Programme de Mathématiques Cycle 2 - Enseignement Primaire et Secondaire PDF

Enseignements primaire et secondaire Programme de mathématiques du cycle 2 Sommaire Principes Nombres, calcul et résolution de problèmes Cours préparatoire Les nombres entiers Les quatre opérations Le calcul mental Mémoriser des faits numériques Utiliser ses connaissances en numérat...

Enseignements primaire et secondaire Programme de mathématiques du cycle 2 Sommaire Principes Nombres, calcul et résolution de problèmes Cours préparatoire Les nombres entiers Les quatre opérations Le calcul mental Mémoriser des faits numériques Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement Apprendre des procédures de calcul mental La résolution de problèmes Cours élémentaire première année Les nombres entiers Les fractions Les quatre opérations Le calcul mental Mémoriser des faits numériques Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement Apprendre des procédures de calcul mental La résolution de problèmes Cours élémentaire deuxième année Les nombres entiers Les fractions Les quatre opérations Le calcul mental Mémoriser des faits numériques Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement Apprendre des procédures de calcul mental La résolution de problèmes Grandeurs et mesures Cours préparatoire Les longueurs et les masses Les longueurs Les masses La monnaie Le repérage dans le temps Cours élémentaire première année Les longueurs et les masses Les longueurs Les masses La monnaie Le repérage dans le temps et les durées Cours élémentaire deuxième année Les longueurs, les masses et les contenances Les longueurs Les masses Les contenances La monnaie Le repérage dans le temps et les durées Espace et géométrie Cours préparatoire Les solides La géométrie plane Le repérage dans l’espace Cours élémentaire première année Les solides La géométrie plane Le repérage dans l’espace Cours élémentaire deuxième année Les solides La géométrie plane Organisation et gestion de données Cours préparatoire Cours élémentaire première année Cours élémentaire deuxième année Principes Tout comme l’ensemble des domaines du cycle 2, l’enseignement des mathématiques participe à établir les savoirs fondamentaux des élèves dans le cadre d’un enseignement explicite, structuré et progressif. Dans la continuité de l’enseignement dispensé à l’école maternelle, l’enseignement des mathématiques au cycle 2 repose sur une approche menant progressivement du concret à l’abstrait, en passant par la représentation imagée. Les élèves manipulent des objets tangibles (matériel de numération, surfaces de différentes formes représentant des fractions, bandes de papier, ficelles, monnaie fictive, etc.) pour s’approprier de manière concrète le sens de notions mathématiques (numération, fractions, nombres décimaux, etc.) et de procédures qui s’y appliquent (comparaison, ajout, retrait, groupement, partage, etc.). Ils passent ensuite à la représentation schématisée de ces objets et de ces actions, avant d’accéder au langage mathématique (écriture décimale ou fractionnaire, symboles opératoires ou géométriques, etc.). Ce passage progressif du concret à l’abstrait suscite cependant plusieurs points de vigilance. Tout d’abord, si la manipulation est un passage essentiel, la réussite d’une activité manipulatoire ne suffit cependant pas pour attester de la compréhension de la notion mathématique qui la sous-tend. Pour que les phases de manipulation et de représentation permettent l’accès à l’abstraction, il importe notamment que les procédures et les raisonnements engagés soient verbalisés, à la fois par les élèves eux-mêmes, avec leurs propres mots, et par l’enseignant, avec le vocabulaire adapté. Le programme fournit des exemples de matériel de manipulation, de représentations schématisées et de procédures verbalisées. Par ailleurs, la manipulation est un étayage à la compréhension et à la modélisation, mais l’objectif final est de s’en abstraire, sachant que la durée nécessaire au recours à la manipulation varie d’un élève à l’autre, d’une situation à l’autre. Pour un problème donné, certains élèves peuvent ne pas en avoir besoin et il convient de ne pas la leur imposer. Cependant, pour un autre problème de structure plus complexe, il peut s’avérer nécessaire de manipuler à nouveau des objets tangibles. En mathématiques, la priorité du cycle 2 est l’acquisition de connaissances et de savoir-faire solides sur la numération, le calcul et la résolution de problèmes arithmétiques. En effet, les mathématiques sont une discipline cumulative et ces apprentissages, qui s’appuient déjà sur ceux du cycle 1, constituent le socle indispensable sur lequel reposeront les apprentissages des cycles 3 et 4 pour ce qui concerne les nombres, le calcul et l’algèbre. Chaque année, les deux tiers du temps d’enseignement des mathématiques, au minimum, sont consacrés à la partie « Nombres, calcul et résolution de problèmes » du programme. Afin de s’assurer d’une bonne maitrise des attendus à la fin de chaque année scolaire, il est indispensable d’aborder les notions centrales, et notamment les plus délicates, suffisamment tôt dans l’année scolaire. Cela permet aux élèves, en particulier aux plus fragiles, de disposer de suffisamment de temps pour acquérir ces notions. Cela implique d’aborder dès le début d’année scolaire les notions du programme correspondant au niveau de la classe, sans proposer de séquences qui seraient uniquement consacrées à la révision de notions relevant des années précédentes. Les révisions nécessaires sont effectuées au fur et à mesure des séquences, et uniquement avec les élèves qui en ont besoin. Par exemple, la centaine sera abordée dès la première période du CE1 afin de permettre aux élèves de travailler tout au long de l’année sur des nombres allant jusqu’à mille et d’être ainsi parfaitement à l’aise avec ces nombres à l’entrée au CE2. Dans une volonté de clarification des attendus en termes d’apprentissages, les sous-parties « Calcul mental » et « Résolution de problèmes » sont davantage détaillées que dans les programmes antérieurs du cycle 2. Pour le calcul mental, il s’agit de définir un ensemble de procédures fondamentales que tous les élèves doivent maitriser, mais aussi de proposer des indicateurs de maitrise. En effet, tout comme « savoir lire » ne signifie pas la même chose en CP et en CE2 concernant le nombre de mots lus en une minute, « connaitre les tables d’addition » ne correspond pas aux mêmes attendus en CP et en CE2 concernant le nombre de résultats que les élèves sont capables de restituer en une minute ; les automatismes se renforcent chaque année, tout au long de l’école élémentaire, et même au-delà. Cette mesure de la fluence en calcul mental permet en outre à chaque élève de prendre conscience de ses progrès. En septembre 2023, près de 2,4 millions d’élèves ont été évalués à l’entrée au CM1 dans le cadre du dispositif Repères CM1. Cette évaluation a révélé des écarts de réussite très importants entre les filles et les garçons, au désavantage des filles, pour ce qui concerne la fluence en calcul mental. Ce constat peut être expliqué par un manque de confiance des filles en elles-mêmes et un état de stress lorsqu’il s’agit de répondre sur un temps très court. Il convient donc d’entrainer régulièrement les élèves à de tels tests afin d’en faire de véritables routines intégrées aux apprentissages, n’engendrant plus de stress et permettant de valoriser les progrès réalisés afin de renforcer la confiance en soi et la réussite de chacun. Afin de s’assurer de l’acquisition des automatismes attendus par tous les élèves, des séances quotidiennes de calcul mental sont proposées tout au long du cycle 2. Ces séances s’intègrent dans des séquences de calcul mental dont les objectifs sont explicités aux élèves. Le calcul mental ne se résume pas à restituer des faits numériques et à utiliser des procédures apprises ; il faut aussi savoir dans quels contextes il est pertinent d’utiliser une procédure donnée et être en mesure d’adapter une procédure ou d’en combiner plusieurs pour traiter une tâche plus complexe. Afin de privilégier le développement d’habiletés et de compétences solides en calcul, tant mental que posé, les élèves ne seront pas amenés à utiliser de calculatrice au cycle 2. La résolution de problèmes est au cœur de l’activité mathématique. Mais pour être en capacité de résoudre des problèmes, il faut savoir prendre des initiatives, imaginer des pistes de solution et s’y engager sans s’égarer. Un moyen pour y parvenir consiste à procéder par analogie en rattachant une situation particulière à une classe plus générale de problèmes. C’est pourquoi le programme identifie des types de problèmes basiques (par exemple, pour les problèmes additifs en une étape, les problèmes de parties-tout et les problèmes de comparaison) que les élèves doivent être en mesure de reconnaitre et pour lesquels ils doivent disposer de stratégies et d’outils efficaces permettant de les résoudre : problèmes de référence, schémas pour soutenir la modélisation, etc. La maitrise de ces compétences spécifiques renforce la confiance des élèves en leur capacité de résoudre des problèmes et constitue un appui précieux pour aborder des situations plus complexes ou sortant du cadre évoqué. 