كتاب الرياضيات - الصف الثالث المتوسط - الفصل الثالث - السعودية

‫كتبي‬ ‫ن‬ ‫للقائمي عىل العمل*‬ ‫*جميع الحقوق محفوظة‬ ¢ù```jQó```J º`«``∏©``à``dG IQGRh äQô``````b ‫اﻟﻤﻤﻠﻜﺔ اﻟﻌﺮﺑﻴﺔ اﻟﺴﻌﻮدﻳﺔ‬ É¡`à`≤Øf ≈``∏``Y ¬``©``Ñ``Wh ÜÉ``à``µ``dG Gò```g...

‫كتبي‬ ‫ن‬ ‫للقائمي عىل العمل*‬ ‫*جميع الحقوق محفوظة‬ ¢ù```jQó```J º`«``∏©``à``dG IQGRh äQô``````b ‫اﻟﻤﻤﻠﻜﺔ اﻟﻌﺮﺑﻴﺔ اﻟﺴﻌﻮدﻳﺔ‬ É¡`à`≤Øf ≈``∏``Y ¬``©``Ñ``Wh ÜÉ``à``µ``dG Gò```g ‫شي‬‫الر‬ ‫ش‬‫تو‬‫ ا‬‫ل‬‫ ال‬‫ش‬‫ال‬ ‫ل‬‫ ال‬‫ش‬‫را‬‫ ال‬‫ش‬‫الف‬ ‫عة‬‫را‬‫ وال‬‫لي‬‫لت‬  ‫شي‬‫ش‬‫ت‬‫ ال‬ ‫ر‬    ‫بعة‬  ‫ح وزارة التعليم ‪144٤ ،‬هـ‬ ‫فهرسة مكتبـة امللـك فهد الوطنيـة أثنـاء النـشـر‬ ‫وزارة التعلـيـم‬ ‫الرياضيات ‪ -‬الصف الثالث املتوسط ‪ -‬التعليم العام ‪ -‬الفصل الدرايس الثالث‪.‬‬ ‫‪ /‬وزارة التعليم ‪ -‬الرياض ‪١٤٤4 ،‬هـ ‪.‬‬ ‫‪١٢٥‬ص ؛ ‪ 27٫5 x 21‬سم‬ ‫ردمـك ‪978-603-٥١١-300-7 :‬‬ ‫‪ 1‬ـ الرياضيات ـ تعليم ‪ 2‬ـ التعليم املتوسط ‪ -‬السعودية ـ كتب دراسيـة‪.‬‬ ‫أ‪.‬العنوان‬ ‫‪١٤٤4/١626‬‬ ‫ديـوي ‪٥١٠٫7‬‬ ‫رقم اإلإيداع ‪١٤٤4/1626 :‬‬ ‫ردمك ‪978-603-٥١١-300-7:‬‬ ‫حقوق الطبع والن شر حمفوظة لوزارة التعليم‬ ‫‪www.moe.gov.sa‬‬ ‫ﻣﻮاد إﺛﺮاﺋﻴﺔ وداﻋﻤﺔ ﻋﻠﻰ "ﻣﻨﺼﺔ ﻋﻴﻦ اﺛﺮاﺋﻴﺔ"‬ ‫‪ien.edu.sa‬‬ ‫أﻋﺰاءﻧﺎ اﻟﻤﻌﻠﻤﻴﻦ واﻟﻤﻌﻠﻤﺎت‪ ،‬واﻟﻄﻼب واﻟﻄﺎﻟﺒﺎت‪ ،‬وأوﻟﻴﺎء اﻣﻮر‪ ،‬وﻛﻞ ﻣﻬﺘﻢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺑﻴﺔ واﻟﺘﻌﻠﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﻳﺴﻌﺪﻧﺎ ﺗﻮاﺻﻠﻜﻢ؛ ﻟﺘﻄﻮﻳﺮ اﻟﻜﺘﺎب اﻟﻤﺪرﺳﻲ‪ ،‬وﻣﻘﺘﺮﺣﺎﺗﻜﻢ ﻣﺤﻞ اﻫﺘﻤﺎﻣﻨﺎ‪.‬‬ ‫‪fb.ien.edu.sa‬‬  ‫احلمدهلل وال صالة وال سالم على نبينا حممد وعلى آله و صحبه أجمعني‪ ،‬وبعد‪:‬‬ ‫تعد مادة الريا ضيات من املواد الدرا سية األأ سا سية التي ته ِّيئ للطالب فر ص‬ ‫اكت ساب م ستويات عُليا من الكفايات التعليمية‪ ،‬مما يتيح له تنمية قدرته على‬ ‫التفكري وحل امل شكالت‪ ،‬وي ساعده على التعامل مع مواقف احلياة وتلبية متطلباتها‪.‬‬ ‫ومن منطلـق االهتمام الذي توليه حكومة خادم احلرمني ال شريفني بتنمية املوارد‬ ‫الب شرية؛ وع ًيا ب أهمية دورها يف حتقيق التنمية ال شاملة‪ ،‬كان توجه وزارة التعليم نحو تطوير‬ ‫املناهج الدرا سية ويف مقدمتها مناهج الريا ضيات‪ ،‬بد ًءا من املرحلة االبتدائية؛ سع ًيا لالرتقاء‬ ‫مبخرجات التعليم لدى الطالب‪ ،‬والو صول بهم إىل م صاف أقرانهم يف الدول املتقدمة‪.‬‬ ‫وتتميز هذه الكتب ب أنها تتناول املادة ب أ ساليب حديثة‪ ،‬تتوافر فيها عنا صر اجلذب والت شويق‪ ،‬التي‬ ‫جتعل الطالب يقبل على تعلمها ويتفاعل معها‪ ،‬من خالل ما تقدمه من تدريبات و أن شطة متنوعة‪ ،‬كما ت ؤكد‬ ‫هذه الكتب على جوانب مهمة يف تعليم الريا ضيات وتعلمها‪ ،‬تتمثل فيما ي أتي‪:‬‬ ‫·الرتابط الوثيق بني حمتوى الريا ضيات وبني املواقف وامل شكالت احلياتية‪.‬‬ ‫·تنوع طرائق عر ض املحتوى ب صورة جذابة م شوقة‪.‬‬ ‫· إبراز دور املتعلم يف عمليات التعليم والتعلم‪.‬‬ ‫·االهتمام باملهارات الريا ضية‪ ،‬التي تعمل على ترابط املحتوى الريا ضي وجتعل منه ك ًّ‬ ‫ال متكام ً‬ ‫ال‪ ،‬ومن بينها‪:‬‬ ‫مهارات التوا صل الريا ضي‪ ،‬ومهارات احل س الريا ضي‪ ،‬ومهارات جمع البيانات وتنظيمها وتف سريها‪ ،‬ومهارات‬ ‫التفكري العليا‪.‬‬ ‫·االهتمام بتنفيذ خطوات حل امل شكالت‪ ،‬وتوظيف ا سرتاتيجياتها املختلفة يف كيفية التفكري يف امل شكالت الريا ضية‬ ‫واحلياتية وحلها‪.‬‬ ‫·االهتمام بتوظيف التقنية يف املواقف الريا ضية املختلفة‪.‬‬ ‫·االهتمام بتوظيف أ ساليب متنوعة يف تقومي الطالب مبا يتنا سب مع الفروق الفردية بينهم‪.‬‬ ‫وملواكبة التطورات العاملية يف هذا املجال‪ ،‬ف إن املناهج املط َّورة والكتب اجلديدة سوف توفر للمعلم جمموعة متكاملة‬ ‫من املواد التعليمية املتنوعة التي تراعي الفروق الفردية بني الطالب‪ ،‬إ ضافة إىل الربجميات واملواقع التعليمية‪ ،‬التي توفر‬ ‫للطالب فر صة توظيف التقنيات احلديثة والتوا صل املبني على املمار سة‪ ،‬مما ي ؤكد دوره يف عملية التعليم والتعلم‪.‬‬ ‫ونحن إذ نقدّم هذه الكتب ألأعزائنا الطالب‪ ،‬لن أمل أن ت ستحوذ على اهتمامهم‪ ،‬وتلبي متطلباتهم‪ ،‬وجتعل تعلمهم لهذه‬ ‫املادة أكرث متعة وفائدة‪.‬‬ ‫والله ويل التوفيق‬  ‫الدوال التربيعية‬ ‫‪10.‬‬ ‫التهيئة للف صل ‪............................. 8‬‬ ‫‪ 1-8‬تمثيل الدوال التربيعية بيان ًّيا ‪12...........................‬‬ ‫معمل الجبر‪ :‬معدل التغير في الدالة التربيعية ‪21.............‬‬ ‫‪ 2-8‬حل المعادالت التربيعية بيان ًّيا ‪22.........................‬‬ ‫اختبار منت صف الف صل ‪27.............................‬‬ ‫‪ 3-8‬حل المعادالت التربيعية بإكمال المربع ‪28....................‬‬ ‫‪ 4-8‬حل المعادالت التربيعية باستعمال القانون العام ‪34..............‬‬ ‫اختبار الف صل ‪41................................‬‬ ‫االختبار التراكمي‪42..............................‬‬ ‫المعادالت الجذرية والمثلثات‬ ‫التهيئة للف صل ‪44.............................. 9‬‬ ‫‪ 1-9‬تبسيط العبارات الجذرية ‪46.............................‬‬ ‫معمل الحاسبة البيانية ‪ :‬األسس النسبية ‪52................