Cours Complet de Mathématiques 2024-2025 PDF

Page 0 sur 57 Table des matières.................................................................................... 4................................................................................. 4 1) Nombres et Chiffres....................................................................

Page 0 sur 57 Table des matières.................................................................................... 4................................................................................. 4 1) Nombres et Chiffres......................................................................................................................................................... 4 2) Le système de numération.............................................................................................................................................. 6 Série 1 (Ensemble ℕ : numération et système de numération)........................................................................ 11............................................................... 12 1) Calcul numérique sur des entiers relatifs...................................................................................................................... 12 2) Propriétés algébriques des opérations arithmétiques................................................................................................. 12 3) Règles de priorité dans une chaîne d’opérations arithmétiques................................................................................. 14 4) Calcul littéral................................................................................................................................................................. 14 5) Identités remarquables comme outil de factorisation................................................................................................. 15 6) Puissance....................................................................................................................................................................... 15 Série 2 (L'ensemble ℤ et opérations sur des entiers (naturels et relatifs).......................................................... 15.................................................................................................................. 17 1) Division euclidienne sur 𝑵 (ensemble des entiers naturels)........................................................................................ 17 2) Multiples et diviseurs d'entiers naturels...................................................................................................................... 17 3) Les critères de divisibilité pour les nombres de 2 à 11................................................................................................. 18 4) PGDC et PPMC de deux nombres.................................................................................................................................. 18 5) La congruence modulo.................................................................................................................................................. 20 Série 3 (Diviseurs et multiples dans N)............................................................................................................ 21.......................................................................................................... 23 1) Les ensembles de nombres :.......................................................................................................................................... 23 2) Les ensembles Q, D........................................................................................................................................................ 24 3) Les nombres réels.......................................................................................................................................................... 26 Série 4 (Ensembles des nombres Q, D, R)........................................................................................................ 27................................................................................. 29............................................................................................. 30 1) Vocabulaires :................................................................................................................................................................ 30 2) Définition....................................................................................................................................................................... 30 3) Résoudre une équation du premier degré d’inconnue x.............................................................................................. 30 4) Application : Résolution d’un problème à l’aide d’une équation du premier degré:.................................................. 30.......................................................................................... 31 1) Définitions :................................................................................................................................................................... 31 2) Règles de résolution...................................................................................................................................................... 31 3) Inéquations se ramenant au premier degré................................................................................................................. 32........................................................................................... 32 1) Définition....................................................................................................................................................................... 32 2) Résolution d’un système d’équations........................................................................................................................... 32...................................................................................... 34 1) Définition....................................................................................................................................................................... 34 2) Résolution graphique.................................................................................................................................................... 34 Pour résoudre graphiquement un système de deux inéquations du premier degré dans ℝ×ℝ,................................................ 34............................................................................................................. 34 1) Méthode de résolution.................................................................................................................................................. 34.................................................................... 36 1) Définition....................................................................................................................................................................... 36 Page 1 sur 57  2) Méthodes de résolution d’une équation du second degré à une inconnue................................................................. 36 3) Relation entre coefficients et racines........................................................................................................................... 36 4) Signe des racines de 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄.............................................................................................................................. 37 5) Méthode de résolution d’une inéquation du second degré à une seule inconnue...................................................... 37 Série 5........................................................................................................................................................... 38................................................................................................... 41 Introduction : Du pourcentage et de la proportionnalité aux fonctions, un voyage mathématique................... 41.................................................................... 42 1) Définition Générale :..................................................................................................................................................... 42 2) Le pourcentage d’évolution.......................................................................................................................................... 42 Série 6 ( Le pourcentage)................................................................................................................................ 45................................................................................ 46 1) Des rapports et des proportions :................................................................................................................................. 46 2) Grandeurs proportionnelles......................................................................................................................................... 46 3) Grandeurs inversement proportionnelles.................................................................................................................... 47 4) La proportionnalité et la fonction linéaire................................................................................................................... 47 5) La proportionnalité et la fonction affine...................................................................................................................... 