Wirtschaftsmathematik Vorlesungsunterlagen 2024 PDF

Wirtschaftsmathematik Vorlesungsunterlagen Version 2024 Prof. Dr. Jens K. Perret ISM 2024 · Perret 1 Impressum Eine Nutzung des Skriptes, auch in Teilen, ist ohne vorherige Freigabe durch die Hochschule außerhalb der ISM und der von ihr durchgeführten Veranstaltungen u...

Wirtschaftsmathematik Vorlesungsunterlagen Version 2024 Prof. Dr. Jens K. Perret ISM 2024 · Perret 1 Impressum Eine Nutzung des Skriptes, auch in Teilen, ist ohne vorherige Freigabe durch die Hochschule außerhalb der ISM und der von ihr durchgeführten Veranstaltungen untersagt. Verantwortlich für den Inhalt des vorliegenden Skriptes ist der Autor (bzw. die Autoren). Skripten sind in wissenschaftlichen Arbeiten nicht zitierfähig. ISM International School of Management GmbH Otto-Hahn-Str. 19 44227 Dortmund www.ism.de ISM 2024 · Perret 2 Modulbeschreibung Mathematik und Statistik sind zentrale Hilfsmittel zur Darstellung, Analyse und Interpretation ökonomischer Zusammenhänge. Darüber hinaus leisten sie auch einen Beitrag zur Entscheidungsfindung bei Optimierungsaufgaben in Unternehmen. Im Modul „Mathematische Grundlagen“ werden mathematische Grundlagen (Vorlesung „Wirtschaftsmathematik“) und statistische Grundkenntnisse aus der deskriptiven Statistik (Vorlesung „Statistik 1“) vermittelt. ISM 2024 · Perret 3 Prüfungsleistung Modulklausur: 120 Minuten (60 Minuten Wirtschaftsmathematik / 60 Minuten Statistik 1) 100 Punkte (50 Punkte Wirtschaftsmathematik / 50 Punkte Statistik 1) Die Klausur gilt als bestanden, wenn in Summe mindestens 50 Punkte erreicht wurden. Als Exkurs gekennzeichnete Inhalte sind nicht klausurrelevant. Erlaubte Hilfsmittel: ISM-Formelsammlung Teil 1 Nicht-programmierbare Taschenrechner Bitte prüfen Sie die Liste der zugelassenen Modelle im ISM-net. Sollten Sie einen nicht- programmierbaren Taschenrechner nutzen wollen, der nicht auf der Liste steht, kontaktieren Sie, zur Prüfung Ihres Anliegens, bis mindestens einen Monat vor der Klausur den Fachverantwortlichen Prof. Dr. Jens Perret ([email protected]). ISM 2024 · Perret 4 Wirtschaftsmathematik Literatur: Führer, C.; Kirsch, S. (2014): Kompakt-Training Wirtschaftsmathematik, Herne: Kiehl, 4. Auflage. Jeske, R. (2015): Kochbuch der Quantitativen Methoden Band 2: Finanzmathematik, Morrisville: Lulu, 2. Auflage. Sparfeld, G. (2017): Lagrange-Methode einfach erklärt, Norderstedt: BOD, 1. Auflage. Sydsaeter, K.; Peter H. (2015): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Basiswissen mit Praxisbezug, München: Pearson. 4. Auflage. Tallig, H. (2006): Anwendungsmathematik für Wirtschaftswissenschaftler, München: Oldenbourg, 1. Auflage. ISM 2024 · Perret 5 Wirtschaftsmathematik Online-Lernunterlagen Zu den Vorlesungen finden Sie begleitende Erklär- und Übungsvideos online unter moodle.ism.de. 1. Loggen Sie sich mit Ihrem Anmeldenamen und Ihrem Passwort ein. 2. Auf der Startseite (erreichbar auf über den Button „Home“) sehen Sie eine Liste mit verfügbaren Kursen. 3. Wählen Sie den entsprechenden Kurs aus und klicken Sie auf “Einschreiben“. 4. Über den Button „Meine Kurse“ können Sie jederzeit auf die Kursinhalte zugreifen. 5. Stellen Sie Fragen zum Kurs im Kursforum. ISM 2024 · Perret 6 Wirtschaftsmathematik Verlinkungen: Dieses Skript weist direkte Verlinkungen zu der Lernplattform sowie zu Tutorials auf, wie die behandelten Inhalte in Microsoft Excel realisiert werden können. Über die folgenden Buttons, die über das gesamte Skript verteilt sind, können Sie in der PDF-Fassung des Skripts direkt auf die thematisch relevanten Inhalte zugreifen. Lernplattform Moodle (Theorie) Lernplattform Moodle (Aufgabe) Lernplattform Moodle (Zufallsaufgabe) Onlinetools Wolfram Alpha ISM 2024 · Perret 7 Wirtschaftsmathematik Instagram-Kanal: Als Ergänzung der Vorlesung wurde der Instagram Kanal @matheaufinsta eingerichtet. Hier werden im Laufe des Semester kleine Aufgaben und Kurztutorials bereitgestellt. Auch können Fragen zu den Aufgaben und Inhalten der Vorlesung gestellt werden. Bildergebnis für instagram ISM 2024 · Perret 8 Wirtschaftsmathematik „Mathe kann ich eh nicht!“ Um das zu ändern, fordere ich Sie zu einer Math Challenge heraus! Jeden Tag eine Matheaufgabe. Weniger als 5 Minuten Aufwand 3-4 Monate lang Die Klausur wird wesentlich entspannter Und eine der Aufgaben aus dem Niveau Silver Moodle Icon of Flat style - Available in SVG, PNG, EPS, AI Icon fonts oder Gold kommt in die Klausur Es gibt ab dem Niveau Bronze ein Zertifikat fürs Büro Starten Sie noch heute… ISM 2024 · Perret 9 Wirtschaftsmathematik Inhaltsübersicht 00 Grundlagen 01 Finanzmathematik 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung 1.2 Rentenrechnung 1.3 Tilgungsrechnung 1.4 Investitionsrechnung 02 Lineare Algebra 2.1 Matrizen 2.2 Lineare Gleichungssysteme 03 Differentialrechnung 3.1 Grundlagen 3.2 Differentialrechnung (eine Variable) 3.3 Differentialrechnung (zwei Variablen) ISM 2024 · Perret 10 Wirtschaftsmathematik 00 Grundlagen ISM 2024 · Perret 11 0 Grundlagen Summenzeichen (großes Sigma): n ෍ ak k=m k : Laufvariable m : Startwert n : Endwert ak : Funktion / Reihe Beispiel: n ෍k =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7…… n k=1 4 ෍ k 2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 k=1 ISM 2024 · Perret 12 0 Grundlagen Reihen: n ෍ ak k=m Stellt ak einen funktionalen Zusammenhang dar, so spricht man auch von einer Reihe. ISM 2024 · Perret 