‬‬ ‫‪ 2-9‬العمليات على العبارات الجذرية ‪53........................‬‬ ‫‪ 3-9‬المعادالت الجذرية ‪58................................‬‬ ‫‪ 4-9‬نظرية فيثاغورس ‪62..................................‬‬ ‫اختبار منت صف الف صل ‪67...........................‬‬ ‫‪ 5-9‬المسافة بين نقطتين‪68.................................‬‬ ‫‪ 6-9‬المثلثات المتشابهة ‪72.................................‬‬ ‫معمل الجبر‪ :‬استقصاء النسب المثلثية ‪78.................‬‬ ‫‪ 7-9‬النسب المثلثية‪79....................................‬‬ ‫اختبار الف صل ‪85................................‬‬ ‫االختبار التراكمي‪86..............................‬‬  ‫اإلإح صاء واالحتمال‬ ‫التهيئة للف صل ‪89............................. 10‬‬ ‫‪ 1-10‬تصميم دراسة مسحية ‪90...............................‬‬ ‫‪ 2-10‬تحليل نتائج الدراسة المسحية ‪95..........................‬‬ ‫‪ 3-10‬إحصائيات العينة ومعالم المجتمع‪102.......................‬‬ ‫اختبار منت صف الف صل ‪109............................‬‬ ‫‪ 4-10‬التباديل والتوافيق ‪110................................‬‬ ‫‪ 5-10‬احتماالت الحوادث المركبة ‪117.........................‬‬ ‫اختبار الف صل ‪123...............................‬‬ ‫االختبار التراكمي ‪124............................‬‬  ‫ إليك عزيزي الطالب‬ ‫ ستركز في درا ستك هذا العام على عدة مو ضوعات ريا ضية‪ ،‬ت شمل ما ي أتي‪:‬‬ ‫⦁ المعادالت الخط ّية والتربيعية‪.‬‬ ‫⦁ الدوال الخط ّية والتربيعية‪.‬‬ ‫⦁ كثيرات الحدود والعبارات الجذرية‪.‬‬ ‫⦁ اإلإح صاء واالحتمال‪.‬‬ ‫وفي أثناء دراستك‪ ،‬ستتعلم طرائق لحل المسائل الرياضية وتمثيلها بصور متعددة وسوف تفهم لغة‬ ‫الرياضيات وتستعمل أدواتها‪ ،‬وتنمي قدراتك الذهنية وتفكيرك الرياضي‪.‬‬ ‫ إليك عزيزي الطالب‬  ‫كيف ت ستعمل كتاب الريا ضيات؟‬ ‫⦁ اقر أ فقرة فيما سبق لتعرف ارتباط هذا الدرس بما درسته من قبل‪ ،‬ولتعرف أفكار الدرس الجديد‬ ‫اقرأ فقرة واآلآن ‪.‬‬ ‫⦁ ابحث عن المفردات المظللة باللون األصفر‪ ،‬واقرأ تعريف كل منها‪.‬‬ ‫والمحلولة بخطوات تفصيلية؛ لتوضيح أفكار الدرس الرئيسة‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫⦁ راجع المسائل الواردة في‬ ‫حيث تجد معلومات وتوجيهات تساعدك في متابعة األمثلة المحلولة‪.‬‬ ‫ إر شادات للدرا سة‬ ‫⦁ ارجع إلى‬ ‫؛ لتتذكر نُطق بعض الرموز والمصطلحات الرياضية‪.‬‬ ‫قراءة الريا ضيات‬ ‫⦁ ارجع إلى فقرة‬ ‫‪.‬‬ ‫مراجعة المفردات‬ ‫⦁ تذ َّكر بعض المفردات التي تع َّلمتها من قبل‪ ،‬بالرجوع إلى فقرة‬ ‫دائم ًا لتعرف األخطاء الشائعة التي يقع فيها كثير من الطالب حول بعض المفاهيم‬ ‫تنبيه!‬ ‫⦁ ارجع إلى فقرة‬ ‫الرياضية فتجتنبها‪.‬‬ ‫ليساعدك‬ ‫تدرب وحل الم سائل‬ ‫و‬ ‫✓ ت أكــــد‬ ‫⦁ ارجع إلى المثال المشار إليه مقابل بعض التمارين في فقرتي‬ ‫على حل هذه التمارين وما شابهها‪.‬‬ ‫لتتعرف بعض أنماط أسئلة االختبارات‪.‬‬ ‫تدريب على اختبار‬ ‫⦁ ا ستعن بأسئلة‬ ‫لتراجع أفكار الدروس السابقة‪.‬‬ ‫مراجعة تراكمية‬ ‫⦁ ارجع إلى‬ ‫لمراجعة بعض المهارات والمفاهيم الالزمة للدرس التالي‪.‬‬ ‫ا ستعد للدر س الالحق‬ ‫⦁ ا ستعمل أسئلة‬ ‫‪.‬‬ ‫دونته من أفكار في‬ ‫في نهاية كل فصل‪ ،‬بعد أن تُراجع أفكار الدرس مستفيدً ا مما َّ‬ ‫اختبار الف صل‬ ‫⦁ نفِّذ‬ ‫في نهاية كل فصل لمراجعة األفكار الرئيسة للفصل وماقبله من فصول‪.‬‬ ‫االختبار التراكمي‬ ‫⦁ نفذ‬ ‫كيف ت ستعمل كتاب الريا ضيات؟‬  ‫ّ‬ ‫الدوال التربيعية‬ ‫فيما سبق‬ ‫در ست حل المعادالت التربيعية بالتحليل‬ ‫للعوامل وا ستعمال خا صية الجذر‬ ‫التربيعي‪.‬‬ ‫واآلآن‬ ‫ أح ّل المعادالت التربيعية بيان ًّيا‪،‬‬ ‫وب إكمال المربع‪ ،‬و با ستعمال القانون‬ ‫العام‪.‬‬ ‫لماذا ؟‬ ‫تكاليف‪ :‬تقدر التكلفة الكلية‬ ‫"ت" لإلإنتاج اليومي لمنتج ما في من ش أة‬ ‫ صناعية بالدالة‪:‬‬ ‫ت( س) = ‪ 10 - 800‬س ‪  ​_14 ​ +‬س‪ 2‬حيث س‬ ‫عدد الوحدات المنتجة يوم ًّيا‪ ،‬ويمكن‬ ‫تمثيل هذه الدالة بيان ًّيا إلإيجاد عدد‬ ‫الوحدات المنتجة في اليوم الذي يجعل‬ ‫التكلفة أقل ما يمكن‪.‬‬ ‫المفردات‪:‬‬ ‫الدالة التربيعية ص (‪)12‬‬ ‫الجذر المكرر ص (‪)22‬‬ ‫ إكمال المربع ص (‪)28‬‬ ‫القانون العام ص (‪)34‬‬ ‫الدوال التربيعية‪ :‬اعمل هذه المطوية لتساعدك على تنظيم مالحظاتك‬ ‫منظم أفكار‬ ‫حول التمثيل البياني للدوال التربيعية‪ ،‬مبتدئًا بورقة مالحظات‪.‬‬ ‫ سم كل قسم كما في‬ ‫‪ّ 4‬‬ ‫‪ 3‬افتح الطية وقص‬ ‫‪ 2‬اط ِو الورقة مرتين‬ ‫‪ 1‬اط ِو الورقة طول ًّيا بحيث‬ ‫الشكل أدناه‪.‬‬ ‫على خطوط الطي‬ ‫عرض ًّيا لتكوين أربعة‬ ‫يتكون هامش خارجي‬ ‫ّ‬ ‫العرضية‪.‬‬ ‫أقسام‪.‬‬ ‫دليال على المطوية‪.‬‬‫ً‬ ‫الف صل ‪ :8‬الدوال التربيعية‬ ‫‪10‬‬  ‫التهيئة للف صل ‪8‬‬ ‫أجب عن االختبار اآلتي‪.‬انظر المراجعة السريعة قبل اإلجابة عن االختبار‪.