3 Les fractions sont introduites au cycle 2. Au CE1, les élèves comprennent, par exemple, que les d’un tout correspondent à 8 trois parts lorsque ce tout est partagé en huit parts égales. Ils comparent des fractions et effectuent des opérations sur les fractions, toujours en les considérant comme des parts d’un tout. Au CE2, le partage d’une unité de longueur en fractions de cette unité permet de positionner des fractions sur une bande-unité graduée. Cette approche contribue à s’affranchir du « tout » et à donner aux fractions un statut de nombre. Le cycle 2 est également une étape importante pour l’enseignement des grandeurs et des mesures. Si plusieurs grandeurs sont travaillées dès la maternelle, leur étude au cycle 2 permet l’introduction de mesures pour les grandeurs usuelles : durée, monnaie, longueur, masse (confondue à tort avec le poids dans le langage courant) et contenance. La compréhension de ces grandeurs est indispensable pour pouvoir donner du sens aux unités de mesure introduites. Les activités sur les mesures sont des appuis importants pour les travaux sur la numération. L’écriture à virgule des nombres décimaux est introduite dans le cadre de la monnaie. Ceci permet d’effectuer les premières comparaisons, additions et soustractions de nombres écrits avec une virgule dans des contextes concrets. Ce travail prépare les élèves à l’introduction plus formelle des nombres décimaux à partir des fractions décimales, qui sera menée au cycle 3. En géométrie, les élèves renforcent leur maitrise du vocabulaire spécifique et apprennent à manipuler les outils permettant de réaliser des constructions géométriques avec précision : règle, compas et équerre. Ils apprennent progressivement à passer d’une géométrie où les formes planes sont reconnues perceptivement à une géométrie où elles sont caractérisées par des propriétés contrôlées par des instruments. L’utilisation combinée des outils de construction et de la connaissance des propriétés des figures planes permet aux élèves d’argumenter sur la nature de celles-ci. Au cycle 2, les élèves sont également initiés au recueil de données, notamment via des enquêtes, et à leur présentation sous forme de tableaux et de diagrammes en barres. Des évaluations, courtes mais fréquentes, sont attendues en mathématiques pour aider les élèves à identifier leurs réussites, leurs progrès et leurs besoins et pour permettre au professeur d’adapter ses séances d’enseignement afin d’encourager chaque élève à s’engager et à progresser dans les apprentissages dans le but d’atteindre in fine les objectifs attendus. Le programme de mathématiques de cycle 2 privilégie l’activité des élèves pour l’acquisition des apprentissages. L’enseignement explicite des attendus, notamment en calcul et en résolution de problèmes, doit leur permettre de réaliser les tâches proposées, d’abord en étant guidés par l’enseignant, puis en devenant progressivement autonomes, en travaillant seuls ou en collaborant avec d’autres élèves. L’aptitude à réaliser des tâches en autonomie contribue à renforcer la confiance des élèves en leur capacité à réussir en mathématiques. La mise en activité des élèves est donc recherchée à chaque occasion qui s’y prête, en veillant à ce qu’elle ne conduise pas à réduire les attentes du programme en termes d’objectifs d’apprentissage. Les progrès et les réussites des élèves donnent lieu à des encouragements et des félicitations de la part de l’enseignant : ce sont des facteurs essentiels pour entretenir l’estime de soi, la motivation et la dynamique de progrès des élèves. La mise en activité, la qualité des échanges avec l’enseignant et avec les autres élèves, la confiance en ses capacités à réussir sont autant de facteurs qui contribuent au plaisir de faire des mathématiques. Ce sentiment positif doit être éprouvé par tous les élèves. Au-delà de ce qui a été mentionné pour le calcul mental, l’enseignant veille, par le choix des situations qu’il propose, le regard qu’il porte sur chacun de ses élèves et les opportunités qu’il lui offre de s’exprimer, à favoriser l’égalité entre les filles et les garçons. Le programme est présenté en deux colonnes. La première colonne indique les objectifs d’apprentissage. La seconde colonne fournit des exemples de connaissances et de savoir-faire attendus des élèves, mais aussi des repères d’acquisition, notamment en calcul mental. Elle rend plus explicites et plus opérationnels les objectifs indiqués dans la première colonne afin d’aider les professeurs dans la préparation et la mise en œuvre des séquences d’enseignement. Nombres, calcul et résolution de problèmes Cours préparatoire Les nombres entiers Les connaissances et les savoir-faire attendus concernent les nombres entiers jusqu’à cent. L’aspect décimal (base dix) et l’aspect positionnel (dans l’écriture d’un nombre, la valeur d’un chiffre dépend de sa position) sont abordés dès la période 1 : les élèves comparent, dénombrent et constituent des collections organisées en groupes de dix unités et en unités isolées. Au plus tard en période 2, les élèves travaillent avec des quantités et des nombres allant jusqu’à cinquante-neuf. Au plus tard en période 3, les élèves travaillent avec des quantités et des nombres allant jusqu’à cent. Toute l’année, les élèves utilisent différents types de matériel permettant de représenter des unités et des dizaines comme des cubes emboitables permettant de former des barres sécables de dix cubes, des buchettes pouvant être facilement assemblées en groupes de dix, du matériel multibase insécable, de la monnaie fictive (pièces de un euro et billets de dix euros). La connaissance des nombres ordinaux permet de travailler sur des suites de nombres, dans la poursuite de l’étude de motifs organisés initiée à l’école maternelle. Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite - Comparer et dénombrer des Les collections peuvent être initialement non organisées (composées uniquement collections en les organisant. d’éléments isolés), déjà totalement organisées en dizaines et en unités, ou partiellement - Construire des collections de groupées (par exemple trois dizaines déjà formées et quinze unités isolées). Dans le cas cardinal donné. de collections non organisées ou partiellement organisées, l’élève sait que commencer par les organiser totalement en groupes de dix facilite la comparaison et le dénombrement. Les collections sont d’abord des collections d’objets déplaçables (jetons, etc.), puis des collections fixes (éléments représentés sur une feuille). Face à une collection composée de trois barres de dix cubes et quatre cubes isolés, l’élève reconnait qu’il y a trente-quatre cubes. Il verbalise sous la forme : « Trois dizaines et quatre unités, cela fait trente-quatre » ou « Trente plus quatre, cela fait trente- quatre », ou éventuellement, il compte de dix en dix, puis de un en un : « dix, vingt, trente, trente-et-un, trente-deux, trente-trois et trente-quatre ». - Connaitre la suite écrite et la L’élève sait compter, à l’oral et à l’écrit, de un en un, de deux en deux et de dix en dix en suite orale des nombres partant de n’importe quel nombre. jusqu’à cent. L’élève sait compter, à l’oral comme à l’écrit, à rebours, de un en un en partant de - Connaitre et utiliser diverses n’importe quel nombre. représentations d’un nombre L’élève sait écrire en chiffres un nombre dicté. Il sait également lire un nombre écrit en et passer de l’une à l’autre. chiffres. - Connaitre la valeur des L’élève sait associer différentes représentations d’un même nombre, notamment : chiffres en fonction de leur position (unités, dizaines).  