13 0 Grundlagen Besondere Reihen: Arithmetische Reihe: n n n+1 ෍k =1 + 2 + ⋯+ n = 2 k=1 (Endliche) Geometrische Reihe: n n+1 − 1 q ෍ qk = 1 + q1 + q2 + q3 + ⋯ + qn = q−1 k=0 (Unendliche) Geometrische Reihe: ∞ 1 ෍ qk =1 + q1 + q2 + q3 +⋯= für q < 1 1−q k=0 ISM 2024 · Perret 14 0 Grundlagen Potenzgesetze: am∙an = am+n am/an = am-n (a∙b)n = an∙bn (a/b)n = an/bn (am)n = am∙n a-m = 1/am a0 = 1 n am = am/n ISM 2024 · Perret 15 0 Grundlagen Logarithmusregeln: ln(a∙b) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) – ln(b) ln(ax) = x∙ln(a) loga(x) = ln(x)/ln(a) ln(e) = 1 ln(1) = 0 ISM 2024 · Perret 16 Wirtschaftsmathematik 01 Finanzmathematik 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung 1.2 Rentenrechnung 1.3 Tilgungsrechnung 1.4 Investitionsrechnung Moodle Icon of Flat style - Available in SVG, PNG, EPS, AI Icon fonts ISM 2024 · Perret 17 Praxiscase Investitionen vergleichen Hans verlässt sich bei seinen Geldanlagen auf Aktien während Bob eher an greifbaren Anlageoptionen wie alten Weinen interessiert ist. Von seinem ersten Gehalt (2.000€) kauft Hans Aktien, die nach zehn Jahren einen Verkaufswert von 3.250€ haben. Bob investiert zum gleichen Zeitpunkt (1.500€) in Wein, den er nach acht Jahren für 2.500€ weiter verkaufen kann. Wer von beiden hat die bessere durchschnittliche Rendite erzielt? Lösung: Auflösen der Zinseszinsformel und einsetzen der Werte. ISM 2024 · Perret 18 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Ausgangspunkt: Gläubiger überlässt einem Schuldner für einen begrenzten Zeitraum Kapital in Form von Darlehen, Bausparverträgen o.ä. Schuldner muss ein Nutzungsgeld zahlen: Zinsen.  Zwei Arten der Verzinsung: 1. Einfache/lineare Verzinsung: Zinsrechnung. 2. Exponentielle Verzinsung: Zinseszinsrechnung (Verzinsung mit Zinseszins). ISM 2024 · Perret 19 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Gemeinsamkeiten der beiden Verzinsungsformen: Anfallende Zinsen werden zeitanteilig berechnet. => Je länger das Kapital beim Schuldner bleibt, desto höher fallen die Zinsen aus. Unterschied zwischen den Verzinsungsformen: Einfache Zinsrechnung: bereits angefallene Zinsen sind an der weiteren Verzinsung nicht beteiligt; Zinsen werden erst am Ende der Kapitalüberlassung hinzugerechnet. Zinseszinsrechnung: bereits angefallene Zinsen werden am Ende einer jeden Periode dem Kapital hinzugerechnet und nehmen an der weiteren Verzinsung teil. ISM 2024 · Perret 20 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung In der Finanzmathematik sind die folgenden Symbole bzw. Variablen von Bedeutung: i – Zinssatz p.a. (z.B. 3% p.a. bzw. 0,03) q – Zinsfaktor q = 1+i (z.B. 1,03) n – Anzahl der Perioden t – Anzahl der Zinszeitpunkte pro Periode K0 – Anfangskapital, Barwert, Present Value Kn – Endkapital zum Zeitpunkt n, Endwert, Future Value ISM 2024 · Perret 21 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Einfache Zinsrechnung: Bei der einfachen Zinsrechnung werden die Zinsen nicht wieder angelegt, so dass keine Zinseszins- effekte entstehen: Kn = K0∙(1 + ni) Beispiel: Auf einem Sparbuch werden zum 1.1. eines Jahres 3.000 € angelegt. Wie hoch ist das gesamte Kapital nach vier Jahren, wenn die Zinsen von 3% p.a. zum Ende eines jeden Jahres abgehoben werden? Lösung: K4 = 3.000∙(1 + 4∙0,03) = 3.360 ISM 2024 · Perret 22 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Übung 1: Auf einem Konto werden zum 1.1. eines Jahres 5.000 € angelegt. a) Wie hoch ist das Kapital nach fünf Jahren, wenn die Zinsen von 3% p.a. zum Ende eines jeden Jahres abgehoben werden? b) Wie ändert sich Ihre Lösung, wenn ab dem dritten Jahr der Zins auf 2,5% p.a. fällt? c) Wie ändert sich Ihre Lösung aus Aufgabenteil b), wenn Sie das Geld schon nach vier Jahren und neun Monaten abheben müssen? ISM 2024 · Perret 23 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Zinseszinsrechnung: Bei der Verzinsung mit Zinseszins bleiben die Zinsen auf dem Sparkonto oder Konto, so dass auch die Zinsen im nächsten Jahr mitverzinst werden. So entstehen Zinseszinsen. Herleitung: K1 = K0∙(1 + i) K2 = K1∙(1 + i) = K0∙(1 + i)∙(1+ i) = K0∙(1 + i)2 K3 = K2∙(1 + i) = K0∙(1 + i)∙(1+ i)∙(1+ i) = K0∙(1 + i)3... Kn = Kn-1∙(1+ i) = K0∙(1+ i)n Die Grundformel für die Berechnung dieser Art lautet also: Kn = K0∙(1+ i)n Bei den folgenden Berechnungen wird diese Formel je nach Fragestellung entsprechend umgeformt. Geht es beispielsweise um das Anfangskapital, um den Barwert, dann wird die Formel nach K0 umge- formt. ISM 2024 · Perret 24 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Beispiel: Ein Guthaben von 5.000 € wird auf einem Konto angelegt zu einem jährlichen Zinssatz von 6%. Wie hoch ist das Kapital nach acht Jahren? Lösung: i = 6% oder 0,06 n =8 K0 = 5.000 Gesucht wird also hier der Endwert, so dass die Formel folgende Lösung ergibt: K8 = 5.000∙(1 + 0,06)8 = 5.000∙1,5938 = 7.969,24 ISM 2024 · Perret 25 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Beispiel: Ein Guthaben von 5.000 € wird auf einem Konto angelegt zu einem jährlichen Zinssatz von 6%, wobei die Zinsen vierteljährlich gutgeschrieben werden. Wie hoch ist das Kapital nach acht Jahren? Wie ändert sich das Ergebnis bei monatlicher Verzinsung? Lösung : Mit Hilfe der Formel , i t∙n Kn = K0 ∙ 1 + t mit t = Anzahl der Zinsperioden, pro Jahr ergibt sich: Quartal: 0,06 4∙8 K n = 5.000 ∙ 1 + = 5.000 ∙ 1,01532 = 8.051,62 4 Monat: 0,06 12∙8 K n = 5.000 ∙ 1 + = 5.000 ∙ 1,00596 = 