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Lois de probabilité Professeur : OLLIER FC N° 5 Date : 21/09/2023 SOMMAIRE I. GENERALITES ET RAPPELS ........................................................................................................................................................ 1 II. LOIS DE PROBABILITE DISCRETES .........

Lois de probabilité Professeur : OLLIER FC N° 5 Date : 21/09/2023 SOMMAIRE I. GENERALITES ET RAPPELS ........................................................................................................................................................ 1 II. LOIS DE PROBABILITE DISCRETES ............................................................................................................................................ 2 1. LOI DE BERNOULLI ................................................................................................................................................................... 2 2. LOI BINOMIALE ....................................................................................................................................................................... 2 A. Définition ....................................................................................................................................................................... 2 B. Distribution .................................................................................................................................................................... 3 C. Convergence de la loi binomiale vers la loi normale ........................................................................................................ 4 3. LOI DE POISSON ....................................................................................................................................................................... 4 A. Définition ....................................................................................................................................................................... 4 B. Distribution .................................................................................................................................................................... 4 III. LOIS DE PROBABILITE CONTINUES ......................................................................................................................................... 7 1. LOI UNIFORME ........................................................................................................................................................................ 7 2. LOI NORMALE ......................................................................................................................................................................... 7 A. Loi normale : Espérance ................................................................................................................................................. 8 B. Loi normale : Variance.................................................................................................................................................... 8 3. LOI DU CHI 2 .......................................................................................................................................................................... 9 A. Loi du 𝜒2 : Question fréquemment rencontrée................................................................................................................ 9 B. Quantile (rappel) .......................................................................................................................................................... 10 4. LOI DE STUDENT .................................................................................................................................................................... 11 A. Loi de Student : question fréquemment rencontrée ....................................................................................................... 11 B. Calcul de 𝑡𝛼𝑣 ............................................................................................................................................................... 