Programme de Mathématiques Cycle 3 Décembre 2024 PDF

Programme de mathématiques du cycle 3 Décembre 2024 Sommaire Principes................................................................................................................................................ 4 1. NOMBRES, CALCUL ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES........................................................................ 8 COURS MOYEN PREMIÈRE ANNÉE........................................................................................................... 8 Les nombres entiers............................................................................................................................................. 8 Les fractions....................................................................................................................................................... 10 Les nombres décimaux....................................................................................................................................... 13 Le calcul mental.................................................................................................................................................. 15 Les quatre opérations........................................................................................................................................ 19 La résolution de problèmes................................................................................................................................ 20 Algèbre............................................................................................................................................................... 24 COURS MOYEN DEUXIÈME ANNÉE........................................................................................................ 28 Les nombres entiers........................................................................................................................................... 28 Les fractions....................................................................................................................................................... 29 Les nombres décimaux....................................................................................................................................... 32 Le calcul mental.................................................................................................................................................. 35 Les quatre opérations........................................................................................................................................ 39 La résolution de problèmes................................................................................................................................ 40 Algèbre............................................................................................................................................................... 45 CLASSE DE SIXIÈME............................................................................................................................... 50 Les nombres entiers et décimaux...................................................................................................................... 50 Les fractions....................................................................................................................................................... 55 Algèbre............................................................................................................................................................... 60 2. GRANDEURS ET MESURES.............................................................................................................. 62 COURS MOYEN PREMIÈRE ANNÉE......................................................................................................... 62 COURS MOYEN DEUXIÈME ANNÉE........................................................................................................ 68 CLASSE DE SIXIÈME............................................................................................................................... 72 3. ESPACE ET GÉOMÉTRIE.................................................................................................................. 76 COURS MOYEN PREMIÈRE ANNÉE......................................................................................................... 76 La géométrie plane............................................................................................................................................. 76 Les solides........................................................................................................................................................... 78 Le repérage dans l’espace.................................................................................................................................. 80 COURS MOYEN DEUXIÈME ANNÉE........................................................................................................ 81 La géométrie plane............................................................................................................................................. 81 Programme de mathématiques du cycle 3 – 7 janvier 2025. 2 Les solides........................................................................................................................................................... 83 Déplacements dans l’espace.............................................................................................................................. 84 CLASSE DE SIXIÈME............................................................................................................................... 86 Étude de configurations planes.......................................................................................................................... 86 La vision dans l’espace....................................................................................................................................... 91 4. ORGANISATION ET GESTION DE DONNÉES ET PROBABILITÉS.......................................................... 93 COURS MOYEN PREMIÈRE ANNÉE......................................................................................................... 93 Organisation et gestion de données.................................................................................................................. 93 Les probabilités.................................................................................................................................................. 95 COURS MOYEN DEUXIÈME ANNÉE........................................................................................................ 98 Organisation et gestion de données.................................................................................................................. 98 Les probabilités.................................................................................................................................................. 99 CLASSE DE SIXIÈME..............................................................................................................................103 Organisation et gestion de données................................................................................................................ 103 Les probabilités................................................................................................................................................ 104 5. LA PROPORTIONNALITÉ................................................................................................................106 COURS MOYEN PREMIÈRE ANNÉE........................................................................................................106 COURS MOYEN DEUXIÈME ANNÉE.......................................................................................................107 CLASSE DE SIXIÈME..............................................................................................................................108 6. INITIATION À LA PENSÉE INFORMATIQUE.....................................................................................111 CLASSE DE SIXIÈME..............................................................................................................................111 Programme de mathématiques du cycle 3 – 7 janvier 2025. 