Matematika 5 Qozoq (PDF)

Б.Қ. ХАЙДАРОВ MAТEМAТИKA 5 Жалпы орта білім беретін мектептердің 5-сыныбына арналған оқулық Қайта өңделген жəне толықтырылған екінші басылымы Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі бекіткен Tашкент «YANGIYO‘L POLIGR...

Б.Қ. ХАЙДАРОВ MAТEМAТИKA 5 Жалпы орта білім беретін мектептердің 5-сыныбына арналған оқулық Қайта өңделген жəне толықтырылған екінші басылымы Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі бекіткен Tашкент «YANGIYO‘L POLIGRAF SERVIS» 2015  Б.Қ. Хайдаров Математика: Жалпы орта білім беретін мектептердің 5-сыныбына арналған оқулық/ Б.  Хайдаров, – Ташкент: «YANGIYOL POLIGRAF SERVIS» 2015. – 240 б. УДК: 51(075) 372.851 ISBN 978-9943-366-44-2 ББК 22.1я721 Пікір жазғандар – Ж.А. Алимов – физика-математика ғылымдарының докторы, профес­сор; М.М. Тілеумұратов – халық ағарту ісінің үздігі, Хожейлі ауданындағы 70-мектертің жоғары санатты математика оқытушысы; М.М. Шониязова – Ташкент қаласындағы 300-мектептің оқытушысы; И. В. Чернякова – Ташкент қаласындағы 2-мектептің оқытушысы. Қымбатты оқушы! Сен осы оқу жылында да математикамен танысуды жалғастырасың. Математика мыңдаған жылдар бұрын адам қажеттілігінің өнімі ретінде пайда болған. Оның дамуына ұлы бабалары- мыз – шығыстың белгілі ғұламалары, математик ғалымдар үлкен үлес қосқан. Бүгінде ешбір адам математиканы білместен тұрып тұрмысын жақсы дей алмайды. Математика ссған жай есеп-қисапты үйретіп қана қоймастан, ең бастысы – сені логикалық ойлауға, пікірлеуге, өмірлік проблемалардың ең баламалы шешімін табуға көмектеседі, ақылыңды шарықтайды. Қолыңдағы бұл оқулық ізгі мақсаттарыңды жүзеге асыруда саған серік, мінсіз көмекші бо- лады. Одан тек математикаға қатысты мәліметтермен ғана емес, техника, ғылым, қоршаған орта мен күнделікті тұрмысқа қатысты қызықты және пайдалы мәліметтермен танысасың. Бұл мәселелерді түрлі есеп және мысалдармен саған ұсынып отырмыз. Оқулықтағы теориялық мәліметтер, есеп және тапсырмалар төмендегідей белгілермен берілген Ерекше назар аударатын және есте сақ­ – Белсендіретін жаттығулар; – тау қажет теориялық мәлімет пен түсінік- тер; – Сыныпта орындалатын жаттығу- лар; Игерілген білімді бақылауға байла- – нысты тапсырмалар; – Үйде орындалатын жаттығулар; 33. – Ауызша орындалатын жаттығулар; сабақты жақсы игерген оқушы- 11. – Өткендерді қайталау үшін берілген 38. – ларға арналған жаттығулар; жаттығулар; 22. – Өткендерді ауызша қайталауға ар- – Математика тарихына байла- налған жаттығулар; нысты үзінділер мен есептер; бір сабаққа бөлінген жаттығу­ларды – Қызықты математи- – бір-бірінен ажырататын белгі; каға қатысты есептер. Республикалық мақсатты кітап қоры қаржлары есебінен басылды ISBN 978-9943-366-44-2 © Б. Қ. Хайдаров, 2011, 2015. © «Yangiyo‘l poligraf servis», 2011, 2015  МАЗМҰНЫ І тарау. Натурал сандар мен шкалалар 1. Натурал сан түсінігі. Натурал сандардың жазылуы мен оқылуы...............5 2. Кесінді. Кесіндінің ұзындығы. Үшбұрыш.....................................................11 3. Жазықтық, түзу сызық және сəуле.............................................................17 4. Шкалалар жəне координаталар. Сандар сәулесі......................................20 5. Натурал сандарды салыстыру. Үлкен немесе кіші...................................28 6. І тарауға байланысты есептер шығару......................................................32 ІІ тарау. Натурал сандарды қосу және азайту 7. Натурал сандарды қосу және оның қасиеттері.........................................36 8. Натурал сандарды азайту және оның қасиеттері.....................................41 9. Санды және әріпті өрнектер.......................................................................46 10. Қосу және азайту қасиеттерінің әріпті өрнегі...........................................48 11. Теңдеулер..................................................................................................51 12. ІІ тарауға байланысты есептер шығару.................................................57 ІІІ тарау. Натурал сандарды көбейту және бөлу 13. Натурал сандарды көбейту және оның қасиеттері.................................62 14. Натурал сандарды бөлу............................................................................67 15. Қалдықпен бөлу.........................................................................................72 16. Өрнектерді ықшамдау...............................................................................75 17. Натурал сандармен төрт амалға есептер шешу. Амалдарды орындау тәртібі......................................................................81 18. Санның дәрежесі. Санның квадраты мен кубы.......................................85 19. ІІІ тарауға байланысты есептер шығару..................................................88 IV тарау. Аудан және көлем 20. Формулалар...............................................................................................92 21. Аудан. Тік төртбұрыш және квадрат ауданының формуласы................95 22. Ауданның өлшем бірліктері....................................................................100 23. Тік бұрышты параллелепипед және куб................................................103 24. Көлем. Көлемнің өлшем бірліктері. Тік бұрышты параллелепипед өлшемі...................................................108 25. IV тарауға байланысты есептер шығару................................................114 V тарау. Жай бөлшектер 26. Шеңбер және дөңгелек............................................................................117 27. Үлестер. Жай бөлшектер туралы түсінік................................................119 28. Бөлшектерді салыстыру..........................................................................124 29. Дұрыс және бұрыс бөлшектер................................................................128 30. Бірдей бөлімді бөлшектерді қосу мен азайту........................................131 31. Бөлу және бөлшектер..............................................................................136 32. Аралас сандар.........................................................................................139 33. Аралас сандарды қосу және азайту......................................................144 34. V тарауға байланысты есептер шығару................................................151 3 VI тарау. Ондық бөлшектер 35. Ондық бөлшектердің