8.070,71 12 ISM 2024 · Perret 26 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Übung 2: Berechnen Sie den Endwert des Kapitals bei einer Anlage von 10.000 € bei 3,5% Zinsen und einer Lauf- zeit von fünf Jahren! Die Zinszahlung erfolgt a) jährlich b) halbjährlich c) monatlich d) täglich (360 Zinstage) ISM 2024 · Perret 27 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Beispiel: Wie lange dauert es, bis das Guthaben von 5.000 € bei einem Zinssatz von 6% p.a. und jährlicher Verzinsung auf 12.000 € angewachsen ist? Wie ändert sich das Ergebnis bei monatlicher Verzinsung? Lösung: Die Ausgangsformel kann nach n aufgelöst werden: n Kn n Kn ln K n − ln K 0 Kn = K0 ∙ 1 + i ⇒ = 1+i ⇒ ln = n ∙ ln 1 + i ⇒ n = K0 K0 ln 1 + i Einfacher ist dies jedoch meist, wenn man die konkreten Zahlen vorher einsetzt und dann erst umformt: n 12.000 n 12.000 12.000 = 5.000 ∙ 1 + 0,06 ⇒ = 1 + 0,06 ⇒ ln = n ∙ ln 1 + 0,06 ⇒ 5.000 5.000 ln 12.000 −ln 5.000 n = = 15,02 Es dauert also 15,02 Jahre. ln 1+0,06 ISM 2024 · Perret 28 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Übung 3: Der Wert Ihres Depots ist um 50% gefallen. a) Wie lange dauert es bei einer Anlage zu 3% mit jährlicher Zinszahlung, bis der ursprüngliche Wert des Depots wieder erreicht ist? b) Wie ändert sich Ihr Ergebnis, wenn die Anlage auch zu 3% erfolgt, aber die Zinsabrechnung im Quartal erfolgt? ISM 2024 · Perret 29 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Effektiver Zinssatz: Werden die Zinsen auf einen Betrag (Guthaben oder Darlehen) unterjährig fällig, so ergibt sich ein vom angegebenen Jahreszins (nominaler Zins) unterschiedlicher effektiver Zinssatz. Beispiel: Wie hoch ist der effektive Zinssatz eines Darlehens, wenn bei einem jährlichen Zinssatz von 6% die Zinsen monatlich fällig werden? Was ist der tatsächliche jährliche Zinssatz? Lösung: Die Zinsen werden monatlich fällig, also beträgt die Höhe des Darlehens nach zwölf Monaten: i 12 0,06 12 K1 = K 0 ∙ 1 + = K0 1 + = 1,00512 ∙ K 0 12 12 Für den effektiven Zinssatz ieff ergibt sich: 12 K1 K 0 1,005 12 ieff = −1= − 1 = 1,005 − 1 ⇒ ieff = 6,17% K0 K0 ISM 2024 · Perret 30 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Die allgemeine Formel lautet also: t i ieff = 1+ −1 t Durchschnittszins (=Rendite) n Kn i= −1 K0 Beispiel: Wie hoch ist die Rendite bei einer Anlage von 10.000 €, die bei jährlicher Zinszahlung nach fünf Jahren auf 13.000 € valutiert? Lösung: 5 13.000 i= − 1 = 0,054 = 5,4% 10.000 ISM 2024 · Perret 31 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Übung 4: a) Wie hoch ist die Rendite einer Anlage, die das eingesetzte Kapitel binnen 20 Jahren verdoppelt? b) Sie erhalten im ersten Jahr 2%, danach drei Jahre jeweils 3%, und im fünften Jahr 4% Zinsen. Wie groß ist die durchschnittliche jährliche Verzinsung (=Rendite)? ISM 2024 · Perret 32 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Barwert: Bisher sind wir der Frage nachgegangen „Wie hoch ist der Wert einer Anlage bei einem gegebenen Zins i nach einer bestimmten Anzahl von Perioden?“, jetzt fragen wir nach dem heutigen Wert (Gegenwartswert oder Barwert) einer Anlage, wenn wir nach Ablauf eines gewissen Zeitraums ein gewünschtes Endkapital erreichen wollen. Während wir im ersten Fall nach dem Endwert der Anlage gesucht haben, so interessiert uns nun der heutige Wert einer zukünftigen Zahlung, der sogenannte Barwert. Beispiel: Herr Huber macht eine Erbschaft. Er beschließt eine gewisse Summe anzulegen, da er in 20 Jahren nach Mallorca auswandern möchte und dafür 500.000 € einplant. Welchen Betrag muss Herr Huber heute anlegen, wenn ihm seine Bank heute einen Zins von 4,5% über die gesamte Laufzeit garantiert? Lösung: Kn 500.000 K0 = = = 207.321,43 Herr Huber muss 207.321,43 € anlegen. 1+i n 1+0,045 20 ISM 2024 · Perret 33 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Übung 5: a) Wie hoch ist der Barwert einer Anlage, die bei jährlicher Zinszahlung von 4% nach 20 Jahren 150.000 € ergibt? b) Wie ändert sich Ihr Ergebnis, wenn der Zinssatz nach 10 Jahren auf 3% fällt? c) Wie ändert sich Ihr Ergebnis, wenn zusätzlich die Zinsabrechnung im Quartal erfolgt? ISM 2024 · Perret 34 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung Übersicht Onlineaufgaben Aufgabe 1.1 Aufgabe 1.2 Zufallsaufgabe (Finanzmathematik gesamt) ISM 2024 · Perret 35 Wirtschaftsmathematik 01 Finanzmathematik 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung 1.2 Rentenrechnung 1.3 Tilgungsrechnung 1.4 Investitionsrechnung Moodle Icon of Flat style - Available in SVG, PNG, EPS, AI Icon fonts ISM 2024 · Perret 36 Praxiscase Einrichten eines ETF Sparplans Bill möchte frühzeitig für seinen Ruhestand vorsorgen und beginnt bereits in seinem Studium jeden Monat 100€ in einen ETF Sparplan einzuzahlen. Es kann angenommen werden, dass dieser eine jährliche Rendite von 5% einfährt. Wie viel hat er nach 45 Jahren angespart? Hat er damit sein Ziel eines 301k / 401k Plans erreicht? Wie sieht es aus, wenn er jeden Monat 150€ oder 200€ einzahlt? Lösung: Nutzen der Formeln für den Endwert der Rentenrechnung und abschließender Vergleich mit den Zielen von 301.000€ bzw. 401.000€. ISM 2024 · Perret 37 1.2 Rentenrechnung Renten: Bisher haben wir ausschließlich einfache Zahlungsströme (Zahlungsvorgang zu Beginn und Zah- lungsvorgang am Ende des Betrachtungszeitraums) betrachtet. Unter einer n-maligen Rente versteht man eine Zahlungsreihe, die aus n gleich hohen