Concepciones del Álgebra Escolar PDF

Concepciones del álgebra escolar Semana 2: MA0010  Agenda Revisión y discusión de diagnóstico. Comprobación de lectura Usiskin (aspectos claves, preguntas) Práctica Ampliación de ideas  Discusión: Usiskin (1999) Juego: papa caliente 1. Falso...

Concepciones del álgebra escolar Semana 2: MA0010  Agenda Revisión y discusión de diagnóstico. Comprobación de lectura Usiskin (aspectos claves, preguntas) Práctica Ampliación de ideas  Discusión: Usiskin (1999) Juego: papa caliente 1. Falso o Verdadero: En el álgebra se usan reglas de manipulación únicamente con letras que representan números. Falso. Las reglas son válidas para varios tipos diferentes de números, incluso se aplican para cosas que no son números en absoluto. Son válidas para cualquier tipo de elementos sobre los que operan funciones (+, ), siempre que estas satisfagan ciertas reglas básicas. 2. ¿Con qué tiene que ver el álgebra escolar según el autor?, ¿Cuándo los estudiantes estudian álgebra? Tiene que ver con el uso de las letras que hoy día se le llaman variables y sus operaciones. Por ende, cuando se usan las variables los estudiantes estudian álgebra.  Responda según Usiskin (1999) 3. Proporcione un contraejemplo diferente a los usados por el autor para la siguiente frase: las variables son letras que representan números. -Existen variables que son letras que representan otros objetos, por ejemplo, en Geometría, pueden representar rectas: si 𝑙𝑙 ∥ 𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙 ∩ 𝑚𝑚 = {} -No todas las variables son letras, pueden ser representados por figuras, cuadrados, signos de interrogación.  Responda según Usiskin (1999) 4. El álgebra, en particular el álgebra escolar es multidimensional. (¿Por qué?) El concepto de variable es multifacético (p.7), de ahí que la afirmación anterior tenga sentido. 5. Según el autor "existen diferentes interpretaciones de las variables”, ¿cuáles son?, proporcione ejemplos diferentes a los de la lectura para cada una. a. Identidad 1. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)2 + cos( 𝑥𝑥)2 = 1 b. Función de variación directa 2. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 c. Propiedad 3. 𝑎𝑎 0 = 0 d. Fórmula 4. V= 𝜋𝜋𝑟𝑟 2 ℎ e. Ecuación 5. 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 1 = 5  Responda según Usiskin (1999) 6. La concepción de variable en el tiempo no ha sufrido cambios. Defienda o refute dicha afirmación. Falso, el autor explica un cambio en la concepción por ejemplo: Conclusión: Las variables tienen muchas definiciones, referentes y símbolos posibles.  Responda según Usiskin (1999) 7. ¿Cuáles son las distintas concepciones del álgebra escolar según el autor? 1. Álgebra como aritmética generalizada. 2. Álgebra como estudio de procedimientos para la resolución de ciertos tipos de problemas. 3. Álgebra como estudio de las relaciones entre cantidades 4. Álgebra como estudio de las estructuras. 8. Explique la concepción 1 del álgebra. Refiera a la interpretación de las variables, a las instrucciones claves de las tareas para el uso de la variable. Proporcione un ejemplo de tarea en esta concepción. En la concepción 1 las variables se interpretan como números generalizados, la instrucción clave para un tipo de tarea es traducir y generalizar. Cualquier ejemplo de traducir del lenguaje natural al algebraico, o bien algún patrón en el cual deban hallar una expresión que lo represente.  Responda según Usiskin (1999) 9. Explique la concepción 2 del álgebra. Refiera a la interpretación de las variables, a las instrucciones claves de las tareas para el uso de la variable. En la concepción 2, la variable se interpreta como una incógnita o constante, la instrucción clave para un tipo de tarea es simplificar y resolver. Un ejemplo es cualquier problema que requiera formar y resolver una ecuación. 10. Considere la siguiente tarea: 1. Escriba en lenguaje algebraico la siguiente información: El triple de un número es igual al mismo número disminuido en 4 2. Encuentre el valor del número que cumple las condiciones dadas. ¿A cuál concepción del álgebra refiere? Ambas, la 1 y la 2.  Responda según Usiskin (1999) 11. Explique en que se diferencian las concepciones 2 y 3 del álgebra. Mencione la interpretación de las variables y las instrucciones en las tareas de cada dimensión. La concepción 3 implica la relación entre varias variables. La variable es un argumento (valor del dominio de una función) o un parámetro (un número del que dependen otros números) y no una incógnita (concepción 2). Por ejemplo: Hallar la ecuación de una recta… En cuanto a las instrucciones en la concepción 2 se busca simplificar y resolver, en la concepción 3 se busca relacionar o graficar. Ejemplo Fórmula y patrón general entre los números 𝑥𝑥: 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝, (incógnitas) Note que se resuelve un sistema de ecuaciones IMPORTANTE: las concepciones no son excluyentes. Tareas características de la concepción 3, pueden implicar que en algún momento se tenga que resolver una ecuación o interpretar algo como patrón general… No obstante, si es posible marcar diferencias entre las incógnitas tareas de cada concepción. La respuesta final no implica calcular 𝒙𝒙, pues no era una incógnita, era un argumento.  