жазылуы мен оқылуы.........................................155 36. Ондық бөлшектерді салыстыру.............................................................160 37. Ондық бөлшектерді қосу және азайту...................................................165 38. Сандардың жуықтау мәні. Сандарды дөңгелектеу..............................170 39. VI тарауға байланысты есептер шығару...............................................175 VI тарау. Ондық бөлшектерді көбейту және бөлу 40. Ондық бөлшектерді натурал сандарға көбейту...................................178 41. Ондық бөлшектерді натурал сандарға бөлу.........................................183 42. Ондық бөлшектерді көбейту..................................................................190 43. Ондық бөлшекке бөлу.............................................................................196 44. Орташа арифметикалық.........................................................................201 45. VII тарауға байланысты есептер шығару............................................. 204 VIII тарау. Пайыздар 46. Пайыздар туралы түсінік.........................................................................208 47. Пайызға қатысты есептер шығару........................................................ 208 48. Бұрыш. Тік және жазық бұрыштар.........................................................212 49. Бұрышты өлшеу. Транспортир...............................................................217 50. Дөңгелек диаграмма жəне оларды құру.............................................. 222 51. VIII тарауға байланысты есептер шығару............................................ 226 ІХ тарау. Қайталау 52. V сыныпта өткендерді қайталауға арналған есептер..........................232 Жауаптар.......................................................................................................237 Оқулық сайтына қош келдің! «Математика 5» оқулығын жетілдіру және ол бойынша сабақ өтуге байланысты әдістемелік материалдарды байытып отыру мақсатында автор арнаулы сайт ашты. Сайттың «Ziyonet» тармағындағы электорнды адресі – matematika5.zn.uz. Автор болашақта бұл сайтты білім жаңалықтары, өзіне тән оқу- әдістемелік материалдар, математикадан үйірме және олимпиадаларға дайындық жасау материалдары, сондай-ақ әдістемелік қызметтер қа­ зынасына айналдыруды мақсат еткен. Сайтта оқулық бойынша пікір–ұсыныстар айту, сабақ өту барысында туындаған сұрақтарға жауап беру, әдістемелік көмек көрсету және оқу­ лықта кездесетін кейбір қате кемшіліктерді түзету мақсатында арнайы «интербелсенді кеңес қызметі» айдары мен тұрақты істеп тұратын құ­ рылған. Автор оқулық сайттағы материалдар туралы, тіпті мектепте мате­ма­ тиканы оқытуға байланысты пікір және ұсыныстарды аса ризалықпен қа­ былдайды. Оларды автордың электорнды адресіне [email protected] жіберуіңіз мүмкін. 4  1 2 3 I II III 4 5 6 IV V VI 7 8 9 VII VIII IX І ТАРАУ. НАТУРАЛ САНДАР ЖӘНЕ ШКАЛАЛАР 1- §. НАТУРАЛ САНДАР ТҮСІНІГІ. НАТУРАЛ САНДАРДЫҢ ЖАЗЫЛУЫ МЕН ОҚЫЛУЫ. 1.1. Натурал сандар қатары Төмендегі суретте екі алма, үш дәптер және он кітап берілген. Сандарды пайдаланып осы заттарды төмендегідей жазуға болады: 2 алма, 3 дәптер, 10 кітап Заттарды санауда қолданылатын сандар натурал сандар деп аталады. Жоғарыда қаралған 2, 3 және 10 сандар – натурал сандар. Кез келген натурал сан он 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 цифрларымен өрнекте- леді. Сандардың былай жазылуы ондық жазу деп аталады. Бұл жағдайда сан ондық санақ жүйесінде жазылған деп те айтылады. 1-ден бастап барша натурал сандарды ретімен жазып шықсақ, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, … көрінісіндегі натурал сандар қатарын аламыз. Натурал сандар қатарындағы 1 ең кіші натурал сан. Кез келген натурал санға 1-ді қоссақ, натурал сандар қатарында одан кейін келетін натурал сан пайда болады. Сондықтан натурал сандар қата- рында ең үлкен сан жоқ. Өйткені ең үлкен сан бар десек оған 1-ді қоссақ одан үлкен санды ала береміз. Натурал сандар қатарындағы шексіз. Сандардың ондық жазуында әрбір цифр оның тұрған орнына байла- нысты болады. Егер 7 цифры жазудың ең соңында тұрған болса 7 бір- лікті, егер соңынан екінші орында тұрған болса 7 ондықты, егер соңынан үшінші орында тұрған болса 7 жүздікті білдіреді. 5  Мысалы, 7 цифры 127 жазуында – 7 бірлікті, 472 жазуында – 7 он- дықты, 780 жазуында – 7 жүздікті білдіреді. 0 цифры өзі тұрған таңбада бірде бір бірлік жоқ екенін білдіреді. Бұл белгі нөл санын өрнектеуде де қолданылады. 0 натурал сан емес. 1.2. Көп таңбалы сандар және олардың оқылуы мен жазылуы Натурал сан жазуы бір белгіден (цифрдан) құралған болса, бұл сан бір таңбалы, екі белгіден (цифрдан) құралса екі таңбалы сан деп ата- лады. Осыған ұқсас натурал сандар жазуындағы белгілер (цифрлар) са- нына қарап, үш таңбалы, төрт таңбалы, бес таңбалы, тағы сол сияқты сандарды айтуға болады. Мысалы 1, 3, 6, 9 – бір таңбалы, 19, 22, 87 – екі таңбалы, 307, 976 – үш таңбалы 6717, 4500 – төрт таңбалы, 20 456, 56 001 – бес таң- балы сандар. Екі және одан көп таңбалы сандар – көп таңбалы сандар деп ата- лады. Көп таңбалы сандарды оқу үшін оларды оң жақтан бастап үш-үш цифрдан топтарға бөледі (ең соңғы топта бір немесе екі цифр болуы да мүмкін). Бұл топтарды кластар деп атайды. Оң жақтағы алғашқы үш цифр бірліктер класын, ал кейінгі үш цифр мыңдықтар класын құрайды. Одан әрі миллиондар, миллиардтар тағы сол сияқты кластар келеді. 1 000 000 – миллион санының жазылуы. Ол қысқаша 1 милл. деп те жазылады. Миллиондар класы – миллиондар, он миллиондар және жүз миллиондар разрядынан құралған. Оларды миллионда класының бірлер, ондар және жүздер разряды деп атаймыз. 1 миллион мың 1000-ға тең болатыны анық. 1 000 000 000 – миллиард санының жазылуы. Ол қысқаша 1 милд. деп те жазылады. 1 миллиард 1000 миллионға тең. 1- мысал. Айталық 29 405 378 613 саны ондық жазу кестесінде жа- зылған болсын. Кестеден көрініп тұрғандай, берілген санның миллиардтар класында 29 бірлік, миллиондар класында 405 бірлік, мыңдар класында 378 бірлік және бірліклер класында 613 бірлік бар. Кластардың аты миллиардтар миллиондар мыңдар бірліктер ондықтар ондықтар ондықтар ондықтар бiрлiктер бiрлiктер бiрлiктер бiрлiктер жүздiктер жүздiктер жүздiктер жүздiктер Разрядтар I Сан 2 9 4 0 5 3 7 8 6 1 3 Оқылуы: 29 миллиард 405 миллион 378 мың 613 6  Санды оқу үшін солдан оңға қарай санның әрбір класындағы бірліктер санына сол класс атын қосып кезегімен айтып шығады. Ең соңғы бірліктер класының аты оқылмайды. Егер кластың әр үш разрядында 0 тұрған болса, бұл кластың аты да оқылмайды. 