Diszkrét matematika és lineáris algebra PDF

ÓBUDAI EGYETEM NEUMANN JÁNOS INFORMATIKAI KAR György Anna, Szőke Magdolna és Záborszky Ágnes Diszkrét matematika és lineáris algebra Informatikus hallgatók számára Budapest, 2019. OE-NIK 5025 Szerzők: Dr. György Anna...

ÓBUDAI EGYETEM NEUMANN JÁNOS INFORMATIKAI KAR György Anna, Szőke Magdolna és Záborszky Ágnes Diszkrét matematika és lineáris algebra Informatikus hallgatók számára Budapest, 2019. OE-NIK 5025 Szerzők: Dr. György Anna címzetes egyetemi docens [email protected] Dr. Szőke Magdolna adjunktus [email protected] Záborszky Ágnes mestertanár [email protected] Szerkesztő: Szőke Magdolna Lektor: Schmidt Edit mestertanár [email protected] ISBN: 978-963-449-143-9 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék iii Előszó vii 1. Lineáris algebra és vektorgeometria 1 1.1. Mátrixok és determinánsok........................... 1 1.1.1. Alapfogalmak.............................. 1 1.1.2. Műveletek mátrixokkal......................... 3 1.1.3. Determinánsok............................. 10 1.1.4. Mátrix inverze.............................. 13 1.2. Lineáris egyenletrendszerek........................... 15 1.2.1. Lineáris egyenletrendszer fogalma................... 15 1.2.2. Cramer-szabály............................. 15 1.2.3. Gauss-elimináció............................ 17 1.3. Vektorgeometria................................. 21 1.3.1. Alapfogalmak.............................. 21 1.3.2. Műveletek vektorokkal......................... 22 1.4. Koordinátageometria.............................. 31 1.4.1. Bázis, koordináta-rendszer....................... 31 1.4.2. Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal............. 33 1.4.3. Alakzatok egyenletei.......................... 37 2. Halmazok, relációk 41 2.1. A halmazelmélet alapjai............................ 41 2.1.1. Bevezetés: a halmaz fogalma...................... 41 2.1.2. Halmazok megadása.......................... 42 2.1.3. Részhalmaz fogalma.......................... 44 2.1.4. Halmazok szemléltetése......................... 46 2.1.5. Halmazműveletek............................ 47 2.1.6. Halmazok Descartes-szorzata..................... 51 2.2. Műveleti tulajdonságok, halmazok számossága................ 55 2.2.1. Halmazműveletek tulajdonságai.................... 55 2.2.2. Halmazok számossága......................... 57 2.3. Reláció fogalma, műveletek........................... 63 2.3.1. A reláció fogalma............................ 63 iii  TARTALOMJEGYZÉK 2.3.2. Bináris relációk szemléltetése..................... 64 2.3.3. Bináris relációk sajátosságai...................... 66 2.4. Parciális leképezések, függvények....................... 73 2.4.1. Parciális leképezések.......................... 73 2.4.2. Függvényrelációk............................ 75 2.4.3. Injektív függények........................... 75 2.4.4. Szürjektív függvények.......................... 78 2.4.5. Bijektív függvények........................... 79 3. Matematikai logika 81 3.1. Bevezetés a kijelentéslogikába......................... 81 3.1.1. Alapfogalmak.............................. 81 3.1.2. Kijelentéslogikai műveletek....................... 84 3.1.3. n-változós logikai műveletek...................... 90 3.2. Normálformák a kijelentéslogikában...................... 93 3.2.1. Kijelentéslogikai formulák felépítése és kiértékelése.......... 93 3.2.2. Kijelentéslogikai formulák normálformái............... 96 3.3. A kijelentéslogika következményfogalma.................... 102 3.3.1. Kijelentéslogikai következtetés..................... 102 3.3.2. A kijelentéslogika néhány helyes következtetési szabálya....... 105 3.4. Predikátumlogika................................ 107 3.4.1. Predikátumlogikai alapfogalmak.................... 109 3.4.2. Műveletek predikátumokkal...................... 109 3.4.3. Kvantifikáció.............................. 110 3.4.4. A predikátumlogika nyelve...................... 112 3.4.5. Predikátumlogikai formulák interpretációja (értékelése)....... 114 3.4.6. A predikátumlogika következményfogalma.............. 115 4. Rekurzív sorozatok és a teljes indukció 117 4.1. Függvények megadása rekurzióval....................... 117 4.2. Rekurzív sorozatok............................... 122 4.3. Rekurzív sorozatok és a teljes indukció.................... 127 5. Homogén bináris relációk 133 5.1. Homogén bináris relációk sajátosságai..................... 134 5.2. Ekvivalencia-relációk.............................. 136 5.3. Részben-rendezési relációk........................... 141 5.4. Hálók...................................... 146 6. Lineáris algebra 161 6.1. Vektorterek................................... 161 6.1.1. Bevezetés................................ 161 6.1.2. Vektorterek............................... 162 6.1.3. Alterek.................................. 164 6.1.4. Lineáris kombináció, generált altér.................. 165 6.1.5. Generátorrendszer........................... 166 Óbudai Egyetem iv György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar TARTALOMJEGYZÉK 6.1.6. Lineáris függetlenség.......................... 168 6.1.7. Bázis, dimenzió............................. 169 6.1.8. Vektorok előállítása bázisban, koordináták.............. 171 6.2. Bázisvektorcsere................................. 172 6.2.1. Bevezetés................................ 172 6.2.2. Bázistranszformáció........................... 173 6.2.3. Bázisvektorcserés algoritmus alkalmazásai: mátrix rangjának meg- határozása................................ 176 6.2.4. Bázisvektorcserés algoritmus alkalmazásai: lineáris egyenletrend- szerek megoldása............................ 177 6.2.5. Bázisvektorcserés algoritmus alkalmazásai: mátrix inverzének meg- határozása................................ 180 6.3. Lineáris transzformációk alaptulajdonságai.................. 182 6.3.1. Bevezetés................................ 182 6.3.2. Lineáris transzformáció......................... 183 6.3.3. Transzformáció mátrixa........................ 185 6.3.4. Összetett transzformációk....................... 188 6.3.5. Transzformáció inverze......................... 190 6.4. Lineáris transzformációk további sajátosságai................. 192 6.4.1. Geometriai transzformációk mátrixának tulajdonságai........ 192 6.4.2. Képtér, magtér............................. 195 6.4.3. Sajátérték, sajátvektor......................... 197 6.4.4. Lineáris leképezések........................... 201 7. Klasszikus kombinatorika és gráfelmélet 205 7.1. Kombinatorika................................. 205 7.1.1. Permutációk............................... 205 7.1.2. Variációk................................ 209 7.1.3. Kombinációk.............................. 211 7.1.4. Binomiális együtthatók......................... 214 7.2. Gráfok...................................... 217 7.2.1. Gráf fogalma.............................. 218 7.2.2. Gráfokhoz kapcsolódó mátrixok.................... 221 7.2.3. Séták................................... 226 7.2.4. Néhány speciális gráf.......................... 229 7.2.5. Fák, erdők................................ 230 7.3. Különféle gráfelméleti problémák....................... 236 7.3.1. Euler- és Hamilton-bejárások..................... 237 7.3.2. Síkgráfok................................ 243 7.3.3. Gráfok színezése............................. 250 7.3.4. Feszítőfák................................ 253 8. Algebra 259 8.1. Bevezetés.................................... 259 8.2. Művelet fogalma................................ 259 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes v Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  TARTALOMJEGYZÉK 8.3. Műveleti tulajdonságok............................. 