Zahlungen (Raten) der Höhe r besteht, die in gleichen Zeitabständen aufeinander folgen. Erfolgen die Zahlun- gen zu Beginn einer Periode, sprechen wir von einer vorschüssigen Rente. Erfolgen die Zahlungen am Ende einer Periode, sprechen wir von einer nachschüssigen Rente (siehe Grafik). Nachschüssige Rente ISM 2024 · Perret 38 1.2 Rentenrechnung Herleitung (nachschüssige Rente): R n = r + r ∙ q + r ∙ q2 +... + r ∙ qn−2 + r ∙ qn−1 ⇒ R n = r ∙ 1 + q + q2 +... + qn−2 + qn−1 = r ∙ sn Der Klammerausdruck sn stellt die Summe einer endlichen geometrischen Reihe aus n Summanden mit dem Anfangsglied 1 und dem Faktor q dar. Da q > 1 berechnet sich diese Summe wie folgt: qn − 1 sn = ,q ≠ 1 q −1 ISM 2024 · Perret 39 1.2 Rentenrechnung Daraus ergibt sich dann für den Endwert die o.g. Rente qn −1 Rn = r ∙ mit q = 1 + i und q ≠ 1. q −1 oder: n 1+i −1 Rn = r ∙ i ISM 2024 · Perret 40 1.2 Rentenrechnung Den Rentenbarwert ermittelt man am einfachsten, indem man den Rentenendwert auf den Zeitpunkt 0 diskontiert. Dies ist analog zu den vorherigen Betrachtungen und basiert nun wieder mit geänderten Symbolen auf der Formel: n Kn Kn = K0 ∙ 1 + i ⇒ K0 = n 1+i n 1+i −1 1 R0 = r ∙ ∙ n i 1+i ISM 2024 · Perret 41 1.2 Rentenrechnung Beispiel: Sie zahlen zum Ende eines jeden Jahres über einen Zeitraum von 10 Jahren jährlich 5.000 € auf ein Konto ein. Wie viel Geld haben Sie am Ende der 10 Jahre bei einem jährlichen Zinssatz von 3%? Wie viel Geld müssten Sie heute in einer Summe bei gleicher Verzinsung einzahlen, um auf das gleiche Endkapital zu kommen? Lösung: 1 + 0,03 10 − 1 R10 = 5.000 ∙ = 57.319,40 0,03 57.319,40 R0 = = 42.651,02 1,0310 ISM 2024 · Perret 42 1.2 Rentenrechnung Herleitung (vorschüssige Rente): R n = r ∙ q + r ∙ q2 + r ∙ q3 +... + r ∙ qn−1 + r ∙ qn ⇒ R n = r ∙ q 1 + q + q2 +... + qn−2 + qn−1 = r ∙ q ∙ sn ISM 2024 · Perret 43 1.2 Rentenrechnung qn −1 Rn = r ∙ q ∙ mit q = 1 + i und q ≠ 1 q−1 oder: 1+i n−1 Rn = r ∙ 1 + i ∙ i Beispiel: Sie zahlen zu Beginn eines jeden Jahres über den Zeitraum von 10 Jahren jährlich 5.000 € auf ein Konto ein. Wie viel Geld haben Sie am Ende der 10 Jahre bei einem jährlichen Zinssatz von 3%? Wie viel Geld müssten Sie heute in einer Summe bei gleicher Verzinsung einzahlen, um auf das gleiche Endkapital zu kommen? ISM 2024 · Perret 44 1.2 Rentenrechnung Lösung: 1 + 0,03 10 − 1 R10 = 5.000 ∙ 1 + 0,03 ∙ = 59.038,98 0,03 59.038,98 R0 = = 43.930,55 1,0310 ISM 2024 · Perret 45 1.2 Rentenrechnung Übung 6: Berechnen Sie die nach- und vorschüssigen Rentenend- und -barwerte einer regelmäßigen jährlichen Zahlung von 12.000 € über 25 Jahre! Der Zinssatz beträgt 2,5%. Wie ändern sich Ihre Ergebnisse, wenn Sie statt 12.000 € jährlich die Einzahlungen monatlich in Höhe von 1.000 € machen, und auch die Zinsen monatlich abgerechnet werden? Berechnen Sie sowohl Bar- und Endwerte für vor- als auch für nachschüssige monatliche Einzahlungen! ISM 2024 · Perret 46 1.2 Rentenrechnung Ewige Rente: Unter anderem im Rahmen der Unternehmensbewertung findet sich das Konzept der ewigen Rente. Hierbei geht man von einer unendlichen uniformen Zahlungsreihe aus. Letztendlich besteht eine ewige Rente aus den Zinszahlungen eines Kapitalstocks. Der Barwert der (nachschüssigen) ewigen Rente ergibt sich daher aus der Formel: r R0 = i Bei der (vorschüssigen) ewigen Rente erfolgt die erste Zahlung bevor Zinsen gezahlt werden, daher ist der Betrag der nachschüssigen ewigen Rente noch aufzuzinsen und es ergibt sich die Formel: r(1+i) R0 = i ISM 2024 · Perret 47 1.2 Rentenrechnung Beispiel: Herr Huber möchte zum Ende eines jeden Jahres 50.000 € abheben, ohne dass das ursprünglich angelegte Kapital abnimmt. Welchen Betrag muss Herr Huber heute anlegen, wenn ihm seine Bank einen Zinssatz von 5% über die gesamte Laufzeit garantiert? Lösung: r 50.000 R0 = = = 1.000.000 i 0,05 Herr Huber muss 1.000.000 € anlegen. ISM 2024 · Perret 48 1.2 Rentenrechnung Übung 7: Berechnen Sie den Wert einer ewigen Rente heute, die im nächsten Jahr mit jährlich wiederkehrenden Zahlungen von 10.000 € beginnt! Der Zinssatz liegt bei 2,5%. Wie ändert sich Ihr Ergebnis, wenn die jährlich wiederkehrende Zahlung von 10.000 € erst nach vier Jahren beginnt? ISM 2024 · Perret 49 1.2 Rentenrechnung Übersicht Onlineaufgaben Aufgabe 2.1 Aufgabe 2.2 Aufgabe 2.3 Zufallsaufgabe (Finanzmathematik gesamt) ISM 2024 · Perret 50 Wirtschaftsmathematik 01 Finanzmathematik 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung 1.2 Rentenrechnung 1.3 Tilgungsrechnung 1.4 Investitionsrechnung Moodle Icon of Flat style - Available in SVG, PNG, EPS, AI Icon fonts ISM 2024 · Perret 51 Praxiscase Handy kaufen oder monatlich abbezahlen? Sie wollen sich ein neues Handy für 1.200€ kaufen. Dieses können Sie bar bezahlen oder Sie zahlen jeden Monat Ihrem Mobilfunkanbieter 50€ zusätzlich. Wenn Sie das Geld für die Barzahlung nicht vorliegen haben, können Sie es sich im Rahmen eines Konsumkredits für 2% Jahreszins leihen. Welche der beiden Optionen ist die ökonomisch sinnvollste? Lösung: Berechnen der Rate/Annuität bei monatlicher Zahlung und Vergleich mit der zu zahlenden monatlichen Gebührt von 50€. ISM 2024 · Perret 52 1.3 Tilgungsrechnung Annuität: Häufig wird eine Schuld, z.B. eine Hypothek, nicht in einem Betrag zurückgezahlt, sondern in gleichbleibenden Teilbeträgen. Diese setzen sich aus Tilgungs- und Zinsbetrag zusammen. Man nennt Sie Annuität. Diese berechnet sich über die Formel, die sich