29 405 678 613 саны – 2 он миллиард, 9 бір миллиард, 4 жүз миллион, 5 бір миллион, 3 жүз мың, 7 он мың, 8 бір мың, 6 жүз, 3 бірліктен құралған. 2- мысал. Ондық жазу кестесінде жазылған төмендегі сандар мыңдар кла- сы тек нөлдерден құралған. Сондықтан санды оқуда бұл сыныптьң аты оқылмайды. Кластардың аты миллиардтар миллиондар мыңдар бірліктер жүздiктер жүздiктер жүздiктер жүздiктер ондықтар ондықтар ондықтар ондықтар бiрлiктер бiрлiктер бiрлiктер бiрлiктер Разрядтар I Сан 2 4 7 1 0 8 0 0 0 3 9 4 Оқылуы: 247 миллиард 108 миллион 394 Сандар ондық жазу кестесін пайдаланбай оқылғанда төмендегіше бо- лады: Берілген сан алдымен топтарға ажыратылады және топтар арасында біраз орын тастап, қайта жазып шығады. Сосын жоғарыдағы ереже бой- ынша оқылады. 3- мысал. 373612400026 саны берілген болса, алдымен ол 373 612 400 026 көрінісінде қайта жазылып, кластарға ажыратылады және үш жүз жетпіс үш миллиард алты жүз он екі миллион төрт жүз мың жиырма алты деп оқылады. 4- мысал. Енді он екі миллиард алты жүз сенксен тоғыз мың екі санын цифрлармен жазайық. Ол үшін де ондық жазу кестесін пайдаланамыз. Солдан оңға қарай миллиардтар класына 12-ні, миллиондар класына 000-ді, мыңдар класына 689-ді, бірліктер класына болса 002-ні жазамыз. Онда миллиондар класының аты оқылмаған болса да, оған үш 0-ді жаз- дық. Сол сияқты бірліктер класындағы жүздіктер мен ондықтар разряды- ның аты оқылмаса да бұл разрядқа да 0-ді жазып қойдық. Нәтижеде 12 000 689 002 жазуы шықты. Сұрақтарға жауап бер! 1. Сандарды жазуда неше цифр қолданылды? Оларды айт. 2. Қандай сандар натурал сандар деп аталады? 3. Натурал сандар қатарының қасиеттерін айт. 4. Көп таңбалы сандар қалайша кластарға бөлінеді? 5. Қандай кластардың атын білесің? 6. Көп таңбалы сандар қалай оқылады? 7  Сыныпта орындалатын жаттығулар 1. a) 999 санынан кейін келетін; ә) 100 санынан бұрын келетін; б)13 400 санынан бұрын келетін; в) 90 999 санынан кейін келетін; г) 8000 са- нынан біреуге кем; ғ) 3 299 999 санынан біреуге көп натурал санды айт. 2. Сондай сандарды жаз, онда төмендегі разряд бірліктері болсын: a) 5 жүздік 2 ондық 4 бірлік; ә) 6 жүздік 0 ондық 2 бірлік: б) 8 мың 3 жүздік 2 ондық 7 бірлік; в) 3 бірлік 2 ондық 9 жүздік 1 мың; г) 2 жүздік 3 бірлік 4 мың 0 он; ғ) 4 ондық 6 мың 0 бірлік 3 жүздік. 3. Сандарды ондық жазу кестесіне орналастыр және оқы: a) 2 402 358; ә) 58 082 743; б) 102 812 443; в) 252 700 824 301; г) 412 000 627; ғ) 24 000 003; д) 123 240 000; е) 908 100 006 721. Үлгі: Жоғарыда қарастырылған 1, 2, 3– мысалдар. 4. Сандарды оқы: млрд млн мың бир a) 234 509 234 179; ә) 490 324 800; б) 3 392 000 671; в) 234 000 999 000. 5. Сандарды кластарға ажыратып жаз және оқы: a) 24308512604; ә) 103492001320; б) 600210334000; в) 191000054407. Үлгі: Жоғарыда қарастырылған 3- мысал. 6. Төрт таңбылы, бес таңбалы және алты таңбалы сандарды сөзбен қағазға жаз және оны жаныңда отырған сыныптасыңмен алмас. Сөзбен жазылған сандарды цифрмен жаз және қағазды сынып- тасыңа қайтар. Сыныптасың тапсырманы қалай орындағанын тек- сер. 7. Амалдарды орындау тәртібін айт және ауызша орында: a) 3420 – 40 : 2; ә) (4532 + 8) : (99 998 – 99 997); б) 200 · 10 : 5; в) (200 – 199) · (400 + 1200 : 2). 8. Әмударияның ұзындығы 2540 км. Сырдария оған қарағанда 479 км ұзын. Сырдарияның ұзындығын тап. 9. Нұралы шопанда 123, Шералы шопанда одан 45 көп қой бар. Екі шо- панда барлығы неше қой бар? 10. Цифрмен жаз: a) 453 мың; ә) 23 млн; б) 102 млрд; в) 12 млрд 203 млн 2 мың. 11. Сандарды ондық жазу кестесін пайдаланып цифрмен жаз: а) елу үш; ә) үш мың төрт жүз қырық бір; б)он екі миллион отыз мың сексен бес; в) бір миллиард үш жүз төрт мың алпыс; г) төрт жүз оттыз миллиард тоқсан миллион; ғ) алты жүз елу миллиард жүз миллион екі жүз үш мың жеті. 8 12. Мәтінді оқы. Ондағы сандарды жаз. Әрбір санның неше разрядты екенін анықта. Менің Отаным – Өзбекстан Республикасы. Оның жер көлемі – 448 900 шаршы километр. 2015 жылы еліміздің тұрғындары 30 миллион 622 мың адамға жетті. Елімізде жүргізіліп жатқан жасампаздық істердің нәтиже- сінде ауылдарда да қаладағыдан қалыспайтын тұрмыстық жағдай жаса- луда. 2014 жылы ауылдарда заманалық 11000 үй құрылды. 13. a) Жүзде неше он бар? ә) мыңда неше жүз бар? б) мыңда неше он бар? в) миллионда неше мың бар? г) миллионда неше жүз бар? ғ) миллионда неше он бар? 14. 4 цифрын жеті рет жаз. Пайда болған санды оқы. Сан жазуына қатысқан әрбір 4 цифры нені білдіреді? 15. 149 санын қатарынан а) 2 рет; ә) 3 рет; б) 4 рет жаз және пайда болған сандарды оқы. 16. Оқы: a) жер экваторының ұзындығы 40 075 696 м (суретке қара); ә) Жерден Күнге дейін 149 597 900 000 м; б) Жай жыл 365 күн болып, ол 31 557 600 се- кундқа тең; в) 2015 жылы Жер жүзінің тұрғындары 7 мил- лиард 262 млн 820 мың 503 адамнан асып кетеді. Үйде орындалатын есептер 17. Натурал сандар қатарында 157 998 санынан кейін келетін; ә) 1 001 002 са­ нынан бұрын келетін ретімен келетін 3 натурал санды жаз және оқы. 18. Сондай сандарды жаз онда төмендегі разряд бірліктері болсын: а) 3 жүздік 9 ондық 2 бірлік; ә) 3 жүздік 3 бірлік 7 мың 0 ондық; б) 7 ондық 9 мың 5 бірлік 0 жүздік; в) 8 мың 3 жүздік 2 бірлік 3 ондық. 19. Сандарды ондық жазу кестесіне орналастыр және оқы: 3 701 234; 370 102 812; 12 374 120 006; 603 400 003 497; 80 005 400. 20. Сандарды алдымен кластарға ажырат және оқы: 12630824504; 920103134020; 346006503000; 165910040509. 21. Амалдарды орындау тәртібін айт және есепте: a) 54 : 27 + 90 : 30; ә) (537 + 63) : 100; б) 400 · 14 : 7; в) (2345 + 4571) · (400 – 800 : 2). 9 22. Қаладан Абат ауылына дейін 23 км, ол Азат аулына дейінгі жолдан 4 км ұзын. Азат аулына дейінгі жол неше км? 23. 51. санын қатарластыра а) 2 рет; ә) 3 рет; б) 4 рет жаз. Пайда болған сан- дарды оқы жəне сөзбен жаз. 24. Сандарды цифрмен жаз: а) он үш мың алты жүз алпыс екі; ә) жиырма үш миллион жетпіс екі мың отыз төрт; б) екі миллиард бес жүз үш мың алпыс бір; в) жеті жүз сексен миллиард төрт жүз миллион бір жүз жеті мың алты. 25. a) 12 312 123; ә) 33 333 333; б) 202 042 004 саны неше таңбалы? Ол неше белгімен жазылады? Жазғанда неше түрлі цифр қолданы- лады? 26. 531 020, 2 140 530, 909 444 129 008, 2 850 003, 73 302 100, 12 326 751 074, 93 405 002 сандарын сөзбен жаз және олардың неше разрядты екенін айт. 27. 