3 Principes Objectifs majeurs Le programme d’enseignement des mathématiques au cycle 3 fixe des objectifs de différentes natures : − le renforcement des apprentissages mathématiques des élèves français de l’école et du collège ; − l’acquisition de savoirs et de savoir-faire indispensables à la réussite au cycle 4 en mathématiques et dans les autres disciplines scolaires ; − le renforcement de compétences d’analyse, de raisonnement, de logique, d’argumentation qui constituent le fondement de la formation scientifique et qui contribuent au développement de l’esprit critique nécessaire à l’exercice éclairé de la citoyenneté ; − le développement de compétences psychosociales permettant à chaque élève de gagner en autonomie et en pouvoir d’action, de bénéficier d’un état de bien-être psychique et de construire des interactions positives avec autrui ; − la lutte contre les déterminismes sociaux et les inégalités entre les filles et les garçons qui freinent la réussite scolaire. Par ailleurs, l’enseignement des mathématiques au cycle 3 s’inscrit dans une démarche éducative plus large en sensibilisant les élèves aux défis environnementaux du 21e siècle, notamment le changement climatique, la perte de la biodiversité et l’épuisement des ressources naturelles. Organisation du travail des élèves Pour atteindre ces objectifs, il est fondamental de proposer aux élèves des activités variées. Leur diversité concerne : − les contextes liés à la vie quotidienne ou à d’autres disciplines, mais aussi internes aux mathématiques ; − les types de tâches qui peuvent être des entrainements à la mémorisation ou à l’automatisation, des exercices d’application pour stabiliser et consolider les connaissances, des évaluations à visée formative, des résolutions de problèmes favorisant la recherche, des débats collectifs autour d’une solution proposée ; − les modalités d’organisation du travail qui peut être effectué individuellement, en binômes ou en groupes plus larges, à l’écrit et à l’oral. Le temps scolaire est privilégié pour la mise en œuvre de ces modalités d’apprentissage. En parallèle, des travaux proposés en dehors de la classe, notamment l’apprentissage des leçons et la résolution d’exercices d’application et d’entrainement, sont indispensables pour consolider les acquis. Pour lutter contre les déterminismes sociaux, l’enseignant doit expliciter clairement l’objectif, les enjeux et les attentes du travail à fournir hors de la classe, afin d’accompagner les élèves, en particulier ceux qui ne bénéficient pas d’un soutien familial ou extérieur. La résolution de problèmes Au cycle 3, la résolution de problèmes occupe une place centrale dans l’apprentissage des mathématiques. Elle contribue à donner du sens aux notions étudiées en les inscrivant dans des situations concrètes, qu’elles soient issues d’autres disciplines ou intra-mathématiques. Elle joue un rôle majeur dans le développement de compétences mathématiques (chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner, communiquer) et constitue le critère principal pour évaluer la maitrise des concepts enseignés. La mémorisation et l’automatisation Pour être en capacité de résoudre des problèmes, l’élève doit pouvoir disposer d’automatismes, c’est-à-dire d’un corpus de connaissances, de procédures et de stratégies immédiatement disponibles. La maitrise de ces automatismes allège la mémoire de travail de l’élève lors de la résolution de problèmes, lui permettant de se consacrer pleinement à des tâches cognitives de niveau supérieur comme la prise d’initiatives, la créativité ou le raisonnement. L’apprentissage de ces automatismes est particulièrement valorisant car il produit souvent des progrès rapides, ce qui engage les élèves dans un cercle vertueux et renforce leur confiance en leur capacité à réussir. Au cours moyen, les automatismes concernent principalement les faits numériques et les procédures de calcul que tout élève est tenu de maitriser. Ils sont notamment explicités dans la rubrique « Calcul mental » du programme où ils sont Programme de mathématiques du cycle 3 – 7 janvier 2025. 4 accompagnés d’indicateurs précis de leur maitrise. En effet, tout comme « savoir lire » ne signifie pas la même chose en CE1 et en CM2 concernant le nombre de mots lus en une minute, « Connaitre les tables de multiplication » ne correspond pas aux mêmes attentes en CE1 et en CM2 sur le nombre de résultats que les élèves sont capables de restituer en une minute. En 6e, les automatismes couvrent l’ensemble des domaines du programme, mais portent uniquement sur des connaissances, des procédures et des stratégies déjà étudiées au cours moyen. Afin de favoriser un apprentissage solide des habiletés en calcul, qu’il soit mental ou posé, les élèves du cycle 3 n’utilisent pas de calculatrice au quotidien. Au cours moyen, ils ne disposent pas de calculatrice personnelle. Cependant, à l’école comme au collège, l’enseignant peut en mettre à disposition lorsqu’il juge leur usage pertinent, soit pour aborder une tâche spécifique, soit pour répondre aux besoins de certains élèves. Par exemple, la calculatrice peut être utilisée pour résoudre des problèmes dont les données numériques dépassent le cadre des calculs mentaux ou posés fixé par le programme. Les écrits en mathématiques En mathématiques, au cycle 3, les élèves sont amenés à produire plusieurs types d’écrits, chacun ayant une fonction spécifique. − Les écrits intermédiaires rédigés lors des temps de recherche permettent à l’élève de poser les premiers éléments nécessaires à l’analyse d’un énoncé, de structurer sa pensée lors de la résolution d’un problème ou de noter des résultats intermédiaires pour soulager sa mémoire de travail lors d’un calcul mental. Ces écrits ne sont pas destinés à être évalués, mais ils offrent à l’enseignant une précieuse opportunité de repérer et de comprendre les difficultés rencontrées par un élève et, ainsi, de l’aider à les surmonter. Ils peuvent être notés sur une ardoise, sur un cahier de brouillon ou encore dans le cahier d’exercices. − Les travaux écrits sous la forme de résolution d’exercices d’application, d’entrainement ou de problèmes sont essentiels. Leur trace est consignée dans un cahier ou un classeur. L’enseignant encourage l’élève à renseigner ce cahier ou ce classeur avec soin, tout en autorisant les essais et les erreurs inhérents aux apprentissages mathématiques. La validation régulière de ces écrits par l’enseignant, lorsqu’il circule dans les rangs ou qu’il relève les cahiers, permet de maintenir un haut niveau d’exigence tant sur la précision des réponses que sur la présentation. − L’institutionnalisation des notions étudiées en classe est consignée sous forme de traces écrites dans le cahier ou le classeur de l’élève : définitions et propriétés, vocabulaire spécifique, procédures de calcul à mémoriser, exercice résolu pouvant servir de modèle, etc. Ces traces servent de référence pour l’élève, notamment quand il rencontre des difficultés lors de la résolution d’un exercice ou d’un problème. La place et le rôle de l’oral La verbalisation est un maillon essentiel dans l’acquisition des notions mathématiques : elle éclaire souvent le sens et aide à la mémorisation. Offrant à l’élève la possibilité de développer sa pensée, puis de la structurer, elle contribue également à la compréhension, à la réflexion et au raisonnement. Au même titre que la représentation, qui est une mise en images, la verbalisation est une mise en mots qui facilite l’accès à l’abstraction. Les séances de mathématiques fournissent de nombreuses opportunités de renforcer l’expression orale des élèves et leur capacité d’argumentation. La présentation d’une réponse, d’une stratégie ou encore d’une solution d’un problème permet d’entrainer l’élève à s’exprimer face à un public et à produire un discours structuré et clair. Plutôt que de recopier au tableau sa solution, l’élève est encouragé à la décrire et à la commenter, éventuellement avec l’appui d’un outil comme le visualiseur. La confrontation de solutions variées d’un même problème incite les élèves à argumenter, à comparer des méthodes ou à critiquer de manière constructive les démarches retenues. Ces activités contribuent à développer des compétences d’expression orale, tout en favorisant la structuration et la clarté du discours. L’évaluation des progrès et des acquis des élèves Programme de mathématiques du cycle 3 – 7 janvier 2025. 5 L’évaluation joue un rôle clé dans la régulation des apprentissages, tant pour l’enseignant que pour l’élève. Elle permet à celui-ci de prendre conscience de ses réussites et de ses progrès, d’identifier et de comprendre ses erreurs, et de consolider ainsi ses acquis. Pour être plus efficace, chaque évaluation doit être précédée d’une explicitation claire des objectifs visés, des modalités et des critères retenus. Cela est essentiel pour engager l’élève dans une démarche active et positive face à l’évaluation. Les compétences psychosociales L’enseignement des mathématiques au cycle 3 contribue au développement des compétences psychosociales dans leurs dimensions cognitive, émotionnelle et sociale. Concernant la dimension cognitive, la mémorisation de faits numériques ou de formules, l’automatisation de procédures de calcul mental ou posé et la lecture immédiate de graphiques renforcent des aptitudes transférables à d’autres domaines. Au-delà du rôle majeur qu’elle joue dans le développement de compétences mathématiques, la résolution de problèmes renforce les compétences cognitives en développant l’aptitude des élèves à s’appuyer sur des faits pour prendre des initiatives, pour analyser des données, pour élaborer des stratégies, pour faire des choix réfléchis et prendre des décisions responsables. Concernant la dimension émotionnelle, la résolution de problèmes apprend à l’élève à