12 En cas de questions sur ce cours, vous pouvez écrire à l’adresse suivante : [email protected] Les règles de courtoisies sont à respecter lors de l’envoi d’un mail. L’équipe des tuteurs se réserve le droit de répondre ou non à un mail. En cas de questions récurrentes, les tuteurs pourront faire un point lors des colles hebdomadaires. I. Généralités et rappels • Un phénomène aléatoire peut être représenté mathématiquement par une variable aléatoire. • La distribution de probabilité d’une variable aléatoire : o Caractérise les valeurs prises par une variable aléatoire et avec quelle probabilité. o Elle permet de réaliser des calculs de probabilité, d’espérance, de variance, etc. o Les paramètres d’une distribution peuvent être estimés à partir d’un échantillon de données observées (réalisations). DEUX GRANDS TYPES DE LOIS DE PROBABILITÉS Loi de probabilité discrète Loi de probabilité continue • Décrivent la probabilité d’occurrence de chaque valeur d’une variable aléatoire discrète, c’est-à-dire une valeur dénombrable entière et positive ({0, 1}, ℕ, …). • Exemples de lois discrètes : loi de Bernoulli, loi Binomiale (pour un même évènement répété), loi de Poisson (pour des évènements rares). • Elles décrivent les probabilités des valeurs possibles d’une variable aléatoire continue, c’est-à-dire une variable pouvant prendre toutes les valeurs possibles (valeurs non dénombrables : ℝ, ℝ+, ...) • Exemples de lois continues : loi Normale, loi du Khi 2( 𝜒2 ), loi de Student, etc. 1 II. Lois de probabilité discrètes 1. Loi de Bernoulli • Caractérisée par une loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli o Epreuve de Bernoulli : expérience n’ayant que 2 résultats possibles : ▪ Réussite / présence de la caractéristique. ▪ Echec / absence de la caractéristique. • La variable aléatoire X associe : o La valeur 0 à l’échec (ou à l’absence de la caractéristique). o La valeur 1 au succès (ou à la présence de la caractéristique). • Soit p la probabilité de succès de l’épreuve de Bernoulli. • La variable aléatoire de Bernoulli X associée à cette épreuve a la distribution suivante : P (X = x) = p si x = 1 (succès) P (X = x) = 1 - p si x = 0 (échec) • De plus X possède les caractéristiques suivantes : E(X) = p Var(X) = p(1 - p) 2. Loi Binomiale A. Définition • Soit la répétition de n épreuves de Bernoulli de façon indépendante. Chaque expérience n’a que deux résultats possibles (succès ou échec), la probabilité de succès étant notée p. • Soit la variable aléatoire X qui mesure le nombre de succès obtenus. Elle suit la loi binomiale 𝑩(𝒏, 𝒑). 2 B. Distribution • Une variable aléatoire X suivant la loi binomiale 𝑩(𝒏, 𝒑) a la distribution suivante : 𝐏(𝐗 = 𝐤) = 𝐧! 𝐩𝐤 (𝟏 − 𝐩)𝐧−𝐤 𝐤! (𝐧 − 𝐤)! • Avec : o n le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli o k le nombre de succès o p la probabilité de succès *n! signifie factorielle de n ; -> ex : 3! = 1 × 2 × 3 = 6 EXPÉRIENCE Énoncé • « On jette 12 fois un dé équilibré. On considère comme succès le fait de tirer un 3 ou un 6 ». • Quelle est la probabilité d’avoir 4 succès ? 2 1 • La probabilité p de succès pour un jet est de p = 𝑃(succès) = 6 = 3 • Le nombre de succès sur les 12 jets suit une loi binomiale avec : Démarche n = 12 1 p=3 • On a donc 12! 1 1 𝑃(𝟒 succès) = 4!8!(3)4(1 - 3)8 = 0.238446 • Une variable aléatoire X suivant une loi binomiale 𝑩(𝒏, 𝒑) a les caractéristiques suivantes : Espérance : E (X) = np Variance : Var (X) = np(1 – p) 3 EXPÉRIENCE • « On jette 12 fois un dé équilibré. On considère comme succès le fait de tirer un 3 ou un 6 ». Énoncé • Quel est le résultat moyen attendu de cette expérience ? Idem pour la variance ? • Soit X la variable aléatoire : « Nombre de succès sur les 12 jets » 1 • X suit une loi binomiale 𝑩(n = 12, p = 3) Démarche • C’est bien une répétition d’épreuves de Bernoulli avec comme succès : 3 et 6 et les échecs seront les autres valeurs. • On a donc : E(X) = n.p = 12 3 =4 1 8 Var(X) = np(1 - p) = 12 × 3 × (1 – 3) = 3 ≈ 2.67 C. Convergence de la loi binomiale vers la loi normale Quand n est grand, la loi binomiale converge vers la loi Normale • Les images montrent bien l’aspect en cloche comme pour la loi Normale. • Cette propriété sera utile pour le calcul des intervalles de confiance notamment. • La convergence est d’autant plus rapide que p ≈ 0.5 3. Loi de poisson A. Définition • Loi du nombre d’événements observés pendant une période de temps donnée, dans le cas où les événements sont indépendants et peu probables. • Ex : Nombre de désintégrations radioactives, nombre de diagnostics d’une maladie rare, nombre de potentiels d’actions émis par un neurone. B. Distribution • Une variable aléatoire X suivant la loi de Poisson P (λ) a la distribution suivante : 4 𝝀𝒌 P (X = k) = e- λ. 