Orthogonalité dans l'espace - PDF

1 ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/pMQBaCqLPsQ Partie 1 : Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace 1) Définition et propriétés Définition : Soit 𝑢 "⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs de l'espace. 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois point...

1 ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/pMQBaCqLPsQ Partie 1 : Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace 1) Définition et propriétés Définition : Soit 𝑢 "⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs de l'espace. 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points de l’espace tels que """""⃗ "⃗ = 𝐴𝐵 et 𝑢 """""⃗. Il existe un plan 𝑃 contenant les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. 𝑣⃗ = 𝐴𝐶 On appelle produit scalaire de l'espace de 𝑢 "⃗. 𝑣⃗ = """""⃗ "⃗ et 𝑣⃗ le produit 𝑢 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 """""⃗ dans le plan 𝑃. On retrouve alors dans l’espace toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan : Propriétés permettant de calculer un produit scalaire : """""⃗. 𝐴𝐶 𝐴𝐵 """""⃗ = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 × 𝑐𝑜𝑠/𝐵𝐴𝐶 0 1. ! """""⃗. 𝐴𝐵 𝐴𝐵 """""⃗ = 𝐴𝐵 """""⃗! = 2𝐴𝐵 """""⃗ 2 = 𝐴𝐵! 𝐻 est le projeté orthogonal du point 𝐶 sur la droite (𝐴𝐵). On a : """""⃗ 𝐴𝐵. 𝐴𝐶"""""⃗ = """""⃗ 𝐴𝐵. 𝐴𝐻 """"""⃗ ! """""⃗. 𝐴𝐶 𝐴𝐵 """""⃗ = (𝐴𝐵! + 𝐴𝐶 ! − 𝐵𝐶 ! ) " Propriétés algébriques : Symétrie : 𝑢 "⃗. 𝑣⃗ = 𝑣⃗. 𝑢"⃗ Bilinéarité : 𝑢 (𝑣 "⃗. ⃗ + 𝑤 ""⃗) = 𝑢 "⃗. 𝑣⃗ + 𝑢 ""⃗ et 𝑢 "⃗. 𝑤 "⃗. (𝑘𝑣⃗) = 𝑘𝑢 "⃗. 𝑣⃗, avec 𝑘 ∈ ℝ Identités remarquables : (𝑢"⃗ + 𝑣⃗)! = 𝑢 "⃗! + 2𝑢 "⃗. 𝑣⃗ + 𝑣⃗ ! ⟶ On peut également noter : ‖𝑢 "⃗ + 𝑣⃗‖! = ‖𝑢 "⃗‖! + 2𝑢 "⃗. 𝑣⃗ + ‖𝑣⃗‖! (𝑢"⃗ − 𝑣⃗)! = 𝑢 "⃗! − 2𝑢 "⃗. 𝑣⃗ + 𝑣⃗ ! (𝑢"⃗ + 𝑣⃗). (𝑢 "⃗ − 𝑣⃗) = 𝑢 "⃗! − 𝑣⃗ ! Formule de polarisation : ! ! "⃗. 𝑣⃗ = (‖𝑢 𝑢 "⃗‖! + ‖𝑣⃗‖! − ‖𝑢 "⃗ − 𝑣⃗‖! ) 𝑢"⃗. 𝑣⃗ = (‖𝑢 "⃗ + 𝑣⃗‖! − ‖𝑢 "⃗‖! − ‖𝑣⃗‖! ) " " ! "⃗. 𝑣⃗ = (‖𝑢 𝑢 "⃗ + 𝑣⃗‖! − ‖𝑢 "⃗ − 𝑣⃗‖! ) # Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  2 Propriété d’orthogonalité : 𝑢 "⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux "⃗. 𝑣⃗ = 0 ⟺ 𝑢 Méthode : Calculer le produit scalaire dans l’espace Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube d'arête 𝑎. Calculer les produits scalaires : a) """""⃗ 𝐴𝐵. 