Valoración de Bonos PDF

4 C A P Í T U L O C U AT r O VALUACIÓN DE BONOS UNA NUEVA INVERSIÓN en planta y equipo necesita capital; bonos son enormes. A mediados de 2006 la cantidad total a menudo, en gran cantidad. A veces las empresas reti...

4 C A P Í T U L O C U AT r O VALUACIÓN DE BONOS UNA NUEVA INVERSIÓN en planta y equipo necesita capital; bonos son enormes. A mediados de 2006 la cantidad total a menudo, en gran cantidad. A veces las empresas retienen de títulos del Tesoro de Estados Unidos era cercana a 8.4 utilidades para cubrir los costos de las inversiones, pero en billones de dólares.2 Las cantidades correspondientes en otras ocasiones deben obtener capital adicional de los Alemania y el Reino Unido fueron de alrededor de 1.1 billo- inversionistas. Si deciden no emitir más acciones ordinarias nes de euros y cuatro billones de libras esterlinas, respecti- se debe conseguir financiamiento. Si necesitan capital de vamente. Los mercados también son complejos, ya que los corto plazo podrían obtener un préstamo bancario, pero si operadores de bonos realizan negociaciones masivas moti- necesitan efectivo para inversiones de largo plazo, por lo vados por pequeñas diferencias de precios. general emiten bonos, que de hecho son préstamos de lar- Las tasas de interés de los bonos de gobierno son una go plazo. referencia para el resto de las tasas. Las empresas no pue- Las empresas no son las únicas emisoras de bonos. Los den endeudarse a las mismas tasas de interés bajas que municipios también reúnen dinero mediante la venta de pagan los gobiernos, pero cuando las tasas gubernamenta- bonos, y lo mismo hace el gobierno federal. Siempre existe les suben o bajan, las tasas empresariales siguen el mismo el riesgo de que una empresa o un municipio sea incapaz comportamiento más o menos de manera proporcional. Por de cumplir su promesa de pago, pero los inversionistas en lo tanto, es muy importante que los administradores finan- emisiones gubernamentales tienen la seguridad de que las cieros entiendan cómo se determinan las tasas de interés promesas de pago se cumplirán a tiempo y en su totali- del gobierno y qué sucede cuando éstas cambian. dad.1 Los bonos gubernamentales pagan flujos de efectivo Este capítulo se centra en la valuación de bonos guber- programados que incluyen intereses y devolución del capi- namentales y en las tasas de interés que el gobierno debe tal. No hay incertidumbre acerca de los montos ni los pla- pagar al momento de emitir deuda. Los mercados de estos zos. Por eso, la valuación de los bonos de gobierno es simple; sólo se trata de descontar con la tasa de interés libre de riesgo, ¿cierto? Pues es falso: no hay una sola tasa 1 Esto es válido sólo si el bono gubernamental se emitió en la divisa del de interés libre de riesgo sino docenas, de acuerdo con el propio país. Cuando los gobiernos emiten deuda en divisas extranjeras, los inversionistas no pueden estar completamente seguros de los pagos 2 futuros. Incluye 3.6 billones de dólares de organismos públicos. www.FreeLibros.me bre05108_ch04_059-084.indd Page 60 7/24/07 7:39:46 PM user1 /Volumes/102/MHIL014/mhbre/bre9ch04%0 60 PrIMErA PArTE Valor 60 vencimiento. PART Así, los ONE operadores Valuehablan de “tasas de inte- operadores de bonos cuando cotizan tasas spot o rendi- rés spot” o “rendimientos al vencimiento”, que no son la mientos al vencimiento. También comprenden por qué las misma cosa. tasas de interés son más bajas o más altas que las de largo This book is not for bond traders, but if you are short-term rates are usually lower (but sometimes Este libro no es adecuado para operadores de bonos, plazo, y por qué los precios de los bonos de plazo más lar- to be involved in managing the company’s debt, higher) than long-term rates and why the longest- pero si usted interviene en la administración de deuda de go están más expuestos a fluctuaciones en las tasas de you will have to get beyond the mechanics of dis- term bond prices are most sensitive to fluctuations una empresa, tendrá que ir más allá de la simple mecánica interés. Distinguen entre tasas de interés reales (ajustadas counting. Professional financial managers under- in interest rates. They can distinguish real (inflation- del descuento. Los administradores financieros profesiona- por la inflación) y nominales, y anticipan los efectos futuros lesstand sabenthe bondlaspages analizar páginasindedicadas the financial a las press and transacciones adjusted) interest de la inflación rates sobre lasand nominal tasas (money) de interés. ratescapítulo En este deknow bonoswhat en la bond prensadealers mean financiera, when they y entienden qué quote hacen los and anticipateestos abarcaremos how future temas. inflation can affect inter- spot rates or yields to maturity. They realize why est rates. We cover all these topics in this chapter. 4.1 USO DE LA FÓRMULA DE VALOR PRESENTE 4.1 PARA USING THE PRESENT VALUAR BONOS VALUE FORMULA TO VALUE BONDS IfSiyou usted ownes atenedor de un bond, you arebono, tiene entitled to derecho a recibir a fixed set of cashuna serie constante payoffs: Each yearde pagos en until efectivo. the Cobra losyou bond matures, intereses collect cada año hasta an interest que elthen payment; bonoat venza, y cuando maturity, esto you also getocurra recibirá back el valor the face nominal value del bono, of the bond, which queis se conoce called the como capital. principal Por lo tanto,. Therefore, when cuando the el bonomatures, bond venza, usted recibiráboth you receive tantotheel capital principal como andelinterest. interés. Breve viaje a Alemania para valuar un bono gubernamental A Short Trip to Germany to Value a Government Bond Comenzaremos nuestro análisis de la valuación de bonos con una visita a Alemania, We will start our discussion of bond values with a visit to Germany, where the donde las emisiones gubernamentales de largo plazo se conocen como bunds (abrevia- government issues long-term bonds known as “bunds” (short for Bundesanleihen). ción de Bundesanleihen), y pagan intereses y capital en euros. Por ejemplo, supongamos These bonds pay interest and principal in euros (€s). For example, suppose that in que en julio de 2006 decidió comprar un bund de 5% con valor nominal de 100 euros que July 2006 you decided to buy €100 face value of the 5% bund maturing in July 2012. vence en julio de 2012. Cada año hasta 2012 tendrá derecho a un pago de intereses de.05 Each year until 2012 you are entitled to an interest payment of.05 3100 €5. This 3 100 5 5 euros. Dicha cantidad se conoce como cupón del bono. Al final, el gobierno amount is the bond’s coupon.3 When the bond matures in 2012 the government pagará intereses por 5 euros más el valor nominal de 100 euros cuando el bono venza en pays you the final €5 interest, plus the €100 face value. Your first coupon payment 2012. El primer pago del cupón ocurrió al año, en julio de 2007. Por lo tanto, los flujos de is in one year’s time in July 2007. So the cash flows from owning the bonds are efectivo por la posesión del bono son los siguientes: as follows: Flujos de efectivo (euros) Cash Flows (€) 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2007 2008 2009 2010 2011 2012 5 5 5 5 5 105 €5 €5 €5 €5 €5 €105 ¿Cuál es el valor actual de estos pagos? A fin de determinarlos, usted necesitaría anali- What is the present value of these payoffs? To determine that, you need to look zar el rendimiento ofrecido por títulos similares. En julio de 2006, otros bonos de media- at the return offered by similar securities. In July 2006 other medium-term German no plazo del gobierno alemán ofrecieron un rendimiento de alrededor de 3.8%. Eso es lo government bonds offered a return of about 3.8%. That is what you were giving que sacrificó por adquirir los bonos de 5%. Por lo tanto, para valuar los bonos a 5%, up when you bought the 5% bonds. Therefore to value the 5% bonds, you must debe descontar los flujos de efectivo a 3.8%: discount the cash flows at 3.8%: 5 5 5 5 5 105 VP PV 2 3 4 5 €106.33 1.038 1.038 1.038 1.038 1.038 1.0386 3 Bonds used to come with coupons attached, which had to be clipped off and presented to the issuer to obtain the 3 Antespayments. interest los cuponesThisse is anexaban a los still the case withbonos, los cuales bearer bonds, wheretenían queevidence the only cortarseofy indebtedness enviarse al emisor paraitself. is the bond cobrar In los inte- reses.parts many Los bonos of thealworld portador son así bearer todavía, bonds porque are still issuedla and única evidencia are popular de endeudamiento with investors who es el propio would bono. rather remainEn muchas anonymous. The alternative partes del mundo todavíaissetoemiten issue registered bonds,alinportador, estos bonos which case theson que identity of the bond’s populares owner is recorded entre inversionistas que and desean per- the couponanónimos. manecer payments are Porsent el automatically. Bunds are contrario, se pueden registered emitir bonosbonds. nominativos, en los cuales se registra la identidad del tenedor y los pagos de cupones se envían de manera automática. Los bunds son bonos registrados. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 4 Valuación de bonos 61 En general, los precios de los bonos se expresan como porcentaje del valor nominal; por eso decimos que el bund de 5% vale 106.33 por ciento. Quizás usted haya advertido que hay un atajo para valuar el bund, ya que su compra es como un paquete de dos inversiones. La primera inversión paga los seis cupones anuales de cinco euros cada uno, y la segunda el valor nominal de 100 euros al venci- miento. Por lo tanto, la fórmula de la anualidad sirve para valuar los cupones; después se suma el valor presente del pago final: VP(bono) 5 VP(pagos de cupones)1 VP(pago final) 5 (cupón 3 factor de anualidad a 6 años) 1 (pago final 3 factor de descuento) 5 c_ __6 d _6 26.38 79.95 106.33 1 1 100.038_ __ 1 1.038(1.038) _ 100 5c (1.038).038(1.038)6 d 26.38 79.95 106.33.038 (1.038)6 Cualquier bono se puede valuar como si fuera un paquete de una anualidad (pagos de cupones) y un pago único (del valor nominal). En lugar de interrogarnos por el precio del bono, pudimos haber planteado la pre- gunta de otra manera: si el precio del bono es de 106.33%, ¿cuál es el rendimiento que piden los inversionistas? En este caso tendríamos que encontrar el valor de y que resuel- ve la siguiente ecuación: 5 5 5 5 5 105 106.33 106.331 y 5 11 y2 5 2 11 y2 53 11 y2 5 4 11 y255 11 y2 105 6 1 y 11 y2 2 11 y2 3 11 y2 4 11 y2 5 11 y2 6 La tasa y se conoce como rendimiento al vencimiento del bono, que en nuestro caso es de 3.8%. Si usted adquiriera el bono a 106.33% y lo conservara hasta el vencimiento, obtendría un rendimiento de 3.8% por los seis años. Esa cifra refleja tanto el pago de intereses como el hecho de que usted pague más hoy por el bono (106.33 euros) de lo que recibirá al vencimiento (100 euros). El único método general para calcular el rendimiento al vencimiento es el de prueba y error. Suponga una tasa de interés para encontrar el valor presente de los pagos del bono. Si ese valor presente es mayor que el precio actual, la tasa de descuento debió ser muy baja y es necesario que vuelva a intentar con una más alta. La solución más prácti- ca es utilizar un programa de hoja de cálculo o una calculadora programada para encon- trar rendimientos. De regreso a Estados Unidos: cupones semestrales y precios de bonos Al igual que en Alemania, el Tesoro de Estados Unidos obtienen financiamiento median- te subastas de nuevas emisiones de bonos. Algunas de esas emisiones tienen un venci- miento mayor a 30 años; otras, conocidas como notas, tienen un vencimiento de hasta 10 años. El gobierno también emite préstamos de corto plazo con vencimientos menores a un año, que se conocen como bonos del Tesoro. Veamos un ejemplo de nota del gobierno de Estados Unidos. En 2004, el Tesoro emi- tió notas de 4.0% que vencían en 2009. Los bonos del Tesoro tienen un valor nominal de 1 000 dólares, de modo que si adquiere uno recibirá 1 000 dólares en la fecha de venci- miento. También pueden anticiparse pagos de intereses frecuentes pero, a diferencia del bono alemán, se entregarán de manera semestral.4 En consecuencia, el bono paga un cupón de 4.0/2 5 2.0% del valor nominal cada seis meses. Una vez que se han emitido, los bonos del Tesoro se comercializan de manera amplia por medio de una red de operadores. Los precios a los que usted puede comprar o 4 La frecuencia del pago de intereses varía de país a país. Por ejemplo, la mayor parte de los bonos denominados en euros paga intereses en forma anual, mientras que los bonos del Reino Unido, Canadá y Japón lo hacen por lo general de manera bianual. www.FreeLibros.me 62 PrIMErA PArTE Valor F I g U R A 4.1 Muestra de cotizaciones de bonos de The Wall Street Journal, junio de 2006. Fuente: The Wall Street Journal, junio de 2006. © Dow Jones, Inc. vender bonos aparecen todos los días en los periódicos financieros. La figura 4.1 es una muestra de la página de cotizaciones de The Wall Street Journal. Observe el registro de nuestro bono del Tesoro a 4.0% que vence en junio de 2009. El precio de venta de 97:11 es el precio que tendría que pagarle a un operador para poseer el bono. Este precio se cotiza en 32avos en lugar de decimales. Por lo tanto, un precio de 97:11 significa que cada bono cuesta 97 con 11/32 o 97.34375% del valor nominal. Como el valor nominal del bono es 1 000 dólares, su precio cotizado es 973.4375.5 El precio de compra es la cantidad que los inversionistas recibirán si venden el bono a un operador. Éste genera ganancias mediante el cobro de un diferencial entre el precio de compra y el de venta. Note que el diferencial de los bonos a 4% es solamente 1/32 o alrededor de.03% del valor nominal. La siguiente columna de la figura 4.1 indica el cambio de precios desde el día ante- rior. El precio de los bonos de 4.0% disminuyó 1/32. Por último, la columna denomina- da “Ask Yld” contiene el rendimiento al vencimiento en venta. Como el interés es semestral, los rendimientos de los bonos estadounidenses se cotizan por lo general con capitalización semestral. Por ende, si usted adquiere el bono de 4.0% al precio de com- pra y lo retiene hasta el vencimiento, recibirá semestralmente un rendimiento capitali- 5 El precio del bono cotizado se conoce como precio plano (limpio). El precio que en realidad paga el tenedor del bono (a veces denominado precio sucio o entero) es igual al precio plano más el interés que el emisor ya recibió desde el último pago de cupón. El método exacto para calcular este interés devengado varía de acuerdo con el tipo de bono. En todo caso, es necesario utilizar el precio plano para hallar el rendimiento. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 4 Valuación de bonos 63 zable de 4.96%, que es equivalente a un rendimiento de seis meses de 4.96/2 5 2.48 por ciento. Ahora podemos repetir los cálculos del valor presente que hicimos con el bono del gobierno alemán. Es necesario subrayar que los bonos en Estados Unidos tienen un valor nominal de 1 000 dólares, pagan cupones semestrales y su rendimiento se capita- liza en forma semestral. Los flujos de efectivo de los bonos de 4% de 2009 son los siguientes: Flujos de efectivo (dólares) Dic. 2006 Jun. 2007 Dic. 2007 Jun. 2008 Dic. 2008 Jun. 2009 20 20 20 20 20 1 020 Si los inversionistas exigen un rendimiento semestral de 2.48% por invertir en bonos a tres años, el valor presente de esos flujos de efectivo será: 20 20 20 20 20 1 020 VP 2 3 4 5 6 $973.54 1.0248 1.0248 1.0248 1.0248 1.0248 1.0248 20 20 20 20 20 1 020 VP $973.54 Cada bono vale $973.54 1.0248 o 97.35% 1.0248 2 del valor 1.0248 3 nominal 1.0248 4 (la diferencia 1.02485 respecto 1.0248 6 a la cifra que aparece en The Wall Street Journal se debe a un error de redondeo). 4.2 VARIACIÓN DE LOS PRECIOS DE LOS BONOS CON LAS TASAS DE INTERÉS Los precios de los bonos varían conforme cambian las tasas de interés. Por ejemplo, supongamos que los inversionistas exigen un rendimiento de 3% sobre los bonos del Tesoro a tres años. ¿Cuál sería el precio de los cuatro trimestres de 2009? Sólo repita la última operación,20 pero con 20 un rendimiento 20 a20seis meses 20 de 1.5%: 1 020 VP 2 3 4 5 6 $1 028.49 1.015 1.015 1.015 1.015 1.015 1.015 20 20 20 20 20 1 020 VP $1 028.49 1.015 1.0152 1.0153 1.0154 1.0155 1.0156 es decir, 102.85% del valor nominal. Una tasa de interés más baja ocasiona que el precio del bono sea más alto. La recta decreciente de la figura 4.2 muestra el valor de nuestro bono a 4% para dife- rentes tasas de interés. Adviértase que conforme los rendimientos disminuyen, los pre- cios de los bonos aumentan. Cuando el rendimiento es igual al cupón (4%), el precio del bono es igual a su valor nominal. Cuando el rendimiento es menor, el bono se vende con prima. Los inversionistas en bonos cruzan los dedos para que las tasas de interés de merca- do sean menores, a fin de que el precio de sus títulos aumente. Si no tienen suerte y las tasas de interés aumentan, el valor de su inversión será menor. Es probable que cual- quier cambio de este tipo en las tasas de interés acarree efectos mínimos sobre el valor de los flujos de efectivo de corto plazo, pero tales efectos serían significativos sobre los flujos más distantes. De este modo, las fluctuaciones en las tasas de interés afectan más a los precios de los bonos de largo plazo que a los de corto plazo. Duración y volatilidad ¿Qué significa bonos de “largo plazo” y de “corto plazo”? Un bono con cupón a 30 años ofrece pagos en cada uno de los años, desde el 1 hasta el 30. Por lo tanto, describir el ins- trumento como un bono a 30 años es un poco engañoso, ya que el tiempo promedio para cada entrada de efectivo es de menos de 30 años. www.FreeLibros.me 64 PrIMErA PArTE Valor F I g U R A 4.2 Precio del bono, % El valor del bono con cupón de 115 4% a tres años disminuye conforme las tasas de interés 110 aumentan. 105 100 Bono de 4% a tres años 95 90 85 80 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tasa de interés, % Proporción del Proporción del valor total valor total Año Ct VP(Ct) a 5% [VP(Ct)/V ] x periodo 1 100 95.24 0.084 0.084 2 100 90.70 0.080 0.160 3 1 100 950.22 0.836 2.509 V = 1 136.16 1.000 Duración = 2.753 años T A B L A 4.1 Las primeras cuatro columnas muestran que el flujo de efectivo en el tercer año participa con menos de 84% del valor presente del bono de 10% a tres años. La columna final indica cómo calcular el periodo promedio ponderado de los flujos de efectivo. Este promedio representa la duración del bono. Consideremos un bono simple a tres años que paga un interés anual de 10% al año. En las primeras tres columnas de la tabla 4.1 se calcula el valor presente (V) del bono con un rendimiento supuesto al vencimiento de 5%. El valor total del bono es de 1 136.16 dólares. En la cuarta columna se muestra la participación de los pagos individuales en el valor del bono. Observe que el flujo de efectivo en el año 3 suma menos de 84% del valor. El restante 16% proviene de los flujos de efectivo anteriores. Los analistas de bonos utilizan el término duración para referirse al periodo prome- dio de cada pago. Si V representa el valor total del bono, la duración se calcula de la manera siguiente:6 [1 VP1C1 2] [2 VP1C2 2] [3 VP1C3 2] Duración... V V V 6 Esta medida también se conoce como duración Macaulay, por el nombre de su inventor. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 4 Valuación de bonos 65 La última columna de la tabla 4.1 muestra que, para el bono de 10% a tres años: Duración 5 (1 3.084) 1 (2 3.080) 1 (3 3.836) 5 2.753 años El vencimiento del bono es de tres años, pero el periodo promedio ponderado de cada flujo de efectivo es de sólo 2.753 años. A continuación estudiemos el caso de otro bono a tres años, cuyo pago de cupón es de 4%. Tiene el mismo vencimiento que el bono de 10%, pero en este caso los pagos de cupón durante los dos primeros años representan una pequeña fracción del valor total. En este sentido, el bono es de mayor plazo. La duración de los bonos de 4% a tres años es de 2.884 años. Veamos ahora lo que sucede con el precio de los bonos de 4 y 10% conforme cambian las tasas de interés: Bono de 3 años a 10% Bono de 3 años a 4% Precio nuevo Cambio Precio nuevo Cambio El rendimiento decrece.5% 1 151.19 11.32% 986.26 11.39% El rendimiento aumenta.5% 1 121.41 21.30 959.53 21.36 Diferencia 2.62 2.75 Una variación de un punto porcentual en el rendimiento provoca que el precio de los bonos de 10% cambie en 2.62%. Por ende, los bonos de 10% tienen una volatilidad de 2.62%, mientras que en los bonos de 4% es de 2.75%. Observe que los bonos de 4% tienen mayor volatilidad y duración. De hecho, la vola- tilidad de un bono se relaciona en forma directa con su duración:7 duración Volatilidad (%) 5 1 1 rendimiento Respecto a los bonos de 10%: 2.753 Volatilidad (%) 5 5 2.62 1.05 En la figura 4.3 se indica la forma en que los cambios en las tasas de interés afectan el precio de dos bonos de 4% a tres y 30 años. La volatilidad de cada bono es la pendiente de la línea que relaciona el precio del bono con la tasa de interés. El bono a 30 años tiene una duración mucho más larga que el de 3 años; en consecuencia, es más volátil, como indica la curva más inclinada de la figura 4.3. Observe que la volatilidad del bono se modifica conforme fluctúa la tasa de interés: la primera es más alta a tasas de interés más bajas (la curva es más inclinada) y más baja a tasas más altas (la curva es más hori- zontal).8 Advertencia La volatilidad mide el efecto de las fluctuaciones en las tasas de interés sobre los precios de los bonos. Por ejemplo, habíamos calculado que los bonos de 10% a tres años tenían 7 Por esta razón, la volatilidad también se conoce como volatilidad modificada. 