Zusammenfassung - Didaktik der Geometrie PDF

Zusammenfassung -- Didaktik der Geometrie **[1. Einführung: Fundamentale Ideen der Elementargeometrie]** **1. Geometrische Formen und ihre Konstruktion:** Formgebilde unterschiedlicher Dimension lassen sich auf vielfältige Weise konstruktiv erzeugen. **2. Operieren mit Formen:** Geometrische Gebi...

Zusammenfassung -- Didaktik der Geometrie **[1. Einführung: Fundamentale Ideen der Elementargeometrie]** **1. Geometrische Formen und ihre Konstruktion:** Formgebilde unterschiedlicher Dimension lassen sich auf vielfältige Weise konstruktiv erzeugen. **2. Operieren mit Formen:** Geometrische Gebilde lassen sich bewegen, in ihrer Größe verändern, zerlegen, überlagern etc., wodurch vielfältige Beziehungen entstehen. **3. Koordinaten (Zahlenstrahl, kartesische Koordinaten):** Grundlage u.a. für die spätere grafische Darstellung von Funktionen sowie die analytische Geometrie. **4. Maße und Formeln:** Ermöglichen das Messen von Längen, Flächen, Volumina und Winkeln. **5. Geometrische Gesetzmäßigkeiten und Muster:** Entstehen durch Beziehungen zwischen geometrischen Gebilden und ihren Maßen. **6. Formen in der Umwelt:** Reale Gegenstände lassen sich durch geometrische Begriffe, z.T. angenähert oder idealisiert, beschreiben. **7. Übersetzung in die Zahl- und Formensprache (Geometrisierung räumlicher Situationen, z.B. Karten, Pläne, Risse, Fotos, Modelle,...):** Sachsituationen lassen sich durch arithmetische und geometrische Begriffe in die Zahlen- und Formensprache übersetzen, lösen und in praktische Folgerungen überführen. Sind die roten Fäden für den gesamten Geometrieunterricht von der Grundschule bis in die Sekundarstufe. \- Geben Orientierung bei der Auswahl und Strukturierung von Unterrichtsinhalten. \- Helfen, sich auf das Wesentliche im Unterricht zu konzentrieren. Eine fundamentale Idee ist ein Denk-, Handlungs-, Beschreibungs- und Erklärungsschema, das... \- einen Bezug zur Sprache und Denken des Alltags und der Lebenswelt besitzt. **[2. Operieren mit ebenen Figuren]** **Handlungserfahrungen durch Legen** - **Legen:** - Freies Legen - Auslegen (Umriss der Figur in Originalgröße gegeben) - Umlegen vorgegebener Teile - Legen nach Vorgabe -- Vorgabe ist die Figur selbst, eine verbale Beschreibung, eine verkleinerte Abbildung der Figur (mit oder ohne sichtbare Teile) - **Ziele:** - Wissen über ebene Figuren (bspw. ihnen Namen geben zu können) - Geometrische Einsichten - Herausbildung einer geometrischen Sprachkultur (altersentsprechend) -\> Mit die schwierigste Handlungserfahrung - Verbesserung der Raumvorstellung Mit allen Handlungserfahrungen werden diese Ziele herausgearbeitet - **Materialien:** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **Homogenes Material** | **Heterogenes Material** | +===================================+===================================+ | Gleiches Material in großer Menge | Viele verschiedene geometrische | | | Formen | | Z.B. Legen mit kongruenten | | | Quadraten (um z.B. Tetrominos zu | Z.B. Legen mit Tangram-Teilen; | | erzeugen); kongruenten | verschiedenen Tetrominos | | Dreiecken... | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ Aus heterogenem Material kann homogenes Material werden. - **Exemplarische Lernumgebungen:** **- Einschub: Begriffserklärung Lernumgebung** - **- Legen mit heterogenem Material: Tangram** - **Freies Legen:** Lege eine erfundene Figur -\> Kein Wissen benötigt; leichter geht nicht. - **Legen nach Vorgabe (Nachlegen):** Lege eines der Tiere nach; Lege die Figur nach (mit was hast du angefangen?); Kannst du ein Teil legen, ohne zu probieren? Woher weißt du, dass dieses Tier dorthin muss?; Beschreibe deinem Partner, wie deine Figur aussieht, ohne sie zu legen. Dein Partner legt deine Figur mit seinem Tangram nach. -\> Begriffswissen benötigt -\> Vorgabe kann die Figur selbst; eine Abbildung oder eine verbale Beschreibung sein. -\> Indem SuS mehrere Möglichkeiten finden, bspw. ein Haus zu legen, werden Invarianzerfahrungen angeregt (ein Parallelogramm = zwei kleine Dreiecke) - **Legen nach Vorgabe und Umlegen vorgegebener Teile:** Lege ein Dreieck und lege es dann zu einem Rechteck um. -\> Schwierigkeitsgrad kann nicht pauschalisiert werden. Kann leichter oder schwerer sein. - **Auslegen:** Gegeben ist ein Umriss in Originalgröße; mit oder ohne sichtbare Teile. **- Legen mit homogenem Material: Pentominos** - Trominos: Figuren, die aus drei kongruenten regelmäßigen Polygonen (z.B. Quadraten) zusammengesetzt sind und zwar so, dass sie mit der gesamten Seite aneinander liegen (zwei verschiedene). - Tetrominos: Figuren, die aus vier kongruenten regelmäßigen Polygonen (z.B. Qudraten) zusammengesetzt sind. -\> 5 verschiedene - Pentominos: Figuren, die aus fünf kongruenten regelmäßigen Polygonen zusammengesetzt sind. **Zeichnen ebener Figuren** - **Zeichnen aus kognitionspsychologischer Sicht:** Zeichnungen entstehen durch die Interaktion von verschiedenen Arten des Wissens: 1\) Gegenstandswissen (Wie sieht das Objekt aus?) -\> Räumliches Vorstellungsvermögen 2\) Abbildungswissen (Wie wird das Objekt dargestellt?) -\> Wie bringe ich das, was ich zeichnen möchte, auf Papier? Hilfsmittel? 3\) Ausführungswissen (Motorische Umsetzung; Reihenfolge, in der gezeichnet wird) -\> Hier werden deutlich mehr Wissensarten benötigt als beim Legen. SuS sollten zudem erst Erfahrungen im Zeichnen ebener Figuren und dann im Zeichnen räumlicher Figuren sammeln, da räumliche Figuren aus ebenen Figuren entstehen. Grundlagen werden aufs räumliche Zeichnen übertragen. - **Zeichnen ebener Figuren vor räumlichen Objekten...