261 8.4. Egyműveletes struktúrák............................ 267 8.4.1. Félcsoportok............................... 268 8.4.2. Monoidok................................ 269 8.4.3. Csoportok................................ 270 8.5. Kétműveletes struktúrák............................ 273 8.5.1. Gyűrűk................................. 273 8.5.2. Testek.................................. 274 8.5.3. Hálók.................................. 277 8.6. Egyéb struktúrák................................ 277 8.6.1. Vektorterek............................... 278 8.6.2. Algebrák................................. 279 8.7. Struktúravizsgálat............................... 279 Tárgymutató 281 Irodalomjegyzék 291 Óbudai Egyetem vi György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar Előszó Mérnök-informatikus hallgatóink matematikai alapozása a klasszikus analízis, a diszkrét matematika, algebra, algoritmuselmélet és a valószínűségszámítás bevezető fejezeteiből áll. Habár az egyes témakörök hátterében bő szakirodalom áll rendelkezésre, fontosnak tartjuk, hogy időről-időre tananyagainkat áttekintsük, megújítsuk, és hallgatóink kezébe olyan eszközöket adjunk, amelyek hozzásegítik őket az elméleti anyag megértéséhez, azok alkalmazásához. Ezt az elektronikus jegyzetet az Óbudai Egyetem mérnök-informatikus, illetve üzemmérnök-informatikus szakos hallgatói számára, a Diszkrét matematika és li- neáris algebra I és II tárgyak előadásai alapján készítettük. A jegyzetet haszonnal for- gathatják az Egyetem gazdaságinformatikus szakos hallgatói is, sőt mindenki, aki a fenti témákkal örömmel megismerkedne. A jegyzet írói hosszú idő óta oktatják a tárgyat: dr. György Anna címzetes egyetemi docens a tárgy tematikájának kidolgozásában, gondozásában döntő szerepet vállalt, év- tizedeken keresztül tartotta a nappali tagozatos előadásokat. A tárgy előadója jelenleg az esti és az angol nyelvű tagozaton Záborszky Ágnes mestertanár, a nappali tagozatos pedig dr. Szőke Magdolna adjunktus. A tananyag a matematika több különböző ágába enged betekintést. Legnagyobb egysége a koordinátageometria és a lineáris algebra témájában készült Ez a rész a tárgy nevében is helyet kapott. A tananyag másik része a diszkrét matematikából tárgyal fejezeteket. Ide tartozik a kom- binatorika és a gráfelmélet, de tágabb értelemben ide soroljuk a matematika „nem foly- tonos” ágait, így a halmazelméletet és a matematikai logikát is. Végül, a tananyagot rendszerezendő, helyet kap egy fejezet az absztrakt algebra témaköréből is. A könnyebb tárgyalhatóság érdekében kiemelten fontosnak vélt középiskolai ismereteket is tartalmazza a jegyzet. Ilyen például a kombinatorika és a halmazelmélet egy része is. Munkánk során felhasználtuk korábbi könyvünket ([BGy01], amely a Typotex gondozá- sában jelent meg 2001-ben, az informatika szak esti tagozatának előadásaihoz használt diasorozatokat, amelyeket dr. Kárász Péter egyetemi docens készített a 2013/14-es tan- évben ([Kár13], és a példatárat, amely 2003-ban jelent meg gyakorlataink anyagának kibővített változataként ([GyK+ 13]. Köszönetet mondunk lektorunknak, Schmidt Edit mestertanár munkatársunknak, aki lel- kiismeretes és alapos munkájával jelentősen hozzájárult a jegyzet „majdnem hibátlan” elkészüléséhez. Köszönjük továbbá családjainknak, akik az elmúlt évben türelemmel elvi- seltek bennünket. vii  TARTALOMJEGYZÉK Várjuk hallgatóink megjegyzéseit, amelyek elősegítik a jegyzet továbbfejlesztését, külö- nös tekintettel arra, hogy az elektronikus jegyzet „újranyomás nélkül” módosítható. E lehetőséggel élni is fogunk. Végezetül a jegyzet „forgatásához” és a tanuláshoz sok sikert kívánunk! A szerzők Óbudai Egyetem viii György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1. fejezet Lineáris algebra és vektorgeometria 1.1. Mátrixok és determinánsok A gyakorlatban gyakran előfordul, hogy (szám)adatokkal kell dolgoznunk, amelyeket érde- mes táblázatos formába rendezni. Ebben a fejezetben elemeknek, számoknak ilyen téglalap alakú elrendezésével – mátrixokkal – foglalkozunk. 1.1.1. Alapfogalmak 1.1.1. Definíció. n · k számú adat n sorba és k oszlopba történő táblázatos elrendezését mátrixnak nevezzük.   a11 a12... a1k  a21 a22... a2k    A = .. ....  ...   an1 an2... ank Jelölése nyomtatásban vastag nagybetűvel: A, írásban kétszeres aláhúzással: A. Ha a mátrixnak n sora és k oszlopa van, akkor azt mondjuk, hogy n × k típusú. Ha a mátrix elemei egy adott H halmazból kerülnek ki, akkor az n × k típusú mátrixok halmazának jelölése: H n×k. Ha a mátrix elemei valós számok, akkor valós mátrixnak nevezzük, jelölése: Rn×k. Az aij elem a mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának eleme ; az elem indexei közül az első a sorindex, második az oszlopindex. 1.1.2. Megjegyzések. A továbbiakban, ha külön nem jelezzük, valós mátrixokkal foglalkozunk. A mátrix tulajdonképpen egy fejléc nélküli táblázat. 1  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA 1.1.3. Példa. Egy gyárban kétféle alapanyagból négyféle félkészterméket készítenek. Az egységnyi félkésztermék előállításához szükséges alapanyag-szükségletet az alábbi táblázat tartalmazza: F1 F2 F3 F4 " # 2 4 3 5 A1 2 4 3 5 ⇒ A=. 3 1 6 2 A2 3 1 6 2 1.1.4. Definíció. Két mátrix pontosan akkor egyenlő, ha azonos típusúak és elemenként megegyeznek: A=B ⇐⇒ A, B ∈ H n×k és ∀i, j : aij = bij. Speciális mátrixok 1.1.5. Definíció. Egy n × k típusú mátrix esetén, ha n = k, akkor a mátrix négyzetes (kvadratikus); n = 1, akkor sormátrix (sorvektor); k = 1, akkor oszlopmátrix (oszlopvektor). 1.1.6. Definíció. D diagonális mátrix, ha négyzetes, és minden, főátlón kívüli eleme 0; azaz i 6= j ⇒ dij = 0.   d11 0... 0  0 d22... 0    D = .. ......  ....   0 0... dnn 1.1.7. Definíció. Az E diagonális mátrix (1.1.6) egységmátrix, ha a főátlóban 1-esek állnak.   1 0... 0  0 1... 0    E= .......  .....   0 0... 1 1.1.8. Definíció. A H mátrix felső háromszögmátrix, ha négyzetes, és minden, főátló alatti eleme 0; azaz i > j ⇒ hij = 0.   h11 h12... h1n   0 h22... h2n   H=.......   .....   0 0... hnn Hasonló módon az alsó háromszögmátrixot is definiálhatjuk. Óbudai Egyetem 2 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.1. MÁTRIXOK ÉS DETERMINÁNSOK 1.1.9. Definíció. S szimmetrikus mátrix, ha négyzetes, és elemei a főátlóra szimmetrikusak; azaz sij = sji. A antiszimmetrikus mátrix, ha négyzetes, és aij = −aji. 1.1.10. Példák.   3 −2 3 A= 0 1 0   felső háromszögmátrix.  0 0 7   −2 0 0 B=  0 0 0  diagonális mátrix (egyúttal felső- és alsó háromszögmátrix, to-  0 0 5 vábbá szimmetrikus is).   −4 7 π C= 7  1 −5   szimmetrikus mátrix. π −5 2 0 − 12   1  1 D= 2 0 −6   antiszimmetrikus mátrix. −1 6 0 (Megjegyzés: aii = −aii ⇒ aii = 0.) 1.1.2. Műveletek mátrixokkal Transzponálás 1.1.11. Definíció. Az n × k típusú A mátrix transzponáltján azt a k × n típusú AT mátrixot értjük, amelynek elemeire aTij = aji. A transzponálás során tulajdonképpen sor-oszlop cserét végzünk a mátrixon. 1.1.12. Példa. 2 3   " # 2 4 3 5  4 1  A= ⇒ AT =   3 1 6 2 3 6     5 2  T 1.1.13. Tulajdonság. AT = A, azaz kétszeri transzponálás az eredeti mátrixot adja eredményül. György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 3 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA Összeadás 1.1.14. Definíció. Az n × k típusú A és B mátrixok összegén azt a szintén n × k típusú C mátrixot értjük, amelynek elemeire cij = aij + bij , azaz a megfelelő helyeken álló elemeket összeadjuk. 