Les Vecteurs PDF

# Les Vecteurs ## Définition **Vecteur** Un vecteur est un objet géométrique qui possède une direction, un sens et une longueur. Il est souvent représenté par une flèche. En mathématiques, un vecteur est souvent noté par une lettre accompagnée d'une flèche au-dessus *(par exemple **\(\overrightar...

# Les Vecteurs ## Définition **Vecteur** Un vecteur est un objet géométrique qui possède une direction, un sens et une longueur. Il est souvent représenté par une flèche. En mathématiques, un vecteur est souvent noté par une lettre accompagnée d'une flèche au-dessus *(par exemple **\(\overrightarrow{u}\)**)*. **Direction** La direction d'un vecteur est la même que celle de la droite qui le contient, c'est-à-dire la ligne qui suit le chemin le long duquel le vecteur pointe. **Sens** Le sens d'un vecteur est l'orientation vers laquelle la flèche du vecteur pointe. **Norme** La norme (ou longueur) d'un vecteur est une mesure de la distance entre son point initial et son point final. Pour un vecteur **\(\overrightarrow{AB}\)**, on la note **\(\overrightarrow{AB}|\)**. ## Propriétés des Vecteurs ### Addition de Vecteurs L'addition de deux vecteurs **\(\overrightarrow{u}\)** et **\(\overrightarrow{v}\)** donne un nouveau vecteur **\(\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\)**. Géométriquement, cela revient à aligner le début de **\(\overrightarrow{v}\)** avec la fin de **\(\overrightarrow{u}\)** et à tracer le vecteur de l'origine de **\(\overrightarrow{u}\)** à la fin de **\(\overrightarrow{v}\)**. ### Multiplication par un Scalaire La multiplication d'un vecteur **\(\overrightarrow{u}\)** par un scalaire **\(\lambda\)** produit un vecteur **\(\overrightarrow{v} = \lambda \cdot \overrightarrow{u}\)**. Cela change la norme du vecteur tout en préservant la direction si **\(\lambda > 0\)**, et inverse le sens si **\(\lambda < 0\)**. ### Vecteur Opposé Un vecteur opposé **\(\overrightarrow{-u}\)** est obtenu en inversant le sens du vecteur **\(\overrightarrow{u}\)**. Deux vecteurs opposés ont la même direction et la même norme mais des sens opposés. ## Coordonnées de Vecteurs ### Repère Orthogonal Dans un repère orthogonal, un vecteur **\(\overrightarrow{AB}\)** est souvent exprimé par ses coordonnées **\((x_B - x_A, y_B - y_A)\)**. Cela signifie que le vecteur part du point A de coordonnées **\((x_A, y_A)\)** et va jusqu'au point B de coordonnées **\((x_B, y_B)\)**. ### Calcul de la Norme La norme du vecteur **\(\overrightarrow{u} = (x, y)\)** est calculée par **\(\overrightarrow{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)**. Cela vient de l'application du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle dont **\(\overrightarrow{u}\)** est l'hypoténuse. ## Opérations Vectorielles en Coordonnées ### Addition Pour deux vecteurs **\(\overrightarrow{u} = (x_1, y_1)\)** et **\(\overrightarrow{v} = (x_2, y_2)\)**, l'addition est donnée par **\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (x_1+x_2, y_1 + y_2)\)**. Cette opération se fait composante par composante. ### Multiplication par un Scalaire Si **\(\lambda\)** est un scalaire et **\(\overrightarrow{u} = (x, y)\)**, alors **\(\lambda \cdot \overrightarrow{u} = (\lambda x, \lambda y)\)**. Chaque composante du vecteur est multipliée par le scalaire. ## A retenir: Les vecteurs sont des objets mathématiques qui possèdent une direction, un sens et une norme. Leur manipulation inclut des opérations comme l'addition, la multiplication par un scalaire, et l'obtention de vecteurs opposés. Dans un repère orthogonal, les vecteurs peuvent être exprimés sous forme de coordonnées, ce qui facilite leur manipulation algébrique. La norme d'un vecteur est une mesure de sa longueur et est calculée à l'aide du théorème de Pythagore. Comprendre ces concepts est fondamental dans l'étude de la géométrie vectorielle.