Concepciones del álgebra escolar y usos de variables (PDF)

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Traducido del inglés al español - www.onlinedoctranslator.com Concepciones de la escuela Álgebra y Usos de las variables Zalman Usiskin ¿Qué es el álgebra escolar? que tienen la misma forma: el producto de dos A números es igual a un tercero: El álgebra no se define fácilmente. El álgebra que se enseña en la escuela tiene un matiz bastante diferente 1.A=LW del álgebra que se enseña a los estudiantes de matemáticas. 2.40 = 5incógnita Dos matemáticos cuyos escritos han influido enormemente 3. pecadoincógnita=porqueincógnita broncearseincógnita en la enseñanza del álgebra a nivel universitario, Saunders 4. 1 =norte (1/norte) Mac Lane y Garrett Birkhoff (1967), comienzan suÁlgebracon 5. y = kx un intento de tender un puente entre las álgebras escolares y Cada una de ellas tiene un significado diferente. Normalmente universitarias: llamamos (1) a una fórmula, (2) a una ecuación (o enunciado El álgebra comienza como el arte de manipular sumas, abierto) a resolver, (3) a una identidad, (4) a una propiedad y (5) a productos y potencias de números. Las reglas para estas una ecuación de una función de variación directa (que no se debe manipulaciones son válidas para todos los números, por lo resolver). Estos diferentes nombres reflejan los diferentes usos que las manipulaciones pueden realizarse con letras que que se le da a la idea de variable. En (1),A, yo, yYorepresentan las representen los números. Luego parece que las mismas reglas son válidas para varios tipos diferentes de números... cantidades área, longitud y ancho y tienen la sensación de ser y que las reglas se aplican incluso a cosas... que no son conocidas. En (2), tendemos a pensar enincógnitacomo números en absoluto. Un sistema algebraico, tal como lo desconocido. En (3),incógnitaes un argumento de una función. La estudiaremos, es, por tanto, un conjunto de elementos de ecuación (4), a diferencia de las otras, generaliza un patrón cualquier tipo sobre los que operan funciones como la suma aritmético, ynorteidentifica una instancia del patrón. En (5), y la multiplicación, siempre que estas operaciones incógnitaes nuevamente un argumento de una función,yel valor, satisfagan ciertas reglas básicas. (p. 1) yauna constante (o parámetro, dependiendo de cómo se utilice). Si la primera oración de la cita anterior se considera Solo con (5) existe la sensación de “variabilidad”, de donde aritmética, entonces la segunda oración es álgebra proviene el términovariablesurgió. Aun así, no existe tal escolar. Para los fines de este artículo, entonces, el sensación si pensamos en esa ecuación como la representación álgebra escolar tiene que ver con la comprensión de de la línea con pendienteaque contiene el origen. las “letras” (hoy las llamamos habitualmente variables) y sus operaciones, y consideramos que los estudiantes Las concepciones de la variable cambian a lo largo del están estudiando álgebra cuando encuentran variables tiempo. En un texto de la década de 1950 (Hart 1951a), la por primera vez. palabravariableNo se menciona hasta la discusión de los Sin embargo, dado que el concepto de variable en sí sistemas (p. 168), y luego se describe como “un número mismo es multifacético, reducir el álgebra al estudio de cambiante”. La introducción de lo que hoy llamamos las variables no responde a la pregunta "¿Qué es el variables viene mucho antes (p. 11), a través de fórmulas, álgebra escolar?". Considere estas ecuaciones, todas con estas declaraciones crípticas: “En cada DEFINICIÓN DEL PENSAMIENTO ALGEBRAICO Y UN CURRÍCULO DE ÁLGEBRA 7 Usiskin, Zalman. “Concepciones del álgebra escolar y usos de variables”. EnPensamiento algebraico, grados K-12: lecturas de revistas escolares y otras publicaciones de NCTM, editado por Barbara Moses, págs. 7–13. Reston, Va.: Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, 1999. fórmula, las letras representan números.El uso de letras para un vector; y en álgebra superior la variable * para representar números es una característica principal puede representar una operación. El último de estos del álgebra”(La cursiva es de Hart. En el segundo libro de demuestra que las variables no necesitan ser esa serie (Hart 1951b), hay una definición más formal de representadas por letras. variable (p. 91): “Una variable es un número literal que Los estudiantes también tienden a creer que una variable es siempre puede tener dos o más valores durante una discusión una letra. Esta opinión es apoyada por muchos educadores, por particular”. ejemplo: Los textos modernos de finales de esa década tenían una 3 +incógnita=7 y 3 +!