1.1.15. Példa. " # 2 4 3 5 A= 3 1 6 2 " # 7 5 10 7 ⇒ A+B = 9 9 8 5 " # 5 1 7 2 B= 6 8 2 3 1.1.16. Tulajdonságok. Az összeadás kommutatív: A + B = B + A; asszociatív: A + (B + C) = (A + B) + C; neutrális eleme a nullmátrix : A + 0 = 0 + A = A,   0... 0 ....  .. 0m×n = .. ..  0... 0 (Tehát minden típushoz külön létezik nullmátrix, mint ahogyan tulajdonképpen az összeadás művelet is minden típushoz külön van értelmezve.) Továbbá az A ellentett-mátrixa az a B mátrix, amelyet hozzáadva a (megfelelő típusú) null- mátrixot kapjuk: A+B = B+A = 0. Könnyen látható, hogy ezt a B mátrixot úgy kapjuk, hogy az A mátrix elemeit (−1)-gyel szorozzuk: bij = −aij. Jele: B = −A. (A + B)T = AT + BT. Kivonás 1.1.17. Definíció. Az n × k típusú A és B mátrixok különbségén értjük azt a szintén n × k típusú C mátrixot, amelynek elemeire cij = aij − bij. (Az értelmezés az ellentett-mátrix alapján nyilvánvaló: A − B = A + (−B).) A művelet során a megfelelő helyeken álló elemeket kivonjuk egymásból. Óbudai Egyetem 4 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.1. MÁTRIXOK ÉS DETERMINÁNSOK 1.1.18. Példa. " # 2 4 3 5 A= 3 1 6 2 " # −3 3 −4 3 ⇒ A−B = −3 −7 4 −1 " # 5 1 7 2 B= 6 8 2 3 Mátrix szorzása skalárral 1.1.19. Definíció. Az n×k típusú A mátrix λ (∈ R)-szorosa az az n×k típusú B mátrix, amelynek elemeire: bij = λaij Tehát a mátrix minden elemét szorozzuk λ-val. 1.1.20. Példa. " # " # 2 4 3 5 6 12 9 15 A= ⇒ 3A = 3 1 6 2 9 3 18 6 1.1.21. Tulajdonságok. λ (A + B) = λA + λB; (λ + µ) A = λA + µA; λ (µA) = (λµ) A. Mátrixok szorzása Mielőtt a következő műveletet definiálnánk, folytassuk az 1.1.3. példát. 1.1.22. Példa. Egy gyárban kétféle alapanyagból (A1 , A2 ) négyféle félkészterméket (F1 , F2 , F3 , F4 ) készítenek. Az egységnyi félkésztermék előállításához szükséges alapanyag- szükségletet az alábbi mátrix tartalmazza: " # 2 4 3 5 A=. 3 1 6 2 A négyféle félkésztermékből pedig háromféle késztermék (K1 , K2 , K3 ) készül. Az egy- ségnyi késztermék előállításához szükséges félkésztermék-szükségletet az alábbi mátrix tartalmazza: 3 2 5    3 7 6  B= .   5 1 3   2 4 1 Mekkora az egyes késztermékek alapanyag-szükséglete? Milyen lesz az ezt megadó C mátrix típusa? György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 5 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA Megoldás: Mivel kétféle alapanyagból háromféle késztermék készül, ezért a C mátrix tí- pusa 2 × 3-as lesz. Nézzük meg például, mennyi A1 alapanyag szükséges a K3 késztermék előállításához, azaz mi lesz a keletkező C mátrix c13 eleme: K3 előállításához 5 egység F1 szükséges, F1 előállításához 2 egység A1 szükséges: 5 · 2 = 10 K3 előállításához 6 egység F2 szükséges, F2 előállításához 4 egység A1 szükséges: 6 · 4 = 24 K3 előállításához 3 egység F3 szükséges, F3 előállításához 3 egység A1 szükséges: 3·3 = 9 K3 előállításához 1 egység F4 szükséges, F4 előállításához 5 egység A1 szükséges: 1·5 = 5 Vagyis összesen 10 + 24 + 9 + 5 = 48 egység A1 alapanyag szükséges a K3 késztermék elő- állításához, tehát c13 = 48. Vegyük észre, hogy az érték kiszámításához az A mátrix első sorának (sorvektorának) ele- meit szoroztuk a B mátrix harmadik oszlopának (oszlopvektorának) megfelelő elemeivel, majd a kapott szorzatokat összeadtuk. Ezt a műveletet a két vektor skaláris szorzatának nevezzük (lásd később a vektorműveleteknél: 1.3.12. definíció, 1.4.2. szakasz). A C mátrix többi elemét is hasonlóan számíthatjuk ki (lásd az 1.1.25. példát). A fenti példában szereplő C mátrix lesz az A és B mátrixok szorzata (1.1.24. definíció). 1.1.23. Megjegyzések. A szorzás elvégzésének feltétele, hogy az első mátrix oszlopainak száma megegyezzen a második mátrix sorainak számával. A szorzatmátrixnak annyi sora lesz, amennyi az első mátrixnak; és annyi oszlopa, amennyi a második mátrixnak van. Ekkor a szorzatmátrix cij eleme az első mátrix i-edik sorának és a második mátrix j-edik oszlopának skaláris szorzata. 1.1.24. Definíció. Az n×k típusú A és k×p típusú B mátrixok AB szorzata az az n×p típusú C mátrix, amelynek elemeire: k X cij = air brj. r=1 Tehát a C mátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy számítjuk ki, hogy az A mátrix i-edik sorának elemeit rendre megszorozzuk a B mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemével, és az így kapott szorzatokat összeadjuk. Óbudai Egyetem 6 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.1. MÁTRIXOK ÉS DETERMINÁNSOK 1.1.25. Példa. Számítsuk ki immár az 1.1.22. példában szereplő két mátrix AB szorza- tának összes elemét. Segítségképpen úgy helyezzük el az összeszorzandó mátrixokat, hogy az első mátrix sora- inak és a második mátrix oszlopainak „metszésvonalában” alakuljon ki a szorzatmátrix megfelelő eleme. Ennek, a szorzás elvégzését megkönnyítő elrendezésnek a neve: Falk- módszer. 3 2 5     3 7 6   5 1 3     ⇒ 2 · 5 + 4 · 6 + 3 · 3 + 5 · 1 = 48 " #" 2 4 1 # 2 4 3 5 43 55 48 3 1 6 2 46 27 41 1.1.26. Tulajdonságok. A mátrixok szorzása NEM kommutatív: AB 6= BA. Fordított sorrendben általában össze sem szorozhatók: An×k Bk×p ⇒ Bk×p An×k ⇒ p 6= n esetén nem értelmezett. Ha összeszorozhatók, általában nem azonos típusú a két eredmény: An×k Bk×n = (AB)n×n és Bk×n An×k = (BA)k×k ⇒ E. Ha mindkét sorrendben összeszorozhatók és az eredménymátrixok azonos típu- súak, (azaz négyzetes mátrixokat szorzunk), az eredmény a legritkább esetben egyezik: " #" # " # 1 −3 −3 0 −15 6 = , −2 5 4 −2 26 −10 de " #" # " # −3 0 1 −3 −3 9 =. 4 −2 −2 5 8 −22 asszociatív: A (BC) = (AB) C = ABC; disztributív a mátrixösszeadásra nézve: A (B + C) = AB + AC; (A + B) C = AC + BC; nem nullosztómentes (szorzat úgy is lehet 0, hogy egyik tényező sem 0), pl: " #" # " # −4 6 3 −9 0 0 =. 2 −3 2 −6 0 0 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 7 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA Továbbá λ (AB) = (λA) B = A (λB) = λAB; (AB)T = BT AT (figyeljünk a mátrixok sorrendjének változására!); a mátrixszorzás egységeleme az egységmátrix (1.1.7. definíció): AE = EA = A. (Megjegyzés: az értelmezésből világos, hogy csak négyzetes mátrixokra van értelme egységelemet definiálni.) Mátrixok szorzásának néhány alkalmazása A gyakorlatban szükség lehet arra, hogy a mátrix bizonyos elemeit összeadjuk, sorait fel- cseréljünk, vagy egyéb műveleteket végezzünk velük. Programozásban is mátrixműveletek segítségével tudjuk például egy táblázat oszlopait felcserélni, vagy az oszlopokban lévő elemeket összeadni, kivonni, stb. Összegző vektorok Egy mátrix soraiban szereplő elemeket összeadhatjuk olyan módon, hogy jobbról szoroz- zuk egy olyan – megfelelő méretű – oszlopvektorral, amelynek összes eleme 1-es. Hasonló- an, az oszlopokban lévő elemeket összeadhatjuk, ha balról szorozzuk a mátrixot egy meg- felelő méretű sorvektorral, amelynek összes eleme 1-es. Az ilyen vektorok neve: összegző vektor. 1.1.27. Példa.   " # 1 1 4 −3 h i A= , B =  1 , C = 1 1   2 −5 3 1 " # 2 h i AB = , CA = 3 −1 0. 0 Permutáló mátrixok Felhasználjuk a tényt, hogy ha egy tetszőleges A mátrixot megszorzunk egy megfelelő méretű egységmátrixszal (1.1.7), az eredmény az eredeti A mátrix lesz. Ha az egységmát- rix oszlopait felcseréljük (permutáljuk), és most ezzel szorozzuk jobbról a mátrixot, akkor ugyanolyan módon cserélődnek fel az A mátrix oszlopai, amilyen cserét az egységmátrix oszlopaiban hajtottunk végre. Hasonlóan, ha az egységmátrix sorait cseréljük fel valami- lyen módon, majd ezzel szorozzuk balról az A mátrixot, akkor az A mátrix sorait tudjuk a kívánt módon felcserélni. Az ilyen, egységmátrixból származtatott mátrixot permutáló mátrixnak nevezzük. Óbudai Egyetem 8 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.1. MÁTRIXOK ÉS DETERMINÁNSOK 1.1.28. Példa.   " # 0 1 0 " # 1 4 −3 −3 1 4 · 0 0 1  =.   