مبادئ الإحصاء PDF

‫وزارة التعليم العالى‬ ‫المعهد العالى للسياحة و الفنادق و الحاسب اآللى‬ ‫السيوف ‪ -‬االسكندرية‬ ‫مبادىء الاحصاء‬ ‫دكتور‬ ‫ي‬‫ن‬ ‫ي‬‫ع‬ ‫س م حتف محم ب ال‬ ‫ا ا ة ى دا و ن‬ 1 2 3  ‫مقدمة‬ ‫هذا الكتا...

‫وزارة التعليم العالى‬ ‫المعهد العالى للسياحة و الفنادق و الحاسب اآللى‬ ‫السيوف ‪ -‬االسكندرية‬ ‫مبادىء الاحصاء‬ ‫دكتور‬ ‫ي‬‫ن‬ ‫ي‬‫ع‬ ‫س م حتف محم ب ال‬ ‫ا ا ة ى دا و ن‬ 1 2 3  ‫مقدمة‬ ‫هذا الكتاب لطالب ادلراسات السياحية و ادارة الضيافة يتناول الطرق الاحصائية معروضة‬ ‫بطريقة بسيطة ال حتتاج اىل رايضيات متقدمة‪.‬‬ ‫وقد معلنا عىل عدم التعرض للمفاهمي ادلقيقة للنظرايت الاحصائية و الىت حتتاج اىل قدر كبري من‬ ‫التحليل الرايىض ‪.‬كام حرصنا عىل عرض املوضوعات بط ريقة مبسطة تعمتد عىل ايضاح الطريقة‬ ‫دون التعرض للنظرية مع تقدمي عدد كبري من ال أمثةل العملية مما يساعد عىل سهوةل فهم و استخدام‬ ‫هذه املوضوعات ىف احلياة العملية‪.‬‬ ‫و هللا وىل التوفيق‪,,‬‬ ‫املؤلف‬ ‫ادلكتور أأسامة أأبو العينني‬ ‫‪4‬‬ 5  ‫الباب األول‬ ‫مفاهيم أساسية لجمع البيانات‬ ‫‪6‬‬ 7  ‫الباب األول‬ ‫مفاهيم أساسية لجمع البيانات‬ ‫ينقسم االحصاء الى‪:‬‬ ‫‪ - 1‬وصفى‪:‬‬ ‫طرق لتنظيم و تلخيص البيانات‪.‬‬ ‫‪ - 2‬استداللى‪:‬‬ ‫طرق لقياس موثوقية االستنتاجات لمجتمع تأسيسا على معلومات تم‬ ‫الحصول عليها من عينة من المجتمع‪.‬‬ ‫تعريف المجتمع‪:‬‬ ‫كل األفراد أو الوحدات تحت الدراسة االحصائية‪.‬‬ ‫تعريف العينة‪:‬‬ ‫جزء من المجتمع و منها نحصل على المعلومات عن المجتمع محل‬ ‫الدراسة‪.‬‬ ‫تنقسم مصادر المعلومات الى‪:‬‬ ‫‪- 1‬الحصر الشامل‪:‬‬ ‫هو طريقة للحصول على المعلومات الكاملة للمجتمع محل الدراسة‪.‬‬ ‫‪8‬‬  ‫‪ - 2‬المعاينة‪.‬‬ ‫‪.Experimentation - 3‬‬ ‫من طرق المعاينة ‪:‬‬ ‫المعاينة العشوائية البسيطة (مع االحالل أو بدون احالل)‪:‬‬ ‫و نعرفها بأنها طريقة للمعاينة و عن طريقها تكون كل عينة ممكنة‬ ‫(بحجم معطى) لها نفس االمكانية المتساوية للحصول عليها‪.‬‬ ‫تعريف العينة العشوائية البسيطة ‪:‬‬ ‫هى عينة يتم الحصول عليها عن طريق المعاينة العشوائية البسيطة‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫للرموز اآلتية‬ ‫أ‪ ,‬ب‪ ,‬ت‪ ,‬ث‪ ,‬ج‬ ‫المطلوب الحصول على كل العينات العشوائية البسيطة الممكنة‬ ‫بدون احالل حيث أن حجم العينة = ‪.2‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪9‬‬  ‫=‬ ‫ش‬ ‫}(أ‪,‬ب)‪( ,‬أ‪,‬ت)‪( ,‬أ‪,‬ث)‪( ,‬أ‪,‬ج)‪,‬‬ ‫(ب‪,‬ت)‪( ,‬ب‪,‬ث)‪( ,‬ب‪,‬ج)‪,‬‬ ‫(ت‪,‬ث)‪( ,‬ت‪,‬ج)‪,‬‬ ‫(ث‪,‬ج){‬ ‫تعريف المتغير‪:‬‬ ‫هو خاصية أو سمة تختلف من (شخص أو شىء) ألخر‪.‬‬ ‫المتغير يكون‪:‬‬ ‫‪ - 1‬وصفى (قيمة المتغير غير رقمية)‪.‬‬ ‫‪ - 2‬كمى (قيمة المتغير رقمية)‪.‬‬ ‫المتغير الكمى يكون‪:‬‬ ‫‪ - 1‬متصل‪.‬‬ ‫‪ - 2‬متقطع (القيم الممكنة تشكل فئة من األعداد محدودة أو غير محدودة و‬ ‫قابلة للعد)‪.‬‬ ‫‪11‬‬  ‫تعريف ‪:Data‬‬ ‫هى معلومات يتم الحصول عليها بمالحظة قيم المتغير‪.‬‬ ‫‪ Data‬تكون‪:‬‬ ‫‪ - 1‬وصفية‬ ‫‪ - 2‬كمية (متصلة أو متقطعة)‬ ‫أمثلة ‪:Data sets‬‬ ‫‪11‬‬  ‫تطبيقات الباب األول‬ ‫‪ - 1‬للرموز اآلتية‬ ‫د ‪ ,‬ج ‪ ,‬ح ‪,‬خ ‪ ,‬ع‬ ‫المطلوب الحصول على كل العينات العشوائية البسيطة الممكنة‬ ‫بدون احالل حيث أن حجم العينة = ‪.2‬‬ ‫‪ - 2‬للرموز اآلتية‬ ‫غ‪,‬ف‪,‬ق‪ ,‬ث‪,‬ص‬ ‫المطلوب الحصول على كل العينات العشوائية البسيطة الممكنة‬ ‫بدون احالل حيث أن حجم العينة = ‪.2‬‬ ‫‪ - 3‬للرموز اآلتية‬ ‫ض‪ ,‬ط‪,‬ك ‪,‬م ‪ ,‬ن‬ ‫المطلوب الحصول على كل العينات العشوائية البسيطة الممكنة‬ ‫بدون احالل حيث أن حجم العينة = ‪.2‬‬ ‫‪ - 4‬للرموز اآلتية‬ ‫ت‪ ,‬أ‪ ,‬ل‪ ,‬ب‪,‬ي‬ ‫المطلوب الحصول على كل العينات العشوائية البسيطة الممكنة‬ ‫بدون احالل حيث أن حجم العينة = ‪.2‬‬ ‫‪12‬‬  ‫‪ - 5‬للرموز اآلتية‬ ‫س‪ ,‬ش‪,‬ظ ‪,‬ز ‪,‬و‬ ‫المطلوب الحصول على كل العينات العشوائية البسيطة الممكنة‬ ‫بدون احالل حيث أن حجم العينة = ‪.2‬‬ ‫‪13‬‬ 14  ‫الباب الثانى‬ ‫المعاينة العشوائية و وصف البيانات‬ ‫‪15‬‬ 16  ‫الباب الثانى‬ ‫المعاينة العشوائية و وصف البيانات‬ ‫التوزيعات التكرارية‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬بيانات وصفية‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫فى احدى الجامعات كانت تقديرات ‪ 22‬من الطالب فى أحد‬ ‫المقررات كالتالى‪:‬‬ ‫مقبول‪ ,‬جيد‪ ,‬مقبول‪ ,‬مقبول‪ ,‬ممتاز‪ ,‬مقبول‪ ,‬جيد جدا‪ ,‬مقبول‪,‬‬ ‫مقبول‪ ,‬مقبول‪ ,‬جيد‪ ,‬جيد‪ ,‬جيد‪ ,‬ممتاز‪ ,‬مقبول‪ ,‬جيد‪ ,‬جيد‪ ,‬مقبول‪,‬‬ ‫ممتاز‪ ,‬مقبول‪.‬‬ ‫المطلوب تفريغ هذه البيانات فى جدول تكرارى يمثل هذه التقديرات‬ ‫مع التمثيل البيانى للتوزيعين التكرارى و التكرارى النسبى‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫التقدير‬ ‫النسبى‬ ‫‪22/12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫مقبول‬ ‫‪22/6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫جيد‬ ‫‪22/1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جيد جدا‬ ‫‪22/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ممتاز‬ ‫‪1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪17‬‬  ‫شكل يمثل التوزيع التكرارى‬ ‫شكل يمثل التوزيع التكرارى النسبى‬ ‫‪18‬‬  ‫ب ‪ -‬بيانات كمية‪.‬‬ ‫‪ - 1‬كل فئة )‪ (class‬تمثل قيمة وحيدة ممكنة‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫يرغب صاحب مؤسسة فى عمل مساكن للعاملين بالمؤسسة حيث‬ ‫تتناسب هذه المساكن مع حجم األسرة (كبيرة ‪ -‬متوسطة ‪ -‬صغيرة)‬ ‫فكانت بيانات حجم األسر (عدد أفراد األسرة) للعاملين كالتالى‪:‬‬ ‫‪,4 ,4 ,5 ,5 ,6 ,6 ,2 ,2 ,2 ,3 ,3 ,4 ,2 ,3 ,4 ,2‬‬ ‫‪.2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,2 ,2 ,3 ,3‬‬ ‫المطلوب تفريغ البيانات فى جدول تكرارى يوضح توزيع حجم‬ ‫األسرة مع التمثيل البيانى للتوزيعين التكرارى و التكرارى النسبى‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫التكرار النسبى‬ ‫التكرار‬ ‫حجم األسرة‬ ‫‪25/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25/6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪25/5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪25/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪19‬‬ ‫المدرج التكرارى (التوزيع التكرارى) و المضلع التكرارى‬ ‫على شكل واحد‬ ‫‪21‬‬ ‫المدرج التكرارى النسبى (التوزيع التكرارى النسبى)‬ ‫و المضلع التكرارى النسبى على شكل واحد‬ ‫‪21‬‬  ‫‪ - 2‬كل فئة )‪ )class‬تمثل مدى من القيم الممكنة‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫البيانات التالية تمثل درجات ‪ 42‬طالبة فى أحد المقررات الدراسية‬ ‫‪55 65 89 64 55 99 64 02‬‬ ‫‪89 39 69 62 02 60 38 62‬‬ ‫‪89 86 68 99 51 01 56 05‬‬ ‫‪02 98 81 55 52 40 53 50‬‬ ‫‪98 89 09 85 66 63 36 51‬‬ ‫المطلوب عرض هذه البيانات فى جدول تكرارى ذى فئات‬ ‫( ‪ )classes‬مع التمثيل البيانى للتوزيعين التكرارى و التكرارى‬ ‫النسبى‪.