20, 202, 2020,... сандарының реті қандай ереже бойынша жазылған? Одан кейінгі 3 мүшені жаз және оқы. Математика тарихына қатысты үзінділер Қазіргі кезде кең тараған: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 цифрлары «араб цифрлары» деп аталса да, негізінен олардың шығуы үнділерге саяды. Гәп мынада, бұл цифрларды арабтар үнділерден алған. 1120 жылға келіп ағылшын философы Аделард бабамыз әл-Хорезмидің араб тілінде жа- зылған кестелерін ағылшын тіліне тәржімелеген. Сол-сол бұл цифрлар Еуропада «араб цифрлары» деп қолданыла бастаған. 1600 жылға келіп, бұл цифрлар әлемнің көптеген мемлекеттеріна тараған. Қызықты математикаға қатысты есептер 1-ден 99-ға дейінгі натурал сандар ретімен жазылып, ұзыннан-ұзын үлкен сан пайда болды. Бұл санда 1 цифры неше рет жазылған? 2 циф- ры ше? 10  2- §. КЕСІНДІ. КЕСІНДІНІҢ ҰЗЫНДЫҒЫ. ҮШБҰРЫШ 2.1. Кесінді Нүкте ең қарапайым геометриялық пішін. Оны бейнелеу үшін дәптерге қаламның ұшын тигізсек жеткілікті (1- сурет). Нүктелер үлкен латын әрпімен белгіленеді. 2- суретте А, В, C, D нүктелер берілген. C B F C E A A B G A D D 1- сурет 2- сурет 3- сурет 4- сурет Дәптеріңе А және B нүктелерін белгіле, оларды сызғыштың көмегімен тұтастырсаң АВ кесінді пайда болады (3-сурет). Оны ВА кесінді деп белгіле- уге болады. А және B нүктелер АВ кесіндінің ұштары деп аталады. Кез келген екі нүктені тек бір кесіндімен тұтастыру мүмкін. 4-суретте CD кесінді берілген. E нүкте осы кесіндіге тиісті және ол C және D нүктелер арасында жатады. F және G нүктелер болса бұл кесін- діге тиісті емес. Кесінділерді циркульдің көмегімен 5–6-суреттегідей салыстыруға бо- лады. 5-суреттегі АВ және MK кесінділер тең болады және бұл АВ = MK түрінде жазылады. 6-суретте берілген АВ кесінді MK кесіндінің бөлігінен құралған. Сон- дықтан АВ кесінді MK кесіндіден қысқа, MK кесінді болса АВ кесіндіден ұзын. M M M M K A K A K A K A B B B B 5- сурет 6- сурет 2.2. Кесіндінің ұзындығы. Үшбұрыш Әрбір кесінді белгілі ұзындыққа ие. 7-суретте үш кесінді берілген. Бірінші AB кесіндінің ұзындығы 1 см-ге тең. AB кесінді MN кесіндіге үш рет, EF кесіндіге болса 4 рет орналасады. 11 Сондықта MN кесіндінің ұзындығы 3 см-ге, EF кесіндінің ұзындығы болса 4 см-ге тең деп айтамыз және MN = 3 см, EF = 4 см деп жазамыз. MN және EF кесінділердің ұзындығын 1 сантиметрлік бірлік кесінділердің көмегімен, яғни сантиметрде өлшедік. Кесінділердің ұзындығын басқа өлшем бірліктері: миллиметрмен, дециметрмен, километрмен де өлшеуге болады. 8-суретте берілген CD кесіндінің ұзындығы 17 мм-ге тең. Әдетте кесіндінің ұзындығы сызғышпен өлшенеді. Сонымен қатар белгілі бір ұзындыққа ие кесінділер салуда да сызғышты қолданады. 9-суретте ұзындығы 23 мм-ге тең EF кесінді сызу үдерісі көрсетілген. A B M N С D E F E F 0 1 2 0 1 2 3 7- сурет 8- сурет 9- сурет Кесіндінің ұзындығын өлшеу – оған бірлік кесінді неше рет орналасатынын анықтау дегені. Ұзындық өлшем бірліктерінің арасында мынадай қатынас бар: 1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см, 1 дм = 100 мм, 1 м = 10 дм, 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м. 10-суретте берілген AB кесіндіде алынған C нүкте B оны АС және СВ бөлікке бөледі. Олай болса АВ кесіндінің ұзындығы оның бөлігі – АС және СВ кесінділерінің қосын- C дысынан құралған болады және ол АВ = АС +СВ түрінде жазылады. A 10- сурет Кесінді оның ұштарын біріктіретін кез келген сызықтан қысқа болады. AB кесіндінің ұзындығы А және В нүктелер арасындағы қашықтық деп те айтылады. Бёр түзу сызықта жатпайтын A, B және C нүктелерді дәптерге белгілеп, оларды кесінділермен тұтастырып шықсақ, үшбұрыш пайда болады және ол “ABC ұшбұрыш” ретінде өрнектеледі. A, B және C нүктелер ABC үшбұрыштың төбелері, AB, BC, AC кесінділер оның қабырғалары деп аталады. Үшбұрыштың қабырғалары ұзындығының қосындысы үшбұрыштың пе- риметрі деп аталады. Үшбұрыш қабырғалары ұзындығының қосындысы үшбұрыштың пери- метрі деп аталады. 12-суретте MNLK төртбұрыш берілген. M, N, L және K нүктелер төрт- бұрыштың төбелері, MN, NL, LK және KM кесінділер оның қабырғалары. 12  B R L N Q S A M C K P T 11- сурет 12- сурет 13- сурет Төртбұрыштың периметрі оның барлық қабырғаларының қосындысына тең. 13-суретте PQRST бесбұрыш берілген. Үшбұрыш, төртбұрыш, бесбұрыш, тағы сол сияқты формалар ортақ ат- пен көпбұрыштар деп аталды. Сұрақтарға жауап бер 1. Кесінді қалай сызылады? 2. A және B нүктелерді неше кесіндімен тұтастыруға болады? 3. Екі кесіндіні бір-бірімен қалай салыстырады? 4. Кесіндінің ұзындығы қалай өлшенеді? 5. Қандай ұзындық өлшемдерін білесің? 6. Үшбұрыш қалай сызылады? 7. Көпбұрыштардың периметрін қалай табады? Сыныпта орындалатын жаттығулар 28. Дәптерің екі нүкте сыз. Оларды Р және Q нүктелермен белгіле және сыз­ ғыштың көмегімен тұтастыр. Пайда болған кесіндіні жаз. 29. 14-суретте берілген барлық кесінділерді айт. a) ә) N A B C D 14- сурет M K L 30. 15-суреттегі қайсы нүктелер CD кесіндіге тиісті? Қайсы нүктелер бұл кесіндіге тиісті емес? CD кесіндідегі K нүкте қайсы нүктелер арасында жатады. 31. 16-суреттегі KL кесіндіні циркульдің көмегімен қалған кесінділермен салыс­тыр. Бұл кесінді қайсы кесінділерден ұзын? Қайсы кесінділерден қысқа? L D B A M N M N C D K L K E С 15- сурет 16- сурет 13 32. 16-суреттегі AB кесіндіні бірлік кесінді (яғни ұзындығы 1-ге тең) деп алып, қалған кесінділердің ұзындықтарын циркульмен тап. 33. Амалдарды орында: a) 1420 – 40 : 2; ә) (232 + 8) : 10 +124; б) 121 : 11 + 12 · 10; в) (203 – 199) · 100 + 120 : 2. 34. 3 цифры қатысқан барлық екі таңбалы сандарды жаз. 35. Қоймада 345 т картоп бар еді. Бірінші аптада 27 т, екінші аптада біріінші аптадағыға қарағанда 8 т кем картоп сатуға шығарылды. Қоймада неше тонна картоп қалды? 36. Схема негізінде төмендегі сұрақтарға жауап бер: 1 км 1м 1 дм 1 см 1 мм 1000 10 10 10 a) 1 сантиметр неше миллиметр? ə) 1 дециметр неше сантиметр? б) 1 метр неше миллиметр? в) 1 километр неше дециметр? 37. Сантиметрде өрнекте: a) 5 дм 8 см; ә) 3 дм 3 см; б) 23 дм 8 см; в) 11 дс 4 см. Үлгі: 6 дм 2 см = 60 см + 2 см = 62 см. 38. Дециметр және сантиметрде өрнекте: a) 23 см; ә) 63 см; б) 39 см; в) 214 см. Үлгі: 78 см = 70 см + 8 см = 7 дм 8 см. 39. Ауызша есепте: a) 16 + 77; ә) 58 – 26; б) 55 + 35; в) 35 + 39; г) 4 · 202; ғ) 100 · 600; д) 205 : 5; и) 444 : 6. 40. Қадишаның 2500 сум ақшасы бар еді. Ол 500 сумға дәптер және 600 сумға балмұздақ сатып алды. Қадиша неше сум ақша жұмсаған? Оның қанша ақшасы қалды? 