Tema Circunferencia y Ángulos PDF
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Universidad de Valladolid
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Este documento del tema Circunferencia y Ángulos, de la Universidad de Valladolid, explica conceptos básicos de geometría, como circunferencia, círculos, ángulos centrales e inscritos, así como sus propiedades y relaciones.
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CIRCUNFERENCIA Y ÁNGULOS Área de Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid 1. INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 1 2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO.............................
CIRCUNFERENCIA Y ÁNGULOS Área de Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid 1. INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 1 2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO....................................................... 1 3. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA........................................................ 3 4. MEDICIÓN DE ÁNGULOS............................................................................ 4 5. RELACIONES ANGULARES...................................................................... 5 ACTIVIDADES PRÁCTICAS ………………………………………………………….8 1. INTRODUCCIÓN Este capítulo está orientado a la medición de ángulos y para ello es necesario conocer de manera sólida las herramientas de medición. La fundamental es la circunferencia, ya que esta figura proporciona un sistema de medición a través de su arco. Así pues, después de detallar las características de esta línea cerrada y de las propiedades de elementos que se pueden considerar en la misma, estableceremos cómo se miden los ángulos centrales y las relaciones angulares que se producen según sea la posición de éstos respecto de la circunferencia. 2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO Una circunferencia es una línea cerrada y plana cuyos puntos equidistan de uno fijo que se denomina centro. El segmento que une uno cualquiera de sus puntos con el centro se denomina radio. Definiciones ligadas a la circunferencia La región interior a la circunferencia se denomina círculo. 1 de 11 La porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma se denomina arco. El segmento que determinan dos puntos cualesquiera de la circunferencia se denomina cuerda. La cuerda que contiene al centro de la circunferencia se denomina diámetro. La porción de círculo limitada entre una cuerda y el arco que esta determina se denomina segmento circular. La porción de círculo limitada entre dos radios y el arco comprendido se denomina sector circular. Las posiciones de una recta sobre una circunferencia son: exterior (si todos los puntos de la recta son exteriores a la circunferencia), secante (si recta y circunferencia tienen dos puntos en común) y tangente (si tienen un único punto en común). Propiedades ligadas a la circunferencia y sus elementos Cada diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias (Ídem con el círculo, que lo divide en dos semicírculos). La mediatriz de cualquier cuerda contiene al centro de la circunferencia (ya que el centro está a la misma distancia de los dos extremos de la cuerda, al ser esas distancias iguales al radio). La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio determinado por el centro y el punto de tangencia. De hecho, la recta tangente se define como recta perpendicular al radio en el punto de tangencia. Tres puntos no alineados determinan una única circunferencia, cuyo centro es el punto de corte de las mediatrices de los segmentos determinados por los puntos (estos segmentos serán cuerdas de dicha circunferencia). Tarea 1. Sitúa tres puntos y dibuja con precisión la circunferencia que pasa por ellos. Posiciones de dos circunferencias Exteriores: Cada circunferencia está formada por puntos exteriores de la otra. Interiores: Una circunferencia es interior a otra cuando aquella está formada por puntos del círculo de ésta. 2 de 11 Concéntricas: Dos circunferencias son concéntricas si tienen el mismo centro. A la región del plano que delimitan se le denomina corona circular. Secantes: Dos circunferencias son secantes si tienen dos puntos en común. Tangentes interiores: Dos circunferencias son tangentes interiores si sólo tienen un punto en común y el resto de los puntos de una de ellas son puntos del círculo de la otra. En ese caso, los centros y el punto de tangencia están alineados. Tangentes exteriores: Dos circunferencias son tangentes exteriores si sólo tienen un punto en común y el resto de los puntos de una de ellas son puntos del exterior de la otra. El centro de cada una es exterior a la otra y ambos centros están alineados con el punto de tangencia. Tarea 2. Estudia la relación que debe existir para cada una de las seis posiciones anteriores entre los radios de las dos circunferencias (R1 y R2) y la distancia (d) entre los dos centros de cada una. Formula conjeturas al respecto. 3. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Según la posición de un ángulo respecto de una circunferencia, los ángulos se pueden clasificar en: Central: El vértice del ángulo es el centro de la circunferencia. Inscrito: El vértice del ángulo está en la circunferencia y cada uno de los dos lados del ángulo contienen una cuerda de la misma. Semiinscrito: El vértice del ángulo está en la circunferencia, uno de los lados del ángulo contiene una cuerda de la circunferencia y el otro está en la tangente a la circunferencia en dicho punto. 3 de 11 Exterior: El vértice del ángulo está en el exterior de la circunferencia y los lados son secantes o tangentes a la circunferencia Interior: El vértice del ángulo está en el interior de la circunferencia, es decir, es un punto del círculo. Estos ángulos cortan a la circunferencia en dos, tres o cuatro puntos y determinan arcos de circunferencia (marcados con línea de trazos en las imágenes). En el apartado cinco de este tema veremos varios teoremas con relaciones angulares que nos permiten conocer la amplitud de ángulos de cada uno de estos tipos a partir de ángulos centrales, que son los ángulos que pueden medirse. 4. MEDICIÓN DE ÁNGULOS La forma más sencilla de medir ángulos es trazar una circunferencia centrada en el vértice y comparar la longitud del arco comprendido entre los dos lados del ángulo con la longitud de la circunferencia que, como es sabido, es 2πr, siendo r la longitud del radio. La unidad de medida de ángulos más natural es el radián, que es la amplitud de un ángulo cuyo arco es igual a la longitud del radio de la circunferencia centrada en el vértice del ángulo que contiene a dicho arco (ver imagen a la derecha, tomada de https://www.gaussianos.com/que-es-un-radian/). Con esta unidad de medida, la circunferencia completa tiene 2π radianes, el ángulo llano π radianes, el ángulo recto π/2 radianes, etc. Otra unidad de medida es el grado sexagesimal, que es la amplitud de un ángulo cuyo arco es 2πr/360, siendo r el radio con el que se traza el arco. Es decir, se divide a la circunferencia de centro el vértice del ángulo en 360 partes, que se denominan grados, y un 4 de 11 ángulo que mida un grado tiene como arco una de estas divisiones. Con esta unidad de medida, la circunferencia completa mide 360º. En el sistema sexagesimal, heredado de los babilónicos, cada grado se divide en 60 minutos (1º = 60’) y cada minuto en 60 segundos (1’ = 60’’). El instrumento que se utiliza para medir un ángulo en grados se llama transportador. Para medir un ángulo, se coloca el transportador sobre el ángulo de manera que el vértice, A, coincida con el centro de la circunferencia que constituye el borde del transportador y que uno de los lados del ángulo contenga al radio AC, en 0º ó 180º. El ángulo de la figura mide 39 grados. Cuando el ángulo sea mayor que uno llano (cóncavo) se mide el exceso del llano y se suma a 180º, o bien se mide el ángulo convexo correspondiente y se resta a 360º dicha medida. Con el transportador también se pueden trasladar ángulos para ser sumados o restados, pero conviene tener en cuenta que, por estar sujetas a una escala, sus mediciones son siempre aproximadas. Con el compás, teóricamente, se toma la amplitud exacta. Arcos de circunferencia: La medida en grados (o radianes) de un arco de circunferencia coincide con la medida del ángulo central construido uniendo el centro con los extremos del arco (la porción de circunferencia que queda dentro del ángulo es justamente el arco). Tarea 3 (tarea bonita). Construid un radián en un soporte físico. Para ello, traza varios arcos de circunferencia de distinto radio, todos con centro en el origen de una semirrecta. Corta unos cables finos o cuerdas de longitud igual a la de cada radio. Pon sobre cada circunferencia el cable o cuerda de longitud igual a su radio a partir de la intersección de la circunferencia con la semirrecta. Comprueba que los extremos del cable determinan el mismo ángulo en todos los casos. Ese ángulo mide un radián. 5. RELACIONES ANGULARES En este apartado se enuncian y demuestran una serie de resultados que relacionan la amplitud de cada uno de los diferentes tipos de ángulos según su posición con respecto a una circunferencia en relación a la amplitud de ángulos centrales, que son los ángulos que pueden ser medidos. En particular los ángulos centrales que nos van a interesar son los ángulos centrales correspondientes a los ángulos anteriores, que son aquellos tales que el arco de circunferencia situado en el interior de ambos ángulos es el mismo (esa circunstancia suele indicarse diciendo que ambos subtienden el mismo arco). En las figuras adjuntadas junto a las definiciones del apartado 3 (diferentes tipos de ángulos respecto de una circunferencia), los ángulos centrales correspondientes se comienzan a marcar (ya que únicamente se trazan los radios, no las semirrectas que los contienen) con línea discontinua. Teorema del ángulo inscrito: La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la de su ángulo central correspondiente. 