2 −5 3 3 2 −5 1 0 0 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ o3 o1 o2 o3 o1 o2 " # " # " # s2 → 0 1 1 4 −3 2 −5 3 ← s2 · = s1 → 1 0 2 −5 3 1 4 −3 ← s1 Egyéb példák A fentiekből látszik, hogy milyen módon tudunk változtatni egy adott mátrix oszlopain: jobbról kell szorozni a mátrixot egy olyan – megfelelő méretű – négyzetes mátrixszal, amelyet az egységmátrixból származtatunk úgy, hogy ugyanazokat a változtatásokat vé- gezzük el az egységmátrix oszlopain, amilyen változtatást el akarunk érni az eredetileg megadott mátrixon. Hasonlóan, a sorokban való változtatást úgy érhetjük el, ha balról szorozzuk egy olyan – megfelelő méretű – négyzetes mátrixszal, amelyet az egységmátrixból származtatunk úgy, hogy ugyanazokat a változtatásokat végezzük el az egységmátrix sorain, amilyen változtatást el akarunk érni az eredetileg megadott mátrixon. 1.1.29. Példa.       1 2 3 1 0 0 1 2 0 B =  4 5 6 , C =  0 1 0 , D =  0 1 0        7 8 9 0 0 3 0 0 1 BC esetén a B mátrix harmadik oszlopát megháromszorozzuk:   1 2 9 BC =  4 5 18    7 8 27 CB esetén a B mátrix harmadik sorát szorozzuk 3-mal:   1 2 3 CB =   4 5 6  21 24 27 A BD szorzat kiszámítása azt eredményezi, hogy a B mátrix első oszlopának kétszeresét hozzáadjuk a második oszlopához:   1 4 3 BD =  4 13 6    7 22 9 A DB szorzat esetén a B mátrix második sorának kétszeresét adjuk az első sorához:   9 12 15 DB =  4 5 6    7 8 9 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 9 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA 1.1.3. Determinánsok Ebben a fejezetben egy olyan fogalommal – a determinánssal – ismerkedünk meg, amely négyzetes mátrixokhoz (1.1.5) rendel számértéket. Ez sok feladatot leegyszerűsít számunk- ra, néhány alkalmazását itt is látni fogjuk (1.1.43, 1.2.2, 1.4.2), de a determinánsokat nemcsak a matematikán belül, hanem például a fizikában is használják. 1.1.30. Definíció. Determinánsnak nevezzük azt a függvényt, amely a négyzetes mátri- xok halmazán értelmezett és minden négyzetes mátrixhoz hozzárendel egy valós számot a következő szabályok szerint: " # a11 a12 Ha A = , akkor determinánsa a21 a22 a11 a12 det A = = a11 a22 − a12 a21. a21 a22 A 2 × 2-es mátrix determinánsát másodrendű determinánsnak nevezzük.   a11 a12... a1n   a21 a22... a2n   Ha A=........ , akkor determinánsa  ....   an1 an2... ann a11 a12... a1n a21 a22... a2n det A =....... = a11 D11 + a12 D12 +... + a1n D1n ,..... an1 an2... ann ahol D11 , D12 ,... , D1n rendre az a11 , a12 ,... , a1n elemekhez tartozó előjeles aldeter- minánsok. Az előjeles aldeterminánsokat úgy kapjuk, hogy elhagyjuk a megfelelő a1i elem sorát és oszlopát, és a megmaradó elemekből számított determinánst megszorozzuk (− −1)i+1 -nel. Az n × n-es mátrix determinánsát n-edrendű determinánsnak nevezzük. 1.1.31. Jelölés. Mint a definícióból kiderül, az A (négyzetes) mátrix determinánsát det A-val jelöljük. Ha a mátrix elemeivel akarjuk felírni a mátrix determinánsát, akkor a determinánst jelö- lésben úgy különböztetjük meg a mátrixtól, hogy a mátrix elemeit két függőleges vonal közé tesszük. 1.1.32. Példa. 2 1 −1 0 2 3 2 3 0 3 0 2 = 2· + 1 · (−1) · + (−1) · = −2 1 4 1 4 −2 4 −2 1 = 2 (0 − (−4)) − (3 − 8) − (−6 − 0) = 19 Óbudai Egyetem 10 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.1. MÁTRIXOK ÉS DETERMINÁNSOK 1.1.33. Megjegyzések. A fenti definíció rekurzív definíció, mert egy egyszerű esetben (2 × 2-es) külön meg- adjuk a determináns értékét, a magasabbrendű determinánsok értékét pedig vissza- vezetjük az alacsonyabbrendűekre. A determináns elnevezést valójában kettős értelemben használjuk, mert az néha a definíció szerinti függvényt, néha annak helyettesítési értékét jelenti. A magasabbrendű determinánsok definíció szerinti meghatározását szokás az első sor szerinti kifejtésnek nevezni. Lehetne beszélni 1×1-es determinánsról is, ekkor a determináns értéke annak egyet- len elemével lenne egyenlő. A 2 × 2-es determináns értéke ekkor éppen annak első sor szerinti kifejtésével adódna. A determináns kifejtése nemcsak az első sor szerint történhet. A különböző kifejtések során használjuk az ún. sakktáblaszabályt : a determináns elemeihez + illetve − előjeleket rendelünk, amelyek úgy váltakoznak, mint a világos és sötét mezők a sakktáblán. Az első sor első eleméhez + előjel tartozik: + − +... − + −........ + −........ · · ·.. Egy tetszőleges elemhez tartozó előjeles aldetermináns úgy kapható meg, hogy elhagyjuk az elem sorát és oszlopát, a megmaradó elemekhez tartozó determinánst pedig akkor szorozzuk meg (−1)-gyel, ha az elemhez a sakktábla szabály szerint − előjel tartozik. Ez összhangban van az első sor szerinti kifejtésnél alkalmazott (−1)i+1 -nel való szorzással. 1.1.34. Példa. Fejtsük ki az 1.1.32. példában szereplő determinánst a második sora sze- rint: 2 1 −1 1 −1 2 1 3 0 2 = −3 · −2· = −3 (1 − 2) − 2 (−4 − 4) = 19 −2 1 4 −2 4 −2 1 1.1.35. Tétel (A determinánsok kifejtési tétele). Egy n×n-es mátrix determinánsának kiszámításához mindegy, hogy a determinánst melyik sora vagy oszlopa szerint fejtjük ki, ez a determináns értékét nem befolyásolja. 1.1.36. Tétel (Sarrus-szabály). Harmadrendű determinánsok kiszámítására alkalmazható a Sarrus-szabály is: A determináns első és második oszlopát még egyszer leírjuk a determináns mögé, így össze- sen öt oszlopot kapunk. A determináns értéke a főátló irányában összeköthető elemhárma- sok szorzatösszegének és a mellékátló irányában összeköthető elemhármasok szorzatössze- gének a különbsége. György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 11 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA 1.1.37. Példa. Számítsuk ki az 1.1.32 példában szereplő determinánst a Sarrus-szabály segítségével: 2 1 −1 2 1 3 0 2 3 0 = 2·0·1+1·2·4+(−1)·3·(−2)−(−1)·0·4−2·2·(−2)−1·3·1 = 19 4 −2 1 4 −2 Az 1.1.35. kifejtési tétel értelmében mindegy, hogy a determinánst melyik sora vagy osz- lopa szerint fejtjük ki, ez a determináns értékét nem befolyásolja. Az elvégzendő számolás mennyisége azonban jelentősen különböző lehet választásunktól függően. A fenti példá- ban pl. kevesebbet kellett számolnunk a második esetben (1.1.34), mint az első esetben (1.1.32) mert a második sorban az egyik elem 0, ezért a hozzá tartozó aldeterminánst nem kellett kiszámítani. Érdemes tehát olyan sort vagy oszlopot választani, amelyikben a lehető legtöbb 0 szerepel. Nem biztos, hogy találunk 0-t tartalmazó sort vagy oszlopot, de a most következő tételek használatával ezt elérhetjük, és leegyszerűsíthetjük a számítási folyamatot. Determinánsok elemi átalakításai 1.1.38. Tétel. Ha egy determináns két sorát (vagy két oszlopát) felcseréljük, akkor a determináns értéke (−1)-szeresére változik. 1.1.39. Tétel. Ha egy determináns egy sorának (vagy oszlopának) minden elemét egy λ ∈ R számmal megszorozzuk, akkor a determináns értéke λ-szorosára változik. 1.1.40. Tétel. Ha egy determináns egy sorának (vagy oszlopának) számszorosát hozzá- adjuk egy másik sorhoz (vagy oszlophoz), akkor a determináns értéke nem változik. 