‬‬ ‫‪22‬‬  ‫الحل‪:‬‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫العالمات‬ ‫الدرجات‬ ‫النسبى‬ ‫‪42/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪>42‬س ‪32 ‬‬ ‫‪42/1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪>52‬س ‪42 ‬‬ ‫‪42/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪>62‬س ‪52 ‬‬ ‫‪42/12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪>02‬س ‪62 ‬‬ ‫‪42/0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪>82‬س ‪02 ‬‬ ‫‪42/0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪>92‬س ‪82 ‬‬ ‫‪42/4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪>122‬س ‪92 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪42‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪23‬‬ ‫المدرج التكرارى (التوزيع التكرارى)‬ ‫و المضلع التكرارى على شكل واحد‬ ‫‪24‬‬ ‫المدرج التكرارى النسبى (التوزيع التكرارى النسبى)‬ ‫و المضلع التكرارى النسبى على شكل واحد‬ ‫‪25‬‬  ‫مثال‪:‬‬ ‫لجميع األمثلة السابقة ماعدا األول‬ ‫المطلوب ايجاد جدول التوزيع التكرارى المتجمع و جدول‬ ‫التوزيع التكرارى المتجمع النسبى مع التمثيل البيانى‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫حجم التكرار التكرار أقل من التكرار التكرار‬ ‫المتجمع المتجمع‬ ‫أو‬ ‫النسبى‬ ‫األسرة‬ ‫النسبى‬ ‫يساوى‬ ‫س‬ ‫‪25/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25/14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪25/6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪25/19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪25/5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪25/22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪25/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪26‬‬ ‫شكل يمثل دالة التوزيع التكرارى المتجمع‬ ‫‪27‬‬ ‫شكل يمثل دالة التوزيع التكرارى المتجمع النسبى‬ ‫‪28‬‬ ‫شكل يمثل التوزيع التكرارى المتجمع (المدرج التكرارى المتجمع)‬ ‫‪29‬‬ ‫شكل يمثل التوزيع التكرارى المتجمع النسبى‬ ‫(المدرج التكرارى المتجمع النسبى)‬ ‫‪31‬‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫أقل من‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫الدرجات‬ ‫المتجمع‬ ‫المتجمع‬ ‫النسبى‬ ‫النسبى‬ ‫‪42/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪42/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪42/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪>42‬س ‪32 ‬‬ ‫‪42/4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪42/1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪>52‬س ‪42 ‬‬ ‫‪42/12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪42/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪>62‬س ‪52 ‬‬ ‫‪42/22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪42/12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪>02‬س ‪62 ‬‬ ‫‪42/29‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪42/0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪>82‬س ‪02 ‬‬ ‫‪42/36‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪42/0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪>92‬س ‪82 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪42/4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪>122‬س ‪‬‬ ‫‪31‬‬ ‫المدرج التكرارى المتجمع (التوزيع التكرارى المتجمع)‬ ‫و دالة التوزيع التكرارى المتجمع على شكل واحد‬ ‫‪32‬‬ ‫المدرج التكرارى المتجمع النسبى (التوزيع التكرارى المتجمع النسبى)‬ ‫و دالة التوزيع التكرارى المتجمع النسبى على شكل واحد‬ ‫‪33‬‬  ‫مخطط الساق و األوراق‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫مثل البيانات اآلتية بمخطط الساق و األوراق‪.‬‬ ‫‪34‬‬  ‫الحل‪:‬‬ ‫‪35‬‬  ‫تمثيل السالسل الزمنية‪TIME SEQUENCE PLOTS :‬‬ ‫السلسلة الزمنية هى عبارة عن (‪ )data set‬مشاهداتها يتم تسجيلها‬ ‫بالترتيب الذى تحدث فيه‪.‬‬ ‫أمثلة‪:‬‬ ‫‪36‬‬  ‫مقاييس النزعة المركزية‪:‬‬ ‫‪ - 1‬المتوسط‪The mean of the data set :‬‬ ‫أ ‪ -‬اذا كانت ‪ data set‬تمثل بيانات مجتمع محدود‪.‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫يكون متوسط المجتمع‬ ‫مجموع مشاهدات المجتمع‬ ‫حيث تمثل‬ ‫حجم المجتمع‬ ‫و تمثل‬ ‫‪37‬‬  ‫ب ‪ -‬اذا كانت ‪ data set‬تمثل بيانات عينة‬ ‫يكون متوسط العينة‬ ‫مجموع مشاهدات العينة‬ ‫حيث تمثل‬ ‫حجم العينة‬ ‫و تمثل‬ ‫أمثلة‪:‬‬ ‫‪ - 1‬البيانات اآلتية تمثل المرتبات األسبوعية لعينة من أعضاء هيئة‬ ‫التدريس بالدوالر أوجد المتوسط‪.‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪,422 ,422 ,942 ,322 ,322 ,322 ,322 ,322 ,322‬‬ ‫‪1252 ,822,452 ,452‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ - 2‬البيانات اآلتية تمثل المرتبات األسبوعية لجميع أعضاء هيئة‬ ‫التدريس بالدوالر أوجد المتوسط‪.‬‬ ‫‪,422 ,422 ,452 ,942 ,322 ,322 ,322 ,322 ,322‬‬ ‫‪1252‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪ - 2‬الوسيط‪( The median of the data set :‬للمجتمع المحدود‬ ‫و العينة)‬ ‫لألمثلة السابقة أوجد الوسيط‪.‬‬ ‫‪ - 1‬أوال نرتب البيانات ترتيبا تصاعديا‬ ‫‪,822 ,452 , 452 ,422 ,044 ,311 ,311 ,311 ,311 ,311 ,311‬‬ ‫‪1252 ,942‬‬ ‫ن = ‪13‬‬ ‫الوسيط = ‪$422‬‬ ‫‪ - 2‬أوال نرتب البيانات ترتيبا تصاعديا‬ ‫‪,942 ,452 ,422 ,044 ,033 ,311 ,311 ,311 ,311‬‬ ‫‪1252‬‬ ‫ن = ‪12‬‬ ‫‪41‬‬  ‫الوسيط =‬ ‫‪ - 3‬المنوال‪( The mode of the data set :‬للمجتمع المحدود و‬ ‫العينة)‬ ‫لألمثلة السابقة أوجد المنوال‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫التكرار‬ ‫المرتب بالدوالر‬ ‫‪6‬‬ ‫‪044‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪422‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪452‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪822‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪942‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1252‬‬ ‫المنوال = ‪$322‬‬ ‫‪ - 2‬بنفس الطريقة ‪ :‬أكبر تكرار = ‪5‬‬ ‫المنوال = ‪$322‬‬ ‫‪41‬‬  ‫مقاييس التشتت‪:‬‬ ‫‪ - 1‬المدى‪( Range of a data set :‬للمجتمع المحدود و العينة)‬ ‫المدى = أكبر قيمة ‪ -‬أقل قيمة‬ ‫لألمثلة السابقة أوجد المدى‪.‬‬ ‫‪ - 1‬المدى = ‪$052 = 322 - 1252‬‬ ‫‪ - 2‬المدى = ‪$052 = 322 - 1252‬‬ ‫‪ - 2‬التباين‪( Variance :‬للمجتمع المحدود و العينة)‬ ‫اذا كان المجتمع محدود‬ ‫التباين = ‪=  2‬‬ ‫‪42‬‬  ‫التباين لعينة من المجتمع = ‪= S 2‬‬ ‫‪ - 3‬االنحراف المعيارى‪( Standard Deviation :‬للمجتمع‬ ‫المحدود و العينة)‬ ‫اذا كان المجتمع محدود‬ ‫االنحراف المعيارى = ‪‬‬ ‫االنحراف المعيارى لعينة من المجتمع = ‪S‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫البيانات التالية تمثل عينة من أطوال أفراد فريق كرة السلة بالبوصة‬ ‫أوجد التباين و االنحراف المعيارى‪.