GÉOMÉTRIE 4TH.A TOPOLOGIE PDF

GÉOMÉTRIE 4TH.A TOPOLOGIE Inventée par Euler en 1736 dans la ville de Konnigsberg compte : -​ nombre de sommets et segment et face(3D) d’un polygone dans le plan s’occupe pas : -​ position dans l'espace -​ mesure de longueur -​ proportions règle le problème des 7 ponts de konnigsber...

GÉOMÉTRIE 4TH.A TOPOLOGIE Inventée par Euler en 1736 dans la ville de Konnigsberg compte : -​ nombre de sommets et segment et face(3D) d’un polygone dans le plan s’occupe pas : -​ position dans l'espace -​ mesure de longueur -​ proportions règle le problème des 7 ponts de konnigsberg : 2 fleuves, 7 ponts, 4 zones → comment passer par chaque pont 1 seule fois pour revenir au point de départ?? SOLUTION : ne dépend pas de l’étendue ou de la forme du territoire 1.​ si arrivée et départ sont la meme régions alors faut que nombre de ponts soit PAIR (une ½ aller et ½ pour retour) 2.​ si départ et arrivée sont diff alors nombre de pont doit être IMPAIR PROBLÈME → konigsberg a 7 ponts → donc impossible résoudre problème REMARQUABLE : raisonnement reste valide peu importe étendue et forme de la région et même position des ponts —> raisonnement marche donc mm si on fait subir des transformations continues des régions et de l’emplacement des ponts, tant qu'on ne change pas nb de chacun. déformations continues = déformations qui changent PAS le nombre des zones et des ponts entre ces zones. Réduction (déformation continue sans angle, proportions, longueur) topologique de la ville à un graphe à 4 sommets : on a gardé le mm nb de régions et de ponts Ces déformations sont topologiquement invariante que si elles n’introduisent aucune : -​ coutures = connecte régions et enlève ponts -​ coupures = crée des nouvelles ​ ​ régions deviennent point = sommet régions et dmd ​ ​ ​ ​ ponts deviennent lignes = arêtes  plus de ponts​ ​ ​ ​ ​ ​ degré d’un sommet = nombres d'arêtes issu de ce point INTÉRÊT GRAPHE ? met en avant les propriété des transformations topologiquement invariantes : -​ nb de sommet (points ou régions) -​ nb d'arêtes (lignes ou ponts) → garde degré de parité nécessaire pour que parcours marche CONCLUSION EULER SUR GRAPHE 1.​ cycle eulérien = parcours du graphe passant par toutes les arêtes une seule fois pour revenir au sommet initial (konigsberg) → faut nombre PAIR de ponts/arêtes 2.​ chaîne eulérienne = parcours du graphe passant par toutes les arêtes une seule fois sans revenir au sommet initial (chaine entre 2 sommets) → faut que SEUL degré des 2 sommets soit IMPAIR  DÉFORMATIONS CONTINUES & HOMÉOMORPHISMES précisons nature des déformation continues (base de la topologie) 1.​ Correspondance 1 à 1 (mapping) 2.​ Correspondance 1 à 1 réciproquement continue = Homéomorphisme (continuous mapping) 1. Correspondance 1 à 1 (mapping) corr. 1 à 1 de tous points de 2 ensembles de points dans l’espace peut avoir des conséquences inattendues BC = 2DE (thm similitudes) peut tirer une droite depuis A vers BC et avoir un point qui apparaît sur DE et réciproquement. correspondance 1 à 1 entre tous les points de 2 ensembles de point (DE et BC) 2. Correspondance 1 à 1 réciproquement continue = Homéomorphisme (continuous mapping) correspondance 1 à 1 réciproquement continue entre 2 ensembles de points. Tout point voisin de X aura son correspondant dans un point voisin de Y et réciproquement. C’est cette condition de conservation des voisinages dans les 2 sens qui fait d’une simple correspondance 1 à 1, une correspondance réciproquement continue entre 2 ensembles de points qu’on dira alors homéomorphes. équivalence topologique = 2 ensembles de points sont dits topologiquement équivalents s'il existe un homéomorphisme entre ces 2 ensembles. Ils sont homéomorphes. exemple de déformations non homéomorphique : coupures ou coutures Depuis le segment AB, très facile de trouver une correspondance sur N’importe quel arc de cercle → marche tt le temps tant que cercle reste OUVERT Mais si on coud A et B = arc de cercle FERMÉ —> continuité de correspondance n’existe plus dans les 2 sens (point depuis segment AB sur cercle sont encore OK mais point depuis cercle sur segment marche plus) → coupures et coutures suppriment continuité de la correspondance 1 à 1 entre courbe ouverte et courbe fermée → courbe ouverte et courbe fermée ne sont pas homéomorphe Même si on peut établir une correspondance 1 à 1 entre les points d’une courbe ouverte et ceux d’une courbe fermée, cela ne suffit pas à