Examen de Matemática Básica 2022-2 PDF

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PROGRAMA DE ESTUDIO ESTUDIOS S GENERALES ASIGNATURA: Matemática Básica CICLO CICLO: 2022-2 TIEMPO: 90 minutos SOLUCIÓN Y CRITE CRITERIOS RIOS DEL EXAMEN ESCRITO N° 4 Pregunta 1 (4 puntos) Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones (use un método gráfico o analítico para justificar su respuesta). a) (1P) Los focos de una elipse son los puntos 𝐹1 (6; 3) y 𝐹2 (6; −5). Luego, la recta 𝑦 = −1 es el eje normal de la elipse. b) (1P) El centro de una circunferencia es el punto 𝑄(−1; 2). Si su radio mide 5 unidades, entonces la circunferencia pasa por el punto 𝑃(−1; −3). c) (1P) El vértice y el foco de una parábola son los puntos 𝑉(2; 3) y 𝐹(𝑎; 𝑏), respectivamente. Si el parámetro de la parábola es 𝑝 = −3 y su directriz es una recta horizontal, entonces 𝑎 + 𝑏 = 8. d) (1P) El eje focal de una parábola es la recta 𝑥 = 3. Si un extremo de su lado recto es el origen de coordenadas, entonces el foco de la parábola es el punto (3; 0). Solución a) Por determinar las coordenadas del centro: 𝑄(6; −1). (0,5P) Por lo tanto, eje normal de la elipse es la recta 𝑦 = −1 (Verdadero). (0,5P) b) Por calcular: 𝑑(𝑄; 𝑃) = 5 u. (0,5P) Como se cumple que: 𝑑(𝑄; 𝑃) = 5 u = 𝑟. (Verdadero). (0,5P) c) De acuerdo con los datos, el foco es el punto 𝐹(2; 0). (0,5P) Por lo tanto, 𝑎 + 𝑏 = 2. (Falso). (0,5P) d) Por deducir que, el lado recto se ubica en el eje de abscisas. (0,5P) Por lo tanto, el foco es el punto (3; 0). (Verdadero). (0,5P) Pregunta 2 (5 puntos) Esta pregunta consta de dos partes independientes. Primera parte (2,5 puntos) Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos 𝐴(−2; −3) y 𝐵(8; 5). Determine las ecuaciones ordinaria y general de dicha circunferencia. Por las coordenadas del centro de la circunferencia: 𝑄(3; 1). (0,5P) Por la longitud del radio de la circunferencia: 𝑟 = 𝑑(𝑄; 𝐵) = √41 u. (0,5P) Ecuación ordinaria de la circunferencia: 𝒞: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 41. (1,0P) Ecuación general de la circunferencia: 𝒞: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 − 31 = 0. (0,5P) Segunda parte (2,5 puntos) Dada la ecuación general de la circunferencia 𝒞: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 4𝑦 + 11 = 0, determine: a) (1,5P) La ecuación ordinaria de la circunferencia. b) (1,0P) Las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia. Solución (0,5P) por +16 a) 𝒞: 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = −11 + 16 + 4. en ambos lados. (0,5P) por +4 en Luego, se obtiene la ecuación ordinaria ambos lados. 𝒞: (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 9 = 32 (0,5P) por la respuesta. b) De la ecuación ordinaria: Coordenadas del centro 𝑄(−4; 2). (0,5P) Longitud del radio: 𝑟 = 3 u. (0,5P) Pregunta 3 (7 puntos) Esta pregunta consta de dos partes independientes. Primera parte (3,5 puntos) Los extremos del lado recto de una parábola son los puntos 𝐿(2; 4) y 𝑅(10; 4). Si la parábola se abre hacia arriba, determine: a) (1,5P) Las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y el valor del parámetro 𝒑. b) (1,0P) Las coordenadas del vértice y la ecuación de la recta directriz. c) (1,0P) Las ecuaciones ordinaria y general de dicha parábola. Solución a) Como el foco 𝐹 es el punto medio del lado recto, entonces 𝐹(6; 4). (0,5P) Longitud del lado recto: 𝐿. 𝐿. 