‬‬ ‫مراجعة سريعة‬ ‫اختبار سريع‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيان ًّيا‪( :‬مهارة سابقة)‬ ‫استعمل جدول القيم لتمثيل الدالة ص = ‪ 3‬س‪ 1 +‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ص = ‪2‬س ‪2 +‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫ص=س‪3+‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ س ص = ‪ 3‬س ‪ 1 +‬ص‬ ‫‪2- 1 + )1-(3 1-‬‬ ‫ص = ‪0.5‬س ‪1 -‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫ص = ‪2-‬س ‪3 -‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 + )0(3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 + )1(3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬ص = ‪9 + 6‬س‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪4‬س ‪3 -‬ص = ‪12‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 + )2(3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬ص = ‪6‬س‬ ‫‪)8‬‬ ‫ص‪-‬س=‪1‬‬ ‫‪)7‬‬ ‫توفير‪ :‬مع محسن ‪ 100‬ريال‪ ،‬ويخطط لتوفير‬ ‫‪)9‬‬ ‫‪ 10‬رياالت أسبوع ًّيا‪ ،‬م ّثل بيان ًّيا معادلة تب ّين المبلغ‬ ‫الكلي (م) الذي سيوفره محسن في (س) أسبو ًعا‪.‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫حدّ د إذا كانت كل ثالثية حدود فيما يأتي تشكل مرب ًعا‬ ‫حدّ د إذا كانت ثالثية الحدود س‪10 -2‬س ‪ 25 +‬تشكل‬ ‫ً‬ ‫كاماًل‪ ،‬اكتب "نعم" أو "ال"‪ ،‬وإذا كانت كذلك فح ّللها‪:‬‬ ‫مرب ًعا ً‬ ‫كاماًل ‪ ،‬اكتب "نعم" أو "ال"‪ ،‬وإذا كانت كذلك‬ ‫(مهارة سابقة)‬ ‫فح ّللها‪:‬‬ ‫​س​ ​‪5 + 2‬س ‪25 +‬‬ ‫‪)11‬‬ ‫‪​ )10‬أ ​ ​‪12 + 2‬أ ‪36 +‬‬ ‫هل الحد األول مربع كامل؟ نعم‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪​ )12‬س​‪12 - ​2‬س ‪​ )13 32 +‬س​ ​‪20 + 2‬س ‪100 +‬‬ ‫هل الحد األخير مربع كامل؟ نعم‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪​4‬س​‪28+​2‬س ‪​ )15 49+‬ك ​ ​‪16 - 2‬ك ‪64 +‬‬ ‫‪)14‬‬ ‫هل الحد األوسط يساوي ‪1( 2-‬س) (‪)5‬؟ نعم‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪​5‬ت​‪12-​2‬ت ‪25 +‬‬ ‫‪)17‬‬ ‫‪​ )16‬أ ​ ​‪22 - 2‬أ ‪121 +‬‬ ‫​ ​ ‪10 -‬س ‪(​= 25 +‬س ‪​ ​ )5 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫​س ‪2‬‬ ‫‪​ )18‬س  ​‪2 +​2‬س ‪1 +‬‬ ‫‪11‬‬ ‫الف صل ‪ :8‬التهيئة للف صل ‪8‬‬  ‫تمثيل الدوال التربيعية بيان ًّيا‬ ‫لماذا؟‬ ‫تُعد نافورة الملك فهد في جدة أعلى نافورة من نوعها‬ ‫فيما سبق‬ ‫عرضا‬ ‫مترا‪ ،‬وتقدم ً‬ ‫في العالم‪ ،‬إذ يصل ارتفاعها إلى ‪ً 312‬‬ ‫در ست تمثيل الدوال الخطية‬ ‫رائ ًعا لحركة المياه والضوء‪ ،‬ويمكن تمثيل حركة المياه‬ ‫بيان ًّيا‪.‬‬ ‫بمعادالت تربيعية‪.‬كما يمكنك استعمال التمثيالت البيانية‬ ‫لهذه المعادالت لتوضيح مسار المياه‪.‬‬ ‫واآلآن‬ ‫ أح ّلل التمثيالت البيانية‬ ‫أيضا ّ‬ ‫دوال غير خطية تختلف‬ ‫خ صائ ص الدوال التربيعية‪ :‬درست ساب ًقا الدوال الخطية‪ ،‬وهناك ً‬ ‫للدوال التربيعية‪.‬‬ ‫ال هي دوال غير خطية‪ ،‬ويمكن كتابتها على الصورة‬ ‫أشكال تمثيالتها البيانية‪.‬فالدوال التربيعية مث ً‬ ‫ أم ّثل الدوال التربيعية‬ ‫د(س) = أس‪ +2‬ب س ‪ +‬جـ ‪ ،‬حيث أ ≠ ‪ ،0‬وتُسمى هذه الصورة بالصورة القياسية للدالة التربيعية‪ ،‬ويسمى‬ ‫بيان ًّيا‪.‬‬ ‫التمثيل البياني للدالة التربيعية قط ًعا مكافئًا‪.‬وتتماثل القطوع المكافئة حول خط يتوسطها ُيسمى محور التماثل‪،‬‬ ‫يقطع القطع في نقطة واحدة تُسمى الرأس‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫الدالة غير الخطية‬ ‫ أ ضف إلى‬ ‫‪‬‬ ‫الدوال التربيعية‬ ‫مفهوم أ سا سي‬ ‫الدالة التربيعية‬ ‫ال صورة القيا سية للدالة التربيعية‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫د(س) =​ ​ ​‬ ‫س‪2‬‬ ‫الدالة المولدة (األأم)‪:‬‬ ‫القطع المكافئ‬ ‫‪‬‬ ‫د(س) =​أ س  ​‪ + ​2‬ب س ‪ +‬جـ‬ ‫ ‬ ‫ال صورة القيا سية‪:‬‬ ‫محور التماثل‬ ‫الر أ س‬ ‫قطع مكافئ‬ ‫ ‬ ‫ شكل التمثيل‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫_‬ ‫ب‬ ‫س = ‪​  ​-‬‬ ‫ ‬ ‫محور التماثل‪:‬‬ ‫القيمة ال صغرى‬ ‫القيمة العظمى‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬أ‬ ‫متماثل‬ ‫جـ‬ ‫ ‬ ‫المقطع ال صادي‪:‬‬ ‫مفتوحا إلى أعلى‪ ،‬إذا كان أ > ‪ ،0‬وتمثل أدنى نقطة‬ ‫ً‬ ‫ويكون التمثيل البياني للدالة ص = أس‪ +2‬ب س ‪ +‬جـ‬ ‫مفتوحا إلى أسفل‪ ،‬إذا كان أ < ‪ 0‬وتم ّثل أعلى نقطة فيه نقطة القيمة العظمى‪،‬‬ ‫ً‬ ‫فيه نقطة القيمة الصغرى‪ ،‬ويكون‬ ‫وتم ِّثل نقطتا القيمة العظمى أو القيمة الصغرى رأس القطع‪.‬‬ ‫التمثيل البياني للقطع المكافئ‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫استعمل جدول القيم لتمثيل الدالة ص = ‪3‬س‪6 +2‬س ‪ 4 -‬بيان ًّيا‪ ،‬وحدّ د مجالها ومداها‪.‬‬ ‫م ّثل األزواج المرتبة بيان ًّيا‪ُ ،‬ثم ِصل بينها بمنحنى‪.‬‬ ‫مراجعة المفردات‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ س ص‬ ‫يمتد التمثيل البياني للقطع المكافئ إلى ما ال نهاية‬ ‫‪‬‬ ‫‪−  ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المجال والمدى‬ ‫المجال هو مجموعة جميع‬ ‫من كال طرفيه‪ ،‬ومجال الدالة هو جميع األعداد‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4- 0‬‬ ‫القيم الممكنة للمتغير‬ ‫الحقيقية‪ ،‬ومداها هو { ص| ص ≥ ‪} 7-‬؛ ألن‬ ‫‪−−−     ‬‬ ‫‪7- 1-‬‬ ‫‪−−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫المستقل س‪.‬وأما المدى‬ ‫‪ 7-‬هي القيمة الصغرى‪.