les rendre topologiquement équivalentes (homéomorphes). Les "coutures" et "coupures" symbolisent les modifications nécessaires pour passer de l’une à l’autre, mais ces modifications introduisent des ruptures ou des continuités nouvelles qui empêchent une telle équivalence (topologique). → courbe fermé = notion interieur VS exterieur courbe ouverte = pas de notion int. VS ext. RÉSUMÉ coutures ou coupures dans une déformation → correspondance 1 à 1 peut plus être homéomorphe inversement , l’existence d’un homéomorphisme entre 2 ensembles ≠ garantie qu’on peut déformer continûment un des ensemble sans faire coutures/coupures DONC : HOMÉOMORPHISME ≠ DÉFORMATIONS CONTINUES CONTINUITÉ/DISCONTINUITÉ DES DEF. ASSURANT TRANSITION ENTRE SURFACES HOMÉOMORPHES Cylindre = surface orientable(nb paire de torsion) nb paire de torsion → -​ reste orientable et homéomorphe nb impaire de torsion → -​ n’est plus orientable -​ n’est jamais homéomorphe aux figures nb paire de torsion exemple : Ruban de Moebius (½ torsion sur cylindre) = surface non orientable (impossible de discerner face avant/face arrière) (animation) logiciel CAO ont du mal pcq faut représenter normal en tout point donc va introduire une autre torsion pour rester orienté → PAIR sont homéomorphes entre eux, sans def. continues → IMPAIRES sont homéomorphes entre eux, sans def. continues PAIR ET IMPAIRES sont PAS homéomorphes entre eux  DÉFORMATION CONTINUE des POLYÈDRES Toute déformation continue sans coupures ni couture d’un polyèdre (3D) maintiendra ces 3 nombres: - nombre de faces F - nombre de sommets S - nombre des arêtes A cube topologique = cube parfait de base qui a subit des déformations continues (sans coupures ni coutures) Un invariant topologique fondamental: la CARACTÉRISTIQUE d’EULER Après son analyse de graphe, Euler établit une égalité avec un nombre “E” qui reste vrai pour tout polyèdre : E = F-A+S NB = les signes alternent comme la parité de la dimension des éléments: - signe positif = Face de dimension 2 = pair - signe négatif = Arête de dimension 1 = impair - signe positif = Sommet ou point de dimension 0 = pair Tout polyèdre fermé et sans trous E = F-A+S = 2 cette caractéristique = 2 se trouve vérifiée pour chacun des 5 polyèdres réguliers convexes qui concluent les Eléments d’Euclide. ici , le 2 représente le fait qu’il n’y a pas de coupure et cette caractéristique ne change pas même si grandeur, forme et position changent. DÉMONSTRATION E = 2 Si E = F-A+S = n0 Passage de l'espace dans le plan : -​ déformations continues ne modifient pas F A S -​ retrait face au sol affecte F → E = (F-1)-A+S = n0 -1 Projection du polyèdre: -​ ne retire aucune face, ni arête, ni aucun sommet -​ donc Er = n0-1  COUPURES et COUTURES de SEGMENTS dans les ESQUISSES But : voir comment Topsolid gère les coupures et coutures ​ Comment faire la distinction entre intérieur et extérieur ? ​ il existe une différence entre intérieur et extérieur que si pour tout chemin parcouru quelconque au travers de ce contour on peut commuter de l’intérieur à l’extérieur à chaque passage sur ce contour de manière cohérente 3 Topologie d’un polynôme 1.​ CONVEXE 2.​ CONCAVE 3.​ CROISÉE -​ diagonales sont -​ au moins une -​ au moins une toutes internes diagonale externe diagonale externe -​ nb de -​ nb de -​ nb de franchissement de franchissement de franchissement de frontière est PAIR frontière est PAIR frontière est IMPAIRE Critères pour extruder sur Topsolid : -​ le contour extrudé doit comporter que des sommets à 2 arêtes ! -​ Topsolid doit pouvoir différencier interieur et exterieur 4TH.B TRANSFORMATIONS & PROPRIÉTÉS INVARIANTES Felix Klein en 1872, ne regarde plus les instruments et les figures mais les TRANSFORMATIONS Il relit les éléments d’euclide comme la production de translation, de rotation et d’autre transformation dans l’espace grâce à une composition de transformation symétrique, càd : -​ la réflexion relativement à une droite dans le plan, -​ la réflexion relativement à un plan dans l’espace, → ces réflexions sont les briques de l’ensemble des transformations isométriques les isométries = def. cont. qui modifient le moins les objets en conservants leurs mesures (angle et segment) POV de Felix Klein 1872 : géométrie = étude des propriétés laissées invariantes par diff. type de transformations → va s'intéresser non à la droite/cercle mais plutôt aux déplacements (rotation, translation) qui change position mais laisse les mesures (angle et segment) et et l’orientation invariants. Cependant, des transformations peuvent garder mesure (angle et segment) mais changer orientation. → exemple : réflexions → inversent les orientations (main droite, main gauche) Architectes aussi concernés par transformations : 1.