** - Schafft Grundlagen für die räumliche Darstellung von Objekten - Es werden Erfahrungen mit dem Zeichnen gewonnen - Visuelle Wahrnehmung und Vorstellungsvermögen werden weiterentwickelt - Eigenschaften geometrischer Figuren werden entdeckt oder bewusst gemacht - Schemata im Sinne von Abbildungs- und Ausführungwissen werden aufgebaut - Ist kein eigenständiger Inhaltsbereich, sondern mit anderen Inhalten verbunden - Beispiele: Herstellen von Mustern, Bandornamenten, Parketten; verkleinern und vergrößern von Figuren; Spiegeln von Figuren - **Klassifikation nach Zeichenhilfsmitteln:** - **Freihandzeichen** (Mit Blei- und Farbstift): - **Zeichnen mit Schablonen** - **Zeichnen mit Zeichengeräten:** **[3. Operieren mit räumlichen Figuren und Zeichnen]** **Klassifikation geometrischer Körper und ihre Beziehungen** - (**Zylinder:** Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte einer ebenen Fläche mit den entsprechenden Punkten einer aus der Ebene heraus verschobenen Fläche verbindet. - **Kegel:** Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte einer ebenen Fläche mit einem weiteren Punkt außerhalb der Ebene (durch Strecken verbindet) - **Eigenschaften einzelner Typen:** - Zylinder: Entsteht, wenn man alle Punkte einer ebenen Fläche mit den entsprechenden Punkten einer aus der Ebene heraus verschobenen Fläche verbindet -\> Häufig spricht man vom Kreiszylinder (Grundfläche ist ein Kreis). Allerdings sind auch Prismen (u.a. Quader) Zylinder. - Kegel: Entsteht, wenn man alle Punkte einer ebenen Fläche mit einem weiteren Punkt außerhalb der Ebene (durch Strecken) verbindet. -\> Meist spricht man von Kreiskegeln (Grundfläche ist ein Kreis). Pyramiden sind allerdings auch Kegel. - Primäre Merkmale: Anzahl der Ecken, Kanten und Seitenflächen; Längen der Kanten; Formen der Flächen - Zu beachten: Eine Kugel hat keine Ecken und keine Kanten, aber eine Fläche. Diese ist nicht eben und gehört somit nicht zu den (ebenen) Flächenformen. - Netze sind ebene Figuren, aus denen sich ein Körper, z.B. durch Falten wieder zusammenbauen lässt. Nicht alle Körper haben ein Netz.) **Operieren mit räumlichen Objekten: Bauen** - **Material: Bauen mit...** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **Heterogenem Material** | **Homogenem Material** | +===================================+===================================+ | - Bauen mit Holzbaukisten, z.B. | - Steckwürfel | | Geostadt | | | | - Blankowürfel | | - Material aus der Umwelt | | | | - Streichholzschachteln | | - Legosteine | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ - **Möglichkeiten zum Bauen:** - Freies Bauen - Bauen nach vorgegebenem Thema - Bauen nach Vorlagen - Verändern von Gebäuden durch Umbauen und Umordnen (Pendant zum Auslegen) - **Der Soma-Würfel:** - Analog zum Legen von Flächenformen mit dem Tangram - Einzelteile: Sechs verschiedene Würfelvierlinge, die keine Stangen oder Platten sind, und ein Würfeldrilling. - **Aktivitäten mit Würfelbauten:** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **Aktivitäten** | **Bildungsplan** | +===================================+===================================+ | - Ermittlung der Anzahl der | - Verbindung der Leitideen Raum | | Würfel -\> Geschickte Zähl- | und Form und Zahlen und | | und Rechenstrategien | Operationen | | | | | - Ermittlung der Anzahl der | - Leitidee Raum und Form: sich | | Würfel, die noch ergänzt | räumliche Konfigurationen | | werden müssen, um einen | vorstellen & in Gedanken | | Quader zu bauen | damit operieren | | | | | - Rauminhalt von Quadern | - Verbindung der Leitideen Raum | | ermitteln -\> Berechnung des | und Form und Größen und | | Rauminhalts | Messen | +-----------------------------------+-----------------------------------+ **Zeichnen räumlicher Objekte** - Dreidimensionale Gegebenheiten werden auf dem Zeichenblatt zweidimensional abgebildet. - Der Betrachter soll in der Zeichnung Objekte räumlich wahrnehmen - Realistisches Zeichnen - Geometrisches Zeichnen (Grundlage der meisten Konstruktionsverfahren ist die Parallelprojektion: Dreitafelprojektion, Schrägbild, Militärperspektive oder Zentralprojektion, d.h. Konventionen für die Darstellung) - Erläuterungen: - Foto: Räumlichkeit wird durch Schatten, Verkürzung und Tiefe erzeugt, dabei können Informationen verloren gehen (etwas ist verdeckt, verzerrt, es gibt optische Täuschungen) - Realistisches Zeichnen: Im Sinne eine Fotografie werden Gegebenheiten genau festgehalten. - Geometrisches Zeichnen: Vereinbarungen/Standards ermöglichen, viele Informationen in die Zeichnung aufzunehmen, die der geschulte Betrachter decodieren und in räumliche Informationen umsetzen kann. - Zentralprojektion: Die parallelen Linien scheinen von mindestens einem Fluchtpunkt zu kommen. - **Räumliches Zeichnen an außerschulischen Lernorten:** - Geometrische Körper sind eng mit einem Umweltbezug verbunden - Primärerfahrungen können gewonnen, Begriffen von Anfang an Sinn verliehen werden - Forscheraufträge können räumliches Zeichnen initiieren - **Einsatz unterschiedlicher Zeichenhilfsmittel:** - Freihandzeichnungen - Zeichnungen mit Zeichengeräten - **Zeichnen von Würfeln und Würfelbauten** - **Zusammenfassung** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **In der Grundschule: Würfel und | **In der Hauptschule: Würfel, | | Würfelbauten** | Quader und Prismen** | +===================================+===================================+ | - Baupläne (Grundriss mit | - Schrägbilder mit Geodreieck | | sinnvollen Anmerkungen) | zeichnen | | | | | - Zeichnungen auf Kästchen oder | - Schrägbilder skizzieren | | Gitterpapier -\> | | | Quadratgitter; Dreiecksgitter | | | | | | - Arbeit mit Würfelplättchen | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ **[4. Geometrische Begriffsbildung]** **Was ist ein Begriff?