= 7 concepción diferente, representada por esta cita de May y Van Engen (1959) como parte de un análisis cuidadoso de generalmente se consideran álgebra, mientras que este término: 3 + ___ = 7 y 3 + ? = 7 En términos generales, una variable es un símbolo que se no lo son, aunque el espacio en blanco y el signo de sustituye por el nombre de algunos objetos, normalmente interrogación son, en este contexto de desear una solución a un número en álgebra. Una variable siempre está asociada a un conjunto de objetos cuyos nombres se pueden sustituir una ecuación, lógicamente equivalentes a laincógnitay el!. por ella. Estos objetos se denominan valores de la variable. En resumen, las variables tienen muchas definiciones, (p. 70) referentes y símbolos posibles. Intentar encajar la idea Hoy en día la tendencia es evitar la distinción entre “objeto de de variable en una única concepción simplifica nombre” y pensar en una variable simplemente como un demasiado la idea y, a su vez, distorsiona los símbolo por el cual se pueden sustituir cosas (más propósitos del álgebra. precisamente, cosas de un conjunto de reemplazo particular). La concepción de variable como “símbolo de un elemento Dos cuestiones fundamentales en la de un conjunto de reemplazo” parece tan natural hoy en enseñanza del álgebra día que rara vez se la cuestiona. Sin embargo, no es la única perspectiva posible para las variables. A principios Tal vez el principal problema que rodea la enseñanza del de este siglo, la escuela formalista de matemáticas álgebra en las escuelas hoy en día se refiere al grado en que consideraba que las variables y todos los demás símbolos se debe exigir a los estudiantes que sean capaces de realizar matemáticos eran meros signos en el papel relacionados diversas habilidades manipulativas con las manos. (Todo el entre sí por propiedades supuestas o derivadas que mundo parece reconocer la importancia de que los también son signos en el papel (Kramer 1981). estudiantes tenganalgunoUn informe de NCTM-MAA de 1977 que detalla lo que los estudiantes necesitan aprender en Aunque podríamos considerar que esta visión es matemáticas de la escuela secundaria enfatiza la importancia defendible para los filósofos pero poco práctica para los de aprender y practicar estas habilidades. Sin embargo, usuarios de las matemáticas, las álgebras informáticas informes más recientes transmiten un tono diferente: actuales, como MACSYMA y muMath (véase Pavelle, Rothstein y Fitch ), tratan con letras sin necesidad El objetivo básico de Álgebra I y II ha sido dar a los estudiantes de hacer referencia a valores numéricos. Es decir, las una habilidad técnica moderada... En el futuro, los estudiantes (y computadoras actuales pueden funcionar como lo hacen los adultos) tal vez no tengan que hacer mucha manipulación los usuarios de álgebra tanto experimentados como algebraica... Seguramente se podrán reducir algunos bloques de inexpertos, manipulando ciegamente las variables sin ejercicios tradicionales (CBMS 1983, pág. 4). preocuparse por lo que representan ni saberlo. Una segunda cuestión relacionada con el currículo de álgebra Muchos estudiantes piensan que todas las variables son letras es la del papel de las funciones y el momento de su que representan números. Sin embargo, los valores que toma introducción. En la actualidad, las funciones se tratan en la una variable no siempre son números, incluso en matemáticas de mayoría de los libros de álgebra de primer año como un tema secundaria. En