Matematyka. Część 2 PDF - Michał Jabłonowski

Matematyka. Część 2 Michał Jabłonowski 1 / 74 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. dy Załóżmy, że mamy równanie różniczkowe postaci = f (x , y ), dx gdzie f jest fun...

Matematyka. Część 2 Michał Jabłonowski 1 / 74 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. dy Załóżmy, że mamy równanie różniczkowe postaci = f (x , y ), dx gdzie f jest funkcją jednocześnie od zmiennej niezależnej x jak i zmiennej zależnej y = y (x ). dy Przykład. Mamy dane równanie różniczkowe = y −x dx 2 z warunkiem początkowym y (0) =. Sprawdźmy, że 3 1 x y = (x + 1) − e jest rozwiązaniem. 3 2 / 74 Mówimy, że równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, dy gdy możemy je zapisać w postaci = g (x ) · H (y ), dx 1 przekształcając dostajemy dy = g (x ) dx. H (y ) Całkując teraz obie strony otrzymujemy 1 Z Z dy = g (x ) dx , H (y ) wyliczając teraz te całki dostajemy rozwiązanie na y zdefiniowane w sposób (możliwie uwikłany) względem zmiennej x. 3 / 74 Przykład. Daje nam to rozwiązanie na y w sposób uwikłany względem x. 4 / 74 Mówimy, że równanie jest liniowe, gdy możemy je zapisać w postaci dy + P (x ) · y = Q (x ), mnożąc obie strony przez dodatnią funkcję dx R dv v (x ) = e P (x )dx (zauważmy, że = P (x ) · v (x )), dostajemy dx 5 / 74 Przykład. 6 / 74 Przykład. 7 / 74 Zadanie. Dla łyżwiarza o masie 90 kg, współczynnik tarcia wynosi około 5 kg/s. Jak długo zajmie łyżwiarzowi zjeżdżanie (bez rozpędzania) z prędkości 3,3 m/s do 0,3 m/s? Rozwiązanie. Siła tarcia poruszającego się obiektu jest proporcjonalne do jego prędkości, współczynnikiem proporcjonalności jest z definicji współczynnik tarcia (przeciwne zwroty). Mamy masę m = 90kg, prędkość początkowa v (0) = 3, 3m/s, prędkość końcowa v (t ) = 0, 3m/s, współczynnik tarcia k = 5kg /s. dv Siła F = m · przyspieszenie = m = −kv , stąd mamy równanie: dt dv 5 = − v , rozwiązując to równanie różniczkowe dostajemy dt 90 1 rozwiązanie ogólne v (t ) = Ce − 18 t , wiemy, że v (0) = 3, 3m/s czyli C = 3, 3m/s. Wstawiając v (t ) = 0, 3m/s otrzymujemy t 0, 3 = 3, 3 · e − 18 co daje t = 18 ln(11) ≈ 43 sekundy. 8 / 74 Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy jako R, rozważmy teraz ogólniejszy zbiór liczbowy, zwany zbiorem liczb zespolonych oznaczany jako C. Każdą liczbę zespoloną z ∈ C można zapisać w postaci algebraicznej/kanonicznej jako z = x + i · y gdzie x , y ∈ R natomiast i ̸∈ R jest taką liczbą zespoloną, że i 2 = −1. Na liczbach zespolonych możemy wykonywać operacje dodawania, odejmowanie, mnożenia i dzielenia. Z zapisu algebraicznego liczby zespolonej z = x + i · y odczytujemy jej część rzeczywistą Re (z ) = x oraz część urojoną Im(z ) = y. 9 / 74 Każdej liczbie zespolonej odpowiada dokładnie jeden punkt na płaszczyźnie R2 w układzie kartezjańskim jest to punkt o współrzędnych (Re (z ), Im(z )). O tej płaszczyźnie mówimy zatem też jak o płaszczyźnie zespolonej. 