gérer son stress face à l’inconnu, à identifier ses points forts, à tirer profit de ses erreurs, à développer sa confiance en lui et à éprouver le plaisir de chercher. La pratique fréquente d’évaluations en temps limité lui apprend, quant à elle, à gérer le stress lié à des contraintes temporelles. Pour convaincre chaque élève de sa capacité à progresser et à réussir en mathématiques, il importe de lui donner l’occasion de s’exprimer, à l’écrit comme à l’oral, sans crainte de l’erreur ou du jugement porté par autrui, que ce soit l’un de ses pairs ou l’enseignant. Celui-ci veille à encourager chaque élève, à lui montrer ses réussites, à valoriser ses progrès et à le féliciter de ses efforts et contribue ainsi à entretenir un sentiment positif vis-à-vis des mathématiques. Concernant la dimension sociale, des modalités diverses (recherche en binômes ou en groupes plus larges, entraide entre élèves, exposé d’une réponse ou d’une solution, débat autour de celle-ci, etc.) favorisent le développement de qualités personnelles comme l’engagement et la persévérance, et interpersonnelles comme la capacité d’écoute, le respect du point de vue d’autrui et la capacité à défendre le sien. L’enseignant instaure dans sa classe un climat bienveillant favorable à l’écoute, à l’attention et au respect de tous. L’égalité entre les filles et les garçons L’enseignant veille à instaurer les conditions permettant à chaque élève de développer un sentiment d’efficacité personnelle et de comprendre que les compétences en mathématiques ne sont ni innées ni liées à un genre, mais qu’elles se construisent progressivement par le travail et la persévérance. Cette démarche suppose une attention particulière du professeur à plusieurs éléments. Il est attentif : − au choix des situations qu’il propose, afin qu’elles soient accessibles et stimulantes pour tous les élèves ; − au regard qu’il porte sur chacun d’eux, en valorisant les efforts et les progrès de manière équitable ; − à la répartition des tâches et des responsabilités confiées à chacun ; − aux retours oraux et écrits qu’il fournit aux élèves, en insistant sur leurs réussites et en leur proposant des pistes d’amélioration ; − aux occasions qu’il offre à chaque élève de s’exprimer individuellement ou d’interagir au sein d’un groupe. Afin de modifier les représentations sociales et d’encourager une identification positive, il est essentiel de mettre en avant le travail et les réalisations de mathématiciennes et de femmes scientifiques ; en effet, la projection sur un « modèle » participe, dès le plus jeune âge, à modifier les représentations sociales des élèves. L’initiation à la pensée algébrique et à la pensée informatique Programme de mathématiques du cycle 3 – 7 janvier 2025. 6 Jusqu’au CE2, les problèmes mathématiques proposés sont essentiellement de nature arithmétique, dans le sens où ils mettent en jeu des nombres ou des grandeurs. Dans les raisonnements que l’élève met en œuvre pour les résoudre, il progresse du connu vers l’inconnu. À partir du cycle 3, l’introduction de la pensée algébrique marque un changement de paradigme : il s’agit de raisonner sur des nombres inconnus, qui seront représentés au cycle 4 par des lettres. Le passage progressif de l’arithmétique à l’algèbre nécessite du temps et une approche adaptée. Pour accompagner cette transition, le programme du cycle 3 introduit quelques modèles pré-algébriques (schémas en barre, balances, motifs évolutifs). Ces outils permettent de manipuler des nombres inconnus représentés par des symboles ou par des mots, facilitant l’accès à ce nouveau mode de raisonnement. La locution « pensée informatique » englobe une attitude intellectuelle et un ensemble de compétences essentiels pour comprendre les enjeux contemporains tels que l’intelligence artificielle. Au cycle 3, les élèves découvrent ce mode de pensée à travers des activités en lien avec les mathématiques, pouvant être réalisées avec ou sans machine. Ces activités permettent de développer des compétences dans les domaines de l’algorithmique, de la logique ou encore de la résolution de problèmes complexes, tout en sensibilisant les élèves aux enjeux du numérique. Organisation du programme Les apprentissages figurant dans le programme recouvrent des domaines variés des mathématiques : nombres et calculs, algèbre, organisation et gestion des données, probabilités, géométrie, grandeurs et mesures, proportionnalité. L’initiation à la pensée informatique est intégrée à certains de ces domaines au cours moyen, tandis qu’elle constitue un domaine spécifique en 6e. Le programme est organisé selon ces domaines et présenté en deux colonnes : la première indique les objectifs d’apprentissage et la seconde fournit des exemples de réussite, avec quelques variantes de présentation entre le cours moyen et la 6e. Ainsi, dans le programme de 6e, la première colonne est scindée en deux rubriques « Automatismes » et « Connaissances et capacités attendues ». Certains domaines incluent également une rubrique « Culture générale », qui propose des mises en perspective historiques ou culturelles pour enrichir les enseignements. Ces éléments permettent aux enseignants de donner du sens aux apprentissages, d’éveiller la curiosité des élèves et d’inscrire les notions mathématiques dans une dimension historique et culturelle. Comme leur nom l’indique, les exemples de réussite n’ont aucun caractère prescriptif, mais permettent de clarifier et d’illustrer les objectifs d’apprentissage et le niveau attendu, dans le but d’aider les enseignants à concevoir leurs séquences d’enseignement et à les adapter aux besoins de leurs élèves. Programme de mathématiques du cycle 3 – 7 janvier 2025. 7 1. NOMBRES, CALCUL ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES COURS MOYEN PREMIÈRE ANNÉE Les nombres entiers Au CM1, la compréhension des aspects décimal (base dix) et positionnel (la valeur d’un chiffre dépend de sa position) de la numération, étudiés depuis le CP, se renforce et s’étend avec l’introduction de deux nouveaux rangs dans l’écriture chiffrée : ceux des dizaines de milliers et des centaines de milliers. Ainsi, les connaissances et les savoir-faire attendus en fin de CM1 concernent les nombres s’écrivant avec au plus six chiffres. Toutefois, afin de renforcer les connaissances sur la numération relevant du cycle 2 et de privilégier en début d’année l’approfondissement de l’étude des fractions et des nombres décimaux, on se limite, pendant les deux premières périodes de l’année, aux nombres entiers s’écrivant avec au plus quatre chiffres. Les nombres écrits avec cinq ou six chiffres ne sont abordés qu’à partir de la période 3 ou du début de la période 4. Les élèves utilisent, comme au cours des années précédentes, des représentations du matériel multibase lors des travaux menés sur les nombres. Les élèves qui en ont besoin peuvent être invités à manipuler des objets tangibles, comme des cubes de mille unités, des plaques de cent unités, des barres de dix unités, des cubes unités. La notion de multiple, introduite au cycle 2, est réactivée. Seuls les critères de divisibilité par 2, par 5 et par 10 figurent au programme. Dans les autres cas, les élèves s’appuient sur la connaissance des tables de multiplication ou effectuent des divisions ou des multiplications. − Comparer et dénombrer des collections L’élève compare, dénombre et construit des collections de cardinal donné en organisant les éléments par dizaines, en les organisant. centaines, milliers, dizaines de milliers et centaines de milliers. L’élève est régulièrement confronté à des collections − Construire des collections de cardinal partiellement organisées dans lesquelles le nombre de groupements correspondant à une unité de numération donnée donné. est supérieur à dix, par exemple, une collection composée de 17 unités, 8 dizaines, 31 centaines et 2 milliers. − Connaitre et utiliser les relations entre L’élève sait résoudre un problème comme le suivant : les unités de numération. − « Une entreprise a produit 342 320 filtres à café en une semaine. Les filtres sont conditionnés et vendus dans des cartons de dix boites contenant chacune cent filtres. Combien l’entreprise va-t-elle pouvoir livrer de cartons à l’issue de cette semaine de production ? » − Connaitre la suite écrite et la suite orale L’élève comprend et utilise différentes désignations possibles d’un même nombre, notamment : des nombres jusqu’à 999 999. − l’écriture en chiffres (34 605) ; − Connaitre la valeur des chiffres en − des décompositions en unités de numération (3 dizaines de milliers et 4 milliers et 6 centaines et 5 unités ou 34 fonction de leur position dans un milliers et 605 unités ou 34 605 unités, mais aussi d’autres décompositions, comme 60 dizaines et 34 milliers et nombre. 