𝒌 ! Avec λ le nombre de moyen d’évènements. • Elle n’a qu’un seul paramètre -> λ EXPÉRIENCE Énoncé • « On suppose que le nombre de patients se présentant chaque jour aux urgences entre 10h et 14h suit une loi de Poisson de moyenne 12 ». • Quelle est la probabilité que 20 patients se présentent entre 10h et 14h ? • Soit X la variable aléatoire : X suit la loi de Poisson P (λ = 12). Démarche • On a donc : P (X = 20) = e-12 × Énoncé 1220 20! = 0.968% • Quelle est la probabilité que plus de 5 patients se présentent entre 10h et 14h ? • Soit X la variable aléatoire : X suit la loi de Poisson P (λ = 12). • On a donc : P (X ≤ 5) = ∑5𝑘=0 𝑃 (𝑋 = 𝑘 ) Démarche = ∑5𝑘=1 ⅇ −12. 12𝑘 𝑘! = 0.02034103 • On a donc P (X > 5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 − 0.02034103 = 97,97% 5 • Une variable aléatoire X suivant la loi de Poisson P (λ) a les caractéristiques suivantes : Espérance : E(X) = λ Variance : Var(X) = λ 6 III. Lois de probabilité continues 1. Loi uniforme Une variable X qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [a, b] se note : X ∼ U (a, b) • La densité de X est constante sur l’intervalle [a, b] : fX (x) = 𝟏 𝒃−𝒂 si x ∈ [a, b] 0 sinon La probabilité vaut 0 en dehors de l’intervalle. Avec a, b ∈ R les bornes de l’intervalle Espérance : E(X) = Variance : Var(X) = 𝒃+𝒂 𝟐 (𝒃 − 𝒂)𝟐 𝟏𝟐 2. Loi normale Une variable X qui suit une loi normale se note : X ∼ N (µ, σ²) • La densité de X est une courbe en cloche symétrique centrée sur µ. 𝒇𝑿 (𝒙) = 𝟏 𝝈√𝟐𝝅 ⅇ − 𝟏(𝒙−𝝁)𝟐 𝟐 𝝈𝟐 • Deux paramètres µ et σ2 : o µ : Moyenne de X → Règle la position de la courbe. o σ2 : Variance de X → Règle l’étalement de la courbe. 7 A. Loi normale : Espérance Si la v.a. X suit une loi normale (X ∼ N (µ, σ2)) alors : E[X] = µ • L’espérance est un paramètre de position, elle règle la position de la densité. B. Loi normale : Variance Si la v.a. X suit une loi normale (X ∼ N (µ, σ2)) alors : Var[X] = σ2 8 • La variance de X (Var[X]), règle l’étalement de la courbe. A noter que plus σ2 est grand, plus la plage des valeurs que X peut prendre est grande : 3. Loi du chi 2 • Soient Y1, ..., Yn : o Variables aléatoires indépendantes o Distribuées selon une loi normale centrée réduite (N (0, 1)) 𝟐 𝟐 • La distribution de X = ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝒀𝒊 est appelée loi du 𝝌 à N degrés de liberté. • Une variable X qui suit une loi du 𝜒 2 à N degrés de liberté se note : X ∼ 𝝌𝟐 (N). A. Loi du 𝜒 2 : Question fréquemment rencontrée Soit α ∈ [0; 1] et X ∼ 𝝌𝟐 (N) On cherche la valeur 𝒙𝑵 𝜶 pour laquelle on a la probabilité suivante P (X > 𝒙𝑵 𝜶) = α • Problématique rencontrée dans les tests statistiques. • Revient à rechercher un quantile de niveau 1 − α de la loi 𝝌𝟐 (N). 9 B. Quantile (rappel) • Les quantiles sont une généralisation de la notion de médiane. P (X ≤ xα) = α Quantiles d’ordre α ∈ [0; 1] : Un quantile d’ordre α est un nombre xα tel qu’il y a une probabilité α ∈ [0; 1] pour que la variable prenne une valeur inférieure ou égale à xα EXPÉRIENCE Énoncé Démarche • Calcul de xα 1 • Pour α = 5% et N = 1 : 𝑥0,05 ? • La courbe représente la densité de probabilité d’une loi du 𝜒 2 • α = Pddl (X ≥ u) 10 EXPÉRIENCE • Calcul de xα Énoncé 3 • Pour α = 10% et N = 3 : 𝑥0,1 ? • La courbe représente la densité de probabilité d’une loi du 𝜒 2 . • α = Pddl (X ≥ u) Démarche 4. Loi de Student Une variable X qui suit une loi de Student à ν degrés de liberté se note : X ∼ T (ν) • Caractéristiques de la loi de Student : o Loi dérivée de la loi normale o Paramètre ν : le nombre de degrés de liberté o Converge vers la loi normale N (0, 1) quand ν → +∞ o Si U ∼ N (0, 1) et V ∼ χ2 (ν) o X = √𝑣 𝑈 √𝑉 ∼ T (ν) A. Loi de Student : question fréquemment rencontrée Soit α ∈ [0; 1] On cherche la valeur 𝒕𝒗𝜶 pour laquelle on a la probabilité suivante : P (- 𝒕𝒗𝜶 < X < 𝒕𝒗𝜶 ) = 1 - α 11 • Problématique rencontrée dans : o Calcul d’intervalles de confiance o Réalisation des tests statistiques • Revient à rechercher un quantile de la loi de Student T (ν). B. Calcul de 𝑡𝛼𝑣 • La courbe représente la densité de probabilité d’une loi de Student. X ∼ T (ν) P (- 𝒕𝒗𝜶 < X < 𝒕𝒗𝜶 ) = 1 - α 𝛼 𝛼 • −𝒕𝒗𝜶 est le quantile de niveau 2 de la loi T (ν), 𝒕𝒗𝜶 est le quantile de niveau 1 − 2 de la loi T (ν). • La courbe représente la densité de probabilité d’une loi de Student X ∼ T (ddl) P ( −𝒕𝒅𝜶 𝒅𝒍 < X < 𝒕𝒅𝜶 𝒅𝒍 ) = 1 – α P (|X| > 𝒕𝒅𝜶 𝒅𝒍 ) = α 12 • La table donne pour différentes valeurs de la probabilité α la valeur de 𝒕𝒅𝜶 𝒅𝒍 en fonction du nombre de degrés de liberté (ddl). • Exemple : Calcul de 𝒕𝒗𝜶 • Pour ν = 9 et α = 5% : 𝒕𝟗𝟎.𝟎𝟓 ? 𝒕𝟗𝟎.𝟎𝟓 = 2.262 • Concernant le Contrôle Continu, il y aura des questions de cours et des exercices. • Il ne sera pas forcément plus facile que le Contrôle Terminal, et contient le même type d’exercices que ceux qu’il y a dans ce cours. 13