‬‬ ‫‪4- 2-‬‬ ‫فهو مجموعة جميع القيم‬ ‫‪−−‬‬ ‫‪5 3-‬‬ ‫الممكنة للمتغير التابع ص‪.‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫استعمل جدول القيم لتمثيل الدالة ص = س‪ 3 +2‬بيان ًّيا‪ ،‬وحدِّ د مجالها ومداها‪.‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫الف صل ‪ :8‬الدوال التربيعية‬ ‫‪12‬‬  ‫‪‬‬ ‫األشكال المتماثلة هي تلك األشكال التي يكون نصفاها متطابقين‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تما ًما‪.‬فالقطع المكافئ هو شكل متماثل وله محور تماثل‪ ،‬وكل‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫نقطة في نصف القطع إلى يسار محور التماثل تقابلها نقطة في‬ ‫‪       ‬‬ ‫النصف اآلخر له‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ومن األسهل عادة تحديد الرأس ً‬ ‫أواًل عند إيجاد الخصائص من‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫التمثيل البياني‪ ،‬والذي يمثل إما نقطة عظمى أو نقطة صغرى للقطع‪.‬‬ ‫تحديد خ صائ ص القطع المكافئ من تمثيله البياني‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫أوجد الرأس‪ ،‬ومعادلة محور التماثل‪ ،‬والمقطع الصادي للتمثيل البياني اآلتي‪:‬‬ ‫الخطوة ‪  :1‬أوجد الرأس‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫بما أن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل فالرأس يم ّثل‬ ‫النقطة العظمى له وهي (‪.)3 ،2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫الخطوة ‪  :2‬أوجد محور التماثل‪.‬‬ ‫بما أن محور التماثل هو المستقيم الذي يمر بالرأس‪،‬‬ ‫ويقسم القطع إلى نصفين متطابقين؛ لذا تكون معادلة‬ ‫محور التماثل هي س= ‪.2‬‬ ‫الخطوة ‪  :3‬أوجد المقطع الصادي‪.‬‬ ‫بما أن المقطع الصادي هو النقطة التي يتقاطع فيها‬ ‫القطع المكافئ مع محور الصادات‪ ،‬وهي النقطة‬ ‫(‪)1- ،0‬؛ لذا يكون المقطع الصادي هو ‪.1-‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬ب)‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬أ)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫عند تحديد خصائص القطع المكافئ من قاعدة الدالة يكون من األسهل غال ًبا إيجاد معادلة محور التماثل أوالً‪.‬‬ ‫تحديد خ صائ ص القطع المكافئ من قاعدة دالته‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫أوجد الرأس‪ ،‬ومعادلة محور التماثل‪ ،‬والمقطع الصادي للدالة‪ :‬ص = ‪ ​2‬س​ ​‪4 + 2‬س ‪3 -‬‬ ‫ب‬ ‫_‬ ‫ إر شاداتللدرا سة‬ ‫صيغة معادلة محور التماثل‬ ‫س = ‪​  ​-‬‬ ‫‪2‬أ‬ ‫المقطع ال صادي‬ ‫بسط‬ ‫أ = ‪ ،2‬ب = ‪ّ ،4‬‬ ‫ س = ‪​ 4  ​-‬‬ ‫_ = ‪1-‬‬‫‪2×2‬‬ ‫المقطع الصادي هو‬ ‫معادلة محور التماثل هي س= ‪. 1-‬‬ ‫الحد الثابت (جـ) للدالة‬ ‫التربيعية في الصورة‬ ‫وإليجاد إحداثي الرأس‪ ،‬خذ القيمة الناتجة من معادلة محور التماثل‪ ،‬واعتبرها إحداث ًّيا سين ًّيا لرأس‬ ‫القياسية‬ ‫عوضها في معادلة القطع المكافئ إليجاد اإلحداثي الصادي‪.‬‬ ‫القطع المكافئ‪ ،‬ثم ّ‬ ‫المعادلة األصلية‬ ‫ص = ‪​2‬س​ ​‪4 + 2‬س ‪3-‬‬ ‫س = ‪ّ ،1-‬‬ ‫بسط‬ ‫= ‪5- = 3 - )1-(4 + 2​ ​)1-(​2‬‬ ‫دائما؛ لذا فالمقطع‬ ‫الرأس هو (‪ ،)5- ،1-‬وبما أن المقطع الصادي هو عند النقطة (‪ ،0‬جـ) ً‬ ‫الصادي هو ‪.3-‬‬ ‫‪13‬‬ ‫الدر س ‪ :1-8‬تمثيل الدوال التربيعية بيان ًّيا‬  ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫‪3‬ب) ص = ‪​2‬س  ​​‪2 + 2‬س ‪2 +‬‬ ‫‪ 3‬أ) ص = ‪​ 3-‬س  ​​‪6 + 2‬س ‪5 -‬‬ ‫هناك فروق عامة بين الدوال الخطية والدوال التربيعية تظهر في الجدول اآلتي‪:‬‬ ‫الدوال التربيعية‬ ‫الدوال الخطية‬ ‫ ص = أ​  س ​ ​ ‪ +‬ب س ‪ +‬جـ ؛ أ ≠ ‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ص = أ س ‪ +‬ب‬ ‫ال صورة القيا سية‬ ‫‪ ،2‬الحظ أن املتغري امل ستقل س يف احلد األأول‬ ‫‪ ،1‬الحظ أن جميع املتغريات من‬ ‫الدرجة‬ ‫هو من الدرجة الثانية‪ ،‬ومعامله أ ال ميكن أن‬ ‫الدرجة األأوىل‪.‬‬ ‫ي ساوي صف ًرا‪ ،‬و إال أ صبحت الدا ّلة خطية‪.‬‬ ‫ ص = ‪ 3‬س‪ 5 +2‬س ‪4 -‬‬ ‫ ص = ‪ 2‬س ‪6 +‬‬ ‫مثال‬ ‫قطع مكافئ‬ ‫خط م ستقيم‬ ‫التمثيل البياني‬ ‫مفتوحا إلى األعلى أم إلى أسفل‪ ،‬وإذا كان الرأس يمثل له نقطة صغرى أم‬ ‫ً‬ ‫كيف تحدد إن كان القطع المكافئ‬ ‫نقطة عظمى؟‬ ‫ أ ضف إلى‬ ‫‪‬‬ ‫القيم العظمى والقيم ال صغرى‬ ‫مفهوم أ سا سي‬ ‫التعبير اللفظي‪ :‬يكون التمثيل البياني للدالة‪ :‬د(س) =​أ س​ ​‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ ‪ ،‬حيث أ ≠ ‪:0‬‬ ‫مفتوحا إلى أعلى وله قيمة صغرى عندما أ > ‪0‬‬‫ً‬ ‫ ‬ ‫مفتوحا إلى أسفل وله قيمة عظمى عندما أ < ‪0‬‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫ مدى الدالة التربيعية هو جميع األعداد الحقيقية التي تزيد على أو تساوي القيمة‬ ‫الصغرى إذا كانت أ > ‪ ،0‬أو جميع األعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي القيمة‬ ‫العظمى إذا كانت أ < ‪.0‬‬ ‫أ سالبة‬ ‫ ‬ ‫أ موجبة‬ ‫مثال‪ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‬ ‫القيم العظمى والقيم ال صغرى‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫لتكن د(س) = ‪ ​2-‬س​ ​‪4 - 2‬س ‪.6 +‬‬ ‫تنبيه !‬ ‫ أ) حدّ د إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى‪.