geometría, las variables a menudo representan relativamente insignificante y se convierten en un tema puntos, como se ve en el uso de las variables.A, B,ydoCuando importante en el álgebra avanzada o de segundo año. Sin escribimos “siDe=ANTES DE CRISTO, entonces!abecedario es embargo, en algunos currículos de la escuela primaria (por isósceles”. En lógica, las variablespagyqA menudo representan ejemplo, CSMP ) las ideas sobre funciones se han proposiciones; en el análisis, la variableF a menudo representa introducido ya en primer grado, y otros han sostenido que las una función; en álgebra lineal, la variableApuede representar una funciones deberían utilizarse como el vehículo principal a matriz o la variableen través del cual se introducen las variables y el álgebra. 8 PENSAMIENTO ALGEBRAICO,GRADOS K–12 Es evidente que estas dos cuestiones se relacionan con los Bushaw et al. ). El récord real a finales de 1985 propósitos mismos de la enseñanza y el aprendizaje del fue de 3 minutos 46,31 segundos. álgebra, con los objetivos de la enseñanza del álgebra y con Las instrucciones clave para el estudiante en esta las concepciones que tenemos de este conjunto de materias. concepción del álgebra sontraducirygeneralizarEstas son Lo que no es tan obvio es que se relacionan con las formas en habilidades importantes no sólo para el álgebra sino que se utilizan las variables. En este artículo, trato de también para la aritmética. En un compendio de presentar un marco para considerar estas y otras cuestiones aplicaciones de la aritmética (Usiskin y Bell 1984), Max Bell relacionadas con la enseñanza del álgebra. Mi tesis es que los y yo concluimos que es imposible estudiar propósitos que tenemos para enseñar álgebra, las adecuadamente la aritmética sin tratar implícita o concepciones que tenemos de la materia y los usos de las explícitamente con variables. ¿Qué es más fácil, “El variables están inextricablemente relacionados.Los producto de cualquier número y cero es cero” o “Para propósitos del álgebra están determinados por, o están todos losy, y 0 = 0”? La superioridad de las descripciones relacionados con, diferentes concepciones del álgebra, que algebraicas sobre las descripciones en inglés de las se correlacionan con la diferente importancia relativa dada a relaciones entre números se debe a la similitud de las dos los diversos usos de las variables. sintaxis. La descripción algebraica se parece a la descripción numérica; la descripción en inglés, no. Un Concepción 1: El álgebra como aritmética lector que tenga dudas sobre el valor de las variables generalizada debería intentar describir la regla para multiplicar fracciones primero en inglés y luego en álgebra. En esta concepción, es natural pensar en las variables como generalizadores de patrones. Por ejemplo, 3 + 5,7 = 5,7 Históricamente, la invención de la notación algebraica + 3 se generaliza comoa+b=b+a. El patrón en 1564 por François Viete (1969) tuvo efectos 3 5 = 15 inmediatos. En cincuenta años, se había inventado la 2 5 = 10 geometría analítica y se la había llevado a una forma 1 5 = 5 avanzada. En cien años, se había creado el cálculo. Tal 0 5 = 0 es el poder del álgebra como aritmética generalizada. se extiende para dar la multiplicación por negativos (lo que, en esta concepción, a menudo se considera Concepción 2: El álgebra como estudio de álgebra, no aritmética): procedimientos para resolver ciertos tipos de problemas – 1 5 = –5 – 2 5 = –10 Consideremos el siguiente problema: Esta idea se generaliza para dar propiedades como Cuando se suma 3 a 5 veces un cierto número, la –incógnita y= –x. suma es 40. Encuentra el número. En un nivel más avanzado, la noción de variable como El problema se traduce fácilmente al lenguaje del generalizador de patrones es fundamental en el modelado álgebra: matemático. A menudo encontramos relaciones entre 5incógnita+3 = 40 números que deseamos describir matemáticamente, y las variables son herramientas sumamente útiles en esa Bajo la concepción del álgebra como generalizador de descripción. Por ejemplo, el récord mundialyo(en