Oлимпиада есептер жинағы 5-11 сыныптар PDF

**ОЛИМПИАДА ЕСЕПТЕРІ** **5 сынып** 1\. 13-ке бөлгенде қалдықпен және бөліндісі 17-ге тең болатын ең үлкен бүтін санды табыңдар. [Шешуі:] а=13\*17+12=33. 2\. Бақа тереңдігі 25м құдыққа түсіп кетті. Ол құдықтан шығу үшін күніне 5м көтеріліп, 4м қайта түсіп отырды. Бақа неше күнде құдықтан шығады?...

**ОЛИМПИАДА ЕСЕПТЕРІ** **5 сынып** 1\. 13-ке бөлгенде қалдықпен және бөліндісі 17-ге тең болатын ең үлкен бүтін санды табыңдар. [Шешуі:] а=13\*17+12=33. 2\. Бақа тереңдігі 25м құдыққа түсіп кетті. Ол құдықтан шығу үшін күніне 5м көтеріліп, 4м қайта түсіп отырды. Бақа неше күнде құдықтан шығады? [Шешуі:] 21 күнде. Бақа 20 күнде 20м шығады, 5м көтерілетіндіктен 21 күні 20+5=25м болады, олай болса құдықтың басына шыққандықтан қайта түспейді. 3\. Алынған сан 36-ға бөлінетіндей 52\*2\* жазбадағы жұлдызшаларды цифрлармен алмастырыңдар. [Шешуі:] Сан 36-ға бөлінеді, егер ол 4-ке де 9-ға да бөлінетін болса. 5,2,2 цифрларының қосындысы 9-ға тең болғандықтан, жетіспей тұрған екі цифрлардың қосындысы 0,9 немесе 18 болуы керек. Алынатын сан 4-ке бөлінетінін, ал соңғының алдындағы цифр 2-ге тең екенін ескерсек, онда соңғы цифр тек 0 мен 4 немесе 8 болуы мүмкін. Онда жауабы мына сандар болады: 52524, 52128, 52020, 52920. 4\. Сыныпта математиканы ұнататын қыздардың саны математиканы ұнатпайтын ұлдардың санымен бірдей. Сыныпта кімдер көп: математиканы ұнататын оқушылар ма, әлде ұлдар ма? [Шешуі:] Барлық оқушыларды екі топқа бөлеміз: біріншісінде -- ұлдар, екіншісінде -- қыздар. Осыдан кейін математиканы ұнатпайтын ұлдарды -- екінші, ал математиканы ұнататын қыздарды бірінші топқа ауыстырамыз. Топтардың саны бұдан өзгермейді. Бірақ бірінші топта математиканы ұнататын оқушылардың барлығы болады, сондықтан математиканы ұнататын оқушылар саны ұлдардың санымен бірдей. 5\. Кітапханада ағылшын, француз және неміс тілінде кітаптар бар.Ағылшын тіліндегі кітаптар барлық шет тіліндегі кітаптардың 40%-ын, француз тіліндегілер ағылшын тіліндегінің 75%-ын құрайды, ал қалған 210 кітап неміс тіліндегілер. Кітапханада шет тілінде неше кітап бар? [Шешуі:] Барлық кітап саны - х болсын, есеп шартынан 0,4х + 0,75\*0,4х + 210 = х бұдан х = 700 Жауабы :700 1 6\. 9 тиынның біреуі жалған және ол басқаларынан жеңіл. Табақты таразы арқылы гирсіз екі өлшегеннен жалған тиынды қалай анықтауға болады? [Шешуі:] 9 тиынды 3 тиыннан 3 бөлікке бөлеміз. Кез-келген 2 бөлікті өлшейміз,егер таразының екі жағы тең болса, онда жалған тиын үшінші бөлікте болғаны. Оны 1 тиыннан тағы да 3 бөлікке бөлеміз де екеуін таразыға салып өлшейміз, қайсысы жеңіл сол жалған.Ал бұл екеуі тең болса, онда қалған тиын жалған болғаны. 7\. 5 л және 7 л-ік ыдыс арқылы 6 л суды қалай құяды? [Шешуі:] a) 7 л толтырып 5л құяды, сонан соң оны төгіп , қалған 2 л қайта 5л құяды. b\) 7 л толтырып 5л-ге құяды. 7л-де →4л қалады 5л төгіп 4л →5л құяды c)7л толтырып 1л→5л құяды. Сонда 7л→6л қалады 8.Осы фигураны төрт тең фигураларға бөл: [Шешуі: ] 9\. Екі сағат бір уақытта соғуды бірге бастап, бірге аяқтады. Бірінші сағат -- әрбір екі секунд сайын, екінші сағат -- әрбір үш секунд сайын соғады. Есептегенде барлығы 13 соғу болды (бірігіп қалған соғулар бір соғу деп есептелінеді). Бірінші соғу мен соңғы соғудың арасында қанша уақыт өтті? [Шешуі:] 18с. 10\. Қарбыздың салмағы 20 кг болды, ал ондағы құрғақ зат 1% - ын құрайды. Біраздан кейін қарбыз құрғап қалды да, құрғақ зат 2% болды. Қарбыздың соңғы салмағы қандай? [Шешуі:] Құрғақ заттың 0,2 кг-мы , қарбыздың салмағы 10 кг болатын болды. 2 11\. Үш жұмысшы ботқа пісірді. Бірінші 2 кесе жарма, екінші 1 кесе жарма, ал үшіншісінде ешқандай жарма болмады. Ботқаны барлығы тең бөліп жеді. Үшінші жұмысшы: «Ботқаларыңа рахмет, мен сендерге 50 теңге беремін, сонда менің жеген ботқамды сендер салған жармамен қалай бөліп аласыңдар?» - деді. [Шешуі:] Ботқаны 3 кеседен пісіріп, тең бӛліп жегендіктен, әр қайсысы 1 кесе жейді. Сондықтан үшіншінің ақшасын біріншіге беру керек. 12\. Кез келген үш натурал санның арасынан әрқашанда қосындысы 2-ге бөлінетін 2 сан табуға болатынын дәлелдеңдер. [Шешуі:] Үш санның ең болмағанда екеуі бірдей жұп, ендеше олардың қосындысы 2-ге бөлінеді. 13\. Ең үлкен бір орынды санға, ең үлкен екі орынды санды неше рет қосқанда, ең үлкен үш орынды сан шығады? [Шешуі:] 1) 9+n\*99=999 n=10 Жауабы : 10 рет. 14\. 7\*9+12:3-2-ге жақшаны қойғанда а) 23 ә) 75 шығу керек. [Шешуі:] а) (9\*7+12):3-2=23 ә) (7\*9+12):(3-2)=75 15\. Серік мектепке автобуспен барып, қайтқанда жаяу келеді, сонда барлық жолға 1 сағ 30 минут уақыт жыбереді. Егер автобуспен жүрсе 30 минут уақыт жібереді. Егер Серік мектепке жаяу барып қайтса, оған қанша уақыт жібереді? [Шешуі:] 30мин:2=15мин. Серік мектепке автобуспен барады 1сағ 30мин-15мин=1сағ15мин Серік жаяу жүреді 1сағ15мин+1сағ15мин=2сағ30мин Жауабы: 2сағ30мин. 16.Қалған саны ең үлкен болатындай етіп берілген 123456789101112131415\... \...\...\...\...5657585960 санының 100 цифрын сызып таста. [Шешуі:] 99999785960 17\. Кеме дүйсенбі күні түсте жүзуге кетті. Жүзу 100 сағатқа созылса, онда кеме қай күні қандай сағатта оралады? [Шешуі:] сөткеде 24 сағат бар 100сағ=4\*24сағ+4сағ=4сөтке+4сағ Ендеше кеме жұмада 16 сағ. келеді. 3 18\. Ұзындығы 16 см, ені 9см тік төртбұрышты қалай тең екі бөлікке бөлуге және одан квадрат құруға болады? [Шешуі: ] 19\. Есепте: 101101\*999-101\*999999 [Шешуі:] 6) 101101\*999-101\*999 999= 101\*1001\*999-101\*999\*1001=0 20\. 3п+1 сандарының ішінен 5-ке еселік болатын үш санды табыңдар. Шешуі: 10,25,40. 21\. 9 бет қағаз болған, оның кейбіреуін 3 бөлікке бөлгенде 15 бет қағаз болды. Қанша бет қағазды бөлген? [Шешуі:] әр бетті 3 бөлікке кескенде беттер 2-ге артады, 15-9=6 (бет) 6:2=3 (бетті кескен) 22\. Өрнектің мәнін тап: 26\*25-25\*24+24\*23-23\*22+22\*21-21\*20+20\*19-19\*18+18\*17-17\*16+16\*15-15\*14. [Шешуі:] 26\*25-25\*24+24\*23-23\*22+22\*21-21\*20+20\*19-19\*18+18\*17-17\*16+16\*1515\*14= =25(26-24)+23(24-22)+21(22-20)+19(20-18)+17(18-16)+15(16-14)= =2\*(25+23+21+19+17+15)=2\*120=240. 23\. Жанұяда 4 бала бар, олар 5,8,13 және 15 жаста. Олардың аттары Айнур, Болат , Әсем Әсель. Олардың біреуі бала бақшасына барады , Айнур Болаттан үлкен және Айнур мен Әсемнің жастарының қосындысы 3-ке бөлінеді. Әр қайсысы неше жаста? [Шешуі:] В-5жас ,Б-8жас, А-13 жас, Г- 15 жас. 4 24\. Азайғыш, азайтқыш және айырманың қосындысы 26 болса, азай-ғышты тап. [Шешуі:] Азайтқыш пен айырманың қосындысы азайғыш болады ,онда екі азайғыш 26 болса, азайғыш 13 болады. 25\. Балықшылар салмағы 100гр, 200гр, \...., 1900гр 19 балық ұстады. 10 балықшы балықты тең бөліп ала ма? Егер бөлсе қалай? Бөле алмаса неге? [Шешуі:] (1900+100)\*9+1000=19000(гр) барлық балық салмағы. Әр балықшыға 1900гр. 1900гр;100гр;1800гр;\...\...900гр+1000гр **6 сынып** 1\. Барлық үш орынды авс санын тап, егер мына теңдік орындалса: авс =2(ав+вс+ас). [Шешуі:] 138;144;150;288;294. 2\. Оқушы кітапты үш күнде оқыды.Бірінші күні кітаптің 0,2 -сін және 16 бетті, екінші күні қалғанының 0,3-ін және 20 бетін, үшінші күні қалғанының 0,75-ін және 30 бетін оқыды. Кітапта неше бет бар? [Шешуі:] х --кітап бетінің саны 1-ші күні 0,2х+16 бет оқылды 2-ші және3-ші күндеріне қалғаныны 0,8х-16 2-ш күні 0,3(0,8х-16)+20 бет оқылды 3-ші күні 0,56х-31,2 бет оқылды Сонда 3-ші күні 0,75 қалғанының және 30 бет оқылса онда қалдық 120 бет 0,56х-31,2=120, х=270 бет 3\. Көйлек 500 теңге тұрады. Осы бағаны 10% арттырып, 10% кемітті. Енді көйлектің бағасы неше теңге болды? [Шешуі:] 550-55 = 495 (теңге) 4\. 15 санының алдына және соңына бір цифр қойғанда, шыққан сан 15-ке бөлінуі керек. [Шешуі:] 1155;3150;4155;6150;7155;9150. 5\. Мектепте 33 сынып, 1150 оқушы бар. 35 оқушыдан кем оқушысы бар сынып табыла ма? [Шешуі:] Барлық сыныпта 35 оқушы болса, онда 35\*33=1155 оқушы болады, бұл есеп шартына қайшы, ендеше 35 --тен кем оқушы бар сынып бар. 5 6\. Дөңгелекке 2009 натурал сан жазылған. Қосындысы жұп сан болатын екі көрші сан табылатынын дәлелдеңдер. [Шешуі:] Көршілес натурал сандардың қосындысы әрқашанда тақ болады және натурал сандар саны жұп болса, ал дөңгелекке 2009 сан орналастырылған, ол -- тақ сан сондықтан, 1 мен 2009 көршілес, ал олардың қосындысы 2010 -- жұп сан. 7\. Гаражда 54 жүргізуші бар.Егер әр күні гараждағы 60 машинаның 25%-ы өз ақауларын жөндеу үшін жұмысқа шықпай қалса, онда бір айда (30 күн) әр жүргізушінің неше бос күні болады? Шешуі: Әр күні 0,25\*60 = 15 машина гаражда қалады. 60 -- 15 = 45 машина жұмысқа шығады, 54 -- 45 = 9 жұмыстан бос қалады. Бір айда 30\*9=270 адам-күн бос. Әр жүргізушінің 270 : 54 = 5 бос күні болады. Жауабы: 5 8\. Сүтімен шелектің массасы 32 кг, сүтсіз -2кг. Шелектің жартысы сүтпен толтырылса оның массасы қандай? [Шешуі:] 17 кг. 9\. Үш қыз ақ, көк, жасыл көйлек және сондай туфли киды. Егер Айгүлдің көйлегі мен туфлиі бірдей болса, ал Гулнардың не көйлегі не туфлиі ақ емес, Нүргүлдікі жасыл туфли болды. Әр қыздың көйлегі мен туфлилерінің түрін анықта. [Шешуі:] Айгүл-ақ көйлек , ақ туфли Гүлнар- жасыл көйлек, көк туфли Нұргүл-көк көйлек, жасыл туфли. 10\. Екі өзара жай сандардың көбейтіндісі 3232. Ең кіші ортақ еселігін және осы сандарды тап. Шешуі: 3232=32\*101=2\*2\*2\*2\*2\*101 еселігі 3232. 11\. х-тің 13,5%, у-тің 12,5%-не тең болса, х және у сандарын салыстыр. [Шешуі:] 13,5х=12,5у, х\у, егер х және у-теріс сан болса. 12\. Өлшемі 2х2х2 кубты бояу үшін 2 грамм бояу керек. Өлшемі 6х6х6 кубты бояу үшін қанша бояу керек? [Шешуі:] Кубиктің үлкен жағы кіші кубиктің жағынан 9 есе үлкен болса , онда бояу да 9 есе көп кетеді , ендеше 18 гр. 6 13\. 2008 натурал санның қосындысы -- тақ сан. Осы сандардың көбейтінділері тақ па, әлдә жұп сан бола ма? [Шешуі:] 2008 натурал санның барлығы жұп, тақ , жұп және тақ болады. Бірінші және екіншіcі болмайды, себебі олардың қосындысы тақ, ендеше 2008 натурал сандарының ішінде тақ та, жұп та сандар бар , сондықтан олардың көбейтінділері жұп болады. 14\. 1-ден 12-ге дейінгі сандарды пайдаланып екі тіктөртбұрыш пен бір шаршының төбелеріндегі сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп жазыңдар. [ ]{.math.inline} [*Шешуі*:  ]{.math.inline}1-ден 12-ге дейінгі сандардың қосындысы 78-ге тең. Онда тіктөртбұрыш пен шаршының төбелеріндегі сандардың қосындысы 26-ға тең болады. Мүмкін жағдайлар: 12,9,1,4 - шаршының төбелері 11,8,2,5 және 10,7,3,6 - тіктөртбұрыш төбелері. 15\. Сыныпта 25 оқушы бар, олардың жастарының қосындысы 270 жыл. Сыныпта 20 оқушы табыла ма, олардың жастарының қосындысы 260 тан артық болатын? [Шешуі:] 20 оқушы табылсын , қалған 5 оқушының жастарының қосындысы 10 үлкен болмайды , сонда орташа жастары 2 ден артық болмайды. Бүл қайшы , ендеше ондай оқушылар жоқ. 16\. Көлде 1 лилия гүлдеді. Әр күні гүлдер саны көбейді де 10 -шы күні барлық өзенді гүлдер көмкерді.Көлдің жартысын гүлдер нешінші күні көмкереді? [Шешуі:] Тоғызыншы. 7 17\. Ерік дүкеннен 1 қаламды 1 теңге 80 тиынға және 6 қарандаш алуға барды. Дүкенші Еріктен 5 теңге бересің, сонда Ерік мен қателестім деді. Еріктікі дұрыс па және неге? [Шешуі:] 5 теңге-1 теңге 80т=3 теңге 20 тиын=320 тиын 320 бөлінбейді 6-ға. 18\. 11\*21\*31\*41\*51\*61\*71\*81\*91-1 10-ға бөліне ме? Неге? [Шешуі:] Көбейтіндінің соңғы цифры 1-ге аяқталады, онда айырма 0-мен аяқталады , ендеше 10-ға бөлінеді. 19\. Есептеңдер: -90-89-88-\....-1+0+1+2+\....98+99+100 [Шешуі:] -90-89-88-\...-1+0+1+2+3+\...+98+99+100=(91+100)\*5=955. 20\. Алматыдан Талдықорғанға дейін 40 км/сағ жылдамдықпен машина шықты және 1 сағат жүрді. Кері қайтқанда ол 60 км/сағ жылдамдықпен жүрді. Машинаның орташа жылдамдығын тап. [Шешуі:] 48 км/сағ. 21\. 4х4 метр өлшемі бар кілемді 15 тесік жасап құрт жеді. Өлшемі 1х1 метр кілемді кесіп алуға бола ма? Және оның ішінде тесік болмау керек. [Шешуі:] 16 кілемшелерге 1х1 бөлеміз 16\>15 сонда бір кілемше тесіксіз қалады. 22\. Жеті алманы 12 адамға, бір алманы 4 тен артық бөлікке бөлмей тең беруге бола ма? [Шешуі:] 7:12 =[\$\\ \\frac{7}{12}\\ \$]{.math.inline}= [\$\\frac{1}{4}\\ \$]{.math.inline}+ [\$\\frac{1}{3}\$]{.math.inline} онда 3 алманы 4 бөлікке , ал 4 алманы 3 бөлікке бөлуге болады. 23\. Бөлінгіш пен бөлгішті 3 есе арттырғанда, бөлінді мен қалдық өзгере ме? [Шешуі:] a=bq+r 3-ке көбейтеміз 3a=3bq+3r ендеше қалдық 3 есе өседі, ал бөлінді өзгермейді 5=3\*1+2 5\*3=15 3\*3=9 15=9\*1+6 қалдық өзгерді. 24\. [\$\\frac{\\ а\\text{\\ \\ }}{х - 5}\$]{.math.inline}[\$\\frac{а}{х - 5}\$]{.math.inline}[\$\\frac{9}{10};\$]{.math.inline} [\$\\frac{10}{11};\\ \\ \$]{.math.inline} [\$\\frac{11}{12};\\ \\ \$]{.math.inline} [\$\\frac{12}{13};\$]{.math.inline} сандарын кему ретімен орналастырыңдар. [Шешуі:] 1-[\$\\ \\frac{9}{10}\\ \$]{.math.inline}=[\$\\ \\frac{1}{10}\$]{.math.inline} ; 1-[\$\\ \\frac{10\\ }{11}\\ \$]{.math.inline}=[\$\\ \\frac{1}{11};\\ \\ \$]{.math.inline} 1-[\$\\ \\frac{11}{12}\\ \$]{.math.inline}=[\$\\ \\frac{1}{\\ 12};\$]{.math.inline} 1-[\$\\ \\frac{12}{13}\\ \$]{.math.inline}=[\$\\ \\frac{1}{13};\$]{.math.inline} [\$\\frac{1}{10}\\ \\ \> \\ \\frac{1}{11}\$]{.math.inline} [\>]{.math.inline} [\$\\frac{1}{\\ 12}\$]{.math.inline} [\>]{.math.inline} [\$\\frac{1}{13}\$]{.math.inline} болса, онда [\$\\frac{9}{10}\$]{.math.inline} [\ 2, АМ \> 2АS екенін дәлелдеу керек. 34 9.Теңсіздікті шеш: [\$\\sqrt{х\^{2\\ } + 3х + 4}\$]{.math.inline} + [\$\\sqrt{х + 1}\$]{.math.inline} [ \> 1, 4]{.math.inline}; [Шешуі:]  \[−1;∞) f(х) = [\$\\sqrt{х\^{2\\ } + 3х + 4}\$]{.math.inline} + [\$\\sqrt{х + 1}\$]{.math.inline} [ \> 1, 4]{.math.inline}  анықталу аймағында монотонды өспелі, сондықтан f (х ) ≥ f (-1) = [\$\\sqrt{2}\\ \$]{.math.inline}\>1.4 10.Теңсіздікті дәлелде: [\${ln(}{х + 1}) \\leq х - \\frac{х\^{2}}{\\left( х + 1 \\right)(х + 2)}\$]{.math.inline} , х[  ≥ 0]{.math.inline} [Шешуі:] q(x) = x -[\$\\text{\\ \\ }\\frac{х\^{2}}{\\left( х + 1 \\right)(х + 2)}\$]{.math.inline} - [*ln*(*х* + 1)   ]{.math.inline}оң жарты осьте монотонды кемитіндігін көрсет qᴵ(x) ≥ 0, х ≥ 0 qᴵ(x) = [\$\\frac{х\^{4} + 5х\^{3} + 5х\^{2}}{{(х + 1)}\^{2}{(х + 2)}\^{2}}\$]{.math.inline} болса теңсіздік дәлелденді. 11\. Фукцияның графигін салыңдар: y = [\$\\sqrt{4\\sin\^{4}x - 2cos2x + 3}\$]{.math.inline} + [\$\\sqrt{4\\cos\^{4}x + 2cos2x + 3}\$]{.math.inline} ; [\$Шешуі:\\ \\ y\\ = \\sqrt{4\\sin\^{4}x - 2(1 - 2\\sin\^{2}x) + 3}\$]{.math.inline} + [\$\\sqrt{4\\cos\^{4}x + 2(2\\cos\^{2}x - 1) + 3}\$]{.math.inline} , [\$y\\ = \\sqrt{4\\sin\^{4}x + 4\\sin\^{2}x + 1}\$]{.math.inline} + [\$\\sqrt{4\\cos\^{4}x + 4\\cos\^{2}x + 1}\$]{.math.inline} , [\$y\\ = \\sqrt{{(2\\sin\^{2}x + 1)}\^{2}}\$]{.math.inline} + [\$\\sqrt{{(2\\cos\^{2}x + 1)}\^{2}\\ },\$]{.math.inline} [*y*  = \|2sin^2^*x*+1\|]{.math.inline} + [\|2cos^2^*x*+1\|]{.math.inline}, [*y*  = 2sin^2^*x* + 1 + 2cos^2^*x* + 1]{.math.inline}, \ [*y*  = 4]{.math.display}\ Жауабы: Графигі [ *y*  = 4]{.math.inline} түзу сызық. 12\. Теңдеудің бүтін түбірін тап: 2[*х*^2^]{.math.inline}-1=2ху [*Шешуі* :  ]{.math.inline}Берілген теңдеудің шешімі жоқ, себебі сол жағы тақ сан, ал оң жағы жұп сан. 13\. Төрт таңбалы санның цифрларын кері жазғанда шыққан сан берілген саннан 4 есе кем болатын санды тап. [*Шешуі*:]{.math.inline} 1000а+100в+10с+d деп белгілеу керек сонда 4(1000а+100в+10с+d)=1000d+100c+10b+a Сол жағы жұп болғандықтан , оң жағы да жұп болады , ендеше а-жұп цифр. а=2 басқа цифрды қойсақ бес орынды болады. 4d 2-ге аяқталады d=8. 4(1000\*2+100в+10с+8) =1000\*8+100с+10в+2 , 4(10в+с)+3=10с+в 40в+4с+3=10с+в , 13в+1=2с, в=1 ,с=7 і зделінді сан 2178 Жауабы: 2178 35 14\. Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: [sin 47^0^+ sin 61^0^ − sin 11^0^ − sin 25^0^]{.math.inline}= [cos 7^0^ ]{.math.inline} [*Шешуі*:]{.math.inline} [2sin 11^0^ \* cos 36^0^   + 2sin 25^0^ \* cos 36^0^ ]{.math.inline}= [cos 7^0^ ]{.math.inline} [   2 *cos*36^0^( sin 11^0^ + sin 25^0^)]{.math.inline} = [cos 7^0^ ]{.math.inline} [   2 *cos*36^0^ \* 2 sin 18^0^\*cos 18^0^ ]{.math.inline} = [cos 18^0^ ]{.math.inline} \ [ sin72^0^= cos 18^0^ ]{.math.display}\ \ [ sin(90^0^−18^0^)= cos 18^0^ ]{.math.display}\ [ cos 18^0^= cos 18^0^  ]{.math.inline} 15\. Теңдеуді шеш: [   2^*х*^]{.math.inline}+[3^*х*^]{.math.inline}=[\$\\ \\frac{5}{6}\$]{.math.inline}; [*Шешуі*:]{.math.inline} Сол жағы барлық нақты сан жиынында өспелі функция, сондықтан барлық мәнді бір рет қабылдайды. мәнін функция х= -1 --ге тең болғанда қабылдайды. [\$\\frac{5}{6}\$]{.math.inline} мәнін функция х=-1 --ге тең болғанда қабылдайды. Жауабы: х= -1. 16\. а-нің қандай мәнінде [\$\\left\\{ \\begin{matrix} \\left\| х \\right\| + у - 4 = 0 \\\\ {(у - а)}\^{2} + х = 9 \\\\ \\end{matrix} \\right.\\ \$]{.math.inline} теңдеу жүйесінің бір шешімі бар? [*Шешуі*:]{.math.inline} а=7 Координата жазықтығында у=4-[\|*х*\|]{.math.inline} және [(*у* − *а*)^2^ + *х* = 9]{.math.inline} графиктерін салу керек. (0;а) және R=3 шеңбер теңдеуі болады. 17\. [\$\\cos{1\^{0} \< \\ }\\frac{14399}{14401}\$]{.math.inline} теңсіздігін дәлелде. [*Шешуі*:]{.math.inline} 1+cos1° = 2[\$\\text{\\ cos}\^{2}\\left( {\\text{\\ \\ }\\frac{1}{2}}\^{0} \\right)\\ \$]{.math.inline}= [\$\\frac{2}{1 + \\text{\\ \\ \\ tg}\^{2}\\frac{1}{2}}\\ \$]{.math.inline}=[\$\\ \\frac{2}{1 + \\text{\\ \\ \\ tg}\^{2}\\frac{\\pi}{360}}\\ ,\$]{.math.inline} [\$\\text{tg}\\frac{\\pi}{360}\$]{.math.inline} бағала. Бірлік дөңгелектің секторын х (0 \< х \х, 0\[\$\\ \\frac{\\pi}{360\\ }\$]{.math.inline}\>[\$\\ \\frac{\\pi}{120}\$]{.math.inline} және 1+cos1° =[\$\\ \\frac{2}{1 + \\text{\\ \\ \\ tg}\^{2}\\frac{\\pi}{360}}\\ \$]{.math.inline}\< [\$\\frac{2}{1 + ({\\frac{1}{120})}\^{2}}\$]{.math.inline} =[\$1 + \\ \\ \\frac{14399}{14401}\$]{.math.inline}; Теңсіздік дәлелденді. 18\. Теңдеуді шеш:[  cos^2^*x*]{.math.inline}((х-3)[ sin *х*]{.math.inline})[  = 1 + \|log~3~(*х*^2^−5*х*+7)\|]{.math.inline} [*Шешуі*:]{.math.inline} [ cos^2^*x*]{.math.inline}((х-3)[ sin *х*]{.math.inline})[  = 1]{.math.inline} және [ 1 + \|log~3~(*х*^2^−5*х*+7)\| = 0]{.math.inline} Екінші теңдеу [ *х*^2^]{.math.inline} -5х+6=0 [ cos^2^]{.math.inline} ((х-3) sinх) = 1 Х~1~=3; х~2~=2 х=3 Жауабы: х=3. 36 19\. Теңдеу жүйесін шеш: [\$\\left\\{ \\begin{matrix} х\^{2} + ху + у\^{2}z - \\frac{1}{3}у\^{2}z\^{3} = 0 \\\\ х\^{2} - у\^{2} + 3у\^{2}z - z\^{2}х = 0 \\\\ х\^{2} + ху + уz\^{2} = 0 \\\\ \\end{matrix} \\right.\\ \$]{.math.inline} [*Шешуі*:]{.math.inline} Бірнеше жағдайды қарастыр: 1\) х=0 және у=0 болса z өз бетінше қалады, 2\) у=0 және х=0 болса z өз бетінше қалады, 3\) z=0 онда х және у≠0 х=с, у=-с с кез келген сан с≠0 сондықтан бірінші теңдеуді 3у-ке, екіншіні (-у)-ке, үшіншіні х-ке көбейтіп қос. [*х*^3^]{.math.inline}+3 [*х*^2^]{.math.inline}у+3х [*у*^2^]{.math.inline}+[*у*^3^]{.math.inline} - [*у*^3^*z*^3^]{.math.inline}=0 ( [*х* + *у*)^3^ = (*уz*)^3^]{.math.inline} х+у=уz бірінші теңдеуден [*х*^2^]{.math.inline}+ху+у(х+у) = [\$\\frac{3}{z}\$]{.math.inline} ( [*х* + *у*)^2^]{.math.inline} z=3 үшіншіден хуz+у[*z*^2^]{.math.inline}=0 х=- z =-3 x=-3 z=3 20\. Екі құбыр бірге бассейнді 4 сағатта толтырады. Алдымен бірінші құбыр бассейннің жартысын толтырғаннан кейін оны жауып , екінші құбырды ашса, онда бассейн 9 сағатта толады. Жеке-жеке толтырса әр құбыр неше сағатта толтыра алады? [*Шешуі*:]{.math.inline} Біріншісі -- х, екіншісі -- у болсын. Мынандай жүйе құрамыз: [\$\\left\\{ \\begin{matrix} \\frac{4}{х} + \\frac{4}{у} = 1 \\\\ \\frac{х}{2} + \\frac{у}{2} = 9 \\\\ \\end{matrix} \\right.\\ \< = \>\$]{.math.inline} [\$\\left\\{ \\begin{matrix} 4х + 4у = ху \\\\ х + у\\ = 18 \\\\ \\end{matrix} \\right.\\ \< = \>\$]{.math.inline} [\$\\left\\{ \\begin{matrix} 4(18 - х) + 4х = х(18 - х) \\\\ у\\ = 18 - х \\\\ \\end{matrix} \\right.\\ \< = \>\$]{.math.inline} [\$\\left\\{ \\begin{matrix} х\^{2} - 18х + 72 = 0 \\\\ у\\ = 18 - х \\\\ \\end{matrix} \\right.\\ \< = \> \\left\\{ \\begin{matrix} х\_{1} = 12 \\\\ у\_{1}\\ = 6 \\\\ \\end{matrix} \\right.\\ \$]{.math.inline} және [\$\\left\\{ \\ \\begin{matrix} х\_{2} = 6 \\\\ у\_{2}\\ = 12 \\\\ \\end{matrix} \\right.\\ \$]{.math.inline} Жауабы: 6 сағат және 12 сағат. 21\. Егер *α, β, γ***  үшбұрыштың бұрыштары болса, онда мына теңдіктің дұрыс екенін** дәлелдеңдер: cos^2^*α* + cos^2^*β* + cos^2^*γ* + 2 cos*α* cos*β* cos*γ* = 1 [*Шешуі*:]{.math.inline} α + β + γ = π, мына формулаларды қолдана отырып, cos^2^x = [\$\\frac{1\\ + \\ cos2x}{2}\$]{.math.inline}, cosx = - cos(π - x), cosx + cosy = 2 cos[\$\\frac{x\\ + \\ y}{2}\\ \$]{.math.inline}cos[\$\\frac{x - \\ y}{2}\$]{.math.inline} дәлелдейміз. 22\. Кіші картопты тазалағанша үлкен картопты тазалаған неге оңайырақ? [*Шешуі*:]{.math.inline} Бұнда ( картоп шар сияқты деп алса) онда көлемі және массасы радиустың кубына пропорционалды , беті радиустың квадратына пропорционал болады. 37 23\. Теңдікті дәлелдеңдер: arctg1+ arctg[\$\\frac{1}{2}\$]{.math.inline}+ arctg[\$\\frac{1}{3}\\ \$]{.math.inline}= [\$\\frac{\\pi}{2}\$]{.math.inline} ; [*Шешуі*:  ]{.math.inline} arctg[\$\\frac{1}{2}\$]{.math.inline}+ arctg[\$\\frac{1}{3}\\ \$]{.math.inline}= [\$\\frac{\\pi}{2}\$]{.math.inline} - [\$\\frac{\\pi}{4}\$]{.math.inline} tg(arctg[\$\\frac{1}{2}\$]{.math.inline}+ arctg[\$\\frac{1}{3})\$]{.math.inline} = tg [\$\\frac{\\pi}{4}\$]{.math.inline} [\$\\frac{\\text{tg}\\left( \\text{arctg}\\frac{1}{2} \\right) + tg\\ (arctg\\frac{1}{3})\\ }{1 - \\text{tg}\\left( \\text{arctg}\\frac{1}{2} \\right)tg\\ (arctg\\frac{1}{3})}\$]{.math.inline} = 1 [\$\\frac{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3}}{1 - \\frac{1}{2}\*\\frac{1}{3}}\\ \$]{.math.inline}= 1 [ \  ]{.math.inline} 1 = 1 дәлелденді. 24\. Мынандай қатынастар орындалатындай: АВ=СД=8см; АС=ВД=10см; АВ=ВС=13см; кеңістікте фигура табуға бола ма? (төбелері А, В, С, Д болатын көпбұрыштан тұрады. [*Шешуі*:]{.math.inline} Ондай фигура бар. Оларды екі ұшбұрыш АВС және ВСД-дан алуға болады, екеуі бір-біріне тең беттеседі. Д С А В 25\. *xy* = 2006 (*x+y*) теңдеуінің бүтін шешімі болатынын дәлелдеу керек. [*Шешуі*:]{.math.inline} Берілген теңдеуді мына түрге келтіреміз: (х -- 2006)(у - 2006) = 2006^2^ одан х = у = 4012. 38 Қолданылған әдебиеттер: 1. Агаханов Н.Х, О.К.Полипский «Математика Районные олимпиады», Москва Просвещение, 2010. 2. Бугулов Е.А , Б.А.Толасов «Сборник задач для подготовки к математическим олимпиадам». Северо-Осетинское книжное издательство, 1962. 3. Горбачев Н.В. «Сборник олимпиадных задач по математике» -- М.: МЦНМО, 2004. 4. Муштари Д.Х. «Подготовка к математическим олимпиадам» Муштари Д.К. -- Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 2000. 5. Фарков А.В. «Математические олимпиады в школе 5-11 классы», Москва Айрис-пресс, 2009. 39 **Құрастырған:** ***А.С.Жасекеева, А.М. Кенжегалиева, М.К.Нигметуллин,*** ***Р.А.Каратаева* --** Орал қаласы №46жалпы орта білім беретін мектебінің математика пәні мұғалімдері. **Пікір жазғандар:** ***З.Ж.Жұбанышева* --** М.Өтемісов атындағы БҚМУ физика және математика кафедрасының аға оқытушысы. ***Г.Х.Хусаинова* -** №41 жаратылыстану-математика бағытындағы мектеп-лицейінің жоғарғы санатты математика пәні мұғалімі. Бұл жинақта оқушылардың теориялық білімін нығайтып, қиындығы жоғары есептерді шығару дағдысын қалыптастыру мақсатында мектеп программасында қарастырылмайтын стандартты емес есеп түрлерін , логикалық тапсырмаларды , күрделі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің жолдары нақты көрсетілген. Математика пәні мұғалімдеріне әдістемелік көмек ретінде ұсынылады. **Мазмұны:** 1. Кіріспе 2. 5 сынып \...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\.... 1 бет 3. 6 сынып \...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\.... 5 бет 4. 7 сынып \...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\... 9 бет 5. 8 сынып \...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\... 13 бет 6. 9 сынып \...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\... 18 бет 7. 10 сынып \...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\... 25 бет 8. 11 сынып \...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\... 33 бет 9. Қолданылған әдебиеттер \...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\.... 39 бет **2. Бақа тереңдігі 25м құдыққа түсіп кетті. Ол құдықтан шығу үшін күніне 5м көтеріліп, 4м қайта түсіп отырды. Бақа неше күнде құдықтан шығады?** [ ] **4. Сыныпта математиканы ұнататын қыздардың саны математиканы ұнатпайтын ұлдардың санымен бірдей. Сыныпта кімдер көп: математиканы ұнататын оқушылар ма, әлде ұлдар ма?** [ ] **Екі сағат бір уақытта соғуды бірге бастап,біргеаяқтады.Бірінші сағат--әрбірекісекундсайын, екінші сағат--әрбірүшсекундсайынсоғады.Есептегендебарлығы13 соғу болды (бірігіп қалғансоғуларбірсоғудепесептелінеді). Бірінші соғу мен соңғы соғудың арасында қанша уақыт өтті?** [ ]