TEMA 4.- Números enteros, Divisibilidad, Números Primos, Congruencia PDF

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“TEMARIO DE OPOSICIONES A PROFESORADO DE SECUNDARIA EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS” Q TEMA 4.- NÚMEROS ENTEROS. DIVISIBILIDAD. RS NÚMEROS PRIMOS. CONGRUENCIA Autor: Raúl Sánchez Quirós By  Q Índice general 1. INTRODUCCIÓN RS 2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 2.1. CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 2.2. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. PROPIEDADES........ 2.3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. PROPIEDADES.. 2.4. ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.... 4 6 6 8 10 11 2.5. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO........... 12 2.6. ISOMORFISMO ENTRE LOS CONJUNTOS N y Z+.......... 13 3. DIVISIBILIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTE- ROS 14 By 4. NÚMEROS PRIMOS 17 4.1. DEFINICIONES GENERALES...................... 17 4.2. DIVISORES DE UN NÚMERO...................... 18 5. CONGRUENCIAS 20 5.1. CONGRUENCIAS EN EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. 20 5.2. SISTEMAS DE NÚMEROS INCONGRUENTES............ 22 2 ÍNDICE GENERAL 3 5.3. RESTOS POTENCIALES......................... 23 6. RESULTADOS DE LA TEORÍA ELEMENTAL DE NÚMEROS 24 Q 6.1. CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD.............. 24 6.2. CRITERIOS ELEMENTALES DE DIVISIBILIDAD.......... 25 7. CONCLUSIÓN 27 8. BIBLIOGRAFÍA 28 RS By  Q Capı́tulo 1 INTRODUCCIÓN RS El Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mı́nimas de la Educación Secundaria Obligatoria, dispone que las matemáticas se encuentran en cualquier actividad humana, desde el trabajo cientı́fico hasta las expresiones culturales y artı́sticas, y forman parte del acervo cultural de nues- tra sociedad. El razonamiento, la argumentación, la modelización, el conocimiento del espacio y del tiempo, la toma de decisiones, la previsión y control de la incertidumbre o el uso correcto de la tecnologı́a digital son caracterı́sticas de las matemáticas, pero también la comunicación, la perseverancia, la organización y optimización de recursos, formas y proporciones o la creatividad. By La Orden de 30 de mayo de 2023, por la que se desarrolla el currı́culo correspon- diente a la etapa de Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucı́a, establece que el sentido numérico se caracteriza por la aplicación del conocimiento sobre numeración y cálculo en distintos contextos y por el desarrollo de habilidades y modos de pensar basados en la comprensión, la representación y el uso flexible de los números y las operaciones. 4  5 Los contenidos que se desarrollan en este tema pertenecen a este conjunto de destre- zas, lo cual justifica su inclusión en el temario que rige el ingreso al Cuerpo de Profesores Q por la especialidad de Matemáticas. En el desarrollo de esta unidad podemos distinguir tres grandes epı́grafes: En primer lugar, la construcción del conjunto de los números enteros para dar res- RS puesta a determinados problemas que no tienen solución en el conjunto de los números naturales. Seguidamente abordaremos el estudio de la divisibilidad en el anillo de los números enteros y, finalmente, haremos un estudio de las congruencias, clases de restos potenciales y sus aplicaciones a los criterios de divisibilidad. By  Q Capı́tulo 2 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 2.1. RS CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚME- ROS ENTEROS En el conjunto de los números naturales N la operación a − b, no es posible más que en el caso a ≥ b. Dicho en otros términos, una ecuación de la forma a+x = b no siempre tiene solución en el conjunto N. Vamos, pues, a construir un conjunto en el cual este problema pueda ser resuelto. By Consideremos el conjunto N × N formado por todos los pares ordenados de números naturales, esto es, N × N = {(a, b)/a ∈ N, b ∈ N}. Sobre este conjunto se define la relación R de la siguiente forma: (a, b)R(c, d) ⇔ a + d = b + c. Se suele simbolizar por (a, b) ∼ (c, d) y se lee el par (a, b) es equivalente al par (c, d). 