représentations avec du matériel manipulé ou représenté (trois barres et cinq cubes) ;  écriture en chiffres (35) ;  nom à l’oral (« trente-cinq ») ;  écritures en unités de numération (trois dizaines et cinq unités ou trente-cinq unités) ;  décomposition additive sous la forme 30 + 5 ;  écriture en lettres (trente-cinq). À la fin du CP, l’élève maitrise l’écriture en lettres des nombres jusqu’à cinquante. L’élève sait expliquer, en s’appuyant sur la numération, pourquoi 23 n’est pas le même nombre que 32 bien que les écritures des deux nombres soient composées des mêmes chiffres. - Comparer, encadrer, L’élève comprend et utilise les expressions : égal à, autant que, plus que, plus grand que, intercaler des nombres moins que, plus petit que. entiers en utilisant les L’élève sait comparer deux nombres en prenant appui sur des représentations de symboles =, < et >. collections. - Ordonner des nombres dans L’élève sait comparer les cardinaux de deux collections : « Aaron a 49 trombones dans sa l’ordre croissant ou trousse et Mia en a 53. Qui de Aaron ou de Mia a le plus de trombones ? ». décroissant. L’élève sait placer le symbole qui convient (= ou < ou >) entre deux nombres, par exemple - Savoir placer des nombres entre 49 et 53. sur une demi-droite graduée de un en un. L’élève sait ordonner cinq nombres dans l’ordre croissant et dans l’ordre décroissant. L’élève sait associer un nombre à une position sur une bande numérique. L’élève sait associer un nombre à un point sur une demi-droite graduée, en faisant le lien avec la distance qui sépare ce point de l’origine du repère ; la construction et l’usage de règles graduées pour mesurer des longueurs, attendus dans le domaine grandeurs et mesures, sont des points d’appui pour apprendre à associer des points à des nombres sur une demi-droite graduée. - Connaitre les nombres L’élève utilise les nombres ordinaux pour indiquer une position dans une liste ou dans une ordinaux jusqu’à suite. Il peut par exemple dire « La voiture blanche est la quatrième voiture » pour indiquer « vingtième ». la position d’une voiture dans une file d’attente. - Comprendre et utiliser les Dans le cas d’objets non orientés dans une file, l’élève sait définir une origine et un sens de nombres ordinaux. parcours de la file : « Le jeton est caché sous le sixième gobelet en partant de la gauche ». - Repérer un rang ou une L’élève sait repérer le nombre qui occupe une position donnée dans une liste de position dans une file nombres ; il sait énoncer le rang d’un nombre donné dans une liste de nombres (par orientée ou dans une liste exemple, pour la liste 2, 6, 10, 14, 18, il sait dire que 10 est en troisième position et que le d’objets ou de personnes. quatrième nombre est 14). - Faire le lien entre le rang d’un L’élève sait répondre à la question suivante : « Il y a six personnes qui font la queue à la objet dans une liste et le caisse. Je suis le troisième dans la file. Combien y a-t-il de personnes devant moi ? » nombre d’éléments qui le L’élève sait répondre à des questions comme les suivantes : précèdent.  Dans la suite répétitive « ABABAB… », quelle est la dix-neuvième lettre ? - Utiliser les nombres ordinaux  Dans la suite répétitive « ∆ ▢ O △ ▢ O △… », quel est le vingtième symbole ? dans le cadre de l’étude de  Dans la suite répétitive « 1, 3, 5, 7, 9… », quel est le septième nombre ? suites de symboles, de  Dans la suite répétitive « △ ✕ ▢ O △ ✕ ▢ O △ ✕… », quel est le vingtième symbole ? formes, de lettres ou de  Dans la suite répétitive « ABGFABGFAB… », quelle est la dix-septième lettre ? nombres. Les quatre opérations Les quatre opérations sont mobilisées au CP lors de la résolution de problèmes qui fournit un cadre permettant de donner du sens aux opérations. Cette partie entretient également, de façon naturelle, un lien fort avec les autres parties du programme relatives aux nombres et au calcul mental. Au CP, l’addition posée n’est introduite qu’en période 4 ou 5 ; avant cette introduction, les élèves effectuent des additions en utilisant des faits numériques mémorisés ou en mettant en œuvre des procédures de calcul par étapes. Des soustractions par manipulation et cassage de dizaines sont effectuées dès la période 3 dans le cadre de la résolution de problèmes. La calculatrice n’est pas utilisée au cycle 2 en dehors d’un usage prescrit pour des élèves à besoins particuliers. Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite - Comprendre le sens de L’élève montre sa compréhension du sens de l’addition et de la soustraction lors de la l’addition et de la résolution de problèmes. soustraction. La soustraction est comprise par l’élève comme l’opération inverse de l’addition. - Comprendre et utiliser les On a 32 + 15 = 47, donc 47 - 32 = 15 et 47 - 15 = 32. symboles « + », « - » et « = ». L’élève comprend que l’ordre des termes n’a pas d’importance pour l’addition, mais qu’il n’en est pas de même pour la soustraction. L’élève utilise de façon pertinente les symboles « + », « - » et « = ». L’élève sait que le symbole « = » ne peut être placé qu’entre deux termes égaux. Ainsi, il comprend que, pour calculer 47 + 8 en décomposant 8 en 3 + 5, l’écriture « 47 + 3 = 50 + 5 = 55 » est incorrecte. - Poser et effectuer des L’élève sait poser une addition de deux ou trois nombres à un ou deux chiffres, en additions en colonnes. positionnant les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, et en calculer le résultat. Par exemple, 45 + 37 ou 28 + 8 + 56. - Comprendre le sens de la L’élève montre sa compréhension du sens de la multiplication lors de la résolution de multiplication. problèmes. L’élève comprend et utilise le mot « fois » dans le cadre d’additions itérées. Par exemple, pour le problème « Jan a trois paquets de biscuits. Chaque paquet contient 20 biscuits. Combien Jan a-t-il de biscuits ? », l’élève comprend et dit que « Jan a trois fois vingt biscuits » et écrit 20 + 20 + 20. Le calcul mental L’enseignement du calcul mental au cycle 2 est constitué de trois types d’apprentissages :  mémoriser des faits numériques de manière à les restituer de façon quasi instantanée ;  utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs en s’appuyant notamment sur la position des chiffres dans les nombres ;  élaborer des stratégies et maitriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées. Certaines procédures de calcul mental peuvent nécessiter de garder des résultats intermédiaires en mémoire, ce qui peut être difficile pour certains élèves. Ceux-ci seront encouragés, au début des apprentissages, à noter par écrit ces résultats intermédiaires, puis à alléger progressivement le recours à l’écrit, jusqu’à s’en libérer totalement dès qu’ils n’en auront plus besoin, ce qui peut advenir au cours du CP ou plus tard. Les procédures indiquées dans le programme doivent faire l’objet de séquences d’enseignement explicite et donner lieu à une trace écrite. D’autres procédures peuvent être enseignées explicitement ou être simplement rencontrées et présentées sans faire l’objet d’une séquence d’enseignement spécifique. Des tests en temps limité sont indispensables d’une part pour renforcer la mémorisation des résultats et l’automatisation des procédures, et d’autre part pour évaluer l’état des connaissances et des savoir-faire des élèves. Ils permettent également d’encourager les élèves à abandonner des procédures peu efficaces au profit des procédures enseignées par le professeur. Ces tests, qui mesurent la fluence en calcul, permettent également aux élèves de prendre conscience de leurs progrès en comparant, sur la durée, le