Fonctions Polynomiales de Degré 3 - PDF

**Fonctions polynômes de degré́ 3** **L'essentiel** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **Capacités** | **Connaissances** | +===================================+===================================+ | - Étudier la fonctio...

**Fonctions polynômes de degré́ 3** **L'essentiel** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **Capacités** | **Connaissances** | +===================================+===================================+ | - Étudier la fonction cube : | - Fonction cube. | | dérivée, variations, | | | représentation graphique. | - Dérivée de la fonction cube. | | | | | - Utiliser les formules et les | - Fonction polynôme de degré 3. | | règles de dérivation pour | | | déterminer la dérivée d'une | | | fonction polynôme de degré | | | inférieur ou égal à 3. | | | | | | - Dresser, à partir du signe de | | | la dérivée, le tableau de | | | variations d'une fonction | | | polynôme de degré inférieur | | | ou égal à 3. | | | | | | - Exploiter le tableau de | | | variations d'une fonction | | | polynôme ƒ de degré inférieur | | | ou égal à 3 pour : | | | | | | | | | | | | - déterminer le nombre des | | | solutions de l'équation ƒ(x) | | | = c, où c est un nombre réel | | | ; | | | | | | - déterminer les éventuels | | | extremums locaux de la | | | fonction ƒ. | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ - Fonction cube - La fonction cube est définie pour tout x réel par f(x) = x^3^. - Sa dérivée est la fonction définie pour tout x réel par f '(x) = 3x^2^. Pour tout x réel, f '(x) \> 0, ce qui signifie que la fonction cube est une fonction strictement croissante. - Fonction dérivée Soit *f* une fonction définie sur un intervalle I et x~A~ un nombre de I. On note C la courbe représentative de *f*.  - **Nombre dérivé** : --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Le **nombre dérivé** de *f* en x~A~, noté ***f* '(x~A~)** est le coefficient directeur de la tangente T à C en son point A de coordonnées (x~A~ ; *f*(x~A~)). --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - **Fonction dérivée** : +-----------------------------------------------------------------------+ | La **fonction dérivée** (ou dérivée) de *f* est la fonction, qui, à | | tout nombre x de I, fait correspondre le nombre dérivé *f* '(x). | | | | On la note ***f* '**. | +-----------------------------------------------------------------------+ - Dérivées des fonctions de référence et règles de dérivation +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **Fonction *f*(x)** | **Dérivée *f* '(x)** | +===================================+===================================+ | ax + b | a | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | x^2^ | 2x | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | x^3^ | 3x^2^ | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | u(x) + v(x) | u\'(x) + v'(x) | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | k\*u(x) | k\*u\'(x) | | | | | k nombre réel | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ - Dérivée et sens de dérivation d'une fonction Soit une fonction *f* et sa dérivée *f **'**.* - Si *f **'*** (x) = 0 sur un intervalle \[a ; b\], alors la fonction *f* est constante sur cet intervalle. - Si *f **'*** (x) \> 0 sur un intervalle \[a ; b\], alors la fonction *f* est strictement croissante sur cet intervalle. - Si *f **'*** (x) \< 0 sur un intervalle \[a ; b\], alors la fonction *f* est strictement décroissante sur cet intervalle. x a b -------------- ----- *f **'***(x) \+ *f* x a b -------------- ----- *f **'***(x) − *f* - Extremum d'une fonction Si, pour tout nombre x~0~ de \[a ; b\], la dérivée de la fonction *f* **s\'annule en changeant de signe** en x~0~, alors la fonction admet un extremum en x~0~. Un extremum peut être un **minimum** ou un **maximum**. x a x~0~ b -------------- ------------ *f **'***(x) − 0 + *f* *f* (x~0~) x a x~0~ b -------------- ------------ *f **'***(x) \+ 0 − *f* *f* (x~0~) La fonction *f* admet pour x = x~0~ La fonction *f* admet pour x = x~0~ un minimum égal à *f* (x~0~) un maximum égal à *f* (x~0~)