1.1.41. Példa. A következő determináns kiszámításához az első két lépésben az 1.1.39 tételt használjuk. Az első lépésben például észrevesszük, hogy az első oszlop összes eleme páros, így kettővel osztva az oszlopban lévő elemeket a determináns értéke 21 -szeresére változik, ezért kiemelünk 2-t, hogy ne változzon az érték. Hasonlóan járunk el a második lépésben, ott a második sorból emelünk ki 3-at. A harmadik lépésben az 1.1.40 tételt használjuk: a második sorhoz hozzáadjuk az elsőt, a harmadik sorhoz hozzáadjuk az első kétszeresét. Így a determináns értéke nem változik. Elértük azt, hogy a második oszlopban csak egy 0-tól különböző elem legyen, így a deter- minánst a második oszlopa szerint kifejtve, már csak egy darab másodrendű determinánst kell meghatároznunk: 2 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1.1.39 1.1.39 1.1.40 12 −3 6 = 2 · 6 −3 6 = 3 · 2 · 2 −1 2 = 4 −2 1 2 −2 1 2 −2 1 1 1 −1 3 1 = 6· 3 0 1 = 6 · (−1) · = 42 4 −1 4 0 −1 Óbudai Egyetem 12 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.1. MÁTRIXOK ÉS DETERMINÁNSOK 1.1.4. Mátrix inverze 1.1.42. Definíció. Az n × n típusú A mátrix inverze az az n × n-es típusú B mátrix, amelyre AB = BA = E, azaz a mátrixot az inverzével összeszorozva az n × n-es egységmátrixot (1.1.7) kapjuk. Jelölés: B = A−1. Az értelmezésből nyilvánvaló, hogy csak négyzetes mátrixnak lehet inverze. Belátható, hogy ha AB = E, akkor BA = E. 1.1.43. Tétel. A mátrix inverzét a következő módon számíthatjuk ki: adj A A−1 = , det A ahol adj A az A mátrix adjungáltja, amelyet úgy kapunk, hogy az A mátrix minden eleme helyére a hozzá tartozó előjeles aldetermináns értékét írjuk, majd transzponáljuk; det A pedig az A mátrix determinánsa. Ezzel az inverzmátrix elemeire: Dji bij = det A adódik, ahol Dji az 1.1.30-ban definiált előjeles aldetermináns. 1.1.44. Megjegyzés. Csak annak a mátrixnak van inverze, amelynek determinánsa nem 0. Ennek „technikai” okát a kiszámítási módból láthatjuk: hiszen osztani kell vele. „Elvi” oka is van természetesen, ezt későbbi tanulmányainkban láthatjuk majd. 1.1.45. Definíció. Az A négyzetes mátrix szinguláris mátrix, ha det A = 0. reguláris mátrix, ha det A 6= 0. A fentiekből adódik, hogy a reguláris mátrixoknak van inverze. 1.1.46. Tulajdonságok. −1 (A−1 ) = A; Ha A és B azonos típusú reguláris mátrixok, akkor (AB)−1 = B−1 A−1. 1.1.47. Példa. Határozzuk meg az   5 7 3 A =  1 4 −1    3 2 3 mátrix inverzét. György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 13 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA Megoldás: Először kiszámítjuk a mátrix determinánsát: 5 7 3 det A = 1 4 −1 = −2 6= 0. 3 2 3 Mivel nem 0 a determináns értéke, az A mátrix reguláris, tehát van inverze, foly- tathatjuk a számítást. Meghatározzuk a mátrix adjungáltját: T | 42 −1 1 −1  3 | −|3 3 | | 13 42 |  14 −6 −10 T   adj A =   − | 72 33 | | 53 33 | − | 53 72 |   =  −15  6 11   = −19   | 74 −1 3 | − | 51 −1 3 | | 51 74 | 8 13   14 −15 −19 =  −6 6 8    −10 11 13 Az adjungált mátrix minden elemét elosztjuk a mátrix determinánsával, −2-vel: 15 19   −7 2 2 A−1 =     3 −3 −4   5 − 11 2 − 13 2 Ellenőrzéssel belátható, hogy a kapott eredmény helyes: az Olvasóra bízzuk az AA−1 , illetve az A−1 A szorzatok kiszámítását. Óbudai Egyetem 14 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.2. Lineáris egyenletrendszerek 1.2.1. Lineáris egyenletrendszer fogalma Egy (algebrai) egyenletrendszert lineárisnak nevezünk, ha csak elsőfokú és konstans tagok szerepelnek benne. 1.2.1. Definíció. A lineáris egyenletrendszer általános alakja:  a11 x1 + a12 x2 +... + a1k xk = b1     a21 x1 + a22 x2 +... + a2k xk = b2   ..  ,.      an1 x1 + an2 x2 +... + ank xk = bn  ahol aij és bi paraméterek, xj ismeretlenek (i = 1,... , n; j = 1,... , k). A továbbiakban valós együtthatós lineáris egyenletrendszerekkel foglalkozunk, tehát az aij és bi paraméterek valós számok, és a megoldásokat is a valós számok körében keressük. 1.2.2. Példa.  4x + 2y = 12    x + 11y − 2z = 9  −x − 2y + 2z = 8   Az alábbiakban két módszert mutatunk be a lineáris egyenletrendszerek megoldására. 1.2.2. Cramer-szabály 1.2.3. Definíció. Ha egy lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegye- zik az egyenletek számával, akkor az egyenletrendszer fődeterminánsa az ismeretlenek együtthatóiból alkotott determináns. 1.2.4. Példa. Az 1.2.2 példában szereplő egyenletrendszer fődeterminánsa: 4 2 0 D= 1 11 −2 −1 −2 2 Mint a példában is látszik, ha valamelyik egyenletben az egyik ismeretlen nem szerepel, akkor a determináns megfelelő eleme 0, ha pedig nem írjuk ki az ismeretlen együtthatóját, az azt jelenti, hogy az együttható 1. 1.2.5. Definíció. Ha egy lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor az egyenletrendszer minden ismeretlenéhez tartozik egy mó- dosított determináns, amit úgy kapunk, hogy a fődeterminánsban a megfelelő ismeretlen együtthatóit kicseréljük az egyenlőségjelek jobboldalán álló konstans tagokra.  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA 1.2.6. Példa. Példák: Az 1.2.2. példában szereplő egyenletrendszer módosított determi- nánsai: 12 2 0 4 12 0 4 2 12 Dx = 9 11 −2 Dy = 1 9 −2 Dz = 1 11 9 8 −2 2 −1 8 2 −1 −2 8 1.2.7. Tétel (Cramer-szabály). Ha a lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek szá- ma megegyezik az egyenletek számával, és az egyenletrendszer fődeterminánsa nem 0, akkor az egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van, és az egyes ismeretleneket úgy számít- hatjuk ki, hogy a megfelelő módosított determinánst elosztjuk a fődeterminánssal. 1.2.8. Példa. Oldjuk meg az 1.2.2. példabeli egyenletrendszert a Cramer-szabállyal. Megoldás: 4 2 0 D= 1 11 −2 = 72 −1 −2 2 12 2 0 4 12 0 4 2 12 Dx = 9 11 −2 = 148 Dy = 1 9 −2 = 136 Dz = 1 11 9 = 498 8 −2 2 −1 8 2 −1 −2 8 D1 148 37 D2 136 17 D3 498 83 x= = = y= = = z= = = D 72 18 D 72 9 D 72 12 Vegyük észre, hogy a Cramer-szabály nem minden esetben használható: Lehet, hogy az egyenletrendszer fődeterminánsa 0. Ekkor nem tudunk vele osztani. Az is előfordul, hogy nem ugyanannyi egyenlet van, mint ahány ismeretlen. Eb- ben az esetben nem is tudjuk az egyenletrendszer fődeterminánsát (és módosított determinánsait sem) képezni. A Cramer-szabály előnye, hogy alkalmas abban az esetben, amikor csak egy ismeretlen értékét kell kiszámítani. Bemutatunk egy másik módszert, amelyik minden esetben használható. Óbudai Egyetem 16 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.2. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 1.2.3. Gauss-elimináció 1.2.9. Definíció. Az egyenletrendszer mátrixán az ismeretlenek együtthatóiból alkotott mátrixot értjük. 1.2.10. Példa. Az  7x1 + 3x2 − 7x3 + 3x4 = 12  −2x1 + 8x2 + 33x3 = 19   x1 + 8x3 + 2x4 = 7  egyenletrendszer mátrixa:   7 3 −7 3 −2 8 33 0   1 0 8 2 1.2.11. Definíció. Ha az egyenletrendszer mátrixát kiegészítjük még egy oszloppal, a- melynek elemei az egyenletrendszer jobboldalán álló konstansok, akkor az egyenletrend- szer kibővített mátrixát kapjuk. 1.2.12. Példa. Az 1.2.10. példában szereplő egyenletrendszer kibővített mátrixa:   7 3 −7 3 12 −2 8 33 0 19   1 0 8 2 7 1.2.13. Megjegyzés. Az egyenletrendszer kibővített mátrixa tulajdonképpen az egyen- letrendszer rövidített írásmódja, hiszen nem kell kiírni az ismeretleneket és az egyenlőség- jeleket, mégis minden együtthatóról tudjuk, hogy melyik ismeretlenhez tartozik a helye alapján. A Gauss-elimináció során az egyenletrendszer kibővített mátrixából indulunk ki, és ezt a mátrixot ún. elemi sorműveletek segítségével módosítjuk. Minden módosított mátrix egy az eredetivel ekvivalens egyenletrendszernek felel meg. Az elemi sorműveletek : A mátrix két sorát megcserélhetjük. A mátrix bármelyik sorát megszorozhatjuk vagy eloszthatjuk egy 0-tól különböző számmal. A mátrix egy sorát — vagy annak valahányszorosát — hozzáadhatjuk egy másik sorához, illetve levonhatjuk belőle. 1.2.14. Megjegyzés. Az elemi sorműveletek az egyenletrendszerek megoldásának — kö- zépiskolából jól ismert — lépései. A mátrix két sorának cseréje megfelel két egyenlet felcse- rélésének, ami nyilván ugyanazt az egyenletrendszert eredményezi. Ha a mátrix egy sorát megszorozzuk egy 0-tól különböző számmal, az a megfelelő egyenlet ugyanezen számmal való szorzásának felel meg, stb. György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 17 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA A Gauss-elimináció alkalmazása során arra törekszünk, hogy minden sor első nemzérus eleme alatt csak zérus álljon. Ezzel egy az ún. lépcsős alakot, a mátrix bal alsó sarká- ban pedig egy 0-kból álló részt alakítunk ki. Ez az átalakítás megkönnyíti a megoldás felírását, hiszen az átalakított mátrix utolsó sora egy, az eredeti egyenleteknél egyszerűbb egyenletnek felel meg. 1.2.15. Példa. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:  x+y + z = 7    x − y + 2z = 9  2x + y − z = 1   Megoldás:       1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7  1 −1 2 9  ≈  0 −2 1 2  ≈  0 −2 1 2        2 1 −1 1 0 −1 −3 −13 0 0 −7 −28 Vonjuk ki az első sort a második sorból, és vonjuk ki az első sor kétszeresét a harmadik sorból. Így elemi sorműveletek segítségével elérjük, hogy az első oszlopban a legfelső elem kivételével minden elem 0 legyen. Most vonjuk le a második sort a harmadik sor kétsze- reséből. Ezáltal a második oszlop legalsó eleme is 0 lesz, eljutottunk a lépcsős alakhoz – kialakult a 0-kból álló háromszög a bal alsó sarokban. Az így kialakult – eredetivel ekvivalens – egyenletrendszer utolsó egyenlete −7z = −28, ami megadja a harmadik ismeretlen értékét: z = 4. A második egyenlet −2y +z = 2, amit átrendezve megkapjuk y értékét is: y = 1. Végül az első egyenletből megkapjuk x értékét: x + y + z = 7 ⇒ x = 2. Tehát az egyenletrendszer egyetlen megoldása az x = 2, y = 1, z = 4 számhármas. 1.2.16. Példa. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:  2x + y − z = 1    x− y + z = 3  x + 5y − 5z = 2   Megoldás:       2 1 −1 1 2 1 −1 1 2 1 −1 1  1 −1 1 3  ≈  0 −3 3 5  ≈  0 −3 3 5        1 5 −5 2 0 9 −9 3 0 0 0 18 Vonjuk ki a második sor kétszereséből és a harmadik sor kétszereséből is az első sort. Ezután adjuk hozzá a második sor háromszorosát a harmadik sorhoz. Az utolsó sorban így minden ismeretlen együtthatója 0 lesz, míg a jobboldalon álló konstans tag értéke 18. Ez a 0 · x + 0 · y + 0 · z = 18 egyenletnek felel meg, amelynek nincs megoldása, hiszen az egyenlet baloldala az x, y, z változók bármely értéke esetén 0, ami nem egyezik meg a jobboldallal. Ha az egyenletrendszer megoldása során ilyen ellentmondó egyenlet adódik, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása. Óbudai Egyetem 18 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.2. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 1.2.17. Példa. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:  x− y + z = 4     2x + y − 2z = 1   5x − 2y + z = 13    x + 2y − 3z = −3   Megoldás: 1 −1 1 4 1 −1 1 4 1 −1 1 4        2 1 −2 1   0 3 −4 −7   0 3 −4 −7  ≈ ≈       5 −2 1 13 0 3 −4 −7 0 0 0 0         1 2 −3 −3 0 3 −4 −7 0 0 0 0 Vonjuk ki a második sorból az első sor kétszeresét, a harmadik sorból az első sor ötszörösét, a negyedik sorból pedig az első sort. Ezután vonjuk ki a második sort a harmadik és a negyedik sorból. Az utolsó két egyenlet 0·x+0·y +0·z = 0 az x, y, z ismeretlenek bármely értéke esetén teljesül, ezért az ismeretlenekre nézve semmilyen információt nem hordoz – semmitmondó. Ezért ezt a továbbiakban figyelmen kívül hagyhatjuk. Így viszont csak két egyenletünk maradt az eredeti négy helyett – kevesebb, mint az ismeretlenek száma. Ha az egyik ismeretlent, pl. z-t paraméternek választjuk, akkor vele a másik két ismeretlen 4 7 kifejezhető. A második egyenletből y = z − , az első egyenletből 3 3 4 7 1 5 x = 4 + y − z = 4 + z − − z = z + adódik, ahol z tetszőleges valós szám. 3 3 3 3 Tehát a megoldás: 1 5 4 7 x = z+ , y = z− , z ∈ R 3 3 3 3 Ez végtelen sok megoldás, hiszen z-t végtelen sokféleképpen választhatjuk. Írjunk fel a végtelen sok megoldás közül kettőt! Például ha z = 1, akkor x = 2, y = −1, z = 1, ha z = 4, akkor x = 3, y = 3, z = 4. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy ezek a megoldások kielégítik az eredeti egyenletrendszert. 1.2.18. Példa. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:  x+ y + z + w = 0    2x − y − 3z + 2w = 0   x + 4y + 6z + w = 0  Megoldás:       1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0  2 −1 −3 2 0  ≈  0 −3 −5 0 0 ≈ 0 3 5 0 0        1 4 6 1 0 0 3 5 0 0 0 0 0 0 0 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 19 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA Vonjuk ki a második sorból az első sor kétszeresét, a harmadik sorból pedig az első sort. Ezután a második sort adjuk a harmadik sorhoz, a második sort pedig szorozzuk meg (−1)-gyel. Az utolsó egyenlet csak 0-kat tartalmaz, tehát – az 1.2.17 példához hasonlóan – elhagyható. Két egyenletünk maradt, kettővel kevesebb, mint az ismeretlenek száma. Ha két ismeretlent, pl. a z-t és a w-t paraméternek választjuk, akkor velük a másik két 5 ismeretlen kifejezhető. A második egyenletből y = − z, az első egyenletből 3 5 2 x = −y − z − w = z − z − w = z − w 3 3 adódik, ahol z és w tetszőleges valós szám. Tehát a megoldás: 2 5 x = z − w, y = − z, z, w ∈ R 3 3 Ez végtelen sok megoldás, hiszen z-t és w végtelen sokféleképpen választhatjuk. Írjunk fel a végtelen sok megoldás közül kettőt! Például ha z = 0 és w = 0, akkor x = y = z = w = 0, ha z = 3 és w = 0, akkor x = 1, y = −5, z = 3, w = 1. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy ezek a megoldások kielégítik az eredeti egyenletrendszert. 1.2.19. Megjegyzés. Az 1.2.18. példában szereplő egyenletrendszer egy homogén lineá- ris egyenletrendszer ; így nevezzük azokat az egyenletrendszereket, amelyekben a jobbol- dalon szereplő tagok 0-val egyenlők. Az ilyen egyenletrendszernek mindig van — legalább egy — megoldása: az, amelyben az összes ismeretlen 0. Ezt a megoldást triviális megol- dásnak nevezzük. Óbudai Egyetem 20 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.3. Vektorgeometria Eddigi tanulmányaink során találkoztunk olyan fizikai fogalmakkal, melyeket elegendő nagyságukkal jellemezni (például hosszúság, tömeg, hőmérséklet). Az ilyen mennyisége- ket skalármennyiségnek, röviden skalárnak nevezzük. Azonban vannak olyan jelenségek, amelyek leírására nem elegendő egyetlen számadat, hanem az irányukat is meg kell adni (pl. sebesség, gyorsulás, erő). Ezek a vektormennyiségek, röviden vektorok. Ebben a fejezetben definiáljuk a vektorokkal kapcsolatos alapfogalmakat, majd átismé- teljük a középiskolából már ismert műveleteket, valamint új, eddig még talán nem tanult vektorműveletekkel bővítjük ismereteinket. Fontos megjegyezni, hogy a fejezetben háromdimenziós vektorokról lesz szó. Ez nehézsé- get jelenthet abból a szempontból, hogy míg kétdimenziós vektorok esetén számításainkat síkbeli ábrával ellenőrizhetjük, addig térbeli vektorok esetén erre nincs lehetőségünk. 1.3.1. Alapfogalmak 1.3.1. Definíció. Olyan mennyiségeket, amelyeket nagyságuk és irányuk együttesen ha- tároz meg, azaz a térbeli irányított szakaszokat vektoroknak nevezünk. Jelölése nyomtatásban vastag betűvel: v, írásban aláhúzással: v. Az A kezdőpontú és B −→ végpontú vektor jelölésére az AB jelet használjuk. B v A 1.3.1. ábra. Vektor 1.3.2. Definíció. A v vektor nagyságát a v vektor abszolút értékének (hosszának) ne- −→ vezzük, jelölése: |v| = AB. 1.3.3. Definíció. Az egységnyi hosszúságú (bármilyen irányú) vektort egységvektornak nevezzük. A v vektor irányába mutató egységvektor jele v0 vagy ve. v0 1.3.2. ábra. v irányába mutató egységvektor 1.3.4. Definíció. A 0 hosszúságú (tetszőleges irányú) vektort nullvektornak nevezzük. Jele 0.  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA B D A C 1.3.3. ábra. Egyenlő vektorok 1.3.5. Definíció. Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. Mivel a vektort csak iránya és nagysága határozza meg, ezért nincs helyhez kötve, így szabadon eltolható egy tetszőleges kezdőpontba. 