‬‬ ‫‪.08 ,06 ,06 ,03 ,02‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪43‬‬  ‫الطول (س)‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪03‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪06‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪06‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪08‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪/‬‬ ‫المجموع‬ ‫= ‪ 05‬بوصة‬ ‫ن =‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 6 = S 2‬بوصة‬ ‫‪ 2,4 = S‬بوصة‬ ‫‪44‬‬ ‫صيغة حسابية للتباين و االنحراف المعيارى‪.‬‬ ‫اذا كان المجتمع محدود‬ ‫التباين = ‪=  2‬‬ ‫التباين لعينة من المجتمع = ‪= S 2‬‬ ‫اذا كان المجتمع محدود‬ ‫االنحراف المعيارى = ‪‬‬ ‫االنحراف المعيارى لعينة من المجتمع = ‪S‬‬ ‫‪45‬‬  ‫تفسير االنحراف المعيارى‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪46‬‬  ‫الثالث انحرافات المعيارية‪Three standard deviations rule :‬‬ ‫قاعدة‬ ‫تقريبا كل المشاهدات ألى ‪ data set‬تتواجد خالل ثالث انحرافات‬ ‫معيارية من كال جانبى المتوسط‪.‬‬ ‫قاعدة ‪chebychev's‬‬ ‫ألى ‪ data set‬على األقل ‪ %89‬من المشاهدات تقع (تتواجد)‬ ‫خالل ثالث انحرافات معيارية من كال جانبى المتوسط‪.‬‬ ‫تعريف‪parameter :‬‬ ‫هو مقياس وصفى للمجتمع‪.‬‬ ‫تعريف‪statistic :‬‬ ‫هو مقياس وصفى للعينة‪.‬‬ ‫‪47‬‬  ‫تعريف‪Standardized variable :‬‬ ‫ألى متغير س ‪ ,‬المتغير‬ ‫يسمى ‪ Standardized variable‬المناظر لمتغير س‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫ع‬ ‫س‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪48‬‬  ‫أمثلة عامة على الباب الثانى‬ ‫‪ - 1‬للجدول اآلتى‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫الحالة‬ ‫النسبى‬ ‫االجتماعية‬ ‫‪22/12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫مطلق‬ ‫‪22/6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫أرمل‬ ‫‪22/1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أعزب‬ ‫‪22/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫متزوج‬ ‫‪1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪49‬‬ ‫مثل بيانيا التوزيعين التكرارى و التكرارى النسبى‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫شكل يمثل التوزيع التكرارى النسبى‬ ‫‪51‬‬ ‫شكل يمثل التوزيع التكرارى النسبى‬ ‫‪ - 2‬للجدول اآلتى‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫حجم األسرة‬ ‫النسبى‬ ‫‪25/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪25/6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪25/5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪25/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫المجموع‬ ‫مثل بيانيا التوزيعين التكرارى و التكرارى النسبى‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪51‬‬ ‫المدرج التكرارى (التوزيع التكرارى) و المضلع التكرارى على‬ ‫شكل واحد‬ ‫‪52‬‬ ‫المدرج التكرارى النسبى (التوزيع التكرارى النسبى)‬ ‫و المضلع التكرارى النسبى على شكل واحد‬ ‫‪53‬‬  ‫‪ - 3‬للجدول اآلتى‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫العالمات‬ ‫الدرجات‬ ‫النسبى‬ ‫‪42/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ >52‬س ‪42 ‬‬ ‫‪42/1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ >62‬س ‪52 ‬‬ ‫‪42/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ >02‬س ‪62 ‬‬ ‫‪42/12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ > 82‬س ‪02 ‬‬ ‫‪42/0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ > 92‬س ‪82 ‬‬ ‫‪42/0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ >122‬س ‪92 ‬‬ ‫‪42/4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ > 112‬س ‪122 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪42‬‬ ‫المجموع‬ ‫مثل بيانيا التوزيعين التكرارى و التكرارى النسبى‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪54‬‬ ‫المدرج التكرارى (التوزيع التكرارى)‬ ‫و المضلع التكرارى على شكل واحد‬ ‫‪55‬‬ ‫المدرج التكرارى النسبى (التوزيع التكرارى النسبى) و‬ ‫المضلع التكرارى النسبى على شكل واحد‬ ‫‪56‬‬  ‫‪ - 4‬للسؤال ‪ 2‬و ‪ 3‬المطلوب ايجاد جدول التوزيع التكرارى‬ ‫المتجمع و جدول التوزيع التكرارى المتجمع النسبى مع التمثيل‬ ‫البيانى‪.‬‬ ‫‪ - 5‬للسؤال ‪ 2‬و ‪ 3‬المطلوب ايجاد جدول التوزيع التكرارى‬ ‫المتجمع و جدول التوزيع التكرارى المتجمع النسبى مع التمثيل‬ ‫البيانى للدالتين‪.‬‬ ‫الحل ‪ 4‬و ‪:5‬‬ ‫حجم التكرار التكرار أقل من التكرار التكرار‬ ‫المتجمع المتجمع‬ ‫أو‬ ‫النسبى‬ ‫األسرة‬ ‫النسبى‬ ‫يساوى‬ ‫س‬ ‫‪25/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪25/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪25/14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪25/6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪25/19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25/5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25/22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪25/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪25/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪57‬‬ ‫شكل يمثل دالة التوزيع التكرارى المتجمع‬ ‫‪58‬‬ ‫شكل يمثل دالة التوزيع التكرارى المتجمع النسبى‬ ‫‪59‬‬ ‫شكل يمثل التوزيع التكرارى المتجمع (المدرج التكرارى المتجمع)‬ ‫‪61‬‬ ‫شكل يمثل التوزيع التكرارى المتجمع النسبى‬ ‫(المدرج التكرارى المتجمع النسبى)‬ ‫‪61‬‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫أقل من‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫الدرجات‬ ‫المتجمع‬ ‫المتجمع‬ ‫النسبى‬ ‫النسبى‬ ‫‪42/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪42/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪42/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪>52‬س ‪42 ‬‬ ‫‪42/4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪42/1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪>62‬س ‪52 ‬‬ ‫‪42/12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪42/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪>02‬س ‪62 ‬‬ ‫‪42/22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪42/12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪>82‬س ‪02 ‬‬ ‫‪42/29‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪42/0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪>92‬س ‪82 ‬‬ ‫‪42/36‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪42/0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪>122‬س ‪92 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪42/4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪>112‬س ‪‬‬ ‫‪62‬‬ ‫المدرج التكرارى المتجمع (التوزيع التكرارى المتجمع)‬ ‫و دالة التوزيع التكرارى المتجمع على شكل واحد‬ ‫‪63‬‬ ‫المدرج التكرارى المتجمع النسبى (التوزيع التكرارى المتجمع النسبى)‬ ‫و دالة التوزيع التكرارى المتجمع النسبى على شكل واحد‬ ‫‪64‬‬  ‫‪ – 6‬أكمل الجدول اآلتى‪:‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪65‬‬ 66  ‫‪ - 0‬أكمل‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬الشكل اآلتى يمثل مبيعات الشركة ‪........