nombre de résultats corrects qu’ils sont capables de restituer en un temps donné. Pour les calculs effectués mentalement en s’appuyant sur la numération ou sur des procédures apprises, la fluence attendue en fin de CP est la restitution de neuf résultats en trois minutes. Une grande partie des résultats des tables d’addition à apprendre au CP a été rencontrée à l’école maternelle soit sous forme d’apprentissages structurés, notamment dans le cadre du travail sur les différentes décompositions des nombres inférieurs à dix, soit de manière moins systématique lors de jeux où les nombres sont présents. Ces résultats sont réintroduits progressivement pendant les deux premières périodes du CP, mais en les écrivant désormais avec les symboles « + » et « = ». Tous les travaux de calcul mental sont menés sur le champ numérique du CP (nombres jusqu’à 100), dans le sens où les nombres en jeu et les résultats cherchés sont tous inférieurs ou égaux à cent. Mémoriser des faits numériques Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite - Connaitre dans les deux sens L’élève sait donner oralement et par écrit l’un des trois nombres d’une égalité du type les tables d’addition. A + B = C ou C = A + B, où A et B sont des nombres entiers compris entre 0 et 10 et où les deux autres nombres de l’égalité sont connus. L’élève peut ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 4 + … = 12 ; 5 + 3 = … ; 10 = 7 + … À la fin du CP, l’élève peut compléter huit égalités de ce type en une minute. Les « égalités à trou » comportant un signe « - » comme « 13 – 7 = … » ou « 13 - … = 7 » nécessitent généralement plus de temps de traitement, elles ne seront donc pas proposées dans un test de fluence de faits numériques mémorisés, mais pourront être proposées dans un test de fluence d’utilisation de procédures de calcul mental. - Connaitre les doubles et les L’élève sait donner oralement ou par écrit : moitiés de nombres usuels.  les doubles des nombres de 1 à 10 ;  les doubles des dizaines entières 20, 30, 40 et 50.  les moitiés des nombres pairs de 2 à 20 ;  les moitiés des dizaines entières 40, 60, 80 et 100. L’élève sait ainsi compléter des « égalités à trou » du type : double de 40 = … ; double de … = 12 ; moitié de 60 = … ; moitié de … = 8. À la fin du CP, l’élève peut compléter huit égalités de ce type en une minute. Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite - Ajouter ou soustraire 1 ou 2 à L’élève sait que, pour ajouter 1 à un nombre, il peut énoncer le nombre qui vient « juste un nombre. après » dans la comptine orale ou dans la suite écrite des nombres. L’élève sait que, pour soustraire 2 à un nombre, il peut soustraire 1 et encore 1. Par exemple : 17 - 2 = ? « Le nombre qui précède 17 est 16. Le nombre qui précède 16 est 15. Donc 17 - 2 = 15. » - Ajouter ou soustraire 10 à un L’élève sait qu’ajouter 10 à un nombre, c’est ajouter une dizaine, et que soustraire 10 à un nombre. nombre, c’est soustraire une dizaine. Par exemple : 37 - 10 = ? « J’enlève une dizaine aux trois dizaines, cela fait deux dizaines. Donc 37 - 10 = 27. » - Ajouter ou soustraire 20, 30, L’élève sait qu’ajouter ou soustraire 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 ou 90 à un nombre, c’est 40, 50, 60, 70, 80 ou 90 à un ajouter ou soustraire 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 dizaines à ce nombre. nombre. Par exemple : 76 - 30 = ? « 30, c’est 3 dizaines. 7 dizaines – 3 dizaines = 4 dizaines. Donc 76 - 30 = 46. » Apprendre des procédures de calcul mental Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite - Trouver le complément d’un L’élève sait que, pour trouver le complément d’un nombre à la dizaine supérieure, il peut nombre à la dizaine utiliser les compléments à dix pour déterminer le nombre d’unités à ajouter pour former supérieure. une nouvelle dizaine. Par exemple, pour trouver le complément de 74 à la dizaine supérieure, il peut dire : « 74, c’est 7 dizaines et 4 unités. Le complément à 10 de 4 est 6. Il faut donc ajouter 6 unités aux 4 unités de 74 pour obtenir la dizaine supérieure. » - Ajouter un nombre inférieur Pour ajouter un nombre inférieur à 9, l’élève sait utiliser une procédure adaptée aux à 9 à un nombre. nombres en jeu. Si l’ajout des nouvelles unités ne conduit pas à la formation d’une nouvelle dizaine, il sait qu’il suffit d’agir sur le chiffre des unités du nombre initial. Par exemple 32 + 4 = 36 car 2 + 4 = 6. Si l’ajout des nouvelles unités conduit à changer le nombre de dizaines, par exemple, pour calculer 47 + 8, l’élève cherche d’abord combien il faut ajouter à 47 pour aller à la dizaine supérieure, c’est-à-dire à 50 : il faut ajouter 3. +8 +8 47 47 50 +3 L’élève poursuit en cherchant ce qu’il reste à additionner afin d’avoir ajouté 8 : il faut encore additionner 5 à 50, parce que 8 c’est 3 + 5. Cela fait 55. +8 +8 47 50 47 50 55 +3 +5 +3 +5 Donc 47 + 8 = 55. - Ajouter 9 à un nombre. L’élève sait que, pour ajouter 9 à un nombre, il peut ajouter 10 puis soustraire 1. Il sait aussi qu’il n’est pas utile de mettre en œuvre cette procédure quand le nombre a 0 ou 1 comme chiffre des unités. Sur son ardoise, l’élève peut simplement écrire le résultat intermédiaire permettant d’alléger sa mémoire de travail. Ainsi, pour ajouter 9 à 37, le contenu de l’ardoise pourra évoluer chronologiquement, comme indiqué ci-dessous : 37 37 37 47 47 46 - Ajouter deux nombres L’élève sait que, pour ajouter deux nombres inférieurs à 100, il peut les décomposer pour inférieurs à 100. ajouter les dizaines entre elles et les unités entre elles, puis additionner les deux nombres trouvés en utilisant la procédure apprise pour ajouter des dizaines entières à un nombre. Exemple : 47 + 28 = ? Le contenu de l’ardoise pourra évoluer chronologiquement, comme indiqué ci-dessous : 47 + 28 47 + 28 47 + 28 60 60 15 60 15 75 47 + 28 = 75. - Déterminer la moitié d’un L’élève sait que, pour déterminer la moitié d’un nombre pair, il peut le décomposer en nombre pair. dizaines et en unités pour faire apparaitre des nombres dont il a mémorisé les moitiés. Par exemple : Quelle est la moitié de 46 ? 46 = 40 + 6. La moitié de 40 est 20. La moitié de 6 est 3. 20 + 3 = 23. La moitié de 46 est 23.  Afin de soulager sa mémoire de travail, l’élève peut garder, sur son ardoise, une trace intermédiaire des procédures mentales qu’il engage. Ainsi, le contenu de l’ardoise pourra évoluer chronologiquement, comme indiqué ci-dessous : 46 46 46 46 40 + 6 40 + 6 40 + 6 20 + 3 20 + 3 ○23 - Soustraire un nombre L’élève sait que, pour soustraire un nombre inférieur à 10 à un nombre entier de dizaines, inférieur à 10 à un nombre il peut « casser » une dizaine afin de lui retirer le nombre à soustraire. Le nombre d’unités entier de dizaines. restantes est alors le complément à 10 du nombre d’unités que l’on soustrait. 50 - 6 = ? 50 c’est 5 dizaines, je casse une dizaine, il y a alors 4 dizaines et 10 unités, j’enlève les 6 unités à soustraire. Il reste alors 4 dizaines et 4 unités, c’est-à-dire 44. Pour calculer 50 - 6 mentalement, dans un premier temps et afin de soulager sa mémoire de travail, l’élève peut s’appuyer, sur son ardoise, sur des traces écrites intermédiaires du type : 50 50 50 50 40 + 10 40 + 10 40 + 10 4 4 ○44 La résolution de problèmes L’enseignement de la résolution de problèmes arithmétiques vise à développer l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes de manière autonome. La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite. Celui-ci s’appuie sur le modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma suivant. Il constitue notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier l’étape de la résolution sur laquelle un élève est en difficulté : Problème verbal Situation Modéliser Modèle comprise mathématique Régulation Calculer Réponse Répondre Résultat communiquée des calculs Monde réel Domaine des mathématiques La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas l’opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes contenant des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction. La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat cherché. Cette phase s’articule avec des manipulations ou des représentations schématiques qui vont contribuer à comprendre le modèle mathématique en jeu. Au CP, la phase « Calculer » peut se limiter à réunir deux collections ou à identifier la quantité à retirer d’une collection, puis à dénombrer les éléments restants, sans effectuer réellement de calculs. La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », que l’élève doit apprendre à se poser systématiquement. La phase d’institutionnalisation permet d’expliciter les connaissances en jeu suite à la résolution d’un problème par les élèves (construction d’affichages, traces écrites sur les notions importantes). Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CP, à savoir les nombres entiers jusqu’à cent. Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise. Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes ayant les structures répertoriées dans le programme. Cela n’exclut pas que des problèmes relevant d’autres structures puissent être également être proposés tout au long de l’année. Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite - Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes de parties-tout en une étape en mettant en œuvre additifs en une étape du type des démarches qui évoluent au fil de l’année. Tant que des procédures de calcul ne sont parties-tout. pas disponibles, il peut prendre appui sur des manipulations d’objets tangibles (cubes et barres de dix cubes, pièces de monnaie et billets fictifs) symbolisant ce qui est en jeu dans l’énoncé, ou sur des représentations schématiques. Par exemple, pour le problème « Anna avait 43 cerises. Elle en a mangé 18. Combien Anna a-t-elle de cerises maintenant ? », l’élève sait représenter les 43 cerises par quatre barres de dix cubes et trois cubes isolés, puis simuler le retrait de 18 cerises en « cassant » une barre de dix cubes en dix cubes unités afin d’entourer dix-huit cubes pour obtenir le résultat cherché, 25 cerises, en dénombrant sur les cubes qui n’ont pas été entourés. 10 10 10 10 cerises mangées L’élève traite les problèmes de transformation (ajout, retrait), tels que le problème ci- dessus, comme des problèmes de parties-tout. L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :  Léa a 53 euros dans son portemonnaie. Elle achète un livre à 7 euros. Combien lui reste-t-il ?  Il y avait 36 oiseaux dans l’arbre. Il n’en reste plus que 21. Combien d’oiseaux se sont envolés ?  Dans la boite, il y avait des bonbons. J’en ai mangé 6 et il en reste encore 21. Combien y avait-il de bonbons dans la boite avant que j’en mange ?  Dans un train comportant trois wagons, il y a 25 passagers dans le premier wagon, 32 passagers dans le deuxième wagon et 18 dans le troisième wagon. Combien y a-t-il de passagers au total dans ce train ? - Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants : additifs en deux étapes  Il y avait 29 enfants dans un bus. Au premier arrêt, 12 enfants sont descendus. Au (champ numérique inférieur deuxième arrêt, 7 enfants sont montés. Combien y a-t-il d’enfants dans le bus ou égal à 30). maintenant ?  Sur le présentoir de la bibliothèque de la classe, il y a 24 livres, dont 7 albums et 6 bandes dessinées, le reste étant constitué de livres documentaires. Combien y a-t-il de livres documentaires ? - Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes multiplicatifs consistant à rechercher la valeur d’un multiplicatifs en une étape tout composé de plusieurs parties de même valeur, en s’appuyant si besoin sur des (champ numérique inférieur manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant chacun des éléments ou ou égal à 30). sur des représentations symboliques des objets en jeu (croix, ronds). L’élève peut aussi utiliser des additions itérées.  Par exemple, pour le problème « Paul apporte 3 paquets de biscuits. Il y a 7 biscuits dans chaque paquet. Combien y a-t-il de biscuits en tout ? », l’élève peut représenter les biscuits de chacun des trois paquets par des croix et dénombrer ensuite l’ensemble des croix, par comptage de un en un ou en regroupant par dix les éléments de la collection. xxxxx xx xxxxx xx xxxxx xx L’élève sait résoudre des problèmes consistant, dans un partage équitable, à chercher le nombre de parts à partir de la quantité totale d’objets et de la quantité de chaque part, en s’appuyant si besoin sur des manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant les éléments à partager ou sur des représentations symboliques des objets à partager. L’élève représente la totalité des éléments (croix, ronds) et entoure des groupes de ces symboles de cardinal égal à la valeur d’une part. Par exemple, pour le problème « Il y a 24 élèves dans la classe. Pour participer à des rencontres sportives, le professeur constitue des équipes de 4 élèves. Combien y aura-t-il d’équipes ? », l’élève peut représenter les vingt-quatre élèves par vingt-quatre croix et faire ensuite des groupements de quatre croix pour symboliser les équipes. xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxx L’élève sait résoudre des problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part dans un partage équitable, en s’appuyant, si besoin, sur des manipulations d’objets tangibles (jetons ou cubes) symbolisant des éléments qu’il distribue un à un, équitablement, dans chacune des parts. Par exemple, pour le problème « 3 enfants se partagent 18 images. Tous les enfants doivent avoir le même nombre d’images. Combien d’images aura chaque enfant ? », l’élève sait répartir dix-huit images ou dix-huit jetons qui lui sont fournis en trois paquets de six images ou jetons, en les distribuant un à un. Cours élémentaire première année Les nombres entiers Les connaissances et savoir-faire attendus concernent les nombres jusqu’à mille. La compréhension des aspects décimal (base dix) et positionnel (la valeur d’un chiffre dépend de sa position) étudiés au CP se renforce et s’étend. La centaine est abordée dès le début de la période 1. Le travail sur les nombres supérieurs à cent contribue à renforcer la connaissance des nombres inférieurs à cent et celle des relations entre les unités et les dizaines. Dès la période 1, les élèves comparent, dénombrent et constituent des collections organisées en centaines, dizaines et unités isolées. Au plus tard en période 2, les élèves travaillent avec des quantités et des nombres allant jusqu’à mille. À chaque fois que cela leur est utile, les élèves utilisent différents types d’objets tangibles permettant de représenter des unités, des dizaines et des centaines : matériel multibase (plaques de cent cubes, barres de dix cubes, cubes unités), monnaie fictive (billets de cent euros et de dix euros et pièces d’un euro), etc. Les élèves continuent, comme au CP, à produire et à utiliser des représentations du matériel multibase lors des travaux menés sur les nombres ou pour effectuer des calculs. Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite - Dénombrer des collections L’élève dénombre des collections en utilisant des groupes de dix ou de cent. Les en les organisant. collections à dénombrer contiennent régulièrement des nombres supérieurs à dix pour - Construire des collections de l’une des unités de numération, par exemple : cardinal donné.  17 unités, 8 dizaines et 2 centaines ; - Connaitre et utiliser la  9 dizaines, 23 unités et 4 centaines ; relation entre unités et  2 centaines, 27 dizaines et 14 unités.  dizaines, entre dizaines et L’élève construit des collections d’un cardinal donné en s’appuyant sur des groupes de centaines, entre unités et dix et des groupes de cent déjà constitués ou qu’il a lui-même constitués. centaines. L’élève sait résoudre un problème comme le suivant : « J’ai besoin de 235 timbres. Les timbres sont vendus par plaques de cent timbres, par carnets de dix timbres ou à l’unité. Propose quatre commandes différentes permettant d’obtenir exactement le nombre souhaité de timbres, en achetant des plaques, des carnets ou des timbres à l’unité. » - Connaitre la suite écrite et la L’élève sait écrire en chiffres un nombre dicté. Il sait également lire un nombre écrit en suite orale des nombres chiffres et l’écrire en lettres. jusqu’à mille. L’élève comprend et utilise différentes écritures possibles pour un même nombre, - Connaitre et utiliser diverses notamment : représentations d’un nombre  représentations avec du matériel (six plaques, trois barres et cinq cubes) ; et passer de l’une à l’autre.  