47 6) La proportionnalité et la fonction inverse:................................................................................................................... 48 7) La proportionnalité et la fonction homographique..................................................................................................... 48 8) La proportionnalité et la résolution d'équations et d'inéquations............................................................................. 49 Série 7(La proportionnalité et la fonction linéaire ou affine)............................................................................ 50....................................................................... 53.............................................................................................................................................. 53 1) Détermination d’une suite............................................................................................................................................ 53................................................................................................. 53 1) Définitions..................................................................................................................................................................... 53 2) Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique?:.............................................................................. 53 3) Comment trouver un terme dans une suite arithmétique ?........................................................................................ 54 4) Comment trouver un terme dans une suite géométrique ?........................................................................................ 54 5) Somme des termes d'une suite arithmétique ou géométrique................................................................................... 54 Série 8........................................................................................................................................................... 54 Page 2 sur 57 Ce cours de mathématiques est destiné aux futurs instituteurs. Il a pour objectif de compléter leur formation en mathématiques en renforçant leurs connaissances des concepts de base enseignés à l’école primaire. Il propose une révision des notions essentielles et la pratique de situations problèmes pour améliorer les compétences en résolution de problèmes. Le cours couvre des domaines comme l'arithmétique, la proportionnalité, les suites, l’analyse combinatoire et les statistiques. Il encourage une approche méthodologique où les enseignants apprennent à résoudre des problèmes en utilisant diverses stratégies, incluant :  La création de nouveaux concepts  La réutilisation de connaissances dans des situations familières  L’application de concepts à des situations réelles  La synthèse de plusieurs connaissances pour résoudre un problème  Des problèmes ouverts qui demandent une réflexion approfondie  Des tâches complexes nécessitant la modélisation mathématique Enfin, ce cours aide à développer deux compétences principales : 1. Maîtriser les opérations arithmétiques de base. 2. Résoudre des problèmes en utilisant différentes techniques de calcul arithmétique. Page 3 sur 57  Depuis l’aube des civilisations, les nombres jouent un rôle fondamental dans notre compréhension du monde. Que ce soit pour compter des objets, mesurer des distances ou identifier des quantités, les nombres sont au cœur de nombreuses activités humaines. Cependant, tous les nombres ne sont pas identiques. Avec le temps, divers types de nombres sont apparus pour répondre à différents besoins : les nombres naturels pour compter, les nombres entiers pour inclure les valeurs négatives, les nombres rationnels pour représenter les fractions, et les nombres réels pour des mesures continues comme la distance ou le temps. En parallèle, les systèmes de numération ont évolué pour faciliter ces usages. La majorité des civilisations ont adopté un système basé sur dix, probablement influencé par le comptage à l’aide des doigts, tandis que certaines, comme les Mayas et les Sumériens, ont développé des systèmes en base vingt et soixante respectivement. Dans ce chapitre, nous allons explorer ces ensembles numériques et les opérations qui leur sont associées. Nous commencerons par les nombres naturels, issus des premiers systèmes de numération, puis nous étudierons les autres ensembles, en analysant leurs propriétés et les règles opératoires propres à chaque type de nombre. L’ensemble des nombres naturels (ℕ) est fondamental en mathématiques, car il représente les premiers nombres que nous rencontrons dès notre enfance. Ces nombres sont utilisés principalement pour le comptage et l’ordonnancement. L’ensemble ℕ est défini comme suit : ℕ = {0,1,2,3,…}. 1) Nombres et Chiffres Un nombre se caractérise par deux éléments principaux : son nom, qui permet de l'identifier dans la communication orale ou écrite, et sa représentation graphique, qui est l'écriture du nombre sous forme de symboles. Par exemple, le nombre "5" a pour nom "cinq" et est représenté graphiquement par le chiffre "5". Les chiffres sont les symboles qui composent les nombres. Dans le système décimal moderne, qui est largement utilisé dans le monde entier, il existe dix chiffres de base : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Ces chiffres peuvent être combinés pour former des nombres plus grands. Par exemple, le nombre "23" est constitué des chiffres "2" et "3". Les chiffres jouent un rôle crucial dans la représentation des nombres, car ils permettent d'écrire et de manipuler des quantités. Différents systèmes de numération utilisent des chiffres variés. Page 4 sur 57 Par exemple, en écriture arabe, les chiffres sont représentés par ٠, ١, ٢, ٣,..., tandis qu'en écriture romaine, on utilise des lettres comme I, V, X, L,.... Chaque système a ses propres règles d'utilisation et ses particularités, mais tous permettent de comprendre et d'exprimer des quantités de manière claire et efficace. Ecrire les nombres en lettres : Pour écrire les chiffres de 0 à 1000 000 en lettres, vous devez mémoriser l’orthographe de 25 mots nombres. Les nombres composés sont systématiquement reliés par des traits d'union. Page 5 sur 57  2) Le système de numération Le plus ancien, dit unaire (base 1), s'avère peu pratique lorsqu'il s'agit de manier des quantités importantes. La solution découverte par de nombreuses civilisations anciennes consiste à grouper les unités par paquets chaque fois qu'est atteinte une même valeur, qu'on appelle base de numération. Puis, on regroupe ces paquets en paquets d'ordre supérieur, et ainsi de suite. a) Exemple avec les notes au bac Imaginons qu’un étudiant passe plusieurs épreuves du bac et obtient différentes notes. La plupart des notes sont sur 20.  Système unaire (base 1) :  Système décimal (base 10)  Système à base 5 (pour un changement de perspective) : Si tu devais utiliser un Au lieu de cela, tu regroupes les Si tu regroupes les notes par système unaire pour compter unités. Si un étudiant obtient 14/20 paquets de 5 points (comme si tu les points qu'un étudiant a en maths, 16/20 en histoire, et utilisais une base 5), tu obtiendrais obtenus, cela signifierait 12/20 en physique, tu peux : écrire un bâton pour chaque facilement additionner les points point. Par exemple, pour une en utilisant la base 10 :  Maths : 2 paquets de 5 note de 14/20, tu devrais points + 4 unités (24)5, écrire :  Maths : 1 paquet de 10  Histoire : 3 paquets de 5 points + 4 unités (14), points + 1 unité (31)5, ||||||||||||||  Histoire : 1 paquet de 10  Physique : 2 paquets de 5 points + 6 unités (16), points + 2 unités (22)5. C'est-à-dire 14 bâtons pour  Physique : 1 paquet de 10 une seule note ! Imagine si tu points + 2 unités (12). Cela te permet de visualiser les dois faire cela pour toutes les notes sous un autre angle, et de te matières ! Cela te permet de faire le total des rendre compte plus facilement de la points beaucoup plus rapidement répartition des points. et de calculer la moyenne sans te perdre dans un comptage fastidieux. b) Système décimal de numération : Le système décimal de numération est un système numérique positionnel qui utilise dix symboles appelés chiffres : 0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9. Il est basé sur la base 10, ce qui signifie que chaque position dans un nombre représente une puissance de 10. Par exemple, dans le nombre 3456, chaque chiffre est multiplié par une puissance de 10 en fonction de sa position :  6 est à la position des unités : 𝟔 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟔  5 est à la position des dizaines: 𝟓 × 𝟏𝟎𝟏 = 𝟓𝟎  4 est à la position des centaines :𝟒 × 𝟏𝟎𝟐 = 𝟒𝟎𝟎 Page 6 sur 57   3 est à la position des milliers : 𝟑 × 𝟏𝟎𝟑 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 L'addition de ces valeurs donne : 𝟑𝟎𝟎𝟎 + 𝟒𝟎𝟎 + 𝟓𝟎 + 𝟔 = 𝟑𝟒𝟓𝟔 Millions Milliers Centaines Dizaines Unités De 1.000.000 à 900.000.000 De 1000 à 900.000 DE 100 à 900 De 10 à 90 De 1à 9 En complément, le système décimal peut également représenter des fractions et des nombres décimaux. Par exemple, 3,14, où la partie après la virgule correspond à des puissances négatives de 10 : 3,14 = 3 + 1/10 + 4/100  Position des chiffres: Chaque chiffre dans un nombre occupe une position qui lui donne une valeur. Par exemple, dans 54 678, le 5 représente 50000 (dizaines de milliers) et le 4 représente 4000 (milliers). Classe des Millions Classe des Mille Classe des Unités simples Centaine Centaine Unité Centaine Dizaine Unité Dizaine Unité Dizaine 2 5 3 1 7 0 6 4 Exemple : Pour le nombre 25 317 064  Le chiffre 5 représente les dizaines de millions.  