Responda según Usiskin (1999) 12. Afirme o refute lo siguiente: “El ejercicio 3 del diagnóstico, corresponde a un ejemplo de tareas de la concepción 4 ” La concepción 4 implica interpretar la variable como símbolo arbitrario, las instrucciones pueden ser manipular y justificar. En dicho ejercicio no hay patrón aritmético para generalizar, la variable no es incógnita, no hay función o relación; la variable no es argumento. En esta concepción las letras constituyen entes pertenecientes a estructuras algebraicas como grupos, anillos, cuerpos, a los que se les pueden aplicar las propiedades satisfechas por cada uno de los conjuntos en los que se actúe.  Responda según Usiskin (1999) 13. Explique ¿cuál es el dilema de ver la variable como símbolo arbitrario en secundaria en tareas de la concepción 4? Según el autor, el dilema está en que como profesores quisiéramos que las personas estudiantes piensen en los referentes de las variables (usualmente números reales), pero también necesitamos que puedan operar con las variables sin estar recurriendo a sus referentes.  CONCLUSIONES Conclusión: las cuatro interpretaciones deben ser utilizadas en la elaboración de un currículo de álgebra, es necesario combinarlos. Un tratamiento inicial como aritmética generalizada favorece el desarrollo de los otros aspectos. (Socas et al., 1996)  PRÁCTICA En parejas resuelva la práctica del tema.  Referencias empleadas Pinto, E., Ayala-Altamirano, C., Molina, M. y Cañadas, M. (2023). Desarrollo del pensamiento algebraico a través de la justificación en educación primaria. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 41-1, 149-173. https://doi.org/10.5565/rev/ensciencias.5835 Vergel, R. y Rojas, P. (2018). Álgebra escolar y pensamiento algebraico: aportes para el trabajo en el aula. Editorial Universidad Distrital de Francisco José Caldas.  EARLY ALGEBRA Concepción más amplia del álgebra que no se restringen al uso de simbolismo algebraico (e.g., Kaput, 2008, Molina, 2009; Radford, 2018). Engloba el estudio de relaciones funcionales, de generalización de patrones y relaciones numéricas, de las estructuras, desarrollo y manipulación de simbolismo y la modelización (Schlieman et al., 2003). Rompe creencias como: 1. Para aprender álgebra es necesario tener cierto nivel de abstracción que sólo se ha alcanzado en secundaria (Blanton et al., 2015) 2. Primero se enseñan aritmética, luego álgebra (Kaput, 2008; Radford, 2018). “la aritmética necesita del pensamiento algebraico” (Mason et al., 2005, p.59). “La aritmética es imposible sin álgebra” (Hewitt, 1998, p.8). La aritmética consiste en el aprendizaje de métodos (generalidades) para hacer cálculos aritméticos. La aritmética se ocupa del resultado, y el álgebra de obtener una forma estructurada de obtener el resultado.  EARLY ALGEBRA El propósito es generar mejores bases algebraicas y evitar las dificultades que suelen enfrentar los estudiantes en cursos superiores (Kilpatrick et al., 2001). No es la introducción temprana de contenido algebraico (Carraher y Schliemann, 2007). Propone fomentar el aprendizaje y desarrollo del pensamiento algebraico desde el inicio de la escolarización (Blanton y Kaput, 2005; Cañadas y Molina, 2016; Molina, 2009). El énfasis está en la generalización de ideas matemáticas y la representación, justificación y razonamiento con esas generalizaciones (Bastable y Schifter, 2008; Blanton et al., 2011; Kaput, 2008). Pensamiento algebraico  Pensamiento algebraico Es el reconocimiento de una regularidad, la generación de nuevos casos en los que aplica y su respectiva expresión. Concibe tres etapas: ver, decir, registrar (Mason, 1999) Pensamiento algebraico Herramientas en forma de signos o gráficos específicos, contextualizados y convencionales que hacen presentes los objetos matemáticos (Rico, 2009). Multiplicidad de representaciones para la expresión del pensamiento algebraico (lenguaje natural, tablas, lenguaje simbólico algebraico, expresiones genéricas, representación numérica, pictórico). Pensamiento algebraico Herramientas en forma de signos o gráficos específicos, contextualizados y convencionales que hacen presentes los objetos matemáticos (Rico, 2009). Multiplicidad de representaciones para la expresión del pensamiento algebraico (lenguaje natural, tablas, lenguaje simbólico algebraico, expresiones genéricas, representación numérica, pictórico).  Pensamiento algebraico La justificación de cada razonamiento, la comunicación clara de ideas en la expresión de regularidades y el establecimiento de conexiones con base esencial para dotar de significado a las Estas cuatro prácticas deben estar presentes en la construcciones algebraicas. actividad algebraica, independientemente del enfoque del álgebra escolar que se considere.  TAREAS 1. Terminar la práctica dada en clase 2. Lectura semana 3 ver en MV 3. Traer escritas para el viernes 30 de agosto definiciones sobre: sucesión númerica y patrón (una formal matemática, y al menos dos en contexto escolar de diferentes niveles). Puede buscar en libros de primaria o secundaria, o bien en internet, escriba la referencia de donde se toman. Tráigalas para entregar a la profesora con su nombre.