1.3.6. Definíció. Legyen a és b két, 0-tól különböző vektor. Ha közös kezdőpontba toljuk őket, akkor a félegyeneseik által meghatározott konvex szöget a két vektor hajlásszögének nevezzük. Tehát: 0◦ 6 ϕ 6 180◦. b ϕ a 1.3.4. ábra. Vektorok hajlásszöge 1.3.2. Műveletek vektorokkal Vektor szorzása skalárral 1.3.7. Definíció. Adott a v vektor és a λ valós szám (λ∈R). Ekkor a v vektor λ skalárral való λv szorzatán azt a vektort értjük, amelynek nagysága |λ| · |v|; iránya v-vel megegyező, ha λ > 0; v-vel ellentétes, ha λ < 0; tetszőleges, ha λ = 0. Szemléletesen a vektor nyújtásáról (|λ|>1), zsugorításáról (|λ| 0 ⇐⇒ 0◦ 6 ϕ < 90◦ ab < 0 ⇐⇒ 90◦ < ϕ 6 180◦ 1.3.16. Példa. Mekkora szöget zárnak be az a és b egységvektorok, ha tudjuk, hogy az 5a − 4b és az a + 2b vektorok merőlegesek? Megoldás: Ha a megadott két vektor merőleges, akkor skaláris szorzatuk 0: (5a − 4b)(a + 2b) = 0. Az 1.3.13 pontban megadott tulajdonságokat felhasználva, valamint figyelembe véve, hogy a és b egységvektorok (|a| = |b| = 1) elvégezzük a szorzást: 0 = (5a − 4b)(a + 2b) = 5aa + 10ab − 4ba − 8bb = 6ab − 3 Innen 1 2 = ab = |a| |b| cos ϕ = cos ϕ ⇒ ϕ = 60◦. György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 25 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA  a α - - a0 b 1.3.8. ábra. 1.3.17. Példa. Fejezzük ki az a és b vektorok segítségével az a vektor b-re eső merőleges vetületét. Megoldás: Legyen először α hegyesszög, ekkor használhatjuk a derékszögű háromszögről ab tanultakat. A keresett vetületvektor hossza: |a0 | = |a| cos α =. |b| A keresett vetületvektor irányáról tudjuk, hogy párhuzamos ! a b vektorral. 1 Ezért ha a b vektorral párhuzamos egységvektort b -t megszorozzuk a0 hosszával, |b| megkapjuk a vetületvektort: ab a0 = ·b (1.1) |b|2 Az 1.1 képlet tehát megadja az a vektor b-re eső merőleges vetületét. Vegyük észre, hogy megoldásunk akkor is helyes, ha α tompaszög: ] JJ J a J  0 Jα - a b 1.3.9. ábra. Ugyanis ebben az esetben a vektor hossza |a0 | = |a| cos(180◦ − α), ami éppen ellentettje a képletben szereplő |a| cos α-nak. Vagyis a végső képletben a b vektort negatív számmal szorozzuk, ami azt eredményezi, hogy a b-vel ellentétes irányú vektort kapunk. Képletünk akkor is helyes, ha a két vektor derékszöget zár be. Ekkor az a vektor merőleges vetülete a nullvektor. Mivel az ab skaláris szorzat derékszögű vektorok esetén 0, ezért a képlet valóban a nullvektort adja eredményül. Két vektor vektoriális szorzata 1.3.18. Definíció. Két vektor vektoriális szorzata az az a × b vektor, amelynek hossza: |a × b| = |a| |b| sin ϕ, amely merőleges a-ra és b-re is, és amellyel a három vektor, a, b, a × b sorrendben jobbsodrású rendszert alkot. Óbudai Egyetem 26 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.3. VEKTORGEOMETRIA E vektorművelet esetén, a skaláris szorzathoz hasonlóan, szintén két vektort szorzunk össze, a művelet eredménye azonban már nem skalár, hanem egy vektor. Erre utal a mű- velet neve is: vektoriális szorzat. Mivel vektort kapunk eredményül, ezt nagyságával és irányával tudjuk egyértelműen meg- adni. Elég precíz-e ez a definíció? Haladjunk sorban: A vektoriális szorzat hossza mindenképpen nemnegatív szám lesz, hiszen a definíció- ban szereplő |a| |b| sin ϕ szorzat mindhárom tényezője nemnegatív. Mivel két vektor hajlásszöge nem lehet kisebb, mint 0◦ és nem lehet nagyobb, mint 180◦ , ezért ennek a szögnek a szinusza nemnegatív szám lesz. A vektoriális szorzat merőleges a-ra és b-re is. Ha a és b nem párhuzamosak, akkor kifeszítenek egy síkot, erre a síkra merőle- ges vektorról beszélünk tehát. Mostmár megadtuk a vektor hosszát és egy vele párhuzamos irányt, de még nem egyértelmű, hogy melyik vektorról van szó, hiszen két ilyen vektor van, amelyek egymásnak ellentettjei. Ennek eldöntésére szolgál a definíció harmadik része. Ha a és b párhuzamosak, akkor végtelen sok, a és b irányára merőleges irány létezik (ne felejtsük el, hogy térbeli vektorokról van szó). Melyik lesz ezek közül a vektoriális szorzat iránya akkor? Vegyük észre, hogy párhuzamos vektorok esetén sin 0◦ = sin 180◦ = 0, tehát vektorunk a nullvektor, melynek iránya tet- szőleges. Melyik lesz a vektoriális szorzat az előző pontban említett két ellentétes irányú vek- tor közül? a, b, a ×b sorrendben jobbsodrású rendszert alkot, ami azt jelenti, hogy közös kezdőpontból felmért vektorok esetén az a × b végpontja felől a és b síkjára visszatekintve az a vektort pozitív, azaz óramutató járásával ellentétes, 180◦ -nál ki- sebb forgás viszi az b vektorba. Ezt legkönnyebben a jobb kezünkkel ellenőrizhetjük, úgy, hogy a jobb kezünk hüvelykujja az a, mutatóujja a b, középső ujja pedig az a × b vektor. Az a ×b vektoriális szorzat geometriailag az a és b által kifeszített paralelogramma terü- letvektora, vagyis hossza megegyezik a paralelogramma területével; iránya kijelöli a paralelogramma síkját (merőleges rá). a×b b ϕ a 1.3.10. ábra. Vektoriális szorzat György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 27 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA 1.3.19. Tulajdonságok. A vektorok vektoriális szorzására az alábbi tulajdonságok ér- vényesek: antikommutatív: a × b = −(b × a) λ (a × b) = (λa) × b = a × (λb) NEM asszociatív: a × (b × c) 6= (a × b) × c disztributív az összeadásra nézve: a × (b + c) = a × b + a × c, illetve (b + c) × a = b × a + c × a. 1.3.20. Állítás. Két vektor vektorális szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor párhuzamos. Bizonyítás: A vektoriális szorzat definíciója alapján az |a| |b| sin ϕ = 0 egyenlőséget kell vizsgálnunk, hiszen ha a vektor hossza pontosan akkor 0, ha a vektor nullvektor. Ez a szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ha |a| = 0 vagy |b| = 0, akkor valamelyik (vagy mindkét) vektor nullvektor. A nullvektor bármely vektorral párhuzamos. Ha sin ϕ = 0, akkor ϕ = 0◦ vagy ϕ = 180◦. 1.3.21. Példa. Legyen a és b egy kocka azonos csúcsából kiinduló két élvektora. Fejezzük ki a és b segítségével az ugyanebből a csúcsból kinduló harmadik élvektort. Megoldás: Mivel egy kocka élvektorairól van szó, a és b merőlegesek: a⊥b és hosszuk megegyezik: |a| = |b|. A harmadik élvektor merőleges a-ra és b-re, tehát a × b-vel párhuzamos. Az a × b hossza: |a × b| = |a| |b| sin 90◦ = |a| |a|. Vagyis ha a × b-t megszorozzuk |a| 1 - val, akkor éppen egy |a| hosszúságú vektort kapunk, ez lesz az egyik megoldás. A másik megoldás éppen ennek a vektornak az ellentettje lesz. Tehát a kocka harmadik élvektora: a×b ±. |a| 1.3.22. Példa. Legyen az a és b oldalvektorú paralelogramma területe T. Fejezzük ki T segítségével a 2a + 3b és 4a − 2b oldalvektorú paralelogramma területét. Megoldás: Az 1.3.19 pontban megadott tulajdonságokat felhasználva először kiszámítjuk az (2a + 3b) × (4a − 2b) vektort: (2a + 3b) × (4a − 2b) = 8(a × a) − 4(a × b) + 12(b × a) − 6(b × b) = −16(a × b). A kapott vektor az a×b vektor −16-szorosa. Hossza a kérdéses paralelogramma területe. Figyelembe véve, hogy |a × b| = T , így az eredmény: 16T. Óbudai Egyetem 28 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.3. VEKTORGEOMETRIA Eddig kétféle szorzást definiáltunk vektorok között: a skaláris szorzatot, amely egy skalárt ad eredményül, és segítségével vektorok hajlásszögét, merőleges vetületet tudunk megha- tározni; illetve a vektoriális szorzatot, amelynek az eredménye egy vektor, és területszá- mításra, síkra merőleges vektor meghatározására használhatjuk. Nézzük most meg, elvégezhetjük-e egymás után a két műveletet, és ha igen, milyen geo- metriai jelentése lesz az eredménynek. Ha két vektor skaláris szorzatát képezzük, onnan már nem tudunk továbbmenni, hiszen skalárt kapunk eredményül. Ha