5 unités ou 36 centaines et 5 unités et 31 milliers) ; − le nom à l’oral (« trente-quatre-mille-six-cent-cinq ») ; Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 8 − Connaitre et utiliser diverses − la décomposition du type : (3 × 10 000) + (4 × 1 000) + (6 × 100) + (0 × 10) + (5 × 1) ; représentations d’un nombre et passer − la décomposition additive sous la forme 30 000 + 4 000 + 600 + 5 ; de l’une à l’autre. − l’écriture en lettres (trente-quatre-mille-six-cent-cinq). L’élève sait écrire en chiffres un nombre dicté. Il sait également lire un nombre écrit en chiffres et l’écrire en lettres. Quand il écrit un nombre ayant plus de quatre chiffres, l’élève laisse un espace entre les trois chiffres de droite et les autres chiffres. − Comprendre et savoir utiliser les L’élève sait ordonner cinq nombres entiers dans l’ordre croissant ou décroissant. expressions « égal à », « supérieur à », L’élève sait placer un nombre ou déterminer le nombre correspondant à un point sur une portion de demi-droite « inférieur à » », « compris entre … et pouvant être graduée de un en un, de dix en dix, de cent en cent, de mille en mille, de dix-mille en dix-mille ou de cent- … ». mille en cent-mille. − Comparer, encadrer, intercaler des nombres entiers en utilisant les symboles =, < et >. − Ordonner des nombres dans l’ordre croissant ou décroissant. − Savoir placer des nombres et repérer des points sur une demi-droite graduée. − Savoir reconnaitre les multiples de 2, de L’élève sait dire que : 5 et de 10 à partir de leur écriture − 141 n’est pas un multiple de 2, car 141 est un nombre impair ; chiffrée. − 5 n’est pas un diviseur de 141, car les multiples de 5 sont les nombres dont l’écriture se termine par 0 ou 5 ; − Savoir déterminer si un nombre entier − 72 est un multiple de 9 car 8 × 9 = 72 ; donné est un multiple d’un nombre entier inférieur ou égal à 10. − 141 n’est pas un multiple de 7, en trouvant, par essais multiplicatifs successifs ou en effectuant la division − Savoir déterminer si un nombre entier euclidienne de 141 par 7, que 141 = 7 x 20 + 1 ; inférieur ou égal à 10 est un diviseur − 3 est un diviseur de 141, en trouvant, par essais multiplicatifs successifs ou en effectuant la division euclidienne de d’un nombre entier donné. 141 par 3, que 3 × 47 = 141 ; L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants : − Marius veut ranger 75 billes dans des sachets qui comportent tous le même nombre de billes. Il veut ranger toutes ses billes. Peut-il les répartir dans 10 sachets ? dans 2 sachets ? dans 5 sachets ? dans 7 sachets ? dans 3 sachets ? Explique tes réponses. − Fanny veut ranger 75 billes dans des sachets qui comportent tous le même nombre de billes. Elle veut ranger toutes ses billes. Peut-elle les répartir dans des sachets de 10 billes ? de 2 billes ? de 5 billes ? de 3 billes ? Explique tes réponses. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 9 Les fractions Au CM1 les élèves renforcent les connaissances et les savoir-faire acquis au cycle 2 sur les fractions en étendant leur étude aux fractions supérieures à 1. Les fractions sont utilisées avec différents sens : - comme au CE1, les fractions sont utilisées pour représenter une partie d’un tout dans le cadre d’un partage de ce tout en parts égales, la fraction étant alors le rapport entre la partie et le tout ; - dans la continuité du CE2, les fractions sont utilisées pour mesurer des grandeurs lorsque les nombres entiers ne sont pas suffisants ; - le travail sur la mesure de longueurs à l’aide de fractions permet d’introduire le repérage de points sur une demi-droite graduée par des fractions, et contribue ainsi à donner aux fractions le statut de nombres, qui s’intercalent entre les nombres entiers déjà connus ; - au CM1, les fractions acquièrent également le statut d’opérateur multiplicatif pour le cas particulier des fractions unitaires ; les élèves apprennent à calculer des fractions de quantités ou de grandeurs comme un tiers de 12 billes ou un quart de 100 m. Dans la continuité du cycle 2, les élèves travaillent avec des fractions dès la période 1 et les utilisent tout au long de l’année scolaire. Les fractions rencontrées au CM1 ont toutes un dénominateur inférieur ou égal à 20, hormis les fractions décimales qui peuvent avoir un dénominateur égal à 100. 7 7 − Savoir interpréter, représenter, L’élève sait que sept quarts s’écrit mathématiquement 4. Il sait dire que 4 d’une unité correspond à sept fois un quart de cette écrire et lire des fractions. 7 1 1 1 1 1 1 1 1 unité. L’élève sait que 4 u = 4 u + 4 u + 4 u + 4 u + 4 u + 4 u + 4 u = 7 × 4 u. La verbalisation contribue à donner du sens au produit. Des manipulations, des représentations et des constructions peuvent également contribuer à renforcer la compréhension de ce produit. − Savoir écrire une fraction L’élève sait dire si une fraction est inférieure ou supérieure à 1. supérieure à 1 comme la L’élève sait que 7 d’une unité est égal à 1 unité plus 3 d’une unité : 7 × 1 u = 7 u = 4 u + 3 u = 1 u + 3 u. 4 4 4 4 4 4 4 somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. − Savoir écrire la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 comme une unique fraction. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 10 − Savoir encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs. L’élève comprend que sept quarts de pizza, c’est quatre quarts de pizza plus trois quarts de pizza, c’est-à-dire une pizza plus trois quarts de pizza. 7 Une unité de longueur étant donnée, l’élève sait construire une bande de papier de longueur 4 d’unité. 1 L’élève sait construire un segment de longueur 5 u + u. 4 9 1 1 L’élève sait associer les désignations suivantes d’une même fraction : « neuf quarts » ; 4 ; 9 × 4 ; 2 + 4. 3 2 8 8 En prenant appui sur la relation 3 = 1, l’élève sait écrire 2 + 3 sous la forme 3. Réciproquement, il sait décomposer 3 sous la 3 3 2 2 forme 3 + 3 + 3 = 2 + 3. 21 5 21 L’élève sait déduire de l’égalité 8 = 2 + 8 que 8 est compris entre 2 et 3. 16 L’élève sait encadrer la fraction 3 entre deux nombres entiers consécutifs en s’appuyant sur sa connaissance de la relation 3 15 16 18 16 = 1 et de la table de la multiplication par 3 : < < donc 5 < < 6. 3 3 3 3 3 − Savoir placer une fraction ou la L’élève sait que, sur une demi-droite graduée avec une unité de longueur, un point peut être repéré par le nombre, appelé somme d’un nombre entier et l’abscisse de ce point, qui est la mesure de la distance entre ce point et l’origine de la demi-droite graduée. d’une fraction inférieure à un 3 7 1 7 37 L’élève sait placer des points ayant pour abscisse un nombre comme 4, 2, 2 + 4, 5 + 10 et 10 sur une demi-droite graduée avec sur une demi-droite graduée. des graduations permettant de positionner précisément ces points. − Savoir repérer un point d’une 2 1 8 demi-droite graduée par une L’élève sait que 2 + 3, 3 − 3 et 3 sont différentes écritures de l’abscisse du point A, positionné sur la demi-droite graduée ci- fraction ou par la somme d’un dessous. nombre entier et d’une fraction. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 11 6 3 − Comparer des fractions. L’élève sait expliquer pourquoi 8 est égal à 4, en s’appuyant sur des manipulations, sur des grandeurs (longueurs ou aires) ou sur une verbalisation du type : − « Si je fais des parts deux fois plus petites et si je prends deux fois plus de parts, alors je prends la même chose. » ; − « Un huitième c’est la moitié d’un quart, donc un quart, c’est deux huitièmes et donc trois quarts est égal à six huitièmes. ». 2 5 9 15 6 3 L’élève sait répondre à la question suivante : « Parmi les fractions , , , et , quelles sont les fractions égales à ? ». 3 4 6 10 4 2 ? 7 L’élève sait déterminer le numérateur manquant dans l’égalité = et il sait justifier sa réponse. 8 2 5 5 L’élève sait comparer deux fractions ayant le même numérateur et justifier sa réponse : par exemple, « Comparer et ». 12 8 L’élève sait comparer deux fractions de même dénominateur ou de dénominateurs différents, mais dont l’un est un multiple 7 19 connu de l’autre (résultat des tables de multiplication) et justifier sa réponse : par exemple, « Comparer et ». 