‬‬ ‫ب ‪ -‬الشكل اآلتى يمثل مبيعات الشركة ‪........‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬الشكل اآلتى يمثل مبيعات الشركة بالسنة‬ ‫ب ‪ -‬الشكل اآلتى يمثل مبيعات الشركة بربع السنة‬ ‫‪67‬‬  ‫تطبيقات الباب الثانى‬ ‫‪ - 1‬للجدول اآلتى‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫الحالة‬ ‫النسبى‬ ‫االجتماعية‬ ‫‪22/12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫مطلق‬ ‫‪22/6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫أرمل‬ ‫‪22/1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أعزب‬ ‫‪22/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫متزوج‬ ‫‪1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫المجموع‬ ‫مثل بيانيا التوزيعين التكرارى و التكرارى النسبى‪.‬‬ ‫‪ - 2‬للجدول اآلتى‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫حجم األسرة‬ ‫النسبى‬ ‫‪25/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪25/6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪25/5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪25/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫المجموع‬ ‫مثل بيانيا التوزيعين التكرارى و التكرارى النسبى‪.‬‬ ‫‪68‬‬  ‫‪ - 3‬للجدول اآلتى‬ ‫التكرار‬ ‫التكرار‬ ‫العالمات‬ ‫الدرجات‬ ‫النسبى‬ ‫‪42/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ >52‬س ‪42 ‬‬ ‫‪42/1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ >62‬س ‪52 ‬‬ ‫‪42/8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ >02‬س ‪62 ‬‬ ‫‪42/12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ > 82‬س ‪02 ‬‬ ‫‪42/0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ > 92‬س ‪82 ‬‬ ‫‪42/0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ >122‬س ‪92 ‬‬ ‫‪42/4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ > 112‬س ‪122 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪42‬‬ ‫المجموع‬ ‫مثل بيانيا التوزيعين التكرارى و التكرارى النسبى‪.‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪ - 4‬للسؤال ‪ 2‬و ‪ 3‬المطلوب ايجاد جدول التوزيع التكرارى‬ ‫المتجمع و جدول التوزيع التكرارى المتجمع النسبى مع‬ ‫التمثيل البيانى‪.‬‬ ‫‪ - 5‬للسؤال ‪ 2‬و ‪ 3‬المطلوب ايجاد جدول التوزيع التكرارى‬ ‫المتجمع و جدول التوزيع التكرارى المتجمع النسبى مع‬ ‫التمثيل البيانى للدالتين‪.‬‬ ‫‪ - 6‬أكمل الجدول اآلتى‪:‬‬ ‫‪71‬‬  ‫‪ - 0‬أكمل‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬الشكل اآلتى يمثل مبيعات الشركة ‪........‬‬ ‫ب ‪ -‬الشكل اآلتى يمثل مبيعات الشركة ‪........‬‬ ‫‪ - 8‬البيانات اآلتية تمثل المرتبات األسبوعية لعينة من أعضاء‬ ‫هيئة التدريس بالدوالر أوجد المتوسط‪.‬‬ ‫‪,322 ,322 ,942 ,422 ,422 ,422 ,422 ,422 , 422‬‬ ‫‪1252 ,452 ,822 ,452‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪ - 9‬البيانات اآلتية تمثل المرتبات األسبوعية لجميع أعضاء‬ ‫هيئة التدريس بالدوالر أوجد المتوسط‪.‬‬ ‫‪,322 ,322 ,452 ,942 ,422 ,422 ,422 ,422 ,422‬‬ ‫‪1252‬‬ ‫‪ - 12‬للسؤال ‪ 8‬و ‪ 9‬أوجد الوسيط و المنوال‪.‬‬ ‫‪ - 11‬للسؤال ‪ 8‬و ‪ 9‬أوجد المدى‪.‬‬ ‫‪ - 12‬للسؤال ‪ 8‬و ‪ 9‬أوجد التباين و االنحراف المعيارى‪.‬‬ ‫‪ - 13‬للبيانات اآلتية‬ ‫‪,322 ,322 ,942 ,422 ,422 ,422 ,422 ,422 , 422‬‬ ‫‪1252 ,452 ,822 ,452‬‬ ‫أوجد‬ ‫المتغير‬ ‫المناظر لمتغير س‪.‬‬ ‫‪72‬‬ 73  ‫الباب الثالث‬ ‫مقدمة فى االحتمال‬ ‫‪74‬‬ 75  ‫الباب الثالث‬ ‫مقدمة فى االحتمال‬ ‫المحاولة العشوائية‪A random trail:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫توصيل طلب العميل‪The delivery of a customer's order :‬‬ ‫ينتج عنها عدد ال نهائى من فضاءات العينة‪.‬‬ ‫تعريف التجربة العشوائية‪:‬‬ ‫تكون جميع نتائجها معروفة و لكن ال نعرف أى من هذه النتائج‬ ‫سوف يحدث‪.‬‬ ‫تعريف فضاء العينة (متقطع أو متصل)‪:‬‬ ‫يتكون من جميع النتائج ( ‪ )basic outcomes‬الممكنة للتجربة‬ ‫العشوائية‪.‬‬ ‫‪76‬‬  ‫أمثلة‪:‬‬ ‫مثال‪1 :‬‬ ‫‪ 4‬نتائج ممكنة للمحاولة العشوائية‪.‬‬ ‫أ‪} = 1‬أ‪( {1‬حدث بسيط)‬ ‫وصول الطلب فى اليوم األول‬ ‫أ‪} = 2‬أ‪( {2‬حدث بسيط)‬ ‫وصول الطلب فى اليوم الثانى‬ ‫وصول الطلب فى اليوم الثالث أ‪} = 0‬أ‪( {3‬حدث بسيط)‬ ‫وصول الطلب بعد اليوم الثالث أ‪} = 0‬أ‪( {4‬حدث بسيط)‬ ‫فضاء العينة‬ ‫أ = } أ‪ , 1‬أ‪ , 2‬أ‪ , 0‬أ‪{ 0‬‬ ‫مثال‪2 :‬‬ ‫‪ 2‬من النتائج الممكنة للمحاولة العشوائية‪.‬‬ ‫‪77‬‬  ‫ب‪} = 1‬ب‪( {1‬حدث بسيط)‬ ‫الطلب صحيح‬ ‫الطلب غير صحيح ب‪} = 2‬ب‪( {2‬حدث بسيط)‬ ‫فضاء العينة‬ ‫ب = } ب‪ , 1‬ب‪{ 2‬‬ ‫مثال‪3 :‬‬ ‫‪ 8‬من النتائج الممكنة للمحاولة العشوائية‪.‬‬ ‫} ك‪{1‬‬ ‫ك‪= 1‬‬ ‫وصول الطلب فى اليوم األول و الطلب صحيح‬ ‫(حدث بسيط)‬ ‫‪78‬‬  ‫أ‪= 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫أ‪ = {1‬ب‬ ‫‪‬‬ ‫ب‪1‬‬ ‫ك‪ } = 1‬ك‪} = {1‬‬ ‫(ب‪ , 1‬أ‪)1‬‬ ‫فضاء العينة‬ ‫ك‪0‬‬ ‫ك = } ك‪ , 1‬ك‪ , 2‬ك ‪ , 3‬ك ‪ , 4‬ك‪ , 5‬ك‪, 6‬‬ ‫‪ ,‬ك‪{ 8‬‬ ‫مثال‪4 :‬‬ ‫‪ 4‬من النتائج الممكنة للمحاولة العشوائية‪.‬‬ ‫وصول الطلب فى اليوم األول بشرط أن الطلب صحيح‬ ‫أ‪ │ 1‬ب‪} = 1‬أ‪ │ 1‬ب‪( { 1‬حدث بسيط)‬ ‫‪79‬‬  ‫فضاء العينة‬ ‫أ │ ب‪= 1‬‬ ‫} أ‪ │ 1‬ب‪ , 1‬أ‪ │ 2‬ب‪ , 1‬أ‪ │ 0‬ب‪ , 1‬أ‪ │0‬ب‪{ 1‬‬ ‫تعريف الحدث‪:‬‬ ‫هو جزء من فضاء العينة‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫│ ب‪1‬‬ ‫أ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫أ‪ │ 1‬ب‬ ‫تعريف الحدث البسيط‪:‬‬ ‫يتكون من نتيجة واحدة من نتائج فضاء العينة‪.‬‬ ‫‪81‬‬  ‫تعريف الحدث المركب‪:‬‬ ‫يتكون من عدة نتائج من نتائج فضاء العينة ومن الممكن أن يكون‬ ‫فضاء العينة نفسه‪.‬‬ ‫الحدث المكمل‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫تقاطع حدثين‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪81‬‬  ‫اتحاد حدثين‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫= } ك ‪ , 1‬ك‪ , 2‬ك‪ , 5‬ك‪ , 6‬ك ‪ , 0‬ك ‪{ 8‬‬ ‫تعارض (تنافى) حدثين‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫الحدث ن = د ‪ ‬ق = ‪‬‬ ‫‪82‬‬ ‫كما عرفنا المتغير من قبل أنه خاصية أو سمة تختلف من (شخص‬ ‫أو شىء) ألخر و يكون وصفى أو كمى‪.‬‬ ‫تعريف المتغير العشوائى‪:‬‬ ‫هو متغير كمى (منفصل أو متصل) قيمته تتحدد عن طريق نتيجة‬ ‫(‪ )outcome‬المحاولة العشوائية‪.‬‬ ‫تعريف المتغير العشوائى المنفصل ‪Discrete random variable:‬‬ ‫هو متغير عشوائى قيمه الممكنة فئة محدودة أو فئة قابلة للعد غير‬ ‫محدودة‪.‬‬ ‫تعريف المتغير العشوائى المتصل ‪Continuous random variable:‬‬ ‫هو متغير عشوائى قد يفترض أى قيمة خالل فترة أعداد حقيقية‬ ‫(محدودة أو غير محدودة)‬ ‫على االستمرارية )‪.