10 / 74 Dowolną liczbę zespoloną z = x + i · y można zapisać w postaci trygonometrycznej p z = r (cos φ + i · sin φ), gdzie r = |z| = x 2 + y 2 jest długością odcinka od punktu 0 do z, nazywaną często modułem liczby z. Taką liczbę φ nazywamy argumentem liczby z i oznaczamy jako arg (z ). 11 / 74 Interpretacja geometryczna mnożenia dwóch liczb zespolonych. 12 / 74 Twierdzenie (wzór De Moivre’a) Dla każdej liczby całkowitej k i liczby zespolonej z, która w postaci trygonometrycznej ma zapis z = r (cos φ + i · sin φ), zachodzi: z k = r k (cos(kφ) + i · sin(kφ)). 13 / 74 Macierze Rozpatrzmy następującą prostokątną tablicę: A jest macierzą rozmiaru m × n, ma m wierszy oraz n kolumn. Liczba znajdująca się w i-tym wierszu oraz j-tej kolumnie macierzy A oznaczana jest podwójnym indeksem dolnym aij. Cała macierz A zapisywana jest często jako [aij ]m×n. 14 / 74 Dodawanie dwóch macierzy. Dla macierzy A = [aij ]m×n oraz B = [bij ]m×n tego samego rozmiaru, definiujemy sumę A + B = [aij + bij ]m×n. Przykład. Mnożenie macierzy przez liczbę. Dla macierzy A = [aij ]m×n oraz liczby r ∈ R, definiujemy r · A = [r · aij ]m×n. 15 / 74 Przykład. Mnożenie dwóch macierzy. Dla macierzy A = [aij ]m×n oraz B = [bij ]n×k definiujemy iloczyn A · B = [cij ]m×k , gdzie cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj. Przykład.       2 3  4 3 6  11 0 21   · =  1 −5 1 −2 3 −1 13 −9 16 / 74 Przykład.     2 −5 0   −27 −17     4 −6       −1 3 −4    5 1       · 7 1  =         6 −8 −7   −53 −58          3 2   −3 0 9 15 36 17 / 74 Uwaga. W ogólności A · B ̸= B · A. Przykład: Transpozycja macierzy. Dla macierzy A = [aij ]m×n definiujemy macierz transponowaną AT = [aji ]n×m. 18 / 74 Twierdzenie Dla dowolnych macierzy A = [aij ]m×n oraz B = [bij ]n×k , zachodzi (A · B )T = B T · AT. Macierz jednostkowa.   1 0... 0      0 1... 0  Definiujemy macierz I =  , oznaczamy czasem tę   ............     0 0... 1 macierz jako In aby zaznaczyć, że jest to macierz rozmiaru n × n. Twierdzenie Dla dowolnych macierzy A = [aij ]m×n mamy A · In = A = Im · A. Odwrotność macierzy. Dla macierzy A = [aij ]n×n definiujemy macierz odwrotną A−1 , spełniającą A · A−1 = In = A−1 · A, o ile taka macierz istnieje. 19 / 74 Przykład. Istnieją ogólne metody wyznaczania A−1 dla dowolnej macierzy odwracalnej A. 20 / 74 21 / 74 Operacje elementarne na wierszach zamiana dwóch dowolnych wierszy macierzy miejscami pomnożenie wszystkich elementów pewnego wiersza przez niezerową liczbę dodanie do dowolnego wiersza macierzy innego wiersza pomnożonego przez pewną liczbę Twierdzenie Dowolną macierz da się sprowadzić do macierzy w postaci schodkowej (zredukowanej), poprzez użycie operacji elementarnych na wierszach tej macierzy. Metodę tą nazywamy metodą eliminacji Gaussa. 