𝐷𝐺 """""⃗ """""⃗. 𝐻𝐷 b) 𝐸𝐹 """"""⃗ c) """""⃗ 𝐴𝐷. 𝐺𝐹 """""⃗ Correction a) """""⃗ 𝐴𝐵. 𝐷𝐺 """""⃗ = """""⃗ 𝐴𝐵. 𝐴𝐹 """""⃗ = """""⃗ 𝐴𝐵. 𝐴𝐵 """""⃗, 𝐵 étant le projeté orthogonal de 𝐹 sur (𝐴𝐵). ! = 𝐴𝐵 = 𝑎! """""⃗. """"""⃗ b) 𝐸𝐹 𝐻𝐷 = 𝐸𝐹 """""⃗. 𝐸𝐴 """""⃗ = 0 car """""⃗ 𝐸𝐹 et """""⃗ 𝐸𝐴 sont orthogonaux. """""⃗. 𝐺𝐹 c) 𝐴𝐷 """""⃗ = """""⃗ 𝐴𝐷. """""⃗ 𝐷𝐴 = −𝐴𝐷 """""⃗. """""⃗ 𝐴𝐷 = −𝐴𝐷! = −𝑎! Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité Vidéo https://youtu.be/8Obh6cIZeEw Soit un tétraèdre régulier 𝐴𝐵𝐶𝐷 d’arêtes de longueur 𝑙. Démontrer que les arêtes [𝐴𝐷] et [𝐵𝐶] sont orthogonales. Correction """""⃗. """""⃗ On va prouver que 𝐴𝐷 𝐵𝐶 = 0. """""⃗. """""⃗ 𝐴𝐷 𝐵𝐶 = """""⃗ 𝐴𝐷. /𝐵𝐴 """""⃗ + 𝐴𝐶 """""⃗ 1 = """""⃗ 𝐴𝐷. 𝐵𝐴 """""⃗ + """""⃗ 𝐴𝐷. 𝐴𝐶 """""⃗ = −𝐴𝐷 """""⃗. """""⃗ 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 """""⃗. 𝐴𝐶"""""⃗ Dans le triangle équilatéral ABD, on a : """""⃗. """""⃗ 𝐴𝐷 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 × 𝐴𝐵 × 𝑐𝑜𝑠/𝐷𝐴𝐵 01 𝜋 𝑙! = 𝑙 × 𝑙 × cos J M = 3 2 2 On démontre de même dans le triangle équilatéral 𝐴𝐷𝐶 que : """""⃗ 𝐴𝐷. 𝐴𝐶 """""⃗ = 𝑙 2 &" &" """""⃗. """""⃗ Ainsi : 𝐴𝐷 𝐵𝐶 = − + = 0 " " """""⃗ """""⃗ Les vecteurs 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶 sont donc orthogonaux, et donc Les arêtes [𝐴𝐷] et [𝐵𝐶] sont orthogonales. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  3 2) Produit scalaire dans un repère orthonormé Définitions : Une base /𝚤⃗, 𝚥⃗, 𝑘"⃗1 de l’espace est orthonormée si : - les vecteurs 𝚤⃗, 𝚥⃗ et 𝑘"⃗ sont deux à deux orthogonaux, - les vecteurs 𝚤⃗, 𝚥⃗ et 𝑘"⃗ sont unitaires, soit : ‖𝚤⃗‖ = 1, ‖𝚥⃗‖ = 1 et 2𝑘"⃗ 2 = 1. Un repère /𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗, 𝑘"⃗1 de l’espace est orthonormé, si sa base /𝚤⃗, 𝚥⃗, 𝑘"⃗1 est orthonormée. Propriétés : Dans un repère orthonormé de l’espace /𝑂 ; 𝚤⃗, 𝚥⃗, 𝑘"⃗1 : 𝑥 𝑥′ Soit 𝑢"⃗ T𝑦X et 𝑣⃗ Y𝑦′[ deux vecteurs de l'espace. 𝑧 𝑧′ " " "⃗. 𝑣⃗ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧′ et ‖𝑢 𝑢 "⃗‖ = √𝑢 "⃗ = ]𝑥 ! + 𝑦 ! + 𝑧 !. "⃗. 𝑢 𝑥# 𝑥$ Soit 𝐴 Y # [ et 𝐵 Y 𝑦$ [ deux points de l’espace. 𝑦 𝑧# 𝑧$ 𝐴𝐵 = ](𝑥$ − 𝑥# ) + (𝑦$ − 𝑦# )! + (𝑧$ − 𝑧# )! ! Démonstration : 𝑢"⃗. 𝑣⃗ = /𝑥 𝚤⃗ + 𝑦 𝚥⃗ + 𝑧 𝑘"⃗1. /𝑥′ 𝚤⃗ + 𝑦′ 𝚥⃗ + 𝑧′ 𝑘"⃗ 1 = 𝑥𝑥′𝚤⃗. 𝚤⃗ + 𝑥𝑦′𝚤⃗. 