8 Los inversionistas de bonos llaman a esta relación convexidad de un bono. www.FreeLibros.me 66 PrIMErA PArTE Valor F I g U R A 4.3 Precio del bono, % Gráfica de los precios de bonos 250 de 5% a tres y 30 años. Observe que los precios de los bonos de largo plazo son más sensibles a 200 los cambios en la tasa de interés Bono de 4% a 30 años que los bonos de corto plazo. 150 La volatilidad de los bonos es la pendiente de la curva que relaciona su precio con la tasa 100 Bono de 4% a 3 años de interés. 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tasa de interés, % F I g U R A 4.4 Rendimiento (%) Las tasas de interés a corto y largo plazos no siempre 7.5 son paralelas. En Estados Unidos, las tasas de interés a 7 corto plazo subieron rápidamente entre abril de 2000 y 6.5 Septiembre de 1992 septiembre de 1992, en tanto que las de largo plazo declinaron. 6 5.5 Abril de 2000 5 4.5 4 3.5 23 5 7 10 30 Vencimiento del bono (años) una volatilidad de 2.62. Esto significa que un cambio de un punto porcentual en las tasas de interés origina un cambio de 2.62% en el precio del bono: Cambio en el precio del bono 5 2.62 3 cambio en tasas de interés En el capítulo 27 mostraremos la forma en que esta medida de la volatilidad puede ayu- dar a las empresas a entender los efectos de los cambios en las tasas de interés y cómo puedan protegerse de tales riesgos. Si los rendimientos de los bonos fluctuaran al mismo ritmo, la medida de la volatili- dad captaría con exactitud el efecto de los cambios en la tasa de interés sobre los precios de los bonos. Sin embargo, en la figura 4.4 se muestra que las tasas de interés de corto y largo plazos nunca se mueven al unísono. Entre 1992 y 2000, las tasas de interés de corto plazo casi se duplicaron, mientras que las de largo plazo disminuyeron. Por ende, la pendiente de la estructura de plazos, que al principio mostraba una marcada ascenden- cia, se volvió descendente. Como los rendimientos de corto y largo plazos no varían en forma paralela, una sola medida de volatilidad no puede explicar todos los cambios; por eso los administradores no sólo deben preocuparse de los riesgos que implican los www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 4 Valuación de bonos 67 cambios agregados en las tasas de interés, sino también de los desplazamientos en la curva de la estructura a plazos. 4.3 ESTRUCTURA A PLAZOS DE LAS TASAS DE INTERÉS Analicemos con detalle la relación entre tasas de interés a corto y largo plazos. Considé- rese un préstamo sencillo que paga un dólar en el periodo 1. El valor presente del prés- tamo es: 1 VP 1 VP 1 r1 VP 1 1 r1 Descontamos el flujo de efectivo con r1, la tasa 1 actual r1 para un préstamo de un periodo. Por lo general se conoce como tasa spot de un periodo que se cotiza hoy. Si un préstamo pagara un dólar en los periodos 1 y 2, su valor presente sería: 1 1 1 1 1 r22 2 VP 1 1 r1 1 1 1r22 2 VP 1 1 r1 1 1 r22 2 VP 1 r1 Esta ecuación es idéntica a la que obtuvimos al principio del capítulo 3, cuando valua- mos una serie de flujos de efectivo carentes de riesgos. El flujo de efectivo del primer periodo se descuenta con la tasa spot de un periodo cotizada hoy, en tanto que el flujo del segundo periodo se descuenta con la tasa spot de dos periodos cotizada hoy. La serie de tasas spot r1, r2, etc., representa la estructura a plazos de las tasas de interés. Rendimiento al vencimiento y estructura de plazos En vez de descontar cada pago con diferentes tasas de interés, se podría calcular una sola tasa que genere el mismo valor presente. En realidad, ya lo habíamos calculado en la sección 4.1, cuando estimamos el rendimiento al vencimiento de los bonos guberna- mentales de Alemania y Estados Unidos. En el caso del préstamo sencillo de dos años, sólo se escribe el valor presente en términos 1 del rendimiento 1 al vencimiento como: VP VP 1 1 y 1 1 y2 2 1 VP 1 y 1 1 1 1 y2 2 1 y 1 1 y2 2 Los administradores financieros que busquen una medida rápida e informativa de las tasas de interés sólo tienen que leer la sección sobre rendimientos al vencimiento de los bonos gubernamentales en los periódicos financieros. También pueden consultar la cur- va de rendimiento, que resume la variación del rendimiento de los bonos con relación a su vencimiento. En este sentido, los administradores podrían hacer generalizaciones como: “La tasa de interés (es decir, el rendimiento) sobre un préstamo a cinco años es de cinco por ciento.” En este libro también utilizamos el término rendimiento al vencimiento como equiva- lente del rendimiento que piden los inversionistas en bonos. Sin embargo, es importan- te comprender las limitaciones de esta medida cuando las tasas spot r1, r2, etc., no son iguales. El rendimiento al vencimiento es un promedio de las tasas spot; como tal, podría ocultar información valiosa. Si desea entender por qué los bonos se venden a precios diferentes, tiene que profundizar y examinar por separado las tasas de interés de los flujos de efectivo a un año, dos años y así sucesivamente. En otras palabras, tiene que analizar las tasas de interés spot. www.FreeLibros.me 68 PrIMErA PArTE Valor Ejemplo A continuación se muestra un ejemplo en que la comparación de los ren- dimientos de dos bonos es engañosa. Estamos en 2009; usted piensa invertir en bonos del Tesoro de Estados Unidos y se topa con las siguientes cotizaciones: Bono Precio en % del valor nominal Rendimiento al vencimiento 5% de 2014 85.211 8.78% 10% de 2014 105.429 8.62 ¿Los bonos de 5% de 2014 son mejor inversión porque su rendimiento es mayor? La única forma de saberlo con seguridad es usar las tasas de interés spot para calcular los valores presentes de los bonos. En la tabla 4.2 (que supone, por simplicidad, cupones anuales) se muestran los resultados. El supuesto más importante de la tabla 4.2 es que las tasas de interés de largo plazo son más altas que las de corto plazo. En particular, suponemos que la tasa de interés a un año es r1 5.05, la de dos años es r2 5.06, y así sucesivamente. Cuando se descuenta el flujo de efectivo anual a una tasa apropiada, el valor presente del bono es igual al precio cotizado. De este modo los bonos se valúan en forma adecuada. Si los dos bonos tienen precios correctos, ¿por qué los bonos 5% tienen un rendimien- to superior? La razón es que por cada dólar que invierta en esos bonos, recibirá un flujo de efectivo relativamente menor durante los primeros cuatro años y más alto en el últi- mo año. Por consiguiente, aunque las fechas de vencimiento de los dos bonos sean idén- ticas, los bonos de 5% proporcionan casi todos sus flujos de efectivo en 2014. En otras