22 / 74 Przykład (postać schodkowa) 23 / 74 Przykład (postać schodkowa zredukowana) Wyznacznik macierzy. Dla macierzy kwadratowej A = [aij ]n×n definiujemy (rekurencyjnie) wyznacznik macierzy, oznaczany przez |A| lub det A następująco. Dla n = 1 definiujemy |A| = a11 oraz przy ustaleniu dowolnego i-tego wiersza (oznaczając Aij jako macierz powstałą z macierzy A poprzez usunięcie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny) mamy: |A| = (−1)i +1 ai1 |Ai1 | + (−1)i +2 ai2 |Ai2 | + · · · + (−1)i +n ain |Ain | 24 / 74 Równoważnie przy ustaleniu j-tej kolumny, mamy: |A| = (−1)1+j a1j |A1j | + (−1)2+j a2j |A2j | + · · · + (−1)n+j anj |Anj |    a11 a12  Dla n = 2, czyli A =   mamy: a21 a22 a11 a12 |A| = = (−1)(1+2) a12 det[a21 ] + (−1)(2+2) a22 det[a11 ] = a21 a22 a11 a22 − a12 a21.   a11 a12 a13   Dla n = 3, czyli A =  a21 a22 a23  czyli det A = a13 (−1)(1+3) ·     a31 a32 a33       a21 a22 a11 a12 a11 a12 · det   +a23 (−1) det   +a33 det  = a31 a32 a31 a32 a21 a22 = a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a23 a11 a32 + a23 a12 a31 + +a33 a11 a22 − a33 a12 a21. 25 / 74 Przykład. 26 / 74 Metoda Sarrusa Uwaga. METODA SARRUSA NIE DZIAŁA DLA WYZNACZNIKÓW Z MACIERZY WIĘKSZYCH NIŻ 3 × 3. 27 / 74 Operacje na macierzach niezmieniające wyznacznika (1) dodanie do dowolnej kolumny macierzy kwadratowej innej kolumny pomnożonej przez daną liczbę (2) dodanie do dowolnego wiersza macierzy kwadratowej innego wiersza pomnożonego przez daną liczbę Operacje na macierzach zmieniające znak wyznacznika na przeciwny (3) zamiana miejscami dwóch różnych kolumn macierzy (4) zamiana miejscami dwóch różnych wierszy macierzy Operacje na macierzach zmieniające wyznacznik c razy (5) pomnożenie każdego elementu danej kolumny w macierzy kwadratowej przez liczbę c (6) pomnożenie każdego elementu danego wiersza w macierzy kwadratowej przez liczbę c 28 / 74 Przykład. 29 / 74 Twierdzenie Jeśli macierz A = [aij ]n×n jest w postaci schodkowej, to |A| = a11 a22 · · · · · ann. Twierdzenie Dla dowolnej macierzy A = [aij ]n×n zachodzi wzór |AT | = |A|. Twierdzenie Dla dowolnych macierzy A = [aij ]n×n oraz B = [bij ]n×n zachodzi wzór |A · B| = |A| · |B|. Twierdzenie Macierz A posiada macierz odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy |A| ̸= 0. 30 / 74 Układy równań liniowych Układ:     a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = c1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = c2      ···   a x + a x + · ·· + a x = c  n1 1 n2 2 nm m n ma m zmiennych (niewiadomych) x1 , x2 ,... , xm oraz n równań. Ponadto macierz A = [aij ]n×m będziemy nazywać macierzą główną tego układu. Rozwiązywanie układów równań: metodą Cramera, (tylko dla układów kwadratowych z jednym rozwiązaniem) metodą Gaussa (-Jordana), (dla dowolnych układów) 31 / 74 Rozwiązywanie układów równań metodą Cramera: Układ może mieć dowolną liczbę zmiennych. Uwaga. Metoda działa dla układów "kwadratowych" tzn. liczba wierszy jest równa liczbie zmiennych, oraz tylko dla układów z jednym rozwiązaniem. 32 / 74 Przykład. 33 / 74 Przykład 2. 34 / 74 Tworzenie macierzy (rozszerzonej) współczynników: Możemy na niej wykonywać wszystkie trzy typy operacji elementarnych na wierszach. Rozwiązywanie układów równań metodą Gaussa: sprowadzamy macierz układu do postaci schodkowej (najlepiej zredukowanej lub chociaż z samymi 1 na "schodkach") i odczytujemy rozwiązanie metodą wstecznego podstawiania. 