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Zusammenfassung Egeo Teil 1 - Ebene Geometrie Relationen - mun : =S (m n) ER...

Zusammenfassung Egeo Teil 1 - Ebene Geometrie Relationen - mun : =S (m n) ER , - Äquivalenzrelation : · reflexiv ExeR : (x x)ER , · symmetrisch EX , y : (x , y)ERE) (y , X) = R transitiv XX, Yiz (x , y) ~ (y , z) er = (x , z)ER · : Kartesisches Modell - erfüllt In Fu , BitsiKiKaisiko , Pik i Ve -Lemma : al Lpv = LaupeLaugelpu Ev = neR1503 b) (p,v = Lpw W , Geraden Strecken , und Schnitte - = ExcP Ix liegt zwischen und 93cP - pa = 89u[p 93 , - Lund L'schneiden sich (LuL' + 0) , falls EPEL Pell : L 9 schneiden und sich falls IrEL liegt zwischen p und a : ~ - , - gundr liegen auf derselben Seite von p E) p liegt NICHT zwischen a und r I i ampr ja => Äquivalenzrelation - Hessische Normalenform > Normalenrektor n J= - := > - Lp , v = ExeR" (n , x-pY = 03 (Normalenform)" (n n) , = 1 Hessische Normalenform Lp, - P9> p-a n) und g-a , n) , haben gleiches Vorzeichen Kongruenz - P91 = P2925 (P9n , P29)eSk Strecken sind gleich lang" (ABER : nicht gleich Winkel.. (P 9 , r) (Pig , ) (r , a p) =... = = , , 9 istScheitel" 9 ↓r nicht-Kollineare Punkte ,  Ipigir) = (Prignit) = arccos) < p-g , -9Y) = arcos (/P -91: 1 Un - 91Y) Ilp-glllIr-all llp - -q , 11 IIre- gell Seite-Winkel-Seite-Satz - p + 9 + r , p # 9 , +, nicht - Kollinear - 89 = und (9 pr) , = (9 Bit) , => (pigir = ipiqir) Spirale Spirige , Nebenwinkel-Satz Janalog p. 9 , S 11 -Gerade r * L , für In Pride riSe. , op U · PS - Nebenwinkel => (par) = (prigi) e 15 , 9 r , = (Seinit) : L -pr P · Gegenwinkel-Satz M - LM zwei verschiedene Geraden : Schnittpunkt p ·, - Ra = L ; S, + M jeweils auf verschiedenen Seiten von p ⑪ apyr => (9 , p , S) = (r , p , t · Gegenwinkel zu t 19 p , 5) , Parallelen -FLEG PELJMegmitpEM , : LuM = O lauch (= M) => 111 M -Lpull La,w > (r, w) linear abhängig - im kartesischen Modell ist Parallele zu Gerade durch Punkt EINDEUTIG bestimmt => Parallelenaxiom für LEG , p* L höchstens eine Parallele zu 1 durch P Vollständigkeitaxiome - V Carchimedisches Axiom] : o r zu je a strecken 89 , existiert ne mit Sm.... - V [Maximalität] : - Mengen P und g können nicht vergrößert werden unter Beibehaltung Relationen Isomorphismus aus bijektiven Abbildungen - 4 : +P und 0 G Gr : -. => p = g()y(p) =_¢ (g) (Relationen erhaltend) => (pa , r) A , (4(p) 4(9) , 4(r)) , = A => R Ylple) =Y(r)n(s) (Längen erhaltend => (P , 9 ,) = (St u) , (y(p) y(9) 4(r)) =c , , (e(s) , y(t) , 4 (4)) (Winkel erhaltend Teil 2-analytische Geometrie Winkelmaß - k(p 9 r) , , = =(p a , - r - q) - auch pia ,u Kollinear erlaubt ! Scheitel-INeben-I Stufenwinkel al Gegen-IScheitelwinkel gleiches Maß (r , S H + (t , s, 9) Ein : = , b) Stufenwinkel gleiches Maß falls NIlL : * (r , S , H = < Is , 9 , P) c) Nebenwinkel ergänzen sich : 4(r, S H) , + k(r , S , t) = T a x(/IN). 