6 2.1. CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 7 Se demuestra fácilmente que la relación definida anteriormente es una relación de equivalencia. Por el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, la rela- ción anterior produce una partición de N × N en clases de equivalencia, y se simboliza Q [(a, b)] = {(x, y) ∈ N × N/(a, b) ∼ (x, y)}. Por tanto, se denomina número entero a cada una de las clases de equivalencias obtenidas en el conjunto N × N al definir la equivalencia de pares de números naturales. El conjunto cociente N × N/R está formado, por definición de conjunto cociente, por RS todas las clases de equivalencia obtenidas, es decir, por todos los números enteros y se denomina conjunto de los números enteros, y se simboliza por Z ≡ N × N/R. Veamos algunas propiedades generales que verifica nuestra relación de equivalencia. Todo elemento (a, b) ∈ N × N define un número entero m tal que m = a − b. Si (a, b) ∼ (c, d), entonces a = c equivale a b = d. Si (a, b) ∼ (c, d), entonces a = c + h equivale a b = d + h, y c = a + h equivale a d = b + h. Aunque toda clase de equivalencia queda determinada dando un representante cual- quiera de la misma, suele utilizarse para ello los llamados representantes canónicos. By En virtud de las propiedades anteriores, se sigue que para cada número natural a el conjunto de la forma (a+h, h) (respectivamente (h, a+h)) es un número entero positivo que se designa por +a o simplemente a (respectivamente número entero negativo y se simboliza −a). Para obtener el representante canónico de un número entero basta hacer h = 0. 8 CAPÍTULO 2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Por tanto, [(a, 0)] = a ∀a ∈ N representa el conjunto de los números enteros positivos, Z+ , y [(0, a)] = −a ∀a ∈ N representa el conjunto de los números enteros negativos, Z−. Obviamente, Z = Z+ ∪ Z− y Z+ ∩ Z− = {0}. Q 2.2. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. PROPIEDADES Se denomina adición de números enteros a la aplicación + : Z × Z → Z definida de la siguiente forma: a cada par (a, b), (c, d) ∈ Z × Z le asocia el valor RS (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∈ Z. Es evidente que la adición de números enteros no depende de los representantes ele- gidos. Por tanto, siempre que sea posible trabajaremos con los representantes canónicos de los números enteros para mayor comodidad. En la adición de números enteros pueden distinguirse los siguientes casos: Suma de dos enteros positivos: (a, 0)+(b, 0) = (a+b, 0) → Resultado positivo. Suma de dos enteros negativos: (0, a)+(0, b) = (0, a+b) → Resultado negativo. Suma de un entero positivo y un entero negativo: (a, 0) + (0, b) = a − b → By Resultado positivo si a > b y resultado negativo si a < b. A continuación se enumeran las propiedades de la adición de números enteros. Omi- timos sus demostraciones, cuyos fundamentos epistemológicos se encuentran en el libro Análisis Matemático de los autores Julio Rey Pastor, Pedro Pi y César Trejo, referen- ciado en la bibliografı́a del tema. 2.2. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. PROPIEDADES 9 Interna: (a, b) + (c, d) ∈ Z. Asociativa: [(a, b) + (c, d)] + (e, f ) = (a, b) + [(c, d) + (e, f )]. Q Conmutativa: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b). Existencia elemento neutro: (a, b) + (0, 0) = (a, b) = (0, 0) + (a, b). Existencia elemento simétrico para cada número entero: Para cada (a, b) ∈ RS Z existe (b, a) ∈ Z tal que (a, b) + (b, a) = (0, 0) = (b, a) + (a, b). Teniendo en cuenta las propiedades de la adición de números enteros, se observa que (Z, +) es un grupo abeliano, y se denomina grupo aditivo de los números enteros. En virtud de la existencia de elemento simétrico para todo número entero respecto de la adición, podemos definir una nueva operación, denominada resta o sustracción de números enteros, que no es más que la suma del primero con el opuesto del segundo. Se simboliza por m − s = m + (−s) = d. Los términos de esta operación reciben el nombre de minuendo, sustraendo y diferencia, respectivamente. By La sustracción de números enteros verifica las siguientes propiedades: Es una operación interna. No verifica la propiedad asociativa. No verifica la propiedad conmutativa. 10 CAPÍTULO 2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 2.3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. PRO- PIEDADES Q Se denomina multiplicación de números enteros a la aplicación · : Z × Z → Z definida de la siguiente forma: a cada par (a, b), (c, d) ∈ Z × Z le asocia el valor (a, b) · (c, d) = (ac + bd, ad + bc) ∈ Z. Al igual que en la adición de números enteros, la multiplicación tampoco depende RS de los representantes elegidos. Ası́, siempre que sea posible trabajaremos con los repre- sentantes canónicos de los números enteros para mayor comodidad. En la multiplicación de números enteros pueden distinguirse los siguientes casos: Producto de dos enteros positivos: (a, 0) · (b, 0) = (ab, 0) Resultado positivo. Producto de dos enteros negativos: (0, a) · (0, b) = (ab, 0) Resultado positivo. Producto de un entero positivo y un entero negativo: (a, 0) · (0, b) = (0, ab) Resultado negativo. La multiplicación de números enteros verifica las siguientes propiedades: By Interna: (a, b) · (c, d) ∈ Z. Asociativa: [(a, b) · (c, d)] · (e, f ) = (a, b) · [(c, d) · (e, f )]. Conmutativa: (a, b) · (c, d) = (c, d) · (a, b). Existencia elemento neutro: (a, b) · (1, 0) = (a, b) = (1, 0) · (a, b). El cero es un elemento absorbente: (a, b) · (0, 0) = (0, 0) = (0, 0) · (a, b). 2.4. ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 11 Distributividad del producto respecto a la adición: (a, b) · [(c, d) + (e, f )] = (a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f ) y [(c, d) + (e, f )] · (a, b) = (c, d) · (a, b) + (e, f ) · (a, b). Q Distributividad del producto respecto a la sustracción: (a, b) · [(c, d) − (e, f )] = (a, b)·(c, d)−(a, b)·(e, f ) y [(c, d)−(e, f )]·(a, b) = (c, d)·(a, b)−(e, f )·(a, b). Teniendo en cuenta las propiedades de la adición y multiplicación de números enteros, se observa que (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con elemento unidad. Es más, el anillo de los números enteros no posee divisores de cero, es decir, el producto de 2.4. RS dos números enteros es nulo si y sólo si uno de los factores es nulo. Por tanto, (Z, +, ·) es un dominio de integridad. ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS EN- TEROS Dados dos números enteros a y b cualesquiera, se dice que a es menor o igual que b, y se escribe a ≤ b, si y sólo si b − a ∈ Z+. La relación ≤ describe un orden total sobre el conjunto de los números enteros, pues verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y todos los números enteros son comparables. Además de las propiedades anteriormente descritas, en el conjunto de los números By enteros se verifica: ∀a, b, c, d ∈ Z/a ≤ b ∧ c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d. ∀a, b ∈ Z/a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c si c ∈ Z+ , y a · c ≥ b · c si c ∈ Z−. Teniendo en cuenta las propiedades de la adición y multiplicación de números ente- ros, se observa que (Z, +, ·, ≤) es un dominio de integridad totalmente ordenado. 