35 / 74 Rozwiązywanie układów równań metodą Gaussa-Jordana: Czyli x = −3, y = 1, z = 1. 36 / 74 Brak rozwiązań Przykład. Równanie 0 · z = −4 nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem układ nie ma rozwiązań (jest sprzeczny). 37 / 74 Nieskończenie wiele rozwiązań Przykład. 38 / 74 Punkt w przestrzeni Punkt P ∈ R3 = {(x , y , z ) | x , y , z ∈ R} opisujemy trójką liczb np. P = (x1 , y1 , z1 ). 39 / 74 40 / 74 Twierdzenie Odległość d punktu q P = (x1 , y1 , z1 ) od punktu Q = (x2 , y2 , z2 ) wynosi: d = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2. 41 / 74 Wektor w przestrzeni Wektor v mający początek w punkcie P = (x1 , y1 , z1 ) oraz koniec Q = (x2 , y2 , z2 ) to macierz mająca jedną kolumnę, równą:    x2 − x1  T    y2 − y1  = [x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ]. v =    z2 − z1 42 / 74 Warunek prostopadłości dwóch wektorów: a ⊥ b ⇐⇒ aT · b = 0. Iloczyn aT · b jest czasem nazywany iloczynem skalarnym wektorów a oraz b i oznaczanym jako a ◦ b. Warunek równoległości dwóch wektorów: a = [ax , ay , az ]T , b = [bx , by , bz ]T ax ay az a ∥ b ⇐⇒ = =. bx by bz √ Długość wektora v równa się |v | = v ◦ v. Miara kąta pomiędzy wektorami a oraz b równa się a◦b   α = arc cos. |a| · |b| Wektory zapisujemy również dla wygody (pisania poziomo) jako v = [vx , vy , vz ]T = (vx , vy , vz ) (zapis może się mylić z punktem). 43 / 74 Twierdzenie Mając dane dwa wektory a = [ax , ay , az ]T oraz b = [bx , by , bz ]T możemy skonstruować wektor c prostopadły zarówno do a jak i do b, dany wzorem: ex ey ez T c = [ay bz − az by , az bx − ax bz , ax by − ay bx ] = ax ay az , bx by bz gdzie ex = [1, 0, 0]T , ey = [0, 1, 0]T , ez = [0, 0, 1]T. Podany wyżej wektor c jest czasem nazywany iloczynem wektorowym wektorów a oraz b i oznaczanym jako a × b. 44 / 74 45 / 74 Twierdzenie Pole P równoległoboku wyznaczonego przez wektory a = [ax , ay , az ]T oraz b = [bx , by , bz ]T wynosi ex ey ez P = |a × b| = | ax ay az |. bx by bz Twierdzenie Objętość V równoległościanu wyznaczonego przez wektory a = [ax , ay , az ]T , b = [bx , by , bz ]T oraz c = [cx , cy , cz ]T wynosi ax ay a z   V = | bx by bz | = | ⃗a × ⃗b ◦ ⃗c |. cx cy cz 46 / 74 47 / 74 Twierdzenie Objętość V czworościanu wyznaczonego przez wektory a, b oraz c wynosi: 1   V = | ⃗a × ⃗b ◦ ⃗c |. 6   Wyrażenie ⃗a × ⃗b ◦ ⃗c nazywane jest również iloczynem mieszanym wektorów a, b oraz c. 48 / 74 Kombinacją liniową wektorów v1 , v2 ,... , vn nazywamy wektor będący wyrażeniem: λ1 v1 + λ2 v2 +... + λn vn , gdzie λ1 , λ2 ,... , λn są liczbami rzeczywistymi, zwane też współczynnikami tej kombinacji liniowej. Mówimy, że układ wektorów v1 , v2 ,... , vn jest liniowo niezależny, jeżeli spełniona jest następująca implikacja. Jeżeli λ1 v1 + λ2 v2 +... + λn vn = 0, to wszystkie liczby λ1 , λ2 ,... , λn muszą być równe zero. W przeciwnym razie wektory te są liniowo zależne. Twierdzenie Wektory które są współliniowe w R2 lub współpłaszczyznowe w R3 są liniowo zależne. Trójka wektorów w R3 jest liniowo niezależna, jeśli wyznacznik macierzy z nich utworzonej jest różny od zera (t.j. objętość rozważanego wcześniej równoległościanu jest niezerowa). 