Le chiffre 1 représente les dizaines de milliers.  Le chiffre 5 représente les unités de millions.  Représentation polynomiale : Un nombre peut être décomposé en une somme de multiples de puissances de 10. Par exemple, 2356 = 2 × 103 + 3 × 102 + 5 × 101 + 6 × 100 Cette décomposition montre que chaque chiffre est un multiple d'une puissance de 10, et leur somme reconstitue le nombre. En résumé, chaque chiffre dans un nombre décimal a une valeur qui dépend de sa place, et cette valeur peut être exprimée sous forme de puissances de 10.  Exercice : L'emballage et le système de numération décimal Chez un marchand grossiste, les crayons noirs sont vendus en différentes boites. Présentation des boites et prix : Page 7 sur 57   Question 1: Vérifier que plus le nombre de crayons d'une boite est grand, plus le prix à l'unité est bas.  Question 2: Calcul du nombre de crayons dans un lot composé de 3 boites blanches, 2 boites vertes et 5 paquets.  Question3: Achat de 23 940 crayons : Comment minimiser le coût en choisissant les bonnes boites ? c) Le système de numération à base a avec (a > 1) Pour un exemple simple et réel avec un système de numération à base 6, imaginons une situation avec des bouteilles d’eau. Exemple : Un magasin qui stocke des bouteilles d’eau en cartons de 6 : Considérons un magasin qui organise ses bouteilles d’eau en cartons de 6 bouteilles. Ils ne comptent jamais au-delà de 6 bouteilles individuellement. Dès qu’ils atteignent 6 bouteilles, ils forment un carton et commencent à compter les cartons. Situation réelle :Supposons que le magasin dispose de 54 bouteilles d’eau. Le magasin emballe les bouteilles en cartons :  Pour chaque lot de 6 bouteilles, un carton moyen est formé.  Pour chaque lot de 6 cartons moyens, un grand carton est formé. Après avoir constitué tous les cartons possibles, il ne reste aucune bouteille (0 bouteille restante). Cela signifie que :  Le magasin peut former 1 grand carton,  3 cartons moyens, contenant chacun 6 bouteilles. En base 6, cette organisation s’écrit : (130)₆ (1 grand carton, 3 cartons moyens, et 0 bouteille restante). Cela veut dire que 54 bouteilles est représenté par. (𝟏𝟑𝟎)₆ = 0 × 6^0 + 3 × 6^1 + 1 × 6^2  Dans ce système, chaque fois qu’il compte 6 unités, il forme un groupe, exactement comme dans un système de numération à base a. Les chiffres utilisés dans une base 6 sont : 0, 1, 2, 3,4 et 5. Dès qu’il arrive à 5, il passe à la colonne suivante.  La méthode générale pour convertir en base décimale Pour écrire un nombre dans une base décimale, il est utile de comprendre que la base décimale (ou base 10) est la forme de numérotation la plus courante, avec les chiffres allant de 0 à 9.  En base 5, les chiffres utilisés seraient : 0, 1, 2, 3, 4. Page 8 sur 57   En base 11, les chiffres vont de 0 à 9, puis on utilise les lettres A pour représenter 10.  En base 16 (utilisée en informatique), les chiffres vont de 0 à 9, puis on utilise les lettres A, B, C, D, E, F pour représenter 10 à 15. (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15,G= 16……..). Voici les étapes pour convertir un nombre d'une autre base (par exemple, binaire, octale, ou hexadécimale) en base décimale. 1. Identifiez la base du nombre d'origine (ex : base 2 pour un nombre binaire). 2. Écrivez les puissances croissantes de la base, en commençant par la droite du nombre. 3. Multipliez chaque chiffre par la puissance correspondante de la base. 4. Additionnez les produits obtenus pour trouver le résultat en base décimale. Cela vous permet de convertir un nombre de n'importe quelle base en base 10. Exemple1 : Convertir le nombre binaire 1011 en base décimale. 10112 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 = 1 × 1 + 1 × 2 + 0 × 4 + 1 × 8 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11. Donc, 10112 en base décimale est 1110. Exemple2 : Convertir le nombre hexadécimal (base 16) 𝐴316 en base décimale. 𝐴316 = 3 × 160 + 10 × 161 = 3 × 1 + 10 × 16 = 3 + 160 = 163 Donc, 𝐴316 en base décimale est 16310. (où A = 10 en base décimale) Exemple3: Convertir le nombre octal (base 8) 758 en base décimale. 758 = 5 × 80 + 7 × 81 = 5 × 1 + 7 × 8 = 5 + 56 = 61 Donc, 758 en base décimale est 6110. Exemple4 : Conversion d’un nombre en base décimale G920 = 9 × 200 + 16 × 201 = 9 + 320 = 329 (où G = 16 en base décimale)  Passage du système décimal à un système de base «a»: la division successive Lorsqu'on souhaite convertir un nombre décimal (en base 10) vers un autre système de base a (où aaa est une base quelconque), la méthode la plus courante est la division successive. Cette méthode repose sur la division répétée du nombre décimal par la nouvelle base a jusqu'à ce que le quotient devienne nul. Les restes obtenus à chaque étape sont ensuite utilisés pour former le nombre dans la nouvelle base. Étapes de la méthode de division successive : 1. Divisez le nombre décimal par la base a. 2. Notez le reste obtenu lors de cette division. 3. Divisez le quotient par la base a et continuez à noter les restes. 4. Répétez cette opération jusqu'à ce que le quotient soit égal à 0. 5. Lisez les restes de bas en haut (du dernier au premier) pour obtenir le nombre dans la base a Exemples : La lecture du résultat se fait toujours en plaçant le dernier quotient en premier et en écrivant les restes successifs dans l'ordre inverse où ils sont apparus. Pour le calcul que nous venons de faire nous avons donc (25)10 est équivalent à (11001)2. Page 9 sur 57  Soit 173 à convertir en base a = 8, Le résultat est (173)10 = (255)8 Soit 173 à convertir en base a= 16, Le résultat est (173)10 = (AD)16, avec 10 = A et 13 = D d) Addition et soustraction dans un système de numération: Les principes de base pour effectuer des additions et soustractions dans des systèmes de numération autres que la base décimale (comme binaire, octale, hexadécimale, etc.) sont similaires à ceux utilisés en base 10. La principale différence réside dans le fait que les retenues et les emprunts doivent être faits en fonction de la nouvelle base. Exemple1 Exemple 2 Exemple 3 Page 10 sur 57  375₈ -146₈. 227₈ Exemple4 : Soustraction en base 12 C812 - B612 1212 Série 1 (Ensemble ℕ : numération et système de numération) Exercice1:  Déterminer le nombre de centaines dans 2378  Déterminer le chiffre des centaines du nombre 2378.  Donner le nombre d'unités correspondant à 35 centaines et 42 unités.  Déterminer le nombre de centaines dans deux milliers et 3 centaines  Combien de milliers dans 35 centaines. Exercice2 1. Écrire dans la base 10, les nombres suivants : 𝟒𝟑𝟐𝟏𝟓 ; 𝟐𝟑𝟑𝟒𝟒𝟔; 2. Écrire en base 11, les nombres suivants : 𝟒𝟑𝟐𝟏𝟓 ; 𝟐𝟑𝟑𝟒𝟒𝟔 3. Écrire en base 2, les nombres suivants : 𝟒𝟑𝟐𝟏𝟏𝟎 ; 𝟐𝟑𝟑𝟒𝟒𝟔 4. Les nombres suivants : 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓 et 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟓 sont ils pairs ? Exercice3 : Calculer sans utiliser les écritures en base dix : 1. 33215 + 233445 , 2. 3A3111 + 2337711 3. 312115 − 233445 , Page 11 sur 57  4. 2337711 - 3A3111 5. 2237712 + 3AB112 6. 2237712 - 3AB112 7. 410 5 x 23 5 8. Le triple de. 2304 s’écrit en base 4. L'ensemble des nombres relatifs, noté ℤ (du mot allemand Zahlen, signifiant "nombres"), regroupe l'ensemble des nombres entiers positifs, négatifs et zéro. Les nombres relatifs comprennent donc les nombres entiers naturels et leurs opposés. L'ensemble ℤ est défini comme suit : Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,… } Il inclut :  Les nombres entiers positifs (les mêmes que ceux de l'ensemble N, les entiers naturels) : 1,2,3,…  Le zéro : 0, qui est un élément neutre pour l'addition.  Les nombres entiers négatifs : -1, -2, -3,… Sur les entiers relatifs, nous réalisons quatre opérations arithmétiques de base : addition, soustraction, multiplication et division. 1) Calcul numérique sur des entiers relatifs a. Addition :  Si les deux entiers ont le même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on garde ce signe.  Si les entiers ont des signes différents, on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande et on garde le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue. Exemples: 5 + (−3) = 2, − 8 + 4 = −4, − 6 + (−2) = −8 b. Soustraction : Soustraire un entier revient à ajouter son opposé. Ainsi, la soustraction devient une addition modifiée : 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) Exemples: 6 − 2 = 4, − 5 − 3 = −8, 7 − (−3) = 1. c. Multiplication : La multiplication respecte les règles suivantes:  Deux nombres de même signe donnent un produit positif.  Deux nombres de signes différents donnent un produit négatif. Exemples: 4 × (−3) = −12, (−7) × (−5) = 35, 6 × 2 = 12. d. Division : Les règles de division des entiers sont analogues à celles de la multiplication :  Deux nombres de même signe donnent un quotient positif.  Deux nombres de signes différents donnent un quotient négatif. Exemples: 20 ÷ (−5) = −4, (−18) ÷ (−6) = 3 Attention : La division par zéro est impossible. 2) Propriétés algébriques des opérations arithmétiques Page 12 sur 57  a. La commutativité  L’addition est commutative. a+b=b+a. Exemples : 8+7=7+8 ; 3+(-5) = (-5)+3 ; (-12)+(-19)=(-19)+(-12)  La multiplication est commutative. 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎. Exemples : 8 × 7 = 7 × 8 ; 3 × (−5) = (−5) × 3 ; (−12) × (−19) = (−19) × (−12) b. L’associativité  L’addition est associative. (a+b)+c=a+(b+c). Exemples : (8+7)+12=8+(7+12) ; ( 3+(-5))+5 =3+ ((-5)+5) ;  La multiplication est associative. 