** - Wir sprechen von „Begriff", wenn nicht nur ein einzelner Gegenstand oder ein Ereignis, sondern eine Kategorie, eine Klasse assoziiert wird, in die der konkrete Gegenstand einzuordnen ist. - Mit einem Begriff werden Objekte oder Erscheinungen hinsichtlich bestimmter Eigenschaften zusammengefasst. -\> Alle Eigenschaften, die die einzelnen Objekte gemeinsam haben und nicht die spezifischen Merkmale einzelner Objekte. - Aufgenommene Informationen werden durch Begriffe zweckentsprechend verdichtet. - Begriffe organisieren unser Verhalten, sind Grundlage sprachlicher Kommunikation, beeinflussen die Leistungen des Gedächtnisses und das Problemlösen. **Ziele des Begriffserwerbs (nach Vollrath)** - Definitionen (Beschreibungen) angeben können. (Bsp. Einführung Rechteck: Zeichnen und Beschreiben von Rechtecken). - Beispiele als Repräsentation angeben können. -\> Kinder sind selbst aktiv. Dazu muss ein bestimmtes Vorwissen vorhanden sein (Bsp.: Suchen nach Rechtecken im Klassenzimmer) - Zu gegebenen Objekten entscheiden können, ob sie den Begriff repräsentieren (Sortieren und Vergleichen von Formen) - Alle Eigenschaften des Begriffs kennen (Falten von Rechtecken) - Begriff und dessen Eigenschaften zum Problemlösen nutzen können - Ober- und Unterbegriffe kennen und sich der Beziehung zwischen ihnen bewusst sein - Nicht alle Ziele sind am Ende der GS bereits erreicht, bzw. erreichbar. Ziel ist also nicht nur, das Begriffswort zu kennen, sondern auch mit dem Begriff eine Vorstellung zu verbinden und sich über den Begriff äußern zu können. **Arten geometrischer Begriffe** - **Objektbegriffe:** - Umfassen ebene und räumliche Objekte, die durch konkrete Gegenstände oder Modelle repräsentiert werden - Jeder steht für eine Klasse von Elementen, die gemeinsame Eigenschaften besitzen - **Eigenschaftsbegriffe:** - Werden zum Definieren weiterer Begriffe -- meist von Unterbegriffen- genutzt, indem ein Objektbegriff durch Festlegen von Eigenschaften wieder in Klassen unterteilt wird. - **Relationsbegriffe:** - Beschreiben Beziehungen zwischen geometrischen Objekten - Anmerkungen: - Zwischen den Begriffen bestehen Beziehungen, die zu neuen Begriffen führen, z.B.: Viereck -\> Quadrat - Räumliche Figuren können durch „ebene Begriffe" charakterisiert werden. - Es gibt auch Begriffe, die in der GS nicht näher beschrieben (definiert) werden, z.B. Pyramide, Prisma. - Einige Begriffe sind sowohl bei den räumlichen als auch bei den ebenen Begriffen eingeordnet, z.B. Ecke. - Mit den Relationsbegriffen werden Beziehungen zwischen Figuren gleicher Klassen beschrieben. Häufig wird nicht zwischen Objekt- und Eigenschaftsbegriff unterschieden. Bsp.: Quadrat ist ein Objektbegriff für eine ebene Figur, aber die Seitenflächen eines Würfels sind Quadrate oder quadratisch (=Eigenschaftsbegriff) **Begriffsbildung am Beispiel der Vierecke**  Beispiel: Alle Quadrate sind auch Rauten, aber nicht alle Rauten auch Quadrate. - Hier werden die Beziehungen zwischen den verschiedenen Formen deutlich. - Beziehungen müssen für uns Lehrkräfte bekannt sein, ansonsten fällt es den SuS ganz arg schwer, selbst Beziehungen zu finden. **Begriffserwerb im Unterricht** - **Niveaustufen der Begriffsbildung** - **Intuitives Begriffsverständnis (=anschauungsgebundenes Denken)** - **Inhaltliches Begriffsverständnis (=analysierend-beschreibendes Denken)** - **Integriertes Begriffsverständnis (=abstrahierend-relationales Denken)** - **Formales Begriffsverständnis (=schlussfolgerndes Denken)** - **Wege zur Einführung von Begriffen** - Begriffserwerb durch... **[5. Räumliches Vorstellungsvermögen und Kopfgeometrie]** Die Förderung der Raumvorstellung ist ein übergeordnetes Ziel des gesamten Geometrieunterrichts. Sie soll nicht nur beiläufig, sondern explizit durch spezielle Aufgabenstellungen gefördert werden (z.B. durch Kopfgeometrie). **Begriff Raumvorstellung** Gruppe von Fähigkeiten, die es dem Einzelnen ermöglichen, sich gedanklich im 2D/3D-Raum zu bewegen (Rost, 1977). Ist ein durch geistige Verarbeitung (Verinnerlichung) von Wahrnehmungen an dinglichen Gegenständen erworbenes Vermögen, das sich der Raumbezüge bewusst geworden ist und diese reproduzieren kann (Besuden, 1973). Ist die Fähigkeit, räumliche Objekte verinnerlicht zu sehen, zu bewegen, zu zerlegen und zusammenzusetzen, verinnerlicht auszudehnen und komprimieren zu können (Wollring, 2011). Räumliches Vorstellungsvermögen ist eng verknüpft mit dem visuellen Wahrnehmen, denn es beruht auf Elementen der Wahrnehmung. - **Visuelle Wahrnehmung** - Raumvorstellung basiert auf der visuellen Wahrnehmung - Ist Voraussetzung für räumliches Vorstellungsvermögen. Diese Fähigkeiten zur visuellen Wahrnehmung werden vorwiegend im Grundschulalter entwickelt. - Fähigkeiten zur visuellen Wahrnehmung befähigen zur Bewältigung des Alltags und Orientierung in der Umwelt. - Ist Voraussetzung für koordinierte Bewegung (z.B. Fangen eines Balls, Überqueren einer Straße...) - Es lassen sich fünf Komponenten unterscheiden: - **Räumliche Fähigkeiten** - Die Verknüpfung und wechselseitige Beeinflussung der visuellen Wahrnehmung und der Raumvorstellung kann graphisch dargestellt werden (s. Abb. Unten). - Die visuelle Wahrnehmung und die Raumvorstellung weisen einen besonders engen Bezug auf, da an visuellen Wahrnehmungsprozessen immer gedankliche Leistungen beteiligt sind und die Grenze zur Vorstellung räumlicher Begebenheiten oft fließend ist.  - **Räumliches Orientieren:** - **Räumliche Veranschaulichung:** - **Räumliche Beziehungen:** - **Mentale Rotation als vierte Komponente:** -\> Die Aufgaben können oft auch durch andere Komponenten gelöst werden. Es kommt darauf an, wie ich vorgehe. Es muss also immer argumentiert werden. - **Relevanz der Raumvorstellung aus empirischer Sicht** - Unterscheidung von mindestens zwei Arten von Strategien: Holistische Strategien Analytische Strategien ---------------------------------------------------- ------------------------------------------------------ Betrachtung des ganzen Objekts und Operieren damit Betrachtung einzelner Details zur Lösung der Aufgabe - Häufig Verwendung verschiedener Strategien (je nach Aufgabe, Vorwissen und individuelle Präferenz) - Vermischung von Strategien oder andere Lösungsansätze, z.B. Eindrehen des Körpers, Bewegen der Hände. - **Schulung der Raumvorstellung** **Begriff Kopfgeometrie** - **Abgrenzung gegenüber dem Kopfrechnen** - Nach **Radatz (1998):** „Wo das Kopfrechnen Sicherheit, Schnelligkeit und mathematische Fertigkeiten in Bezug auf Rechenoperationen trainiert, fördert die Kopfgeometrie die Raumvorstellung. Schnelligkeit ist dabei nebensächlich." - Nach **Senftleben (2003):** - Nach **Franke und Reinhold (2016):** „Die Kopfgeometrie umfasst alle im Kopf zu lösenden Aufgaben, die das visuelle Wahrnehmungs- und das räumliche Vorstellungsvermögen schulen." - **Fazit:** - **Systematisierung kopfgeometrischer Aufgaben** **3 Arbeitsphasen:** - Phase 1 und 3 können unterschiedlich gestaltet sein. Daraus ergeben sich unterschiedliche Aufgabentypen (s. unten) **4 Aufgabentypen (nach Senftleben, 1996):**   - Gemeinsam haben alle Aufgabentypen, dass in Phase 2 kein Hilfsmittel zur Verfügung steht. Ansonsten wäre es keine Kopfgeometrie mehr. - Hilfsmittel sind nichts Schlechtes. Oft macht es gar keinen Sinn, auf ein Hilfsmittel zu verzichten. - Es geht immer um die Frage: Was wollen wir? Häufig sind Aufgaben schon anspruchsvoll genug. - **Beispiele kopfgeometrischer Aufgaben**  Fokus: Räumliche Orientierung Fokus: Räumliche Veranschaulichung -\> So wie dargestellt nicht als reine -\> Auch hier macht es keinen Sinn, das kopfgeometrische Aufgabe lösbar Hilfsmittel in Phase 1 wegzunehmen. -\> Alternativ: Kinder kennen das eigene -\> Je nach Klassenstufe kann bei Schulgebäude und erhalten dann die Unsicherheiten noch ein Hilfsmittel Aufgaben. eingesetzt werden. -\> Es kommt darauf an, ob man es sich rein im Kopf vorstellt, oder ob man mit dem Stift nachfährt etc.  Fokus: Räumliche Beziehungen (Gegen- überliegende Seiten ergeben Fokus: Räumliche Beziehungen die Summe 7)/Veranschaulichung (Hochklappen und gegenüberliegende Zahlen betrachten)-\> Kombi -\> Hilfsmittel in Phase 1 unabdingbar und auch in Phase 3 wichtig.  Fokus: Mentale Rotation / Räumliche Beziehungen (nach der mentalen Rotation wird z.B. zuerst der untere Stutzen angeschaut und dann ausgeschlossen usw.). -\> Hilfsmittel in Phase 1 und 3 nötig. Räumliche Orientierung wäre auch möglich, aber sehr kompliziert Reine Kopfgeometrische Aufgaben sind sehr anspruchsvoll. Alle Schritte müssen mental vollzogen werden. Vor allem für GS-Kinder sind reine kopfgeometrische Aufgaben meist wenig sinnvoll. Um ihnen den Weg von der Wahrnehmung und Handlung zum reinen mentalen Vorgehen zu ebnen, können Skizzen oder manuelle Handlungen durchaus nützlich sein. Im Geometrieunterricht wird immer betont, dass sich Kinder Inhalte handelnd erarbeiten sollen. Gerade bei der Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens ist es jedoch wichtig und unentbehrlich, dass der Handlung ein mentaler Lösungsprozess vorgeschaltet wird. Um herauszuarbeiten, welche Komponente der RV bei einer Aufgabe dominiert, ist entscheidend, wie die Aufgabe gelöst werden kann. Wenn sie mithilfe mehrerer Strategien gelöst werden kann, dann werden meist auch mehrere Komponenten der RV angesprochen und gefördert. Wichtig ist, dass die dominierende Komponente mit meiner Begründung stimmig ist. **[6. Symmetrie und Abbildung]** **Symmetrie als fundamentale Idee des Geometrieunterrichts** Symmetrien beschreiben Ordnungsstrukturen jeglicher Art auf mathematische Weise. -\> Sie helfen uns bei der kognitiven Verarbeitung von Alltagssituationen. Der Bereich Symmetrie zeichnet sich durch Ideen aus, die...... einen starken Bezug zur Wirklichkeit haben.... verschiedene Aspekte und Zugänge aufweisen... sich durch einen hohen inneren Beziehungsreichtum auszeichnen -\> verschiedene Symmetrien haben Beziehungen zueinander (bspw. zwei Achsensymmetrien in einer Figur) **Zentrale Aspekte der Symmetrie** - **Formaspekt (Definition von Symmetrie):** - Wie lassen sich symmetrische Formen charakterisieren? - Achsensymmetrische Figuren bestehen aus zwei „Hälften". Die eine Hälfte wiederholt -bei Umkehrung der Orientierung- die andere. - Später: Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie bei einer Geradespiegelung an g auf sich selbst abgebildet wird. -\> Über die Grundschule hinaus. - **Algebraischer Aspekt (Rechnen mit Abbildungen)** - Durch Kombination der zugehörigen Abbildungen lassen sich aus zwei Symmetrien weitere ableiten. -\> bspw. können Deckabbildungen verkettet werden. - **Ästhetischer Aspekt:** - Regelmäßigkeit, Fast-Achsensymmetrie in der Natur - **Ökonomisch-technischer