durch Umstellen der nachschüssigen Rentenformel ergibt: q−1 i a = K 0 ∙ qn ∙ = K0 ∙ 1 + i n ∙ qn − 1 1+i n−1 Die Formel für eine vorschüssige Annuität ergibt sich analog als: q−1 i a = K0 ∙ qn−1 ∙ n = K0 ∙ 1 + i n−1 ∙ q −1 1+i n−1 Die Restschuld zum Ende der Periode n ergibt sich aus den folgenden Formeln: qn −1 1+i n −1 Kn = K0 ∙ qn −a∙ = K0 ∙ 1 + i n −a∙ nachschüssig q−1 i qn −1 1+i n −1 Kn = K0 ∙ qn −a∙ 1+i = K0 ∙ 1 + i n −a∙ 1+i vorschüssig q−1 i ISM 2024 · Perret 53 1.3 Tilgungsrechnung Beispiel: Frau Maier hat zur Finanzierung ihrer Eigentumswohnung eine Hypothek in Höhe von 150.000€ aufgenommen. Der Zinssatz liegt bei 6 %, sie plant, die Schuld in acht Jahren vollständig zurück zu zahlen. Lösung: n i a = K0 ∙ 1 + i ∙ = 1+i n−1 0,06 = 150.000 ∙ 1,068 ∙ = 1,068 − 1 = 239.077,21 ∙ 0,101036 = 24.155,39 Frau Maier muss 24.155,39 € pro Jahr zurückzahlen. ISM 2024 · Perret 54 1.3 Tilgungsrechnung Der Tilgungsplan für das obige Beispiel hat folgendes Bild: Jahr Restschuld Zinsen Tilgung Annuität 1 150.000,00 9.000,00 15.155,39 24.155,39 2 134.844,61 8.090,68 16.064,71 24.155,39 3 118.779,90 7.126,79 17.028,60 24.155,39 4 101.751,30 6.105,08 18.050,31 24.155,39 5 83.700,99 5.022,06 19.133,33 24.155,39 6 64.567,66 3.874,06 20.281,33 24.155,39 7 44.286,33 2.657,18 21.498,21 24.155,39 8 22.788,12 1.367,29 22.788,12 24.155,41 ISM 2024 · Perret 55 1.3 Tilgungsrechnung Bei der Annuitätentilgung bleibt die Annuität über die gesamte Laufzeit gleich. Die Zinszahlungen fallen, während die Tilgungszahlungen mit zunehmender Laufzeit steigen. Dies ist in der Praxis die gängige Form. ISM 2024 · Perret 56 1.3 Tilgungsrechnung Möglich wäre auch eine Ratentilgung, bei der die Tilgungsraten während der gesamten Laufzeit gleich bleiben. Wie sehen dafür die mögliche Formel und der entsprechende Tilgungsplan aus? Jahr Restschuld Zinsen Tilgung Rate 1 150.000,00 9.000,00 18.750,00 27.750,00 2 18.750,00 3 18.750,00 4 18.750,00 5 18.750,00 6 18.750,00 7 18.750,00 8 18.750,00 Welche dritte Form einer möglichen Tilgung könnte noch möglich sein? ISM 2024 · Perret 57 1.3 Tilgungsrechnung Übung 8: Frau Maier hat zur Finanzierung ihres neuen Fernsehers einen Kredit in Höhe von 2.000€ aufgenommen. Der Zinssatz liegt bei 10%. Sie plant, die Schuld mit jährlichen Raten innerhalb von vier Jahren vollständig zurück zu zahlen. a) Berechnen Sie die Annuität, erstellen Sie einen Tilgungsplan und ermitteln Sie die gesamten Zinskosten! b) Berechnen Sie die Raten, erstellen Sie einen Tilgungsplan für die Ratentilgung und ermitteln Sie die gesamten Zinskosten! c) Wie hoch sind die Annuität und die gesamten Zinskosten bei einer monatlichen Kreditrate (ohne Tilgungsplan)? d) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse und interpretieren Sie diese! ISM 2024 · Perret 58 1.3 Tilgungsrechnung Übersicht Onlineaufgaben Aufgabe 3.1 Aufgabe 3.2 Aufgabe 3.3 Zufallsaufgabe (Finanzmathematik gesamt) ISM 2024 · Perret 59 Wirtschaftsmathematik 01 Finanzmathematik 1.1 Zins- und Zinseszinsrechnung 1.2 Rentenrechnung 1.3 Tilgungsrechnung 1.4 Investitionsrechnung Moodle Icon of Flat style - Available in SVG, PNG, EPS, AI Icon fonts ISM 2024 · Perret 60 Praxiscase Studieren oder lieber Arbeiten gehen? Nach fünf Jahren Studium erhält man im Durchschnitt 500€ mehr Gehalt jeden Monat (2.500€ im Vergleich zu 2.000€), im Gegensatz zu Personen, die direkt nach dem Schlussabschluss anfangen zu arbeiten. Lohnt sich die Investition des Studiums, wenn davon ausgegangen werden kann, dass 40 bzw. 45 Jahre lang gearbeitet wird? Lohnt es sich auch, wenn nur 20 bzw. 25 Jahre lang gearbeitet wird? Lösung: Berechnung der Barwerte der beiden ‚Investitionen‘, idealerweise über die Barwertformel der Rentenrechnung. Weiteres Abdiskontieren des Barwerts der Studenten um die fünf Jahre des Studiums und Vergleich der beiden finalen Barwerte. ISM 2024 · Perret 61 1.4 Investitionsrechnung Investitionsrechnung: Ausgangspunkt: es steht die Frage im Raum, ob ein Investitionsprojekt lohnenswert ist oder nicht. (Bsp.: Ein Unternehmen überlegt, eine neue Maschine anzuschaffen → Lohnt sich die Investition?) Zur Beantwortung der Frage schaut man sich an: Zu erwartende Einzahlungen E (Bsp.: Was wird man durch die neue Maschine einnehmen?) Zu erwartende Auszahlungen A (Bsp.: In welcher Höhe werden Kosten für die neue Maschine anfallen?) Daraus ergibt sich: Einzahlungsüberschuss: E-A ISM 2024 · Perret 62 1.4 Investitionsrechnung Die Kapitalwertberechnungen sind Anwendungen der Barwertberechnungen, die hauptsächlich bei der Ermittlung der Vorteilhaftigkeit einer oder mehrerer Investitionen angewendet werden: E1 − A1 E2 − A2 E3 − A3 ET − AT K 0 = −A0 + + + +... + 1+i 1+i 2 1+i 3 1+i T oder: 𝑇 𝐸𝑡 − 𝐴𝑡 K 0 = −A0 + ෍ 1+𝑖 𝑡 𝑡=1 Et ist hierbei die Einzahlung zum Zeitpunkt t und At die Auszahlung zum Zeitpunkt t. ISM 2024 · Perret 63 1.4 Investitionsrechnung Beispiel: Ein Investor kann zwischen zwei Projekten mit den folgenden Zahlungsreihen von Einzahlungs- überschüssen wählen. Im Zeitpunkt 0 erfolgt die Investition in der angegebenen Höhe! Zeitpunkt 0 1 2 3 4 Investition A -10.000 6.500 6.500 Investition B -10.000 3.800 3.800 3.800 3.800 Der Kalkulationszinssatz beträgt 10%. Berechnen Sie die beiden Kapitalwerte und treffen Sie eine Entscheidung! ISM 2024 · Perret 64 1.4 Investitionsrechnung Lösung: Alternative A: 6.500 6.500 K 0 = −10.000 + + = 1.280,99 1,1 1,12 Alternative B: 3.800 3.800 3.800 3.800 K 0 = −10.000 + + + + = 2.045,49 1,1 1,12 1,13 1,14 Beide Investitionen sind sinnvoll, jedoch ist die Alternative B vorteilhafter. ISM 2024 · Perret 65 1.4 Investitionsrechnung Übung 9: Ein Investor kann zwischen zwei Projekten mit den folgenden Zahlungsreihen wählen: Zeitpunkt 0 1 2 3 4 Investition A -1000 400 400 400 400 Investition B -1000 800 300 300 300 Der Kalkulationszinssatz beträgt 10%. Berechnen Sie die beiden Kapitalwerte und treffen Sie eine Entscheidung! ISM 2024 · Perret 66 1.4 Investitionsrechnung Übung 10: Sie sind Inhaber des Unternehmens Seifenblase.com. Derzeit arbeitet die Gesellschaft mit Verlust, Sie erwarten jedoch (mit Sicherheit) ein Erreichen der Gewinnschwelle in absehbarer Zeit. Die erwartete Zeitreihe der Einzahlungsüberschüsse (EZÜ) hat folgendes Aussehen: t1 t2 t3 t4 t5 t6 danach ad Infinitum -50 25 0 25 50 50 50 Der Zinssatz auf dem Kapitalmarkt beträgt 10%. Ihr Mitbewerber noprofit.de macht Ihnen ein Über- nahmeangebot in Höhe von 400. Nehmen Sie das Angebot an? ISM 2024 · Perret 67 1.4 Investitionsrechnung Übersicht Onlineaufgaben Aufgabe 4.1 Aufgabe 4.2 Aufgabe 4.3 Aufgabe 4.4 Zufallsaufgabe (Finanzmathematik gesamt) ISM 2024 · Perret 68 Wirtschaftsmathematik 02 Lineare Algebra 2.1 Matrizen 2.2 Lineare Gleichungssysteme Moodle Icon of Flat style - Available in SVG, PNG, EPS, AI Icon fonts ISM 2024 · Perret 69 Praxiscase Netzwerkanalyse Sozialer Netzwerke Bevor soziale Netzwerke analysiert werden können, muss das Netzwerk als solches mathematisch abgebildet werden. Dies erfolgt mit Matrizen. Es soll bestimmt werden, ob es in einem Netzwerk die Möglichkeit gibt, eine „Telefonkette“ einzu- richten, so dass jeder erreicht wird, aber keiner doppelt angerufen wird. Lösung: Berechnung der Determinante der Matrix, die das Netzwerk beschreibt. Ist die Determinante von Null verschieden, so ist dies möglich. ISM 2024 · Perret 70 2.1 Matrizen Definition Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen. Beispiele von Matrizen Vektoren (haben nur eine Spalte oder eine Zeile) Zeilenvektoren: A = a1 a2 a3 = 5 −3 7 Spaltenvektoren: a1 7 A = a2 = −2 a3 9 m x n Matrizen (m = Zeilen, n = Spalten / amn ist das Element der Matrix in Zeile m und Spalte n) a11 ⋯ a1n A= ⋮ ⋱ ⋮ am1 ⋯ amn ISM 2024 · Perret 71 2.1 Matrizen Quadratische Matrix (gleiche Anzahl von Spalten und Zeilen) a11 a12 a13 6 21 9 a11 a12 5 −8 A= a = B= a21 a22 a23 = 9 −1 0 21 a22 11 7 a31 a32 a33 −5 4 13 Diagonalmatrix (quadratisch, alle Elemente außerhalb der Diagonalen sind Null) a11 a12 a13 3 0 0 a11 a12 7 0 A= a = B= a21 a22 a23 = 0 −8 0 21 a22 0 −1 a31 a32 a33 0 0 1 (Obere) Dreiecksmatrix (quadratisch, alle Elemente unterhalb der Diagonale sind Null) a11 a12 a13 6 6 4 a11 a12 7 5 A= a = B= a21 a22 a23 = 0 −1 8 21 a22 0 −3 a31 a32 a33 0 0 13 ISM 2024 · Perret 72 2.1 Matrizen Einheitsmatrix (quadratisch, auf der Diagonale stehen Einsen, alle anderen Elemente sind Null) 1 0 0 1 0 E= E= 0 1 0 0 1 0 0 1 Nullmatrix (alle Elemente sind Null) 0 0 0 0 0 Θ= Θ= 0 0 0 0 0 0 0 0 ISM 2024 · Perret 73 2.1 Matrizen Definition: (Transponierte Matrix) Transponieren bedeutet, dass die Zeile einer Matrix die Spalte einer neuen (transponierten) Matrix wird. Aus Matrix A wird Matrix AT. Die erste Zeile einer Matrix wird zur ersten Spalte einer Matrix usw. Man kann sich dies derart vorstellen, dass die Matrix an der Diagonalen gespiegelt wird. Dies bedeutet insbesondere, dass auch Zeilen- und Spaltenanzahl getauscht werden. Beispiel: 7 11 −5 7 6 9 A= 6 8 0 AT = 11 8 −6 9 −6 12 −5 0 12 7 B = −2 BT = 7 −2 9 9 ISM 2024 · Perret 74 2.1 Matrizen Übung 11: Transponieren Sie die folgenden Matrizen: 8 −3 11 a) A = −9 0 1 8 4 1 −4 0 b) B = 11 5 c) C = 7 −2 8 3 8 d) D = 0 −5 9 −3 ISM 2024 · Perret 75 2.1 Matrizen Matrizen-Addition und -Subtraktion Es ist möglich, Matrizen der gleichen Form m x n zu addieren oder zu subtrahieren. Dazu werden die entsprechenden Elemente addiert, bzw. subtrahiert. Die Addition und Subtraktion funktioniert nur, wenn beide Matrizen die gleiche Anzahl von Spalten und Zeilen haben. 5 1 6 5 5+6 1+5 11 6 + = = 7 11 3 −6 7 + 3 11 + (−6) 10 5 7 21 9 −5 3 5 7 − (−5) 21 − 3 9−5 12 18 4 4 −7 4 − 8 23 8 = 4−8 −7 − 23 4−8 = −4 −30 −4 22 8 −13 12 7 0 22 − 12 8−7 −13 − 0 10 1 −13 ISM 2024 · Perret 76 2.1 Matrizen Übung 12: Berechnen Sie mit Hilfe der folgenden Matrizen, sofern möglich, die unten stehenden Ausdrücke: 3 −6 6 −5 7 −3 4 A = −9 12 B = 6 −3 12 C= 3 −9 D= 9 21 −5 5 0 −2 11 a) A + C b) C + DT c) DT – (A + C) d) C - B ISM 2024 · Perret 77 2.1 Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl: a11 a12 r ∙ a11 r ∙ a12 r∙ a = 21 a22 r ∙ a21 r ∙ a22 Beispiel: 3 −7 9 −21 3∙ = 5 2 15 6 ISM 2024 · Perret 78 2.1 Matrizen Multiplikation von zwei Matrizen Voraussetzung: Das Produkt A∙B kann nur gebildet werden, wenn: Spaltenanzahl der Matrix A = Zeilenanzahl der Matrix B Dimension der Ergebnismatrix = Zeilenanzahl von A x Spaltenanzahl von B a11 a12 a22 ∙ b11 b12 b13 A∙B = a21 a31 a32 b21 b22 b23 a11 ∙ b11 + a12 ∙ b21 a11 ∙ b12 + a12 ∙ b22 a11 ∙ b13 + a12 ∙ b23 = a21 ∙ b11 + a22 ∙ b21 a21 ∙ b12 + a22 ∙ b22 a21 ∙ b13 + a22 ∙ b23 a31 ∙ b11 + a32 ∙ b21 a31 ∙ b12 + a32 ∙ b22 a31 ∙ b13 + a32 ∙ b23 Beispiel: 6 4 6∙2+4∙1 6∙7+4∙5 6∙3+4∙8 2 7 3 A∙B = 1 −7 ∙ = 1 ∙ 2 + −7 ∙ 1 1 ∙ 7 + −7 ∙ 8 1 ∙ 3 + −7 ∙ 8 = 1 5 8 3 9 3∙2+9∙1 3∙7+9∙5 3∙3+9∙8 16 62 50 −5 −28 −53 15 66 81 ISM 2024 · Perret 79 2.1 Matrizen Falksches Schema: 2 7 3 1 5 8 6 4 1 -7 3 9 ISM 2024 · Perret 80 