segundos) patrones, no tenemos incógnitas. Generalizamos por la milla recorrida en el añoYdesde 1900 se describe con relaciones conocidas entre números, y por lo tanto ni bastante precisión mediante la ecuación siquiera tenemos la sensación de incógnitas. Bajo esa concepción, este problema está terminado; hemos yo= –0,4Y+1020. encontrado el patrón general. Sin embargo, bajo la Esta ecuación simplemente generaliza los valores aritméticos concepción del álgebra como estudio de que se encuentran en muchos almanaques. En 1974, cuando procedimientos, solo hemos comenzado. el récord era de 3 minutos 51,1 segundos y no había Resolvemos con un procedimiento. Quizás sumando -3 a cambiado en siete años, utilicé esta ecuación para predecir cada lado: que en 1985 el récord sería de 3 minutos 46 segundos (para gráficos, véase Usiskin o 5incógnita+3 + –3 = 40 + –3 DEFINICIÓN DEL PENSAMIENTO ALGEBRAICO Y UN CURRÍCULO DE ÁLGEBRA 9 Luego simplifica (el número de pasos necesarios La cuestión es que, aquí, las variablesvariarQue existe una depende del nivel del estudiante y la preferencia del diferencia fundamental entre las concepciones se profesor): evidencia por la respuesta habitual de los estudiantes a la siguiente pregunta: 5incógnita=37 ¿Qué pasa con el valor de 1/?incógnitacomoincógnita¿Se hace Ahora resuelva esta ecuación de alguna manera, llegando a cada vez más grande? incógnita = 7,4. El “número seguro” del problema es 7,4 y el resultado se puede comprobar fácilmente. La pregunta parece sencilla, pero es suficiente para desconcertar a la mayoría de los estudiantes. No hemos pedido un valor de Para resolver este tipo de problemas, muchos estudiantes incógnita, entoncesincógnitano es una incógnita. No le hemos tienen dificultades para pasar de la aritmética al álgebra. pedido al estudiante que traduzca. Hay un patrón que se puede Mientras que la solución aritmética (“en la cabeza”) implica generalizar, pero no es un patrón que se parezca a la aritmética. restar 3 y dividir por 5, la forma algebraica 5incógnita+El 3 (¡No es apropiado preguntar qué sucede con el valor de 1/2 a implica multiplicar por 5 y sumar 3, las operaciones medida que 2 se hace cada vez más grande!) Es inversas. Es decir, para plantear la ecuación, debes pensar fundamentalmente un patrón algebraico. Tal vez debido a su exactamente de la manera opuesta a como la resolverías naturaleza algebraica intrínseca, algunos educadores de usando aritmética. matemáticas creen que el álgebra debería introducirse primero a En esta concepción del álgebra, las variables son: través de este uso de variable. Por ejemplo, Fey y Good (1985, p. desconocidosoconstantesMientras que las instrucciones clave 48) consideran que las siguientes son las preguntas clave en las en el uso de una variable como generalizador de patrones que basar el estudio del álgebra: son traducir y generalizar, las instrucciones clave en este uso Para una función dadaf(x),encontrar- sonsimplificaryresolverDe hecho, “simplificar” y “resolver” a 1.f(x)paraincógnita=a; veces son dos nombres diferentes para la misma idea: por 2.incógnitade modo quef(x)=a; ejemplo, les pedimos a los estudiantes que resuelvan “ 3.incógnitade manera que los valores máximos o mínimos de incógnita–2# = 5 para obtener la respuestaincógnita=7 o f(x)ocurrir; incógnita= –3. Pero podríamos preguntarles a los 4. la tasa de cambio enFcercaincógnita=a; estudiantes: “Reescribe”incógnita– 2# = 5 sin utilizar el valor 5. el valor medio deFdurante el intervalo (a,b). absoluto”. Entonces podríamos obtener la respuesta ( incógnita–2)2= 25, que es otra oración equivalente. Bajo esta concepción, una variable es unaargumento (es Polya (1957) escribió: “Si no puedes resolver el problema decir, representa un valor de dominio de una función) o una propuesto, intenta resolver primero algún problema parámetro(es decir, representa un número del que dependen relacionado” (p. 31). Seguimos ese dictamen al pie de la otros números). Sólo en esta concepción existen las nociones letra al resolver la mayoría de las oraciones, encontrando de variable independiente