(on a continuum‬‬ ‫معنى االحتمال‪:‬‬ ‫‪ - 1‬نموذج ‪The equal- likelihood‬‬ ‫‪83‬‬  ‫حينما تكون جميع النتائج ‪ equally likely‬فاالحتماالت تكون‬ ‫تكرارات نسبية‪.‬‬ ‫احتمال حدوث الحدث ب = ح (ب) =‬ ‫‪ - 2‬تفسير ‪ frequentist‬لالحتمال‬ ‫يكون حساب احتمال الحدث مساويا للتكرار النسبى لحدوث الحدث‬ ‫أى‬ ‫على المدى البعيد بشروط ‪ causal‬ثابتة‬ ‫كما فى المثال كالتالى‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪84‬‬  ‫الشكل يوضح ‪ computer simulation‬لرمى قطعة عملة ‪ 122‬مرة‬ ‫مسلمات االحتمال‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال أى نتيجة ( ‪ )basic outcome‬يكون محصور بين‬ ‫الصفر و الواحد الصحيح أى ‪  1‬ح ( ‪2  )basic outcome‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال أى حدث ك يكون مجموع احتماالت النتائج األساسية‬ ‫التى تشكل الحدث‪.‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪The probability that some basic outcome in the - 3‬‬ ‫‪sample space will occur is 1 and the probability‬‬ ‫‪that none will occur is 0.‬‬ ‫نتائج على مسلمات االحتمال‪:‬‬ ‫‪ - 1‬مجموع احتماالت كل النتائج األساسية فى فضاء العينة يساوى‬ ‫واحد‪.‬‬ ‫يكون محصور بين الصفر و الواحد‬ ‫‪ -2‬احتمال أى حدث ك‬ ‫الصحيح‪.‬‬ ‫ك‪ 2‬يكون احتمال حدوثهما معا =‬ ‫ك‪, 1‬‬ ‫‪ - 3‬ألى حدثين متنافيين‬ ‫صفر‬ ‫أى ح ( ك‪  1‬ك‪2 = ) 2‬‬ ‫‪86‬‬  ‫نظريات االحتمال األساسية‪:‬‬ ‫‪ - 1‬نظرية الجمع‪:‬‬ ‫ك‪ 2‬يكون‬ ‫ألى حدثين ك‪, 1‬‬ ‫ح ( ك ‪  1‬ك‪= ) 2‬‬ ‫ح (ك‪ + )1‬ح (ك‪ - )2‬ح (ك‪  1‬ك‪)2‬‬ ‫ك‪ 2‬يكون‬ ‫و ألى حدثين متنافيين ك‪, 1‬‬ ‫ح ( ك‪  1‬ك‪ = ) 2‬ح (ك‪ + )1‬ح (ك‪)2‬‬ ‫ك‪ ,...... , 2‬كن‬ ‫ك‪, 1‬‬ ‫و ألى عدد ن من األحداث المتنافية‬ ‫يكون‬ ‫‪87‬‬ ‫ح ( ك‪  1‬ك‪ ......  2‬كن) =‬ ‫ح (ك‪ + )1‬ح (ك‪ +..... + )2‬ح (كن)‬ ‫‪ - 2‬نظرية ‪Complementation‬‬ ‫يكون‬ ‫ألى حدث ك‬ ‫ك‬ ‫هو الحدث المكمل للحدث‬ ‫حيث‬ ‫‪ - 3‬قاعدة الضرب‪:‬‬ ‫ك‪ 2‬يكون‬ ‫ألى حدثين ك‪, 1‬‬ ‫‪88‬‬  ‫ح (ك‪  1‬ك‪ = )2‬ح (ك‪ )1‬ح (ك‪ │ 2‬ك‪)1‬‬ ‫= ح (ك‪ )2‬ح (ك‪ │ 1‬ك‪)2‬‬ ‫االحتمال الشرطى‬ ‫ح (ك‪ │ 2‬ك‪= )1‬‬ ‫تعريف توزيع ‪Data set‬‬ ‫هو جدول أو شكل أو صيغة تمدنا بقيم المشاهدات و‬ ‫‪how often they occur‬‬ ‫‪89‬‬ ‫أنواع التوزيعات االحتمالية (منفصلة أو متصلة)‪:‬‬ ‫‪ - 1‬التوزع االحتمالى ‪.Univariate‬‬ ‫‪ - 2‬التوزع االحتمالى ‪.Bivariate‬‬ ‫‪ - 3‬التوزع االحتمالى ‪.Multivariate‬‬ ‫العالقات بين المتغيرات‪:‬‬ ‫االستقالل‪Independence :‬‬ ‫ك‪ 2‬أنهما مستقلين اذا كان‪:‬‬ ‫يقال لحدثين ك‪, 1‬‬ ‫ح (ك‪  1‬ك‪ = )2‬ح (ك‪ )1‬ح (ك‪)2‬‬ ‫أو‬ ‫ح (ك‪ │ 2‬ك‪ = )1‬ح (ك‪)2‬‬ ‫أو‬ ‫ح (ك‪ │ 1‬ك‪ = )2‬ح (ك‪)1‬‬ ‫‪91‬‬  ‫يقال لمتغيرين أ و ب أنهما مستقلين اذا كان‪:‬‬ ‫ر‬ ‫ب‬ ‫و‬ ‫ر‬ ‫ح (أر ‪ ‬بر) = ح (أر) ح (بر) ‪ ‬أ‬ ‫عدم االستقالل (االعتماد أو التبعية)‪Dependence :‬‬ ‫ك‪ 2‬أنهما غير مستقلين اذا كانت هناك عالقة‬ ‫يقال لحدثين ك‪, 1‬‬ ‫بينهم‪.‬‬ ‫يقال لمتغيرين أ و ب أنهما غير مستقلين اذا كانت هناك عالقة‬ ‫بينهم‪.‬‬ ‫نجد عدم االستقالل‬ ‫‪Bivariate‬‬ ‫فى كثير من التوزيعات االحتمالية‬ ‫حاضرا‪.‬‬ ‫أمثلة‪:‬‬ ‫‪Univariate‬‬ ‫‪ - 1‬التوزيع االحتمالى‬ ‫‪91‬‬ ‫االحتمال‬ ‫‪basic‬‬ ‫وقت‬ ‫‪outcome‬‬ ‫التوصيل‬ ‫‪,6‬‬ ‫وصول الطلب‬ ‫أ‪1‬‬ ‫فى اليوم األول‬ ‫‪,2‬‬ ‫وصول الطلب‬ ‫أ‪2‬‬ ‫فى اليوم الثانى‬ ‫‪,1‬‬ ‫وصول الطلب‬ ‫أ‪0‬‬ ‫فى اليوم الثالث‬ ‫‪,1‬‬ ‫وصول الطلب‬ ‫أ‪0‬‬ ‫بعد اليوم الثالث‬ ‫‪1‬‬ ‫‪/‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪ - 2‬التوزيع االحتمالى ‪.Bivariate‬‬ ‫‪92‬‬  ‫‪Bivariate‬‬ ‫الشكل الرمزى للتوزيع االحتمالى‬ ‫‪ -3‬التوزيع االحتمالى ‪ Univariate‬للمتغير العشوائى المتقطع س‬ ‫ح (س = س)‬ ‫س=س‬ ‫‪,2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,425‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,205‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,205‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,225‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪93‬‬  ‫= سر) ‪ 4 ‬تسمى دالة كتلة‬ ‫الدالة ف (سر) = ح (س‬ ‫االحتمال ‪.pmf‬‬ ‫المدرج االحتمالى للمتغير العشوائى المتقطع س‬ ‫‪ - 4‬التوزيع االحتمالى ‪ Bivariate‬للمتغيرين العشوائيين المتقطعين س و‬ ‫‪.‬‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫المجموع‬ ‫س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.58‬‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.65‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪0.65‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪94‬‬ ‫التوزيع االحتمالي (الهامشي ‪ marginal‬و المشترك ‪ joint‬و الشرطي‬ ‫‪)conditional‬‬ ‫‪ - 12‬من الجدول اآلتى أوجد جميع التوزيعات االحتمالية الممكنة‬ ‫ص‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫المجموع‬ ‫س‬ ‫‪12‬‬ ‫‪,3‬‬ ‫‪,2‬‬ ‫‪,5‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪,1‬‬ ‫‪,4‬‬ ‫‪,5‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪,4‬‬ ‫‪,6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪95‬‬  ‫التوزيعات االحتمالية الشرطية‬ ‫‪-1‬‬ ‫س│‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪32‬‬ ‫المجموع‬ ‫ح (س│‪)5‬‬ ‫‪,4/ ,3‬‬ ‫‪,4/ ,1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫س│‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪32‬‬ ‫المجموع‬ ‫ح (س│‪)12‬‬ ‫‪,6/ ,2‬‬ ‫‪,6/ ,4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫ص│‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫المجموع‬ ‫ح (ص│‪)12‬‬ ‫‪,5/ ,3‬‬ ‫‪,5/ ,2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ص│‪32‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫المجموع‬ ‫ح (ص│‪)32‬‬ ‫‪,5/ ,1‬‬ ‫‪,5/ ,4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أمثلة على فضاء العينة المتصل‪:‬‬ ‫ح‪+‬‬ ‫ت│ ت>‪={ 2‬‬ ‫ت=}‬ ‫‪-1‬‬ ‫ح‪+‬‬ ‫ح‪ +‬‬ ‫غ=‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪96‬‬  ‫> ف > ‪{ 12‬‬ ‫ف │‪11‬‬ ‫‪ -3‬ف = }‬ ‫أمثلة على االحداث الخاصة بفضاء العينة المتصل‪:‬‬ ‫ح‪+‬‬ ‫ت│ ت>‪= {2‬‬ ‫‪ -1‬لفضاء العينة ت = }‬ ‫الحدثين‬ ‫>ت ‪{ 1 ‬‬ ‫ت │ ‪12‬‬ ‫ك‪} = 1‬‬ ‫‪{3‬‬ ‫ت │ ‪ > 118‬ت >‬ ‫ك‪} = 2‬‬ ‫ك‪  1‬ك‪ } = 2‬ت │ ‪ > 118‬ت ‪{ 1 ‬‬ ‫‪{3‬‬ ‫ت │ ‪ > 12‬ت >‬ ‫ك‪  1‬ك ‪} = 2‬‬ ‫ت ‪{ 12 ‬‬ ‫ت│‬ ‫}‬ ‫‪97‬‬  ‫مالحظة‪:‬‬ ‫يتم تطبيق جميع قواعد االحتماالت السابقة على المتغيرات‬ ‫العشوائية المتصلة‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫ح (‪  0,8‬س > ‪= )6,5‬‬ ‫ح (‪  0‬س > ‪ + )6,5‬ح (‪  0,5‬س > ‪ + )0‬ح (‪  0,8‬س > ‪)0,5‬‬ ‫يجب مالحظة أن‪:‬‬ ‫الدالة ف (س) ‪ 4 ‬للمتغير العشوائى المتصل تسمى دالة كثافة‬ ‫االحتمال ‪.pdf‬‬ ‫ح (ب > س > أ) =‬ ‫= المساحة تحت الدالة ف (س) من أ الى ب ألى أ و ب‬ ‫‪98‬‬  ‫يجب مالحظة أن ألى أ و ب ‪:‬‬ ‫ح (ب > س > أ) =‬ ‫ح (ب ‪ ‬س > أ) =‬ ‫ح (ب > س ‪ ‬أ) =‬ ‫ح (ب ‪ ‬س ‪ ‬أ)‬ ‫‪  1‬ح (ب > س > أ) ‪2 ‬‬ ‫المتوسط و االنحراف المعيارى للمتغير العشوائى المتقطع‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪99‬‬  ‫‪= ‬‬ ‫يكون متوسط المجتمع‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪19‬‬ ‫س‬ ‫‪,125‬‬ ‫‪,25‬‬ ‫‪,305‬‬ ‫‪,25‬‬ ‫‪111‬‬  ‫االنحراف المعيارى للمجتمع‬ ‫أو‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪2‬س‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ف (س) = ‪2,5‬‬ ‫‪111‬‬  ‫أمثلة عامة على االحتماالت‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫عند القاء عملة معدنية متزنة مرة واحدة أوجد احتمال ظهور‬ ‫صورة‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪112‬‬  ‫ت = } ت‪ , 1‬ت‪{ 2‬‬ ‫ح (ت‪= 2/1 = )1‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫عند القاء زهر نرد متزن مرة واحدة أوجد احتمال الحصول على‬ ‫رقم فردى‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ي = } ‪{ 6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬ ‫ج = } ‪{ 5 ,3 ,1‬‬ ‫ح (ج) = ‪6/3‬‬ ‫‪113‬‬  ‫مثال‪:‬‬ ‫عند القاء زهرى نرد متزنين مرة واحدة أوجد ما يلى‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال عدم ظهور رقم فردى‪.‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال ظهور رقم زوجى على الزهرين معا‪.‬‬ ‫‪ - 3‬احتمال ظهور رقم فردى على زهر واحد على األقل‪.‬‬ ‫‪ - 4‬احتمال ظهور رقم زوجى على زهر واحد فقط‪.‬‬ ‫‪ - 5‬احتمال أن يكون مجموع الوجهين = ‪.12‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫(‪, )5 ,1( , )4 ,1( , )3 ,1( , )2 ,1( , )1 ,1‬‬ ‫ك=}‬ ‫(‪, )5 ,2( , )4 ,2( , )3 ,2( , )2 ,2( , )1 ,2( , )6 ,1‬‬ ‫(‪, )5 ,3( , )4 ,3( , )3 ,3( , )2 ,3( , )1 ,3( ,)6 ,2‬‬ ‫(‪, )5 ,4( , )4 ,4( , )3 ,4( , )2 ,4( , )1 ,4( ,)6 ,3‬‬ ‫(‪, )5 ,5( , )4 ,5( , )3 ,5( , )2 ,5( , )1 ,5( ,)6 ,4‬‬ ‫‪114‬‬  ‫(‪, )5 ,6( , )4 ,6( , )3 ,6( , )2 ,6( , )1 ,6( ,)6 ,5‬‬ ‫(‪{ )6 ,6‬‬ ‫}(‪)4 ,4( , )2 ,4( , )6 ,2( , )4 ,2( , )2 ,2‬‬ ‫‪ -1‬ث =‬ ‫‪{ )6 ,6( , )4 ,6( , )2 ,6( , )6 ,4( ,‬‬ ‫ح (ث) = ‪36/9‬‬ ‫}(‪)4 ,4( , )2 ,4( , )6 ,2( , )4 ,2( , )2 ,2‬‬ ‫‪ -2‬ب =‬ ‫‪{ )6 ,6( , )4 ,6( , )2 ,6( , )6 ,4( ,‬‬ ‫ح (ب) = ‪36/9‬‬ ‫ع=‬ ‫‪-3‬‬ ‫} (‪)6 ,1( , )5 ,1( , )4 ,1( , )3 ,1( , )2 ,1( , )1 ,1‬‬ ‫‪115‬‬  ‫‪)5 ,2( , )3 ,2( , )1 ,2( ,‬‬ ‫‪)6 ,3( , )5 ,3( , )4 ,3( , )3 ,3( , )2 ,3( , )1 ,3( ,‬‬ ‫‪)5 ,4( , )3 ,4( , )1 ,4( ,‬‬ ‫‪)6 ,5( , )5 ,5( , )4 ,5( , )3 ,5( , )2 ,5( , )1 ,5( ,‬‬ ‫‪{ )5 ,6( , )3 ,6( , )1 ,6( ,‬‬ ‫ح (ع) = ‪36/20‬‬ ‫(‪)6 ,1( , )4 ,1( , )2 ,1‬‬ ‫غ=}‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪)5 ,2( , )3 ,2( , )1 ,2( ,‬‬ ‫‪)6 ,3( , )4 ,3( , )2 ,3( ,‬‬ ‫‪116‬‬  ‫‪)5 ,4( , )3 ,4( , )1 ,4( ,‬‬ ‫‪)6 ,5( , )4 ,5( , )2 ,5( ,‬‬ ‫‪{ )5 ,6( , )3 ,6( , )1 ,6( ,‬‬ ‫ح (غ) = ‪36/18‬‬ ‫ق = } (‪{ )4 ,6( , )5 ,5( , )6 ,4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ح (ق) = ‪36/3‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫عند القاء ثالث قطع نقود متزنة مرة واحدة أوجد ما يلى‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال ظهور الكتابة على وجه واحد فقط‪.‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال ظهور الكتابة على وجهين فقط‪.‬‬ ‫‪ - 3‬احتمال ظهور الكتابة على الثالث أوجه‪.‬‬ ‫‪ - 4‬احتمال عدم ظهور الصورة على االطالق‪.‬‬ ‫‪117‬‬  ‫الحل‪:‬‬ ‫نفرض أن ظهور صورة هو ت‪1‬‬ ‫نفرض أن ظهور كتابة هو ت‪2‬‬ ‫ض = } (ت‪ , 1‬ت‪ , 1‬ت‪( , )1‬ت‪ , 1‬ت‪ ,2‬ت‪)2‬‬ ‫‪( ,‬ت‪ , 2‬ت‪ , 1‬ت‪( , )1‬ت‪ , 2‬ت‪ , 1‬ت‪, )2‬‬ ‫(ت‪ , 1‬ت‪ , 1‬ت‪( , )2‬ت‪ , 1‬ت‪ , 2‬ت‪, )1‬‬ ‫(ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪( , )1‬ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪{ )2‬‬ ‫‪ -1‬ن = } (ت‪ , 2‬ت‪ , 1‬ت‪, )1‬‬ ‫(ت‪ ,1‬ت‪ ,1‬ت‪( , )2‬ت‪ , 1‬ت‪ , 2‬ت‪{ )1‬‬ ‫ح (ن) = ‪8/3‬‬ ‫‪118‬‬ ‫و = } (ت‪ , 1‬ت‪ , 2‬ت‪, )2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫(ت‪ , 2‬ت‪ ,1‬ت‪, )2‬‬ ‫(ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪{ )1‬‬ ‫ح (و) = ‪8/3‬‬ ‫‪ -3‬ذ = } (ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪{ )2‬‬ ‫ح (ذ) = ‪8/1‬‬ ‫‪ -4‬ز = } (ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪{ )2‬‬ ‫ح (ز) = ‪8/1‬‬ ‫‪119‬‬  ‫مثال‪:‬‬ ‫اذا سحب كارت عشوائيا من مجموعة من الكروت المتشابهة تماما‬ ‫و المرقمة من ‪ 1‬الى ‪ 12‬أوجد ما يلى‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال أن يكون رقم الكارت فردى‪.‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال أن يكون رقم الكارت أقل من ‪.6‬‬ ‫‪ - 3‬احتمال أن يكون رقم الكارت أقل من أو يساوى ‪.6‬‬ ‫‪ - 4‬احتمال أن يكون رقم الكارت أقل من أو يساوى ‪ 4‬أو‬ ‫أكبر من ‪.8‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ش = } ‪{ 12 ,9 ,8 ,0 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬ ‫‪ -1‬ر = } ‪{ 9 ,0 ,5 ,3 ,1‬‬ ‫ح (ر) = ‪12/5‬‬ ‫‪ -2‬ب = } ‪{ 5 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬ ‫‪111‬‬  ‫ح (ب) = ‪12/5‬‬ ‫‪ -3‬م = } ‪{ 6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬ ‫ح (م) = ‪12/6‬‬ ‫‪ -4‬ط = } ‪{ 12 ,9 , 4 ,3 ,2 ,1‬‬ ‫ح (ط) = ‪12/6‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫البيانات التالية تمثل أعداد الطلبة فى عينة من ‪ 122‬طالب‪.‬‬ ‫‪111‬‬  ‫فاذا اختير طالب عشوائى من هذه العينة فأوجد‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال أن يكون الطالب ناجحا و التحق بمجموعات تقوية‪.‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال أن يكون الطالب راسبا و لم يلتحق بمجموعات تقوية‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ح (ك‪122/42 = )1‬‬ ‫‪ - 2‬ح (ك‪122/22 = )4‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫عند القاء عملة معدنية متزنة ثالث مرات أوجد فضاء العينة و‬ ‫األحداث اآلتية‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ظهور الكتابة فى المرة األولى و المرة الثانية‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ظهور الصورة فى المرة الثالثة‪.‬‬ ‫‪ - 3‬ظهور صورتين فقط فى المرات الثالثة‪.‬‬ ‫‪ - 4‬ظهور الكتابة فى المرة الثالثة‪.