​ homothétie ponctuelle (maquette) (garde mesures et directions) 2.​ projection(garde pas 3 dimensions, ni mesures, ni proportions, ni angles) Dans géométrie projective, on trouve que les propriétés invariantes de la projection sont : -​ les intersections -​ les alignements -​ les birapports anharmoniques un élément géométrique = points, droites, plans, etc.  ISOMETRIES & ORIENTATIONS ISOMÉTRIE : transformations modifie : la position conserve : les mesures (angles et segment) et toutes les autres propriété de la figures SAUF l’orientation ​ → soit conservée,isométrie est alors un déplacement→relève de la mécanique → soit inversée, isométrie est alors un antidéplacement→ relève de l’optique notion tardive de l’orientation par JEAN MARIE LEGENDRE 1794 : 1.​ Sur une figure plane en 2D =correspond au sens de rotation, peut être sens trigo + ou - exemple : symétrie axiale 2.​ Sur un objet dans l’espace 3D on compare le sens de rotation d’une section plane (une face) au départ puis à l’arrivée peut être + (de jaune à bleu) peut être - (de bleu à jaune) DONC : il n’y a que 2 orientations POSITIVE ou NÉGATIVE ATTENTION : orientation ≠ direction → CO et C’O définissent la direction → orientation caractérise sens rotation ​ ​ ​ ​ ​O  LES 6 TYPES D'ISOMÉTRIES DANS LE PLAN Sont dans 2 catégories DÉPLACEMENTS -​ identité -​ translations -​ rotation d’angle quelconque (≠180 degrés) -​ rotation d’ angle 180 deg. = réflexion ponctuelle ANTIDÉPLACEMENT -​ réflexions axiales -​ réflexions glissées pourquoi distinction entre rotations : rotation angle 180 → laisse globalement invariantes toutes les droites passant par le centre de rotation -​ tout point de la droite devient un autre point sur cette même droite -​ la droite réfléchie se superpose à la droite initiale rotation angle quelconque → laisse aucune droites invariantes Dans les iso. qui conservent toutes les propriétés sauf position et orientation (antidéplacements), le critère pour différencier les transformations se fera par le nombre de droites et de points laissés invariants -​ soit globalement -​ soit strictement → les 6 iso sont recomposable à l'aide d’une seule : LA RÉFLEXION AXIALE = la brique de base de toute les isos dans le plan. 1. IDENTITÉ = mouvement sur place Loi interne : la composition de 2 iso i1 et i2 produit tjr une autre iso i3 i1 * i2 = i3 Élément neutre : l’identité i se compose avec toutes les autres iso sans en changer la composition i1 * i0 = i1 = i0 * i1 Inversibilité : toute iso peut être peut être inversée par une iso i * i -1 = i0 Associativité : (i1 * i2)* i3 = i1 * (i2 * i3 ) ⚠ La composition d’iso n’est en générale pas commutative = faire a et ensuite b sera pas pareil que b puis a. exemple : rotation puis réflexion Involution : une transformations est dites involutive quand elle au carré = i0 i * i = i^2 = i0 → elle est donc sa propre inverse i = i^-1 ⚠toute réflexion simple(sauf glissée) dans le plan est involutive 4. RÉFLEXION PONCTUELLE = composition de deux réflexions relativement a 2 axes qui se croisent perpendiculairement au point de centre de la réflexion conserve l’orientation des figures laisse invariant : strictement → 1 point = point centre I globalement → le faisceau de toutes les droites passant par I 5. RÉFLEXION AXIALE antidéplacement qui inverse l’orientation des figures laisse invariant : strictement → tous les points de la droite d ​ → la droite d elle même globalement → toutes les droites orthogonale à d  THÉORÈME FONDAMENTAL de STRUCTURE des ISOMÉTRIES dans le PLAN: Toute isométrie dans le plan peut s’exprimer comme: le produit d’au plus 3 réflexions axiales → réflexion axiale = brique élémentaire avec laquelle on peut recomposer toutes les isométries dans le plan PRODUIT de 2 RÉFLEXIONS AXIALES ROTATION : rotation d’angle 2 α et de centre I = produit de 2 réflexions axiales dont les axes : -​ se coupent au point I -​ font un angle α RÉSULTAT des 2 réflexions axiales : (une rotation qui) ​ ​ → produit une inversion d’inversion d’orientation ​ ​ ​ ​ →en gros elle conserve l’orientation → c'est un déplacement éléments laissés invariants : -​ 1 seul point du plan = centre de rotation -​ aucune droite CAS PARTICULIER de la rotation : La réflexion ponctuelle (rotation 180 degré) si angle de d1 et d2 = 90 degré → rotation = 2α = 180 degré CONCLUSION : EQUIVALENCE 3 ISO. 1.