41. Үйден кинотеатрға дейін 1200 м, мектепке дейін 850 м. Үйден мектепке дейінгі қашықтық кинотеатрға дейінгі қашықтықтан неше метр қысқа? 42. Төмендегі кесінділердің ұзындығын сызғышпен өлше. a) ә) б) в) 43. Суретте берілген AB кесіндінің ұзындығын тап. 23 мм 18 мм AB кесіндінің ұзындығын сызғышпен өлшеп нәтижесін тексер. A C B 44. AB кесінді C және D нүктелер қатарынан келген AС, CD және DB бөліктерге бөлінеді. Егер AС кесіндінің ұзындығы 21 мм, CD кесінді AС кесіндіден 6 мм ұзын, DB кесінді болса CD -дан 7 мм қысқа болса, AB кесіндінің ұзындығын тап. 14 45. Практикалық жаттығу. а) Сызғышпен дәп- тердің, кітаптың және партаның ұзындығы мен енін өлше; ә) Сызғышпен қарысыңның ұзын- дығын 17-суретте көрсетілгендей өлше. Қарысыңның ұзындығын есіңде сақта. 46. Дәптеріңе үшбұрыш сал және оны белгіле. Оның төбелері мен қабырғаларын сәйкес белгілермен жаз. Үшбұрыш қабырғаларының ұзындығын сызғышпен өлше және оның пери- метрін тап. 17-сурет 47. Көпбұырштарды дәптеріңе сал және белгіле. Сызғыштың көмегімен олар- дың ұзындығын миллиметрмен өлше және периметрін тап. a) ә) б) в) 48. Амалдарды орында: a) (3568 + 232) : 2; ә) (592+ 8) :12; б) 21 · 12 –135; в) 19 · 41+ 312. 49. 72 км 108 км 6 сағатта Қанша уақытта? Үйде орындалатын есептер 50. AB кесінді сал. Оған тиісті C және D нүктелерді белгіле. Бұл нүктелер AB кесіндіні қандай кесінділерге бөледі? 51. A, В, С, D және О нүктелерді дәптеріңе белгіле. О нүктені қалған нүкте- лердің әрқайсысымен кесінділердің көмегімен біріктір. Пайда болған кесінділерді сәйкесінше жаз. 52. Суретте берілген кесінділердің арасынан ең ұзыны мен ең қысқасын циркульдің көмегімен анықта. MN кесінді қайсы кесінділерден ұзын және қайсы кесінділерден қысқа екенін анықта. B C K L D M E A N F 53. 36-суреттегі схема бойынша төмендегі сұрақтарға жауап бер: а) 10 сантиметр неше миллиметр? ә) 5 дециметр неше миллиметр? б) 6 метр неше дециметр? в) 2 километр неше миллиметр? 54. Миллиметрмен өрнекте: a) 5 см 9 мм; ә) 4 дм 6 см 7 мм; б) 9 дм 2 см. 15 55. Сантиметр және миллиметрмен өрнекте: a) 438 мм; ә) 907 мм; б) 223 мм; в) 768 мм. 56. AB кесіндіні C нүкте AС және СВ бөліктерге бөледі. Егер AС кесіндінің ұзындығы 56 см болып, ол СВ кесіндіден 23 см қысқа болса, AB кесін- дінің ұзындығын тап. 57. AС кесіндіні C және D нүктелер қатарынан келген AС , CD және DB бөлік- терге бөледі. Егер AС кесіндінің ұзындығы 34 мм, CD кесінді AС кесінді- ден 12 мм қысқа, DB кесінді болса АD -дан 25 мм қысқа болса, AB кесін- дінің ұзындығын тап. 58. ABС үшбұрышта а) AB = 12 см, BС = 32 см, AС = 28 см; ә) AB = 5 дм, BС = 3 дм, AС = 4 дм; б) AB = 43 мм, BС = 5 см, AС = 38 мм болса, оның периметрін тап. Математика тарихына қатысты үзінділер Елімізде ежелден қолданылып келген өлшем бірліктері Орта Азия аумағында түрлі өлшем бірліктері қолданылған. Қазір бұл өлшем бірліктері ескіріп, дерлік қолданылмай қойған. Солай болса да қарттардың тілінде, тарихи кітаптарда және әдеби шығармаларда бұл өлшем бірліктері кездесіп қалады. Мысалы, Захириддин Мұхаммед Бабырдың «Бобурнома» еңбегінде. және түрлі елдердің өлшем бірліктері келтірілген. Олардың кейбіреулері және олардың қазіргі өлшем бірліктеріндегі мәнімен таныс: Ұзындық өлшем бірліктері ретінде қадам (шамаман 70–75 см), қарыс (19–22 см), құлаш (166–170 см), бармақ (2 см), тірсек (50–80 см), газ (70 см), шақырым (900 м), иін (8 км), қары (55 м) және жұдырық (8 см) сияқты- лар қолданылған Массаны өлшеу үшін мысқал (шамамен 4г), қадақ (410 г), пұд (16 кг 380 г), батпан (163 кг 800г) секілді бірліктер қолданылған. Қызықты математикаға қатысты есептер Өз көзіңе сенесің бе? Төменде берілген кесінділердің жұбын көзбен шамалап салыстыр. Олар- дың қайсысы ұзын? Енді бұл кесінділердің ұзындығын сызғышпен өлшеп салыстыр. Сонымен қорытынды қандай болды? Солай, әрқашан көзге сене бермеу керек! a) ә) в) 16  3- §. ЖАЗЫҚТЫҚ. ТҮЗУ СЫЗЫҚ ЖӘНЕ СӘУЛЕ Дәптерге өте ұзын кесінділерді сызудың мүмкіндігі жоқ. Ол үшін сызы­ латын кесіндінің үлкендігіне қарай дәптердің өлшемі мектептегі тақтаның, еденнің, қабырғаның немесе футбол алаңының үлкендігіндей болуы керек. Айтылған бұл беттердің барлығының шекарасы бар, оларды біз тек жазықтықтың белгілі бір бөлігі ретінде көреміз. Жазықтықтың шекарасы жоқ ол шексіз. Сондықтан оны тек ойша көз алдымызға келтіреміз. Жазықтықта кез келген кесіндіні сызуға, оны сызғыштың көмегімен екі жағына қарай жалғастыруға болады. Жазықтықта AB кесінді берілген болсын. Оны сызғыштың көмегімен екі ұшынан қалағынымызша жалғастырамыз. Нәтижеде түзу сызық сызамыз (1-сурет). Ол «AB түзу сызық» немесе «BA түзу сызық» секілді белгіленеді. Түзу сызықтың шегі жоқ. Ол екі ұшы жаққа шексіз жалғаса береді. C B B M A A D 1-сурет 2-сурет Жазықтықта А және В нүктелер берілген болсын (1-сурет). Сызғыштың көмегімен осы нүктелерден өтетін түзу сызық өткіземіз. Осы нүктелерден тағы бір түзу сызық өткізуге болмайды. Кез келген екі нүкте арқылы тек бір түзу сызық жүргізуге болады. Егер екі түзу сызықтың ортақ нүктесі болса, олар осы нүктеде қиылысады дейіледі (2-сурет). М нүкте AB және CD түзулерінің қиылысу нүктесі болады. AB кесінді сызып, оны тек бір ұшына (мысалы O нүкте) қарайсызғышпен қалағанымызша жалғастырамыз. Нәтижеде, сәуле пайда болады. Мұнда O нүкте сәуленің ұшы (басы) дейіледі. B B O A A 3- сурет 4- сурет Сәуленің шегі жоқ. 17 4-суреттегі сәуле бас латын әріптерімен АВ түрінде белгіленеді және «АВ сәыле» деп оқылады, Мұнда сәуленің ұшы белгіленген А әрпі бірінші жазылады жəне оқылады. Сұрақтарға жауап бер 1. Жазықтық туралы түсінік беретін бірнеше затты ата. 2. Түзу сызықтың шегі бар ма? 3. Екі нүктеден неше түзу өткізуге болады? 4. Екі түзу сызық қашан бір-бірімен қиылысады? 5. CD түзу сызықта алынған О сәуле оны қандай сәулелерге бөледі? Сыныпта орындалатын жаттығулар 59. 5-суретте берілген нүктелердің қайсылары а) AB кесіндіде; ә) AB түзу сы- зықта жатады; б) Қайсылары AB кесіндіде жатпайды? C B A M A B C N D O E 5- сурет 6- сурет 60. Дәптеріңе МN кесінді сыз. MN кесіндіні екі жағына қарай жалғастыр. MN түзу сызықта жатқан A, B және жатпаған С, D нүктелерді белгіле. Пайда болған түзу сызықты тағы да қалай белгілеуге болады? 61. 6-суретте берілген барлық түзу сызық пен сәулелерді айт. 62. 7-суретте берілген AB, CD және ОЕ сәулелердің қайсысы өзара қиылыса- ды? Қайсылары өзара қиылыспайды? С D С E B A B O A D 7- сурет 8- сурет 63. 