y variable dependiente. Las oraciones equivalentes con la misma solución. También funciones surgen de manera bastante inmediata, ya que simplificamos expresiones para que se puedan entender y necesitamos tener un nombre para los valores que dependen usar más fácilmente. Para repetir: simplificar y resolver del argumento o parámetro.incógnita. Notación de función son más similares de lo que generalmente se cree. (como enf(x)=3incógnita+5) es una idea nueva cuando los estudiantes la ven por primera vez:f(x)=3incógnita+5 se ve y Concepción 3: El álgebra como estudio de se siente diferente dey=3incógnita+5. (A este respecto, una las relaciones entre cantidades razóny=f(x) Puede confundir a los estudiantes porque la funciónF, En lugar del argumentoincógnita,se ha convertido Cuando escribimosA=LW,En la fórmula del área de en el parámetro. De hecho, el uso def(x)Algunos educadores un rectángulo, describimos una relación entre tres consideran que nombrar una función, como lo hacen Fey y cantidades. No hay una sensación de incógnita, Good en la cita anterior, contribuye a esa confusión. porque no estamos resolviendo nada. La sensación de fórmulas comoA=LWes diferente de la sensación Que las variables como argumentos difieren de las variables de generalizaciones como 1 =norte (1/n), aunque como incógnitas se evidencia aún más con la siguiente podemos pensar en una fórmula como un tipo pregunta: especial de generalización. Encuentra una ecuación para la recta que pasa por (6,2) con Si bien la concepción del álgebra como el estudio de pendiente 11. relaciones puede comenzar con fórmulas, la distinción La solución habitual combina todos los usos de las variables crucial entre esta y la concepción anterior es que... discutidos hasta ahora, lo que quizás explique por qué 10 PENSAMIENTO ALGEBRAICO,GRADOS K–12 Algunos estudiantes tienen dificultades con esto. Analicemos la Los argumentos pueden considerarse como variables solución habitual. Empecemos por notar que los puntos de una ficticias; este uso especial tiende a no ser bien comprendido línea están relacionados por una ecuación de la forma por los estudiantes. y=mx+b. Concepción 4: El álgebra como estudio de Esto es a la vez un patrón entre variables y una fórmula. En nuestra mente es una función con dominio variable. estructuras incógnitay rango variabley,Pero para los estudiantes no El estudio del álgebra en el nivel universitario implica está claro cuál dem, x,obes el argumento. Como patrón es estructuras como grupos, anillos, dominios integrales, fácil de entender, pero en el contexto de este problema, cuerpos y espacios vectoriales. Parece tener poca algunas cosas son desconocidas. Todas las letras parecen semejanza con el estudio del álgebra en el nivel desconocidas (particularmente lasincógnitay secundario, aunque los cuerpos de números reales y y,letras tradicionalmente utilizadas para tal fin). complejos y los diversos anillos de polinomios son la base Ahora vamos a la solución. Ya que sabemosmetro,Lo de la teoría del álgebra, y las propiedades de los dominios sustituimos por: integrales y los grupos explican por qué ciertas ecuaciones se pueden resolver y otras no. Sin embargo, y=11incógnita+b reconocemos el álgebra como el estudio de las De este modometroes aquí una constante, no un parámetro. estructuras por las propiedades que atribuimos a las Ahora necesitamos encontrarb. Por lo tanto, b ha pasado de ser operaciones con números reales y polinomios. un parámetro a ser desconocido. Pero, ¿cómo encontrarb? Consideremos el siguiente problema: Utilizamos un par de los muchos pares en la relación entre Factor 3incógnita2+ 4hacha–132a2. incógnitay y. Es decir, seleccionamos un valor para el argumento. incógnitapor lo cual sabemosy.Tener que sustituir un par de La concepción de variable representada aquí no es la valores porincógnitayyse puede hacer porquey=mx misma que ninguna de las analizadas anteriormente. No + bdescribe un patrón general entre números. Con hay ninguna función ni relación; la variable no es un la sustitución, argumento. No hay ninguna ecuación que