𝚥⃗ + 𝑥𝑧′𝚤⃗. 𝑘"⃗ + 𝑦𝑥′𝚥⃗. 𝚤⃗ + 𝑦𝑦′𝚥⃗. 𝚥⃗ + 𝑦𝑧′𝚥⃗. 𝑘"⃗ + 𝑧𝑥′𝑘 "⃗. 𝚤⃗ + 𝑥𝑦′𝑘 "⃗. 𝚥⃗ + 𝑧𝑧′𝑘"⃗. 𝑘"⃗ " " = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧′ En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple (𝚤⃗ ; 𝚥⃗) : 𝚤⃗. 𝚤⃗ = ‖𝚤⃗‖! = 1, 𝚥⃗. 𝚥⃗ = ‖𝚥⃗‖! = 1 et 𝚤⃗. 𝚥⃗ = 𝚥⃗. 𝚤⃗ = 0 On a, en particulier : ‖𝑢"⃗‖! = 𝑢 "⃗ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 𝑥 ! + 𝑦 ! + 𝑧 !. "⃗. 𝑢 ! """""⃗ 2 = (𝑥$ − 𝑥# )! + (𝑦$ − 𝑦# )! + (𝑧$ − 𝑧# )! Et : 2𝐴𝐵 Méthode : Calculer un produit scalaire à l’aide des coordonnées Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E On considère le repère de l'espace /𝐶 ; 𝐶𝐵 """""⃗ , 𝐶𝐷 """""⃗, """""⃗ 𝐶𝐺 1. I est le milieu du segment [𝐵𝐹]. Les vecteurs 𝐶𝐸"""""⃗ et 𝐷𝐼 """"⃗ sont-ils orthogonaux ? Correction 1 1−0 1 """""⃗ """"⃗ On a : 𝐶𝐸 Y1[ et 𝐷𝐼 Y 0 − 1 [ soit 𝐷𝐼 Y−1[. """"⃗ 1 0,5 − 0 0,5 """""⃗. """"⃗ Alors : 𝐶𝐸 𝐷𝐼 = 1 × 1 + 1 × (−1) + 1 × 0,5 = 0,5 ≠ 0. Les vecteurs 𝐶𝐸 """""⃗ et 𝐷𝐼 """"⃗ ne sont donc pas orthogonaux. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  4 Partie 2 : Orthogonalité 1) Orthogonalité de deux droites Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un même point quelconque sont perpendiculaires. Exemple : 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube. - Les droites (𝐸𝐻) et (𝐸𝐹) sont perpendiculaires. - Les droites (𝐵𝐶) et (𝐸𝐹) sont orthogonales. Remarques : - Deux droites perpendiculaires sont coplanaires et sécantes. - Deux droites perpendiculaires sont orthogonales. La réciproque n'est pas vraie car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et sécantes. 2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan Propriété : Une droite 𝑑 de l’espace est orthogonale à un plan 𝑃 si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de 𝑃. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  5 Propriété : Si une droite 𝑑 de l’espace est orthogonale à un plan 𝑃 alors elle est orthogonale à toutes les droites de 𝑃. Démonstration : Soit une droite 𝑑 de vecteur directeur 𝑛"⃗ orthogonale à deux droites sécantes 𝑑% et 𝑑! de 𝑃. Soit 𝑢"⃗ et 𝑣⃗ des vecteurs directeurs respectifs de 𝑑% et 𝑑!. Alors 𝑢"⃗ et 𝑣⃗ sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur 𝑛"⃗. Soit une droite quelconque Δ de 𝑃 de vecteur directeur 𝑤 ""⃗. Démontrons que Δ est orthogonale à 𝑑. ""⃗ peut se décomposer en fonction de 𝑢 𝑤 "⃗ et 𝑣⃗ qui constituent une base de 𝑃 (car non colinéaires). Il existe donc deux réels 𝑥 et 𝑦 tels que 𝑤 ""⃗ = 𝑥𝑢"⃗ + 𝑦𝑣⃗. Donc 𝑤 "⃗. 