Aspekt:** - Symmetrische Strukturen bieten oft die Möglichkeit zur Reduktion von Kraft und (Denk-)Aufwand. - **Arithmetischer Aspekt:** - Zahlen und Operationen lassen sich durch symmetrische Punktmuster darstellen (Punktefelder, gerade-ungerade Zahlen,...) -\> Bsp.: Die Tatsache, dass bspw. immer zwei dazukommen, kann ich in eine Formel überführen. Symmetrie hat einen hohen Aspektenreichtum und ist somit eine fundamentale Idee. - **Intuitives Symmetrieverständnis** - Wird von den Kindern bereits in die Schule mitgebracht. - Die meisten Kinder verfügen über ein intuitives Verständnis für Symmetrie, das im Unterricht strukturiert, vertieft und präzisiert wird. - Symmetrische Bilder und Figuren lassen sich besser und detailgetreuer merken und erinnern. -\> Wir können das intuitive Begriffsverständnis also gut ausnutzen - Sofern es genügend ausgeprägt ist, wird es zur Reduktion von Komplexität bei der kognitiven Informationsverarbeitung genutzt. Gegebenenfalls ist das auch bei der Nutzung von Arbeitsmitteln hilfreich. -\> Je besser mit Bildern umgegangen werden kann, desto größer die Gedächtnisleistung. Die linken sind unsymmetrisch angeordnet und damit für uns wesentlich schwerer zu erkennen wie die, die symmetrisch angeordnet sind. - **Symmetrie und Analogie** - Auch das Erkennen von Analogien gehört in diesen Zusammenhang. - Strukturgleichheit kann als eine Form der Symmetrie/Regelmäßigkeit aufgefasst werden. - Bsp. Hundertertafel: **Allgemeine Ziele und Bildungsplanbezug** - **Allgemeine Ziele:** **Begriffswissen aufbauen** (vgl. Flächen und Körper), d.h. - **Verständnis vom Inhalt des Begriffs**: Beschreibung, Eigenschaften von symmetrischen Figuren, Konstruktion symmetrischer Figuren. -\> Spezifizieren, Abstrahieren und Konstruieren als Wege zur Begriffsbildung. - **Umfang des Begriffs erfassen:** Beispiele und Gegenbeispiele, Symmetrien identifizieren -\> Was gehört dazu und was nicht? - **Über ein Begriffsnetz verfügen:** Symmetrien klassifizieren -\> wird in der GS nur angerissen. - **Anwendungen des Begriffs kennen:** Symmetrieeigenschaften zum Problemlösen nutzen. -\> Bspw. zum Bauen oder zu anderen Dingen. - **Bildungsplanbezug:** - Vernetzung der Leitideen im Bildungsplan 2016 **Mathematischer Hintergrund: Symmetrie versus Kongruenz** - **Symmetrie:** - Eine Figur ist symmetrisch, wenn es eine nicht-identische Kongruenzabbildung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. - Eine Figur heißt symmetrisch, wenn sie invariant unter einer Kongruenzabbildung ist - **Symmetrie ist die Eigenschaft einer Figur.** - **Kongruenz:** - Zwei Figuren sind kongruent, d.h. deckungsgleich, wenn sie bis auf ihre Lage im Raum gleich sind (durch Spiegeln, Drehen, Verschieben). - **Kongruenz ist nicht die Eigenschaft einer Figur! Es geht um den Vergleich zweier Figuren.** - Geometrische Abbildungen: Lassen sich verstehen als die mathematische Beschreibung von (mentalen) Operationen mit Objekten - Kongruenzabbildungen sind solche Abbildungen (Operationen), die Geraden in Geraden abbilden und die Größe von Längen und Winkeln unverändert lassen (d.h. geraden-, längen- und winkeltreu sind). - **Arten von Kongruenzabbildungen:** - **Merkmale...** **Wege zur Einführung des Begriffs Symmetrie** - **Ausgehend von einer achsensymmetrischen Figur:** - Es gibt mindestens eine Spiegelachse, die innerhalb der Figur liegt. - Anknüpfen an die Vorerfahrungen der Kinder im Hinblick auf die visuelle Wahrnehmung - Im Zentrum: Ästhetischer Aspekt symmetrischer Figuren, der an vielen Beispielen betrachtet wird (Begriffsbildung durch Abstraktion) - Figuren werden symmetrisch ergänzt (durch Falten, Falten und Schneiden, Legen und teilweise auch beim Spiegeln. - Im Vordergrund steht das Erkennen der Symmetrieeigenschaft und das Beschreiben von Eigenschaften symmetrischer Figuren. - Nach Einführung achsensymmetrischer Figuren werden diese auf ihre Eigenschaften untersucht. - Es werden abbildungsbezogene Erfahrungen beim Falten mit Spiegelbildern thematisiert („Figur zerfällt in zwei deckungsgleiche Hälften) - Die Lernenden sollen die wesentlichen Aspekte dieser Figuren erkennen: - Beispielhafte Figuren: Verkehrsschilder; Gegenstände; Tiere; Flaggen; Spielkarten; Baupläne... - **Ausgehend von zwei kongruenten Figuren (Bild und Spiegelbild):** - Es gibt eine Spiegelachse, die zwischen den Figuren liegt. Die Figuren sind kongruent zueinander. - Es wird vor allem an Handlungserfahrungen der Kinder angeknüpft - Vollständige sinnvolle Figuren werden an Achsen gespiegelt und somit als Spiegelbild erneut dargestellt (und bspw. mit dem Zauberspiegel kontrolliert) - Eigenschaften beider kongruenten Figuren werden erarbeitet (Deckungsgleichheit, verschiedene Orientierung) - Auch Mehrfachspiegelungen bieten sich an - Auf Falten und Schneiden kann zurückgegriffen werden, wobei die Achsen nicht weggeschnitten werden sollten. Für die Kinder macht es einen Unterschied, ob sie z.B. zu einer Herzhälfte, die andere gesucht wird, oder ein Haus noch einmal (eben spiegelverkehrt) zu zeichnen ist. - **Didaktische Zugänge zu Symmetrien** Manche beziehen sind eher aufs Konstruieren, manche aufs Spezifizieren und manche eher aufs Abstrahieren -\> an sich gibt es immer die drei Wege (s. Begriffsbildung). Symmetrien handelnd erzeugen und überprüfen durch... - **Falten:** - **Falten und Schneiden:** - **Legen von Plättchen:** - **Klecksbilder herstellen:** - **Zeichnen mit Hilfe von Gitterpapier:** - **Spiegeln (mit einem oder mehreren Spiegeln):** **[7. Muster und