12 CAPÍTULO 2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS En la siguiente ilustración se observa, a modo de resumen, un mapa conceptual con las estructuras algebraicas construidas en el conjunto de los números enteros. Q RS 2.5. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO Se define el valor absoluto de un  número entero como la aplicación k : Z → Z By    n, si n > 0  definida de la siguiente forma: |n| = −n, si n < 0    0, si n = 0  2.6. ISOMORFISMO ENTRE LOS CONJUNTOS N Y Z+ 13 A la vista de la definición se deducen las siguientes propiedades: ∀n ∈ Z, |n| ≥ 0 y |n| = 0 ⇔ n = 0. Q ∀n ∈ Z, n ≤ |n|. ∀n ∈ Z, |−n| = |n|. |n| ≤ a ⇔ −a ≤ n ≤ a. ∀a, b ∈ Z, ||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|. 2.6. RS ∀a, b ∈ Z, |a · b| = |a| · |b|. ISOMORFISMO ENTRE LOS CONJUNTOS N y Z+ Se define la inmersión del conjunto N en Z a partir de la aplicación f : N → Z+ dada por f (n) = (n, 0) = +n. La aplicación f definida anteriormente es un isomorfismo de (N, +, ·) en (Z+ , +, ·). Como consecuencia inmediata se tiene que los conjuntos N y Z+ son isomorfos, pudiéndose identificar tales conjuntos. Ası́, N ≡ Z+ y por tanto N ⊆ Z. By  Q Capı́tulo 3 DIVISIBILIDAD EN EL RS CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Sean a, b ∈ Z, decimos que a y b están asociados, y lo denotamos aRb, si existe u ∈ U = {−1, 1} tal que a · u = b. Se comprueba fácilmente que la relación ((ser asociados)) es una relación de equiva- lencia en el conjunto Z. Por el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, By esta relación produce una partición de Z en clases de equivalencia. A estas clases las llamamos números asociados y las representamos por a, y al conjunto cociente por Z/R. Simbólicamente, a = {b ∈ Z / a · u = b; ∈ U }. Sean a, b ∈ Z/R, decimos que a divide a b, y lo denotamos a|b, si existe c ∈ Z tal que a · c = b. Se comprueba fácilmente que la relación de divisibilidad en Z/R es un orden. 14  15 En la práctica, al hablar de divisibilidad se identifica Z y Z/R. En consecuencia, la relación definida determina también en Z un orden parcial, siendo suficiente considerar Q como elementos canónicos de cada clase los números positivos, quedando ası́ englobada la divisibilidad en N. A continuación se enuncian algunas propiedades elementales de la divisibilidad. RS 1 y -1 son divisores de cualquier número entero: ∀a ∈ Z; 1|a y −1|a. El cero es múltiplo de cualquier número entero: ∀a ∈ Z, a|0. Todo número entero no nulo es múltiplo y divisor de sı́ mismo: ∀a ∈ Z, a 6= 0 ⇒ a|a. Si d|a, d|b entonces d|(a + b) y d|(a − b), a > b. Si d|a, entonces d|a · c. Si d|a entonces d||a| y |d|||a|. Se define el máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números enteros como el mayor de los divisores comunes a todos ellos. Asimismo, se define el mı́nimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números enteros como el menor de los múltiplos co- By munes distinto de cero. Para finalizar con estas definiciones, sean a, b ∈ Z, se dice que a y b son primos entre sı́ si y sólo si m.c.d.(a, b)=1. 16 CAPÍTULO 3. DIVISIBILIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Algunas propiedades interesantes del m.c.d. son: a|b ⇔ m.c.d.(a, b) = a. Q Si m.c.d.(a, b) = d, entonces existen λ, µ ∈ Z tales que λ · a + µ · b = d (Teorema de Bezout). Si m.c.d.(a, b) = d, entonces m.c.d.(a/d, b/d) = 1. Si a|b · c y m.c.d.(a, b) = 1, entonces a|c (Teorema de Euclides). RS Algunas propiedades interesantes del m.c.m. son: a|b ⇔ m.c.m.(a, b) = b. m.c.d.(a, b)· m.c.m.(a, b) = a · b. Para finalizar con esta sección enunciemos el algoritmo de Euclides: si r es el resto de la división entera de a por b, entonces m.c.d.(a, b)=m.c.d.(b, r). Este algoritmo nos permite calcular el máximo común divisor de dos números reali- zando un número finito de divisiones. By Ejemplos Para calcular el m.c.d.