‬‬ ‫‪112‬‬  ‫الحل‪:‬‬ ‫ض = } (ت‪ , 1‬ت‪ , 1‬ت‪( , )1‬ت‪ , 1‬ت‪ ,2‬ت‪)2‬‬ ‫‪( ,‬ت‪ , 2‬ت‪ , 1‬ت‪( , )1‬ت‪ , 2‬ت‪ , 1‬ت‪, )2‬‬ ‫(ت‪ , 1‬ت‪ , 1‬ت‪( , )2‬ت‪ , 1‬ت‪ , 2‬ت‪, )1‬‬ ‫(ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪( , )1‬ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪{ )2‬‬ ‫ق = }(ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪, )1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫(ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪{ )2‬‬ ‫‪ -2‬ف = } (ت‪ , 1‬ت‪ , 1‬ت‪, )1‬‬ ‫(ت‪ , 2‬ت‪ , 1‬ت‪( , )1‬ت‪ , 1‬ت‪ , 2‬ت‪, )1‬‬ ‫‪113‬‬  ‫(ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪{ )1‬‬ ‫‪ -3‬ث = } (ت‪ , 2‬ت‪ , 1‬ت‪, )1‬‬ ‫(ت‪ , 1‬ت‪ , 1‬ت‪( , )2‬ت‪ , 1‬ت‪ , 2‬ت‪{ )1‬‬ ‫ل = } (ت‪ , 1‬ت‪ , 2‬ت‪, )2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫(ت‪ , 2‬ت‪ , 1‬ت‪, )2‬‬ ‫(ت‪ , 1‬ت‪ , 1‬ت‪( , )2‬ت‪ , 2‬ت‪ , 2‬ت‪{ )2‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫صندوقان يحتوى األول أ على ‪ 3‬كرات صفراء ‪ 0 ,‬كرات سوداء‬ ‫بينما يحتوى الصندوق الثانى ب على ‪ 6‬كرات صفراء ‪ 4 ,‬كرات‬ ‫سوداء فاذا تم اختيار أحد الصندوقين عشوائيا ثم سحبت منه كرة‬ ‫عشوائيا فأوجد مايلى‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال اختيار كال من الصندوقين‪.‬‬ ‫‪114‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال اختيار كرة صفراء من كل من الصندوقين على حدى‪.‬‬ ‫‪ - 3‬احتمال اختيار كرة سوداء من كل من الصندوقين على حدى‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ح (ث‪22/12 = )1‬‬ ‫ح (ث‪22/12 = )2‬‬ ‫‪ - 2‬ح (ي‪ / )1‬ح (ث‪12 /3 = 22/12  22/3 = )1‬‬ ‫ح (ي‪ / )3‬ح (ث‪12 /6 = 22/12  22/6 = )2‬‬ ‫‪ - 3‬ح (ي‪ / )2‬ح (ث‪12 /0 = 22/12  22/0 = )1‬‬ ‫‪115‬‬ ‫ح (ي‪ / )4‬ح (ث‪12 /4 = 22/12  22/4 = )2‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫للجدول اآلتى‪:‬‬ ‫أوجد االحتماالت اآلتية‪:‬‬ ‫‪ ‬ق)‬ ‫ح (ف‬ ‫أ‪-‬‬ ‫‪ ‬ق)‬ ‫ح (ف‬ ‫ب‪-‬‬ ‫‪116‬‬  ‫‪ ‬ن)‬ ‫ح (ف‬ ‫ت‪-‬‬ ‫)‬ ‫ث‪ -‬ح(‬ ‫ج ‪ -‬ح (ف)‬ ‫ح ‪ -‬ح (ق)‬ ‫د ‪ -‬ح (ن)‬ ‫‪ ‬ن)‬ ‫ح (ف‬ ‫ذ‪-‬‬ ‫ر ‪ -‬ح (ف│ ق)‬ ‫ز ‪ -‬ح (ق│ ف)‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪117‬‬  ‫‪ ‬ق)‬ ‫ح (ف‬ ‫أ‪-‬‬ ‫= ‪,23 + ,22 + ,22 + ,50 + ,18 + ,28‬‬ ‫‪ ‬ق)‬ ‫ح (ف‬ ‫ب‪-‬‬ ‫= ‪,22 + ,18‬‬ ‫‪ ‬ن)‬ ‫ح (ف‬ ‫ت‪-‬‬ ‫= }{‬ ‫)‬ ‫ث‪ -‬ح(‬ ‫= ‪),23 + ,20( – 1‬‬ ‫ج ‪ -‬ح (ف)‬ ‫‪118‬‬  ‫= ‪,22 + ,22 + ,18 + ,28‬‬ ‫ح ‪ -‬ح (ق)‬ ‫= ‪,23 + ,22 + ,50 + ,18‬‬ ‫د ‪ -‬ح (ن)‬ ‫= ‪,23 + ,20‬‬ ‫‪ ‬ن)‬ ‫ح (ف‬ ‫ذ‪-‬‬ ‫= ‪,23 + ,20 + ,22 + ,22 + ,18 + ,28‬‬ ‫ر ‪ -‬ح (ف│ ق) =‬ ‫‪119‬‬  ‫ز ‪ -‬ح (ق│ ف) =‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫الشكل اآلتى يمثل المدرج التكرارى االحتمالى للمتغير العشوائى‬ ‫المتقطع س‬ ‫المطلوب ايجاد التوزيع االحتمالى للمتغير العشوائى المتقطع س‪.‬‬ ‫‪121‬‬  ‫الحل‪:‬‬ ‫ح (س = س)‬ ‫س=س‬ ‫‪,2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,425‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,205‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,205‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,225‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المجموع‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫عند القاء عملة معدنية متزنة مرة واحدة أوجد احتمال ظهور كتابة‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ت = } ت‪ , 1‬ت‪{ 2‬‬ ‫ح (ت‪2/1 = )2‬‬ ‫‪121‬‬  ‫مثال‪:‬‬ ‫عند القاء زهر نرد متزن مرة واحدة أوجد احتمال الحصول على‬ ‫رقم زوجى‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ي = } ‪{ 6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1‬‬ ‫ف = } ‪{ 6 ,4 ,2‬‬ ‫ح (ف) = ‪6/3‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫عند القاء زهرى نرد متزنين مرة واحدة أوجد ما يلى‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال عدم ظهور رقم زوجى‪.‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال ظهور رقم فردى على الزهرين معا‪.‬‬ ‫‪ - 3‬احتمال ظهور رقم زوجى على زهر واحد على األقل‪.‬‬ ‫‪ - 4‬احتمال ظهور رقم فردى على زهر واحد فقط‪.‬‬ ‫‪122‬‬  ‫الحل‪:‬‬ ‫(‪, )5 ,1( , )4 ,1( , )3 ,1( , )2 ,1( , )1 ,1‬‬ ‫ك=}‬ ‫(‪, )5 ,2( , )4 ,2( , )3 ,2( , )2 ,2( , )1 ,2( , )6 ,1‬‬ ‫(‪, )5 ,3( , )4 ,3( , )3 ,3( , )2 ,3( , )1 ,3( ,)6 ,2‬‬ ‫(‪, )5 ,4( , )4 ,4( , )3 ,4( , )2 ,4( , )1 ,4( ,)6 ,3‬‬ ‫(‪, )5 ,5( , )4 ,5( , )3 ,5( , )2 ,5( , )1 ,5( ,)6 ,4‬‬ ‫(‪, )5 ,6( , )4 ,6( , )3 ,6( , )2 ,6( , )1 ,6( ,)6 ,5‬‬ ‫(‪{ )6 ,6‬‬ ‫}(‪)5 ,1( ,)3 ,1( ,)1 ,1‬‬ ‫‪ -1‬ث =‬ ‫‪)5 ,3( ,)3 ,3( ,)1 ,3( ,‬‬ ‫‪{ )5 ,5( ,)3 ,5( ,)1 ,5( ,‬‬ ‫‪123‬‬  ‫ح (ث) = ‪36/9‬‬ ‫}(‪)5 ,1( ,)3 ,1( ,)1 ,1‬‬ ‫‪ -2‬ب =‬ ‫‪)5 ,3( ,)3 ,3( ,)1 ,3( ,‬‬ ‫‪{ )5 ,5( ,)3 ,5( ,)1 ,5( ,‬‬ ‫ح (ب) = ‪36/9‬‬ ‫ع=‬ ‫‪-3‬‬ ‫} (‪)6 ,1( , )4 ,1( , )2 ,1‬‬ ‫‪)6 ,2( , )5 ,2( , )4 ,2( , )3 ,2( , )2 ,2( , )1 ,2( ,‬‬ ‫‪)6 ,3( , )4 ,3( , )2 ,3( ,‬‬ ‫‪)6 ,4( , )5 ,4( , )4 ,4( , )3 ,4( , )2 ,4( , )1 ,4( ,‬‬ ‫‪124‬‬  ‫‪)6 ,5( , )4 ,5( , )2 ,5( ,‬‬ ‫‪{ )6 ,6( , )5 ,6( , )4 ,6( , )3 ,6( , )2 ,6( , )1 ,6( ,‬‬ ‫ح (ع) = ‪36/20‬‬ ‫(‪)6 ,1( , )4 ,1( , )2 ,1‬‬ ‫غ=}‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪)5 ,2( , )3 ,2( , )1 ,2( ,‬‬ ‫‪)6 ,3( , )4 ,3( , )2 ,3( ,‬‬ ‫‪)5 ,4( , )3 ,4( , )1 ,4( ,‬‬ ‫‪)6 ,5( , )4 ,5( , )2 ,5( ,‬‬ ‫‪{ )5 ,6( , )3 ,6( , )1 ,6( ,‬‬ ‫ح (غ) = ‪36/18‬‬ ‫‪125‬‬ ‫تطبيقات الباب الثالث‬ ‫‪ - 1‬للجدول اآلتى‪:‬‬ ‫أوجد االحتماالت اآلتية‪:‬‬ ‫‪ ‬ق)‬ ‫ح (ف‬ ‫أ‪-‬‬ ‫‪ ‬ق)‬ ‫ح (ف‬ ‫ب‪-‬‬ ‫‪ ‬ن)‬ ‫ح (ف‬ ‫ت‪-‬‬ ‫‪126‬‬  ‫)‬ ‫ث‪ -‬ح(‬ ‫ج ‪ -‬ح (ف)‬ ‫ح ‪ -‬ح (ق)‬ ‫د ‪ -‬ح (ن)‬ ‫‪ ‬ن)‬ ‫ح (ف‬ ‫ذ‪-‬‬ ‫ر ‪ -‬ح (ف│ ق)‬ ‫ز ‪ -‬ح (ق│ ف)‬ ‫مستقلين ؟‬ ‫هل الحدثين ق و ف‬ ‫س‪-‬‬ ‫مستقلين ؟‬ ‫هل المتغيرين أ و ب‬ ‫ش‪-‬‬ ‫‪127‬‬  ‫‪ – 2‬الشكل اآلتى يمثل المدرج التكرارى االحتمالى للمتغير‬ ‫العشوائى المتقطع س‬ ‫المطلوب ايجاد التوزيع االحتمالى للمتغير العشوائى المتقطع س‪.‬‬ ‫‪ - 3‬من الجدول اآلتى أوجد جميع التوزيعات االحتمالية الممكنة‪.‬‬ ‫ص‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫المجموع‬ ‫س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.58‬‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.65‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪0.65‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪128‬‬ ‫ح‪+‬‬ ‫ت│ ت>‪={ 2‬‬ ‫‪ - 4‬لفضاء العينة ت = }‬ ‫الحدثين‬ ‫>ت ‪{ 1 ‬‬ ‫ت │ ‪11‬‬ ‫ك‪} = 1‬‬ ‫‪{4‬‬ ‫ت │ ‪ > 118‬ت >‬ ‫ك‪} = 2‬‬ ‫أوجد‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬ك ‪  1‬ك‪2‬‬ ‫ب ‪ -‬ك ‪  1‬ك‪2‬‬ ‫ج‪-‬‬ ‫‪129‬‬ ‫‪ – 5‬أوجد المتوسط و االنحراف المعيارى للمتغير العشوائى اآلتى‪.‬‬ ‫‪ - 6‬لدالة كثافة االحتمال اآلتية أوجد المتوسط و التباين‪.‬‬ ‫‪2‬س‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ف (س) = ‪2,5‬‬ ‫‪ - 0‬عند القاء عملة معدنية متزنة مرة واحدة أوجد احتمال ظهور‬ ‫كتابة‪.‬‬ ‫‪ - 8‬عند القاء زهر نرد متزن مرة واحدة أوجد احتمال الحصول‬ ‫على رقم زوجى‪.‬‬ ‫‪ - 9‬عند القاء زهرى نرد متزنين مرة واحدة أوجد ما يلى‪:‬‬ ‫‪131‬‬  ‫‪ - 1‬احتمال عدم ظهور رقم زوجى‪.‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال ظهور رقم فردى على الزهرين معا‪.‬‬ ‫‪ - 3‬احتمال ظهور رقم زوجى على زهر واحد على األقل‪.‬‬ ‫‪ - 4‬احتمال ظهور رقم فردى على زهر واحد فقط‪.‬‬ ‫‪ - 5‬احتمال أن يكون مجموع الوجهين = ‪.9‬‬ ‫‪ - 12‬عند القاء ثالث قطع نقود متزنة مرة واحدة أوجد ما يلى‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال ظهور الصورة على وجه واحد فقط‪.‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال ظهور الصورة على وجهين فقط‪.‬‬ ‫‪ - 3‬احتمال ظهور الصورة على الثالث أوجه‪.‬‬ ‫‪ - 4‬احتمال عدم ظهور الكتابة على االطالق‪.‬‬ ‫‪ - 11‬اذا سحب كارت عشوائيا من مجموعة من الكروت المتشابهة‬ ‫تماما و المرقمة من ‪ 1‬الى ‪ 12‬أوجد ما يلى‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال أن يكون رقم الكارت زوجى‪.‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال أن يكون رقم الكارت أقل من ‪.5‬‬ ‫‪ - 3‬احتمال أن يكون رقم الكارت أقل من أو يساوى ‪.5‬‬ ‫‪ - 4‬احتمال أن يكون رقم الكارت أقل من أو يساوى ‪ 5‬أو‬ ‫أكبر من ‪.0‬‬ ‫‪131‬‬  ‫‪ - 12‬البيانات التالية تمثل أعداد الطلبة فى عينة من ‪ 122‬طالب‪.‬‬ ‫فاذا اختير طالب عشوائى من هذه العينة فأوجد‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال أن يكون الطالب راسبا و التحق بمجموعات تقوية‪.‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال أن يكون الطالب ناجحا و لم يلتحق بمجموعات تقوية‪.‬‬ ‫‪ - 13‬عند القاء عملة معدنية متزنة ثالث مرات أوجد فضاء العينة‬ ‫و األحداث اآلتية‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ظهور الصورة فى المرة األولى و المرة الثانية‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ظهور الكتابة فى المرة الثالثة‪.‬‬ ‫‪ - 3‬ظهور كتابتين فقط فى المرات الثالثة‪.‬‬ ‫‪ - 4‬ظهور الصورة فى المرة الثالثة‪.‬‬ ‫‪132‬‬  ‫‪ - 14‬صندوقان يحتوى األول ع على ‪ 6‬كرات صفراء ‪4 ,‬‬ ‫كرات سوداء بينما يحتوى الصندوق الثانى غ على ‪ 3‬كرات‬ ‫صفراء ‪ 0 ,‬كرات سوداء فاذا تم اختيار أحد الصندوقين عشوائيا ثم‬ ‫سحبت منه كرة عشوائيا فأوجد مايلى‪:‬‬ ‫‪ - 1‬احتمال اختيار كال من الصندوقين‪.‬‬ ‫‪ - 2‬احتمال اختيار كرة صفراء من كل من الصندوقين على حدى‪.‬‬ ‫‪ - 3‬احتمال اختيار كرة سوداء من كل من الصندوقين على حدى‪.‬‬ ‫‪133‬‬ 134  ‫الباب الرابع‬ ‫التوزيعات االحتمالية‬ ‫‪135‬‬ 136  ‫الباب الرابع‬ ‫التوزيعات االحتمالية‬ ‫يوجد العديد من التوزيعات االحتمالية المتقطعة و المتصلة الهامة‬ ‫فى التطبيقات و سنتعرض ألهمها‪.‬‬ ‫تعريف‪factorials :‬‬ ‫ك ! = ك ‪( ‬ك ‪1  2...... )1 -‬‬ ‫‪1 = !2‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪6 =1  2  3 = !3‬‬ ‫تعريف‪binomial coefficients :‬‬ ‫‪137‬‬  ‫مثال‪:‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫التوزيعات االحتمالية المتقطعة‪.‬‬ ‫‪ - 1‬ال توزيع االحتمالى لبرنوللى‪Bernoulli probability distribution :‬‬ ‫يسمى‬ ‫ب=ب‬ ‫التوزيع االحتمالى لمتغير برنوللى العشوائى‬ ‫التوزيع االحتمالى لبرنوللى‬ ‫و له الشكل اآلتى‪:‬‬ ‫ح (ب = ب)‬ ‫ب=ب‬ ‫‪ -1‬ك‬ ‫‪2‬‬ ‫ك‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ < 1‬ك ‪)2,06‬‬ ‫ج ‪ -‬ح (‪  1,82‬ع ‪)2,68 - ‬‬ ‫شكل ‪1-‬‬ ‫‪154‬‬ ‫شكل ‪2-‬‬ ‫‪155‬‬ ‫شكل ‪3-‬‬ ‫‪156‬‬ 157  ‫الباب الخامس‬ ‫االرتباط و االنحدار‬ ‫‪158‬‬ 159  ‫الباب الخامس‬ ‫االرتباط و االنحدار‬ ‫)‪)One independent variable‬‬ ‫المعادالت الخطية بمتغير مستقل واحد‪:‬‬ ‫الشكل العام‬ ‫أ‪2‬‬ ‫ص = أ‪ 1‬س ‪+‬‬ ‫ص‪ :‬متغير غير مستقل ‪dependent variable‬‬ ‫س‪ :‬متغير مستقل ‪independent variable‬‬ ‫أ‪ 1‬و أ‪ : 2‬ثوابت‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫ص = ‪ 22‬س ‪25 +‬‬ ‫ص (التكلفة بالدوالر)‬ ‫س (الزمن بالساعة)‬ ‫‪125‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪0, 5‬‬ ‫‪325‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪425‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪405‬‬ ‫‪22,5‬‬ ‫‪161‬‬  ‫قاطع – ص و الميل‬ ‫تعريف‪ :‬للمعادلة الخطية ص = أ‪ 1‬س ‪ +‬أ‪ 2‬يسمى‬ ‫قاطع – ص و يسمى أ‪ 1‬الميل‪.‬‬ ‫أ‪2‬‬ ‫‪161‬‬  ‫التفسير الشكلى للميل‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬أ‪4 = 1‬‬ ‫أ‪4 = 1‬‬ ‫أ‪1‬‬ ‫ب‪2‬‬ ‫مقدمة لطريقة المربعات الصغرى‬ ‫= ‪ 1,25‬س ‪,5 +‬‬ ‫الخط م‪: 1‬‬ ‫خ‪2‬‬ ‫خ‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫‪,5625‬‬ ‫‪,05 -‬‬ ‫‪1,05‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,2625‬‬ ‫‪,25‬‬ ‫‪1,05‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,25‬‬ ‫‪,5‬‬ ‫‪5, 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1,805‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪163‬‬  ,25 - ‫ س‬1,5 = : 2‫الخط م‬ 2‫خ‬ ‫خ‬ ‫ص‬ ‫س‬ ,2625 ,25 - 1,25 1 1 ,5625 ,05 1,25 2 1 ,5625 ,05 - 2,05 2 2 ,2625 ,25 5,05 6 4 1,25 ‫المجموع‬ Scatter diagram for the 4 data points 164 ‫أقل مجموع مربعات للخطأ‬ ‫‪165‬‬ ‫‪Least squares criterion:‬‬ ‫أفضل خط هو الذى يقدم أقل مجموع مربعات للخطأ‪.‬‬ ‫تعريف‪ :‬خط االنحدار‬ ‫هو أفضل خط طبقا ل‬ ‫‪Least squares criterion‬‬ ‫تعريف‪ :‬معادلة االنحدار‬ ‫هى معادلة خط االنحدار‪.‬‬ ‫الرموز المستخدمة فى االرتباط و االنحدار‬ ‫‪Defining formula:‬‬ ‫‪166‬‬ Computing formula: 167  ‫معادلة االنحدار ل ‪ set of n data point‬تكون‬ ‫ب‪2‬‬ ‫= ب‪ 1‬س ‪+‬‬ ‫حيث ب‪= 1‬‬ ‫ب‪= 2‬‬ ‫=‬ ‫‪168‬‬  ‫مثال‪:‬‬ ‫الجدول التالى يعرض بيانات للعمر و السعر لعينة من ‪ 11‬سيارة‬ ‫من النوع ( ‪:)orions‬‬ ‫‪ – 1‬حدد معادلة االنحدار لهذه البيانات‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ارسم معادلة االنحدار‪.‬‬ ‫‪ – 3‬أوصف العالقة بين العمر و السعر‪.‬‬ ‫‪ – 4‬استخدم معادلة االنحدار للتنبؤ بالسعر عند س = ‪ 3‬و س = ‪4‬‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫‪85‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪169‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪0‬‬ ‫س‪ :‬العمر بالسنة‬ ‫ص‪ :‬السعر (‪)$122‬‬ ‫‪169‬‬  ‫الحل‪:‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫سص‬ ‫ص‪2‬‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫‪25‬‬ ‫‪425‬‬ ‫‪0225‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪412‬‬ ‫‪12629‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪422‬‬ ‫‪4922‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪412‬‬ ‫‪6024‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪445‬‬ ‫‪0921‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪492‬‬ ‫‪9624‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪396‬‬ ‫‪4356‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪502‬‬ ‫‪9225‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪338‬‬ ‫‪28561‬‬ ‫‪169‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