‬‬ ‫في الدالة د(س) = ‪​2-‬س ​ ​‪4 - 2‬س ‪ ،6 +‬أ = ‪ ،2-‬ب = ‪ ،4-‬جـ = ‪.6‬‬ ‫القيم ال صغرى والقيم‬ ‫العظمى‬ ‫مفتوحا إلى أسفل‪ ،‬ويكون للدالة قيمة عظمى‪.‬‬ ‫ً‬ ‫بما أن أ عدد سالب فالتمثيل البياني يكون‬ ‫تنس إيجاد كال اإلحداثيين‬ ‫ال َ‬ ‫السيني والصادي للرأس‬ ‫ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة‪.‬‬ ‫(س‪ ،‬ص)‪ ،‬حيث إن القيمة‬ ‫القيمة العظمى هي اإلحداثي الصادي للرأس‪.‬‬ ‫الصغرى أو القيمة العظمى‬ ‫‪-‬ب‬ ‫_ =​  ( ‪​) 4‬‬ ‫_ = ‪.1-‬‬ ‫اإلحداثي السيني للرأس = ​  ​‬ ‫تم ِّثل اإلحداثي الصادي له‪.‬‬ ‫‪2‬أ ‪​ 2- ​2‬‬ ‫الدالة األصلية‬ ‫ ‬ ‫ د (س) = ‪​2-‬س​‪4 -​2‬س ‪6 +‬‬ ‫س = ‪1-‬‬ ‫ ‬ ‫ د (‪6 + )1-(4 - 2​ ​)1-(​2- = )1-‬‬ ‫بسط‬ ‫ّ‬ ‫ د (‪ 8 = )1-‬‬ ‫إذن‪ ،‬القيمة العظمى تساوي ‪8‬‬ ‫الف صل ‪ :8‬الدوال التربيعية‬ ‫‪14‬‬  ‫جـ) حدد مجال الدالة ومداها‪.‬‬ ‫المجال هو جميع األعداد الحقيقية‪ ،‬والمدى هو جميع األعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي‬ ‫القيمة العظمى‪ ،‬أي {ص|ص ≤ ‪.} 8‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫ليكن د (س) = ‪2‬س‪4 -2‬س ‪. 1 -‬‬ ‫‪ 4‬أ) حدّ د فيما إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى‪.‬‬ ‫‪4‬ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة‪.‬‬ ‫‪4‬جـ) حدد مجال الدالة ومداها‪.‬‬ ‫تمثيل الدوال التربيعية بيان ًّيا‪ :‬تع ّلمت كيفية إيجاد العديد من الخصائص المهمة للدوال التربيعية‪.‬‬ ‫ أ ضف إلى‬ ‫‪‬‬ ‫تمثيل الدوال التربيعية بيان ًّيا‬ ‫مفهوم أ سا سي‬ ‫أوجد معادلة محور التماثل‪.‬‬ ‫الخطوة ‪:1‬‬ ‫أوجد الرأس وحدّ د إذا كان يم ّثل نقطة صغرى أم نقطة عظمى‪.‬‬ ‫الخطوة ‪:2‬‬ ‫أوجد المقطع الصادي‪.‬‬ ‫الخطوة ‪:3‬‬ ‫استعمل التماثل إليجاد نقاط أخرى على التمثيل البياني للدالة عند الضرورة‪.‬‬ ‫الخطوة ‪:4‬‬ ‫ِصل بين النقاط بمنحنى‪.‬‬ ‫الخطوة ‪:5‬‬ ‫تمثيل الدوال التربيعية بيان ًّيا‬ ‫مثال ‪5‬‬ ‫ إر شاداتللدرا سة‬ ‫م ّثل الدالة د (س) = س‪4 +2‬س ‪ 3 +‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫التماثل والنقاط‬ ‫النقاط الواقعة على‬ ‫أوجد معادلة محور التماثل‪.‬‬ ‫الخطوة ‪:1‬‬ ‫الطرفين المتقابلين لمحور‬ ‫‪-‬ب‬ ‫_‬ ‫صيغة معادلة محور التماثل‬ ‫س =​  ​‬ ‫ ‬ ‫التماثل تبعد المسافة نفسها‬ ‫‪2‬أ‬ ‫ويسارا‪،‬‬ ‫ً‬ ‫عن المحور يمينًا‬ ‫س ‪4-‬‬ ‫أ=‪،1‬ب=‪4‬‬ ‫_​ ‬ ‫=​ ‬ ‫‪1×2‬‬ ‫كما تبعد بعدً ا متساو ًيا من‬ ‫بسط‬ ‫س = ‪2-‬‬ ‫ ‬ ‫الرأس‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫أوجد الرأس‪ ،‬وحدّ د فيما إذا كان يم ّثل نقطة صغرى أم عظمى‪.‬‬ ‫الخطوة ‪:2‬‬ ‫المعادلة األصلية‬ ‫ص =​س​ ​‪4 + 2‬س ‪3 +‬‬ ‫ ‬ ‫س = ‪2-‬‬ ‫=​(‪3 + )2-(4 + 2​ ​)2-‬‬ ‫ ‬ ‫بسط‬ ‫ّ‬ ‫ ‬ ‫= ‪1-‬‬ ‫مفتوحا إلى أعلى؛ لذا‬ ‫ً‬ ‫يقع الرأس عند النقطة (‪ ،)1- ،2-‬وبما أن أ موجبة‪ ،‬فالتمثيل يكون‬ ‫يم ّثل الرأس قيمة صغرى‪.‬‬ ‫أوجد المقطع الصادي‪.‬‬ ‫الخطوة ‪:3‬‬ ‫المعادلة األصلية‬ ‫ص =​س​ ​‪4 + 2‬س ‪3 +‬‬ ‫ ‬ ‫س= ‪0‬‬ ‫=​(‪3 + )0(4 + 2​ ​)0‬‬ ‫ ‬ ‫بسط‬ ‫ّ‬ ‫ ‬ ‫=‪3‬‬ ‫المقطع الصادي يساوى ‪.3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫الدر س ‪ :1-8‬تمثيل الدوال التربيعية بيان ًّيا‬  ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫يقسم محور التماثل القطع المكافئ إلى جزأين متطابقين‪،‬‬ ‫الخطوة ‪:4‬‬ ‫لذا فإنه لكل نقطة على أحد الجزأين توجد نقطة تناظرها‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫في الجزء اآلخر‪ ،‬وتبعد المسافة نفسها عن المستقيم الذي‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫يم ّثل محور التماثل‪ ،‬وللنقطتين اإلحداثي الصادي نفسه‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ِصل بين النقاط بمنحنى‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫الخطوة ‪:5‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫‪5‬ب) د(س) = ‪ ​3‬س  ​‪6 - ​2‬س ‪2 +‬‬ ‫‪ 5‬أ) د(س) = ‪​2-‬س  ​​‪2 + 2‬س ‪1 -‬‬ ‫استعملت معلوماتك حول الدوال التربيعية والقطوع المكافئة والتماثل إلنشاء تمثيالت بيانية‪ ،‬ويمكنك‬ ‫تحليل هذه التمثيالت لحل مسائل من واقع الحياة‪.‬‬ ‫ا ستعمال تمثيل الدوال التربيعية بيان ًّيا‬ ‫مثال ‪ 6‬من واقع الحياة‬ ‫فيلما إلطالق نموذج صاروخ‪ ،‬حيث يمكن تمثيل‬ ‫فيزياء‪ :‬عرضت الجمعية السعودية للعلوم الفيزيائية ً‬ ‫س‬ ‫‪2‬‬‫س‬ ‫س‬ ‫ارتفاع الصاروخ عن األرض باألقدام بعد (س) ثانية بالدالة ف( ) = ‪.312 + 130 + 13-‬‬ ‫م ّثل الدالة بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ أ)‬ ‫ب‬ ‫_‬ ‫معادلة محور التماثل‬ ‫ ‬ ‫س = ‪​  ​-‬‬ ‫ُأنشئت الجمعية السعودية للعلوم‬ ‫‪2‬أ‬ ‫أ = ‪ ، 13 -‬ب = ‪130‬‬ ‫ ‬ ‫س = ‪​ 130  ​ -‬‬ ‫_= ‪5‬‬ ‫الفيزيائية في جامعة الملك‬ ‫‪)13-(2‬‬ ‫خالد عام ‪1422‬هـ؛ لتهيئة سبل‬ ‫بما أن معادلة محور التماثل س = ‪5‬؛ لذا فاإلحداثي السيني للرأس هو ‪.5‬‬ ‫التواصل بين المهتمين بمجاالت‬ ‫العلوم الفيزيائية المختلفة‪ ،‬من‬ ‫ ص = ‪​13-‬س​‪130 +​2‬س ‪312 +‬‬ ‫   المعادلة األصلية‬ ‫خالل عقد وتنظيم الندوات‬ ‫= ‪312 +)5( 130 + 2)5( 13-‬‬ ‫   س = ‪5‬‬ ‫ ‬ ‫والمؤتمرات في مجال العلوم‬ ‫الفيزيائية‪.