(2366, 273), dividimos 2366 entre 273 obteniendo de cociente 8 y resto 182. Efectuamos entonces la división 273 entre 182 obteniendo de cociente 1 y resto 91. Volvemos a dividir 182 entre 91 obteniendo de cociente 2 y resto 0 y, en consecuencia, m.c.d.(2366, 273) = 91.  Q Capı́tulo 4 NÚMEROS PRIMOS 4.1. RS DEFINICIONES GENERALES Sean p ∈ Z − {−1, 0, 1}, decimos que p es un número primo si los únicos divisores de p son -1, 1, −p, p; en caso contrario, el número p se dice que es compuesto. A continuación se enuncian algunas propiedades elementales de los números primos. p es número primo si y sólo si −p es número primo. Sean p, q números primos, si p|q, entonces p, q son números asociados. By Sea p un número primo, si p - a, entonces m.c.d.(a, p)=1. Sea p un número primo, si p|a · b, entonces p|a o p|b. El conjunto de los números primos es infinito. 17 18 CAPÍTULO 4. NÚMEROS PRIMOS A continuación vamos a proceder a enunciar, sin demostrar, el teorema fundamental de la aritmética, cuyos fundamentos epistemológicos se encuentran en el libro Análisis Matemático I del autor Jesús Fernández Novoa, referenciado en la bibliografı́a del tema. Q Teorema 4.1.1 (fundamental de la aritmética): Todo número compuesto se puede descomponer en un producto de factores primos. Además esta descomposición es única salvo el signo de los factores. RS Como consecuencia de este teorema, se tiene que la condición necesaria y suficiente para que un número distinto de -1, 0, 1 sea divisible por otro número distinto de -1, 0, 1 es que el primero tenga todos los factores primos del segundo con exponentes iguales o mayores. 4.2. DIVISORES DE UN NÚMERO Vamos a realizar el estudio de los divisores de un número compuesto en el conjunto de los números naturales, pues bastará luego trasladarlo al conjunto de los números enteros mediante el concepto de números asociados. Proposición 4.2.1: Los divisores del número x = aα · bβ ·... · cγ ∈ N son los términos By del producto (1 + a + a2 +... + aα ) · (1 + b + b2 +... + bβ ) ·... · (1 + c + c2 +... + cγ ). Demostración. Todo divisor de x es de la forma ai · bj ·... · ck con 0 ≤ i ≤ α, 0 ≤ j ≤ β,...,0 ≤ k ≤ γ y por tanto es un elemento de dicho producto. Todo elemento del producto anterior es de la forma ai · bj ·... · ck con 0 ≤ i ≤ α, 0 ≤ j ≤ β,...,0 ≤ k ≤ γ y por tanto es un divisor de x. 4.2. DIVISORES DE UN NÚMERO 19 A continuación vamos a dar un método práctico para hallar todos los divisores de un número compuesto. Q Sea x = aα · bβ ·... · cγ , en una fila se colocan ordenadamente todas las potencias de a, desde a0 hasta aα. En las filas siguientes se colocan ordenadamente todos los productos de la fila anterior por cada una de las potencias de b, desde b hasta bβ. Se repite este proceso hasta llegar a los productos de todas las filas anteriores por cada una de las potencias de c, desde c hasta cγ. RS Enunciemos tres proposiciones interesantes relacionadas con los números compues- tos. Omitimos sus demostraciones por ser sencillez y analogı́a con la anterior. Proposición 4.2.2 (número de divisores de un número compuesto): El número de divisores de x = aα · bβ ·... · cγ ∈ N es n = (α + 1) · (β + 1) ·... · (γ + 1) Proposición 4.2.3 (suma de los divisores de un número compuesto): La suma α β γ aα+1 − 1 bβ+1 − 1 cγ+1 − 1 de los divisores de x = a · b ·... · c ∈ N es S = · ·... · a−1 b−1 c−1 Proposición 4.2.4 (producto de los divisores de un número compuesto): El √ producto de los divisores de x = aα · bβ ·... · cγ ∈ N es P = xn , siendo n el número By de divisores de x. Ejemplos El número 60 = 22 · 3 · 5, luego tiene 3 · 2 · 2 = 12 divisores, la suma de ellos es 23 − 1 32 − 1 52 − 1 √ S= · · = 168 y su producto es P = 6012 = 46656000000. 