8-суретте берілген фигуралар өзара қиылыса ма? а) AB және CD кесінділер; ә) AB және DC сәулелер; б) AB кесінді және DC сәуле; в) AB сәуле және CD кесінді; г) AB түзу сызық және DC сәуле; ғ) AB түзу сызық және CD түзу сызық. 64. Қиылысатын екі түзу сызық жазықтықты неше бөлікке бөледі? 65. Дәптеріңе РQR үшбұрыш сыз. РQ, QR және RР түзу сызықтар жазықтықты неше бөлікке бөледі? 66 Метр, дециметр және сантиметрлерде өрнекте: a) 223 см; ә) 1852 см; б) 59 см; в) 3783 см. 18  Үйде орындалатын есептер 67. 9-суретте берілген барлық түзу сызық және сәулелерді жаз. 3м 37 41 3 м A C D B 598 m 9-сурет 10-сурет 68. М нүктені белгіле. MN және МL сәулені сал. Бұл сәулелердің ұшы қайсы нүкте болады? 69. Бір-бірімен қиылысатын үш түзу сызық сал. Олар жазықтықтың көбімен неше бөлікке бөледі? 70. 10-суретте берілген үшбұрыш формасындағы жер алаңын екі қатар сым- мен қоршау үшін неше метр сым қажет? Математика тарихына қатысты үзінділер Англияда көптеген жыл ұзындық дюйм өлшем бірлігі ретінде дюйм және фут қолданылған. 1 дюйм шамамен 25 мм-ге тең болып, оның аты ағылшын- ша бас бармақ буынының атынан алынған. Фут болса, табан дегеннен фут шыққан болып, шамамен 30 см 5мм- ге тең деп алынған. 1 фут = 12 дюйм. Қазірде бұл өл- шем бірлігі кей кездері қолданылады. Мысалы, теледидар, компьютер, но- утбук, қол телефоны, iPad (айпед), іРоd (айпод), смартфондар монито- ры диогоналының өлшемі дюйммен өлшенеді. Қызықты математикаға қатысты есептер Төмендегі тапсырмаларда орнада, жақшаның ішіне жазылған сан екі шетте тұрған сандардан белгілі арифметикалық амалдардың көмегімен пайда болған. «?» белгісінің орнына түсіріп қалдырылған санды жаз: a) 42 (47) 5 ә) 6 (66) 11 б) 36 (25) 11 в) 48 ( 4 ) 12 31 ( ? ) 8 5 ( ? ) 12 48 ( ? ) 12 100 ( ? ) 5 19  4- §. ШКАЛАЛАР ЖӘНЕ КООРДИНАТАЛАР. САНДАР СӘУЛЕСІ 4.1. Шкалалар Ағаштан жасалған жазық тегіс рейкамен А және В нүктелерді тұтасты- руға болады (1.а-сурет). Бірақ онымен кесіндінің ұзындығын өлшей алмай- сың. Ол үшін аспапты біраз жетілдіреміз. Оның жоғарғы шетіне әр бір сантиметрден кейін тік сызықтар сызып шығамыз (1.ә-сурет). Сызықтардың астына 0-ден бастап 1, 2, 3, тағы сол сияқты сандарды ретімен жазып шығамыз. Нәтижеде сызықша және сандардан құралған шкаланы аламыз.Оны рейкаға бір бөлмесінің мәні (ұзындығы) 1 см шкала түсірілген дейді. а) A B ә) A B б) 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1- сурет Жай сызғышты алып қарайтын болсақ (1.б-сурет), оған бөлмесінің мәні (ұзындығы) 1 мм шкала түрірілген. Күнделікті тұрмыста түрлі шкалаларды көреміз. Мысалы, бөлмесінің мәні 1 минут болған сағат шкаласы (2.а-сурет). ә) б) в) a) 2- сурет 2.ә- суретте берілген температура өлшейтін аспап – термометр шкала- сы 40 бөлмеден құралған болып, ол Сельций шкаласы деп аталады. Оның әрбір бөлмесі 1 градусты (1° С) өрнектейді. Термометр 25° С-ді көрсетіп тұр. 2.б- суретте берілген таразының шкаласына қарап алманың массасы 2 кг 700 г екенін анықтауға болады. 2.в- суретте бейнеленген таразының шкаласына қарап 3 алманың мас- сасы 700 грамм (г) екенін анықтауға болады. 20  Массаның килограмм (кг), тонна (т), центнер (ц) сияқты өлшем бірліктері де бар, олар бір-бірімен төмендегі теңдіктермен байланысқан: 1 кг = 1000 г, 1 ц = 100 кг, 1 т = 1000 кг. 4.2. Сандар сәулесі Басы О нүктеде болатын, солдан оңға қарай горизонталь ОХ сәуле сы- замыз (3-сурет). Бұл бағытты сәуле бейнесінің оң жағына қойылған стрелка көрсетіп тұр. Бұл сәуледен бір Е нүктені белгілейміз. Пайда болған ОЕ кесін- діні бірлік кесінді ретінде аламыз. Сәуленің басы О нүктенің астына 0 санын, Е нүктенің астына 1 санын жазамыз. Мұндай жағдайда, Е нүкте OX сәулесінде 1 санын бейнелейді. O E A B X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3- сурет ОХ сәуледе 2 санын бейнелеу үшін сәулеге бірлік кесіндіні О нүктеден қатарынан екі рет қоямыз. Пайда болған A нүкте сәуледе 2 санын бейнелей- ді. Егер сәуле басынан бірлік кесіндіні үш рет қатарынан қойсақ, 3 санының сәуледегі бейнесі – B нүктені аламыз тағы сол сияқты. Сәуленің соңы болмағандықтан кез келген натурал сандарды сәулеге жоғарыдағы әдісті пайдаланып бейнелеуге болады. Нәтижеде шексіз шка- ланы аламыз. Бұл шкала сандар сәулесі немесе координаталар сәулесі деп аталады. О, Е, A, B нүктелерге сәйкес келген 0, 1, 2, 3 сандары бұл нүктелердің координаталары деп аталады және О (0), Е (1), A (2), B (3) түрінде жазамыз. Көріп тұрғанымыздай стрелка бойымен нүктелердің координаталары артып отырады және керісінше стрелкаға қарам-қарсы бағытта нүктелердің координаталары кемейіп отырады. Сандар сәулесінде кез келген натурал сан нүктемен бейнеленіп, өзінің белгілі орнына ие болады. 4.3. Бағанды дииаграммалар Шкалалардан баған формасындағы диаграммаларды құруда да пайда- ланады. Бағанды диаграммалар түрлі мәліметтерді өзара салыстыру және көрмелі бейнелеуде қолданады. Мысал. Кестеде берілген мәліметте негізінде бағанды диаграмма құр. Үздік оқушылар туралы мәлімет Сыныптар 5-«A» 5-«Б» 5-«Д» Үздік оқушылар саны 8 6 5 21  Құру: Диаграмманы үш бағанды етіп құрамыз: Бұл бағандар – 5-«А», 5-«Б» жəне 5-«Д» сыныптағы үздік оқушылар санын анықтасын. Үздік оқушы- лар санын көрсететін шкаланы тік сызамыз. Үздік оқушылар санын ескеріп, бойы сәйкес биіктікке ие тік төртбұрыш формасындағы бағандарды шкала жанына ретімен сызамыз. Пайда болған форма (4-сурет) – үздік оқушылар санын көрмелі етіп бейнелейтін бағанды диаграммадан құралады. Кейде бағандар орнына тиісті форма немесе суреттерді де қоюға бола- ды. 8 Үздік оқушылар саны 7 6 5 4 3 2 1 0 5- «A» 5- «Б» 5- «Д» 4- сурет Сұрақтарға жауап бер 1. Сызғыштың шкаласы нелерден құралған? 2. Шкалалы өлшеу аспаптарына мысал келтір. 3. Сандар сәулесі қалай құрылады? 4. Нүктенің сандар сәулесіндегі координатасы қалай анықталады? Сыныпта орындалатын жаттығулар 71. 2-суретте берілген аспаптардың көмегімен қандай шамалар өлшенеді? Әрбір аспаптың бір бөлмесінің мәні неге тең? Өлшеніп жатқан шамалар- дың мәнін тап. 72. 5-суреттегі термометрлер қандай температураны көрсетіп тұр? a) ә) б) в) 5- сурет 22 73. 6-суреттегі автомобиль спидометрі шкаласының бөлмесінің мәнін анықта. Спидометрдің көмегімен не өлшенеді? Олар нені көрсетеді? a) ә) б) 6- сурет 74. Төмендегі шкалалардың бір бөлмесінің мәнін тап: a) 0 8 16 24 32 40 ә) 0 100 200 300 400 500 б) 0 15 30 45 60 90 75. Суретте берілген телефон, жанармай құю орны, медициналық жәрдем пункті, асхана, демалыс орны мен қонақүй жолдың қайсы километрінде орналасқанын анықтап сәйкес нүктелер координаталарын жаз. 76. Сандар сәулесі бөлмесінің мәнін тап. Белгіленген нүктелерге қайсы сан- дар сәйкес келетінін анықта және сәйкес координаталарын жаз. A B C D E X a) 0 2 4 6 8 A B C D X ә) 0 90 180 270 77. Бірлік кесіндінің ұзындығын 1 см деп алып, сандар сәулесін сыз. Онда координаталары 2; 4; 7 және 12 болған нүктелерді белгіле. 