𝑛"⃗ + 𝑦𝑣⃗. 𝑛"⃗ = 0, car 𝑛 ""⃗. 𝑛"⃗ = 𝑥𝑢 "⃗ est orthogonal avec 𝑢 "⃗ et 𝑣⃗. Donc 𝑛"⃗ est orthogonal au vecteur 𝑤 ""⃗. Et donc 𝑑 est orthogonale à Δ. Exemple : 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube. (𝐴𝐸) est perpendiculaire aux droites (𝐴𝐷) et (𝐴𝐵). (𝐴𝐵) et (𝐴𝐷) sont sécantes et définissent le plan (𝐴𝐵𝐷). Donc (𝐴𝐸) est orthogonal au plan (𝐴𝐵𝐶). Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonales Vidéo https://youtu.be/qKWghhaQJUs 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral. 𝐸 est le point d'intersection de ses hauteurs. La droite 𝑑 passant par 𝐸 est orthogonale au plan (𝐴𝐵𝐶). La pyramide 𝐴𝐵𝐶𝐷 est telle que 𝐷 soit un point de la droite 𝑑. Démontrer que les droites (𝐵𝐷) et (𝐴𝐶) sont orthogonales. Correction La droite 𝑑 est orthogonale au plan (𝐴𝐵𝐶). La droite 𝑑 est donc orthogonale à toutes les droites du plan (𝐴𝐵𝐶). Comme la droite (𝐴𝐶) appartient au plan (𝐴𝐵𝐶), la droite 𝑑 est orthogonale à la droite (𝐴𝐶). Par ailleurs, la droite (𝐴𝐶) est perpendiculaire à la droite (𝐵𝐸). Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  6 Ainsi, (𝐴𝐶) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (𝐵𝐸𝐷) : (𝐵𝐸) et 𝑑. Donc (𝐴𝐶) est orthogonale au plan (𝐵𝐸𝐷). Et donc la droite (𝐴𝐶) est orthogonale à toutes les droites du plan (𝐵𝐸𝐷). La droite (𝐵𝐷) appartient au plan (𝐵𝐸𝐷) donc la droite (𝐴𝐶) est orthogonale à la droite (𝐵𝐷). Partie 3 : Vecteur normal à un plan 1) Définition et propriétés Définition : Un vecteur non nul 𝑛"⃗ de l'espace est normal à un plan 𝑃 si 𝑛"⃗ est un vecteur directeur d’une droite orthogonale au plan 𝑃. Propriété : Un vecteur non nul 𝑛"⃗ de l'espace est normal à un plan 𝑃, s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de la direction de 𝑃. Propriété : Soit un point 𝐴 et un vecteur 𝑛"⃗ non nul de l’espace. L’ensemble des points 𝑀 tels que 𝐴𝑀""""""⃗. 𝑛"⃗ = 0 est le plan passant par 𝐴 et de vecteur normal 𝑛"⃗. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  7 Au XIXe siècle, le vecteur normal n! , appelé produit vectoriel, est noté u! ⋀ v!. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, Hermann Günther Grassmann (1809 ; 1877). Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un plan Vidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube. """""⃗ est normal au plan (𝐴𝐵𝐺). Démontrer que le vecteur 𝐶𝐹 Correction On considère le repère orthonormé /𝐵 ; 𝐵𝐴 """""⃗, """""⃗ 𝐵𝐶 , """""⃗ 𝐵𝐹 1. 1 0 0 0 0 Dans ce repère : 𝐴 Y0[, 𝐵 Y0[, 𝐶 Y1[, 𝐹 Y0[, 𝐺 Y1[. 0 0 0 1 1 On a ainsi : 0 0 −1 """""⃗ """""⃗ """""⃗ 𝐶𝐹 Y−1[, 𝐵𝐺 Y1[ et 𝐴𝐵 Y 0 [, donc : 1 1 0 """""⃗ """""⃗ 𝐶𝐹. 𝐵𝐺 = 0 × 0 − 1 × 1 + 1 × 1 = 0 """""⃗. 𝐴𝐵 𝐶𝐹 """""⃗ = 0 × (−1) − 1 × 0 + 1 × 0 = 0 """""⃗ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (𝐴𝐵𝐺), il est donc normal à Donc 𝐶𝐹 (𝐴𝐵𝐺). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan Vidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU 1 −1 2 Dans un repère orthonormé, on donne : 𝐴 Y 2 [, 𝐵 Y 3 [ et 𝐶 Y 0 [. −2 1 −2 Déterminer un vecteur normal au plan (𝐴𝐵𝐶). Correction −2 1 On a : 𝐴𝐵 """""⃗ Y 1 [ et 𝐴𝐶 """""⃗ Y−2[. 3 0 𝑎 Soit un vecteur 𝑛"⃗ T𝑏 X orthogonal au plan (𝐴𝐵𝐶). Il est tel que : 𝑐 𝑛"⃗. """""⃗ = 0 𝐴𝐵 −2𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 = 0 g soit h """""⃗ = 0 𝑛"⃗. 𝐴𝐶 𝑎 − 2𝑏 = 0 −2 × 2𝑏 + 𝑏 + 3𝑐 = 0 ⟺h 𝑎 = 2𝑏 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  8 −3𝑏 + 3𝑐 = 0 ⟺h 𝑎 = 2𝑏 𝑐=𝑏 ⟺h 𝑎 = 2𝑏 Prenons par exemple, 𝑏 = 1 (arbitrairement choisi) alors 𝑐 = 1 et 𝑎 = 2. 2 Le vecteur 𝑛"⃗ Y1[ est donc normal au plan (𝐴𝐵𝐶). 1 Remarque : La solution n’est pas unique. Tout vecteur colinéaire à 𝑛"⃗ est solution. 2) Projections orthogonales Définitions : Soit un point 𝐴 et une droite 𝑑 de l’espace. Le projeté orthogonal du point 𝑨 sur la droite 𝒅 est le point 𝐻 appartenant à 𝑑 tel que la droite (𝐴𝐻) soit perpendiculaire à la droite 𝑑. Soit un point 𝐴 et un plan 𝑃 de l’espace. Le projeté orthogonal du point 𝑨 sur le plan 𝑷 est le point 𝐻 appartenant à 𝑃 tel que la droite (𝐴𝐻) soit orthogonale au plan 𝑃. Propriété : Le projeté orthogonal d’un point 𝑀 sur un plan 𝑃 est le point de 𝑃 le plus proche de 𝑀. Démonstration au programme : Vidéo https://youtu.be/c7mxA0TbVFU Soit 𝐻 le projeté orthogonal du point 𝑀 sur le plan P. Supposons qu’il existe un point 𝐾 du plan P plus proche de 𝑀 que l’est le point 𝐻. 