2.1 Matrizen Übung 13: Berechnen Sie mit Hilfe der folgenden Matrizen, sofern möglich, die unten stehenden Ausdrücke: 0 −5 8 5 4 −8 3 −9 8 6 A= B= C= 7 3 0 D = −7 F= 2 7 2 5 0 1 −3 7 1 3t −5 1 a) A∙B b) 5∙B – A c) B∙A d) 8∙(A - B)2 e) A∙F f) C∙D g) B∙FT h) (A - B)∙FT ISM 2024 · Perret 81 2.1 Matrizen Übung 14: Ein Unternehmen stellt in einem zweistufigen Produktionsverfahren die Produkte E1 und E2 her. Auf der ersten Produktionsstufe werden zwei Rohstoffe R1 und R2 zu drei Zwischenprodukten Z1, Z2 und Z3 verarbeitet. Für eine Mengeneinheit (ME) von Z1 braucht man 5 ME von Rohstoff R1 und 10 ME von Rohstoff R2. Für eine Mengeneinheit von Z2 braucht man 2 ME von Rohstoff R1 und 4 ME von Rohstoff R2. Für eine Mengeneinheit von Z3 braucht man 1 ME beider Rohstoffe. Auf der zweiten Produktionsstufe werden aus den Zwischenprodukten die Endprodukte hergestellt. Zur Produktion einer ME des Endproduktes E1 braucht man 3 ME von Z2 und 6 ME von Z3. Zur Produktion einer ME des Endproduktes E2 braucht man 2 ME von Z1, 2 ME von Z2 und 1 ME von Z3. Berechnen Sie den Rohstoffbedarf für die Produktion der beiden Endprodukte. ISM 2024 · Perret 82 2.1 Matrizen (Exkurs) Definition: (Inverse Matrix) A∙A-1 = A-1∙A = E (E=Einheitsmatrix) Wird Matrix A mit A-1 multipliziert, entsteht eine Einheitsmatrix. A-1 ist die inverse Matrix von A. Die inverse Matrix ist eindeutig bestimmt. A kann nicht zwei oder mehr inverse Matrizen besitzen. Nur quadratische Matrizen sind invertierbar! Nicht-quadratische Matrizen sind nicht invertierbar! Aber auch nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar! ISM 2024 · Perret 83 2.1 Matrizen (Exkurs) Berechnung der inversen Matrix: 2 2 A= 1 −1 1. Schritt: Die Matrix wird um eine Einheitsmatrix ergänzt und zwar auf der rechten Seite: 2 2 1 0 1 −1 0 1 2. Schritt: Sie versuchen jetzt, diese Matrix so umzuformen, dass die Einheitsmatrix auf der linken Seite steht. Folgende Operationen können Sie dafür nutzen: Vertauschen von Zeilen Multiplikation oder Division einer Zeile mit einer reellen Zahl (≠0) Addition oder Subtraktion einer Zeile zu/von einer anderen Zeile 3. Schritt: Tritt die Situation auf, dass eine Zeile nur Nullen enthält, so ist die Matrix nicht invertierbar. ISM 2024 · Perret 84 2.1 Matrizen (Exkurs) Beispiel: 2 2 1 0 0,5∙(I) 1 −1 0 1 1 1 0,5 0 (I) + (II) 1 −1 0 1 2 0 0,5 1 0,5∙(I) 1 −1 0 1 1 0 0,25 0,5 (II) – (I) 1 −1 0 1 1 0 0,25 0,5 (-1)∙(II) 0 −1 −0,25 0,5 1 0 0,25 0,5 0 1 0,25 −0,5 0,25 0,5 A−1 = 0,25 −0,5 ISM 2024 · Perret 85 2.1 Matrizen (Exkurs) Übung 15: Bilden Sie (sofern möglich) die inverse Matrix von: 1 2 0 a) A = 1 0 1 0 3 −2 3 8 −9 b) B = 2 −5 1 0 1 −2 c) C = 1 1 0 2 0 2 4 4 d) D = 2 2 ISM 2024 · Perret 86 2.1 Matrizen (Exkurs) Determinanten: Die Determinante kann nur von quadratischen Matrizen berechnet werden. Für 2x2 Matrizen gilt: a b a b A= det(A) = det = ad - bc c d c d Beispiel: 4 5 det = 4∙2 - 5∙1 = -2 1 2 Beträgt die Determinante einer Matrix 0, so ist die Matrix nicht invertierbar. ISM 2024 · Perret 87 2.1 Matrizen (Exkurs) Determinanten: Bei größeren Matrizen wird die Matrix schrittweise verkleinert: 1. Wähle eine Zeile oder Spalte aus. Hier wird die erste Zeile gewählt. 2. Addiere alle Einträge der gewählten Zeile oder Spalte auf. Wähle allerdings jeweils das folgende + − + Vorzeichen aus dieser Matrix: − + − + − + Multipliziere zusätzlich jeden Eintrag mit der Determinante einer gekürzten Matrix, in der die zu dem jeweiligen Wert zugehörige Zeile und Spalte gestrichen wurden. Beispiel: a b c A= d e f g h i e f d f d e det(A) = a∙det − b∙det + c∙det h i g i g h ISM 2024 · Perret 88 2.1 Matrizen Übersicht Onlineaufgaben Aufgabe 5.1 Aufgabe 5.4 Aufgabe 5.2 Aufgabe 5.5 Aufgabe 5.3 Zufallsaufgabe ISM 2024 · Perret 89 Wirtschaftsmathematik 02 Lineare Algebra 2.1 Matrizen 2.2 Lineare Gleichungssysteme Moodle Icon of Flat style - Available in SVG, PNG, EPS, AI Icon fonts ISM 2024 · Perret 90 Praxiscase Social Media / Assessment-Center-Bilderrätsel lösen  = 4  = 7  = 6  = ? Lösung: Ersetze die Symbole durch x, y und z und löse das vorliegende Gleichungssystem. ISM 2024 · Perret 91 2.2 Lineare Gleichungssysteme Quelle: Amend / FoxTrot (2008) ISM 2024 · Perret 92 2.2 Lineare Gleichungssysteme Schreibweise: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +... + a2n xn = b2... am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 +... + amb xn = bm Schreibweise mit Hilfe einer Matrix: Ax = b a11 ⋯ a1n x1 b1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ = ⋮ am1 ⋯ amn xn bm ISM 2024 · Perret 93 2.2 Lineare Gleichungssysteme Beispiel: 2x1 + 2x2 = 2 x1 − x 2 = 1 Lösung: 2 2 x1 2 x2 = 1 −1 1 Matrix A wird invertiert: 0,25 0,5 A−1 = 0,25 −0,5 Damit ergibt sich: A-1Ax = A-1b => Ex = A-1b => x = A-1b x1 0,25 0,5 2 1 x2 = = und damit x1 = 1 und x2 = 0 0,25 −0,5 1 0 ISM 2024 · Perret 94 2.2 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren: (“vollständige Elimination”) a11 ⋯ a1n x1 b1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ = ⋮ am1 ⋯ amn xn bm Wir schreiben das LGS in verkürzter Form: a11 ⋯ a1n b1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ am1 ⋯ amn bm … und formen um (Regeln siehe inverse Matrix) bis auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht: 1 0 ⋯ 0 c1 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0c 0 ⋯0 1 m Die Werte ci auf der rechten Seite geben die Lösung des LGS an. ISM 2024 · Perret 95 2.2 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren: (Lösungen) Ein lineares Gleichungssystem besitzt entweder: Genau eine Lösung: Es entsteht auf der linken Seite eine vollständige Einheitsmatrix. Nachfolgende Zeilen enthalten links und rechts nur Nullen. 