écriture en chiffres (635) ; - Connaitre la valeur des  nom à l’oral (« six-cent-trente-cinq ») ; chiffres en fonction de leur  écritures en unités de numération (6 centaines et 3 dizaines et 5 unités ou 63 dizaines position dans un nombre. et 5 unités ou 635 unités, mais aussi d’autres écritures comme, par exemple, 3 dizaines et 6 centaines et 5 unités ou 5 unités et 5 centaines et 13 dizaines) ;  décomposition du type : (6 × 100) + (3 × 10) + (5 × 1) ;  décomposition additive sous la forme 600 + 30 + 5 ;  écriture en lettres (six-cent-trente-cinq). - Comparer, encadrer, L’élève sait ordonner dans l’ordre croissant ou décroissant un ensemble pouvant aller intercaler des nombres jusqu’à cinq nombres, par exemple : 234, 243, 239, 300 et 229. entiers en utilisant les Sur une bande numérique ou une demi-droite graduée de un en un, l’élève intercale et symboles (=, ). positionne des nombres manquants. - Ordonner des nombres dans Par exemple, il sait compléter la bande lacunaire ci-dessous : l’ordre croissant ou décroissant. 391 392 393 396 397 398 - Comprendre et savoir utiliser Sur une demi-droite graduée incomplète, l’élève place des nombres demandés. les expressions « égal à », L’élève sait placer un nombre, ou déterminer le nombre correspondant à un point sur « supérieur à », « inférieur à », une demi-droite graduée de un en un, ou de dix en dix, ou de cent en cent. « compris entre … et … ». - Savoir placer des nombres L’élève sait faire le lien entre le nombre associé à un point et la distance entre ce point et sur une demi-droite graduée. l’origine de la demi-droite (ce travail est conduit en lien étroit avec la mesure de longueurs à l’aide d’une règle graduée). Il peut par exemple déterminer le nombre à inscrire dans les rectangles sur les deux demi-droites graduées suivantes : ? 242 243 470 480 ? - Connaitre les nombres Lors d’une course en EPS, l’élève sait ranger les coureurs dans l’ordre correspondant à ordinaux jusqu’à cent. leur arrivée, se situer et situer les autres par rapport à lui-même. - Comprendre et utiliser les Dans une étape du Tour de France parcourue par 167 cyclistes, l’élève sait dire combien nombres ordinaux. de cyclistes sont arrivés avant le quarante-huitième coureur. - Repérer un rang ou une L’élève sait répondre à des questions comme les suivantes. position dans une file  Dans la suite répétitive « ABABAB… », quelle est la quatre-vingt-neuvième lettre ? orientée ou dans une liste  Dans la suite répétitive « △ ▢ O △ ▢ O △… », quel est le soixantième symbole ? d’objets ou de personnes.  Dans la suite répétitive « 1, 3, 5, 7, 9… », quel est le dix-septième nombre ? - Faire le lien entre le rang d’un  Dans la suite répétitive « △ ✕ ▢ O △ ✕ ▢ O △ ✕… », quel est le quatre-vingtième objet dans une liste et le symbole ? nombre d’éléments qui le  Dans la suite répétitive « ABGFABGFAB… », quelle est la dix-septième lettre ? précèdent.  Dans la suite évolutive « 1, 2, 4, 7, 11, 16… », quel est le onzième nombre ? - Utiliser les nombres ordinaux  Dans la suite évolutive « △ ✕ △ ✕✕ △ ✕✕✕ △ ✕✕✕✕ △… », quel est le vingtième dans le cadre de suite de symbole ? symboles, de lettres ou de  Dans la suite évolutive « 1, 2, 4, 8, 16… », quel est le neuvième nombre ? nombres. Les fractions Les fractions rencontrées au CE1 sont les fractions d’un tout. Elles sont, par nature, inférieures ou égales à 1. Il s’agit d’abord de familiariser les élèves avec les mots « moitié », « demi » et « quart » afin qu’ils comprennent que, par exemple, un quart de disque désigne une partie du disque dans le cas d’un partage en quatre parts égales. Le travail sur les fractions commence dès la période 2 par l’introduction des fractions unitaires (de numérateur égal à 1) d’un tout et de leur écriture fractionnaire. Le travail sur les fractions se poursuit ensuite avec des fractions non unitaires. Dès la période 4, les élèves apprennent à comparer des fractions dans des cas simples. La manipulation, la verbalisation et les représentations géométriques soutiennent cette compréhension. La manipulation de matériel tangible permet 1 1 notamment d’aider à comprendre que est supérieur à , ce qui peut être contre-intuitif pour certains élèves qui se 3 6 concentrent sur l’inégalité 3 < 6. Elle permet également aux élèves de commencer à établir des relations entre les fractions comme le fait que trois fois un sixième font un demi ou que deux fois un sixième font un tiers. Les fractions rencontrées au CE1 ont un dénominateur égal à 2, 3, 4, 5, 6, 8 ou 10. Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite 1 - Savoir interpréter, L’élève comprend que la fraction d’une ficelle, d’une bande de papier ou d’une figure 8 représenter, écrire et lire les correspond à une part du tout lors du partage de ce tout en huit parts égales. 1 1 1 1 1 1 1 fractions , , , , , et. 2 3 4 5 6 8 10 L’élève sait partager le contenu d’une bouteille d’eau en quatre parts égales dans quatre verres (par transvasement ou avec une seringue non graduée pour affiner le partage) et dire qu’il y a un quart du contenu de la bouteille dans chaque verre. L’élève sait partager une bande de papier en un nombre donné de parts égales, en s’appuyant éventuellement sur un quadrillage. L’élève sait repérer une partie 1 1 1 correspondant à une fraction comme , ou. 2 3 6 1 2 1 3 1 6 1 L’élève sait identifier les figures représentant la fraction parmi les figures ci-dessous : 4 3 3 - Savoir interpréter, L’élève sait que trois huitièmes s’écrit mathématiquement. Il sait dire que d’un tout 8 8 représenter, écrire et lire des correspond à trois parts de ce tout partagé en huit parts égales. L’élève sait que la partie fractions inférieures ou égales grisée de chacune des figures ci-dessous correspond aux trois huitièmes de la figure. à 1. 3 1 1 1 L’élève sait que est égal à + + , qu’il lit « trois huitièmes est égal à un huitième plus un 8 8 8 8 huitième plus un huitième » ou encore « trois huitièmes est égal à trois fois un huitième ». L’élève sait partager une bande de papier en parties égales et sait repérer une partie 2 3 correspondant à une fraction comme ou. 3 5 2 1 1 = + 3 3 3 3 1 1 1 = + + 5 5 5 5 5 L’élève sait expliquer pourquoi = 1. 5 L’élève sait qu’à partir d’un tout donné, une même fraction peut être représentée de différentes manières. Ainsi, les différentes moitiés d’une feuille de papier ci-dessous 1 représentent toutes la fraction. 2  2 - Connaitre et utiliser les mots L’élève sait qu’il peut représenter la fraction par un tout partagé en 5 parts égales dont 5 « dénominateur » et il colorie 2 parts ; il sait que le dénominateur indique le nombre total de parts égales et le « numérateur ». numérateur le nombre de parts coloriées. - Comparer des fractions ayant 2 3 L’élève sait dire et expliquer pourquoi est plus petit que , en s’appuyant sur les parts le même dénominateur. 5 5 - Comparer des fractions dont d’un tout. 1 1 le numérateur est 1. L’élève sait dire et expliquer pourquoi est plus petit que , en s’appuyant sur deux 5 3 partages distincts d’un même tout. 2 1 1 2 - Additionner et soustraire des L’élève sait calculer - ou +. Il s’appuie pour cela sur des manipulations, sur des 3 3 5 5 fractions de même représentations et sur la verbalisation : « deux tiers du tout moins un tiers du tout, cela dénominateur. fait un tiers du tout » ou « un cinquième du tout plus deux cinquièmes du tout, cela fait trois cinquièmes du tout ». 