palabras, los bonos de 5% representan una inversión de más largo plazo que los bonos de 10%. Su alto rendimiento al vencimiento refleja el hecho de que las tasas de interés de largo plazo rebasan a las de corto plazo. Vea por qué en este ejemplo el rendimiento al vencimiento es engañoso. Al momento de calcular el rendimiento, se utilizó la misma tasa para descontar todos los pagos del bono. Pero en nuestro ejemplo los tenedores de bonos exigen diferentes tasas de rendi- miento (r1, r2, etc.) para flujos de periodos distintos. Como los flujos de efectivo de los dos bonos tampoco son idénticos, tienen diferentes rendimientos al vencimiento; por lo tanto, el rendimiento de los bonos de 5% de 2014 es solamente una aproximación al rendimiento apropiado de los bonos de 10% de 2014. Cálculo del valor presente Bono de 5% de 2014 Bono de 10% de 2014 Tasa de interés Año spot Flujo de efectivo VP Flujo de efectivo VP 2010 r1 5.05 $ 50 $ 47.62 $ 100 $ 95.24 2011 r2 5.06 50 44.50 100 89.00 2012 r3 5.07 50 40.81 100 81.63 2013 r4 5.08 50 36.75 100 73.50 2014 r5 5.09 1 050 682.43 1 100 714.92 Totales $852.11 $1 054.29 T A B L A 4.2 Cálculo del valor presente de dos bonos cuando las tasas de interés de largo plazo son más altas que las de corto plazo. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 4 Valuación de bonos 69 Tasa spot % F I g U R A 4.5 5.5 Tasas spot de los bonos del Tesoro segregados 5.3 (junio de 2006). 5.1 4.9 4.7 4.5 4.3 4.1 3.9 3.7 3.5 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 o- o- o- o- o- o- o- o- o- o- ay ay ay ay ay ay ay ay ay ay M M M M M M M M M M Años Medición de la estructura a plazos Piense que la tasa spot, rt, es la tasa de interés de un bono que hace un pago único en el periodo t. Los instrumentos de ese tipo se conocen como bonos segregados, stripped bonds o simplemente strips. A petición del tenedor, el Tesoro dividirá un bono ordinario en paquetes de minibonos de pago único. Así, los bonos de 5% de 2014 podrían inter- cambiarse por cinco strips con cupones de 50 dólares y un strip principal de 1 000 dóla- res. Los periódicos financieros publican los precios diarios de los strips. Por ejemplo, en junio de 2006 un strip a 10 años costaba 609.06, y 10 años después ofrecía al tenedor un pago único de 1 000 dólares. Así, la tasa spot a 10 años era la siguiente: (1 000/609.06)1/10 – 1 5.0508 o 5.08%.9 En la figura 4.5 usamos los precios de strips a distintos vencimientos para indicar la estructura a plazos de las tasas spot de uno a 10 años. Se aprecia que los inversionistas requieren una tasa de interés más elevada por prestar a 10 años en lugar de uno. 4.4 DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA DE PLAZOS La estructura a plazos que mostramos en la figura 4.5 tenía una pendiente positiva. En otras palabras, las tasas de interés de largo plazo eran más altas que las de corto plazo. Esta estructura es la más común, aunque a veces se presenta una relación inversa cuan- do las tasas de corto plazo son más altas que las de largo plazo. ¿Por qué se producen estos cambios en la estructura de plazos? Veamos un ejemplo sencillo. Supongamos que la tasa spot de un año (r1) es de 5% y que la tasa de dos años es más elevada: r2 5 6%. Si usted invirtiera en un strip del Tesoro a un año, recibiría la tasa spot de un año y al final del periodo su inversión habría creci- do a (1 1 r1) 5 1.05 dólares. Si decidiera invertir a dos años, obtendría la tasa spot de dos años de r2 y al final del periodo cada dólar habría aumentado a (1 1 r2)2 5 1.062 5 1.1236 9 Se trata de una tasa capitalizable en forma anual. En Estados Unidos, los operadores de bonos cotizan tasas pagade- ras cada seis meses. www.FreeLibros.me 70 PrIMErA PArTE Valor F I g U R A 4.6 a ) Valor futuro de un dólar invertido en un préstamo a dos años Un individuo puede invertir en un préstamo a dos años a) o en dos Periodo 0 Periodo 2 préstamos sucesivos a un año b). En 2 (1 + r2) = (1 + r1) (1 + f2) equilibrio, según la teoría de las expectativas, los pagos esperados de ambas estrategias deberían ser los mismos. Es decir, la tasa de interés b ) Valor futuro de un dólar invertido en dos préstamos sucesivos a un año forward, f2, debe ser la misma que la tasa spot esperada, 1r2. Periodo 0 Periodo 1 Periodo 2 (1 + r1) (1 + 1r2) dólares. Si reinvierte su dinero en el segundo año, sus ahorros crecerán desde 1.05 dóla- res hasta 1.1236 dólares, lo que representa un incremento de 7.01%. Tal es el porcentaje que gana por mantener su dinero invertido dos años en lugar de uno, y se conoce como tasa de interés forward o f2. Observe cómo calculamos la tasa forward. Cuando invierte a un año, cada dólar aumenta hasta (1 1 r1), y a dos años hasta (1 1 r2)2. Por lo tanto, el rendimiento adicio- nal que se obtuvo en el segundo año es f2 5 (1 1 r2)2/(1 1 r1) – 1. En nuestro ejemplo, f2 11 r2 2 2 11 r1 2 1 11.062 2 11.052 1.0701, o 7.01% f2 11 r2 2 2 11 r1 2 1 11.062 2 11.052 1.0701, o 7.01% Si transformamos la ecuación anterior, obtenemos una expresión de la tasa spot a dos años, r2, en términos de la tasa spot a un año, r1, así como la tasa forward, f2: 11 r2 2 2 11 r1 211 f2 2 11 r2 2 2 11 r1 211 f2 2 Es decir, se puede interpretar la inversión a dos años como la ganancia de la tasa spot a un año y el rendimiento adicional, o la tasa forward, del segundo año. Teoría de las expectativas ¿Estaría satisfecho si ganara 7% adicional por invertir a dos años en lugar de uno? La respuesta depende de cuánto cree que cambiarán las tasas de interés el próximo año. Supongamos, por ejemplo, que anticipa un aumento rápido de las tasas de interés, por lo que al final del año la tasa a un año será de 8%. En ese caso, en lugar de invertir en un bono a dos años y ganar 7% adicional en el segundo año, sería mejor invertir en un bono a un año y, al vencimiento, reinvertir el dinero un año más a 8%. Si el resto de los inver- sionistas hiciera lo mismo, nadie estaría dispuesto a retener el bono a dos años y su precio caería hasta el punto en que el rendimiento adicional por mantenerlo sería igual a la tasa futura a un año esperada. Llamemos esta tasa esperada 1r2, o sea, la tasa spot en el año 1 de un préstamo con vencimiento al final del año 2.10 En la figura 4.6 se muestra que en ese punto los inversionistas ganarían el mismo rendimiento esperado por inver- tir en un préstamo a dos años en lugar de dos préstamos sucesivos a dos años. Esto se conoce como teoría de las expectativas de la estructura a plazos, la cual esta- blece que, en equilibrio, la tasa de interés forward f2 es igual a la tasa spot a un año espe- 10 Es importante que distinga 1r2 de r2, la tasa de interés spot de un bono retenido desde el periodo 0 hasta el periodo 2. La cantidad 1r2 representa una tasa spot a un año que fue cotizada en el periodo 1. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 4 Valuación de bonos 71 rada 1r2. La teoría implica que la única explicación de una estructura a plazos con pendiente positiva es que los inversionistas esperan que aumenten las tasas de interés de corto plazo; por el contrario, la única explicación de una estructura con pendiente negativa es que los inversionistas esperan que las tasas de corto plazo disminuyan.11 La teoría de las expectativas también señala que una inversión en una serie de bonos de corto plazo es equivalente al rendimiento esperado de otra inversión en bonos de largo plazo. Si las tasas de interés de corto plazo son mucho menores que las de largo plazo, resul- ta más tentador endeudarse a corto plazo. La teoría de las expectativas muestra que tales estrategias ingenuas no funcionarían: si las tasas de corto plazo son menores que las de largo plazo, es porque los inversionistas esperan que suban las tasas de interés. Cuando la estructura de plazos tiene pendiente positiva, la posibilidad de que gane dinero mediante el endeudamiento a corto plazo depende de que los inversionistas hayan sobrestimado los incrementos futuros en las tasas de interés. Incluso a primera vista, la teoría de las expectativas no da una explicación completa de la estructura de plazos. Por ejemplo, si analizamos el periodo 1900-2006 encontramos que el rendimiento de los bonos de largo plazo del Tesoro de Estados Unidos promedió alrededor de 1.2 puntos porcentuales más que el rendimiento de los bonos de corto pla- zo.12 Tal vez las tasas de corto plazo fueron menores que las pronosticadas por los inver- sionistas, pero es más probable que los inversionistas quisieran un rendimiento adicional por mantener los bonos de largo plazo, y que en general lo consiguieran. De ser así, la teoría de las expectativas es errónea. Hoy en día la teoría de las expectativas tiene pocos adeptos, aunque la mayoría de los economistas cree que las expectativas sobre las tasas de interés futuras tienen un impacto sustancial sobre la estructura a plazos. Por ejemplo, se escucha con frecuencia a los comentaristas financieros aseverar que la tasa de interés forward para los próximos meses está por encima de la actual tasa spot, y concluir que el mercado espera que la Reserva Federal aumente las tasas de interés. En realidad, hay pruebas sólidas que justifican estos razonamientos. Supongamos que en todos los meses del periodo 1950-2005 usó la tasa de interés forward a tres meses para predecir el cambio en la tasa spot correspondiente. Habría encontrado que, en pro- medio, cuanto más pronunciada fuera la estructura a plazos, más hubiera aumentado la tasa spot. Al parecer una parte de la teoría de las expectativas es acertada. Introducción del riesgo ¿Qué excluye la teoría de las expectativas? La respuesta más obvia es “el riesgo”. Si tie- ne confianza en el nivel futuro de las tasas de interés, seleccionará la estrategia que ofrezca el rendimiento más alto. Pero si no está seguro acerca de sus pronósticos, es más posible que elija una estrategia menos riesgosa, incluso si implica sacrificar parte del rendimiento. Recuerde que los precios de los bonos de larga duración son más volátiles que aque- llos de los bonos a corto plazo. Un incremento repentino en las tasas de interés podría rebajar con facilidad 30 o 40% del precio de los bonos de largo plazo. Algunos inversio- nistas no se preocupan por esa volatilidad adicional. Por ejemplo, los fondos de pensio- nes y las instituciones de seguros de vida que poseen pasivos de largo plazo, preferirán asegurar los rendimientos futuros mediante la inversión en bonos de largo plazo. Sin embargo, la volatilidad de estos bonos genera un riesgo adicional para los inversionistas 11 Así se desprende de nuestro ejemplo. Si la tasa spot a un año, r1, excede la tasa spot a dos años, r2, r1 también será superior a la tasa forward, f2. Si ésta es igual a la tasa spot esperada, 1r2, r1 también debe ser mayor que 1r2. 12 Los bonos del Tesoro de corto plazo tienen un vencimiento máximo de seis meses. Describimos estos bonos en el capítulo 30. www.FreeLibros.me 72 PrIMErA PArTE Valor que no poseen tales obligaciones. Estos inversionistas estarán preparados para mante- ner bonos de largo plazo sólo si ofrecen rendimientos más elevados. En este caso, la tasa forward debe ser superior a la tasa spot esperada; en consecuencia, la estructura a plazos tendrá una pendiente positiva más inclinada. Por supuesto, si se espera que disminu- yan las tasas spot futuras, la estructura de plazos podría tener una pendiente descen- diente y aun así recompensar a los inversionistas por prestar a largo plazo. Pero esta recompensa adicional por el riesgo asumido de invertir en bonos de largo plazo haría que la pendiente bajara menos. Inflación y estructura a plazos Al momento de comparar diferentes bonos, debe tomar en cuenta otro factor. Aunque se conozcan los flujos de efectivo de los bonos del Tesoro de Estados Unidos, nunca podrá estar seguro del valor del dinero, porque éste depende de la tasa de inflación. Pensemos que usted ahorra para su retiro. ¿Cuál de las siguientes estrategias es más riesgosa? ¿Invertir en varios bonos del Tesoro a un año o en uno a 20 años? Si adquiere el bono a 20 años, sabe con exactitud cuánto dinero tendrá al final del periodo, pero también hace una apuesta de largo plazo contra la inflación. Hoy en día es benigna, pero ¿en 20 años? La incertidumbre inflacionaria aumenta los riesgos de establecer hoy las tasas a las que prestaría en el futuro lejano. Podría reducir dicha incertidumbre si invierte en varios bonos de corto plazo. Aun- que desconozca la tasa a la que podrá reinvertir su dinero al final del año, al menos sabe que usará la última información disponible sobre la inflación del año siguiente. En este sentido, si la tasa de inflación se acrecienta, podrá transferir su dinero a otros instrumentos que ofrezcan una tasa de interés más alta. De modo que aquí encontramos otro motivo para que los bonos de largo plazo ofrez- can una prima de riesgo adicional. Si la inflación representa otro riesgo para los presta- mistas de largo plazo, los prestatarios deberán otorgar incentivos extraordinarios para que los inversionistas les presten dinero a largo plazo. Por esa razón la estructura a pla- zos tiene una pendiente mucho más inclinada cuando la tasa de inflación es incierta. 4.5 TASAS DE INTERÉS REALES Y NOMINALES Es el momento de estudiar en forma cuidadosa la relación entre inflación y tasas de interés. Supongamos que usted invierte 1 000 dólares en un bono a un año que realiza un pago único de 1 100 dólares al final. En sí, se conoce el flujo de efectivo, pero el gobierno no asegura en absoluto la capacidad de compra del dinero. Si los precios de los bienes y servicios aumentan más de 10%, usted perderá capacidad de compra. Hay varios índices para medir el nivel general de precios. El más conocido es el índi- ce de precios al consumidor (IPC), que mide la cantidad de dólares que una familia debe desembolsar para realizar compras. La tasa de inflación se calcula con el cambio en el IPC de un año a otro. En la figura 4.7 se muestra la tasa de inflación en Estados Unidos desde 1900. Su punto más alto se registró al final de la Primera Guerra Mundial, cuando llegó a 21%. Dicha cifra, sin embargo, pierde importancia cuando se compara con la inflación de Alemania en 1923, que fue superior a 20 000 000 000% al año (alrede- dor de 5% al día). Por supuesto, los precios no siempre aumentan. Por ejemplo, en los últimos años Japón y Hong Kong enfrentaron un problema de deflación. Estados Uni- dos experimentó deflación grave durante la Gran Depresión, cuando los precios dismi- nuyeron 24% en tres años. La tasa de inflación promedio en Estados Unidos fue de 3.1% entre 1900 y 2006. Según la figura 4.8, entre los países desarrollados Estados Unidos ha sido el que mejor www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 4 Valuación de bonos 73 25 F I g U R A 4.7 20 Tasas de inflación anual en Estados Unidos (1900-2006). 