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎. Exemples : (8 × 7) × 5 = 8 × (7 × 5) ; ((−2) × 3) × (−5) = (−2) × (3 × (−5)) ;  La soustraction et la division ne sont ni commutatives ni associatives dans Z. Donc il faut faire attention quand on manipule des soustractions ou des divisions ! c. La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. La multiplication est distributive par rapport à l’addition : Pour tout nombre entiers relatifs a,b,c on a : 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑐 d. Relation d’ordre (≤) dans N et Z (et aussi R) Les relations d’ordre (≤) dans les ensembles N (entiers naturels), Z (entiers relatifs), et R (nombres réels) permettent de comparer des nombres selon leur position relative (inférieur ou égal). Elles respectent trois propriétés importantes : réflexivité, antisymétrie et transitivité. Ces relations interagissent de manière prévisible avec les opérations d'addition et de multiplication  Addition et relation d'ordre : L'addition préserve toujours la relation d'ordre dans 𝐍, 𝐙, et R.  Principe : Si 𝑎 ≤ 𝑏, alors 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐 pour tout 𝐜.  Exemple dans 𝐍 : Si 2 ≤ 5, alors 2 + 3 ≤ 5 + 3, soit 5 ≤ 8.  Exemple dans 𝐙: Si − 4 ≤ 2, alors −4 + 6 ≤ 2 + 6, soit 2 ≤ 8.  Exemple dans R : Si 𝜋 ≤ 4, alors 𝜋 + 1 ≤ 4 + 1, soit 4.14 ≤ 5. Cela permet de résoudre des inéquations et de comparer des valeurs après une transformation additive.  Multiplication et relation d'ordre : La multiplication peut préserver ou inverser la relation d'ordre selon le signe du multiplicateur.  Multiplication par un nombre positif : Si 𝑎 ≤ 𝑏 et 𝑐 ≥ 0, alors 𝑎 × 𝑐 ≤ 𝑏 × 𝑐.  Exemple dans 𝐍 : Si 3 ≤ 5 et 𝑐 = 2, alors 3 × 2 ≤ 5 × 2, soit 6 ≤ 10.  Exemple dans 𝐙 : Si −2 ≤ 1 et 𝑐 = 3, alors −2 × 3 ≤ 1 × 3, soit −6 ≤ 3.  Exemple dans R : Si 1.5 ≤ 2 et 𝑐 = 4, alors 1.5 × 4 ≤ 2 × 4, soit 6 ≤ 8.  Multiplication par un nombre négatif : Si 𝑎 ≤ 𝑏 et 𝑐 ≤ 0, alors 𝑎 × 𝑐 ≥ 𝑏 × 𝑐 (l'ordre s'inverse).  Exemple dans 𝒁 : Si 1 ≤ 3 et 𝑐 = −2, alors 1 × −2 ≥ 3 × −2, soit −2 ≥ −6. ↓  Exemple dans R : Si 𝜋 ≤ 4 et 𝑐 = −−, alors 𝜋 × −1 ≥ 4 × −1, soit −3.14 ≥ −4. Page 13 sur 57 La multiplication par un nombre négatif est particulièrement importante dans la résolution d'inéquations car elle inverse le sens de l'inégalité 3) Règles de priorité dans une chaîne d’opérations arithmétiques Lorsqu'on effectue des calculs impliquant plusieurs opérations arithmétiques, il est important de respecter un certain ordre pour obtenir le bon résultat. Cet ordre est appelé ordre de priorité des opérations. Voici les règles principales : a. Parenthèses : Les opérations à l'intérieur des parenthèses sont effectuées en premier, en suivant leur propre ordre de priorité si elles contiennent plusieurs opérations. b. Exposants : Les puissances (ou exponentiations) sont calculées après les parenthèses. c. Multiplications et Divisions : Ensuite, les multiplications et divisions sont effectuées, dans l'ordre où elles apparaissent de gauche à droite. d. Additions et Soustractions : Enfin, les additions et soustractions sont effectuées, toujours de gauche à droite. On peut résumer cela avec l'acronyme PEMDAS (Parenthèses, Exposants, Multiplication/Division, Addition/Soustraction). Exemple pratique : Prenons la chaîne d'opérations suivante :6 + 2 × (5 − 3)2 ÷ 2 Suivons les règles de priorité étape par étape:  Parenthèses: On commence par effectuer le calcul à l'intérieur des parenthèses: 5 − 3 = 2 La chaîne devient :6 + 2 × (2)2 ÷ 2  Exposants : Ensuite, on calcule l'exposant (la puissance) : (2)2 = 4 La chaîne devient : 6 + 2 × 4 ÷ 2  Multiplications et Divisions: On effectue les multiplications et divisions dans l'ordre où elles apparaissent, de gauche à droite. D'abord, on fait la multiplication : 2 × 4 = 8. La chaîne devient : La chaîne devient : 6 + 8 ÷ 2. Ensuite, on fait la division :8 ÷ 2 = 4. La chaîne devient :6 + 4  Additions et Soustractions : Enfin, on effectue l'addition :6 + 4 = 10.Le résultat final est donc 10. Importance des parenthèses Les parenthèses sont très importantes pour clarifier l'ordre des opérations. Par exemple, sans parenthèses, la chaîne suivante :6 + 2 × 5 − 32 ÷ 2 produirait un résultat différent en suivant les règles de priorité, car les opérations à l'intérieur des parenthèses sont calculées en premier, modifiant ainsi le reste de l'expression. 4) Calcul littéral  Une expression littérale est une expression mathématique qui contient des variables, c'est-à-dire des lettres qui représentent des nombres. Cela permet de généraliser des formules ou des situations mathématiques pour différents cas. Exemple1 : Aire d'un rectangle L'aire d'un rectangle est donnée par la formule :𝐴 = 𝐿 × 𝑙 où 𝐿 représente la longueur du rectangle, et 𝑙 représente la largeur du rectangle. Exemple2 : Périmètre d'un rectangle Le périmètre d'un rectangle est donné par la formule : 𝑃 = 2 × (𝐿 + 𝑙) où 𝐿 représente la longueur du rectangle, et 𝑙 représente la largeur du rectangle.  Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en somme ou différence. Exemple : Développer A=4×(6+2x). On a A=4×6+4×2x donc A=24+8x. Exercice : Développer l’expression suivante : (a+b)(c+d) (interprétation géométrique)  Factoriser une expression littérale, c’est la transformer en un produit de facteurs, c’est l’inverse du développement. Exemple : 𝑨 = 𝟓 × 𝒙 + 𝟓 × 𝟑 donne 𝑨 = 𝟓 × (𝒙 + 𝟑) Page 14 sur 57  5) Identités remarquables comme outil de factorisation  (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2  (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2  (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 Exercice : factoriser l’expression suivante : a) 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 b) 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 c) 𝑥 2 − 49 6) Puissance  𝑦 désigne un nombre relatif non nul et n un entier naturel non nul. 𝑦 𝑛 désigne le produit de 𝑛 facteurs égaux à 𝑦 : 𝑦𝑛 = ⏟ 𝑦 × 𝑦 × … × 𝑦. Le nombre 𝑛 s’appelle un exposant. 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 Exemple : (−5)4 = (−5) × (−5) × (−5) × (−5) = 625  Cas particulier :𝑦 1 = 𝑦  Convention : 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑦 ≠ 0, 𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑦 0 = 1 , 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒 ∶ 70 = 1 1 1  𝐷𝑒 𝑚ê𝑚𝑒: 𝑜𝑛 𝑎 𝑦 −𝑛 = 𝑦𝑛 = 𝑦 × 𝑦 ×…× 𝑦 ⏟ 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 −𝟓 𝟏 𝟏 𝟏 Exemple : 𝟑 = = = 𝟑𝟓 𝟑×𝟑×𝟑×𝟑×𝟑 𝟐𝟒𝟑  Propriétés des puissances : Soit y un nombre entier et n et p deux entiers relatifs. On a: 1) 𝑦 𝑛 × 𝑦 𝑝 = 𝑦 𝑛+𝑝 2) (𝑦 𝑛 )𝑝 = 𝑦 𝑛×𝑝  Puissances de 10. 𝑛 désigne un nombre entier positif non nul. On note 10𝑛 le produit de n facteurs tous égaux à n. 1 1 10𝑛 = ⏟ 10 × 10 × … × 10 = 1 00 ⏟ …0 10−𝑛 = 10𝑛 = 10×10×…×10 = 0, ⏟ 00 … 01 ⏟ 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑛 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 7 (−3) (7+(−3)) 4 Exemple : 6 × 6 =6 = 6 et (52 )4 2×4 =5 8 =5 Série 2 (L'ensemble ℤ et opérations sur des entiers (naturels et relatifs) Exercice1 : Calculer les chaines d’opérations numériques suivantes: E= 30 - 3 × 7 F= 2 + 20 ÷ 4 + 3 × 2 H= 24 ÷ 2x(9+3) I= 36 + 5 - 45 ÷ 5 × 3 J =10- 6 ÷ 2x3 +(176 +14- 8 ÷ 2x 45) ÷ (45 + 75)-1 Exercice 2: 1) effectuer la chaîne des opérations suivantes : 2 × 8 + 4 – 16 ÷ 8 ÷ 2 × 2 × 5 – 2 2) mettre des parenthèses à la chaîne précédente pour obtenir un résultat égal à 14 Page 15 sur 57 3) mettre des parenthèses à la chaîne précédente pour obtenir un résultat égal à (−18) Exercice 3 : Soit x, y, deux entiers relatifs et a et b deux entiers naturels non nuls tel que 𝑥 < 𝑦 𝑒𝑡 𝑎 < 𝑏. Comparer :@  (𝑎 − 𝑏) × 𝑥 𝑒𝑡 (𝑎 − 𝑏) × 𝑦 𝑥 𝑦  𝑒𝑡 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎  𝑒𝑡 𝑥 𝑦  𝑎 × 𝑥 𝑒𝑡 𝑏 × 𝑦 Exercice 4 Les phrases suivantes sont–elles vraies pour tout nombre relatif a ? Justifie tes réponses. 1) Le produit (– 4) × a est négatif. 2) Le produit de a par son oppose est négatif. 3) a2 est positif. 4) Le double de a est positif. Exercice 5 : 1) Trouve deux nombres relatifs dont le produit est positif et la somme est négative. 2) Trouve deux nombres relatifs dont le produit est négatif et la somme est positive. 3) Trouve deux nombres relatifs dont le produit et la somme sont négatifs. 4) Écrire de six façons différentes –2 sous la forme d'une somme de deux termes. 5) Donner six façons différentes d'écrire +3 sous la forme d'une somme de deux termes. 6) Exercice 6 1) Montrer que la somme de 3 nombres consécutifs est toujours divisible par 3. 2) Montrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair. 3) Montrer que la somme de deux nombres impairs est un nombre pair. Exercice 7 : factoriser 𝐴 = 5𝑥 2 − 20 𝐵 = 3𝑥 2 − 75 𝐶 = 28𝑥 2 − 63 𝐷 = 𝑥 2 − 4 + (𝑥 − 2)(2𝑥 + 1) Exercice 8 : 1) calculer les puissances suivantes : (– 10)4 ; (10)–4 ; −35 ; ; 2) Quel est le signe des nombres suivants (– 32)32456 ; (3)−33333 ; (– 10)−32455 Exercice 9 : Calculer (écrire les étapes intermédiaires) : 1) A = 50 – 3 × 42 2) B=5 × (– 3)² – (– 3)3 3) C= – 2 × 3−2 – 33 × 4−3 × 3 4 Exercice 10 : Donner l’écriture décimale des nombres suivants : A= 0,123 × 102 𝐵 = 1 230 × 10−2 𝐶 = 0,000 55 × 105 D= 111 000 × 10−4 E= 10,66 × 106 F= 10,001 × 10−3 Page 16 sur 57  1) Division euclidienne sur 𝑵 (ensemble des entiers naturels) Effectuer la division euclidienne de A par B c’est trouver l’entier naturel Q (appelé quotient) et l’entier naturel R (appelé reste) tel que : A=Q x B+R avec 0≤Rb) sont congrus modulo n lorsque a-b est divisible par n. On note 𝒂 ≡ 𝒃 [𝒏] et se lit a congrue à b modulo n. En d’autres mots, a et b ont le même reste par la division par n. Remarque : 𝒂 ≡ 𝒃 [𝒏] Il existe k dans ℕ tel que 𝒂 − 𝒃 = 𝒌 × 𝒏. Page 20 sur 57 Exemple : L'arithmétique de l'horloge est un exemple d'arithmétique modulaire. Elle fonctionne en "additionnant" les heures comme sur une horloge. Par exemple, commencer à 9 heures et ajouter 4 heures donne 1 heure (et non 13), car une fois 12 atteint, on repart à zéro. Ce principe est appelé "modulo 12" : deux nombres comme 9 et 21 sont "congrus modulo 12" car ils se comportent de la même façon sur l'horloge. De manière générale, l'arithmétique modulaire est un système où les nombres "repartent" à zéro après avoir atteint une certaine valeur fixée. b) Propriétés : Soit n un entier naturel non nul, Soit 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎′ 𝑒𝑡 𝑏′ des nombres entiers  Si 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛] et 𝑏 ≡ 𝑐 [𝑛]alors 𝑎 ≡ 𝑐 [𝑛] (Relation de transitivité)  Si 𝑎 ≡ 𝑏 [𝑛] et 𝑎′ ≡ 𝑏 ′ [𝑛] alors on a : o 𝑎 + 𝑎′ ≡ 𝑏 + 𝑏′ [𝑛] ; o 𝑎 − 𝑎′ ≡ 𝑏 − 𝑏′ [𝑛]; o 𝑎 × 𝑎′ ≡ 𝑏 × 𝑏 [𝑛]. c) Déterminer le reste d'une division euclidienne à l'aide de congruences Déterminer le reste de la division de 2456 par 5. La démarche à suivre. 