2 3 L’élève sait que + = 1, il s’appuie pour cela sur des manipulations et sur des 5 5 représentations, et sur la verbalisation (« deux cinquièmes du tout plus trois cinquièmes du tout, cela fait cinq cinquièmes du tout, c’est-à-dire le tout »). L’élève sait trouver le complément d’une fraction d’un tout par rapport à ce tout. Il sait, 3 par exemple, répondre à la question suivante : « Lucie a colorié les d’une figure en bleu 10 et le reste en rouge. Quelle fraction de la figure est coloriée en rouge ? » Les quatre opérations Les quatre opérations sont mobilisées au CE1 lors de la résolution de problèmes qui fournit un cadre permettant de donner du sens aux opérations. Cette partie entretient également, de façon naturelle, un lien fort avec les autres parties du programme relatives aux nombres et au calcul mental. L’addition posée est régulièrement utilisée dès le début de l’année, quand les nombres en jeu le justifient. Les élèves sont cependant encouragés à privilégier le calcul mental à chaque fois que celui-ci est envisageable. Un algorithme de la soustraction posée est introduit en période 3 au plus tard. Un unique et même algorithme sera privilégié au niveau d’une école pour toutes les classes du CE1 au CM2. La calculatrice n’est pas utilisée au cycle 2 en dehors d’un usage prescrit pour des élèves à besoins particuliers. Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite - Poser et effectuer des L’élève sait poser une addition de deux ou de trois nombres à un, deux ou trois chiffres additions et des (en positionnant les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, les centaines soustractions en colonnes. sous les centaines) et en calculer le résultat. Par exemple, 245 + 437 ou 218 + 48 ou encore 76 + 7 + 568. L’élève connait un algorithme de soustraction posée (« par cassage » ou « par compensation »). - Comprendre et utiliser le Le symbole « × » est lu « fois » par l’élève. symbole « × ». Pour le problème « Jan a sept paquets de biscuits. Chaque paquet contient vingt biscuits. Combien Jan a-t-il de biscuits ? », l’élève dit que « Jan a sept fois vingt biscuits » qu’il écrit « 7 × 20 biscuits ». Il sait que cela correspond à ajouter 20 sept fois et il comprend l’intérêt de l’écriture multiplicative, plus concise que l’écriture additive. Il sait présenter l’opération sous la forme « 7 × 20 biscuits = 140 biscuits ». La présence des unités dans les calculs présentés est fortement encouragée. - Comprendre et savoir que la L’élève rencontre la multiplication dans des situations mettant en évidence le fait que multiplication est l’ordre des termes n’a pas d’incidence sur le résultat d’une multiplication. commutative. Un potager composé de huit colonnes de quatre salades, qui contient donc 8 × 4 salades, peut aussi être vu, dans l’autre sens, comme composé de quatre rangées de huit salades, contenant donc 4 × 8 salades. L’élève constate alors que « 8 fois 4 » et « 4 fois 8 » correspondent au même résultat, et apprend que, de manière plus générale, l’ordre des facteurs n’a pas d’importance dans une multiplication. - Connaitre la notion de parité L’élève sait dire si un nombre est pair ou impair. d’un nombre. L’élève sait donner tous les nombres pairs compris en 767 et 778. Le calcul mental L’enseignement du calcul mental au cycle 2 est constitué de trois types d’apprentissages :  mémoriser des faits numériques qui peuvent être restitués de façon quasi instantanée ;  utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer des calculs rapidement en s’appuyant notamment sur la position des chiffres dans les nombres ;  élaborer des stratégies et maitriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées. Certaines procédures de calcul mental peuvent nécessiter de garder des résultats intermédiaires en mémoire, ce qui peut être difficile pour certains élèves. Ceux-ci seront encouragés, au début des apprentissages, à noter par écrit ces résultats intermédiaires, puis à alléger progressivement le recours à l’écrit, jusqu’à s’en libérer totalement dès qu’ils n’en ont plus besoin. Les procédures indiquées dans le programme doivent faire l’objet de séquences d’enseignement explicite et donner lieu à une trace écrite. D’autres procédures peuvent être enseignées explicitement ou simplement rencontrées et présentées sans faire l’objet d’une séquence d’enseignement dédiée. Des tests en temps limité sont indispensables, d’une part pour renforcer la mémorisation des résultats et l’automatisation des procédures, d’autre part pour évaluer l’état des connaissances et des savoir-faire des élèves. Ils permettent également d’encourager les élèves à abandonner des procédures peu efficaces au profit des procédures enseignées par le professeur. Ces tests, qui mesurent la fluence en calcul des élèves, permettent également à ces derniers de prendre conscience de leurs progrès, en se référant au nombre de résultats corrects qu’ils sont capables de restituer en une durée donnée. Pour les calculs effectués mentalement en s’appuyant sur la numération ou sur des procédures apprises, la fluence attendue en fin de CE1 est la restitution de douze résultats en trois minutes. La mémorisation des résultats des tables d’addition se poursuit avec une fluence qui se renforce tout au long de l’année du CE1. Les procédures de calcul mental enseignées au CP sont utilisées tout au long du CE1, afin de renforcer leur automatisation. L’apprentissage des tables de multiplication s’étale sur l’année scolaire tout entière, de manière progressive. Les premiers résultats disponibles servent de points d’appui pour en construire d’autres qui seront à terme mémorisés. La mémorisation des résultats des tables étudiées en fin d’année pourra être encore imparfaite en fin de CE1 ; elle sera renforcée au CE2. Tous les travaux de calcul mental sont menés sur le champ numérique du CE1, dans le sens où les nombres en jeu et les résultats cherchés sont tous inférieurs ou égaux à 1 000. Mémoriser des faits numériques Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite - Connaitre dans les deux sens L’élève sait compléter des « égalités à trou » du type : 4 + … = 12 ; 5 + 3 = … ; 10 = 7 + … les tables d’addition. À la fin du CE1, l’élève sait compléter douze égalités de ce type en une minute. - Connaitre dans les deux sens L’élève sait donner oralement et par écrit l’un des trois nombres d’une égalité de type les tables de multiplication. A × B = C ou C = A × B, où A et B sont des nombres entiers compris entre 0 et 10 et où les deux autres nombres de l’égalité sont connus. L’élève peut ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 4 × … = 12 ; 5 × 3 = … ; 10 = 2 × … À la fin du CE1, l’élève peut compléter huit égalités de ce type en une minute. - Connaitre des faits L’élève sait donner oralement et par écrit : multiplicatifs usuels.  les doubles des nombres de 1 à 15 ;  les doubles des nombres 20, 25, 30, 35, 40, 45 et 50 ;  les doubles des nombres 100, 150, 200, 250, 300 et 500 ;  les moitiés des nombres pairs de 2 à 30 ;  les moitiés des dizaines entières 40, 50, 60, 70, 80, 90 et 100 ;  les moitiés des centaines entières 200, 300, 400, 500, 600 et 1 000. L’élève connait les multiples de 25 suivants : 1 × 25 = 25, 2 × 25 = 50, 3 × 25 = 75 et 4 × 25 = 100. L’élève sait ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 2 × … = 12 ; 2 × 16 = … ; 2 × … = 70 ; 2 × 25 = … ; 1 000 = 2 × … ; 2 × 150 = … ; 3 × 25 = … ; 100 = 4 × … À la fin du CE1, l’élève sait compléter huit égalités de ce type en une minute. Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement - Ajouter ou soustraire un L’élève s’appuie sur la numération pour effectuer rapidement et mentalement des nombre entier de dizaines à calculs sans retenue comme les suivants : 234 + 60 ; 541 - 20 ; 354 + 500 ; 765 - 200. un nombre. Ajouter ou L’élève s’appuie sur la numération pour effectuer rapidement et mentalement des soustraire un nombre entier additions avec retenue comme la suivante : 746 + 80. de centaines à un nombre. - Multiplier par 10 un nombre L’élève sait que, lors d’une multiplication par 10, une unité devient une dizaine et une inférieur à 100. dizaine devient une centaine. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 10 fois plus grande : le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines et le chiffre des dizaines devient le chiffre des centaines. Un outil du type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les premières multiplications par 10, en complément de la verbalisation de la procédure en termes d’unités de numération. Progressivement, l’élève apprend à s’en détacher. Exemple : multiplication de 72 par 10. m s de m s de es es s s er er es es ain ain s s e e er er s s illi illi in in in in ité ité nt nt illi illi za za za za un un ce ce m m di di di di 7 2 7 2 m s de s s e er es ain s e er s illi in in ité nt illi za za un ce m di di 7 2 0 10 × 72 = 720. Apprendre des procédures de calcul mental - Ajouter 9, 19 ou 29 à un L’élève sait ajouter 9, 19 ou 29 à un nombre en ajoutant 10, 20 ou 30, puis en nombre. retranchant 1. L’élève sait qu’il n’est pas utile d’avoir recours à cette procédure quand on peut ajouter directement 9, 19 ou 29 au nombre initial quand le chiffre des unités du nombre initial est 0 ou 1, par exemple pour 60 + 29. - Soustraire 9 à un nombre. L’élève sait que, pour soustraire 9 à un nombre, il peut lui retrancher 10 puis ajouter 1. - Soustraire un nombre L’élève sait utiliser une procédure appropriée pour soustraire un nombre inférieur à 9 à inférieur à 9 à un nombre. un nombre. S’il n’y a pas de « changement de dizaine », il suffit de retirer le nombre à soustraire aux unités. 157 - 5 = ? 7 - 5 = 2. Donc 157 - 5 = 152. Si le retrait de nouvelles unités implique un changement de dizaine, l’élève sait qu’il peut passer par la dizaine inférieure pour décomposer son calcul. Il soustrait d’abord ce qu’il faut pour atteindre la dizaine inférieure, puis déterminer ce qu’il reste à soustraire et le retrancher aux dizaines entières trouvées. 523 - 7 = ? « Je pars de 523 et je veux soustraire 7. La dizaine inférieure est 520, il faut donc retirer 3 pour passer de 523 à 520. » -7 -7 516 523 516 523 520 -3 « Je dois soustraire 7 et j’ai déjà soustrait 3, il faut donc soustraire encore 4 car 7 = 3 + 4. » L’élève utilise ensuite la procédure apprise au CP pour soustraire un nombre inférieur à 9 à un nombre entier de dizaines. -7 -7 523 516 523 520 520 -4 -3 -4 -3 523 - 7 = 516. - Déterminer la moitié d’un L’élève sait que, pour déterminer la moitié d’un nombre pair, il peut le décomposer en nombre pair. centaines, en dizaines et en unités pour faire apparaitre des nombres dont il a mémorisé les moitiés. Par exemple pour déterminer la moitié de 470, l’élève peut noter les éléments suivants sur son ardoise : 470 = 400 + 70 200 + 35 = 235 L’élève pourra noter directement le résultat dès qu’il n’aura plus besoin des traces écrites intermédiaires. - Calculer le produit d’un L’élève sait verbaliser « 13 fois 7, c’est 10 fois 7 plus 3 fois 7. » nombre compris entre 11 et 13 × 7 = (10 + 3) × 7 19 par un nombre inférieur à 10 × 7 = 70 10 = 10 × 7 + 3 × 7 10 en décomposant le plus = 70 + 21 grand des deux facteurs en la = 91 somme de deux nombres L’élève sait aussi formuler cette procédure en décomposant le 3 × 7 = 21 3 (propriété de distributivité de deuxième facteur : « 7 fois 13, c’est 7 fois 10 plus 7 fois 3. » la multiplication par rapport 7 à l’addition). La résolution de problèmes L’enseignement de la résolution de problèmes arithmétiques vise à développer l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes de manière autonome. La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite. Celui-ci s’appuie sur le modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier l’étape de la résolution d’un problème sur laquelle un élève est en difficulté : Problème verbal Situation Modéliser Modèle comprise mathématique Régulation Calculer Réponse Répondre Résultat communiquée des calculs Monde réel Domaine des mathématiques La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas l’opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes contenant des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction. La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat cherché. Cette phase s’articule avec des manipulations ou des représentations schématiques qui vont contribuer à comprendre le modèle mathématique en jeu. Au CE1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves au moment où est proposé le problème : manipulation de matériel multibase, schéma représentant du matériel multibase, calcul mental ou opération posée. La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », que l’élève doit apprendre à se poser systématiquement. Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CE1, à savoir les nombres entiers jusqu’à mille. Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise. Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes ayant les structures qui sont répertoriées dans le programme. Des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être proposés tout au long de l’année. Objectifs d’apprentissage Exemples de réussite - Résoudre des problèmes L’élève sait s’appuyer, si cela lui est utile, sur un schéma en barre pour modéliser ensuite additifs en une étape de type le problème par une addition ou une soustraction. parties-tout. Par exemple, pour le problème « Dans mes deux coffres, j’ai 227 billes. J’en ai 113 dans mon coffre vert. Combien en ai-je dans mon coffre rouge ? », il sait construire et utiliser un schéma comme le suivant. 227 billes coffre vert 113 coffre rouge ? Pour résoudre un problème de transformation (ajout, retrait), l’élève sait s’appuyer, si cela lui est utile, sur un schéma en barre. Par exemple, pour le problème « Dans ma boite, il y avait des images. J’en ai distribué 56 et il m’en reste encore 217. Combien y avait-il d’images dans ma boite avant que j’en distribue ? », il sait construire et utiliser un schéma en barre comme le suivant. ? images au début 56 images distribuées 217 images restantes L’élève peut aussi choisir de construire un schéma avec un déplacement sur un axe : - 56 images distribuées 217 images ? images à la fin au début L’élève comprend que, sur le schéma précédent, l’axe n’est pas chronologique : on va vers la droite quand les quantités augmentent et vers la gauche quand les quantités diminuent, quel que soit l’ordre des évènements. L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :  Un album peut contenir 350 photos. Lucie a 287 photos et Léo en a 72. L’album peut-il contenir toutes les photos de Lucie et Léo ?  Lucie a acheté un pain à 1,20 €, un croissant à 90 centimes et un gâteau à 12 €. Combien Lucie a-t-elle dépensé ? - Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes additifs de comparaison lorsque deux des trois additifs de comparaison en éléments suivants sont donnés et que le troisième est recherché : la valeur de chacune une étape. des deux parties comparées et l’écart entre les deux parties. Il sait produire, si nécessaire pour soutenir la modélisation, un schéma avec deux barres. Par exemple, pour le problème « Léo a 188 billes. Lucie en a 75 de plus que Léo. Combien Lucie a-t-elle de billes ? », l’élève sait produire et utiliser un schéma comme le suivant : L u cie ? Léo 188 billes 7 5 billes L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants :  Dans l’école, il y a 111 garçons et 257 filles. Combien de filles y a-t-il de plus que de garçons ?  Elsa a 15,30 € dans sa tirelire. Elle a 6 € de plus que ce que son frère Noé a dans sa tirelire. Quelle somme d’argent Noé a-t-il dans sa tirelire ? - Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants : additifs en deux étapes.  Dans la bibliothèque de classe, il y a 83 livres. Le professeur en apporte 18 de plus. Les élèves en empruntent 27. Combien y a-t-il de livres dans la bibliothèque de classe ?  À la boulangerie, monsieur Milack achète une baguette à 1,15 € et un pain aux raisins à 95 centimes. Il donne un billet de 5 €. Combien le vendeur va-t-il lui rendre ? Pour les problèmes en deux étapes l’élève peut réaliser un schéma pour chaque étape. Par exemple, pour le problème « À la pâtisserie, madame Martin achète une tarte à 17 € et un gâteau à 26 €. Elle donne un billet de 50 € à la vendeuse. Combien la vendeuse va-t-elle rendre ? », pour la première étape, l’élève peut faire le schéma ci-dessous : ? total des achats tarte 17 € gâteau 26 € Pour la seconde étape, il peut faire un deuxième schéma comme le suivant : 50 € achats 43 € monnaie ? - Résoudre des problèmes L’élève sait résoudre des problèmes multiplicatifs consistant à rechercher la valeur du multiplicatifs en une étape. tout, en s’appuyant, selon la période de l’année et selon les nombres en jeu, sur