4 12 − Additionner et soustraire des L’élève sait additionner et soustraire des fractions ayant le même dénominateur. fractions. L’élève sait additionner et soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, dans le cas où l’un des dénominateurs 3 7 5 1 11 7 est un multiple connu de l’autre (résultat des tables de multiplication), par exemple : 2 + 4 ; 6 − 12 ; 4 − 20. Les changements de dénominateurs sont systématiquement accompagnés par une justification orale des égalités de fractions et, si nécessaire, par des manipulations ou des représentations correspondant aux fractions en jeu. L’élève sait résoudre des problèmes additifs dans lesquels les données numériques sont des fractions simples, par exemple : 1 « Lucie a tracé un triangle de périmètre 7 unités. L’un des côtés a pour longueur (2 + ) unités et un autre côté a pour longueur 4 1 (1 + 2) unités. Quelle est la longueur du troisième côté ? » − Déterminer une fraction d’une L’élève sait déterminer une fraction d’une quantité ou d’une grandeur dans le cas d’une fraction unitaire, c’est-à-dire dont le quantité ou d’une grandeur. numérateur est égal à 1. Par exemple : 1 − de douze œufs ; 3 1 − 10 de 500 g de farine ; 1 − 5 de 60 kg de sable ; 1 − 4 de 10 m. L’élève sait répondre à ces questions à l’oral ou à l’écrit, sans utiliser d’égalité mathématique. Il sait justifier sa réponse oralement en produisant une phrase comme : « Pour trouver un tiers de douze œufs, je partage en trois parts égales, comme Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 12 douze c’est trois fois quatre, cela fait quatre œufs. », « Un quart c’est la moitié de la moitié, la moitié de dix mètres, c’est cinq mètres et la moitié de cinq mètres, c’est deux mètres et demi. ». Si besoin, il peut prendre appui sur un schéma pour associer la situation au calcul d’une division : Les nombres décimaux Les nombres décimaux, abordés au cycle 2 par leurs écritures à virgule dans le cas particulier de la monnaie, sont réintroduits de manière plus générale au CM1 sous la forme de fractions décimales. L’écriture à virgule est réintroduite dans un second temps, comme un codage conventionnel de la décomposition canonique d’un nombre écrit sous la forme d’une somme de fractions décimales : ainsi l’écriture décimale 35,78 est présentée comme un codage destiné à simplifier l’écriture du nombre 35 + 7 8 10 + 100. Cette section du programme entretient des liens forts avec − la partie « Grandeurs et mesures » où les nombres décimaux sont largement utilisés ; − les sous-parties « Calcul mental » et « Les quatre opérations » où sont présentées des compétences calculatoires que doivent développer les élèves sur les nombres décimaux ; − la sous-partie « Résolution de problèmes » où les nombres décimaux prennent tout leur sens. Au CM1, les nombres décimaux rencontrés ne vont pas au-delà des centièmes et s’écrivent donc avec au plus deux chiffres après la virgule. Des nombres décimaux exprimés avec une écriture à virgule sont rencontrés dès la période 1 dans le cadre de problèmes sur la monnaie prolongeant le travail mené au cycle 2. L’étude plus générale des nombres décimaux, introduits sous la forme de fractions décimales puis exprimés avec une écriture à virgule, est menée dès la période 2 du CM1. Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite 10 100 1 10 − Interpréter, représenter, écrire et lire L’élève sait que 1 = 10 = 100 et 10 = 100. des fractions décimales. 143 L’élève sait représenter la fraction 100 par une grandeur (longueur ou aire), en utilisant du matériel tangible ou une − Connaitre et utiliser les relations entre représentation sur papier, telle que la suivante : unités simples, dixièmes et centièmes. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 13 − Placer une fraction décimale sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction décimale. − Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale inférieure à 1. − Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre L’élève sait passer d’une écriture à une autre pour les trois écritures suivantes du même nombre : 417 ; 4 + 17 ; entier et de fractions décimales ayant un 100 100 1 7 numérateur inférieur à 10. 4 + 10 + 100. L’élève sait placer une fraction décimale sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction décimale. − Comparer, encadrer, intercaler des L’élève sait encadrer une fraction décimale par deux entiers consécutifs. 67 607 fractions décimales en utilisant les L’élève sait comparer deux fractions décimales, par exemple 10 et 100. symboles =, < et >. 14 120 9 L’élève sait ranger par ordre croissant les quatre nombres suivants : 2 ; 10 ; 100 ; 10. − Ordonner des fractions décimales dans L’élève sait intercaler une fraction décimale entre deux fractions décimales données. Par exemple, il sait compléter une l’ordre croissant ou décroissant. 14 15 expression comme : 10 < ⋯ < 10. − Passer d’une écriture sous forme d’une L’élève sait que, dans l’écriture à virgule d’un nombre, la virgule sert à repérer le chiffre des unités. Il sait que le chiffre fraction décimale ou d’une somme de qui suit la virgule est le chiffre des dixièmes et le suivant le chiffre des centièmes. 1 7 fractions décimales à une écriture à L’élève sait que 4 + + peut s’écrire sous la forme 4,17 et que ce nombre se lit « quatre et dix-sept centièmes », ou 10 100 virgule et réciproquement. « quatre unités et dix-sept centièmes » ou encore « quatre unités, un dixième et sept centièmes ». − Interpréter, représenter, écrire et lire L’élève sait représenter le nombre 1,37 par une grandeur (longueur ou aire), en utilisant du matériel tangible ou une des nombres décimaux (écriture à représentation sur papier, telle que la suivante : virgule). − Placer un nombre décimal en écriture à virgule sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par un nombre décimal. − Savoir donner la partie entière et l’arrondi à l’entier d’un nombre décimal. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 14 417 L’élève sait passer d’une écriture à une autre pour les quatre écritures suivantes du même nombre : 4,17 ; 100 ; 17 1 7 4+ 100 ;4+ 10 + 100. L’élève sait que 2,6 = 2,60 et est capable de le justifier. À l’écrit et à l’oral, l’élève sait produire des suites de nombres de 0,1 en 0,1 et de 0,01 en 0,01 à partir d’un nombre donné. L’élève sait placer le nombre 2,8 sur une demi-droite graduée en dixième. L’élève sait qu’il faut écrire 339,16 dans le rectangle sur les zooms de la demi-droite graduée ci-dessous. L’élève sait donner la partie entière de 135,78. L’élève sait que l’arrondi à l’entier de 5,78 est 6 et que l’arrondi à l’entier de 3,5 est 4. − Comparer, encadrer, intercaler, L’élève sait comparer deux nombres décimaux, par exemple 4,52 et 4,7. ordonner par ordre croissant ou L’élève sait encadrer 17,48 par deux entiers consécutifs. décroissant des nombres décimaux L’élève sait trouver un nombre décimal compris entre 1,9 et 2. donnés par leur écriture à virgule en 209 L’élève sait ranger par ordre croissant ou décroissant jusqu’à trois nombres décimaux, par exemple : 2,12 ; 100 et 2,6. utilisant les symboles =, < et >. L’élève sait compléter l’inégalité suivante par un nombre qui convient : 2,9 < … < 3. Le calcul mental L’enseignement du calcul mental au cours moyen est constitué de trois types d’apprentissages : − mémoriser des faits numériques qui peuvent être restitués de façon quasi instantanée ; − utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs en s’appuyant notamment sur la position des chiffres dans les nombres ; − maitriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 15 Certaines procédures de calcul mental peuvent nécessiter de garder des résultats intermédiaires en mémoire, ce qui peut être difficile pour certains élèves. Ceux-ci sont alors encouragés, au début des apprentissages, à noter par écrit ces résultats intermédiaires, puis à alléger progressivement le recours à l’écrit, jusqu’à s’en libérer totalement dès qu’ils n’en ont plus besoin. Au cours moyen, la mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication se poursuit avec une fluence qui se renforce tout au long de l’année scolaire. Les procédures de calcul mental enseignées au cycle 2 sont utilisées tout au long de l’année, afin de renforcer leur automatisation. Les procédures indiquées dans le programme doivent faire l’objet de séquences d’enseignement explicite et donner lieu à une trace écrite. D’autres procédures peuvent être enseignées explicitement ou simplement rencontrées et présentées sans faire l’objet d’une séquence d’enseignement dédiée. Des tests en temps limité sont indispensables ; d’une part, ils aident les élèves à renforcer la mémorisation des résultats et l’automatisation des procédures, d’autre part, ils permettent à l’enseignant d’être informé sur l’état des connaissances et des savoir-faire des élèves. Ils permettent également d’encourager les élèves à abandonner des procédures peu efficaces au profit des procédures enseignées par le professeur. Ces tests, qui mesurent la fluence en calcul des élèves, permettent également à ces derniers de prendre conscience de leurs progrès, en se référant au nombre de résultats corrects qu’ils sont capables de restituer en une durée donnée. Pour les calculs effectués mentalement en s’appuyant sur la numération ou sur des procédures apprises, la fluence attendue est de l’ordre de quinze résultats restitués en trois minutes. Mémoriser des faits numériques − Connaitre des faits numériques usuels L’élève renforce sa maitrise des faits numériques appris au cycle 2 concernant les nombres entiers. relatifs aux nombres entiers. L’élève connait les tables d’addition et de multiplication. Il sait compléter des « égalités à trou » du type : 4 + __ = 12 ; 5 + 3 = __ ; 10 = 7 + __ ; 7 × __ = 42 ; 9 × 6 = __ ; 70 = 7 × __. L’élève sait donner oralement et par écrit : − les doubles des nombres de 1 à 20 ; − les doubles des nombres 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60 et 75 ; − les doubles des nombres 100, 150, 200, 250, 300, 400, 500 et 600 ; − les moitiés des nombres pairs de 2 à 40 ; − les moitiés des dizaines entières 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 et 150 ; − les moitiés des centaines entières 200, 300, 400, 500, 600, 800, 1000 et 1200. L’élève connait les multiples de 25 suivants : 1 × 25 = 25, 2 × 25 = 50, 3 × 25 = 75 et 4 × 25 = 100. L’élève connait les décompositions multiplicatives de 60 : 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 et 6 × 10. L’élève sait ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 2 × __ = 12 ; 2 × 16 = __ ; 2 × __ = 70 ; 2 × 25 = __ ; 1000 = 2 × __ ; 2 × 150 = __ ; 3 × 25 = __ ; 60 = 4 × __ À la fin du CM1, l’élève peut compléter treize égalités avec des faits numériques usuels sur les entiers en une minute. 