15 Inflación anual (%) Fuente: E. Dimson, P. R. Marsh y M. Staunton, Triumph of the Optimists: 101 Years of Investment Returns 10 (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2002); información actualizada por los autores. Reimpreso con 5 autorización de Princeton University Press. 0 5 10 15 1900 1912 1924 1936 1948 1960 1972 1984 1996 2006 F I g U R A 4.8 12 Tasa de inflación promedio en 10 17 países de 1900 a 2006. Inflación promedio (%) Fuente: E. Dimson, P. R. Marsh y M. 8 Staunton, Triumph of the Optimists: 101 Years of Investment Returns (Princeton, NJ: Princeton University 6 Press, 2002); información actualizada por los autores. Reimpreso con autorización de 4 Princeton University Press. 2 0 cia n Su á N cia ro ica 19 dio Fr a na lia Es a s U jos Ca os o ca lia Au ga Bé 3) Irl o Su da Es íse iza ñ d ic pó id Di tra pa /2 r Ita d na an e fr ue lg do a (e me Re ma an Pa Su ni Ja Un ta s B dá 22 s or P in x ia an em Al ha controlado la inflación. Los países que resultaron destruidos por la guerra experi- mentaron tasas de inflación más altas. Por ejemplo, en Italia y Japón la inflación duran- te el periodo 1900-2006 fue de 11% al año en promedio. En ocasiones, los economistas se refieren a dólares corrientes o nominales, en contra- posición a los dólares constantes o reales. Por ejemplo, el flujo de efectivo nominal de un bono a un año sería de 1 100 dólares. Ahora bien, supongamos que durante el año los precios de los bienes aumentaron 6%; por lo tanto, cada dólar compraría 6% menos bie- nes el siguiente año en comparación con el actual. Al final del año, 1 100 dólares com- prarán la misma cantidad de bienes que 1 100/1.06 5 1 037.74 dólares hoy. El pago nominal del bono sería de 1 100 dólares, pero el real sólo de 1 037.74 dólares. www.FreeLibros.me 74 PrIMErA PArTE Valor La fórmula general para convertir flujos de efectivo nominales de un periodo futuro t en flujos reales es: flujo de efectivo nominal Flujo de efectivo real t 5 (1 1 tasa de inflación) Por ejemplo, si invirtiera 1 000 dólares en un bono con cupón de 10% a 20 años, el pago final del último año equivaldría a 1 100 dólares; pero si la inflación anual fuera de 6%, el valor real de ese pago sería de 1 100/1.0620 5 342.99 dólares. Cuando un agente de bolsa afirma que un bono produce 10%, se refiere a la tasa de interés nominal. Esta tasa indica qué tan rápido su dinero crecerá. Inversión en dólares Ganancia en dólares del corrientes periodo 1 Resultado 1 000 → 1 100 Tasa de interés nominal de 10% Sin embargo, con una inflación de 6% estaría 3.774% mejor al final del año que al prin- cipio: Inversión en dólares Valor real esperado de dólares corrientes del periodo 1 Resultado 1 000 → 1 037.74 Tasa de interés real esperada de 3.774% Por consiguiente, podríamos decir que “la cuenta bancaria ofrece una tasa de rendi- miento nominal de 10%”, o que “ofrece una tasa de rendimiento real esperada de 3.774%”. La fórmula para calcular la tasa de rendimiento real es: 1 rreal 11 rnominal 2 11 tasa de inflación2 En nuestro ejemplo,13 1.03774 1.10 1.06 1.03774 5 1.10/1.06 Bonos indizados y tasa de interés real Casi todos los bonos son similares a los bonos del Tesoro de Estados Unidos: ofrecen una tasa de interés fija nominal. La tasa de interés real que usted recibe es incierta porque depende de la tasa de inflación. Si resulta ser más alta que la esperada, el rendimiento real de los bonos será menor que el pronosticado. Usted podría asegurarse un rendimiento real mediante la compra de un bono indiza- do cuyos pagos estuvieran vinculados a la inflación. En muchos países estos bonos han estado en circulación durante décadas, pero eran casi desconocidos en Estados Unidos hasta 1997, cuando el Departamento del Tesoro comenzó a emitir bonos protegidos con- tra la inflación que se conocen como Treasury Inflation-Protected Securities o TIPS (por sus siglas en inglés).14 13 Una regla básica indica que rreal 5 rnominal – tasa de inflación. En nuestro ejemplo, es igual a rreal 5.10 –.06 5.04 o 4%. Esta cifra no es una mala aproximación a la verdadera tasa de interés real de 3.774%. Pero es mejor utilizar la fórmula completa en aquellos países donde la inflación sea muy alta (a veces de 100% o más). 14 Antes de 1997 los bonos indizados no eran totalmente desconocidos en Estados Unidos. Por ejemplo, en 1780 se compensó a soldados de la Guerra de Independencia estadounidense con bonos indizados que pagaban el equiva- lente de “cinco medidas de maíz; 68 libras y cuatro séptimos de libra de carne de res; 10 libras de lana de oveja y 16 libras de cuero de oveja curtido. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 4 Valuación de bonos 75 Los flujos de efectivo reales de los TIPS son fijos, pero los nominales (intereses más capital) aumentan de acuerdo con el Índice de Precios al Consumidor. Por ejemplo, supongamos que el Tesoro de Estados Unidos emite TIPS de 3% a 20 años con un precio de 100 dólares. Si en el primer año el IPC aumenta (digamos) 10%, el cupón del bono se incrementará 10% a (1.1 3 3) 5 3.3%; el pago final del capital también aumentaría en la misma proporción a (1.1 3 100) 5 110%. Por ende, un inversionista que adquiere un bono al precio de emisión y lo retiene hasta el vencimiento recibirá un rendimiento real de tres por ciento. Mientras escribíamos esto en el verano de 2006, los TIPS de largo plazo ofrecían un rendimiento de alrededor de 2.3%. Este rendimiento es real: mide los bienes adiciona- les que la inversión permitirá comprar. De igual manera, ese rendimiento es 2.8% menor que el rendimiento nominal de los bonos del Tesoro. Si la tasa de inflación anual fuera mayor que 2.8%, se conseguiría un rendimiento más atractivo con una inversión en TIPS de largo plazo; por el contrario, si la tasa de inflación fuera menor que 2.8%, sería mejor una inversión en bonos nominales. El rendimiento real que exigen los inversionistas depende del ahorro voluntario de los individuos (oferta de capital)15 y de las oportunidades de inversión productiva del gobierno y las empresas (demanda de capital). Por ejemplo, pensemos que las oportuni- dades de inversión mejoran; como las empresas tienen ahora más proyectos rentables, estarán dispuestas a invertir más dada la tasa de interés prevaleciente en el mercado. En consecuencia, la tasa debe subir para inducir a los individuos a ahorrar la cantidad adi- cional que las empresas desean invertir.16 Por otro lado, si las oportunidades de inver- sión se