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Muestreo y Cuantificación de Señales Discretas Facultad de Ingeniería Universidad La Salle Agosto de 2024 Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación...

Muestreo y Cuantificación de Señales Discretas Facultad de Ingeniería Universidad La Salle Agosto de 2024 Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 1 / 19 La era digital Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 2 / 19 La era digital Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 2 / 19 La era digital Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 2 / 19 La era digital Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 2 / 19 La era digital Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 2 / 19 La era digital Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 2 / 19 La era digital Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 2 / 19 Señales y sistemas Universo de señales y sistemas “Pensé que el universo era un vasto sistema de señales, una conversación entre seres inmensos” Octavio Paz, Águila o Sol. Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 3 / 19 Señales y sistemas Universo de señales y sistemas “Pensé que el universo era un vasto sistema de señales, una conversación entre seres inmensos” Octavio Paz, Águila o Sol. Concepto de señal Cantidad física que varía con el tiempo, espacio, o cualquier otra variable o variables independientes. Por ejemplo las funciones s1 (t) = 5t s2 (t) = 20t2 describen dos señales, una que varía linealmente, y la otra cuadráticamente con la variable independiente t (tiempo). Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 3 / 19 Representación de señales Ejemplo de señal con dos variables independientes s(x, y) = 3x + 2xy + 10y2 Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 4 / 19 Representación de señales Ejemplo de señal con dos variables independientes s(x, y) = 3x + 2xy + 10y2 No siempre se conoce representación funcional Existen casos de señales en las que la dependencia funcional con la variable independiente se desconoce, o es demasiado complicada para tener utilidad práctica. Por ejemplo, las señales de voz. 500 400 300 200 100 0 −100 −200 −300 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 4 / 19 Sistemas Concepto de sistema Dispositivo físico que realiza una operación sobre una señal. Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 5 / 19 Sistemas Concepto de sistema Dispositivo físico que realiza una operación sobre una señal. Procesamiento de una señal Cuando una señal ha sido aplicada a un sistema, como en el caso del filtrado, decimos que la señal se ha procesado. x[n] w[n] y[n] En este ejemplo, la señal de entrada x[n] es procesada por el sistema o filtro w[n], el cual entrega la señal de salida y[n]. Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 5 / 19 Clasificación de señales (1) Multicanal   s1 (t) S3 =  s2 (t)  s3 (t) Multidimensional Por ejemplo, una imagen es una señal bidimensional: I(x, y). Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 6 / 19 Clasificación de señales (2) Señales contínuas y discretas Las señales contínuas tienen variable independiente real (tiempo contínuo). 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x(t) = sen t x(t) 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 2 4 6 8 10 12 t Las señales discretas tienen variable independiente entera (tiempo discreto). 1 0.8 0.6 0.4 π x[n] = sen n 0.2 x[nT] 0 −0.2 −0.4 2 −0.6 −0.8 = {0, 1, 0, −1, 0,...} −1 0 2 4 6 8 10 12 t Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 7 / 19 Procesamiento digital de señales Diagrama general de un sistema de PDS Señal Procesador Señal analogica ´ Conversor Conversor analogica ´ digital de entrada A/D D/A de salida de señales Señal Señal digital digital de entrada de salida Ventajas del procesamiento digital frente al analógico Flexibilidad en la reconfiguración de las operaciones. Mejor control de los requerimientos de precisión. Se almacenan fácilmente, sin pérdida o deterioro de la señal. Por lo general, de menor costo que los sistemas analógicos. Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 8 / 19 Conversión A/D Proceso de muestreo y cuantificación ´ Señal continua Señal discreta Señal digital Muestreo ´ Cuantificacion x(t) x[n] Q[x[n]] La representación puede ser en punto fijo o punto flotante. Nos enfocaremos por ahora, en cuantificación de punto fijo, es decir, aritmética entera con N bits. Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 9 / 19 Muestreo de señales contínuas Las señales contínuas pueden representarse como señales discretas mediante un proceso denominado muestreo. x(t) x[n] = x(t) t = nT... t n −1 0 1 2... p(t) T...... t −T 0 T 2T Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 10 / 19 Ejemplo: Muestreo de x(t) = sen t π T= 8 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x[nT] 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 2 4 6 8 10 12 t Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 11 / 19 Ejemplo: Muestreo de x(t) = sen t π π T= 8 T= 4 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 x[nT] x[nT] 0 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −1 −1 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 t t Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 11 / 19 Ejemplo: Muestreo de x(t) = sen t π π T= 8 T= 4 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 x[nT] x[nT] 0 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −1 −1 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 t t π T= 2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x[nT] 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 2 4 6 8 10 12 t Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 11 / 19 Ejemplo: Muestreo de x(t) = sen t π π T= 8 T= 4 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 x[nT] x[nT] 0 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −1 −1 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 t t π T= 2 T=π 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 x[nT] x[nT] 0 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −1 −1 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 t t Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 11 / 19 ¿Cuál es el periodo de muestreo T recomendado? Teorema de muestreo Sea x(t) una señal de banda limitada con X(jΩ) = 0 para |Ω| > Ωm. Entonces x(t) está determinada unívocamente por sus muestras x[nT], −∞ < n < ∞, si ΩT > 2Ωm , donde 2π ΩT = , T y ∫ ∞ X(jΩ) = x(t)e−jωt dt. −∞ La frecuencia más alta Ωm contenida en x(t) se denomina frecuencia de Nyquist. También llamado teorema de muestreo de Nyquist o de Shannon. Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 12 / 19 Reconstrucción de la señal contínua Filtro Xa(jΩ) pasobajas ideal xa (t) x[n] ^x[n] Ω Hr(jΩ) −Ωm Ωm p(t) X(j Ω)...... Ω −ΩT −Ωm ΩT ΩT −Ωm Hr(jΩ) T Ωm < Ωc < Ωm−ΩT Ω −Ωc Ωc ^ (jΩ) Xa Ω −Ωm Ωm Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 13 / 19 Frecuencia de muestreo Terminología ΩT > 2Ωm : sobremuestreo. ΩT = 2Ωm : muestreo crítico. ΩT < 2Ωm : submuestreo. Este caso genera aliasing en la reconstrucción. ΩT 1 Frecuencia en Hertz: Fs = 2π = T Tasas de muestreo comunes 8 kHz en telefonía digital. 44.1 kHz en audio CD. 48 KHz en audio DVD. Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 14 / 19 Ejemplo: Frecuencia de muestreo de una señal senoidal x(t) = sen Ωm t Este tipo de señal contiene una única frecuencia Ωm. ¿Cuál es la tasa de muestreo que debe usarse? Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 15 / 19 Ejemplo: Frecuencia de muestreo de una señal senoidal x(t) = sen Ωm t Este tipo de señal contiene una única frecuencia Ωm. ¿Cuál es la tasa de muestreo que debe usarse? Según el teorema de muestreo, deben tomarse las muestras a una frecuencia ΩT mayor al doble de la frecuencia de Nyquist Ωm. Así ΩT > 2Ωm , 2π o bien, dado que T = ΩT , en términos del periodo de muestreo se tiene π T<. Ωm Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 15 / 19 Cuantificación Cuantificador de 3 bits + signo 1 0.875 0.75 0.625 0.5 0.375 0.25 0.125 Q[x] 0 −0.125 −0.25 −0.375 −0.5 −0.625 −0.75 −0.875 −1 −1 −0.875 −0.75 −0.625 −0.5 −0.375 −0.25 −0.125 0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1 x Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 16 / 19 Cuantificación de una señal 4 bits Error: x − Q[x] 1 0.12 0.8 0.6 0.1 0.4 0.08 0.2 sin(t) − Q[sin(t)] Q[sin(t)] 0 0.06 −0.2 −0.4 0.04 −0.6 0.02 −0.8 −1 0 2 4 6 8 10 12 0 t 0 2 4 6 8 10 12 t 8 bits Error: x − Q[x] −3 1 x 10 8 0.8 7 0.6 6 0.4 0.2 5 sin(t) − Q[sin(t)] Q[sin(t)] 0 4 −0.2 3 −0.4 2 −0.6 −0.8 1 −1 0 2 4 6 8 10 12 0 t 0 2 4 6 8 10 12 t Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 17 / 19 Error o ruido de cuantificación Nunca será mayor al tamaño de escalón xmax − xmin ∆x = 2N − 1 xmin y xmax son los valores mínimo y máximo, a plena escala. N es el número de bits. Tiene distribución de probabilidad uniforme 0.07 0.06 0.05 0.04 % 0.03 0.02 0.01 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 error −3 x 10 Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 18 / 19 Relación señal a ruido (SNR) del error de cuantificación Cuantificador De N bits. Rango a plena escala de xmin a xmax , con xmin = −xmax. Potencia de la señal σs2 = (xmax − xmin )2 = (2xmax )2 Potencia del ruido (∆x)2 (xmax − xmin )2 (2xmax )2 σn2 = = = 12 12(2N − 1) 12(2N − 1) SNR (dB, para 2N − 1 ≈ 2N ) σs2 SNR = 10 log = 10.79 + 6.0206N σn2 Facultad de Ingeniería (La Salle) Muestreo y Cuantificación Agosto de 2024 19 / 19