5 de 11 Demostración: El centro de la circunferencia se puede encontrar en tres posiciones diferentes: en uno de los lados del ángulo, dentro del ángulo o fuera del ángulo. Hay que demostrar el teorema en cada una de ellas. En el caso de que el centro se encuentre en uno de los lados (figura de la derecha), se forma un triángulo isósceles AOC (dos lados son radios de la circunferencia). Así, los ángulos α y α’ son iguales, α = α’. Por otra parte, β = α + α’, ya que β es ángulo exterior al triángulo AOC (suplementario a δ) y éste es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes al mismo. Uniendo todo lo anterior, β = 2α, por lo que α = β / 2. En el caso de que el centro esté dentro del ángulo, dibujando la semirrecta que pasa por el vértice y el centro, el ángulo inscrito se divide en dos ángulos del tipo anterior, por lo que aplicando el teorema para ambos casos, el resultado también es válido para la suma α1 + α2. Si el centro está fuera del ángulo, dibujando la semirrecta que pasa por el vértice y el centro, el ángulo inscrito α sería la diferencia α1 - α2, por lo que aplicando el teorema tanto para α1 como para α2 también se cumpliría para la diferencia α1 - α2. Tarea 4. Completa la escritura de la demostración para estos dos casos. Consecuencia directa 1: Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco tienen la misma amplitud (al tener el mismo ángulo central correspondiente). Consecuencia directa 2: Dada una circunferencia, un diámetro de la misma y otro punto cualquiera de la circunferencia, el triángulo formado por este punto y los dos extremos del diámetro es un triángulo rectángulo (¿Por qué? Dibuja la situación y examina si hay algún ángulo inscrito en la circunferencia del que sepas la amplitud de su ángulo central correspondiente…) Otras relaciones angulares El teorema del ángulo inscrito permite establecer relaciones del resto de ángulos con los centrales correspondientes. 6 de 11 Teorema del ángulo semiinscrito: La amplitud de un ángulo semiinscrito es la mitad de la de su ángulo central correspondiente. Demostración: Como α es un ángulo semiinscrito, α+δ = 90º (el radio VC es perpendicular al lado tangente). Los ángulos β y γ son suplementarios y γ = 2δ (por el teorema del ángulo inscrito, al ser γ el ángulo central correspondiente al inscrito δ), por lo que β y 2δ son suplementarios, β + 2δ = 180º (*). De la primera expresión, si multiplicamos por dos, 2α + 2δ = 180º (**). Comparando (*) y (**) y simplificando el sumando común, β = 2α, por lo que α = β/2. Teorema del ángulo interior: La amplitud de un ángulo interior (en la figura, α o β) es la semisuma (la mitad de la suma) de las amplitudes de los dos ángulos centrales correspondientes a los dos ángulos interiores (y opuestos por el vértice) α y β. Dicho de otra manera, es la semisuma de los amplitudes de los ángulos centrales que subtienden el mismo arco que α y que β (ángulo opuesto por el vértice a α, prolongando sus lados). Demostración: Los ángulos α y β son opuestos por el vértice, por lo que α = β. α = δ + ε por ser α ángulo exterior en el triángulo dibujado, por lo que es igual a la suma de los ángulos interiores del triángulo no adyacentes. δ y ε son ángulos inscritos en la circunferencia, por lo que su amplitud es la mitad de la de sus centrales correspondientes, ϕ y θ, respectivamente. Juntando todo lo anterior: α = β = δ + ε = ϕ / 2 + θ / 2 = (ϕ + θ) / 2 = α Teorema del ángulo exterior: La amplitud de un ángulo exterior (en la figura, α) es la semidiferencia (mitad de la diferencia) de las amplitudes de los ángulos centrales correspondientes que subtienden los arcos β y δ (los dos arcos de circunferencia contenidos en la región angular). Demostración: ϕ = α + θ por ser ϕ ángulo exterior en el triángulo dibujado, por lo que es igual a la suma de los ángulos interiores del triángulo no adyacentes. Despejando α, α = ϕ − θ. Los ángulos ϕ y θ son inscritos en la circunferencia, por lo que su amplitud es la mitad de la de sus centrales correspondientes, β y δ, respectivamente. Juntando todo lo anterior: α = ϕ − θ = β / 2 − δ / 2 = (β − δ) / 2 = α 7 de 11 Material de apoyo para ayudar a entender las cuatro relaciones angulares y sus demostraciones En los siguientes enlaces se encuentran vídeos que se grabaron como parte de un Proyecto de Innovación Docente del Área de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Valladolid. En ellos se explican, comprueban y demuestran las cuatro relaciones angulares: Teorema del ángulo inscrito: https://youtu.be/s9eRDXU8PR8 Teorema del ángulo semiinscrito (en el vídeo se hace otra demostración diferente a la contenida en estos apuntes): https://youtu.be/tm1Qj-7UuEg Teorema del ángulo interior: https://youtu.be/sGNOsJtT6mc Teorema del ángulo exterior: https://youtu.be/U1C9UaPbWGs Finalizamos el tema indicando que el teorema del ángulo inscrito permite establecer otra demostración diferente de uno de los teoremas básicos de la geometría. Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es de 180º (π radianes o, lo que es lo mismo, un ángulo llano). Demostración (otra demostración): Considerando la circunferencia que pasa por sus tres vértices, los ángulos del triángulo α, β y δ son inscritos a esta circunferencia y los arcos de sus centrales correspondientes α1, β1 y δ1 son toda la circunferencia. Por tanto: α + β + δ = α1/2 + β1/2 + δ1/2 = (α1+β1+δ1) / 2 = 180º= π radianes ACTIVIDADES PARA PRACTICAR 1. Calcula el menor de los dos ángulos que forman las agujas del reloj en cada uno de los casos siguientes: (a) 12h 30’ (b) 2h 15' (c) 10h 35' (d) 5h 10’ (e) 7h 23' (f) 3h 52’ 2. El ángulo formado por un cateto y la prolongación de la hipotenusa en un triángulo rectángulo es de 125º 13' 4”. Halla los ángulos del triángulo. 3. De la figura de la izquierda conocemos que AD es un diámetro, que el ángulo a mide 80º y el ángulo b, 44º. (a) Calcula la amplitud del ángulo c. (b) Se trazan las cuerdas PA, PB, PC y PD. Calcula el valor de los ángulos APB, BPC y CPD. 8 de 11 4. En la figura de la derecha, se sabe el valor de los siguientes ángulos centrales: AOP=80º, POC=70º, COM=40º y AOR=45º. Halla razonadamente la medida de los cuatro ángulos (interiores) del cuadrilátero ABCD. 5. Se sabe que, en la figura de la derecha, el ángulo a mide 90º y el ángulo b, 30º. ¿Cuál es el valor de los ángulos c y d? 6. Se divide una circunferencia en 15 partes iguales y se numeran los puntos de división consecutivamente. Halla el ángulo que forma la recta 1-7 (recta que pasa por los puntos 1 y 7) con la 1-9. Misma pregunta con las rectas 1-4 y 7-9. 7. En la figura de la derecha, AB es un diámetro y C un punto cualquiera de la circunferencia. Indica de manera razonada cuáles de las siguientes igualdades sobre los ángulos numerados son ciertas o no: (a) El ángulo 1 tiene la misma amplitud que el ángulo 2 (b) El ángulo 3 tiene la misma amplitud que el ángulo 4 (c) La suma de amplitudes de los ángulos 1 y 2 coincide con la suma de las amplitudes de los ángulos 3 y 4. (d) Los ángulos 2 y 3 suman 90º. (e) La suma de amplitudes de los ángulos 1 y 4 coincide con la suma de las amplitudes de los ángulos 2 y 3. 8. Encuentra de forma razonada la medida en grados de los ángulos a, b, c, d y e de la figura de la izquierda, sabiendo que AB es un diámetro y O su punto medio. 9 de 11 9. En la figura de la derecha, se ha dibujado un ángulo inscrito ABC en una circunferencia de centro A. La semirrecta BC es paralela a la recta AD. Demuestra que los dos ángulos marcados en la figura, alfa y beta, tienen la misma amplitud. 10. Se divide una circunferencia en 12 partes iguales y se numeran consecutivamente los puntos de división. Dibujando las cuatro rectas (secantes o tangentes) que pasan por algunos de esos puntos que se ven en el dibujo de la derecha se obtienen los vértices del cuadrilátero ABCD de la figura. Hallar razonadamente la amplitud de cada uno de los cuatro ángulos interiores del cuadrilátero. 11. Un ángulo de 64º tiene sus lados tangentes a una B circunferencia. ¿Cuánto mide cada uno de los dos arcos en 3 6 los que los puntos de tangencia dividen a la circunferencia? 2 5 12. En la figura de la derecha, sabiendo que BH es una A 1 7 4 C H O altura del triángulo ABC, que O es el centro de la circunferencia y que el ángulo 1 mide 72º 46´, calcula la amplitud de cada uno de los demás ángulos numerados que aparecen en la figura adjunta. 13. En la figura de la izquierda, se sabe que el ángulo alfa (ángulo DBC) mide 40º, que el ángulo beta (ángulo ECF) mide 20º, y que los segmentos DB y CE son paralelos. Calcula, explicando los pasos seguidos, la amplitud de los ángulos gamma (ángulo CFE) y delta (ángulo DGC). 14. Explica cómo construirías, con la ayuda de una cuerda y un compás, un ángulo cuya amplitud fuera de dos radianes. ¿Cuál es la amplitud, en grados, de dicho ángulo? 10 de 11 15. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando la respuesta: (a) Dadas dos circunferencias secantes, es posible dibujar una circunferencia que sea interior a la vez a ambas circunferencias. (b) Un semicírculo es un sector circular de 180º de amplitud. (c) Un ángulo semiinscrito en una circunferencia tiene siempre una amplitud de 90º, al ser un lado perpendicular al radio que une el centro con el punto de tangencia. (d) Es imposible dibujar un ángulo inscrito en una circunferencia que sea obtuso. 11 de 11