𝐾𝑀 ≤ 𝐻𝑀 car 𝐾 est le point de la droite le plus proche de 𝑀. Donc 𝐾𝑀! ≤ 𝐻𝑀!. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  9 Or, (𝑀𝐻) est orthogonale à P, donc (𝑀𝐻) est orthogonale à toute droite de P. En particulier, (𝑀𝐻) est perpendiculaire à (𝐻𝐾). Le triangle 𝑀𝐻𝐾 est donc rectangle en 𝐻. D’après l’égalité de Pythagore, on a : 𝐻𝑀! + 𝐻𝐾 ! = 𝐾𝑀! Donc 𝐻𝑀! + 𝐻𝐾 ! ≤ 𝐻𝑀!. Donc 𝐻𝐾 ! ≤ 0. Ce qui est impossible sauf dans le cas où le point 𝐾 est le point 𝐻. On en déduit que 𝐻 est le point du plan le plus proche du point 𝑀. Méthode : Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d’un point à un plan Vidéo https://youtu.be/1b9FtX4sCmQ Soit un cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻. On considère le repère orthonormé /𝐴; """""⃗ 𝐴𝐵, """""⃗ 𝐴𝐷, 𝐴𝐸"""""⃗ 1. a) Calculer les coordonnées du projeté orthogonal 𝐼 du point 𝐺 sur le plan (𝐵𝐷𝐸). b) En déduire la distance 𝐺𝐼 du point 𝐺 au plan (𝐵𝐷𝐸). Correction 𝑥 a) On cherche à déterminer les coordonnées T𝑦X du point 𝑧 """""⃗, 𝐴𝐷 𝐼. Dans le repère orthonormé /𝐴; 𝐴𝐵 """""⃗, """""⃗ 𝐴𝐸 1, on a : 1 0 0 1 𝐵 Y0[ , 𝐷 Y1[ , 𝐸 Y0[ , 𝐺 Y1[ 0 0 1 1 −1 1 𝑥−1 """"""⃗ Y 1 [, """""⃗ On a alors : 𝐵𝐷 𝐸𝐵 Y 0 [, """"⃗ 𝐵𝐼 Y 𝑦 [, 0 −1 𝑧 𝑥−1 """"⃗ Y𝑦 − 1[ 𝐺𝐼 𝑧−1 Or, (𝐺𝐼) est orthogonale au plan 𝐵𝐷𝐸 donc le vecteur """"⃗ 𝐺𝐼 est orthogonal aux vecteurs """"""⃗ 𝐵𝐷 et """""⃗. Soit : 𝐸𝐵 """"""⃗. """"⃗ 𝐵𝐷 𝐺𝐼 = 0 −1 × (𝑥 − 1) + 1 × (𝑦 − 1) + 0 × (𝑧 − 1) = 0 −𝑥 + 1 + 𝑦 − 1 = 0 𝑥=𝑦 """""⃗. 𝐺𝐼 𝐸𝐵 """"⃗ = 0 1 × (𝑥 − 1) + 0 × (𝑦 − 1) + (−1) × (𝑧 − 1) = 0 𝑥−1−𝑧+1=0 𝑥=𝑧 On a ainsi : 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 De plus, """"⃗ """"⃗ , soit : 𝐺𝐼 est orthogonal au vecteur 𝐵𝐼 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  10 """"⃗. 𝐺𝐼 𝐵𝐼 """"⃗ = 0 (𝑥 − 1)! + 𝑦(𝑦 − 1) + 𝑧(𝑧 − 1) = 0 (𝑥 − 1)! + 𝑥(𝑥 − 1) + 𝑥(𝑥 − 1) = 0 car 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 (𝑥 − 1)(𝑥 − 1 + 𝑥 + 𝑥) = 0 (𝑥 − 1)(3𝑥 − 1) = 0 Donc 3𝑥 − 1 = 0 car 𝑥 − 1 ≠ 0 sinon 𝐼 et 𝐺 sont confondus, ce qui est impossible. ! Soit : 𝑥 = ' 1 1 1 On en déduit les coordonnées de 𝐼 : J3 ; 3 ; 3M. b) Et ainsi : 1 ! 1 ! 1 ! 2 ! 2 n n 𝐼𝐺 = o1 − p + o1 − p + o1 − p = 3 × o p = √3 ≈ 1,155 3 3 3 3 3 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr