S'approprier et maîtriser les savoirs en mathématiques CM - 1 PDF

CM – 1 S’approprier et maîtriser les savoirs en mathématiques. Savoirs à enseigner à l’école Introduction : Un très bref historique : Jusqu’à 1970, le mot « mathématique » n’apparaît pas encore dans les programmes à l’école. Il s’agit d’« enseigner des techniques u...

CM – 1 S’approprier et maîtriser les savoirs en mathématiques. Savoirs à enseigner à l’école Introduction : Un très bref historique : Jusqu’à 1970, le mot « mathématique » n’apparaît pas encore dans les programmes à l’école. Il s’agit d’« enseigner des techniques utiles, des outils nécessaires à la vie sociale et professionnelle ». On montre ce qu’il faut faire aux élèves et ils appliquent sur des exercices types. Par exemple : la « règle de trois » est enseignée sous la forme d’une technique qui marche, sans justification. En 1970, une rupture forte : « apprendre intelligemment », tel est l’objectif de la réforme des maths modernes. Il s’agit de former des scientifiques, les futurs ingénieurs. Par exemple : l’écriture des nombres est construite par l’exploration concrète non seulement de la base dix, mais aussi de toutes les autres bases. Ce qui importe c’est de faire comprendre comment le nombre est structuré. Même si on partait de bonne intention, cette réforme des maths modernes est menée dans la précipitation, mal interprété et les enseignants ne sont pas formés. Et très vite après sa mise en œuvre elle est critiquée et abandonnée et laisse des marques dans l’imaginaire collective. Durant les années 1970, un programme de recherche sur la didactique des mathématiques se développe. Il s’agit d’amener les élèves à faire des mathématiques. Pour donner du sens aux notions de mathématiques, les élèves sont confrontés à des situations appropriées. La notion de problème devient centrale. Un moment important en 2002 : ces programmes insistent particulièrement sur les démarches à mettre en œuvre. Pour la première fois, ils sont accompagnés par de très nombreux documents d’application. Mais en 2008, des nouveaux programmes sont rédigés dans la hâte avec parfois des éléments qui posent des problèmes de cohérence. → Ce programme de 2008, évoquait en CM1/CM2, la règle de trois, sans précision. Ce qui a été interprété par bon nombres d’enseignants, comme un retour à la problématique d’avant 1970. Problématique qui sera levé avec le programme de 2016. Par exemple : le programme de 2008 insistait sur les formules de périmètres et d’aires. Les programmes 2016 recommandent de travailler dans un premier temps les grandeurs pour elles- mêmes, indépendamment des mesures. I - Le programme 2016 de l’école élémentaire. Les programmes de l’école élémentaire sont partagés en trois grands domaines : Nombres et Calculs. Grandeurs et Mesures. Espace et Géométrie ⇒ La résolution de problème occupe toujours une place centrale dans l’appropriation par les élèves des connaissances mathématiques. Nombres et calculs Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer et comparer. Cycle 2 Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers. Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul. Calculer avec des nombres entiers. Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux. Cycle 3 Calculer avec des nombres entiers et des nombreux décimaux. Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul.  Grandeurs et mesures Comparer, estimer, mesurer des longueurs, des masses, des contenances et des durées. Cycle 2 Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs. Résoudre des problèmes impliquant des longueurs, des masses, des contenances, des durées, des prix. Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle. Cycle 3 Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs. Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux. Espace et géométrie (Se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères et des Cycle 2 représentations. Reconnaître, et utiliser les notions d’alignement, d’angle droit, d’égalité de longueurs, de milieu, de symétrie. (Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations. Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des Cycle 3 figures et solides usuels. Reconnaître et utiliser quelques relations géométriques (notion d’alignement, d’appartenance, de perpendicularité, de parallélisme, d’égalité de longueurs, d’égalité d’angle, de distance entre deux points, de symétrie, d’agrandissement et de réduction). II – Le programme de maternelle Mis en œuvre depuis 2015 et modifié en 2021, les mathématiques ont fait leur apparitions dans le domaine 4 « acquérir les premiers outils mathématiques ». Dans ce domaine ils vont découvrir les nombres et leurs utilisations ainsi que d’explorer les formes, les grandeurs et les suites organisées. Enfin, ils vont aussi explorer le monde en se repérant dans le temps et l’espace. (Cf CM S1). III – Eduscol. Site à connaître, notamment les programmes et les attendus de fin d’année. IV – Quelques analyses de travaux d’élèves. Didactique des mathématiques : étudie la manière dont les connaissances des mathématique sont crée, transmis et utilisé. Variable didactique : élément de la situation que l’enseignant peut modifier pour faire évoluer la stratégie des élèves (petit/grand nombre, matériel, contrainte) Problème 1 (Ethan) : → Pour faire 8 brioches, il faut 500g de farine, 6 œufs et 200g de beurre. Quelles quantités d’ingrédient sont nécessaires pour fabriquer 16 brioches ? 4 brioches ? Ethan utilise mécaniquement la procédure de retour à l’unité et ne prend pas en considération la relation entre les nombres de l’énoncé ce qui lui aurait facilité la tâche. Il calcule chaque quantité de farine, d’œufs et de beurre pour UNE brioche. Puis, il multiplie les résultats obtenus par le nombre de brioche souhaité. Alors qu’il aurait fallu multiplier par deux tous les ingrédients pour obtenir le double de brioche initial et de les diviser par deux pour obtenir la recette pour 4 brioches. ⇒ Ici, les variables didactiques favorise le recours à la propriété de linéarité pour la multiplication. Ethan sait très bien poser et utiliser une division décimale et aurait dû poursuivre la division. Mais, il ne pousse pas la division jusqu’au bout et s’arrête à un chiffre après la virgule. Ce qui l’empêche de trouver les résultats précis. Problème 2 (CM2): → Il faut 6 orange pour obtenir 300 mL de jus d’orange. On admet que toutes les oranges fournissent la même quantité de jus. Quelle quantité de jus peut-on obtenir avec 9 oranges ? /Comment pourrait-on modifier les données numériques de l’énoncé du problème ci-dessus afin d’amener les élèves à utiliser la procédure dite « de retour à l’unité » ? * Il faut 6 oranges pour obtenir 300 mL de jus d’orange. Quelle quantité 300 mL : 6 = 50 mL de jus peut-on obtenir avec 11 oranges ? 50 mL x 11 = 550 mL Problème 3 (CE2) : → 3 pirates se partagent 45 diamants. Combien de diamant reçoit chaque pirate ? * La division n’est pas encore une procédure experte au CE2. Les élèves doivent imaginer une procédure personnelle qui s’appuie sur leurs connaissances. Arthur : il schématise les 45 diamants en dessinant 4 paquet de 10 diamants et isole les 5 derniers. Il les repartit ensuite équitablement en commençant par distribuer un paquet de 10 à chaque pirate et casse le dernier paquet de 10 en deux paquets de 5 et trouve que chaque pirate aura une dizaine de diamants et 5 diamants supplémentaire. ⇒ Il fait une addition qui lui permet de contrôler sa réponse (qui aurait été coûteuse avec plus de diamants), il n’a pas fait d’erreur et les flèches de son dessin se croisent mais sans ambiguïté. La procédure d’Arthur est proche de celle qu’il aurait pu faire s’il avait les objets en mains et on notera qu’elle préfigure un des algorithmes de la division posée. Anaïs : elle fait des essais successifs pour approcher 45 par des multiple de 3, elle teste 3x10 puis 3x20. Elle en conclu que probablement les pirates vont recevoir entre 10 et 20 diamants. Et elle affine, et donne le bon résultat. ⇒ La procédure d’Anaïs préfigure le second algorithmes de la division posée (cf CM) Nisrine : vérifie par une addition itéré que le nombre 15 qu’elle a sans doute obtenu pas un calcul réfléchis est la bonne solution (elle a probablement fait le lien que 45 minutes c’est 3 quart d’heure c’est 3x15 minutes, c’est courant au CE2). Problème 4 : → Un pâtissier a réalisé 237 petits fours. Il les range en remplissant des boîtes qui peuvent contenir 16 petits fours chacune. Combien de petits fours reste-t-il ? Montre ce que tu as fais pour répondre. L’élève A commence par des additions itérés 16+16+16 jusqu’à avoir rangé 96 petits fours et accélère 96+96 puis ralentit en faisant 192 + 16. Il arrive finalement à 240 petits fours, s’arrête, voit qu’il en a trop et fait une addition à trous. 224+?=237 et trouve qu’il manque 13 petits fours pour arriver a 237 petit four. L’élève a trouvé inintéressant d’essayer de trouver le nombre de boîte de petit fours. L’élève B, il dessine les 237 petits fours, et à fait des groupes de 16 petits fours, sa démarche est correcte mais un peu longue. L’élève C a utilisé une méthode experte, la division euclidienne et parvient à obtenir ce qu’il cherche.  L’élève D à comprit ce qu’il fallait faire, il décide de faire une multiplication à trou, mais on ne sait pas comment il a trouver 14. Ensuite au lieu de faire une addition à trous il fait une soustraction pour trouver le résultat. L’élève E n’a pas réussi à modéliser le problème, sa soustraction est juste mais il n’a pas réussi à trouver une solution au problème. V – Analyse de deux exemples d’énoncés. /Pierre est allé voir les poules et les lapins de son voisin. Il a compté les têtes de tous les animaux, il a trouve 4. Ensuite, il a compté les pattes et a trouvé 14. Combien de poules, combien de lapins ? Lapin 4 pâtes x 3 = 12 Poule 2 pâtes x 1 = 2 14 pâtes et 4 tête. Méthode experte : x + y = 4 et 2x + 4y = 14 Un élève de chaque section pourrait réussir le résultat en ajoutant un lapin, puis deux et trois, et en ajoutant la poule. Elève de CM1 ⇒ Le problème a parfaitement été modélisé et les enfants on réussis à le résoudre ce qui montre qu’il on réussi la mobilisation effective de la compétence « Mobiliser ». Autre exercice : Pour comparer les aires A/B/C il existe deux procédure. Procédure 1 : on compte les carreaux. Procédure 2 : on découpe et on recombine. Pour comparer les périmètres A/B/C il existe deux procédure. Procédure 1 : consiste à utiliser la mesure en prenant comme longueur du côté d’un petit carreaux Avec le compas on trace des arc de cercle représentant chaque segment de la figure et on s’aperçoit que chaque figure a un périmètre différent. L’aire de la figure E < l’aire de la figure A mais sont périmètre est plus long que celui de la figure A Le périmètre de la figure A et D sont identique mais sont < au périmetre de la figure E ⇒ Le but de cette séance démontre l’indépendance de l’aire et le périmètre d’une figure.