2−1 3−1 5−1  Q Capı́tulo 5 CONGRUENCIAS 5.1. RS CONGRUENCIAS EN EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Sean a, b, m ∈ Z, decimos que a es congruente con b módulo m si y sólo si m|a−b. Se demuestra fácilmente que la relación ((ser congruente módulo m)) es una rela- ción de equivalencia. Por el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, la relación anterior produce una partición de Z en clases de equivalencia. A estas clases las llamamos clases congruentes módulo m y las representamos por a + (m) y al By conjunto cociente por Z/(m). Proposición 5.1.1: a ∼ = b módulo m si y sólo si a y b dan el mismo resto positivo al dividirlos por m. Como consecuencia de esta proposición, se tiene que las clases congruentes módulo m son los m distintos restos que obtenemos al dividir los números enteros por m. 20 5.1. CONGRUENCIAS EN EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 21 Por tanto, Z/(m) = {0, 1,..., m − 1} y se le denomina el conjunto de las clases de restos residuales módulo m. Q En Z/(m) podemos definir las operaciones suma y producto de la siguiente forma: [a + (m)] + [b + (m)] = [a + b] + (m) RS [a + (m)] · [b + (m)] = [a · b] + (m) Se comprueba fácilmente que (Z/(m), +, ·) es un anillo conmutativo con ele- mento unidad, si bien a diferencia del conjunto (Z, +, ·) no es en general dominio de integridad, pues, por ejemplo, Z/(6) posee divisores de cero ya que 2 6= 0, 3 6= 0 y 2 · 3 = 6 = 0. A continuación se enuncian algunas propiedades elementales de las congruencias. La relación ser congruente módulo m es compatible con la suma de Z, es decir, si a∼ = a0 módulo m y b ∼ = b0 módulo m, entonces a + b ∼ = a0 + b0 módulo m. By La relación ser congruente módulo m es compatible con el producto de Z, es decir, si a ∼ = a0 módulo m y b ∼= b0 módulo m, entonces a · b ∼ = a0 · b0 módulo m. Si a ∼ = a0 módulo m, entonces para todo n ∈ Z, a · n ∼ = a0 · n módulo m. Si a + n ∼ = a0 + n módulo m, entonces a ∼ = a0 módulo m. Si m.c.d.(m, n)=1 y a · n ∼ = a0 · n módulo m, entonces a ∼ = a0 módulo m. 22 CAPÍTULO 5. CONGRUENCIAS 5.2. SISTEMAS DE NÚMEROS INCONGRUENTES Sean a1 , a2 ,..., ak ∈ Z. Se dice que a1 , a2 ,..., ak es un sistema de números incon- Q gruentes módulo m, si los restos de sus divisiones por m son todos distintos. Asimis- mo a1 , a2 ,..., am es un sistema completo de números incongruentes módulo m si los restos de sus divisiones por m son todos distintos. El sistema completo de números incongruentes módulo m más sencillo es el formado por 0, 1,..., m − 1. RS Proposición 5.2.1: Si a1 , a2 ,..., ak es un sistema de números incongruentes módulo m, m.c.d.(m, n)=1 y b ∈ Z, entonces a1 · n + b, a2 · n + b,..., ak · n + b es un sistema de números incongruentes módulo m A continuación se enuncian dos resultados interesantes de teorı́a de congruencias por su aplicación práctica, cuyos fundamentos epistemológicos se encuentran en el libro Curso de Álgebra y Geometrı́a del autor Juan de Burgos, referenciado en la bibliografı́a del tema. By Teorema 5.2.2. (pequeño teorema de Fermat): Si p es un número primo y n no es múltiplo de p, entonces np−1 ∼ = 1 módulo p. Teorema 5.2.3. (teorema de Wilson): Si p es un número primo, entonces se verifica que (p − 1)! ∼ = −1 módulo p. 5.3. RESTOS POTENCIALES 23 5.3. RESTOS POTENCIALES Sea n ∈ N − {0}, llamamos restos potenciales de n módulo m a los restos que Q se obtienen al dividir las sucesivas potencias de n por el módulo m. El número de restos potenciales distintos es finito, pues los restos tienen que ser menores que el módulo m. Si llamamos rk al resto potencial que se obtiene al dividir nk por m, entonces nk ∼ = rk módulo m y por tanto rk+1 ∼ = rk · n módulo m. En consecuencia, la regla práctica para hallar cualquier resto potencial de n módulo RS m es multiplicar el resto anterior por n y dividir el producto por el módulo m, obte- niendo el resto