Bandornamente]** **Begriffliche Klärung** Mit Winkelplättchen kann man Muster, Bandornamente und Parkette legen. Es gibt L-; T- und Z-Winkelplättchen (insgesamt 27, jeweils 3 Farben) - **Muster:** - Wiederholt zu beobachtende, regelhafte Phänomene. - Sie sind das geordnete Ganze, gekennzeichnet durch eine gleichförmige Wiederholung gleichbleibender Merkmale. - Besitzt immer eine Regelmäßigkeit. - Ein immer wieder anwendbares Schema, eine immer wiederkehrende oder wiederholbare Struktur. - **Bandornament:** - Figuren, die ein Grundelement in eine bestimmte Richtung (links oder recht) mit gleichem Abstand gleichmäßig und streifenförmig fortsetzen. - **Parkette:** - Die Ebene wird durch wiederholte Verwendung eines Grundelements abgedeckt, ohne dass Lücken oder Überlappungen entstehen. - **Bandornamente und ihre Symmetrien:** - Jedes Bandornament ist translationssymmetrisch, weist also immer eine Verschiebung auf. - Die sich wiederholenden Elemente sind kongruent und äquidistant, d.h. benachbarte Figuren haben stets denselben Abstand. - Zusätzlich können weitere Symmetrien auftreten - **Bandornamente und mögliche Abbildungen:** - die Verschiebung parallel zum Streifen - die Spiegelung an der Mittellinie (Längsspiegelung) - die Spiegelung an beliebigen Achsen senkrecht zum Bandornament (Querspiegelung) - die Punktspiegelung an den Punkten der Mittellinie - die Schubspiegelung mit der Mittellinie als Spiegelachse (Verschiebung um die halbe Elementardistanz) - **Typen von Bandornamenten und ihre Kongruenzabbildungen:** - Zur Erinnerung: Wenn es sich um ein Bandornament handelt, existiert immer eine Verschiebung, die das Bandornament auf sich selbst abbildet. - Es können aber auch mehrere Symmetrien gleichzeitig auftreten (also mehrere Kongruenzabbildungen) - Insgesamt gibt es 7 verschiedene Bandornamenttypen - **Didaktische Umsetzung:** - Einführung in die Thematik sollte an der Lebenswelt der Kinder anknüpfen - An konkreten Beispielen können unterschiedliche Bandornamenttypen, ihre Besonderheiten sowie ihre verschiedenen Funktionen kennengelernt und diskutiert werden -\> Faszination Bandornamente weckt Interesse und Neugierde bei den Kindern. - Tätigkeiten des Identifizierens, Beschreibens, Analysierens und Argumentierens werden angeregt. - Zu beachten: - **Mögliche Erkundungsaufträge:** - Eigene Bänder gestalten lassen: - Bänder färben lassen, sodass Symmetrien erhalten bleiben: - Bänder gestalten lassen, wobei das Grundelement aus verschiedenen quadratischen Mustern gebildet werden kann: - Weitere Möglichkeit: Stationenarbeit: Hier kommt auch dem Legen von Bandornamenten eine große Bedeutung zu, wobei sich die Kinder gegenseitig kontrollieren und die Bandornamente weiterlegen. Die Lösungen können festgehalten, und später Teil einer Bandornament-Ausstellung werden. Für die Ausstellung ist eine Sortierung möglich, wobei die Kriterien abgewogen und ausgehandelt werden können. **Parkette** - **Bausteine analysieren:** - Häufig wird von einer einfachen Grundfigur ausgegangen (hier: Rechteck). Diese wird an einer oder mehreren Stellen um einen Ausschnitt beschnitten, der an der anderen Seite so angeklebt wird, dass das Ausgeschnittene genau in das entstandene „Loch" passt (Verschiebung). Bedingung ist, dass der Flächeninhalt identisch bleibt. Der spezielle Ausschnitt aus der Parkettierung wird „Kachel" genannt. - Die Innenwinkel von Teilen müssen sich genau zu 360 Grad ergeben. - **Bausteine für Parkette verändern:** **Transformationsregel:** - Die Transformationsregel „Verschiebung" ist als Knabbertechnik auch in der Grundschule einsetzbar. - Vielecke, deren gegenüberliegende Seiten parallel und gleichlang sind (Quadrate, Rechtecke, Rauten, Parallelogramme, Sechsecke) können durch Verschiebungen verändert werden - Weitere Veränderungen sind: Drehungen um einen Eckpunkt der Figur -\> Veränderung benachbarter Seiten - Drehungen um den Seitenmittelpunkt -\> Veränderung einer Seite **[8. Größen]** **Was sind Größen?** - Messbare Merkmale von Objekten (Vorgängen, Gegenständen oder Zuständen) - Müssen qualitativ eindeutig charakterisiert und quantitativ bestimmt werden können. - Werden als Produkt aus Zahlenwert und Einheit dargestellt, z.B. 4,3m - Gesamtheit aller Größen einer Art: Größenart oder Größenbereich: Bspw. Länge, Geschwindigkeit, elektrische Spannung... **Größenbereiche in der Grundschule** - Geldwerte (€, ct) (obwohl im Sinne eben angeschauter Größen keine wirklichen Größen, da z.B. keine Invarianz gilt, da die Kaufkraft nicht konstant ist) - Längen (km, m, cm, mm) - Zeitspannen (h, min, s) (Unterschied von Zeitspannen und Zeitpunkten beachten) - Gewichte (t, kg, g) - Hohlmaße (l, ml) = Rauminhalt - Flächeninhalt (keine standardisierten Einheiten (Quadratmeter, Kubikmeter...) - Rauminhalt (keine standardisierten Einheiten) - **Bildungsplanbezug:** - Aufbau von **Vorstellungen über Größen**, deren Anwendung und Bedeutung im täglichen Leben - Fachliches Wissen über Größen zur Klärung authentischer Fragen (Probleme der Umwelt) nutzen - Mit geeigneten **nichtstandardisierten** (eine Hand breit, die Länge eines Kugelschreibers...) und **standardisierten** (m, km...) **Einheiten** in den Größenbereichen vergleichen, **schätzen und messen** - **Typische Repräsentanten** für standardisierte Maßeinheiten kennen - Erstes Rechnen mit Größen - Größenangaben in die benachbarten Einheiten umwandeln. **Aufbau von Größenvorstellungen** Realistische Größenvorstellungen entwickeln sich nicht von selbst! Kinder müssen durch konkrete Messerfahrungen Stützpunktvorstellungen