​ réflexion ponctuelle relative à un point I 2.​ rotation de 180 deg autour de ce point I 3.​ produit de 2 réflexions axiales relatives à 2 axes orthogonaux se croisant en I 5. TRANSLATION cas particulier de la rotation ou angle entre 2 axes de réflexion d1 et d2 est nul α = 0° -​ d1 et d2 sont // -​ il sont situé à une distance d -​ leur point d’intersection est rejeté à l’infini → la translation se passe dans la direction orthogonale → et sur une distance 2d si la distance d = 0 → on retrouve l’identité → la translation = un produit de 2 réflexions axiales et comme la rotation, une inversion d’inversion d’orientation. → donc la translation conserve l’orientation et constitue donc un déplacement. éléments laissé invariants : -​ globalement → toutes les droites orthogonales à d1 et d2 -​ aucun → point du plan Synthèse des 4 déplacements résultants de 2 réflexions axiales CONCLUSION : -​ iso résultant nombre PAIR de refl. axiales → conserve orientation et sont donc des DÉPLACEMENT -​ Tout déplacement = produit de 2 refl. axiales -​ réflexion axiale est involutive (refl. d’une image par mm reflexion = objet initial) PRODUIT de 3 RÉFLEXIONS AXIALES RÉFLEXION GLISSÉE peut voir ça comme empreinte de pas à droite et à gauche d’un axe composition de d1, d2, d3 en gros, 3 réflexion axiales = une réflexion glissée jaune = 1​​ bleu = 2 rouge = 3 ​ vert = 4 Avec l’associativité des iso., la réflexion glissée peut se décomposer comme : -​ une translation /(rotation) -​ une réflexion axiale ANTIDÉPLACEMENT le seul à préserver : -​ globalement la droite d et uniquement pas comme la translation et à pas préserver : -​ les points invariants de l’espace  Examen préalable des configurations de 3 droites dans le plan Vu que refl. glissée est relative à 3 droites, regardons d’autres configuration à 3 droites : 5 CONFIGURATION à 3 DROITES Cas des 3 axes // 3 reflexion axiales // = 1 reflexion axiale relativement à un 4eme axe noir -​ translaté du 3eme axe vert) -​ d’une distance inverse à la distance entre le 1er axe bleu et le 2eme axe rouge S(d1) x S(d2) x S(d3) = S(d) S = symétrie d est //à d3 à distance de d1 vers d2 Cas des 3 axes concourants 3 reflexion axiales d’axe concourant = 1 reflexion axiale relativement à un 4eme axe noir -​ généré par rotation 3eme axe vert -​ autour d’un point d’intersection des axes -​ d’un angle inverse de l’angle du 1er bleu vers le 2eme axe rouge → pour les 2 cas : 1er triangle = dernier triangle EXAMEN du CAS SUPER PARTICULIER : Ce cas explique bien comment réflexion glissée est bien : 1.​ translation selon l'axe orthogonal aux 2 // 2.​ une réflexion axiale relativement à ce même axe THÉORÈME FONDAMENTAL sur la composition de 3 RÉFLEXIONS AXIALES quelconques dans le plan: Toute composition de 3 réflexion axiale = cas particulier d’une réflexion glissée produite par: une translation ET une réflexion axiale de mm direction que la translation NORMALISATION de 3 REFLECTIONS AXIALES quelconques normaliser 3 RA = produire la réflexion glissée équivalente, relative à 2 droites // et une droite perpendiculaire aux 2 //  SYNTHÈSE sur les 6 ISOMÉTRIES PLANES produites par composition d’au plus 3 réflexions axiales notées RA. Dans tous les cas, le produit des 3 réflexions axiales = une réflexion glissée, dont la translation est nulle lorsque les axes forment 2 faisceau de 3 droites (concourantes ou //)  SYMÉTRIES PLANES = sous groupe des isométries def. sous groupe = sous ensemble d’un groupe qui est lui même un groupe 2 types de sous groupes : 1.​ généraux : sous groupes définis en relation à tous les points du plan 2.​ particuliers : sous-groupes définis en relation à un sous-ensemble restreint de points du plan, dénommés: figure, ou configuration, sans se soucier de ce qu’il advient aux autres points du plan → les symétrie sont dans un sous groupe particulier DÉFINITION MODERNE DES SYMÉTRIES D’UNE FIG. PLANE : Soit F une figure du plan, on appelle symétrie toute isométrie -​ qui superpose la transformation de cette figure F à la figure F elle-même = laisse inchangé la figure de base, copie exacte -​ qui laisse la figure F invariante → Groupe de Sym. d’une figure F = Sym(F) = ensemble de toutes les iso. laissant F globalement invariant On retrouve, ici, la notion d’invariance globale: chaque point de la figure est déplacé individuellement, mais il se voit remplacé par le déplacement d’un autre point, tant et si bien que la figure d’ensemble demeure inchangée.  