𝑅. = 𝑑(𝐿; 𝑅) = 8 unidades (0,5P) Como la parábola se abre hacia arriba, entonces el parámetro es positivo. Por lo tanto, entonces 𝑝 = 2 (0,5P) b) Como 𝑝 = y el vértic 𝑉 está a 2 unidades debajo del foc 𝐹, entonces las coordenadas del vértice son 𝑉(6; 2). (0,5P) Según los datos, la recta directriz es horizontal y se encuentra a 2 unidades debajo del vértice. Luego, la ecuación de la directriz es (0,5P) 𝐿𝑑 : 𝑦 = 0. c) Ecuación ordinaria de la parábola 𝒫: (𝑥 − 6)2 = 8(𝑦 − 2). (0,5P) Ecuación general de la parábola 𝒫: 𝑥 2 − 12𝑥 − 8𝑦 + 52 = 0. (0,5P) Segunda parte (3,5 puntos) Dada la ecuación general de la elipse ℰ: 16𝑥 2 + 25𝑦 2 − 128𝑥 − 150𝑦 + 81 = 0, determine: a) (2,0P) La ecuación ordinaria de la elipse. b) (1,5P) Las coordenadas del centro de la elipse y del foco ubicado en el primer cuadrante. Solución a) ℰ: 16(𝑥 2 − 8𝑥 + 16) + 25(𝑦2 − 6𝑦 + 9) = −81 + 16(16) + 25(9) = 400 (0,5P) por cada 2 2 término del 1er (𝑥 − 4) (𝑦 − 3) miembro. Luego, la ecuación ordinaria es ℰ: + =1 25 16 (1,0P) por la E.O. b) De la ecuación ordinaria: Coordenadas del centro 𝑄(4; 3). (0,5P) De la ecuación ordinaria: 𝑎 = 5 y 𝑏 = 4, entonces 𝑐 = 3. (0,5P) El foco 𝑭 de máxima abscisa se encuentra a 3 unidades a la derecha del (0,5P) centro, entonces las coordenadas son 𝐹(7; 3). Pregunta 4 (4 puntos) La boca de un túnel trasandino tiene la forma de un arco parabólico de eje focal vertical. El arco parabólico tiene una altura máxima de 6 metros y la distancia entre los puntos de la base del túnel es de 10 metros. ¿A qué altura se encuentra un punto 𝐴 de la boca del túnel, ubicado a 1 metro del eje focal? De acuerdo con el enunciado, para resolver la pregunta, tenga en cuenta lo siguiente: a) (1,0P) Grafique el arco parabólico en un sistema de coordenadas con el origen en el punto medio de la base del túnel y el eje 𝑌 como eje focal. Luego, halle las coordenadas del vértice. b) (1,5P) Calcule el valor del parámetro 𝒑 de la parábola que contiene a la boca del túnel. c) (0,5P) Halle la ecuación ordinaria de la parábola que contiene al arco parabólico. d) (1,0P) ¿A qué altura se encuentra el punto 𝐴 de la boca del túnel, ubicado a 1 metro del eje focal? Solución a) (0,5P) por los ejes y el arco Coordenadas del vértice parabólico. 𝑉(0; 6) (0,5P) por el vértice. b) Por plantear 𝒫: (𝑥 − 0)2 = 4𝑝(𝑦 − 6). (0,5P) Por reemplazar las coordenadas del punto (5; 0): (5)2 = 4𝑝(0 − 6). (0,5P) Luego, el valor del parámetro es 𝑝 = −25 24 (0,5P) 25 c) Ecuación ordinaria 𝒫: 𝑥 2 = − 6 (𝑦 − 6). (0,5P) d) Se reemplaza las coordenadas del punto 𝐴(1; 𝑎), en la ecuación ordinaria de la parábola, y se obtiene que 𝑎 = 5,76. (0,5P) Respuesta: El punto 𝐴 de la boca del túnel se encuentra a 5,76 metros (0,5P) de altura.  PROGRAMA DE ESTUDIO ESTUDIOS S GENERALES ASIGNATURA: Matemática Básica CICLO CICLO: 2023-1 TIEMPO: 90 minutos SOLUCIÓN Y CRITE CRITERIOS RIOS DEL EXAMEN ESCRITO N° 4 Pregunta 1 (4 puntos) Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones (use un método gráfico o analítico para justificar su respuesta). 𝑥2 𝑦2 a) (1P) Si la ecuación de una hipérbola es − = 1, entonces una de sus asíntotas tiene por 9 4 4 ecuación 𝑦 = 9 𝑥. 𝑥2 𝑦2 b) (1,5P) Si uno de los focos de la elipse con ecuación 𝑎2 + 9 = 1 es el punto (−4; 0), entonces su diámetro mayor mide 10u. c) (1,5P) Si el foco de una parábola es el punto (0; 3 ) y la ecuación de su recta directriz es 𝑦 = −3, entonces uno de los extremos de su lado recto es el punto (−3; 3). 