aufbauen. - Es geht nicht um die Vorstellung über die Größe von Zahlen -\> Die Größe selbst kann man sich nicht vorstellen - Es geht stattdessen um die Vorstellungen über Repräsentanten von Größen:\ -Welche Gegenstände haben etwa eine Länge von 1mm, 1cm oder 1km? - Welche Gegenstände haben ein Gewicht (Masse) von 10g... - **Qualität von Größenvorstellungen:** Die Qualität der Vorstellung ist abhängig von... +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **Wahrnehmungsmöglichkeiten** | **Wiedergabemöglichkeiten** | +===================================+===================================+ | - **Visuell wahrnehmbar:** | - **Unmittelbare | | Längen, Flächeninhalt & | Größenvorstellungen:** | | Rauminhalt (können wir sehen) | Vorstellungen können durch | | | Handlungen wie umfahren, | | - **Nicht visuell | zeigen, zeichnen | | wahrnehmbar:** Gewichte, | wiedergegeben werden (z.B. | | Geldwerte, Zeitspanne | 1m, 10cm) | | | | | Größenvorstellungen lassen sich | - **Mittelbare | | besser aufbauen, wenn wir | Größenvorstellung:** | | Repräsentanten von den | Vorstellungen lassen sich nur | | entsprechenden Einheiten | durch sprachliche | | betrachten können. | Beschreibungen und Vergleiche | | | mit anderen Größen | | | wiedergeben: z.B. 1km, 10 km | +-----------------------------------+-----------------------------------+ **Was ist messen, was ist schätzen?** Man benötigt zwei Repräsentanten: - Repräsentanten einer Größe (zu messender Gegenstand) - Repräsentanten einer kleineren Größe („Messinstrument") - **Grundstruktur eines Messsystems:** - **Auswahl einer Einheit:** - **Vervielfachen von bzw. Zerlegen in Einheiten:** - **Zählen der Anzahlen der Einheiten bzw. Untereinheiten:** - Beispiel: - **Schätzen:** - Das Schätzen von Größen besteht darin, in der Vorstellung einen direkten oder indirekten Vergleich mit einem geeigneten Repräsentanten -\> Voraussetzung: Vergleichbare oder bekannte Repräsentanten. Bsp.: ich weiß, dass das Tafellineal 1m lang ist und ich denke, es müsste zweimal in de Türrahmen passen. -\> Ich kann immer begründen. Es hat nichts mit raten zu tun. **Hinweise zum Unterricht und Einführungsmöglichkeiten** Es reicht nicht, dass Kinder Größen messen können! Die Kinder sollen vielmehr... - Repräsentanten nach gleichen Eigenschaften sortieren - Repräsentanten ordnen - Messhandlungen durchführen und verstehen - Bedeutung von Maßeinheiten und Maßzahl kennen - Konzept der Größen verstehen (u.a. Invarianz (Unveränderlichkeit)) - Größenvorstellungen aufbauen (u.a. Maßeinheiten) - **Didaktisches Stufenmodell:** - Gerüst für eine fundierte Begriffsentwicklung - Ausgehend von der Handlungsebene - Abstraktionsprozesse führen zum Größenbegriff und Maßeinheiten - Stufenfolge gibt in unterschiedlichen Ausdifferenzierungen. Sie gibt einen Rahmen vor, der allerdings für die unterrichtliche Umsetzung der einzelnen Größen von unterschiedlicher Relevanz ist - Stufen (nicht streng abarbeiten, sondern dienen eher als Orientierung, in welchen Situationen die SuS was lernen können. Außerdem kann man hieran sehr gut sehen, in welchen Bereichen ein Kind noch gefördert werden muss): - **Das Säulenmodell als zirkulärer Prozess:** -\> Aufbau nach dem Spiralprinzip: Auf Basis des Vorwissens der Kinder muss eine zunehmende Vertiefung und damit verbunden eine inhaltliche Ausdifferenzierung der Thematik und der Konzepte erfolgen. -\> Drei zentrale Größenerfahrungen, die für die Entwicklung umfassender Größenvorstellungen unabdingbar sind. Alle drei können gleichzeitig ablaufen und werden im Spiralprinzip durchlaufen. -\> Zusammenhänge: Bspw. unterstützen Erfahrungen zum Vergleichen die Erfahrungen zum Messen und umgekehrt. Gleichzeitig sind die Messerfahrungen zur Entwicklung von Vergleichs- und Invarianzerfahrungen notwendig. -\> **Messerfahrungen:** Ich wähle eine Einheit aus; zerlege oder vervielfache diese und bestimme dann die Anzahl der Einheiten und Untereinheiten. Maßeinheiten müssen einheitlich sein, sodass untereinander verglichen werden kann. Ein zentrales Ziel ist es, dass Maßsysteme ausgebaut werden, indem die Kinder erfahren, dass es noch kleinere und größere Einheiten wie die ihres Erfahrungsraumes gibt (bspw. kleiner als mm und größer als km). -\> **Vergleichserfahrungen:** Ermöglicht das Ordnen von Repräsentantenmengen. Verschiedene Gegenstände werden zum Beispiel hinsichtlich ihres Gewichts, ihrer Größe etc. geordnet. Dadurch kann eine Ordnung vorgenommen werden, wobei die tatsächliche Größe egal ist. Es kann direkt (bspw. zwei Stifte) oder indirekt (bspw. Pult und Schreibtisch, wobei die Tischplatte mit Blättern ausgelegt und die Menge verglichen wird) verglichen werden. -\> **Invarianzerfahrungen:** Gleich große Repräsentanten können gesammelt werden. Sie können durchaus unterschiedlich aussehen, haben aber denselben Flächeninhalt. Bsp.: Teile des Tangrams, wobei z.B. das Parallelogramm aus zwei kleinen Dreiecken besteht. Hier hätten wir dann, wenn wir es nebeneinanderlegen, einen indirekten Vergleich mit nicht-standardisierten Einheiten. -\> In den einzelnen Säulen gibt es jeweils das mentale und das konkrete Handeln. Jedes Kind kann auf seinem Vorwissen direkt beginnen zu arbeiten. - Vorteile des Säulenmodells: **[9. Flächeninhalt und Umfang]** **Begriffsklärung** - Ebene Figuren und Körper (Bildungsplan 2004) - Formen, Figuren, Flächen, geometrische Körper (Bildungsplan 2016) Flächeninhalt in der Grundschule (nach Fraedrich, 1991): - Propädeutische (zur Einführung gedachte) Behandlung des Flächeninhaltsbegriffs -\> Aufbau Begriffsverständnis - Konkrete Vorstellungen zur Fläche, Randlinie sowie zu den Größen Flächeninhalt und Umfang -\> Aufgaben zum Flächenauslegen und -zerlegen. - Erfahrungen zum direkten und indirekten Vergleich von Flächeninhalt und Umfang sowie Entwicklung von Berechnungsstrategien. **Schwierigkeiten von Schülerinnen und Schülern mit dem Flächeninhaltsbegriff** - Kinder wissen nicht sicher, was Flächen sind. - Kinder sind unsicher, was unter der Größe einer Fläche zu verstehen ist. - Flächeninhalt und Umfang werden verwechselt. - Fehlende Einsicht in das Prinzip der Flächeninvarianz (Unabhängigkeit der Flächengröße von Figuren gegenüber bestimmten Form- und Zerlegungsänderungen beinhaltet). - Vorerfahrungen auf der Stufe des qualitativen Flächenvergleichs fehlen. - Vorstellungen von den standardisierten Flächeneinheiten fehlen (cm^2^, m^2^) - Es gibt Unsicherheiten beim Schätzen von Flächeninhalten. (Man muss Puzzeln. Formen können unterschiedlich aussehen, aber den selben Flächeninhalt haben). - Es fehlen Einsichten in die Umwandlungsregeln - Berechnungsformeln werden rein mechanisch angewendet (ohne Einsicht in den konkreten Messvorgang) 1. **Entwicklungen von Vorstellungen zu den Begriffen „Fläche" und „Flächeninhalt":** Bspw. durch Tischdecke und Stoffbedarf dafür; Zoogehege und Platz für die Tiere darin. 2. **Qualitativer Flächeninhaltsvergleich:** Es kommt darauf an, ob zwei Flächen gleich groß sind oder nicht. Er geschieht durch Übereinanderlegen; Zerschneiden und Umlegen von Teilfiguren; Auslegen; zeichnerisches Zerlegen. 3. **Quantitativer Flächeninhaltsvergleich durch Ausmessen mit willkürlich gewählten „Einheitsflächen":** Einheitsflächen sind in der Regel Rechtecke, Quadrate oder Dreiecke. Zu vergleichende Flächen werden mit derselben Plättchensorte ausgelegt -\> zahlenmäßiger Vergleich der Flächeninhalte. **[10. Unterrichtsgestaltung]** - **Gestaltung des Geometrieunterrichts:** -\> Von oben nach unten (lernzielorientiert) vorgehen -\> Pfeile aufgrund möglicher Rückkopplungen nach der Bearbeitung und aufgrund des möglichen Rückgriffs auf andere Themenbereiche (bspw. vom Legen aufs Auslegen etc.) - **Prinzipien zur Gestaltung des Geometrieunterrichts in der Grundschule:** - Charakteristische Merkmale: - Aufgaben beinhalten sehr oft Möglichkeiten für: - Umwelt- und Erfahrungsbezug (Anknüpfung an die Lebenswelt der Kinder) - Herausfordernde Situationen mit Anwendungs- und Strukturorientierung (Geometrische Probleme sollen zum Denken anregen, Lösungswege offenlassen und sowohl praktische Anwendungen (bauen bspw.) als auch mathematische Strukturen (Symmetrien bspw.) beinhalten - Fächerübergreifendes Lernen (bspw. Verknüpfung von Geometrie mit Kunst (Muster, Perspektive...)) - Inhaltlich-integratives Lernen (Geometrische Inhalte mit anderen Mathematischen Leitideen und Themen, wie Zahlen und Operationen etc. verbunden werden, um ein ganzheitliches mathematisches Verständnis zu fördern) - **Prozessbezogene Kompetenzen -- Einblick in den Bildungsplan:** - **Probleme mathematisch lösen:** SuS setzen sich mit vorgegebenen Problemen und solchen, die sie selbst erkannt haben, auseinander. Sie beschreiben diese, indem sie geeignete Strategien zum Problemlösen wählen und anwenden. - **Mathematisch modellieren:** SuS bearbeiten Fragestellungen aus ihrer Umwelt. Dabei übersetzen sie Alltagssituationen und Probleme in mathematische Modelle. - **Mit mathematischen Darstellungen umgehen:** SuS verwenden unterschiedliche Formen der Darstellung, z.B. Skizzen, Mengendarstellungen, Diagramme, Tabelle. Sie verwenden und interpretieren diese. - **Mathematisch kommunizieren:** SuS beschreiben ihre Überlegungen, Lösungsansätze und Lösungswege zu mathematischen Sachverhalten zunehmend mit mathematischen Fachbegriffen. Sie setzen sich mit Äußerungen anderer auseinander und führen Gespräche über mathematische Themen. - **Mathematisch argumentieren**: SuS stellen Fragen und äußern Vermutungen. Sie entwickeln mathematisches Argumentieren (bspw. beschreiben, erläutern, begründen), um ihre Lösungswege, auch handelnd, rechnerisch, zeichnerisch oder mithilfe geeigneter Medien, vorstellen zu können. - **Neu: Mit mathematischen Objekten und Werkzeugen arbeiten**: SuS beherrschen für den Mathematikunterricht relevanten mathematischen Objekte sowohl fachlich als auch sprachlich. Mathematische Objekte können beispielsweise Zahldarstellungen, Symbole, Terme, Gleichungen, Tabellen, Diagramme und geometrische Elemente (Ecke, Kante...) sein. Sie beherrschen den Einsatz von mathematischen Werkzeugen (Lineal, Zirkel...) Ebenfalls zur Unterrichtsgestaltung gehören die Fundamentalen Ideen (s. Seite 1) sowie gute Lernumgebungen (s. Seite 3).  Geometrie als unverzichtbarer Bestandteil des Mathematikunterrichts in der Grundschule. Wir sehen häufiger geometrische Figuren und müssen uns im dreidimensionalen Raum orientieren, als eine Rechenaufgabe zu lösen. Außerdem werden übergreifende Ziele, wie Argumentieren, Problemlösen, Ordnen und Strukturieren von Umweltsituationen etc. gefördert. Geometrische Formen stellen ein fast unerschöpfliches Reservoir an Aufgaben zur Entwicklung allgemeiner geistiger Fähigkeiten, wie Ordnen, klassifizieren, symbolisieren und vermuten dar. Kinder sollte im Geometrieunterricht mehr zugetraut werden, ihnen sollten Freiräume zur Entfaltung von Phantasie und Kreativität eröffnet werden, um so ihr räumliches Denken weiterzuentwickeln. Auch sollte stärker über die Möglichkeiten der Verbindung von Arithmetik und Geometrie gesucht werden.