﻣﻦ‪:‬‬ ‫‪.a‬نسبة المساحة أقل من ‪P(Z < 1.56) Z = 1.56‬‬ ‫‪.b‬نسبة المساحة أكبر من ‪P(Z > 1.20) Z = 1.20‬‬ ‫‪.c‬‬ ‫نسبة المساحة المحصورة بين ‪ Z =- 0.8‬و‬ ‫‪P(-0.8 < Z < 0.15) Z = 0.15‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪.a‬‬ ‫إيجاد قيمة االحتمال )‪ P(Z -0.50).Z = -0.50‬‬ ‫مﺜال‬ ‫‪2‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ Z‬إذا ﻛﺎﻧﺖ‪:‬‬ ‫‪.a‬نسبة المساحة أقل من ‪ Z‬تساوي ‪0٫9850‬‬ ‫‪P(Z < z) = 0.9850‬‬ ‫‪.b‬نسبة المساحة أكبر من ‪ Z‬تساوي ‪0٫6628‬‬ ‫‪P(Z > z) = 0.6628‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪.a‬إيجاد قيمة ‪ Z‬من خالل البحث داخل الجدول الطبيعي المعياري‬ ‫للقيم الموجبة (الجدول المرفق ‪ 1‬في الملحق) عن احتمال‬ ‫‪ ،0.9850‬فﺈنها تقع عند تقاطع الصف ‪ 2.1‬مع العمود األول ‪،0.07‬‬ ‫فتكون ‪ ، Z=2.17‬كما في الشكل المجاور‪:‬‬ ‫‪.b‬إيجاد قيمة االحتمال األقل من ‪ 0.6628‬بطرحها من الواحد إليجاد االحتمال يسار قيمة ‪.Z‬‬ ‫المساحة أقل من‬ ‫‪ =1-Z‬نسبة المساحة أكبر من ‪Z‬‬ ‫)‪P(Z > z) = 1− P(Z < z‬‬ ‫)‪0.6628 = 1− P(Z < z‬‬ ‫‪P(Z < z) = 1− 0.6628 = 0.3372‬‬ ‫ﺛم إليجاد قيمة ‪ Z‬البد من البحث داخل الجدول الطبيعي المعياري‬ ‫للقيم السالبة (الجدول المرفق ‪ 2‬في الملحق) عن ‪ ،0.3372‬فﺈنها تقع‬ ‫عند تقاطع الصف ‪ -0.4‬مع العمود األول ‪ 0.02‬فتكون ‪،Z = -0.42‬‬ ‫كما في الشكل المجاور‪.‬فنجد أن ‪Z = -0.42‬‬ ‫‪173‬‬ ‫ﺗﺤقﻖ مﻦ ﻓﻬﻤﻚ ‪2‬‬ ‫باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري أوجد نسبة المساحة األقل من ‪ Z‬والتي تساوي ‪.0.9357‬‬ ‫مﺜال‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻃﺎﻟﺐ ﻓﻲ ﻣﻘﺮ ٍر ﻣﺎ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳ ًﻌﺎ ﻃﺒﻴﻌ ًّﻴﺎ ﺑﻤﺘﻮﺳــﻂ ﺣﺴــﺎﺑﻲ ‪ 72‬واﻧﺤﺮاف ﻣﻌﻴﺎري ‪،8‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ درﺟﺎت ‪ٍ 600‬‬ ‫وﻛﺎﻧﺖ درﺟﺔ اﻟﻨﺠﺎح ﻫﻲ ‪ ،60‬أوﺟﺪ‪:‬‬ ‫‪.a‬النسبة المئوية للطالب الذين تقع درجاتهم بين ‪.78 ،62‬‬ ‫‪.b‬عدد الطالب الراسبين‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪.a‬‬ ‫إيجاد النسبة المئوية للطالب الذين تقع درجاتهم بين ‪:78 ،62‬‬ ‫‪( 62 -8 72‬‬ ‫)‪< Z < 78 - 72 = P(-1.25 < Z < 0.75‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪= P(Z < 0.75) - P(Z < -1.25) = 0.7734 - 0.1056 = 0.6678‬‬ ‫)‬ ‫‪P(62 < X < 78) = P‬‬ ‫إذن نسبة الطالب الذين تقع درجاتهم بين ‪ 78 ،62‬هي ‪66.78%‬‬ ‫‪.b‬إيجاد عدد الطالب الراسبين‪:‬‬ ‫بما أن أقل درجة للنجاح هي ‪ 60‬فﺈن نسبة (احتمال) الطالب الذين حصلوا على درجة أقل من ‪:60‬‬ ‫‪) = P(Z < - 1.50) = 1 - P(Z < 1.50) = 1 - 0.9332 = 0.0668‬‬ ‫‪60 - 72‬‬ ‫‪8‬‬ ‫إذن نسبة الطالب الراسبين تساوي تقري ًبا ‪ ،6.68%‬وإليجاد عددهم نتبع اآلتي‪:‬‬ ‫‪0.0668 × 600 = 40.08 ≈ 40‬‬ ‫وهذا يعني أن ‪ 40‬طال ًبا – تقري ًبا ‪ -‬رسبوا في هذا المقرر‪.‬‬ ‫ﺗﺤقﻖ مﻦ ﻓﻬﻤﻚ ‪3‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪174‬‬ ‫من المثال )‪ (3‬كم عدد الطالب الحاصلين على درجة ‪ 90‬فأعلى في المقرر؟‬ ‫كم عدد الطالب الناجحين في المقرر؟‬ ‫(‬ ‫< ‪P(X < 60) = P Z‬‬