GROUPES de SYMÉTRIES des POLYGONES RÉGULIERS à n côtés Un polygone est régulier si -​ ses côtés sont égaux (équilatéral) -​ ET ses angles sont égaux (équiangle) → tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle (tous les sommets du poly. touchent le cercle) Les poly. réguliers de n cotés sont laissés invariants par 2n isométries différentes 1.​ n rotation -​ centrées sur l’unique point d’intersection de toutes les bissectrices du polygone -​ définnissant n angles au centre vers les sommet du polygone de valeur : k * 360°/n pour ​ k ∈ (1,n) 2.​ n réflexions axiales dont les axes sont défini comme: -​ si n est IMPAIR : ce sont les n lignes joignant les n sommets au milieu du côté opposé -​ si n est PAIR ce sont : - les n/2 lignes joignant les paires de sommet opposés -les n/2 lignes joignant les milieu des paires de côté opposés 1.n rotation​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 2.n réflexions axiales LOI INTERNE : la compo de 2 symétries d’un polygone régulier produit une autre symétrie du même polygone.  GROUPE de SYMÉTRIES du CERCLE = SYMÉTRIE de RÉVOLUTION Polygone régulier avec nb de côté infini = cercle → infinité de symétrie (rotations et réflexion → centre du cercle = centre de révolution (symétrie de révolution) APPLICATION PRATIQUE DES SYMÉTRIES 1.​ paire d’objets miroir l’un de l’autre Deux objets dont l’un est le produit de l’autre par antidéplacement L’original et son miroir sont bien deux objets distincts, non superposables, même s’ils ont mêmes mesures de longueurs et d'angles. 2.​ objets intrinsèquement symétriques objet dont le groupe de symétrie ne se réduit pas à un ensemble vide il est recomposable par isométrie d’une de ses parties un objet intrin. symétrique est définie par -​ soit des axes de réflexion axiales = symétrie axiale -​ soit des axes ou des centres de rotation = symétrie de révolution Neutralisation de l’inversion d’orientation sur les objets intrinsèquement symétriques: quand un objet est intrinsèquement symétrique, son image par réflexion axiale est identique même si orientation pas la même. la figure transformée est globalement superposable à la figure initiale On ne peut pas les différencier si on fais le parcours bien que ABC ≠ A’B’C’  FRISES, CELLULES ET MOTIFS motif de frise = figure plane quelconque qu’on répète à l’identique par une série de translations T sur une distance t dans la direction de l’axe H frise = ensemble des motifs indéfiniment répétés par la translation T cellule d’une frise = LES 7 TYPES DE MOTIFS GÉNÉRATEUR DES 7 TYPES DE FRISES Démarche générale en 2 étapes : 1.​ enrichissement = isométries génératives (déplacement + antidéplacement) 2.​ Combinaison = produire d’autre isométries dites résultantes MOTIF 1 : motif initial sans aucune symétrie → isométrie générative des frises de type 1 = la translation T apparaît sur la cellule comme ca : ​ ​ ​ elles demeurent invariantes que par les …… translations T^k MOTIF 2 : Motif asymétrique 1 + symetrie centrale R0( = rotation 180 deg) → un motif 2 sera toute figure pourvue d’un centre de symétrie r au centre de la cellule → en plus de faire un translation T^k, on fait une rotation autour de R (centre) MOTIF 3 : Motif asymétrique 1 + produit de sa réflexion relativement à H → ce sont toutes les figures pourvues d’un axe de symétrie sur l’axe H de la frise → composition de T^k, H, G(t)^k (réflexion glissée) MOTIF 4 : Motif asymétrique 1 + produit de sa réflexion relativement à V → toute figure pourvue d’un axe de symétrie V0 orthogonal à l’axe H de la frise au milieu de la cellule. → Ensemble des Symétries des frises de type 4 : Tk, V0, V1, V2 MOTIF 5 = Motif asymétrique 1 + produit de sa réflexion Glissée sur t/2 → toute figure pourvue d’un axe de réflexion glissée parallèle à l’axe H de la frise sur une distance égale à la moitié de la longueur de la cellule. → Isométries Génératives des frises de type 5: T, G(t/2) MOTIF 6 = Motif 2 à symétrie centrale + produit de sa réflexion axiale H ou V0. → toute figure pourvue. -​ d’un centre de rotation de 180° au milieu R0 de la cellule -​ et d’un axe de réflexion axiale horizontal H ou vertical V → Isométries génératives des frises de type 6: T, R0 , H ou V0 MOTIF 7 = Motif 2 à symétrie centrale + le produit de sa réflexion