1 2 3 4 5 6 7 8 2 ≡ 2 2 ≡ 4 2 ≡ 3 2 ≡ 1 2 ≡ 2 2 ≡ 4 2 ≡ 3 2 ≡ 1 Ce qui détermine la congruence de 2𝑛 modulo 5 c’est le reste de la division de la puissance 𝑛 par 4. Or 456=4x114 Donc 2456 ≡ 1 Déterminer le reste de la division de 3437 par 4 Ce qui détermine la congruence modulo 4 des puissances de 3, c’est le reste de la division de la puissance de 3 par 2. Or 437=218x2+1 Donc 3437 ≡ 3 Série 3 (Diviseurs et multiples dans N) Exercice 1 1. Donner l’écriture littérale d’un nombre pair, puis celle d’un nombre impair. 2. Étudier la parité de la somme, de la différence et du produit de deux entiers a et b (avec a > b) lorsque : a) a et b sont tous les deux pairs ; b) a et b sont tous les deux impairs ; c) a est impair et b est pair. Exercice 2 a) Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4. b) En est-il de même de la somme de deux nombres pairs consécutifs ? c) Démontrer que le carré d’un nombre pair est un multiple de 4. d) Démontrer que le carré d’un nombre impair est un nombre impair. e) Démontrer que la différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un entier impair. f) On considère deux entiers naturels impairs a et b. Montrer que 𝑁 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 6 est divisible par 8. g) Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1. h) La somme de quatre multiples consécutifs de 7 est égale à 266. Quels sont ces quatre entiers ? Exercice 4 Page 21 sur 57  Déterminer, en justifiant, les valeurs que peut prendre le chiffre a pour que le nombre dont l’écriture décimale est 43a soit un nombre premier. Exercice 5 1. Quel est le nombre de diviseurs de 84 ? 2. Lister tous les diviseurs de 84. 3. Quel est le nombre de diviseurs de 72 ? 4. Lister tous les diviseurs de 72. 5. Quel est le PGCD de 84 et 72 ? Quel est le PPCM de 84 et 72 ? 6. Recherche du PGCD en utilisant la décomposition en facteurs premiers:  PGCD (60 ,48 ) PGCD(54, 90, 270 ) 7. Recherche du PPCM en utilisant la décomposition en facteurs premiers: PPCM(20,36) PPCM(14,18,24) PPCM(26, 36,90) Exercice 6 1. Déterminer le chiffre des unités de ces deux nombres 344444 et 755555. 2. Quel est le reste de la division de 345 par 26? Exercice 7 a est un entier naturel inférieur à 150. Quand on effectue la division euclidienne de a par 12, le reste est égal à 1. Quand on effectue la division euclidienne de a par 9, le reste est égal à 1. Quelles sont toutes les valeurs possibles pour a ? Exercice 8 Un fleuriste a 135 roses blanches, 120 roses rouges et 90 roses jaunes. Il veut préparer le plus grand nombre de bouquets ayant la même composition (ce qui signifie que dans chacun des bouquets il doit y avoir le même nombre de roses blanches, le même nombre de roses rouges et le même nombre de roses jaunes). Quelle composition doit-il choisir pour ses bouquets ? Exercice 9 1. Répartition de créneaux d'étude : Un étudiant souhaite planifier des sessions d'étude et de sport dans sa semaine. Il prévoit de faire : Des sessions d’étude tous les 3 jours et du sport tous les 5 jours. Si les deux activités commencent aujourd'hui (jour 0), dans combien de jours les deux activités auront-elles lieu le même jour pour la première fois ? 2. Aménagement d'une étagère de livres : L’étudiant a une étagère de 120 cm de longueur qu’il souhaite remplir de livres de 8 cm et de 12 cm de largeur, sans espace vide. Quel est le nombre maximal de livres de chaque type qu’il peut placer pour remplir toute la longueur de l’étagère ? 3. Organisation de la colocation : Dans une colocation de 4 étudiants, ils doivent partager les tâches ménagères de manière équitable. Ils souhaitent alterner les jours pour les tâches suivantes : o Sortir les poubelles tous les 4 jours. o Nettoyer les parties communes tous les 6 jours. Quel est le premier jour où les deux tâches seront effectuées le même jour, sachant que les deux tâches commencent aujourd'hui (jour 0) ? Exercice 10: (Contrôle continue 2023) Énoncé du problème : Un enfant possède plusieurs voitures miniatures, dont le nombre est inférieur à deux cent vingt. S'il ‫ لدى طفل عدة سيارات األلعاب عددها أقل من‬:‫نص المسألة‬ les aligne en rangées parallèles où chaque rangée est composée ‫ إذا رتبها في صفوف متوازية حيث يتكون‬.‫مائتين وعشرون‬ de 7 voitures, il remarque que toutes les rangées sont ‫ يالحظ أن جميع الصفوف ممتلئة‬،‫ سيارات‬7 ‫كل صف من‬ complètement remplies. S'il les réorganise en rangées parallèles ‫ وإذا أعاد ترتيبها في صفوف متوازية حيث يتكون كل‬، ‫تماما‬ où chaque rangée est composée de 11 voitures, il remarque ‫ يالحظ كذلك أن جميع الصفوف ممتلئة‬،‫ سيارات‬11 ‫صف من‬ également que toutes les rangées sont complètement remplies..‫تماما‬ Questions : ‫االسئلة‬ Page 22 sur 57  1. Montrez que si l'enfant réorganise toutes ses voitures ‫) بين أن إذا أعاد الطفل ترتيب جميع سياراته في صفوف‬1 en rangées parallèles où chaque rangée est composée de 6 voitures, alors les rangées ne seront pas toutes ‫ سيارات فإن‬6 ‫متوازية حيث يتكون كلص ف من‬ complètement remplies. ‫الصفوف لن تكون جميعا ممتلئة تماما ؟‬ 2. Si l'enfant réorganise toutes ses voitures en rangées ‫) إذا أعاد الطفل ترتيب جميع سياراته في صفوف متوازية‬2 parallèles où chaque rangée est composée de 77 voitures, toutes les rangées seront-elles complètement ‫ هل ستكون جميع‬، ‫ سيارة‬77 ‫حيث يتكون كل صف من‬ remplies ? ‫الصفوف ممتلئة تماما ؟‬ 3. Sachant que le nombre de voitures de l'enfant est ‫ فما هو‬، ‫) إذا علمنا أن عدد سيارات الطفل يتعدى المائة‬3 supérieur à 100, quel est le nombre de voitures que ‫عدد السيارات التي يمتلكها الطفل ؟‬ possède l'enfant ? Énoncé du problème : Un homme possède plusieurs balles de tennis, dont le nombre ne dépasse pas quatre cents. S'il les ‫ لدى رجل عدة كرات للتنس حيث ال يتعدى‬:‫نص المسألة‬ range toutes dans des boîtes contenant chacune 5 balles, il ‫عددها أربع مائة فإذا رتب جميعها في علب تسع كل واحدة‬ remarque que toutes les boîtes sont complètement pleines. S'il ‫ فإذا أعاد‬، ‫ يالحظ أن جميع العلب ممتلئة تماما‬،‫ كرة‬5 ‫منها‬ les réorganise dans d'autres boîtes contenant chacune 13 ‫ يالحظ كذلك‬13 ‫ترتيبها في علب أخرى تسع كل واحدة منها‬ balles, il constate également que toutes les boîtes sont pleines..‫أن جميع العلب ممتلئة تماما‬ Questions : 1. Montrez que si l'homme remet toutes ses balles dans ‫االسئلة‬ des boîtes contenant chacune 7 balles, alors toutes les boîtes ne seront pas complètement pleines. ‫) بين أن إذا أعاد الرجل ترتيب جميع كراته في علب تسع‬1 2. Si l'homme réorganise toutes ses balles dans des ‫ فإن جميع العلب لن تكون‬، ‫ كرات‬7 ‫كل واحدة منها‬ boîtes contenant chacune 65 balles, toutes les boîtes ‫ممتلئة تماما ؟‬ seront-elles pleines ? 3. Sachant que le nombre de balles que possède ‫) إذا أعاد ترتيب جميع كراته في علب تسع كل واحدة منها‬2 l'homme est supérieur à cent soixante, quel est ce ‫ هل ستكون جميع العلب ممتلئة تماما ؟‬، ‫ كرة‬55 nombre ? ‫) إذا علمنا أن عدد الكرات التي يمتلكها الرجل يتعدى‬3 ‫ فما هو هذا العدد؟‬، ‫المائة وستون‬ Exercice 11 (Contrôle continue 2023) Énoncé du problème : Si vous savez que nous sommes ‫ و‬.2123 ‫ دجنبر‬11 ‫ إذا علمت أن اليوم هو االحد‬:‫نص المسألة‬ le dimanche 10 décembre 2023, et que le mois d'octobre ‫ يو ًما ؛‬31 ‫ ونوفمبر يتألف من‬،‫ يو ًما‬31 ‫أن شهرأكتوبر يتألف من‬ a 31 jours, novembre a 30 jours, décembre a 31 jours et ‫ يو ًما باإلضافة‬31 ‫ يو ًما ويناير يتألف من‬31 ‫ديسمبر يتألف من‬ janvier a 31 jours, de plus, l'année 2024 est une année bissextile, ce qui signifie que le mois de février de cette ‫ حيث أن شهر فبراير من هذه‬، ‫ هي سنة كبيسة‬2122 ‫الى أن سنة‬ année a 29 jours..‫ يو ًما‬22 ‫السنة يتألف من‬ Questions : ‫االسئلة‬ 1. Quel est le nom du premier jour du mois de mars 2026 ? ‫؟‬2125 ‫) ما هو إسم اليوم األول من شهر مارس‬1 2. Quelle est la date du premier vendredi du mois de février 2027 ? 2127 ‫) ما هو تاريخ الجمعة األولى من شهر فبراير‬2 Exercice 12 Un grossiste en cosmétiques dispose d'un stock de 6000 savons 4000 savonnettes 3500 shampoings et 2000 eau de toilette. Pour écouler tout le stock il veut composer le maximum de coffrets identiques (lots identiques composés des produits du stock). 1) Quel nombre de coffrets identiques peut-il confectionner et selon quelle composition ? 2) Cette solution ne le satisfait pas car le coffret comporte alors trop de produit. Il décide de créer le plus grand nombre possible de coffrets en acceptant un reste de stock pour un seul article. Dans ce coffret il y aura au minimum 1 article de chaque sorte. Quelle composition pourrait-il choisir ? Quel article resterait-il alors en surplus et dans quelle quantité ? 