resolver, por lo que la variable no actúa como una incógnita. No hay 2 = 11 6 +b, ningún patrón aritmético que generalizar. y entoncesb= –64. Pero no hemos encontradoincógnita La respuesta a la pregunta de factorización es (3incógnita yy Aunque tenemos valores para ellos, porque no eran + 22a)(incógnita–6a). La respuesta se puede comprobar desconocidos. Solo hemos encontrado lo desconocido. sustituyendo los valores porincógnitayaen el polinomio b,y sustituimos en la ecuación adecuada para obtener dado y en la respuesta factorizada, pero esto casi nunca la respuesta se hace. Si la factorización se comprobara de esa manera, y=11incógnita–64. habría un pequeño argumento de que aquí estamos generalizando la aritmética. Pero, de hecho, al estudiante Otra forma de hacer la distinción entre los diferentes usos de se le suele pedir que compruebe multiplicando los las variables en este problema es utilizar cuantificadores. binomios, exactamente el mismo procedimiento que el Pensamos: Para todosincógnitayy, existenmetroybcony=mx+ estudiante ha empleado para obtener la respuesta en bSe nos da el valor que existe parametro,Así que primer lugar. Es una tontería comprobar repitiendo el encontramos el valor que existe parabmediante el uso de proceso utilizado para obtener la respuesta en primer uno de los “para todosincógnitayy” pares, y así lugar, pero en este tipo de problema los estudiantes sucesivamente. O usamos el lenguaje de conjuntos tienden a tratar las variables como marcas en el papel, sin equivalente: Sabemos que la línea es {(x,y): y=mx+b} y números como referente. En la concepción del álgebra sabemosmetroy tratar de encontrarb.En el lenguaje de los como el estudio de las estructuras, la variable es poco conjuntos o cuantificadores,incógnitay y se conocen como más que un símbolo arbitrario. variables ficticiasporque se puede utilizar cualquier símbolo en su lugar. Es bastante difícil convencer a los estudiantes e Aquí hay un dilema sutil. Queremos que los estudiantes incluso a algunos profesores de que {incógnita:3incógnita=6} tengan en mente los referentes (normalmente números = {y:3y= 6}, aunque cada conjunto sea {2}. Mucha gente reales) de las variables cuando las utilicen. Pero también piensa que la funciónFconf(x)=incógnita+1 no es lo mismo queremos que los estudiantes puedan operar con las que la funcióngramocon el mismo dominio queFy cong(y)=y+ variables sin tener que recurrir siempre al nivel del referente. 1. Sólo cuando se utilizan variables como Por ejemplo, cuando les pedimos a los estudiantes que DEFINICIÓN DEL PENSAMIENTO ALGEBRAICO Y UN CURRÍCULO DE ÁLGEBRA 11 para derivar una identidad trigonométrica como 2sin2incógnita–1 Configuración de la variable. Las aplicaciones informáticas = pecado4incógnita–porque4incógnita,No queremos que el suelen incluir una gran cantidad de variables que pueden estudiante piense en el seno o el coseno de un número específico representar muchos tipos distintos de objetos. Además, o incluso que piense en las funciones seno o coseno, y no nos las computadoras están programadas para manipular las interesan las proporciones en triángulos. Solo queremos variables, por lo que no tenemos que abreviarlas para manipular el seno.incógnitay porqueincógnitaen una forma facilitar la tarea de manipulación a ciegas. diferente utilizando propiedades que son tan abstractas como la En informática, los usos de las variables cubren todos los identidad que deseamos derivar. usos que hemos descrito anteriormente para las En este tipo de problemas, la fe se deposita en las propiedades variables. Aún queda la generalización de la aritmética. El de las variables, en las relaciones entre ellas.incógnita'arenaTú estudio de los algoritmos es un estudio de arenanorte's, ya sean sumandos, factores, bases o exponentes. procedimientos. De hecho, hay preguntas típicas de La variable se ha convertido en un objeto arbitrario en una álgebra que se prestan al pensamiento algorítmico: estructura relacionada por ciertas propiedades. Es la visión de Empieza con un número, súmale 3, multiplícalo variable que encontramos