2 a) Por calcular la pendiente: 𝑚 =. (0,5P) 3 2 Por lo tanto, sus asíntotas son 𝑦 = ± 𝑥. FALSO. (0,5P) 3 b) Por el valor de 𝑐 = 4. (0,5P) Por el valor del radio mayor 𝑎 = 5. (0,5P) Por el diámetro mayor 2𝑎 = 10. VERDADERO. (0,5P) c) Por el parámetro: 𝑝 = 3. (0,5P) Por la longitud del lado recto: 4|𝑝| = 12u. (0,5P) Por los extremos del lado recto: (−6; 3), (6; 3). FALSO. (0,5P) Pregunta 2 (4 puntos) Dada la ecuación de la elipse ℰ: 16𝑥 2 + 25𝑦 2 − 64𝑥 + 50𝑦 − 311 = 0, determine: a) (2,0P) La ecuación ordinaria de la elipse y el valor del parámetro 𝑐. b) (1,5P) Las coordenadas de los vértices, de los covértices y de los focos de la elipse. c) (0,5P) La distancia de un foco a un covértice. (𝑥−2)2 (𝑦+1)2 a) Por la ecuación ordinaria: ℰ: + = 1. 25 16 (1P) Por los valores de 𝑎 = 5, 𝑏 = 4. (0,5P) Por el valor de 𝑐 = 3. (0,5P) b) Por los vértices: (−3; −1), (7; −1). (0,5P) Por los covértices:(2; −5), (2; 3). (0,5P) Por los focos: (−1; −1), (5; −1). (0,5P) c) Distancia entre un foco y un covértice:5u. (0,5P) Pregunta 3 (4 puntos) Los extremos del lado recto de una parábola son los puntos 𝐿(−3; −5) y 𝑅(−3; 11), si su vértice se encuentra ubicado en el primer cuadrante, determine: a) (2P) Las coordenadas del foco, del vértice, la ecuación de la directriz y la ecuación del eje focal. b) (2P) La ecuación general de la parábola. (0,5P) Cada a) Por las coordenadas del foco y el vértice: 𝐹(−3; 3) y 𝑉(1; 3). punto. Por las ecuaciones de la directriz y el eje focal: 𝑥 = 5, 𝑦 = 3. (0,5P) Cada ecuación. b) Por la ecuación ordinaria: (𝑦 − 3)2 = −16(𝑥 + 1). (1P) Por la ecuación general: 𝑦 2 + 16𝑥 − 6𝑦 + 25 = 0. (1P) Pregunta 4 (4 puntos) Los vértices de una hipérbola son los puntos 𝑉1 (−3; −1) y 𝑉2 (−3; 5), uno de sus covértices es el punto (1; 2), determine: a) (2 puntos) La ecuación ordinaria de la hipérbola. b) (2 puntos) Los focos de la hipérbola y las ecuaciones de las asíntotas.  (0,5P) Por cada a) Por el valor de 𝑎 = 3 y 𝑏 = 4. valor. (1P) Por la (𝑦−2)2 (𝑥+3)2 Por la ecuación ordinaria: 𝐻: 9 − = 1. ecuación. 16 b) El valor de 𝑐 = 5. (0,5P) Los focos son: (−3; −3), (−3; 7). (0,5P) 3 La pendiente: 𝑚 = ±. (0,5P) 4 3 Las asíntotas: 𝑦 − 2 = ± 4 (𝑥 + 3). (0,5P) Pregunta 5 (4 puntos) En el ingreso a una ciudad del centro del Perú se va a construir una entrada de bienvenida de forma semielíptica (mitad de una elipse) que tiene una altura máxima de 10 metros y el ancho de la base también mide 10 metros, como se muestra en la figura. a) (2 puntos) Grafique la semielipse en un sistema bidimensional y determine su ecuación ordinaria. b) (2 puntos) Si se quiere colocar dos columnas a 2 metros de cada uno de los extremos de la base, calcule la altura de cada columna. a) La gráfica en un sistema coordenado: (1P) La gráfica, los ejes coordenados y la elipse. (1P) La ecuación. 𝑥2 𝑦2 La ecuación de la elipse: 𝐸: 25 + =1 100 (0,5P) b) 𝐴(−3; 𝑛) y 𝐷(3; 𝑛) 32 𝑛2 + =1 25 100 (0,5P) 𝑛=8 (0,5P) La altura de cada columna es 8 metros. (0,5P) Los profesores de la asignatura  PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES ASIGNATURA: Matemática Básica CICLO CICLO: 2022-1 TIEMPO: 90 minutos SOLUCIÓN Y CRITERIO CRITERIOS S DEL EXAMEN ESCRITO N° 4 Pregunta 1 (3 puntos) Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones (Use un método gráfico o analítico para justificar su respuesta). a) (1P) Si una circunferencia con centro en el origen pasa por el punto ( 4 ;−3 ) , entonces el diámetro de dicha circunferencia mide 10 unidades. b) (1P) Si la distancia del foco a la recta directriz de una parábola es 6 unidades, entonces la longitud del lado recto de dicha parábola es 12 unidades. c) (1P) Si los diámetros mayor y menor de una elipse miden 10 y 8 unidades, entonces la distancia entre los focos de la elipse es 3 unidades. a) Longitud del radio: r = √ 42 +(−3)2 unidades=5 unidades. (0,5P) Por lo tanto, el diámetro de la circunferencia mide 10 u. (Verdadero). (0,5P) b) De la condición: d ( F ; Ld ) =6 u=|2 p|. (0,5P) Luego, la longitud del lado recto: L. L. R.