‬‬ ‫    ّ‬ ‫بسط‬ ‫   = ‪637= 312 + 650 + 325-‬‬ ‫الرأس هو (‪.)637 ،5‬‬ ‫ولتجد نقطة أخرى‪ ،‬اختر س = ‪ّ 0‬‬ ‫وعوض ذلك في الدالة‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫األصلية‪ ،‬فتكون النقطة الجديدة هي (‪ ،)312 ،0‬وتكون‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫النقطة المقابلة لها على الطرف اآلخر لمحور التماثل هي‬ ‫‪‬‬ ‫(‪.)312 ،10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫كرر هذه العملية واختر س = ‪ 2‬لتحصل على النقطة‬ ‫ّ‬ ‫‪‬‬ ‫(‪ ،)520 ،2‬وتكون النقطة المقابلة لها (‪ ،)520 ،8‬ثم صل‬ ‫بين هذه النقاط بمنحنى‪.‬‬ ‫ما االرتفاع الذي ُأطلق منه الصاروخ؟‬ ‫ب)‬ ‫أي من على ارتفاع ‪ 312‬قد ًما‬ ‫ُأطلق الصاروخ عندما كان الزمن ً‬ ‫صفرا‪ ،‬أو عند المقطع الصادي للدالة‪ْ ،‬‬ ‫عن األرض‪.‬‬ ‫ما أقصى ارتفاع يصله الصاروخ؟‬ ‫جـ)‬ ‫القيمة العظمى لالرتفاع تقع عند الرأس؛ لذا يصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع له ‪ 637‬قد ًما بعد‬ ‫خمس ٍ‬ ‫ثوان من بدء االنطالق‪.‬‬ ‫الف صل ‪ :8‬الدوال التربيعية‬ ‫‪16‬‬  ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫‪ )6‬رمي الرمح‪ :‬يشارك علي في مسابقة رمي الرمح‪ ،‬ويمكن تمثيل ارتفاع الرمح (ص) باألقدام بعد‬ ‫(س) ثانية‪ ،‬بالمعادلة ص= ‪16-‬س‪64 +2‬س ‪.6 +‬‬ ‫ أ) م ّثل مسار هذا الرمح بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ب) ما االرتفاع الذي ُأطلق منه الرمح؟‬ ‫جـ) ما أقصى ارتفاع يصله الرمح؟‬ ‫✓ ت أكد‬ ‫استعمل جدول القيم‪ ،‬لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيان ًّيا‪ ،‬وحدِّ د مجالها ومداها‪:‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ص = ‪​3‬س​‪6 - ​2‬س ‪5 -‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫ص =​س​ ​‪2 + 2‬س ‪1 -‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫ص = ‪​2‬س​ ​‪4 + 2‬س ‪6 -‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫أوجد الرأس‪ ،‬ومعادلة محور التماثل‪ ،‬والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي‪:‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫أوجد الرأس‪ ،‬ومعادلة محور التماثل‪ ،‬والمقطع الصادي لكل دالة فيما يأتي‪:‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫ص = ‪​4‬س​‪8 - ​2‬س ‪9 +‬‬ ‫‪)9‬‬ ‫ص =​س​‪4 - ​2‬س ‪5 +‬‬ ‫‪)8‬‬ ‫ص = ‪​-‬س​ ​‪2 + 2‬س ‪1 +‬‬ ‫‪)7‬‬ ‫في األسئلة ‪ 12-10‬أجب عما يأتي‪:‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫ أ) حدّ د فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم قيمة عظمى‪.‬‬ ‫ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى‪.‬‬ ‫جـ) حدِّ د مجال الدالة ومداها‪.‬‬ ‫ص = ‪​2-‬س​ ​‪8 + 2‬س ‪6 -‬‬ ‫‪ )11‬ص = ‪​3-‬س​ ​‪6 + 2‬س ‪)12 3 +‬‬ ‫ص = ‪​-‬س​‪2 - ​2‬س ‪2 +‬‬ ‫‪)10‬‬ ‫م ّثل كل دالة فيما يأتي بيان ًّيا‪:‬‬ ‫مثال ‪5‬‬ ‫‪ )14‬د(س) = ‪​2-‬س​ ​‪4 + 2‬س ‪)15 1 +‬د(س) = ‪​2‬س​‪8 - ​2‬س ‪4 -‬‬ ‫د(س) = ‪​3-‬س​ ​‪6 + 2‬س ‪3 +‬‬ ‫‪)13‬‬ ‫كرة‪ :‬يقذف ياسر كرة في الهواء‪ ،‬وفق المعادلة ص = ‪16-‬س‪16 +2‬س‪ 5 +‬حيث تم ِّثل (ص) ارتفاع‬ ‫مثال ‪)16 6‬‬ ‫الكرة باألقدام بعد (س) ثانية‪.‬‬ ‫ أ) م ّثل هذه الدالة بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ب) ما االرتفاع الذي ُقذفت منه الكرة؟‬ ‫جـ) ما أقصى ارتفاع تصله الكرة من سطح األرض؟‬ ‫‪17‬‬ ‫الدر س ‪ :1-8‬تمثيل الدوال التربيعية بيان ًّيا‬  ‫تدرب وحل الم سائل‬ ‫استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيان ًّيا‪ ،‬وحدد مجالها ومداها‪.‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ص = ‪​2‬س​‪8 - ​2‬س ‪5 -‬‬ ‫‪)19‬‬ ‫ص = ‪​2‬س​ ​‪4 + 2‬س ‪7 +‬‬ ‫‪)18‬‬ ‫ص = ​س​ ​‪4 + 2‬س ‪6 +‬‬ ‫‪)17‬‬ ‫أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل‪ ،‬والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي‪:‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تقنية‪ :‬أوجد الرأس‪ ،‬ومعادلة محور التماثل‪ ،‬والمقطع الصادي لكل دالة فيما يلي‪ ،‬ومثلها بيان ًيا باستخدام أحد‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫التطبيقات الحاسوبية‪.‬‬ ‫ص = ‪​3-‬س​‪6 - ​2‬س ‪7 +‬‬ ‫‪ )24‬ص = ‪​2‬س​‪12 +​2‬س ‪)25 10 +‬‬ ‫ص = ​س​‪8 +​2‬س ‪10 +‬‬ ‫‪)23‬‬ ‫في األسئلة ‪ ،28-26‬أجب عما يأتي‪:‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫حدّ د فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى‪.‬‬ ‫ أ)‬ ‫ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى‪.‬‬ ‫جـ) حدِّ د مجال الدالة ومداها؟‬ ‫ص = ‪​3‬س​ ​‪18 + 2‬س ‪21 -‬‬ ‫‪)28‬‬ ‫ص = ​س​ ​‪4 + 2‬س ‪5 -‬‬ ‫‪ )26‬ص = ‪​2-‬س​‪8 - ​2‬س ‪)27 1 +‬‬ ‫م ّثل كل دالة فيما يأتي بيان ًّيا‪:‬‬ ‫مثال ‪5‬‬ ‫ص = ‪​3‬س​‪12 - ​2‬س ‪5 +‬‬ ‫‪ )29‬ص = ‪​3-‬س​ ​‪6 + 2‬س ‪ )30 4 -‬ص = ‪​2-‬س​‪4 - ​2‬س ‪)31 3 -‬‬ ‫كرة قدم‪ :‬قذف حارس المرمى الكرة من مستوى سطح األرض إلى األعلى بسرعة ابتدائية مقدارها‬ ‫‪)32‬‬ ‫‪ 90‬قد ًما في الثانية‪ ،‬والدالة ع = ‪16-‬ن‪90 +2‬ن تم ّثل ارتفاع الكرة بعد (ن) ثانية‪.