1 1 − Connaitre quelques relations entre des L’élève connait des relations entre 4 , 2 et 1. Il sait ainsi compléter sans effectuer de calculs des « égalités à trou » du fractions usuelles. 1 1 1 1 1 1 1 1 … … type : 2 + 2 = …… ; 4 + 4 = …… ; 1 – 2 = …… ; 2 – 4 = …… ; 2 = 4 ; 4 = 1. 1 1 1 … L’élève connait les relations entre 100 , 10 et 1. Il sait ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 10 = 100 ; … … 1= ;1=. 10 100 Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 16 − Connaitre l’écriture décimale de L’élève sait passer d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale et d’une écriture décimale à une écriture 1 1 fractions usuelles. fractionnaire pour les nombres suivants : 10 = 0,1 ; 100 = 0,01. Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement − Ajouter ou soustraire un nombre entier À partir d’opérations données à l’écrit, l’élève sait identifier le chiffre sur lequel agir lorsqu’il doit effectuer une addition inférieur à 10, d’unités, de dizaines, de ou une soustraction, quelle que soit la façon dont les nombres sont désignés. Il sait, par exemple, trouver le résultat centaines, de dixièmes ou de centièmes des opérations suivantes : à un nombre décimal, lorsqu’il n’y a pas 4,45 + 0,3 ; 3 de retenue. 0,45 + 100 ; 1 462 + 300. − Multiplier un nombre entier par 10, 100 L’élève sait que, lors d’une multiplication par 1 000, une unité devient un millier, une dizaine devient une dizaine de ou 1 000. milliers et une centaine devient une centaine de milliers. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 1 000 fois plus grande : le chiffre des unités devient le chiffre des milliers, le chiffre des dizaines devient le chiffre des dizaines de milliers et le chiffre des centaines devient le chiffre des centaines de milliers. − Multiplier un nombre décimal par 10. L’élève sait que, lors de la multiplication d’un nombre décimal par 10, un dixième devient une unité, un centième devient un dixième et un millième devient un centième. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 10 fois plus grande : le chiffre des millièmes devient le chiffre des centièmes, le chiffre des centièmes devient le chiffre des dixièmes et le chiffre des dixièmes devient le chiffre des unités. Un outil de type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les multiplications par 10 d’un nombre décimal en complément de la verbalisation de la procédure en termes d’unités de numération. Exemple : multiplication de 72,41 par 10 : 10 × 72,41 = 724,1. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 17 − Diviser un nombre décimal par 10. L’élève sait que, lors d’une division par 10, une unité devient un dixième, une dizaine devient une unité et une centaine devient une dizaine. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 10 fois plus petite : le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes, le chiffre des dizaines devient le chiffre des unités et le chiffre des centaines devient le chiffre des dizaines. Un outil de type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les divisions par 10, en complément de la verbalisation de la procédure en termes d’unités de numération. Apprendre des procédures de calcul mental − Ajouter ou soustraire 8, 9, 18, 19, 28, 29, L’élève sait, par exemple, que pour ajouter 38 à un nombre, il peut lui ajouter 40, puis retrancher 2. 38 ou 39, à un nombre. − Multiplier un nombre entier inférieur à L’élève sait que, pour multiplier un nombre par un nombre entier de centaines comme 400, il peut décomposer le 10 par un nombre entier de dizaines ou deuxième facteur sous la forme 4 × 100, puis appliquer la procédure de multiplication par 100. de centaines. Par exemple : 9 × 400 = 9 × (4 × 100) = (9 x 4) × 100 = 36 × 100 = 3 600. − Multiplier un nombre entier par 4 ou L’élève sait que multiplier par 4 revient à multiplier par 2 et encore par 2, c’est-à-dire à trouver le double du double du par 8. nombre initial. L’élève sait que multiplier par 8 = 2 × 2 × 2 revient à multiplier par 2, puis encore par 2 et une troisième fois par 2. Lors d’une séance de calcul mental, si l’élève doit calculer 8 × 27, il peut écrire sur son ardoise : « 54 », puis « 108 », puis « 216 », qu’il entoure pour indiquer qu’il s’agit du résultat cherché. Les écrits intermédiaires « 54 » et « 108 » lui permettent de soulager sa mémoire de travail. − Multiplier un nombre entier par 5. L’élève sait que multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis à calculer la moitié du résultat obtenu. Il utilise cette procédure pour multiplier par 5 un nombre inférieur à 200. − Utiliser la distributivité de la L’élève sait verbaliser « 21 fois 35, c’est 20 fois 35 plus 1 fois 35. ». multiplication par rapport à l’addition dans des cas simples. 21 × 35 = (20 + 1) × 35 = (20 × 35) + (1 × 35) = 700 + 35 = 735 L’élève utilise aussi la décomposition dans l’autre sens : « 35 fois 21, c’est 35 fois 20 plus 35 fois 1. ». Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 18 Les quatre opérations Les quatre opérations sont mobilisées au CM1 lors de la résolution de problèmes, qui permet de donner du sens aux opérations. Cette partie entretient également, de façon naturelle, un lien fort avec les autres parties du programme relatives aux nombres, aux grandeurs et au calcul mental. Des additions, des soustractions et des multiplications posées sont régulièrement utilisées dès le début de l’année, quand les nombres en jeu le justifient. Cependant, les élèves sont encouragés à privilégier le calcul mental à chaque fois que celui-ci est envisageable. La commutativité de la multiplication est à nouveau explicitée lorsqu’elle est mobilisée. Au cours moyen, les élèves ne disposent pas de calculatrice personnelle. Des calculatrices peuvent être distribuées par l’enseignant pour certaines activités et à certains élèves, lorsque le professeur estime que cette mise à disposition peut être utile. − Comprendre et utiliser le lexique usuel L’élève comprend et utilise les mots usuels rencontrés dans le cadre des opérations : relatif aux quatre opérations. − terme, somme, différence ; − facteur, produit, multiple, diviseur (« 9 est un diviseur de 36. ») ; − dividende, diviseur (« Dans la division de 743 par 9, le nombre 743 est le dividende et le nombre 9 est le diviseur. »), quotient, reste. − Estimer le résultat d’une opération. L’élève sait estimer le résultat d’une opération dans des cas simples. Par exemple, il sait dire que : − la somme 212 m + 298 m + 496 m est proche de 200 m + 300 m + 500 m, c’est-à-dire 1 000 m ; − la différence 1 494 – 203 est proche de 1 500 – 200, c’est-à-dire 1 300 ; − le produit 52 × 37 L est proche de 50 × 40 L, c’est-à-dire 2 000 L ; − le quotient 597 kg ÷ 2 est proche de 600 kg ÷ 2, c’est-à-dire 300 kg. L’élève connait et utilise le symbole ≈. Il écrit 1 494 – 203 ≈ 1 300 pour exprimer que 1 300 est une estimation de la différence entre 1 494 et 203. − Savoir effectuer un calcul contenant des L’élève comprend que les parenthèses renseignent sur les opérations à effectuer en premier. Dans des cas simples, parenthèses. l’élève sait effectuer un calcul en respectant l’ordre des opérations indiqué par les parenthèses, par exemple : 3 × (10 – 6). − Poser en colonnes et effectuer des L’élève sait effectuer des additions et des soustractions posées mettant en jeu des nombres décimaux. Par exemple, additions et des soustractions de l’élève sait poser en colonnes, puis effectuer des calculs du type : 56,75 + 234 + 0,8 ou encore 34,5 – 2,58. nombres décimaux. − Poser et effectuer des multiplications de L’élève sait calculer des produits en posant la multiplication. Par exemple, il sait calculer le produit 876 × 208. deux nombres entiers. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 19 − Poser et effectuer des multiplications Dans le cadre de la résolution d’un problème, l’élève sait déterminer, en posant l’opération si nécessaire, le produit d’un nombre décimal par un nombre d’un nombre décimal par un entier inférieur à 10. Par exemple, il sait calculer les produits 7 × 46,55 € et 8 × 17,3 km. entier inférieur à 10. − Poser et effectuer des divisions L’élève sait effectuer, en la posant, la division euclidienne d’un nombre entier dont l’écriture contient jusqu’à cinq euclidiennes avec un diviseur à un chiffres par un nombre à un chiffre. Lorsque l’opération est effectuée, il sait désigner le dividende, le diviseur, le chiffre. quotient et le reste. L’élève fait le lien entre la division euclidienne 9 456 par 7, où il trouve un quotient égal à 1 350 et un reste égal à 6, avec l’égalité 9 456 = 1 350 × 7 + 6. Dans le cas de problèmes concrets, il sait interpréter l’égalité précédente en insérant les unités dans le calcul, comme 2 458 œufs = 409 × 6 œufs + 4 œufs. La résolution de problèmes La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les éventuelles étapes de la résolution sur lesquelles un élève est en difficulté : La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas la reconnaissance d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes dont l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction. La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat cherché. Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel tangible. Tous les élèves continuent à utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin d’identifier le modèle mathématique en jeu. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 20 Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves au moment où est proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées. La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m pour la longueur d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New York, est-ce que cela semble possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions. Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CM1, à savoir les nombres entiers jusqu’à 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend cependant fortement de la structure mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge cognitive et de permettre aux élèves de se concentrer sur la structure du problème. Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise. Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont répertoriées dans le programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être proposés tout au long de l’année. Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite − Résoudre des problèmes additifs en une Dans la continuité de ce qui a été mené au cycle 2, l’élève résout des problèmes additifs en une étape en s’appuyant, étape des types « parties-tout » et si nécessaire, sur des schémas en barre ou des schémas avec un déplacement sur un axe pour les problèmes de « comparaison ». transformation. L’élève sait résoudre de tels problèmes mettant en jeu des nombres décimaux. L’élève sait résoudre de tels problèmes mettant en jeu des fractions, lorsque les opérations à effectuer font partie des attendus du CM1. Par exemple, il sait résoudre les problèmes suivants : 37 3 − Anaël a construit une bande de papier mesurant cm et Léna a construit une bande papier mesurant 4 + cm. 10 10 Quelle est la bande la plus longue ? Quel est l’écart de longueur entre les deux bandes de papier ? − Ethan a acheté des pommes et des poires. Il a acheté 3,4 kg de pommes. Il a acheté 6 kg de fruits en tout. Quelle masse de poires a-t-il achetée ? − Alix mesure 1,61 m. Elle mesure 13 cm de plus que Bruno. Quelle est la taille de Bruno ? − Résoudre des problèmes additifs en L’élève continue de résoudre des problèmes additifs en plusieurs étapes, comme ceux rencontrés au cycle 2, mais le deux ou trois étapes. champ numérique sur lequel ils portent est plus étendu (grands entiers et nombres décimaux), par exemple, le problème suivant : − Agathe a parcouru 17 km en 1 h 30 min Elle a parcouru 8,4 km pendant la première demi-heure, puis 3,8 km pendant la deuxième demi-heure. Quelle distance a parcourue Agathe pendant la dernière demi-heure ? L’élève résout des problèmes de comparaison de quantités ou de grandeurs qui se traitent en deux étapes. Il s’agit de problèmes impliquant la valeur des deux quantités ou grandeurs réunies ainsi que leur écart et nécessitant donc une étape supplémentaire, par exemple : « Léo a 25,60 €. Lucie a 7,55 € de plus que Léo. Combien d’euros les deux enfants Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 21 ont-ils en tout ? ». L’élève peut s’appuyer sur un schéma en barres comme le suivant pour s’aider lors de la modélisation du problème : − Résoudre des problèmes multiplicatifs L’élève continue de résoudre des problèmes multiplicatifs similaires à ceux rencontrés au cycle 2, mais dont le champ de type « parties-tout » en une étape. numérique est plus étendu. Pour résoudre le problème « La maitresse de CM1 a acheté six dictionnaires pour la classe. Chaque dictionnaire coûte 17,85 €. Quel montant a-t-elle dû payer pour les six dictionnaires ? », l’élève peut réaliser le schéma suivant : Pour les problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part ou le nombre de parts dans le cadre d’un partage équitable, l’élève sait s’appuyer sur un schéma pour faciliter la modélisation mathématique du problème ainsi que sur sa connaissance des tables de multiplication. − Résoudre des problèmes de L’élève comprend le sens des locutions « fois plus » et « fois moins » et les distingue des locutions « de plus » et « de comparaison multiplicative. moins » qui apparaissent dans les problèmes de comparaison additive. L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative se traitant en une étape. L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative nécessitant deux étapes comme : « Axel achète une trottinette et un casque. La trottinette coûte quatre fois plus cher que le casque. Le casque coûte 32 €. Combien doit payer Axel ? L’élève peut s’appuyer sur un schéma en barre comme le suivant pour s’aider lors de la modélisation du problème : − Résoudre des problèmes mixtes en deux L’élève sait résoudre des problèmes engageant des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions ou trois étapes. comme, par exemple, le suivant : Izmir achète trois pains aux raisins pesant chacun 210 grammes et deux bouteilles d’eau pesant 1,6 kilogramme chacune. Quelle est la masse totale des achats d’Izmir ? Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 22 L’élève sait résoudre des problèmes consistant à déterminer le nombre d’éléments d’un ensemble et qui ne se résolvent pas − Résoudre des problèmes de immédiatement par l’une des quatre opérations. Pour y parvenir, il présente les éléments à dénombrer selon une dénombrement. organisation permettant à la fois de les compter tous, une et une seule fois, sans oubli ni redondance. Ainsi l’élève sait avoir recours à un tableau, à un arbre ou à une liste organisée pour résoudre des problèmes de dénombrement comme les suivants : − Félicien veut habiller son ours en peluche avec un tee-shirt et un pantalon. Il dispose de six tee-shirts différents et de trois pantalons différents. De combien de façons différentes Félicien peut-il habiller son ours ? − Coumba lance deux dés classiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Elle ajoute les deux nombres. Donne la liste de tous les résultats qu’elle peut obtenir. − Karnish veut fabriquer un jeu de dominos. Dans son jeu, chaque domino doit être composé de deux nombres de points compris entre 0 et 4 et il ne peut pas y avoir deux dominos identiques. Quel est le nombre maximum de dominos que peut contenir ce jeu ? Attention ! Le domino est le même que le domino. L’élève sait résoudre des problèmes consistant à trouver une solution optimale parmi plusieurs solutions respectant plusieurs − Résoudre des problèmes d’optimisation. contraintes, comme les problèmes suivants. − Ilyes veut réaliser des bracelets. Pour un bracelet, il lui faut un fil de longueur 12 cm, cinq perles blanches, six perles vertes et trois perles rouges. Il dispose de ▪ 10 fils de longueur 12 cm ; ▪ 48 perles blanches ; ▪ 47 perles vertes ; ▪ 25 perles rouges. Quel est le nombre maximal de bracelets qu’Il peut réaliser ? − Madame Lidon souhaite réaliser des étagères. Pour une étagère, il lui faut une planche de deux mètres, deux équerres et neuf vis. Elle dispose de : ▪ 15 planches de deux mètres ; ▪ 40 équerres ; ▪ 120 vis. Quel est le nombre maximal d’étagères que madame Lidon peut fabriquer ? − Un fleuriste a acheté 50 roses blanches et 100 roses rouges. Il souhaite faire des bouquets contenant chacun deux roses blanches et cinq roses rouges. Quel est le nombre maximal de bouquets qu’il peut réaliser ? Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 23 Algèbre L’objectif de cette sous-partie est d’initier les élèves à la « pensée algébrique » et en particulier de développer leur capacité à résoudre des problèmes en raisonnant sur des nombres sans connaitre leur valeur. Les élèves apprennent à désigner ces nombres par des symboles ou par des lettres et à raisonner en écrivant avec ces symboles des relations mathématiques. Ils sont aussi amenés à identifier et à généraliser des structures, notamment dans le cadre de suites de motifs ou de suites de nombres ou de symboles en exprimant la relation entre deux éléments consécutifs ou entre le rang d’un élément et la valeur associée. Les nombres dont la valeur n’est pas connue peuvent être représentés par des symboles dans deux cas de figure. D’une part dans des situations où on cherche à trouver leur valeur. Par exemple, on peut écrire pour traduire que deux paires de ciseaux et trois stylos coûtent vingt euros. D’autre part, dans des situations où le symbole a un caractère générique et représente différentes valeurs que le nombre peut prendre ; par exemple, si on achète des tee-shirts à 12 € et si le coût de la livraison est 5 € alors, quel que soit le nombre de tee-shirts achetés, le prix à payer, en euro, peut s’écrire (N × 12) + 5, où N est le nombre de tee-shirts achetés. Des relations faisant intervenir des nombres inconnus peuvent aussi être représentées par des schémas en barre dans le cadre de la résolution de problèmes. Le travail mené conduit à étendre le sens du signe « = » : il n’est pas simplement un symbole placé entre une opération et son résultat. Il peut être placé entre deux expressions qui sont égales, ce qui conduit notamment à faire poindre la notion d’équation, comme dans l’égalité à compléter suivante : « 178 –  = 6 × 8 ». − Trouver le nombre Dans des cas simples, en utilisant ses connaissances en calcul et les propriétés des opérations, l’élève sait trouver mentalement le manquant dans une égalité à nombre manquant dans une égalité comme les suivantes : 347 = 20 +  ; 5 760 –  = 5 360 ; 4 000 –  = 3 999 ; 2 × 137 × 5 = 137 ×  ; trou. 24 × 5 =  × 10 ; 144 + 7 = 142 +  ; 142 – 14 =  – 17. À l’écrit, l’élève sait trouver le nombre manquant dans une égalité à trou comme 748 +  = 1200 ; 24 × 5 = 20 × 5 +  × 5 ; 28 – 18 =   5. − Déterminer la valeur d’un L’élève comprend que des nombres inconnus peuvent être représentés par des symboles ou par des lettres. nombre inconnu en utilisant L’élève sait résoudre des problèmes où des nombres sont représentés par des symboles ou des lettres comme : un symbole ou une lettre − On dispose de crayons tous identiques. On a le résultat suivant : pour le représenter. Quelle est la masse d’un crayon ? − Maxime a mis trois paires de ciseaux identiques sur un plateau de sa balance et a obtenu l’équilibre en ajoutant différents poids comme indiqué sur le schéma ci-dessous. Quelle est la masse d’une paire de ciseaux ? − Rose a choisi un nombre noté N et a effectué le calcul suivant 3 × (2 + N). Elle a trouvé 27. Quel est le nombre N qu’elle a choisi ? Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 24 − Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes où des nombres sont représentés par des symboles, par exemple : algébriques − On dispose de paires de ciseaux toutes identiques et de crayons tous identiques. On dispose des résultats suivants issus de deux pesées : Quelle est la masse d’une paire de ciseaux ? Quelle est la masse d’un crayon ? » L’élève sait s’appuyer sur des schémas pour représenter des relations entre des nombres connus et une ou plusieurs inconnues. L’élève sait, par exemple, résoudre un problème comme le suivant en s’appuyant sur un schéma en barres : − Mia a choisi un nombre. En ajoutant 7 au triple du nombre de Mia, on trouve 100. Quel est le nombre choisi par Mia ? − Exécuter un programme de L’élève sait déterminer le résultat obtenu quand on applique à un nombre donné, comme par exemple 5, un programme de calcul calcul. comme le suivant : − Choisir un nombre entier. − Ajouter 2 au nombre choisi. − Multiplier le résultat trouvé à l’étape précédente par 4. − Écrire le nombre obtenu. Les programmes comprennent au plus deux étapes de calcul. Les programmes de calcul utilisés peuvent être codés avec un logiciel de programmation par bloc comme Scratch ou sur une feuille d’un tableur en faisant apparaitre les différentes étapes, de manière à vérifier les résultats obtenus. − Identifier et formuler une À partir des premiers termes d’une suite de nombres, l’élève sait identifier et formuler une règle expliquant comment la suite est règle de calcul pour construite, et la poursuivre en donnant les trois termes suivants, comme pour les suites : poursuivre une suite de 3 ; 7 ; 11 ; 15, etc. nombres. 4 ; 12 ; 36 ; 108, etc. 80 ; 85 ; 83 ; 88 ; 86 ; 91 ; 89 ; 94 ; 92, etc. 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127, etc. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 25 Pour certaines suites, plusieurs « règles » de calcul peuvent être trouvées, par exemple, pour la suite 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127, etc., les élèves peuvent proposer comme règles de calcul : − prendre le double du nombre et ajouter 1 pour trouver le nombre au rang suivant : − ajouter successivement 8, puis le double de 8, puis le double du double de 8, etc. : − Identifier des régularités et L’élève sait, par exemple, déterminer le nombre d’éléments des motifs que l’on trouvera aux trois étapes suivantes pour les suites poursuivre une suite de dont les premiers motifs sont : motifs évolutive. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 26 L’élève sait dire comment le nombre d’éléments pour une étape peut se déduire du nombre d’éléments pour l’étape précédente, par exemple : − « À chaque étape, le nombre de cœurs est égal au nombre de cœurs de l’étape précédente plus trois. » − « À chaque étape, le nombre de ronds est égal au nombre de ronds de l’étape précédente plus le numéro de l’étape. » Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 27 COURS MOYEN DEUXIÈME ANNÉE Les nombres entiers Au CM2, la compréhension des aspects décimal (base dix) et positionnel (la valeur d’un chiffre dépend de sa position) de la numération se renforce et s’étend avec l’introduction de trois nouveaux rangs dans l’écriture chiffrée : ceux des millions, des dizaines de millions et des centaines de millions. Ainsi, les connaissances et les savoir- faire attendus en fin de CM2 concernent les nombres s’écrivant avec au plus neuf chiffres. Toutefois, afin de privilégier en début d’année le travail sur les fractions et les nombres décimaux, les nombres entiers rencontrés pendant les deux premières périodes de l’année seront ceux qui ont été étudiés au CM1 et qui s’écrivent avec au plus six chiffres. La connaissance des notions de diviseur et de multiple est renforcée en vue de leur utilisation lors de travaux sur les fractions (comparaison de fractions, addition et soustraction). Seuls les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 figurent au programme. Dans les autres cas, les élèves s’appuient sur la connaissance des tables de multiplication ou effectuent des divisions ou des multiplications. − Connaitre et utiliser les relations entre L’élève comprend et utilise différentes désignations possibles pour un même nombre, notamment : les unités de numération. − l’écriture en chiffres (3 425 000) ; − Connaitre la suite écrite et la suite orale − des décompositions en unités de numération (3 millions et 4 centaines de milliers et 2 dizaines de milliers et 5 des nombres jusqu’à 999 999 999. milliers ou 3 millions et 425 milliers, mais aussi d’autres décompositions comme 32 centaines de milliers et 21 − Connaitre et utiliser diverses dizaines de milliers et 15 milliers) ; représentations d’un nombre et passer − le nom à l’oral (« trois-millions-quatre-cent-vingt-cinq-mille ») ; de l’une à l’autre. − Connaitre la valeur des chiffres en − la décomposition du type : (3 × 1 000 000) + (4 × 100 000) + (2 × 10 000) + (5 × 1 000) ; fonction de leur position dans un − la décomposition additive sous la forme 3 000 000 + 400 000 + 20 000 + 5 000 ; nombre. − l’écriture en lettres (trois-millions-quatre-cent-vingt-cinq-mille). L’élève sait résoudre un problème comme le suivant : − « Une entreprise a produit 12 342 320 pailles en une semaine. Les pailles sont conditionnées et vendues dans des cartons de cent boites contenant chacune cent pailles. Combien l’entreprise va-t-elle pouvoir livrer de cartons à l’issue de cette semaine de production ? » L’élève sait écrire en chiffres un nombre dicté. Il sait également lire un nombre écrit en chiffres et l’écrire en lettres. Quand il écrit un nombre avec plus de quatre chiffres, l’élève laisse un espace entre chaque groupe de trois chiffres en partant de la droite. − Comparer, encadrer, intercaler des L’élève sait ordonner cinq nombres entiers dans l’ordre croissant ou décroissant. nombres entiers en utilisant les L’élève sait placer un nombre ou déterminer le nombre correspondant à un point sur une portion de demi-droite symboles =, < et >. pouvant être graduée de un en un, de dix en dix, de cent en cent, etc. Programme de mathématiques du cycle 3 – janvier 2025. 28 − Ordonner des nombres dans l’ordre croissant ou décroissant. − Placer des nombres et repérer des points sur une demi-droite graduée. − Déterminer si un nombre entier L’élève sait, par exemple, trouver au moins six diviseurs de 72. inférieur ou égal à 10 est un diviseur L’élève sait utiliser ses connaissances sur les multiples et les diviseurs pour résoudre des problèmes comme les suivants. d’un nombre entier donné ou si un − Les côtés d’un rectangle ont pour longueurs des nombres entiers de centimètres. Son aire est de 100 cm². Trouve nombre entier donné est un multiple plusieurs dimensions possibles pour ce rectangle. d’un nombre entier inférieur ou égal à − Adidja a 10 baguettes de bois mesurant chacune 8 cm. Béatrice a 10 baguettes de bois mesurant chacune 12 cm. 10. Adidja et Béatrice ont construit chacune un chemin en mettant bout à bout certaines de leurs baguettes. Elles ont − Déterminer des diviseurs d’un nombre obtenu deux chemins de la même longueur. Trouve une longueur possible pour les chemins construits par Adidja entier inférieur ou égal à 100. et Béatrice. Y a-t-il

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