1) Les ensembles de nombres : Page 23 sur 57  Les nombres réels sont un ensemble très vaste qui contient plusieurs types de nombres, que l'on divise généralement en différentes catégories. Les plus importantes sont les suivantes : a  ℚ (Les nombres rationnels) : Un nombre est rationnel s'il peut être écrit sous la forme b, où a et b sont des entiers relatifs, avec b ≠ 0. Les nombres rationnels incluent des fractions comme 2 5 , − 4, et aussi les entiers (car on peut les écrire sous forme de fraction avec un dénominateur 3 4 égal à 1 , par exemple 4 = 1 ). Exemple: 75 3 0,75 = 100 = 4 (un nombre rationnel).  𝔻 (Les nombres décimaux) : L'ensemble des nombres décimaux à écriture finie correspond aux nombres rationnels décimaux terminés. Il s'agit des nombres qui peuvent être écrits avec un nombre fini de chiffres après la virgule, par exemple 1.251, 3.53 ou 0.75. Ils sont toujours des nombres rationnels. Un nombre décimal est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (10n avec n entier positif ou nul). 𝒂 o Elle a la forme de 𝟏𝟎𝒏 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒂 ∈ 𝒁, 𝒆𝒕 𝒏 ∈ 𝑵. 𝟑𝟓 𝟔𝟓 o Exemple : 3,5= , 0,65= 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟐  ℝ (Les nombres réels) : Cet ensemble inclut tous les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Les irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être écrits sous forme de a fraction b, par exemple √2 ou π. Ces nombres ont une expansion décimale infinie et non périodique. Exemple: π ≈ 3,14159 est un nombre réel irrationnel. 2) Les ensembles Q, D a) Fractions équivalentes 𝑎 𝑘×𝑎 𝑎 Soit 𝑏 une fraction. Les fractions de type 𝑘×𝑏 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ≠ 0 ) sont équivalentes à la fraction 𝑏 et elles 𝑘×𝑎 𝑎 représentent le même nombre rationnel. Ainsi, 𝑘×𝑏 = 𝑏. 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 Soit 𝑒𝑡 deux fractions. 𝑒𝑡 sont équivalentes si et seulement si 𝑎 × 𝑑 = 𝑏 × 𝑐. 𝑏 𝑑 𝑏 𝑑 𝑎 On dit qu'une fraction 𝑏 est irréductible si a et b n'ont pas de diviseur commun strictement supérieur à 1 (PGCD(a,b)=1, en d'autres mots: on ne peut pas la simplifier) b) Manipulation des fractions : Pour les nombres rationnels, les opérations de base se font souvent sur des fractions :  Addition et soustraction de fractions :Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. Si ce n’est pas le cas, il faut d'abord les mettre au même dénominateur. 𝟏 𝟏 Exemple d'addition : +. Le dénominateur commun est 6 (le plus petit commun multiple de 2 et 3 ). 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐  On réécrit les fractions : = 𝟔 𝐞𝐭 = 𝟔. 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟓  On additionne les numérateurs : + = 𝟔. 𝟔 𝟔 𝟓 𝟏 Exemple de soustraction : −. Le dénominateur commun est 12. 𝟔 𝟒 𝟓 𝟏𝟎 𝟏 𝟑  On réécrit les fractions: = 𝟏𝟐 𝐞𝐭 = 𝟏𝟐. 𝟔 𝟒 𝟏 𝟑 𝟕  On soustrait les numérateurs : − 𝟏𝟐 = 𝟏𝟐. 𝟏𝟐  Multiplication de fractions :Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Exemple: Page 24 sur 57  𝟐 𝟒 𝟐×𝟒 𝟖 × = = 𝟑 𝟓 𝟑 × 𝟓 𝟏𝟓  Division de fractions : Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde. Exemple: 𝟐 𝟒 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 𝟓 ÷ = × = = 𝟑 𝟓 𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝟔 c) Passage d’une forme d’écriture à une autre. i. Pour passer d’une écriture fractionnaire à l’écriture décimale, il suffit d’effectuer la division du 7 numérateur par le dénominateur. Par exemple, 5 = 1,4 ii. Pour passer de l’écriture décimale à une écriture fractionnaire, il faut passer par des transformations algébriques qui mènent vers une résolution d’équations :  Nombres décimaux finis : Un nombre décimal fini peut être écrit comme une fraction où le dénominateur est une puissance de 10. 𝟕𝟓 𝟑 Exemple : 𝟎, 𝟕𝟓 = =𝟒 𝟏𝟎𝟎  Nombres décimaux périodiques :Un nombre décimal périodique est un nombre dont une partie de la décimale se répète indéfiniment. Exemple1 : 𝟎, 𝟑 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑 …  Pour convertir 0, 3 en fraction, on pose : 𝒙 = 𝟎, 𝟑  On multiplie par 10 pour décaler la virgule : 𝟏𝟎𝒙 = 𝟑, 𝟑 𝟏  En soustrayant les deux équations : 𝟏𝟎𝒙 − 𝒙 = 𝟑 ⇒ 𝟗𝒙 = 𝟑 ⇒ 𝒙 = 𝟑. Exemple2 : le nombre x=𝟎, 𝟏𝟐𝟑𝟒 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 …, où le chiffre "4" est répété indéfiniment, mais commence seulement au troisième chiffre après la virgule. Cela signifie que la partie non périodique est "123" et la partie périodique est "4".  Posons l'équation de départ :𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟒𝟒𝟒 …  Multiplions par 103 (soit 1000 ) pour déplacer la virgule juste après la partie non périodique: 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙 = 𝟏𝟐𝟑, 𝟒𝟒𝟒𝟒 … Puis, multiplions par 104 (soit 10,000 ) pour faire apparaître la même partie périodique après la virgule : 𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒙 = 𝟏𝟐𝟑𝟒, 𝟒𝟒𝟒𝟒 …  Soustrayons ces deux équations pour éliminer la partie périodique : 𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙 = 𝟏𝟐𝟑𝟒, 𝟒𝟒𝟒𝟒 … − 𝟏𝟐𝟑, 𝟒𝟒𝟒𝟒 … Ce qui donne :𝟗𝟎𝟎𝟎𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏  Résolvons pour 𝑥 : 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒙= 𝟗𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏 Ainsi, 𝟎, 𝟏𝟐𝟑𝟒 = 𝟗𝟎𝟎𝟎. d) Représentation sous différentes écritures : Un nombre peut être représenté sous plusieurs formes : 𝟓  Écritures Fractionnaire : 𝟐  Écritures décimale propre : 2,5 (avec un nombre fini de chiffres après la virgule).  Écritures décimale impropre : 𝟎, 𝟑𝟑𝟑 … (où les chiffres après la virgule sont répétés indéfiniment) 𝟏 est l'écriture décimale impropre de la fraction. 𝟑 Page 25 sur 57  3) Les nombres réels a) Nature d'un nombre réel : Il est utile de savoir classer un nombre en fonction de sa nature.  Entiers relatifs : −3, −2, −1,0,1,2,3, …  Rationnels non décimaux : Nombres sous forme de fraction non réductible qui ne sont pas décimaux, par 7 exemple 3.  Décimaux non entiers : Nombres décimaux qui ne sont pas des entiers, comme 2,75.  Irrationnels : Nombres non rationnels avec un développement décimal infini et non périodique, comme √2. b) La valeur absolue d’un nombre réel : Soit x un nombre réel, la valeur absolue de x, notée, |𝑥| est un nombre positif tel que: |𝑥| = 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝒆𝒕 |𝑥| = −𝑥 𝑠𝑖 0 ≥ 𝑥 c) La racine carré d'un nombre réel positif : Soit x un réel positif. La racine carré de x notée par √𝒙 est un réel positif dont le carré est égale à 𝑥: √𝒙 × √𝒙 = 𝒙 Remarque: la racine carré d'un nombre négatif n'est pas définie (n'existe pas). Propriétés : 1) Soient a et b deux nombres réels positifs ou nuls.  √𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏. Ce résultat n’est pas vrai pour a et b quelconques. √𝑎 𝑎  = √𝑏 , 𝑏 ≠ 0 √𝑏 𝑛  √𝑎𝑛 = (√𝑎) , 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ 2 2) ∀𝑥 ∈ 𝑅 √𝑥 2 = |𝑥| 𝑒𝑡 (√𝑥) = 𝑥 3) 𝑥 2 = 𝑎 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑥 = √𝑎 𝑜𝑢 𝑥 = −√𝑎 d) Encadrement et Approximations d’un Nombre Réel.  Encadrement d'un nombre réel Pour un réel 𝑥 et deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝒂 < 𝒙 < 𝒃, l'expression 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 représente un encadrement de 𝑥.  Amplitude de cet encadrement : 𝒃 − 𝒂. 𝒃−𝒂  Incertitude de l'encadrement: 𝜺 =. 𝟐  𝒂 est la valeur approchée par défaut de 𝒙 (sous-estimation).  𝒃 est la valeur approchée par excès de 𝒙 (surestimation). 𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆 : Supposons qu'on cherche à encadrer le nombre réel 𝑥 = 3.56. L'encadrement de 𝑥 est donné par 3.5 < 𝑥 < 3.6.  Amplitude de cet encadrement : 𝑏 − 𝑎 = 3.6 − 3.5 = 0.1. 𝑏−𝑎 0.1  Incertitude de l'encadrement : 𝜀 = 2 = 2 = 0.05. Dans cet encadrement:  3.5 est la valeur approchée par défaut de 𝑥, c'est une estimation qui est inférieure ou égale à 𝑥.  3.6 est la valeur approchée par excès de 𝑥, c'est une estimation qui est supérieure ou égal à 𝑥.  Règle d'arrondissement Pour arrondir un nombre, on choisit le nombre de décimales voulu, puis :  On coupe les chiffres après la 𝑛-ème décimale.  Si le chiffre qui suit est 5 ou plus, on augmente le 𝑛-ème chiffre d'une unité. Exemple :Arrondir 3.56789 à deux décimales.  Après la deuxième décimale, on a 3.56789.  Puisque le chiffre suivant est 7 (supérieur à 5 ), on arrondit la deuxième décimale vers le haut.  Résultat: 3.57.  Troncature d'un nombre La troncature consiste à supprimer les chiffres après une certaine décimale sans les modifier. Exemple :Tronquer 5.6789 à deux décimales.  On coupe après la deuxième décimale sans arrondir. Page 26 sur 57   Résultat : 5.67.  Encadrement d'un nombre irrationnel Il existe plusieurs méthodes pour encadrer un nombre irrationnel de façon rigoureuse, particulièrement en utilisant des inégalités et des calculs de valeurs approchées. Voici une méthode classique pour encadrer un nombre irrationnel : Utilisation des Inégalités Cette méthode repose sur des inégalités pour encadrer le nombre irrationnel par des valeurs rationnelles. Exemple avec √2 : On sait que 1.412 = 1.9881 et 1.422 = 2.0164. Par conséquent, on peut dire que 1.41 < √2 < 1.42. Cette approche peut être affinée en prenant des valeurs intermédiaires. Ainsi, on écrit √2 ≈ 1.41 (en indiquant que ≈ est une approximation). Importance de la notation Distinguons bien entre :  Une valeur exacte : par exemple, 2+3=5 (utilisation du signe « = »).  Une valeur approchée : par exemple, π ≈ 3.14 (utilisation du signe « ≈» pour indiquer l'approximation). Série 4 (Ensembles des nombres Q, D, R) Exercice 1: 1) Déterminer la nature de chacun des nombres suivants (décimal, rationnel non décimal ou irrationnel) ? 3 4 91 2 5 3 22 5 33 1 4 ; ; 5,0 ; 4, 9̅ ; ; ; ; ; 3,14; ; ; ; √2 ; 0,33; 0,5; ; ; 0,3838383; 5 7 7 10 37 64 7 125 15 3 4 √8 ̅̅̅̅̅ 0,2312 ̅̅̅̅̅ ; 𝜋 ; 0,5312 ; 12, 9̅ ; √2 ̅̅̅̅̅ 0,1312 3 2°) Est-ce vrai ou faux ? 