glissée sur t/2 Un Motif 7 sera toute figure pourvue: -​ d’un centre de rotation de 180° au milieu R0 de la cellule -​ d’un axe de réflexion glissée selon H sur une distance t/2. → Ensemble des Symétries des frises de type 7 : Tk, Rn, G(t/2)2k, V3 & V4 4TH.C Dièdre = figure formée par deux demi plan relié par une droite et formant donc un angle α et β Vrai grandeur d’un angle dièdre : → angle entre demi droites d’intersections d1 et d2 de chacun des demi plan avec tout plan normal PN aux demi plans. Le signe de ce vrai angle est le sens de rotation de d1 vers d2 regardé à l’encontre de l’axe d’intersection des 2 plans. axe d’intersection = normale au plan DN, qui doit être orienté pour fixer le sens de rotation → on perçoit mieux cet angle quand on dessine les normales directement sur l’axe de la normale (un peu comme des vecteurs) CONCLUSION : la mesures d’un angle requiert TJR 3 directions orientées : -​ les 2 demi droites ou l’angle est mesuré -​ la normale à l'encontre de laquelle le sens de rotation est considéré AUTRE PROPOSITION LIÉE ⚠︎: Plan orthogonal à 2 plans → 2 plans dans l’espace ont tjr une droite d’intersection sur laquelle on peut définir en tout point un plan orthogonal -​ à cette droite -​ à chacun des plans LES 10 ISOMÉTRIES DANS L’ESPACE  REPÈRES repère direct : sens trigo repère indirecte : inverse sens trigo RÉFLEXIONS Réflexion Ponctuelle = inversion de l’orientation = antidéplacement 1.​ Calcul de la distance entre -​ un point et l’objet à transformer -​ et l'élément définissant la réflexion 2.​ Inversion de cette distance Réflexion axiale = conservation orientation = déplacement = rotation 180 deg autour de l’axe de réflexion → dans l’espace , conserve orientations → déplacement → dans le plan, inverse les orientations → antidéplacement Réflexion plane = inversion orientation = antidéplacement CONCLUSION ORIENTATION  GENERATION D’ISO PAR COMPO DE REFL. PLANE ORTHOGONALES Dans le plan comme dans l’espace, la réflexion génératrice est celle qui est définie par l’objet de plus grande dimension: -​ un axe dans le plan, -​ un plan dans l’espace. Réflexion plane : brique de base des iso de l’espace Réflexion axiale : produit de 2 réflexions planes(double réflexion) selon des plans ortho (→rotation 180 deg autour axe intersection des 2 plans) DÉMONSTRATION par feuilletage de l’espace 1.​ Définir un plan N normal (perpendiculaire) à l'axe d'intersection noir des deux plans de réflexion P1​et P2. 2.​ Ce plan N coupe les deux plans P1​et P2​en deux axes. La réflexion d’un point I dans l’espace revient alors à : -​ Faire deux réflexions successives par rapport à ces axes dans N. 3.​ Les deux axes étant orthogonaux, ces réflexions successives donnent une réflexion ponctuelle autour d’un point O(intersection des axes). 4.​ Si I bouge dans un autre plan parallèle N′, le nouveau point O′ sera sur l’axe noir. Résultat : Une série de réflexions ponctuelles dans des plans parallèles équivaut à une réflexion axiale autour de l'axe noir. Réflexion ponctuelle : produits 3 réflexions planes(triple réflexion) selon des plans orthogonaux DÉMONSTRATION : 1.​ Le plan P3P3​est orthogonal aux deux premiers plans (P1P1​et P2P2​) et est parallèle aux plans normaux NN et N′N′ décrits précédemment. 2.​ Lorsqu’un point II subit deux réflexions successives (P1P1​puis P2P2​), son image intermédiaire est notée I2I2​. 3.​ Une troisième réflexion via P3P3​produit un nouveau point I3I3​, situé diagonalement opposé au point initial IIdans un parallélépipède formé entre NN et N′N′, avec des distances inversées relativement à P3P3​. 4.​ Le point milieu MM, situé à l’intersection des trois plans P1,P2P1​,P2​, et P3P3​, devient le centre d’une réflexion ponctuelle équivalente. 5.​ Ainsi, après ces trois réflexions orthogonales, tout point II est renvoyé de manière symétrique par rapport à MM, créant une symétrie totale autour de MM.  