1 Isometrien - F : RullF(p)-F(q)ll = llp-qll Ap ger , - Isom(n)-Menge aller Isometrien -49]Felsom(n) :F(91) - (par) = (P91 t)7Felsom(n) i : (p19 , H) = (F(q) F(q) F(r)) , , Orthogonale Gruppe - Ac Mat (n , R) ist orthogonal ATA = AAT = In - O(n) ist Gruppe Orthogonaler Matrizen = S0(2) ( 0(2) -Zeiten / Spalten bilden ONB (1 = (x , Y , z) = X1y1z , 11x11 = 11 y(1 = 11z1 = 1 Drehung um O - - det (1) = = 1 ↳ Spiegelung an O-Achse - A erhält Skalarprodukte , Längen und Winkel euklidische Gruppe - Fab : R + IR" , Fab = A x. + b euklidische Bewegung mit Translationsanteil b" - Ein) euklidische Gruppe -F : RR" ist Isometrie FeE(n) Binomische Formeln für X.. 1IVEWIl = [VEw , VEwY = Ilvll + 2 < V , wY + 1 wll Beispiele enklidischer Bewegungen in R2 1 Identität. Faz o idie ,. Translationen um b Er 1503 2 Fin 2(x) b : = X + ,. 3 Drehungen um Of2TE mit Zentrum per : Rap(x) = Ro(x p) +- p = Ro(x) + (1 = Ro)(p)  4. Spiegelung an Gerade durch p mit Winkel Ger zu X-Achse : Sap(x) So(x-p) = + p Schubspiegelungen längs Wer Lop F(x) Soip(x) + w So(x) + (4 Sd(p) :. 5 WI = = = Kongruent euklidischer Bewegungen - = (917 7 FE E(2) F(p) F(91) : (9 = -p , 9 , ) = IRIGIR) FEE(2) : (p9 r) , = (F(pi) ,F(g) FIRK , - S , Si e Rh Kongruent Es FEE(n) : S = F(S) wichtige Werte trigonomischer Funktionen S enklidische Dreiecke -Tripel nicht-Kollinearer Punkte in R2 -Seitenlängen : a = IlB-CII b = 11A C) - c = 11A - BI) - Winkelgrößen : x = K(B-A , C-A) b = k(A B - , C - B) y = 4(b - C, B - C) elementare Dreiecksgeometrie - Dreiecksungleichung : EX , y Ern : IIx + YII IIXII + 11 y1 > - Gleichheit : (X , y) lin. abhängig - Satz von Pythagoras : an + b2 = c (Wenn y=) - Winkelsumme : x+ B + y = i (1809 - Kongruenzsätze : D = r'E) a = al , b = b' , c = c' (SSS-Satz) > d= ab = b' , c = c (SWS Satz) - Ex = 2) , b = b' , y = y' (WSW Satz) - -Seitenhalbierende : L(1 , (B+ C) (Seitenhalbierende von 8 = (A , B C) durch 1) , > - Schwerpunkt : Schnittpunkt Seitenhalbierende , So = (A + B + c) , 2 1 : Teilung Seitenhal bierende - Orthogonale Geraden : VIWE) /V , W) = 0 - VL Lpr , PERE ! Gerade La zu durch a s & Lpirt Lagu = ,. ? ⑪ , ExcR(x - a,v = 03n (2) v =  119-rn = > - Abstand : d(q , ) = Einheitsnormalenvektes (lIx-all3d(9 , 4 ! - Höhen : Leindeutige) Gerade durch Eckpunkt #, durch C , Senkrecht zu La , B H AB + 0E) + , b Ha = EXER"KX , B- AY = C, B - AY3 > - Höhenschnittpunkt : I > - Länge Höhen : h , llc-C'll ,CHchc = a. sin (B) = b sin. (a) -Mittelsenkrechte : Maß durch (1 + B) senkrecht zu ((1 , B) EXR(X - X = Ma = ((x All - = 11x - BI Achtung !: Im Allg. , -Schnittpunkt Mittelsenkrechten : M NICHT gleich - Winkelhalbierende : * (v , B-A) = * (V , GA) , WBacta , v > - eindeutig wählbar : VAll (B-A) +All GA) > - Xe WBaclIx- c'll = 1x- B'll B X · WBAC Schnittpunkt Winkelhalbierende : - > - Fußpunkt B Lot -Strahlensätze : 1. Satz :· LuM = [p3 ; a , de LIEP3 ; b , b'cMp3 L a al a.t P L(a , b) Il L(a' , b) oder pa I. b ba · ama' , b -b bio D M M =>Pal 2 Satz IPal =Pla :. Umkehrung 1 Satz : LuM = Ep3 ; a , de LIEP3 ; b b'cMp3 ,. · ama' , b -b Dall lp-b'll => L(a , b) Il ((a , b) quadratische Gleichungen : ax"+ bx + c = 0 = 2 Melle Lösungen , falls (2) - Yez = () + = c => 1 Melle Lösung X =ta , falls (E)" c = 0 => keine Melle Lösung , falls (E)" - Wurzelsatz von Vieta : 1. 