deseado. A continuación se enuncian algunas propiedades elementales de los restos potenciales. r0 =1. Si algún resto potencial es nulo, entonces son nulos todos los siguientes. A partir del primer resto que se repita, se reproducen en igual orden los mismos restos indefinidamente. By  Q Capı́tulo 6 RESULTADOS DE LA TEORÍA ELEMENTAL DE NÚMEROS 6.1. RS CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD Proposición 6.1.1: Sea x = a · n0 + b · n + c · n2 +... + d · nk un número escri- to en base n, si r0 , r1 , r2 ,..., rk son los restos potenciales de n módulo m, entonces x∼= a · r0 + b · r1 + c · r2 +... + d · rk módulo m. Demostración. = r0 = 1 módulo m ⇒ a · n0 ∼ n0 ∼ = a · r0 módulo m. By n1 ∼ = r1 módulo m ⇒ b · n1 ∼ = b · r1 módulo m. n2 ∼ = r2 módulo m ⇒ c · n2 ∼ = c · r2 módulo m.... nk ∼ = rk módulo m ⇒ d · nk ∼ = d · rk módulo m. Por tanto, x = a · n0 + b · n + c · n2 +... + d · nk ∼ = a · r0 + b · r1 + c · r2 +... + d · rk. 24 6.2. CRITERIOS ELEMENTALES DE DIVISIBILIDAD 25 Como consecuecia inmediata de esta proposición obtenemos el criterio general de divisibilidad: x es divisible por m si y sólo si el número a · r0 + b · r1 + c · r2 +... + d · rk es divisible por m. Q 6.2. CRITERIOS ELEMENTALES DE DIVISIBILIDAD Calculemos los restos potenciales de 10 módulos 2 y 5, 3 y 9, 4 y 8, y 11. Restos potenciales de 10 módulos 2 y 5: r0 = 1. Como 10 es múltiplo de 2 y RS de 5, entonces r1 = r2 =... = 0. Restos potenciales de 10 módulos 3 y 9: r0 = 1. Como 10 = 3̇ + 1, 10 = 9̇ + 1, los restos potenciales de 10 coinciden con los de 1, ası́ r1 = r2 =... = 1. Restos potenciales de 10 módulos 4: r0 = 1, r1 = 1 · 2 = 2, r2 = 2 · 2 = 4 ∼ ası́ r2 =... = 0. = 0, Restos potenciales de 10 módulo 11: r0 = 1, r1 = 1 · 10 = 10, r2 = 10 · 10 = 100 ∼ = 1,... Sea x = a · 100 + b · 101 + c · 102 +... + d · 10k = d...cba, apliquemos el criterio general de divisibilidad para determinar los criterios más elementales. By Criterio de divisibilidad por 2 y por 5: x es divisible por 2 si y sólo si a es divisible por 2, es decir, el número acaba en cero o cifra par. x es divisible por 5 si y sólo si a es divisible por 5, es decir, el número acaba en cero o cinco. 26 CAPÍTULO 6. RESULTADOS DE LA TEORÍA ELEMENTAL DE NÚMEROS Criterio de divisibilidad por 3 y por 9: x es divisible por 3 si y sólo si a + b + c +... + d es divisible por 3. Q x es divisible por 9 si y sólo si a + b + c +... + d es divisible por 9. Criterio de divisibilidad por 4: x es divisible por 4 si y sólo si a+2b es divisible por 4. Criterio de divisibilidad por 11: x es divisible por 11 si y sólo si a + 10b + c + 10d +... es divisible por 11. Como 10=11-1 tenemos que a + (11 − 1)b +... = RS a + 11b − b + c + 11d − d +... = a − b + c − d +... ha de ser divisible por 11. By  Q Capı́tulo 7 CONCLUSIÓN RS El eje central de este tema ha sido la construcción del conjunto de los números enteros, las operaciones y relaciones que podemos establecer en dicho conjunto y las propiedades que verifican tales operaciones. Las Órdenes de 30 de mayo de 2023, por las que se desarrollan los currı́culos co- rrespondientes a las etapas de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Andalucı́a, determinan que estos contenidos han de ser estudiados en Matemáticas de primer curso de la Educación Secundaria Obligatoria, dentro de los saberes básicos del sentido numérico. By Es evidente que debido al carácter cı́clico de las Matemáticas, en los cursos superiores coexistirán estos contenidos con otros que permitirán afianzar, ampliar y enriquecer su campo de aplicación. 27  Q Capı́tulo 8 BIBLIOGRAFÍA RS Análisis Matemático I. Aut: J. A. Fernández Viña. Ed. Tecnos. Análisis Matemático. Aut: Julio Rey Pastor, Pedro Pi y César Trejo. Ed. Kapelusz. Curso de Álgebra y Geometrı́a. Aut: Juan de Burgos. Ed. Alhambra. By 28