deterioraran, habría una disminución en la tasa de interés real. Esto significa que la tasa de interés real requerida depende de fenómenos reales. Una elevada propensión agregada al ahorro estaría asociada con mayor riqueza agregada (porque los ricos generalmente ahorran más), una distribución desigual de la riqueza (la distribución equitativa implicaría menos ricos, que son quienes ahorran más) y una alta proporción de adultos (los jóvenes no necesitan ahorrar y los de edad avanzada ya no quieren: “No te lo puedes llevar”). Del mismo modo, una propensión grande a invertir se relacionaría con un elevado nivel de actividad industrial o importantes avances tec- nológicos. Las tasas de interés cambian, pero de manera gradual. Esto puede observarse en el Reino Unido, donde el gobierno ha emitido bonos indizados desde 1982. La línea infe- rior de la figura 4.9 especifica que el rendimiento real de estos bonos ha fluctuado en un rango relativamente pequeño, mientras que el rendimiento de los bonos nominales de gobierno (la línea superior) ha disminuido mucho. Inflación y tasas de interés nominales ¿Cómo inciden las perspectivas inflacionarias en la tasa de interés nominal? A continua- ción incluimos la respuesta del economista Irving Fisher a esta pregunta. Supongamos que los consumidores se sienten tan contentos con 100 manzanas hoy como con 105 dentro de un año. En este caso, la tasa de interés real o “en manzanas” es de 5%. Si el precio de las manzanas permanece constante, por ejemplo en un dólar, estaríamos con- tentos de recibir 100 dólares hoy o 105 dólares al final del año. Con los cinco dólares 15 Una parte de este ahorro es indirecto. Por ejemplo, si tiene 100 acciones de IBM y ésta decide retener utilidades de un dólar por acción, la empresa ahorrará 100 dólares a cuenta de usted. El gobierno también podría obligarlo a aho- rrar mediante el aumento de impuestos para invertir en carreteras, hospitales, etcétera. 16 Presuponemos que los inversionistas ahorran más conforme aumentan las tasas de interés. No tiene que ser de esa manera; a continuación incluimos un ejemplo radical de la forma en que una tasa de interés más alta podría significar menos ahorro. Supongamos que en 20 años necesitará 50 000 dólares a los precios actuales para los gastos de colegia- tura de sus hijos. ¿Cuánto tendrá que ahorrar hoy para cumplir con esa obligación? La respuesta es el valor presente del gasto real de 50 000 dólares después de 20 años o 50 000/(1 1 tasa de interés real).20 Cuanto más alta sea la tasa de interés, menores serán tanto el valor presente como su monto de ahorro. www.FreeLibros.me 76 PrIMErA PArTE Valor F I g U R A 4.9 14 La línea inferior indica el rendimiento real de 12 los bonos indizados de largo plazo emitidos Tasa de interés (%) por el gobierno británico. La línea superior 10 tasa de interés nominal a 10 años señala el rendimiento de los bonos nominales 8 de largo plazo. Observe que el rendimiento real ha sido mucho más estable que el nominal. 6 4 2 tasa de interés real a 10 años 0 Ene-84 Ene-86 Ene-88 Ene-90 Ene-92 Ene-94 Ene-96 Ene-98 Ene-00 Ene-02 Ene-04 Ene-06 adicionales compraremos 5% más manzanas dentro de un año que lo que hubiéramos podido comprar hoy. Supongamos ahora que el precio esperado de las manzanas será 10% mayor: 1.10 dólares por pieza. En ese caso, no estaríamos felices de sacrificar 100 dólares hoy por la promesa de 105 dólares el próximo año. Para comprar 105 manzanas dentro de un año, tendríamos que recibir 1.10 3 105 dólares 5 115.50. En otras palabras, la tasa de interés nominal tendría que incrementarse a 15.50% debido a la tasa de inflación esperada. La teoría de Fisher indica que un cambio en la tasa de inflación esperada ocasionará un cambio similar en la tasa de interés nominal, pero ninguno en la tasa de interés real reque- rida. La fórmula que relaciona la tasa de interés nominal con la inflación esperada es: 1 rnominal 11 rreal 211 i2 donde rreal es la tasa de interés real que los consumidores exigen e i es la tasa de infla- ción esperada. En nuestro ejemplo, el pronóstico inflacionario hace que 1 1 rnominal aumente a 1.05 3 1.10 5 1.155. Las tasas de interés nominales no pueden ser negativas; si lo fueran, los individuos preferirían mantener efectivo, el cual no produce intereses. ¿Y las tasas reales? Por ejem- plo, ¿es posible que la tasa de interés nominal sea de 5% y la tasa de inflación esperada de 10%, con lo cual se tendría una tasa de interés negativa? Si esto ocurriera, usted podría ganar dinero de la siguiente manera: se endeudaría con 100 dólares a una tasa de interés de 5% para comprar manzanas. A continuación, almacenaría las manzanas para venderlas dentro de un año a 110 dólares. Lo anterior redituaría dinero en cantidad suficiente para liquidar el préstamo más una ganancia de cinco dólares. Como no hay métodos fáciles para ganar dinero, concluimos que si no cuesta nada almacenar los bienes, la tasa de interés nominal no será inferior al aumento esperado en los precios. Empero, el costo de almacenaje de muchos bienes es más elevado que el de las manzanas, e incluso muchos no se almacenan (por ejemplo, los cortes de cabello). Para esos bienes la tasa de interés nominal puede ser menor que el aumento esperado en los precios. ¿Cuán acertada es la teoría de Fisher sobre las tasas de interés? No todos los economistas están de acuerdo con Fisher en que la tasa de inflación no afecta la tasa de interés real. Por ejemplo, si los cambios en los precios se asocian con los cambios en el nivel de actividad industrial, en condiciones inflacionarias quizá sería preferible una cantidad mayor o menor de 105 manzanas dentro de un año, para com- pensar la pérdida de 100 manzanas hoy. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 4 Valuación de bonos 77 a) Estados Unidos F I g U R A 4.10 20 El rendimiento de los bonos del Tesoro y la tasa de inflación en Estados Unidos, Japón y 15 Alemania (1953-2006). Rendimiento del bono Fuente: E. Dimson, P. R. Marsh y M. Staunton, 10 del Tesoro Triumph of the Optimists: 101 Years of Investment Returns (Princeton, NJ: Princeton University Press, % 2002); información actualizada por los autores. Con 5 autorización de Princeton University Press. Inflación 0 5 1953 1957 1961 1965 1969 1973 1977 1981 1985 1989 1993 1997 2001 2005 Año b) Japón 25 20 15 10 % Rendimiento del bono del Tesoro 5 Inflación 0 5 1953 1957 1961 1965 1969 1973 1977 1981 1985 1989 1993 1997 2001 2005 Año c) Alemania 15 Rendimiento del bono del Tesoro 10 5 % Inflación 0 5 1953 1957 1961 1965 1969 1973 1977 1981 1985 1989 1993 1997 2001 2005 Año www.FreeLibros.me 78 PrIMErA PArTE Valor Nos hubiera gustado mostrarle el comportamiento histórico de las tasas de interés y la inflación esperada. A falta de esto, nos contentamos con graficar en la figura 4.10 el rendimiento de los bonos del Tesoro (deuda gubernamental de corto plazo) contra la inflación real de Estados Unidos, Japón y Alemania. Observe que desde 1953 el rendi- miento de los bonos ha estado un poco por encima de la tasa de inflación. Los inversio- nistas de esos países ganaron, en promed