12 Fall. von p-a-Formel Xi + Yn = - XiX = Kreise Kr(m) EgeRIlm-all r3 (Kreis mit Mittelpunkt und Radius > o : = = m -Kreis und Gerade : Passante > 0 Tangente = 0 , Sekante O , - Lpu Tangente (9-m v) = , - Vf - E(2) : f(k, (m)) = kr(f(m) - Sehnen-/Sekantensatz : 1 , M Sekanten mit LuM = [P3 + uk = 591 923 , Mak = En 42] , => llp-aell Ilp-anll. = Ip-Well. Ilp-Well - Sehnen-/Tangentensatz : (Sekante , M Tangente Luk = [91 923 1 McK = [43 => llp-9 , 11 Ilp-9211 = Ilp-ull2 - Winkelhalbierende : M, Mz Tangenten mit Mir Mu [P3 = Mink = Gu i 3 (i = :1 23 , => 1. Ilp-u , ll = llp-Hall = illm-pll2-pal 1(p m) ist 2. , Wupun - Satz vom Innenkreis : 7! Kr(1) , s. d. AB , JC , B Tangenten an K => K ist Inkreis Ankreise 7! Kr(11) d Kr( 15 ((a B) L11 , c) * - : , s.. , , , + > - Mittelpunkt Ankreis von BC" ist I *, WauWruWo = EF ] * < y) * 4 - - Satz vom Umkreis : 7! K = Kr(m) A , B , , CEK x ⑮ A B Mist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Durchmesser Umkreis 2u a sin sing > - : = sind C - Winkel am Kreis : 1 -... Peripherie-/Umfangswinkel M ↓ ist M ist Mittelpunkts-/Zentri-/Kreiswinkel · B -Mittelpunktswinkelsatz : 1 M = M = 2x - Satz des Thales : MeBC = - Umfangswinkelsatz und Umkehrung : S'ER · dcke = (2 , 1 , b) = Es oder k(B A' , c) , = x , Am 1 = 1'ck - Satz von Euler : Venklidischen Dreiecke : H + 2M-35 = 0 Dreieck nicht gleichzeitig H, M, S auf eindeutiger Gerade Le (Eulergerade int => allg ILE. (IELEDrieck #in gleichschenklig) C -Feuerbachkreis : * (A , B , C) enkl.) * (A ! B' , C') enkl. A = 2(B + c) heißt Mittendreieck , Bl = =(A + c) , c = (A + B) ↳  C > - (A , B , c) ~ (Al , B' , C') haben gleichen S > - Mron (A , B , c) sind H von (1! Bi , c) - > - heißt Feuerbach-/Nennpunktekreis KF & B A > - k= = kr+ (F) , kn = kry(M) ↳ Umkreis (A , B , c) => M + 2M-35 = 0 (Feuerbach-Gleichung) => (A , B , C) gleichseitig : F = S = M = H , sonst FeLe = 2.r = ru 7 => Seiten mittelpunkte , Höhenfußpunkte Mittelpunkte , von # BH , EKF Geometrie Abbildungen : von - Isometrien : Fist Isometrie> IIF(p)-F(a)ll = 11p-all - Ähnlichkeitstransformationen : Er 0 , S. d. Ilf(x)-fly)Il 2 /1x -y =. Streckungsfaktor - Ähnlichkeitsgruppe : Ähn (n)ff : RRR"If ist Ähnlichkeitstrafo] - für r = 1 = Isometrie bijektive Abbildungen - - zentrische Streckung : Ger" , keR1403 = Ez , : R+ R 3zn(x) = z + k(x - z) Zentrum 3 Faktor - Ähnlichkeitstrafo El JAe0(n), bet" , 0 s.d f(x) , r Ax + b. =. 