78. Грамда өрнекте: a) 2 кг 453 г; ә) 1 кг 810 г; б) 2 ц 20 кг 349 г; в) 5 ц 14 кг 25 г. 79. Килограмм және грамдарда өрнекте: a) 7532 г; ә) 2350 г; б) 52 345 г; в) 127 532 г. 23 80. Центнер және килограмдарда өрнекте: a) 2340 кг; ә) 75 207 кг; б) 123 320 кг; в) 10 020 кг. 81. Кімнің салмағы қанша: Төмендегі суретте мысық, адам, сиыр, піл, кар- кидон мен иттің салмағын шамалап, берілген килограмдарды оларға сәйкесін­ше қой. 5 кг, 6000 кг, 3000 кг, 300 кг, 25 кг, 70 кг 82. Математика кешінде Қасымжан жиналғандарды күлдіру үшін балық ау- лауға барғаны жайлы әңгімелеп берді. Ол өлшем бірліктерін әдейі ша- тастырып айтты. Қасымжан жол берген қателерді анықта және оларды дұрыстап, әңгімені қайта айтып бер. Балық аулағанда Мен таңертең оянып қарасам сағат 4 кг 15 грамм болыпты. Лезде беті-қолымды жудым да 1 километр сүт ішіп алдым. Күн салқын, 12 сағат ыстық еді.Көлге қарай жолға шықтым. Мен 2 литр жылдамдықпен жүрдім және 4 градус жол жүрдім. Көлге 2 метрде жетіп келдім. Сөйтіп балық аулау­ ға кірістім. 20 сантиметр уақыт өтіп бірінші балық қармаққа ілінді. Оның ұзындығы 50 минут, массасы 4 километр еді. Мен балық ауынан риза болып қайттым. 83. Кестені толтыр: 1-қосылғыш 234 1569 2-қосылғыш 258 342 Қосынды 12670 15890 84. Металл бөліктерін жинауға үш сынып қатысты, 5-«А» сынып – 6 тонна, 5-«Б» сынып – 5 тонна және 5-«Д» сынып – 8 тонна металл жинады. Осы мәліметтер бойынша диаграмма құр. 24 85. Төмендегі кестеде берілген мәліметтер бойынша бағанды диагрмма құр. Терілген мақта жайлы мәлімет Диқан шаруашылықтары «Барака» «Бостон» «Истиқлол» Терілген мақта (тоннада) 70 55 90 86. Диаграмманы пайдаланып әлемдегі ең биік ғимараттардың биіктігін тап. 1000м 900м 850м 800м 750м 700м 650м 600м 550м 500м 450м 400м 350м 300м 250м 200м 150м 100м 50м 0м Жидда Дубай Тайпей Шанхай Куала-Лумпур Чикаго Нью-Йорк Үйде орындалатын есептер 87. Төмендегі суретте жол шкала көрінісінде бейнеленген. Шкаланың бір бөл- месінің мәнін анықта және жетіспейтін сандарды жаз. 0 20 40 км 88. Сандар сәулесінде белгіленген нүктелердің координаталарын тап. A B C D 0 30 60 90 25 89. 7-суреттегі термометр таңертең қандай температураны көрсетіп тұр. Егер ауаның температурасы түсте таңертеңгіден 12 бөлмеге көтерілген, кеш- ке қарай түстегіден 8 бөлмеге төмендеген болса, ауаның температурасы түс­те және кешқұрын қандай болған? 90. Бірлік кесіндінің ұзындығын бір дәптер торкөзінің еніне тең деп алып, сан- дар сәулесін сал. Онда координаталары 4; 8; 15 және 24 болған нүкте- лерді белгіле. 3000 м 2000 м 1000 м 7- сурет 8- сурет 91. Көктем және Көркем ауылдарының арасындағы қашықтық 20 км. Бұл ауылдар арасындағы жолды шкала көрінісінде өрнекте. Бірлік кесіндіні 1 см және шкаланың бір бөлмесін 2 км деп ал. Көктем ауылынан сағатына 4 км жылдамдықпен келе жатқан Асылбек а) 1 сағат; ә) 2 сағат; б) 4 сағат- тан кейін шкаланың қайсы нүктесінде болатынын анықта. 92. Килограммен өрнекте: a) 7 т 200 кг; ә) 4 т 565 кг; б) 1 ц 86 кг; в) 2 т 9 ц 12 кг. 93. Тонна және килограмдарда өрнекте: a) 2547 кг; ә) 72 904 кг; б) 35 831 кг; в) 701 060 кг. 94. 8-суреттегі мәліметтерді пайдаланып диаграмма құр. 95. 9-суретте берілген бағанды диаграмманы пайдаланып, ерте замандарда жасаған динозаврлардың массаларын тонналарда анықта. (т) 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 Трисератопс Тираннозавр Брахнозавр Апатозавр Спинозавр 9- сурет 26 96. Ташкент телемұнарасы әлемдегі ең биік мұнаралардың бірі саналады. (10- сурет). а) Ташкент мұнарасы Берлин, Вена мұнараларынан қанша биік? ә) Торонто, Куала-Лумпур, Ташкент және Токио қалаларындағы мұна- ралар биіктігін өзара салыстыратын диаграмма құр. Шкала құрып жатқанда дәптердің бір торкөзіннің ұзындығы 50 метр деп ал. Toкиo Торонто Шанхай Tашкент Куала-Лумпур Берлин Вена 634 м 553 м 468 м 375 м 421 м 368 м 252 м 10- сурет Қызықты математикаға қатысты есептер Бойыңды өлшеп отыр! (Практикалық іс) 130 120 Ұзындығы 2 метр лейкопластыр ал. Оның бір 110 ұшын еденге тиетін етіп, есіктің рамасына тігінен 100 90 жабыстыр. Оған бөлмелері 1 см-ден болған шкала 80 сыз. (Егер лейкопластыр табылмаса, шкаланы есік- 70 тің рамасына тігігнен сызуға болады). Шкаланың 60 50 жанына тік тұрып, өзің және басқа жанұя мүше- 40 лерінің бойын өлше. Егер әр кез бойыңды шкалада 30 белгілеп, жанына санасын да жазып отырсаң жыл- 20 дар бойы қанша өскеніңді біліп отырасың. 10 0 27  5- §. НАТУРАЛ САНДАРДЫ САЛЫСТЫРУ. ҮЛКЕН НЕМЕСЕ КІШІ 5.1. Натурал сандарды сандар сәулесінде салыстыру Екі түрлі натурал сандарды салыстыру дегенде, оның қайсысы үлкен немесе кіші екенін анықтауды айтады. Сандар сәулесі натурал сандарды салыстыруға өте ыңғайлы (1-сурет). O A B C X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1- сурет Екі натурал санның қайсысы сандар сәулесінің сол жағына орналасқан болса, сол сан кіші болады. Керісінше қайсысы оң жақта орналасқан болса сол сан үлкен болады. Сандарды салыстыру нәтижесі теңсіздік көрінісінде, үлкен (>) немесе кіші ( 963 4 таңбалы 3 таңбалы Өйткені, бірінші сан төрт таңбалы, екінші сан үш таңбалы (4 >3). Түрлі таңбалы сандарды өзара салыстырғанда қайсысының таңблары көп болса, сол үлкен болады. 5.3. Бірдей таңбалы сандарды салыстыру a)  8 512 >  3 925. Өйткені екі сан да төрт таңбалы. Бірінші санның мың- дықтар разрядындағы 8 цифры, екінші санның мыңдар разрядындағы циф- рынан үлкен (8>3). ә) 3842 > 36 18. Өйткені екі сан да төрт таңбалы. Олардың мыңдықтар разрядындағы цифрлары бірдей 3-ке тең болса да бірінші санның жүздіктер разрядындағы 8 цифры екінші санның жүздіктер разрядындағы 6 цифрынан үлкен (8>6). б) 65 437  > 65 432 . Өйткені екі санның да бірліктер разрядынан басқа бар- лық разрядындағы сандар өзара тең. Бірақ бірінші санның бірліктер разрядын- дағы 7 саны екінші санның бірліктер разрядындағы 2 санынан үлкен (7 > 2). Сандардың бірін екіншісінің астына сәйкес разряд бірліктеріндегі цифр- ларды бірінің астына бірі түсетіндей етіп жазса,салыстыру үдерісі оңай бо- лады. Шындығында, 28  8 6 5 2 68 8 6 5 2 31 8=8, 6=6, 5=5, 2=2, 6>3. Демек, 865268 > 865231. Бірдей таңбалы сандар өзара салыстырылғанда олардың сол жақтан бастап бірдей аттағы разрядтарында тұрған цифрлары өзара салыстыру жеткілікті. Кесінділерді салыстыру нәтижесі де үлкен (>) немесе ( KL сияқты жазылады. Сұрақтарға жауап бер 1. Екі санды салыстыру дегенде нені түсінесің? 