49 / 74 50 / 74 Funkcje wielu zmiennych rzeczywistych Funkcję dwóch zmiennych (rzeczywistych) nazywamy dowolną funkcję f : D → R, gdzie D jest podzbiorem zbioru R2. Powyższe odwzorowanie oznacza się też jako z = f (x , y ), a przez dziedzinę tej funkcji rozumie się zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których ten wzór ma sens (tzn. jest poprawnie określony). 51 / 74 52 / 74 Zbiór R zawierający punkt (x0 , y0 ) nazywamy otoczeniem tego punktu, jeśli istnieje taka liczba r > 0, że zachodzi warunek  q  (x , y ) | ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 0 oraz ∂x ∂x (a, b ) > 0, to w punkcie (a, b ) jest lokalne minimum funkcji f , 2 ∂ f jeśli D > 0 oraz ∂x ∂x (a, b ) < 0, to w punkcie (a, b ) jest lokalne maksimum funkcji f , jeśli D < 0, to w punkcie (a, b ) nie ma ekstremum funkcji f , jeśli D = 0, to kwestia istnienia ekstremum jest nierozstrzygnięte (tymi metodami). 63 / 74 Przykład 1. 64 / 74 Przykład 2. 65 / 74 Prosta w przestrzeni Niech dany będzie punkt P = (x1 , y1 , z1 ) leżący na prostej r oraz wektor a = [ax , ay , az ]T równoległy do prostej r , wówczas równanie parametryczne prostej r (dla t ∈ R parametr) to:      x = x1 + t · ax ,  r : y = y1 + t · ay ,    z = z +t ·a.  1 z 66 / 74 Natomiast równanie kierunkowe prostej r to: x − x1 y − y1 z − z1 r : = =. ax ay az Stwierdzenie Równanie prostej r przechodzącej przez punkty P1 = (x1 , y1 , z1 ), P2 = (x2 , y2 , z2 ) wyraża się wzorem x − x1 y − y1 z − z1 r : = =. x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 67 / 74 Płaszczyzna w przestrzeni Równanie ogólne płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0. Stwierdzenie Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkty P = (x1 , y1 , z1 ) i prostopadłej do wektora n wyraża się wzorem [x − x1 , y − y1 , z − z1 ] · n = 0. 68 / 74 Twierdzenie Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkty P1 = (x1 , y1 , z1 ), P2 = (x2 , y2 , z2 ), P3 = (x3 , y3 , z3 ) (nie leżące na jednej prostej) wyraża się wzorem x y z 1 x1 y1 z1 1 = 0. x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1 Stwierdzenie Warunek prostopadłości dwóch płaszczyzn π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 oraz π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 π1 ⊥ π2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0. 69 / 74 Stwierdzenie Warunek równoległości dwóch płaszczyzn π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 oraz π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 A1 B1 C1 π1 ∥ π2 ⇐⇒ = =. A2 B2 C2 70 / 74 Graficzna interpretacja układów równań Jedno rozwiązanie. 71 / 74 Brak rozwiązań. Nieskończenie wiele rozwiązań. 72 / 74 Jedno rozwiązanie. 73 / 74 Brak rozwiązań. Nieskończenie wiele rozwiązań. 74 / 74