két vektor vektoriális szorzatát képezzük, ezt az eredményvektort tovább tudjuk szo- rozni egy harmadik vektorral skalárisan. Ezt a műveletet definiáljuk a következőkben: Három vektor vegyes szorzata 1.3.23. Definíció. Az a, b, c vektorok vegyes szorzata : abc = (a × b) c. Az eredmény nyilvánvalóan egy szám lesz. Vizsgáljuk meg, mit jelent szemléletesen. a×b c (a × b)0 c ϕ b (a × b)0 |a × b| a 1.3.11. ábra. Vegyes szorzat Az (a × b) c skaláris szorzat definíció szerint az |a × b| |c| cos ϕ számot jelenti. |a × b| az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe. Ha az a × b és a c vektor az a és b vektorok síkjának ugyanarra az oldalára mutatnak (azaz, ha az a, b és c vektorok ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak), a ϕ szög hegyesszög lesz, az (a × b) c skaláris szorzat pedig pozitív szám. A |c| cos ϕ érték a c vektor a ×b-re eső merőleges vetületének hossza (lásd az 1.3.11 ábrát), azaz a hasáb ma- gassága. Tehát a kapott érték a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatát adja meg. Abban az esetben viszont, ha az a × b és a c vektor az a és b vektorok síkja két külön- böző oldalára mutatnak (azaz, ha az a, b és c vektorok ebben a sorrendben balsodrású rendszert alkotnak), a ϕ szög tompaszög lesz, az (a × b) c skaláris szorzat pedig negatív szám. Ekkor az eredmény abszolút értéke adja meg a térfogatot. Ha pedig a három vektor egy síkba esik, akkor az a × b és a c vektor merőlegesek, így az (a × b) c skaláris szorzat értéke 0. Valóban, egy síkba eső vektorok által kifeszített „para- lelepipedon” térfogata 0. Összefoglalva tehát: Az abc vegyesszorzat az a, b, c vektorok által kifeszített paralelepipedon előjeles térfo- gatát adja meg. György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 29 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA 1.3.24. Megjegyzések. Vegyük észre, hogy ugyanerre az eredményre jutottunk volna, ha az (a × b) c helyett az a (b × c) szorzatot számoljuk, hiszen ugyanannak a paralelepipedonnak a térfo- gatát kaptuk volna meg. Ezért is korrekt az abc jelölés a vegyesszorzatra, hiszen mindegy, hol van a vektoriális és hol a sakáris szorzat. Abban az esetben, ha két tényezőt felcserélünk a szorzatban, az eredmény az ellen- tettjére változik, hiszen jobbsodrású rendszerből balsodrású lesz, vagy fordítva. Foglaljuk tehát össze a vegyesszorzat tulajdonságait: 1.3.25. Tulajdonságok. abc = 0 ⇐⇒ ha a, b, c egy síkban vannak (komplanárisak); abc > 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben jobbsodrásúak; abc < 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben balsodrásúak; abc = bca = cab = −acb = −bac = −cba ; Felcserélési tétel: (a × b) c = a (b × c). Óbudai Egyetem 30 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.4. Koordinátageometria 1.4.1. Bázis, koordináta-rendszer A síkban bármely v vektor egyértelműen felbontható két, nem-párhuzamos (nem-kolline- áris) a, b vektorral párhuzamos összetevőre, azaz előállítható v = αa + βb alakban. Az egyértelmű felbonthatóság azt jelenti, hogy pontosan egy α és egy β konstanst találunk tetszőleges v vektor esetén. Abban az esetben, amikor a v vektor nem párhuzamos az a és b vektorok egyikével sem, a felbonthatóság szemléletesen azt jelenti, hogy a v vektort belefoglaljuk egy olyan paralelogrammába, melynek oldalai az a és b vektorokkal párhuzamosak (lásd az 1.4.12 ábrát). Ha a v vektor például az a vektorral párhuzamos, akkor a b irányú komponense a 0 lesz, azaz β = 0. −0,7b a v b v = 1,6a − 0,7b 1,6a 1.4.12. ábra. Vektorok felbonthatósága síkban A síkban két, nem-párhuzamos vektor bázist alkot, (α; β) a v vektor erre a bázisra vonat- kozó koordinátái. Térben bármely v vektor egyértelműen felbontható három, nem-egysíkú (nem-kompla- náris) a, b, c vektorral párhuzamos összetevőre, azaz előállítható v = αa + βb + γc alakban. Az egyértelmű felbonthatóság itt is azt jelenti, hogy pontosan egy α, egy β és egy γ konstanst találunk tetszőleges v vektor esetén. Abban az esetben, amikor a v vektor nem párhuzamos az a, b és c vektorok egyikével sem, a felbonthatóság szemléletesen azt jelenti, hogy a v vektort belefoglaljuk egy olyan paralelepipedonba, amelynek élei az a, b és c vektorokkal párhuzamosak (lásd az 1.4.13 ábrát). Ha a v vektor például az a vektorral párhuzamos, akkor a b és c irányú komponense a 0 lesz, azaz β = γ = 0. Ha a v vektor például az a és b síkjával párhuzamos, akkor a c irányú komponense a 0 lesz, azaz γ = 0. A térben három, nem-egysíkú vektor bázist alkot, (α; β; γ) a v vektor erre a bázisra vonatkozó koordinátái.  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA c 3,2c b v a −0,8b 2,5a v = 2,5a − 0,8b + 3,2c 1.4.13. ábra. Vektorok felbonthatósága térben A síkban és térben való eligazodáshoz leggyakrabban ún. Descartes-féle koordinátarend- szert használunk. Ennek kezdőpontja a koordinátatengelyek közös pontja (origó). Térben a három tengely páronként merőleges egymásra. A továbbiakban tegyük fel, hogy az x, y és z tengely ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. (z pozitív oldala felől ránézve az xy síkra az x tengelyt pozitív, azaz óramutató járásával ellentétes 180◦ -nál kisebb forgás viszi az y tengelybe.) Síkbeli koordinátarendszer esetén csak két tengelyre van szükségünk (x és y). Mindhárom tengelyen felveszünk egy, a tengely pozitív irányába mutató egységvektort (i, j, k), amelyeket bázisvektornak nevezünk. 1.4.1. Definíció. Ezt a bázist ortonormált bázisnak is szokás nevezni, ahol az orto- előtag a merőlegességre, a -normált utótag pedig a bázisvektorok egységnyi hosszára utal. 1.4.2. Definíció. Az ortonormált bázissal meghatározott rendszert Descartes-féle koor- dináta-rendszernek, az ebben megadott vektor koordinátáit pedig Descartes-féle koordiná- táknak, vagy Descartes-koordinátáknak nevezzük. Ha a = a1 i+a2 j+a3 k akkor az a vektor Descartes-féle koordinátái (a1 ; a2 ; a3 ). j k i i j 1.4.14. ábra. Ortonormált bázis síkban és térben Óbudai Egyetem 32 György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes Neumann János Informatikai Kar 1.4. KOORDINÁTAGEOMETRIA 1.4.2. Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal A következőkben azt adjuk meg, hogy a már megismert műveleteket hogy végezhetjük el, ha a vektorok Descartes-koordinátáikkal adottak. Vektor szorzása skalárral A koordinátáival adott vektorok skalárral való szorzását (1.3.7 definíció) úgy végezzük el, hogy minden koordinátáját megszorozzuk az adott skalárral: λa = λ (a1 i + a2 j + a3 k) = (λa1 ) i + (λa2 ) j + (λa3 ) k, tehát λa = λ (a1 ; a2 ; a3 ) = (λa1 ; λa2 ; λa3 ) 1.4.3. Példa.   a = (3; 6; −2) ⇒ − 23 a = − 92 ; −9; 3 Vektor hossza A Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával belátható, hogy a vektor hosszát (1.3.2. definí- ció) a következőképpen számíthatjuk: q |a| = a21 + a22 + a23 A vektorhossz segítségével könnyen megadhatjuk az adott vektor irányába mutató egy- ségvektort is (1.3.3 definíció): 1.4.4. Példa. q √ a = (3; 6; −2) ⇒ |a| = 32 + 62 + (−2)2 = 49 = 7 a 1 3 6 2   ⇒ a0 = = (3; 6; −2) = ; ;− |a| 7 7 7 7 Vektorok összeadása, kivonása A koordinátáival adott vektorok összeadását, kivonását (1.3.9, 1.3.11 definíciók) koordi- nátánként végezzük el: a ± b = (a1 i + a2 j + a3 k) ± (b1 i + b2 j + b3 k) = = (a1 ± b1 ) i + (a2 ± b2 ) j + (a3 ± b3 ) k, tehát a ± b = (a1 ; a2 ; a3 ) ± (b1 ; b2 ; b3 ) = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) 1.4.5. Példa. a = (3; 6; −2) a + b = (−1; 9; 3) ⇒ b = (−4; 3; 5) a − b = (7; 3; −7) György Anna, Szőke Magdolna, Záborszky Ágnes 33 Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar  1. FEJEZET. LINEÁRIS ALGEBRA ÉS VEKTORGEOMETRIA Két vektor skaláris szorz