‬‬ ‫ أ) ما ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة؟‬ ‫ب) متى تكون الكرة على ارتفاع ‪ 126‬قد ًما؟‬ ‫جـ)ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة؟  ‬ ‫عندما ينطلق الجسم أو األداة في‬ ‫الهواء يسمى مقذو ًفا‪ ،‬وقد يكون‬ ‫هذا الجسم أداة جامدة مثل الرمح‪،‬‬ ‫قرص‪ ،‬كرة‪.... ،‬أو كائن حي مثل‬ ‫الوثب العالي‪ ،‬والوثب الطويل‪.‬‬ ‫الف صل ‪ :8‬الدوال التربيعية‬ ‫‪18‬‬ ‫ تمثيالت متعددة‪ :‬سوف تكتشف في هذه المسألة حل المعادالت التربيعية باستعمال جداول القيم‪.‬‬ ‫‪)33‬‬ ‫ أ) جبر ًّيا‪ :‬حدّ د الدالة المرتبطة بكل معادلة فيما يأتي‪ ،‬ثم انسخ الجدول وأكمله‪.‬‬ ‫األأ صفار‬ ‫الدالة المرتبطة‬ ‫المعادلة‬ ‫​ س​ ​‪ - 2‬س = ‪12‬‬ ‫​ س​ ​‪ 8 + 2‬س = ‪9‬‬ ‫​ س​ ​‪ 14 = 2‬س ‪24 -‬‬ ‫​ س​ ​‪ 16 + 2‬س = ‪28-‬‬ ‫ ‬ ‫ب) بيان ًّيا‪ :‬م ّثل كل دالة مرتبطة باستعمال الحاسبة البيانية‪.‬‬ ‫جـ) تحليل ًّيا‪ :‬استعمل قيم الجدول الموجودة على حاسبتك لتحديد أصفار كل دالة مرتبطة‪ ،‬ثم اكتب‬ ‫ إر شاداتللدرا سة‬ ‫األصفار في الجدول أعاله‪.‬‬ ‫األأ صفار‬ ‫عدد أصفار الدالة يساوي‬ ‫د) لفظ ًّيا‪ :‬وضح العالقة بين عدد حلول المعادلة وأصفار الدالة المرتبطة بها؟‬ ‫درجة الدالة مع احتساب‬ ‫الجذر المكرر‪.‬‬ ‫م سائل مهارات التفكير العليا‬ ‫ملخصا‬ ‫م س ألة مفتوحة‪ :‬اكتب دالة تربيعية معادلة محور التماثل لتمثيلها البياني هي س= ‪3 ​-‬‬ ‫_​ ‪،‬‬ ‫‪)34‬‬ ‫ً‬ ‫‪8‬‬ ‫خطوات عملك‪.‬‬ ‫اكت شف الخط أ‪ :‬تحاول عبير ومنى إيجاد محور التماثل للقطع المكافئ‪ ،‬فأيهما كانت إجابتها‬ ‫‪)35‬‬ ‫فسر إجابتك‪.‬‬ ‫صحيحة؟ ِّ‬ ‫عبير‬ ‫منى‬ ‫ ص = ‪ ​-‬س​ ​‪ 4 – 2‬س ‪6 +‬‬ ‫ ص = ‪ ​-‬س​ ​‪ 4 – 2‬س ‪6 +‬‬ ‫_‬ ‫ب‬ ‫_‬ ‫ب‬ ‫ س = ‪​  ​ -‬‬ ‫ س = ‪​  ​ -‬‬ ‫‪ 2‬أ‬ ‫​‬‫_‬‫‪4-‬‬ ‫ س = ‪​ -‬‬ ‫_‬ ‫‪ 2‬أ‬ ‫ س = ‪​ 4 ​ -‬‬ ‫‪)1-(2‬‬ ‫‪)1-(2‬‬ ‫ س = ‪2-‬‬ ‫ س = ‪2‬‬ ‫        ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تحدٍّ ‪ :‬اكتب معادلة التمثيل البياني المجاور باستعمال محور التماثل‬ ‫‪)36‬‬ ‫‪‬‬ ‫وأحد المقطعين السينيين‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫تبرير‪ :‬إذا كان رأس قطع مكافئ هو النقطة (‪ ،)0 ،2‬وإحدى نقاطه‬ ‫‪)37‬‬ ‫‪− ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫(‪ ،)9 ،5‬فأوجد نقطة أخرى عليه‪ ،‬واشرح طريقة إيجادها‪.‬‬ ‫‪− − ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫وضح كيفية إيجاد محور التماثل لمعادلة الدالة التربيعية‪ ،‬ثم‬ ‫اكتب‪ّ :‬‬ ‫‪)38‬‬ ‫فسر الخصائص األخرى للتمثيل البياني التي يمكنك اشتقاقها منه‪،‬‬ ‫ّ‬ ‫توصلت إليها‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫وكيف‬ ‫‪19‬‬ ‫الدر س ‪ :1-8‬تمثيل الدوال التربيعية بيان ًّيا‬  ‫تدريب على اختبار‬ ‫س‪1 2‬‬ ‫_​؟‬ ‫س‬ ‫ما مدى الدالة د ( ) = ‪2 ​ - ​ ​ ​4-‬‬ ‫‪)40‬‬ ‫هند سة‪ :‬دائرة مساحتها ‪36‬ط وحدة مربعة‪،‬‬ ‫‪)39‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذا زاد نصف قطرها إلى مثليه‪ ،‬فكم تصبح‬ ‫_​‬ ‫‪‬‬ ‫جميع األعداد الصحيحة التي تقل عن أو تساوي​ ‪2‬‬ ‫ أ)‬ ‫مساحة الدائرة الجديدة؟‬ ‫جميع األعداد الصحيحة غير السالبة‬ ‫ب)‬ ‫‪‬‬ ‫جميع األعداد الحقيقية‬ ‫جـ)‬ ‫‪1296‬ط وحدة مربعة‬ ‫جـ)‬ ‫‪72‬ط وحدة مربعة‬ ‫ أ)‬ ‫‪1‬‬ ‫_​‬ ‫جميع األعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي ‪2 ​-‬‬ ‫د)‬ ‫‪9‬ط وحدة مربعة‬ ‫د)‬ ‫‪144‬ط وحدة مربعة‬ ‫ب)‬ ‫مراجعة تراكمية‬ ‫(مهارة سابقة)‬ ‫حدّ د إذا كانت كل ثالثية حدود فيما يأتي تشكِّل مرب ًعا ً‬ ‫كاماًل‪ ،‬اكتب "نعم" أو "ال"‪ ،‬وإذا كانت كذلك فح ّللها‪:‬‬ ‫‪​9‬س​ ​‪8 + 2‬س ‪16 +‬‬ ‫‪)43‬‬ ‫‪​4‬س​‪20 - ​2‬س ‪25 +‬‬ ‫‪)42‬‬ ‫‪​4‬س​ ​‪4 + 2‬س ‪1 +‬‬ ‫‪)41‬‬ ‫ا ستعد للدر س الالحق‬ ‫مهارة سابقة‪:‬‬ ‫أوجد المقطع السيني للتمثيل البياني لكل معادلة فيما يأتي‪:‬‬ ‫‪3‬س ‪ -‬ص = ‪18-‬‬ ‫‪)46‬‬ ‫‪2‬س ‪3 -‬ص = ‪12‬‬ ‫‪)45‬‬ ‫س ‪2 +‬ص = ‪10‬‬ ‫‪)44‬‬ ‫الف صل ‪ :8‬الدوال التربيعية‬ ‫‪20‬‬  ‫معمل الجبر‬ ‫معدل التغير في الدالة التربيعية‬ ‫ُأطلق نموذج صاروخ من األرض إلى األعلى بسرعة ‪ 144‬قد ًما‪/‬ثانية‪ ،‬والدالة ص= ‪16-‬س‪ 144 +2‬س‬ ‫تم ّثل ارتفاع الصاروخ (ص) بعد (س) ثانية‪ ،‬يمكنك استقصاء معدل التغير في ارتفاع الصاورخ باستعمال الدالة‬ ‫التربيعية‪.‬‬ ‫ن شاط‬ ‫الخطوة ‪  :1‬انسخ الجدول أدناه‪.‬‬ ‫‪9.0‬‬ ‫…‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1٫0‬‬ ‫‪0٫5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ س‬ ‫‪0‬‬ ‫ ص‬ ‫—‬ ‫معدل التغير‬ ‫الخطوة ‪  :2‬أوجد قيمة ص عند كل قيمة من قيم س من ‪ 0‬إلى ‪.9‬‬ ‫الخطوة ‪  :3‬م ّثل األزواج المرتبة (س‪ ،‬ص) على ورقة مربعات‪ ،‬ثم صل بين النقاط بمنحنى‪،‬‬ ‫والحظ أن الدالة تتزايد عندما ‪ < 0‬س < ‪ ،4.5‬وتتناقص عندما ‪ < 4.5‬س < ‪.9‬‬ ‫الخطوة ‪  :4‬تذكر أن معدل التغير هو التغير في ص مقسو ًما على التغير في س‪ ،‬أوجد معدل التغير عند‬ ‫كل فترة طولها نصف ثانية‪.