=|4 p|=12 u. (Verdadero). (0,5P) c) Como 2 a=10 y 2 b=6 , entonces c=3. (0,5P) Por lo tanto, d ( F1 ; F2) =(2 c )unidades=6 unidades. (Falso). (0,5P) Pregunta 2 (6 puntos) Esta pregunta consta de dos partes independientes. Primera parte (2,5 puntos) Si una circunferencia pasa por el punto P ( 3 ;1 ) y su centro es el punto Q (−2; 5 ) , determine: a) (0,5P) La longitud del radio de la circunferencia. b) (2,0P) Las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia. a) Longitud del radio: r = √ 5 2+(−4)2 unidades= √ 41unidades. (0,5P) b) Ecuación ordinaria C : (x+ 2)2 +( y−5)2=41. (1,0P) Ecuación general C : x 2 + y 2+ 4 x−10 y −12=0. (1,0P) Segunda parte (3,5 puntos) Dada la ecuación general de la circunferencia C : x 2 + y 2−4 x+ 6 y−3=0 , determine: a) (1,5P) La ecuación ordinaria de la circunferencia. b) (1,0P) Las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia. c) (1,0P) La gráfica de la circunferencia en el plano cartesiano y las coordenadas del punto de máxima ordenada.  (0,5P) por + 4 en a) C : x 2−4 x+ 4+ y 2+ 6 y+ 9=3+ 4 + 9. ambos lados. Luego, se obtiene la ecuación ordinaria (0,5P) por +9 en ambos lados. 2 2 C : (x−2) +( y +3) =16=4 2 (0,5P) por la respuesta. b) De la ecuación ordinaria: Coordenadas delcentro Q ( 2 ;−3 ). (0,5P) Longitud del radio: r =4 u. (0,5P) c) (0,5P) por el Coordenadas del gráfico. punto de máxima (0,5P) por las ordenada: P (2;1 ). coordenadas del punto P. Pregunta 3 (7 puntos) Esta pregunta consta de dos partes independientes. Primera parte (3,5 puntos) Los extremos del lado recto de una parábola son los puntos L ( 4 ; 7 ) y R ( 4 ;−1 ). Si el vértice se encuentra a la izquierda del foco, determine: a) (1,5P) Las coordenadas del foco y el valor del parámetro p de la parábola. b) (1,0P) Las coordenadas del vértice y la ecuación de la recta directriz. c) (1,0P) Las ecuaciones ordinaria y general de dicha parábola. a) Como el foco F es el punto medio del lado recto, entonces F (4 ; 3). (0,5P) Longitud del lado recto: L. L. R. =d ( L; R ) =8=|4 p| (0,5P) Como el vértice está a la izquierda del foco, entonces p=2 (0,5P) b) Como p=2 y el vértice V está a la izquierda del foco F , entonces las coordenadas del vértice son V ( 2; 3). (0,5P) Según los datos, la recta directriz es vertical y se encuentra a 2 unid. a la (0,5P) izquierda del vértice. Luego, la ecuación de la directriz es Ld : x=0. c) Ecuación ordinaria de la parábola P :( y −3)2 =8 ( x−2). (0,5P) Ecuación general de la parábola P : y 2−8 x−6 y +25=0. (0,5P) Segunda parte (3,5 puntos) Dada la ecuación general de la elipse E : 16 x 2+25 y 2−32 x−100 y−284=0 , determine: a) (2,0P) La ecuación ordinaria de la elipse. b) (1,5P) Las coordenadas del centro de la elipse y del foco ubicado en el segundo cuadrante. a) E :16 ( x 2−2 x+1) + 25( y ¿¿ 2−4 y +4 )=284+16 (1 )+ 25(4 )=400 ¿ (0,5P) por cada 2 2 término del 1er ( x−1) ( y−2) miembro. Luego , la ecuación ordinaria es E : + =1 25 16 (1,0P) por la E.O. b) De la ecuación ordinaria: Coordenadas delcentro Q (1 ; 2 ). (0,5P) De la ecuación ordinaria: a=5 y b=4 , entonces c=3. (0,5P) El foco F ubicado en el segundo cuadrante se encuentra a 3 unidades a la (0,5P) izquierda del centro, entonces las coordenadas son F (−2 ; 2 ). Pregunta 4 (4 