GENERATION D’ISO PAR COMPO DE REFL. PLANE QUELCONQUES Rotation dans l’espace = produit de 2 réflexions quelconques La compo de 2 réflexions relatives à des plans formant un angle α produit une rotation : -​ autour de l’axe d’intersection des 2 plans -​ d’angle double de celui des 2 plans = 2α dans le plan → 2 réflexions axiales définissent une rotation d’angle double de celui des axes de réflexion dans l’espace → 2 réflexions planes définissent une rotation d’angle double de celui des plans de réflexion Translation dans l’espace = produits 2 réflexions planes // La compo de 2 réflexions relatives à des plans // (α = 0) à distance d, produit une translation : -​ dans la direction orthogonale au 2 plans // -​ sur une distance double de celle des 2 plans = 2d dans le plan → une translation sur une distance 2d équivaut à la compo de 2 refl. axiales relativement à des axes // à distance d et orthogonaux à la direction de translation dans l’espace → une translation sur une distance 2d équivaut à la compo de 2 refl. planes relativement à des plans // à distance d et orthogonaux à la direction de translation THÉORÈME DE STRUCTUR FONDAMENTAL DES ISSO. DANS L’ESPACE : “toute iso dans l’espace peut s’exprimer comme la compo d' au plus 4 refl. planes” → réflexion plane = brique de base iso dans l’espace  CONFIGURATION DE 2 DROITES DANS L’ESPACE ET CONNECTEUR DE 2 DROITES GAUCHES 3 CONFIGURATION DE 2 DROITES DANS LE PLAN Coplanaires -​ concourantes = pt. d'intersection dans l’espace fini -​ parallèles = pt. d’intersection à l’infini Non Coplanaires -​ gauches = pas de pt. d’intersection CONNECTEUR DE 2 DROITES GAUCHES = l’unique droite orthogonale à chacune de ces 2 droites construction : -​ soit 2 droites gauches d1 et d2 -​ construite plan normaux à un points quelconques de chacune -​ les plans ont un axe d’inters. d3 dont la direction est orthogonale à d1 et d2 ​ → connecteur = (I1I2) → 2 droites gauches peuvent tjr avoir l’air //, suffit juste de regarder selon la normale à n’importe quel plan // à leur connecteur Conclusion sur les plans définis par 2 droites quelconques : -​ 2 directions de droites définissent tjr un feuilletage de plans // orthogonaux au connecteur des 2 droites -​ Le connecteur de 2 droites quelconque joue un rôle aussi important que le plan normal à 2 plans quelconques où apparaît la mesure de l'angle en vraie grandeur, c -​ connecteur sera important dans construction vissage (4 refl. planes) ⚠ MONGE 1795 : 2 vues sont nécessaires pour lever l'ambiguïté des 2 droites dans l’espace CONFIGURATION DE 3 PLANS DANS L’ESPACE CONFIGURATION 2 PLANS 2 plans concourants : pt. intersection dans l’espace fini 2 plans // : pt. d’intersection à l’infini CONFIGURATION 3 PLANS ​ Théorème fondamental relatif aux 3 droites d’intersection de 3 plans dans l’espace: Soit 3 plans dans l’espace, si ces 3 plans ont 3 lignes d’intersection, alors ces 3 lignes sont: -​ soit concourantes, -​ soit parallèles. CONFIGURATION AVEC MOINS DE 3 DROITES D’INTERSECTION (3cas) 1.​ 2 plans // à un qlcq → 2 droites d’inters. 2.​ faisceau 3 plans → 1 droite d’inters. 3.​ 3 plans /// → 0 droite inters.  EXAMEN PRÉALABLE DU PRODUIT DE 3 REFL. PLANES DANS L’ESPACE rappel : le nb 3 de refl. planes est IMPAIR donc = antidéplacements (qui inverse orientation) Les 4 configurations de 3 plans définissent une série de plans // normaux : -​ normaux à ces 3 plans -​ normaux à leur droites d’intersection quand elles existent → tout point I se trouve nécessairement sur un des plans N Ces 4 configurations = réflexions glissées qu’on peut normaliser comme 3 réflexions planes → 2 réflexions relatives à 2 plans // finissant une translation -​ d’axe L -​ sur une distance d = 2 x la distance P1-P3 → 1 reflexion relative à un plan P2 orthogonal à P1 et P3 5EME CONFIGURATION = ROTOREFLEXION NORMALISATION DU CAS GÉNÉRAL D’UNE RÉFLEXION à 3 PLANS cas général :​ ​ ​ ​ ​ ​ cas particulier : ​ 3 plans aux intersections concourante​ ​ ​ P1 et P2 sont orthogo. à P3  les 3 réflexions planes produise une transformation = rotoreflexion 2 réflexions = une rotation + 1 réflexion (=3 réflexions planes) → rotoréflexion permet générer face inférieure d’un antiprisme à partir de sa face superieur def. : rotation autour d’un axe d’intersection de 2 plans avec un angle égal au double de l’angle entre les plans ET une autre réflexion plane qui sera orthogonal aux 2 premiers plans CONSTRUCTION DE LA LIGNE ET DU PLAN DE PLUS GRANDE PENTE ligne de plus grande pente = la plus pentue (exemple montagne cours d’eau) direction de référence = l’axe z (la pesanteur pour le cours d’eau) → on fait un plan orthogonal au point d’intersection avec la direction de référence → plan vert = plan de plus grande pente (perp. au plan oblique rose passant par l’axe de référence Z noir) ​ → definit par : ​ - l’axe de référence Z ​ -la perpendiculaire à la droite d’inters.