7 = 0,4285714285 1 3) Quel est le plus grand nombre décimal inférieur à 3? 4)Trouver trois nombres non décimaux situés entre 1,98 et 1,99. Exercice 2 : Donner le développement décimal des fractions suivantes et en préciser la période: 111 232 147 a) 9 , b) 33 , c) − 14. Exercice 3: Mettre les nombres suivants sous forme d'une fraction irréductible, puis décider s'il s'agit de nombres décimaux ou non: 0,4 1) 0,3 7 23 − 2 2) 0,15 ̅ 1,3 3) (0,2)3 3 4− 2,1 5) 1 2,5+ 2 2 6) 4, 6̅ − (−9)8 × 275 1212 ×2121 7) 77 ×1414 ×1515 Page 27 sur 57  Exercice 4: Déterminer la nature d es nombres A, B, C et D ci-dessous 4 3√8 + √2 (2 × 3−3 )3 3 −2 𝐵= 𝐶= 𝐷= 𝐴= 3 3−8 1 1 √2 √3 − 3 9 Exercice5 Trouver l’écriture fractionnaire irréductible du nombre dont la représentation décimale est : ̅̅̅̅. a) 1,318 b) 1,56312 ̅̅̅̅. c) −0,03̅. ̅̅̅̅ + 1,56312 d) Effectuer les calculs suivants : 1,318 ̅̅̅̅ et 1,56312 ̅̅̅̅ − 0,03̅. Exercice 7 Comparer les nombres suivants et compléter par l'un des symboles 𝑜𝑢 𝑝𝑎𝑟 = a)−0, ̅̅̅̅̅ 001 et b)2,455635̅̅̅̅̅ c) −3,129̅ 𝑒𝑡 − 3,13 d) 1 𝑒𝑡 3 e) 𝜋 22 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 0,333 7 −0,001 𝑒𝑡 2,4563 π≈3,1415926535897 Exercice 8 1. Quel est le 2012ieme chiffre derrière la virgule du développement décimal périodique : 8 a. de 13 8 b. de × 10−2 13 8 c. de 13 × 1025 Exercice 9 Dans un gâteau, le sucre représente un-cinquième des ingrédients. La quantité de farine est égale aux trois- cinquièmes de la quantité de sucre et le reste est composé de yaourt. 1. Quelle fraction de la recette est composée de yaourt ? 2. Sachant qu’il y a 540 g d’ingrédients au total, calculer la masse de chaque ingrédient. Exercice 10 A la fin du secondaire collégial on constate que la moitié des élèves entre aux troncs communs scientifiques et technologiques, 5/12 des élèves entrent au tronc commun littéraire et le reste des autres élèves redoublent. 1) Calculer la fraction des élèves qui redoublent. 2) Calculer la fraction des élèves ont réussi l'examen final du secondaire collégial. Exercice 11 1) Allal gagne 2 8600 Dh pour le mois de Novembre. Les impôts et assurances représentent le quart de son revenu. Sur le reste, il dépense 3/20 pour se loger, 4/15 pour la nourriture et 1/5 pour sa voiture. Quel est le montant de chacune des dépenses ? 2) Quand Mohammed, Sur son budget mensuel, un tiers est utilisé pour payer son loyer, un septième pour ses frais de transports. Il lui reste alors 660 Dhs. Quel est le budget mensuel de Mohammed? Page 28 sur 57 Les mathématiques ne se limitent pas à des nombres et des opérations ; elles servent aussi à modéliser des situations concrètes et résoudre des problèmes complexes. Les équations, inéquations, et systèmes sont des outils fondamentaux qui permettent de traduire des problèmes réels en langage mathématique. Une fois modélisé, le problème peut être résolu pour trouver des solutions concrètes, qu’il s’agisse de déterminer un coût, une distance, ou une décision optimale. 1. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques. Lorsqu'elle contient une seule variable (inconnue) et qu’elle est de degré 1, sa résolution consiste à isoler cette variable. Par exemple :2x+3=0. Ici, nous cherchons x en manipulant l'équation pour simplifier chaque côté. 2. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue Une inéquation est similaire à une équation, mais elle établit une relation d’ordre (, ≤, ≥) entre deux expressions. Résoudre une inéquation consiste à trouver l'ensemble des valeurs possibles pour l'inconnue. Par exemple :3x−5≤10. Nous cherchons les valeurs de x qui vérifient cette relation. 3. Résoudre des systèmes d’équations ou d’inéquations Un système contient plusieurs équations ou inéquations simultanées. La résolution consiste à trouver les valeurs qui satisfont toutes les relations en même temps. Les méthodes de résolution incluent la substitution, la combinaison linéaire, ou encore la représentation graphique. 𝒙+𝒚−𝟑 = 𝟎 Exemple d’un système d’équations : { 𝒙 − 𝒚 = 𝟎 4. Appliquer ces concepts à des situations réelles Souvent, des problèmes concrets peuvent être traduits en équations, inéquations ou systèmes. Par exemple : o Calculer combien de temps il faut pour remplir un réservoir. o Déterminer les prix de deux articles à partir d’un total et d’une différence. o Optimiser la production d’une usine en respectant certaines contraintes. Importance de ces notions : Les équations et inéquations sont des outils incontournables pour développer une pensée logique et résoudre des problèmes complexes. Ils trouvent des applications variées dans les domaines de la physique, l'économie, la biologie, et bien plus encore. Grâce à eux, nous pouvons passer du monde abstrait des mathématiques à des solutions tangibles et utiles au quotidien. Page 29 sur 57 1) Vocabulaires : a) Inconnue : est une grandeur ou un nombre dont on ne connait pas la valeur. Une inconnue est généralement représentée par une lettre x, y, z, etc. b) Equation : c’est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombres inconnus (dont on ne connait pas la valeur).. Ces nombres inconnus sont désignés par des lettres. Exemples : 2x + 5 = 7 ; 3x + 1 = x + 3 ; x 2 − 1 = 3 + x 2) Définition Une équation du premier degré à une inconnue est une équation mettant en jeu des nombres relatifs et l’inconnue à la puissance 1. Toute équation de premier degré à une inconnue a la forme générale suivante : 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 ∈ 𝑅 𝑒𝑡 𝑏 ∈ 𝑅 Dans une équation du 1er degré à une inconnue, les expressions situées de part et d’autre du symbole égal sont appelées les membres de l’équation. 1 Exemple: 2𝑥 + 3 + 5 = 0 ; 𝑥 − 7 = 2𝑥 + 3 ; 2 𝑥 + 5 = 2 3) Résoudre une équation du premier degré d’inconnue x a) Définition 1 : Résoudre une équation signifie «trouver Toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’égalité ». Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation. b) Définition 2 : Deux équations du premier degré à une inconnue sont dites équivalentes si elles admettent les même solutions. Méthodes de résolution d’une équation du premier degré à une inconnue :  Propriété 1 : Lorsqu’on ajoute ou lorsqu’on soustrait un même nombre à chacun des membres d’une équation, on transforme l’équation en une équation équivalente.  Propriété 2 : Lorsqu’on multiplie ou lorsqu’on divise par un même nombre non nul chacun des membres d’une équation, on transforme l’équation en une équation équivalente. Exemple : Résoudre dans R l’équation : 2 × 𝑥 + 28 = 60 1) on retranche le nombre 28 des deux membres de l’égalité et on obtient : 2𝑥 + 28 − 28 = 60 − 28, ce qui donne 2𝑥 = 32 2×𝑥 32 2) On divise les deux membres de l’égalité par 2 et on obtient : 2 = 2 , ce qui donne 𝑥 = 16. Ainsi l’ensemble S des solutions de cette équation : S={16} 4) Application : Résolution d’un problème à l’aide d’une équation du premier degré: Ahmed a acheté un porte document et deux stylos bleus de même type. Le porte document coute 28 dhs. Ahmed paye en tout 60 dhs. Déterminer le prix que Ahmed a payé pour un seul stylo. Pour résoudre ce problème, on pose x le prix d’un seul stylo. Dans ce cas, l’énoncé du problème peut se traduire par l’équation suivante : 2𝑥 + 28 = 60 La résolution de l’équation nous donne : x=16. Ainsi le prix d’un stylo est 16 dhs. De manière générale, l résolution d'un problème par l’algèbre peut se décomposer en quatre parties: 1°) Choix de la ou des inconnues: On doit choisir les inconnues de façon que leur détermination entraîne la solution du problème. 2°) Mise en équation: Elle consiste à traduire l’énoncé par une ou plusieurs égalités entre les données et les inconnues. Il faut rechercher également les conditions pour que toute solution trouvée soit celle du problème. 3°) Résolution des équations: La résolution de l’équation c’est la partie purement mathématique du problème. Page 30 sur 57 4°) Discussion du problème: C’est vérifier chaque solution trouvée satisfait aux conditions imposées par l’énoncé du problème. 1) Définitions : On appelle inéquation à une inconnue une inégalité qui n’est vérifiée que pour certaines valeurs de cette inconnue, dont on se propose de déterminer les valeurs. Exemples : Inéquations du 1er degré : x − 3 < 5x + 1 et 5x − 7 > 0  Toute inéquation du premier degré peut se mettre sous l’une des formes suivantes : 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0 , 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 , 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 , 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0  Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les solutions de cette inéquation ; toutes les valeurs qui vérifient l’inégalité de l’inéquation. Résoudre une inéquation dans R, c’est déterminer l’intervalle ou l’union d’intervalles des valeurs de l’inconnue qui vérifient celle-ci. 2) Règles de résolution Comme pour l’équation du 1er degré, la résolution d’une équation du 1er degré se fait en deux étapes : isoler l’inconnue puis diviser lorsque cela est possible. On a ainsi les deux règles suivantes : Règle 1 : Si l’on ajoute ou retranche un même nombre à chaque côté de l’inégalité, l’inégalité ne change pas. Règle 2 : si l’on multiplie ou divise par un même nombre positif chaque côté de l’inéquation, l’inégalité ne change pas. Par contre, on inverse la relation d’ordre si l’on multiplie ou divise par un même nombre négatif chaque côté de l’inéquation. Exemple : Résoudre dans R, l’inéquation suivante : 5x-7 −𝑏. D’après la règle 2 : 𝑎𝑥 > −𝑏 ⇔ 𝑥 > − 𝑎 Donc, Nous pouvons alors résumer les résultats dans un tableau de signe : Si a>0 𝑥 −∞ 𝑏 +∞ − 𝑎 𝑎𝑥 + 𝑏 − 0 + 𝑏 Si a 0 ⇔ 𝑎𝑥 > −𝑏 ⇔ 𝑥 < − 𝑎. Donc, Nous pouvons alors résumer les résultats dans un tableau de signe : Si a 0, la quantité 𝑎𝑥 + 𝑏 sera d’abord négative (−signe de a), nulle puis positive (signe de a). 𝑆𝑖 𝑎 < 0, la quantité 𝑎𝑥 + 𝑏 sera d’abord positive (−signe de a), nulle puis négative (signe de a). On peut ainsi résumé les deux cas de figure dans un tableau. 𝑥 −∞ 𝑏 +∞ − 𝑎 𝑎𝑥 + 𝑏 −𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑎 0 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑎 3) Inéquations se ramenant au premier degré  Résolutions d’inéquations par une factorisation Exemple : Résoudre l’inéquation suivante : (𝟓𝒙 + 𝟐)(𝟑 − 𝟐𝒙) > 𝟎 Le problème revient à déterminer les valeurs de x pour lesquelles un produit de facteurs est positif ou nul. Si on se réfère à la règle des signes, le produit est positif si et seulement si les deux facteurs sont du même signe (soit tous les deux positifs, soit tous les deux négatifs). : Chercher le signe de (5𝑥 + 2)(3 − 2𝑥) 𝑥 −∞ 2 3 +∞ − 5 2 (5𝑥 + 2) − 0 + + (3 − 2𝑥) + + 0 − (5𝑥 + 2)(3 − 2𝑥) − 0 + 0 − Il ne nous reste plus qu’à choisir les valeurs de x pour lesquelles notre produit (5𝑥 + 2)(3 − 2𝑥) est positif ou nul. En regardant la dernière ligne du tableau puis en se reportant à la première pour trouver les valeurs de x correspondantes, on observe : 2 3 2 3 (5𝑥 + 2)(3 − 2𝑥) > 0 ⇔ 𝑥 ∈] − , [ et On conclut par : S =] − , [ 5 2 5 2 1) Définition Soient 𝑎,𝑏,𝑐,𝑎’,𝑏’ et c’ des nombres réels tels que 𝑎 , 𝑏, 𝑎’ et 𝑏’sont non tous nuls. Un système d’équations du premier degré à deux inconnues 𝑥 et 𝑦 est un système de la forme : ax + by = c { a’x + b′y = c Résoudre le système, revient à trouver tous les couples (x, y) solutions des deux équations. Exemple : x + 2y = 4 résoudre { x − 2y = 0 2) Résolution d’un système d’équations  Résolution par substitution : Pour résoudre un système par substitution : a) On utilise l’une des équations pour exprimer une des inconnues en fonction de l’autre. b) Dans l’autre équation, on remplace cette inconnue par son expression exprimée en 1) et on obtient une équation à une inconnue qu’on résout. c) Dans l’équation obtenue au 1), on remplace l’inconnue par la valeur trouvée et on trouve la deuxième inconnue. d) On donne la solution du système. x – 3y = 5 Exemple : Pour résoudre par substitution dans RxR le système :{ 3x + 2y = 4 1) On exprime 𝑥 en fonction de 𝑦 dans la première équation et on obtient l’équation : Page 32 sur 57  𝑥 = 5 + 3𝑦. 2) On remplace 𝑥 par sa nouvelle expression dans la deuxième équation pour obtenir l’équation suivante : 3(5 + 3𝑦) + 2𝑦 = 4 ; 𝑑𝑜𝑛𝑐 15 + 9𝑦 + 2𝑦 = 4 ; 𝑑’𝑜ù 15 + 11𝑦 = 4 11𝑦 = − 11 ; 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑦 = − 1. 3) D’après le 1), 𝑥 = 5 + 3(− 1) = 5 – 3 = 2. 4) Ainsi, la solution du système est le couple (2 ; − 1). Ainsi, 𝑆 = [(2 ; −1)}  Résolution par combinaison : Pour résoudre un système par combinaison 1) On choisit l’inconnue que l’on veut éliminer, par exemple 𝑥. 2) On multiplie les deux membres de l’une des équations (ou les deux équations, si nécessaire) par des coefficients de sorte que la variable 𝑥 ait des coefficients opposés. 3) On additionne membre à membre les deux nouvelles équations obtenues en 2) et on obtient une nouvelle équation du premier degré à une inconnue 𝑦. 4) On résout l’équation en 3), et on trouve la valeur de y. 5) On élimine la deuxième inconnue en suivant les étapes énoncées précédemment. 6) On donne la solution du système. x – 3y = 5 Exemple : Pour résoudre par substitution le système :{ 3x + 2y = 4 1) On choisit d’éliminer 𝑥. 2) On multiplie les deux membres de la première équation par 3 et ceux de la deuxième par –1. On obtient le 3x – 9y = 15 système suivant : { −3x − 2y = − 4 3) On additionne membre à membre ces deux équations pour obtenir l’équation suivante : −11𝑦 = 11. 4) On résout l’équation −11𝑦 = 11. Donc 𝑦 = −1. 5) On va éliminer y. On multiplie les deux membres de la première équation par 2 et ceux de la deuxième par 3. 2x – 6y = 10 On obtient le système suivant : { 9x + 6y = 12 On additionne membre à membre ces deux équations pour obtenir l’équation suivante : 11𝑥 = 22. 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑥 = 2. 6) Ainsi la solution du système est le couple (2 ; −1). Ainsi, 𝑆 = [(2 ; −1)} 𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 = 𝐜  Résolution graphique : Pour résoudre graphiquement un système de deux équations { 𝐚′𝐱 + 𝐛′𝐲 = 𝐜′ on trace les deux droites (D) et (D’) d’équations respectives : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑒𝑡 𝑎’𝑥 + 𝑏′𝑦 = 𝑐’ dans un même repère. Trois cas de figure se présentent : Si les deux droites se coupent en un point, alors le couple de coordonnées de ce point est la solution du système. Si les deux droites sont parallèles disjointes, alors le système n’a pas de solution. Si les deux droites sont confondues, alors le système admet une infinité de solutions. Dans ce cas, les solutions sont les couples de coordonnées de tous les point de (D) ou (D’). Exemple Page 33 sur 57  Pour résoudre graphiquement le système : x – 3y = 5 { 3x + 2y = 4 on trace les droites (D) et (D’) d’équations respectives 𝑥 − 3𝑦 = 5 𝑒𝑡 3𝑥 + 2 𝑦 = 4. (D) et (D’) se coupent au point A de coordonnées (2 ; −1). Donc le couple (2 ; −1). est la solution du système. 1) Définition On appelle système d’inéquations du premier degré dans ℝ × ℝ un système constitué de plusieurs inéquations du premier degré dans ℝ × ℝ. Résoudre un tel système, c’est trouver tous les couples de nombres qui vérifient toutes les inéquations (en même temps). Exemple 𝑥− 𝑦 +30 2) Résolution graphique Pour résoudre graphiquement un système de deux inéquations du premier degré dans ℝ×ℝ, 1) On trace, dans un même repère, la droite associée à chaque inéquation ; 2) On colorie (ou hachure) les demi-plans qui correspondent aux solutions de chaque inéquation ; L’ensemble des solutions du système est l’intersection des deux demi-plans coloriés (ou hachurés). Exemple Pour résoudre graphiquement le système d’inéquations suivant 𝑥− 𝑦 +3 0 1. On trace, dans un même repère, (D) et (D’) d’équations respectives : 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 𝑒𝑡 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0. 2. On colorie les demi-plans qui correspondent aux solutions de chaque inéquation. L’ensemble de solutions est la partie coloriée deux fois 1) Méthode de résolution Pour résoudre un problème conduisant à une équation, une inéquation, un système d’équations ou un système d’inéquations du premier degré dans ℝ×ℝ, on peut procéder comme suit : 1) Choisir les inconnues ; Page 34 sur 57  2) Mettre le problème en équations ou en inéquations [traduire les données de l’énoncé en langage mathématique par une (ou des) équation(s)ou inéquation(s)] ; 3) Résoudre l’équation, l’inéquation ou le système en utilisant une méthode appropriée; 4) S’assurer que la (ou les) solution(s) trouvée(s) vérifie(nt) bien l’équation, l’inéquation ou le système ; 5) Conclure en interprétant le résultat trouvé.  Exemple 1 : problème se ramenant à un système d équations Un organisateur propose les tarifs suivants à un spectacle : -1 000 dhs pour les adultes - 500 dhs pour les enfants. A la fin du spectacle il fait une recette totale de 120 000 dhs pour 205 tickets vendus. Déterminons le nombre d’adultes et celui d’enfants ayant assisté au spectacle. 1) On désigne par " le nombre d’adultes et par y celui d’enfants ayant assisté au spectacle. 2) On traduit les expressions suivantes en mathématiques : a) Le nombre total de tickets vendus est 205. On trouve : x + y = 205. b) La recette totale est égale à 120 000 f. On trouve : 500x + 1 000y = 120 000. On obtient le système d’équations du premier degré dans R × R suivant : x + y = 205 { 500x + 1 000y = 120 000 3) On résout le système d’équations (par combinaison). En multipliant les deux membres de la première équation par %1, on obtient : On additionne membre à membre ces deux équations pour obtenir l’équation suivante : y=35. Donc y=35 −2𝑥 − 2𝑦 = −410 En miltipliant les deux membres de la première équation par −2, on obtient : {. 𝑥 + 2𝑦 = 240 On additionne membre ces deux équations pour obtenir l’équation suivante : −𝑥 = −170. 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑥 = 170. La solution du système est le couple (170, 35) Conclusion : il y a 170 enfants et 35 adultes qui ont assité au spectacle.  Exemple 2 : : problème se ramenant à un système d’inéquations La compagnie Montrex se spécialise dans la fabrication de deux types de montres: un modèle A (automatique) et un modèle F (fluorescent). Durant une journée, il y a 3 heures de disponibles pour l’utilisation de la machinerie et 7 heures de disponibles pour la bijouterie. Le modèle A exige 1,5 heure de machinerie et 1 heure de bijouterie, alors que le modèle F exige 0,5 heure de machinerie et 2 heures de bijouterie. Mathématise ces contraintes. Réponse : Le tableau ci-dessous représente les données du problème On sait que le temps maximum de la machinerie par jour est 3 et celui de la bijouterie est 7. On sait aussi que le type A exige 1,5 de temps en machinerie et que le type F 0,5h. Soit 𝑥𝐴 le nombre de montre de type A à fabriquer et 𝑥𝐹 celui de type F. Le temps d’utilisation de la machinerie 𝑇𝑀 est réparti sur les deux types de montres de la façon suivante : 1,5𝑥𝐴 + 0,5𝑥𝐹 = 𝑇𝑀 et on sait aussi que 𝑇𝑀 ≤ 3. Donc 1,5𝑥𝐴 + 0,5𝑥𝐹 ≤ 3 Page 35 sur 57  De même, Le temps d’utilisation de la bijouterie 𝑇𝐵 est réparti sur les deux types de montres de la façon suivante : 1𝑥𝐴 + 2𝑥𝐹 = 𝑇𝐵 et on sait aussi que