1 0 5 0 1 7 0 0 0 Die Werte auf der rechten Seite geben dann die Lösungen des LGS an. Keine Lösung: Nach umformen enthält mindestens eine Zeile links nur Nullen aber rechts einen Wert ungleich Null. 1 0 5 0 1 7 0 0 3 ISM 2024 · Perret 96 2.2 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren: (Lösungen) Unendlich viele Lösungen: Alle Zeilen, die links nur Nullen aufweisen, weisen auch rechts eine Null auf. Es kann keine vollständige Einheitsmatrix erzeugt werden. 1 1 5 0 0 0 0 0 0 Die Lösungen können nur als Menge in der folgenden Form angegeben werden: x1 + x2 = 5 => x1 = -x2 + 5 und damit: x1 = -x2 + 5 x2 = x2 oder: x1 −1 5 x2 = x 2 + für beliebige reelle x2 1 0 ISM 2024 · Perret 97 2.2 Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren: (Vorgehensschema) Vertauschen von Zeilen Multiplikation oder Division einer Zeile mit einer reellen Zahl (≠0) Addition oder Subtraktion einer Zeile zu/von einer anderen Zeile Addition oder Subtraktion des Vielfachen einer Zeile zu/von einer anderen Zeile ISM 2024 · Perret 98 2.2 Lineare Gleichungssysteme Übung 16: Lösen Sie mit Hilfe des Gauß-Verfahren die folgenden Aufgaben: 2 2 x1 2 a) x2 = 1 −1 1 2 −5 3 x1 3 b) 4 −12 8 x2 = 4 3 1 −2 x3 9 x1 − 2x3 = −4 c) x1 + x2 = 2 2x1 + 2x3 = 4 ISM 2024 · Perret 99 2.2 Lineare Gleichungssysteme Übersicht Onlineaufgaben Aufgabe 6.1 Aufgabe 6.2 Zufallsaufgabe ISM 2024 · Perret 100 Wirtschaftsmathematik 03 Differentialrechnung 3.1 Grundlagen 3.2 Differentialrechnung (eine Variable) 3.3 Differentialrechnung (zwei Variablen) Moodle Icon of Flat style - Available in SVG, PNG, EPS, AI Icon fonts ISM 2024 · Perret 101 3.1 Grundlagen Was ist eine Funktion f? Hilfsmittel der Mathematik, um u.a. wirtschaftswissenschaftliche Zusammenhänge zu beschreiben f ist eine Abbildung (Zuordnungsvorschrift), die jedem Element einer Ausgangsmenge X (Definitions- bereich Df) genau ein Element f(x) einer Zielmenge zuordnet: f: x −> f(x) f ist eine Funktion von x. Beispiel: Preise in einem Kaufhaus Jedes Produkt x weist genau einen Preis y = f x auf. Ausgangsmenge X / Definitionsbereich D: alle Produkte des Kaufhauses. Zielmenge Y / Wertebereich W: Preise der Produkte. ISM 2024 · Perret 102 3.1 Grundlagen Definitionsbereich Jede Funktion ist definiert für die Werte (Zahlen), die für x eingesetzt werden dürfen. Die Zahlenmengen für x nennt man den Definitionsbereich D Beispiel: f x = 8x + 12 Definitionsbereich D: 1 g x = x Definitionsbereich D: h x = 4x − 4 Definitionsbereich D: i x = 5x 2 Definitionsbereich D: ISM 2024 · Perret 103 3.1 Grundlagen Wertebereich Die Zahlenmenge für y, die sich daraus ergibt, dass alle x aus der Definitionsmenge eingesetzt werden, nennt man den Wertebereich W. Beispiel: f x = 8x + 12 Wertebereich W: 1 g x = x Wertebereich W: h x = 4x − 4 Wertebereich W: i x = 5x 2 Wertebereich W: ISM 2024 · Perret 104 3.1 Grundlagen Übung 17: Gegeben sind die vier Punkte A, B, C und D in der Form (x,y): A(18|4), B(24|16), C(2|16) und D(4|8) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf für: a) Die Gerade durch die Punkte A und B b) Die Gerade durch die Punkte C und B c) Die Gerade durch die Punkte C und D ISM 2024 · Perret 105 3.1 Grundlagen Übung 18: Stellen Sie für die folgenden Funktionen den graphischen Verlauf der Funktion dar. Legen Sie den Definitionsbereich der Funktion fest. Bestimmen Sie die Nullstellen. Wo schneidet die Funktion die x- Achse? a) f(x) = 5 b) f(x) = 2x + 5 c) f(x) = x2 + 3 1 d) f(x) = x+1 e) f(x) = x f) f(x) = ex = exp(x) g) f(x) = ln(x) ISM 2024 · Perret 106 Wirtschaftsmathematik 03 Differentialrechnung 3.1 Grundlagen 3.2 Differentialrechnung (eine Variable) 3.2.1 Stetigkeit 3.2.2 Ableitungen 3.2.3 Extrema 3.3 Differentialrechnung (zwei Variablen) ISM 2024 · Perret 107 3.2 Differentialrechnung (eine Variable) Was bedeutet Stetigkeit? Schaut man, ob eine Funktion f(x) in einem Punkt x0 stetig ist, so überprüft man, ob sie sich in diesem Punkt ohne Absetzen durchzeichnen lässt. → f(x) besitzt in einem Punkt, an dem eine Funktion nicht stetig ist, eine Definitionslücke. → links- und rechtsseitiger Grenzwert stimmen mit dem tatsächlichen Funktionswert überein. f(x) ist in allen Punkten stetig, wenn sie in ausnahmslos allen Punkten des Definitionsbereichs stetig ist. → Stetig sind konstante, lineare, quadratische, Wurzel- Exponential- und Logarithmusfunktionen → Unstetig sind gebrochen-rationale Funktionen an den Nullstellen im Nenner. ISM 2024 · Perret 108 3.2 Differentialrechnung (eine Variable) Verschiedene Arten von Unstetigkeiten: 1. Polstellen ohne Vorzeichenwechsel 2 f x = Definitionslücke bei x = 3 x−3 2  Nenner ist immer positiv  f(x) ist immer positiv (kein Vorzeichenwechsel) 2. Polstellen mit Vorzeichenwechsel 1 f x = x+1 Definitionslücke bei x = -1  Nenner kann positiv und negativ sein  f(x) kann negativ und positiv sein (mit Vorzeichenwechsel) ISM 2024 · Perret 109 3.2 Differentialrechnung (eine Variable) Graphischer Verlauf von Funktionen mit Polstellen: ISM 2024 · Perret 110 3.2 Differentialrechnung (eine Variable) 3. Hebbare Definitionslücke x2 −36 f x = Definitionslücke bei x = -6 x+6 ISM 2024 · Perret 111 3.2 Differentialrechnung (eine Variable) 4. Sprünge: 2000 für x