= ligne de plus grande pente → unique plan perp. a plan rose ET passant par axe de référence NORMALISATION PRODUIT DE 3 RÉFLEXIONS PLANE ET UNE ROTORÉFLEXION Dans le plan : 3 refl. axiales = une refl. glissée Dans l’espace : 3 refl. planes = une rotoreflexion Pour normaliser : 1.​ tracer la droite de plus grande pente HELP  INTRODUCTION D’UNE 4EME RÉFLEXION PLANE = VISSAGE/DEMI VISSAGE ISO DES 2 PAIRES DE PLANS : 1.​ P2 et P4 → Translation (2 refl. planes) 2.​ P1 et P3 → Rotation (2 refl. planes) → commutation = [RP(P3) * RP(P1)] * [RP(P4) * RP(P2)] Le produit de ces 4 réflexions planes particulières définit alors un vissage W: -​ d’axe L -​ d’angle 2α -​ sur une distance 2d Ce vissage peut dégénérer en -​ rotation si les 2 plans // sont confondus (d=0) -​ translation si les plans orthogonaux forment un dièdre d’angle alpha = 0 -​ identité si d=0 et alpha = 0 → rotation nulle SYNTHÈSE DES 10 ISO. DANS L’ESPACE Toute isométrie dans l’espace a pour éléments invariants l’une de ces 10 configurations invariantes. Vissage reprit dans art → contrapposto polyclète -450 : Le Doryphore sculpture pour illustrer son livre KANON (règle variable de référence) APPLICATION PRATIQUE EN CAO logiciel ont du mal à déterminer une symétrie les symétrie utile en CAO sont celles qui permettent de remplacer -​ un antidéplacement → va créer un objet miroir -​ par un déplacement → qui va conserver l’objet initial les 2 symétries utiles sont : -​ symétries planes = réflexions relatives à un seul plan -​ symétries de révolution réflexions relatives à une infinité de plans ayant un axe d’intersection en commun. SYMÉTRIE DE RÉVOLUTION Surface de révolution = surface engendré par la rotation d’une courbe plane autour d’un axe situé dans le plan de la courbe Le solide issu de la surface de révolution a une symétrie de révolution relativement à l’axe de révolution de la surface. La surface est créée par rotation, mais en modélisation, on traite souvent sa symétrie comme si elle était plane pour simplifier les calculs et l’utilisation.  DÉPLACEMENTS équivalents aux RÉFLEXIONS en CAO déplacement équivalent d’une pièce symétrique : réflexion plane→ rotation réflexion ponctuelle→ compo d’une rotation et d’une translation TOUT ANTIDÉPLACEMENT D’UN OBJET SYMÉTRIQUE = DÉPLACEMENT 5THa Retour à la géométrie ancienne des figures : Felix Klein initie géométrie moderne en 1872 k = un facteur par lequel on multiplie les distance relativement à un objet de référence Les birapports dérivent d’une théorie très ancienne de Archytas en -380 définit 3 moyennes : 1.​ géométrique 2.​ arithmétique 3.​ harmonique  RAPPEL SUR LES MOYENNES PROPORTIONNELLES ET LEUR CONSTRUCTIBILITÉ Proportion: Suite d’égalités de fractions entre grandeurs quelconques: commensurables ou incommensurables exemple : a/b = c/d = e/f = …. = y/z → Termes extrêmes = le premier numérateur et le dernier dénominateur. → Termes moyens = tous les autres numérateurs et dénominateurs intermédiaires. Proportion continue: Suite d’égalités de fractions où le dénominateur d’une fraction devient le numérateur de la fraction suivante. exemple : a/b = b/c = c/d = ….= w/y = y/z  REDÉFINITION DES 3 MOYENNES FONDAMENTALES 1.​ la moyenne géométrique = simple moyenne proportionnelle Si p/m = m/g, alors p/(m-p) = m/(g-m) D’où la reformulation complète de la simple moyenne proportionnelle: (m-p)/(g-m) = p/m = m/g Cette reformulation met en évidence le rapport de différence : (m-p)/(g-m) → sous cette forme, la simple moyenne prop. est aussi appelée la moyenne géométrique! 2.​ la moyenne arithmétique C’est le cas où les différences des termes extrêmes avec le moyen terme sont égales: (m-p) = (g-m) Ainsi le rapport de différence = 1 ​ (m-p)/(g-m) = 1 Le moyen terme se trouve au milieu des 2 extrêmes : ​ m = (p+g)/2 3.​ la moyenne harmonique C’est le cas où le rapport des différences équivaut au rapport des extrêmes : (m-p)/(g-m) = p/g Produit des extrêmes et des moyens: mg - pg = pg - mp → m*(p+g) = 2 pg Et donc le moyen terme : m = 2 * pg/(p+g) Autres reformulations souvent utilisées 2/m = (p+g) / pg 2/m = 1/g + 1/p  RELATION FONDAMENTALE ENTRE LES 3 MOYENNES Soient A, G, H les 3 moyennes arithmétique, géométrique et harmonique A = (p+g)/2 G = 2√(pg) ⇒ G2 = pg H = 2 * pg/(p+g) = G2/A → On en déduit que G = la simple moyenne proportionnelle entre A & H: H/G = G/A En gros, si G est la moyenne prop. entre 2 nombre p et g → alors G est aussi moyenne géométrique entre les moyennes A et H de p et g. p/G = G/g ⇔ H/G = G/A ​ ​ ​ ​ ​ 1​ ​ 2​ → la division de 1 par 2 = p/H = A/g = proportion musicale si g = 2p