3 > - k(p, S , Q) = (f(P) , f(S) , f(Q) für FEAff (2) im Allg Falsch. > - (1 f(P) f(Q))) - = 11P QIl - IIf(R) -f(S) Il IIR-SII -Teilmengen hißen ähnlich , s d.. M = F(N) (FeÄhn(n) -Ähnlichkeitssätze.. WiW-Satz · S : S S-Satz : S : W : S-Satz ~ det +o - affine Transformationen : ACGL(n) , belR", s d.. f(x) = Ax + b > - Af-f(n) Gruppe affiner Transformationen > - F((p v) , = 1 = (p) , su > - F(ky(m)) = knr(F(m))(Fc(2) ↳ für FEAff (2) im Allg. nur Ellipse , kein Kreis > - Anwendung : ·nicht ausgeartetes Parallelogramm Diagonalen halbieren sich Teil 4-Kurven , Geraden und Ebenen im A Polygone - n-Trupel (9 ,,..., anl von Punken aie heißt Polygon oder n-Eck - (a , ,..., an entartet , wenn 3 aufeinanderfolgende Ecken auf einer Geraden Tupel sind geordnet (Reihenfolge ist relevant ( - > - Dreiecke : nicht entartete 3-Ecke > - Parallelogramme : 4-Ecke mit Llan , an) Il Llag an) , , Llaz , a) /I (194 an , > - Rauten : alle Seiten gleich lang Polygonzug - Abbildung - Kor (Ai+ 1 , 9i , 9i-1) E (0 , 2) heißen Innenwinkelgrößen von P > - einfach geschlossenes , nicht entartetes Polygon Innenwinkelsumme = In-2)i G(t) Parametrisierte Kurven c : I + R , + Hc(t) = H - glatte Abbildung C : ItR" heißt parametrisierte Kurve im R glatt (oder ( * ) El alle C; -mal - itd = +(c) heißt Geschwindigkeit Tangentialvektor c zur Zeitt. Stetiga - c regulär parametrisiert fallsH O , Stel  - ((ta) + 0 = (c +d) d(t) = [C(to) + s. ((to) ser3 Tangente , an c in c(to) , - c ebene Kurve/Raumkurve , falls n = 2 /n = 3 - Länge von Kurven > - regulär parametrisiert : L[] = Sill > - unabhängig von Parametrisierung > - fürll = 1 = L[] = b- a ( ist nach Bogenlänge parametrisiert) ↳ jede regulär parametrisierte Kurve kann nach Bogenlänge parametrisiert > - Fax 0750 , S. d. Funterteilungen mit Hi-tilS : -Cl > - [c] wird durch Länge Polygonzug approximiert -Beispiele > Bsp Kreislinie im R mit >O ist ebene regulär parametrisierte Kurve - ,. 0 5: c: ReR" c(t) = (r cos(t) r · sin(t)t -. , , Bogenlänge : ([ = (dt Sdi = · Bsp Logarythmische Spirale im R2 ist ebene regulär parametrisierte Kurve D. , * c : =Ru , c(t) = (et cos(t). , et sin. (t)) Bogenlänge : s] = fild = Sedle-e > - Bsp. Polygonzug Cp von P ist nicht regulär parametrisiert , da nicht Ellipsen in der Ebene -Fa[er] heißt Standardellipse mit Halbachtenlängen a die und ba - Parametrisierung : C : R-R" , +re c(t) = acos(t) b sin(t) - geometrische Charakterisierung : = a= b > 0 : p = 2a , 0 = a+ b , Py =R Qu · Qu => fa , b = (QRYllQ - P+ll + 11a - P ll- = 13 pig i. Pr und P- heißen - für Felso (2) , 1 = F(P) und B = F(PH) Brennpunkte => Fla b) , = [GERI llG-All + 11Q-B11 = 03 , p > llA-BII Sa - allg Ellipse. : Menge der Form -Zeichnen mit Gärtnerkonstruktion -Kreise Kr (m) sind Ellipsen mit A = B = M 2r = e , in der Ebene Hyperbeln - Habe heißt Standardhyperbel mit Halbachen a an und - Ha b + heißen Hyperbeläste ,  - Parametrisierung : C : R-R2, + ht c(t) = Fa. cosh(t) hyperbolische Funktionen b · Sint in > - Hyperbeläste : ti c() = tacosh - geometrische Charakterisierung : = a= b > 0 : p = 2a , 0 = a+ b , Py =R => Ha , b = (QRYl1Q - Pyll - 11a - P ll- = 13 & = le e Y) *