en el álgebra abstracta. por 2 y réstale 11 al resultado. Se ha criticado mucho la práctica de “empujar símbolos” en En programación, uno aprende a considerar la variable las primeras experiencias con el álgebra. Cuando criticamos, como un argumento mucho antes de lo que es habitual lo llamamos manipulación “a ciegas” y, cuando elogiamos, en álgebra. Para crear matrices, por ejemplo, se necesita habilidades “automáticas”. En última instancia, todo el mundo algún tipo de notación de funciones. Y finalmente, debido desea que los estudiantes tengan suficiente habilidad con los a que las computadoras han sido programadas para símbolos algebraicos para manejar las habilidades realizar manipulaciones con símbolos sin ningún apropiadas de manera abstracta. La pregunta clave es: ¿qué referente para ellos, la informática se ha convertido en un constituye “suficiente habilidad”? vehículo a través del cual muchos estudiantes aprenden Resulta irónico que las dos manifestaciones de este sobre variables (Papert 1980). En última instancia, debido uso de la variable (teoría y manipulación) se a esta influencia, es probable que los estudiantes consideren a menudo como bandos opuestos en el aprendan los muchos usos de las variables mucho antes marco de la política hacia el currículo de álgebra: los de lo que lo hacen hoy. que favorecen la manipulación por un lado, los que favorecen la teoría por el otro. Ambos tienen la misma visión de la variable. Resumen Las diferentes concepciones del álgebra están relacionadas con Variable en informática los distintos usos de las variables. A continuación se ofrece un resumen simplificado de esas relaciones: El álgebra tiene un cariz ligeramente diferente en Concepción del álgebra Uso de variables informática que en matemáticas. A menudo hay una sintaxis diferente. Mientras que en el álgebra Aritmética generalizada Generalizadores de patrones ordinaria,incógnita=incógnita+2 sugiere una ecuación (traducir, generalizar) sin solución; en BASIC, la misma oración transmite la sustitución de una ubicación de almacenamiento Medios para resolver ciertos problemas Incógnitas, constantes problemas (resolver, simplificar) particular en una computadora por un número dos veces mayor. Este uso de variable ha sido identificado Estudio de las relaciones Argumentos, parámetros por Davis, Jockusch y McKnight (1978, p. 33): (relacionar, graficar) Las computadoras nos brindan otra perspectiva del Estructura Marcas arbitrarias en el papel concepto matemático básico de variable. Desde el punto de (manipular, justificar) vista de una computadora, el nombre de una variable puede considerarse como la dirección de un registro de memoria En este artículo se han mencionado dos cuestiones específico, y el valor de la variable puede considerarse como relativas a la enseñanza del álgebra. En vista de lo el contenido de ese registro de memoria. expuesto, ahora es posible interpretarlas como una En informática, las variables suelen ser cadenas de letras y cuestión de la importancia relativa que debe darse a números identificados. Esto transmite una sensación diferente y las distintas concepciones en los distintos niveles de es el resultado natural de un cambio de paradigma. estudio. 12 PENSAMIENTO ALGEBRAICO,GRADOS K–12 Por ejemplo, pensemos en la cuestión de las habilidades para Plan de estudios de ciencias matemáticas K-12: qué manipular papel y lápiz. En el pasado, era necesario poseer sigue siendo fundamental y qué no lo esInforme a la esas habilidades para resolver problemas y estudiar Comisión de Educación Preuniversitaria en Matemáticas, Ciencias y Tecnología del NSB. funciones y otras relaciones. Hoy, con computadoras capaces Washington, DC: CBMS, 1983. de simplificar expresiones, resolver oraciones y representar gráficamente funciones, la cuestión de qué hacer con las Davis, Robert B., Elizabeth Jockusch y Curtis McKinsey noche. “Procesos cognitivos en el aprendizaje del álgebra”. habilidades para manipular se convierte en una cuestión de Revista sobre el comportamiento matemático infantil2 la importancia del álgebra como estructura, como estudio de (primavera de 1978): 1–320. marcas arbitrarias en el papel, como estudio de relaciones Fey, James T. y Richard A. Good. “Repensando la se- arbitrarias entre símbolos. La opinión predominante hoy Secuencia y prioridades de los planes de estudio de parece ser que este no debería ser el criterio principal (y matemáticas de la escuela secundaria”.El plan de estudios de ciertamente no el único criterio) por el que se determina el matemáticas de la escuela secundaria,Anuario de 1985 del contenido del álgebra. Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, págs. 43-52. Consideremos la cuestión del papel de las ideas de Reston, Va.: NCTM, 1985. función en el estudio del álgebra. Se trata nuevamente de Ciervo, Walter W.Un primer curso de álgebra. 2da edición. Boston: la importancia relativa de la concepción del álgebra como Editorial DC, 1951a. el estudio de las relaciones entre cantidades, en la que la. Un segundo curso de álgebra. 2da ed., ampliada. manifestación predominante de la variable es como Nueva York: DC Heath & Co., 1951b. argumento, en comparación con las otras funciones del Kramer, Edna E.La naturaleza y el crecimiento de la modernidad álgebra: como aritmética generalizada o como medio Matemáticas. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University para resolver problemas. Press, 1981. MacLane, Saunders y Garrett Birkhoff.Álgebra. Nuevo Así, algunas de las cuestiones importantes en la Nueva York: Macmillan Co., 1967. enseñanza y el aprendizaje del álgebra pueden cristalizarse si se las enmarca en las concepciones del May, Kenneth O. y Henry Van Engen. “Relaciones y Funciones.” EnEl crecimiento de las ideas matemáticas, álgebra y los usos de las variables, concepciones que han grados K-12,Vigésimo cuarto anuario del Consejo cambiado con la explosión de los usos de las matemáticas Nacional de Profesores de Matemáticas, págs. 65-110. y la omnipresencia de las computadoras. Ya no vale la Washington, DC: NCTM, 1959. pena categorizar el álgebra únicamente como aritmética Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas y la generalizada, porque es mucho más que eso. El álgebra Asociación Matemática de América.Recomendaciones para la sigue siendo un vehículo para resolver ciertos problemas, preparación de estudiantes de secundaria para cursos pero también es más que eso. Proporciona los medios universitarios de matemáticas. Reston, Virginia: NCTM; para describir y analizar relaciones y es la clave para la Washington, DC: MAA, 1977. caracterización y comprensión de las estructuras Libro de bolsillo de SeymourMindstorms: Niños, Computadoras, matemáticas. Teniendo en cuenta estos activos y la y Ideas Poderosas. Nueva York: Basic Books, 1980. creciente matematización de la sociedad, no sorprende Pavelle, Richard, Michael Rothstein y John Fitch. que el álgebra sea hoy el área clave de estudio en las “Álgebra computacional”.Científico americano,Diciembre de matemáticas de la escuela secundaria y que esta 1981, págs. 136–52. preeminencia probablemente se mantenga con nosotros Polia, Jorge,Cómo solucionarlo. 2.a edición. Princeton, Nueva Jersey: durante mucho tiempo. Prensa de la Universidad de Princeton, 1957. Usiskin, Zalman.Álgebra a través de aplicaciones.Chicago: Bibliografía Departamento de Educación, Universidad de Chicago, 1976. Bushaw, Donald, Max Bell, Henry Pollak, Maynard Usiskin, Zalman y Max Bell.Aplicando la aritmética. Thompson y Zalman Usiskin.Un libro de consulta sobre Edición preliminar. Chicago: Departamento de Educación, aplicaciones de las matemáticas escolares. Reston, Va.: Universidad de Chicago, 1984. Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, 1980. Viéte, Francois. "La nueva álgebra". EnUn libro de consulta Programa Integral de Matemáticas Escolares.CSMP sobre Matemáticas,1200–1800, editado por DJ Struik, págs. Descripción general. San Luis: CEMREL, 1975. 74–81. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1969. Junta de Conferencia de Ciencias Matemáticas.El DEFINICIÓN DEL PENSAMIENTO ALGEBRAICO Y UN CURRÍCULO DE ÁLGEBRA 13