‬‬ ‫تمارين‬ ‫   ‬ ‫استعمل الدالة التربيعية ص = س‪2‬‬ ‫مشابها للجدول الوارد في النشاط مستعم ً‬ ‫ال قيم س‪ ،4 ،3 ،2 ،1 ،0 ،1- ،2- ،3- ،4- :‬ثم أوجد قيم ص عند كل‬ ‫ً‬ ‫أنشئ جدوالً للدالة‬ ‫‪)1‬‬ ‫قيمة من قيم س‪.‬‬ ‫م ّثل بيانيا األزواج المرتبة على ورقة مربعات‪ِ ،‬‬ ‫وص ْل بين النقاط بمنحنى‪ ،‬ثم صف تزايد الدالة وتناقصها‪.‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫ًّ‬ ‫أوجد معدل التغير في كل عمود بد ًءا من س= ‪ ،3-‬وقارن بين معدالت التغير عندما تتزايد الدالة‪ ،‬وعندما تتناقص‪.‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫سق َط جسم من ارتفاع ‪ 100‬قدم يف اهلواء فإنه يسقط بمعدل يمكن متثيله بالدالة د (س) = ‪ 16-‬س‪ 100 +2‬مع جتاهل مقاومة‬ ‫‪ )4‬تحدَّ ‪ :‬إذا ُأ ِ‬ ‫اهلواء‪ ،‬حيث مت ّثل د (س) ارتفاع اجلسم باألقدام بعد (س) ثانية‪ ،‬أنشئ جدوالً للقيم كام يف اجلدول الوارد يف مترين ‪ ،1‬واخرت ً‬ ‫قياًم مناسبة‬ ‫لـ (س)‪ ،‬وأكمل اجلدول بقيم س‪ ،‬ص ومعدالت التغري‪ ،‬ثم قارن بني هذه املعدالت‪ ،‬وصف األنامط التي تالحظها‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫تو سع ‪ :1-8‬معمل الجبر‪ :‬معدل التغير في الدالة التربيعية‬  ‫حل المعادالت التربيعية بيان ًّيا‬ ‫لماذا ؟‬ ‫يع ّبر عن المسار المنحني لكرة قدم ُركلت داخل ملعب‬ ‫فيما سبق‬ ‫بالدالة ص = ‪-‬س‪18 + 2‬س؛ حيث (س) المسافة األفقية التي‬ ‫قطعتها الكرة باألمتار‪( ،‬ص) ارتفاع الكرة فوق سطح األرض‬ ‫در ست حل المعادالت‬ ‫التربيعية بالتحليل إلى‬ ‫باألمتار‪.‬‬ ‫العوامل‪.‬‬ ‫ويمكن استعمال المقاطع السينية للتمثيل البياني لهذه الدالة‬ ‫لتحديد المسافة األفقية التي ستقطعها الكرة حتى تلمس‬ ‫واآلآن‬ ‫األرض‪.‬‬ ‫ أحل المعادالت التربيعية‬ ‫بيان ًّيا‪.‬‬ ‫حل المعادلة التربيعية بالتمثيل البياني‪ :‬الصورة القياسية للمعادلة التربيعية هي‪:‬‬ ‫ أقدّر حلول المعادالت‬ ‫أس‪+2‬ب س‪ +‬جـ = ‪ ،0‬حيث أ ≠ ‪ ،0‬ولكتابة الدالة التربيعية على صورة معادلة‪ ،‬استبدل ص أو د (س)‬ ‫التربيعية من تمثيلها‬ ‫بصفر‪ ،‬وتذكّر أن حلول المعادلة أو جذورها يمكن تحديدها بإيجاد المقاطع السينية للتمثيل البياني للدالة‬ ‫البياني‪.‬‬ ‫المرتبطة‪ ،‬ويوجد للمعادلة التربيعية حالن حقيقيان أو حل حقيقي واحد‪ ،‬أو ال يوجد لها حلول حقيقية‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫ أ ضف إلى‬ ‫‪‬‬ ‫حلول المعادالت التربيعية‬ ‫مفهوم أ سا سي‬ ‫الجذر المك ّرر‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ال يوجد حلول حقيقية‬ ‫حل حقيقي وحيد‬ ‫حالن حقيقيان مختلفان‬ ‫جذران حقيقيان مختلفان‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫حل المعادلة​س ​ ​‪2 - 2‬س ‪ 0 = 8 -‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫م ِّثل الدالة د (س) =​س ​‪2 - ​2‬س ‪ 8 -‬المرتبطة بالمعادلة بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تظهر المقاطع السينية للتمثيل البياني عند ‪4 ،2-‬؛ لذا فالحلول هي ‪4 ،2-‬‬ ‫تحقق‪ :‬تح ّقق من صحة كل حل بالتعويض في المعادلة األصلية‪.‬‬ ‫المعادلة األصلية        ​س​ ​‪2 - 2‬س ‪0 = 8 -‬‬ ‫    ​س​ ​‪2 - 2‬س ‪0 = 8 -‬‬ ‫س = ‪ 2-‬أو س = ‪0 8 - )4(2 - 2​ ​)4(​ 4‬‬ ‫ ​(‪0 8 - )2-(2 - 2​ ​)2-‬‬ ‫             ‪✓ 0 = 0‬‬ ‫بسط‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫       ‪✓ 0 = 0‬‬ ‫   ‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫‪1‬ب) ​س ​‪4 - ​2‬س ‪0 = 3 +‬‬ ‫‪ 1‬أ) ‪​-‬س ​‪3 - ​2‬س ‪0 = 18 +‬‬ ‫سمى‬ ‫حلول المعادلة في مثال ‪ 1‬عددان حقيقيان مختلفان‪ ،‬إال أنه أحيانًا يكون الجذران هما العدد نفسه‪ ،‬و ُي ّ‬ ‫مكر ًرا‪.‬‬ ‫جذرا ّ‬ ‫عندها ً‬ ‫الف صل ‪ :٨‬الدوال التربيعية‬ ‫‪22‬‬  ‫جذر مكرر‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫حل المعادلة​س ​ ​‪6 - 2‬س = ‪ 9-‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية‪.‬‬ ‫الخطوة ‪:1‬‬ ‫المعادلة األصلية‬ ‫       ​س​ ​‪6 - 2‬س = ‪9-‬‬ ‫أضف ‪ 9‬إلى كال الطرفين‪.‬‬ ‫          ​س ​‪6 - ​2‬س ‪0 = 9 +‬‬ ‫‪‬‬ ‫م ّثل الدالة المرتبطة د (س) =​س ​‪6 - ​2‬س ‪9 +‬‬ ‫الخطوة ‪:2‬‬ ‫َحدِّ د المقطع السيني للتمثيل البياني‪ ،‬والحظ أن رأس القطع‬ ‫الخطوة ‪:3‬‬ ‫المكافئ هو المقطع السيني الوحيد للدالة؛ لذا فإن للمعادلة‬ ‫ً‬ ‫حاًل وحيدً ا هو ‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حل المعادلة بالتحليل إلى العوامل‬ ‫تحقق‪:‬‬ ‫تنبيه !‬ ‫المعادلة األصلية‬ ‫ ​س​ ​‪6 - 2‬س ‪0 = 9 +‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحلول الدقيقة‬ ‫ح ّلل إلى العوامل‬ ‫ ‬ ‫(س ‪()3 -‬س ‪0 = )3 -‬‬ ‫ ‬ ‫قد تظهر الحلول التي‬ ‫س ‪  0 = 3 -‬خاصية الضرب الصفري‬ ‫    س ‪ 0 = 3 -‬أو‬ ‫نتوصل إليها من التمثيل‬ ‫البياني على أنها دقيقة‪ ،‬إال‬ ‫أضف ‪ 3‬إلى كال الطرفين‬ ‫ ‬ ‫ س = ‪3‬‬ ‫    س= ‪3‬‬ ‫أنه ال يمكنك التأكد من‬ ‫ذلك ما لم تتحقق منها في‬ ‫الحل الوحيد هو ‪3‬‬ ‫المعادلة األصلية‪.‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫✓‬ ‫‪2‬ب) ​س ​‪8- = ​2‬س ‪16 -‬‬ ‫‪ 2‬أ) ​س ​ ​‪10 = 25 + 2‬س‬ ‫كما أن هناك معادالت تربيعية ليس لها حلول حقيقية‪.‬‬ ‫ال يوجد جذور حقيقية‬ ‫مثال ‪3‬‬