puntos) El arco parabólico, que se muestra en la figura, representa la trayectoria descrita por una pelota lanzada desde el punto A hasta llegar al punto C. El punto A se encuentra a 5 pies de altura, mientras que los puntos B y C se encuentran en el suelo (eje X ). Además, a 2 pies del punto B, la pelota alcanza una altura máxima de 9 pies. < < De acuerdo con la gráfica y el enunciado: a) (2,0P) Calcule el valor del parámetro p de la parábola que contiene al arco parabólico. b) (0,5P) Halle la ecuación ordinaria de la parábola que contiene al arco parabólico. c) (1,5P) ¿A qué altura se encuentra la pelota cuando está a 1 pie del eje focal? a) Por plantear P :( x−2)2=4 p ( y−9 ). (1,0P) Se reemplaza las coordenadas de A ( 0 ; 5) en:P : ( 0−2 )2=4 p (5−9 ). (0,5P) −1 (0,5P) Luego , el valor del parámetro es p= 4 b) Ecuación ordinaria P :(x−2)2=−1 ( y−9 ). (0,5P) c) Se reemplaza las coordenadas de P1 (1 ;a )o P2 ( 3 ;a ) , posición de la pelota, (0,5P) en la ecuación de la parábola y se obtiene: a=8. (0,5P) Respuesta: se encuentra a 8 pies de altura. (0,5P)  REPASO EVALUACIÓN 4 DE MATEMÁTICA BÁSICA Pregunta 1 Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones (Use un método gráfico o analítico para justificar su respuesta). a) Si una circunferencia con centro en el origen pasa por el punto entonces el diámetro de dicha circunferencia mide 10 unidades. b) Si la distancia del foco a la recta directriz de una parábola es 5 unidades, entonces la longitud del lado recto de dicha parábola es 10 unidades. c) Si los diámetros mayor y menor de una elipse miden 10 y 8 unidades, entonces la distancia entre los focos de la elipse es 3 unidades. Pregunta 2 Si una circunferencia pasa por el punto y su centro es el punto determine: a) La longitud del radio de la circunferencia. b) Las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia. Pregunta 3 Dada la ecuación general de la circunferencia determine: a) La ecuación ordinaria de la circunferencia. b) Las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia. c) La gráfica de la circunferencia en el plano cartesiano y las coordenadas del punto de máxima ordenada. Pregunta 4 Los extremos del lado recto de una parábola son los puntos Si el vértice se encuentra a la izquierda del foco, determine: a) Las coordenadas del foco y el valor del parámetro de la parábola. b) Las coordenadas del vértice y la ecuación de la recta directriz. c) Las ecuaciones ordinaria y general de dicha parábola. Pregunta 5 Dada la ecuación general de la elipse determine: a) La ecuación ordinaria de la elipse. b) Las coordenadas del centro de la elipse, de los vértices, covértices y los focos. c) La longitud del lado recto y los extremos del lado recto d) Graficar la elipse en el plano cartesiano Pregunta 6 El arco parabólico, que se muestra en la figura, representa la trayectoria descrita por lanzador de peso desde el punto que se encuentra a 5 pies de altura desde el suelo. Si la altura máxima es 15 pies y ocurre a 20 pies de la posición horizontal del lanzador a) Calcule el valor del parámetro de la parábola que contiene al arco parabólico. b) Halle la ecuación ordinaria de la parábola que contiene al arco parabólico. c) ¿A qué altura se encuentra la pelota cuando está a 5 pies del eje focal? Pregunta 7 La puerta de un almacén tiene la forma de un arco semieliptico, donde la base mide 2m de ancho y la altura en el centro es de 4m. Si se requiere pasar a través de ella una caja de 3m de altura, halle el ancho que puede tener la caja.