2. Сандар сәулесінде екі натурал сан қалай салыстырылады? 3. Бес таңбалы сан үлкен бе немесе жеті таңбалы сан ба? Неге? 4. Түрлі таңбалы сандар қалай салыстырылады? 5. Бірдей таңбалы сандар қалай салыстырылады? Сыныпта орындалатын жаттығулар 97. A және B нүктелердің қайсысы сандар сәулесінде сол жақта жатады? a) A (1) және B (8); ә) A (17) және B (38); б) A (583) және B (539). 98. а) 18 және 27; ә) 2090 және 2095 сандарының арасындағы барлық нату- рал сандарды айт. 99. Қос теңсіздік түрінде өрнекте: а) 20 саны 10 санынан үлкен, бірақ 30-дан кіші; ә) 44 саны 55 санынан кіші, бірақ 33 санынан үлкен; б) 32 саны 43 санынан кіші, бірақ 43 саны 54 санынан кіші. 100. а) 10-нан кіші; ә) 12-ден үлкен, бірақ 17-ден кіші барлық натурал сандар- ды сандар сәулесінде өрнекте. 101. Болат бір сан ойлады. Бұл санның соңғы цифры 5-пен аяқталады және бұл сан 300-ден үлкен, бірақ 310-нан кіші. Бұл қай сан? 102. Төмендегі екі саннан қайсысы үлкен екенін анықта және жауабын алғаш «>» белгісімен, сосын « 35. 105. 114-тен үлкен, бірақ 133 санынан кіші және соңғы цифры 3-пен аяқтала- тын санды анықта. 29 106. Сандарды салыстыр және жұлдызшаның орнына «» бел- гісін қой: a) 456 500 * 49 900; ә) 36 106 * 36 099; б) 77 417 * 8432; в) 5 000 * 49 999; г) 8 720 000 * 8 720 019; ғ) 930 000 * 1 000 001. 107. Суреттегі кесінділер ұзындығын сызғышпен өлше және оларды өсу ретімен жаз. K P C O F M D E A B 108. Суретте берілген мәліметтерді пайдаланып A және B нүктелердің коор- динаталарын тап. 0 ? ? O A B +18 +29 109. Балмұздақтың құны 1500 сум. Махмұт 5000 сум ақшасына осы бал- мұздақтан а) екеу; ә) үшеу; б) төртеу сатып алала ма? 110. Сурет бойынша есеп кұрастыр және оны шеш. Ташкент Самарқант Қаршы 300 км 150 км ? км Үйде орындалатын есептер 111. Сандар сәулесінде A және B нүктелердің қайсысы сол жақта жатады? a) A(5) немесе B(3); ә) A(47) немесе B(82); б) A(557) немесе B(735). 112. Қос теңсіздік көрінісінде өрнекте: а) 10 саны 8 санынан үлкен, бірақ 23 санынан кіші; ә) 75 саны 93 санынан кіші, бірақ 57 санынан үлкен; б) 42 саны 65 санынан кіші, 65 саны 87 санынан кіші. 113. а) 7-ден кіші; ә) 15-тен үлкен, бірақ 22-ден кіші барлық санды сандар сәулесінде бейнеле. 114. Төмендегі сандарды салыстыр және жұлдызшаның орнына «» белгісін қой. a) 600 080 * 609 900; ә) 43 006 * 43 007; б) 91 453 * 91 811; в) 80 000 * 79 999; г) 1 039 000 * 1 034 099; ғ) 5 000 009 * 5 000 010. 30 115. Асқар Самарқанттан Ташкентке жылдамдығы 100 км сағат жеңіл автома- шинада 3 сағатта жетіп келді. Ташкенттен Самарқантқа жылдамдығы 75 км сағат автобуста қайтты. Асқар неше сағатта Ташкенттен Самарқантқа жетіп келеді? 116. Әлішер 10 км/сағат жылдамдықпен 6 сағат жол жүрді. Нұралының жылдам­дығы Әлішердікінен 2 км/сағат көп. Нұралы бұл жолды қанша уақытта өтеді? 117. Амалдарды орында: a) (1269 +1261) : 115; ә) (813 - 186) : 3 + 10 000; б) 401 000 : (623 + 377); в) 47234 : 113 + 22 · 13. 118. Суретте берілген мәліметтерді пайдаланып, C және D нүктелердің ко- ординаталарын тап. F C D 15 ? ? +7 +12 Математика тарихына қатысты үзінділер Натурал сандарды өрнектеу үшін түрлі белгілер пайдаланылған. Бұдан 5000 жыл бұрын Ежелгі мысырлықтар бірді – «I», онды – « », жүзді – «∩» сияқты белгілермен өрнектеген. Бұл белгілеумен 234 саны – ∩∩ IIII түрінде жазылады. 2500 жыл бұрын натурал сандар рим цифрларымен жазылған. Цифрлар ретінде бас латын әріптерін пайдаланған және олардың мәні төмендегідей қабылданған: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Жазуға қатысқан рим цифрлары мәнінің қосындысы натурал санды біл- дірген. Бұл белгілердің көмегімен 27 саны ХХVII деп жазылған, өйткені 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27. Сонымен қатар жазуда мәні жағынан кіші цифр үлкенінің алдында тұрса, кішісінің мәні үлкенінің мәнінен айырылған: IV = 4 (5 – 1 = 4); IX = 9 (10 – 1 = 9); XC = 90 (100 – 10 = 90). Рим цифрларымен жазылған MCMLXXVI саны 1976-ны білдіреді. Өйткені, 1000 + (1000 – 100) + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 = 1976. Бүгінде рим цифрлары – тәртіп цифрлары ретінде кітаптың тараулары мен ғасырларды өрнектеуде қолданылып келеді: ХХ ғасыр, VII тарау, тағы сол сияқты. Оларды кейбір сағат шкалаларында кездестіруге болады. Қызықты математикаға қатысты есептер Нұралы сыныптастарына рим цифрларынан құралған бірнеше теңдікті көрсетіп жатқанда, бұл теңдіктердің әрқайсысында бір-бірден таяқшаны өз орнына қоймағанын сезіп қалды. Сен Нұралының бұл қателігін түзетіп көрші. a) ә) б) в) 31  6- §. І ТАРАУДЫ ҚАЙТАЛАУҒА АРНАЛҒАН ЕСЕПТЕР 6.1. ІС жүзіндік жаттығулар: Кестелер және мәліметтермен жұ- мыс істеу Сен кестелермен бұрыннан таныссың. Күнделік дәптерің, сынып журна- лы, кезекшілер тізімі кестелерге мысал бола алады. Кесте құрудағы мақсат – бір тақырыпқа байланысты мәліметтерді реттеу және оларды пайдалану- ды жеңілдету. 1-мысал. Оқушы жаңа оқу жылынан алдын дүкеннен бағасы 7000 сумдық бір сөмке, бағасы 400 сумнан 20 дәптер, әрқайсысы 200 сумнан 3 қаламсап, бағасы 1200 сумнан 2 түрлі түсті қаламдар жинағын сатып алды. Осы мәліметтер бойынша кесте құр. Кестеде әрбір оқу құралының баға- сы, көлемі, құны мен жалпы оқу құралдары үшін неше сум жұмсалғаны көр- сетілсін. Шешуі. Кестенің бағандарын атымен атап шығамыз. Бірінші бағанда рет нөмірі, екінші бағанда «Оқу құралдарының аты» және кейінгі баған- дарда», «Бір данасының бағасы», «Мөлшері» және «Құны» деп жазып қоямыз. Сосын берілген мәліметтерді пайдаланып кестені толтырамыз. Соңғы қатарға «Жалпы төленген ақша» деген сөзді жазып қоямыз. Бір данасының № Оқу құралдарының аты Көлемі Құны бағасы 1. Сөмке 7000 1 2. Дәптер 400 20 3. Қаламсап 200 3 4. Түсті қалам 1200 2 Жалпы төленген ақша – – Кестенің соңғы бағанын толтыру үшін, әрбір қатардағы оқу құралының бір данасының бағасы, олардың көлеміне көбейтіп, сол қатардың соңғы бағанына жазамыз. Сөйтіп әрбір оқу құралына жалпы неше сум төленгенін табамыз. Сосын соңғы бағандағы барлық сандарды қосып, қосындыны соңғы бағанның соңғы қатарымен қиылысқан жеріне жазамыз. Бұл сан оқу құралдары үшін төленген жалпы ақшаның көлемін білдіреді. Бір данасының № Оқу құралдарының аты Көлемі Құны бағасы 1. Сөмке 7000 1 7000 2. Дәптер 400