Seconde - Les Vecteurs du Plan - PDF

Seconde Les vecteurs du plans 1. Vecteurs et translations 1.1. Définition Soient 𝐴 et 𝐵 deux points distincts du plan. La translation qui transforme 𝐴 en 𝐵 est appelée ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. translation de vecteur 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗ est définie pa...

Seconde Les vecteurs du plans 1. Vecteurs et translations 1.1. Définition Soient 𝐴 et 𝐵 deux points distincts du plan. La translation qui transforme 𝐴 en 𝐵 est appelée ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. translation de vecteur 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗ est définie par trois données suivantes : Le vecteur 𝐴𝐵 ✓ Sa direction : la droite (𝐴𝐵) ; ✓ Son sens : de 𝐴 vers 𝐵. ✓ Sa longueur : 𝐴𝐵 1.2. Remarques ✓ Toute droite parallèle à (𝐴𝐵) est aussi la direction du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵. ✓ La longueur de 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ est également appelée la norme du vecteur 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗. Cette norme est notée ⃗⃗⃗⃗⃗ ||. On retiendra que ||𝐴𝐵 || 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ||= 𝐴𝐵. ✓ Si 𝐴 = 𝐵, le vecteur 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐵 = ⃗0. ⃗0 est appelé le vecteur nul. 𝐴𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗ ✓ Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗𝐵𝐴 de sens contraire à ⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵 est le vecteur opposé de ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵. On note ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = −𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗. 2. Egalité vectorielle 2.1. Définition Soient ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 deux vecteurs non nuls. On dit que ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 si et seulement si ces deux vecteurs ont : ✓ La même direction, ✓ Le même sens, ✓ La même direction. 2.2. Remarques ✓ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 ont la même direction équivaut à (𝐴𝐵)//(𝐵𝐶). ✓ Nous pouvons avoir ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 avec 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 alignés. ✓ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 équivaut à D est l’image de C par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵. SECONDE LES VECTEURS DU PLAN 1  2.3. Exemple Parmi les vecteurs ci-contre, préciser : a. Ceux qui ont la même direction. b. Ceux qui ont le même sens. c. Ceux qui ont la même norme. d. Ceux qui sont égaux. e. Ceux qui sont opposés. 2.4. Propriété K est le milieu de [AB] si et seulement si ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐾 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐵. 2.5. Théorème Soient 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 quatre points distincts deux à deux. Les deux propositions suivantes sont équivalentes : i. ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗. ii. Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐷𝐶 est un parallélogramme. 2.6. Remarque Lorsque le quadrilatère 𝐴𝐵𝐷𝐶 est un parallélogramme nous disposons des égalités vectorielles suivantes : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐷 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐵 𝑒𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶. 2.7. Exemple ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷 Soit ABC un triangle quelconque. Placer les points D et E tels que : 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗. 3. Addition vectorielle – Propriétés 3.1. Addition vectorielle 3.1.1. Définition Soient 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs, 𝐴 est un point du plan, 𝐵 et 𝐶 deux points tels que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ 𝑢 = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗. 𝑣 = 𝐵𝐶 Le vecteur ⃗⃗⃗⃗ 𝑢 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑣 est défini par ⃗⃗⃗⃗ 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢 + ⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶. 3.1.2. Remarque : L’addition de deux vecteurs est un vecteur. SECONDE LES VECTEURS DU PLAN 2  3.1.3. Exemple Construire, dans les deux cas, le vecteur 𝑤 ⃗⃗ tel que 𝑤 ⃗⃗ = 𝑢 ⃗ +𝑣 a) b) 3.1.4. Théorème : Relation de Chasles Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 étant donné, quel que soit le point 𝑀 du plan, nous disposons de l’égalité : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 𝑨𝑴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝑩 3.1.5. Exemple Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : 𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝑇 𝐵 = 𝑅𝑆 ⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑌 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑌𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸 3.1.6. Théorème : Règle du parallélogramme Soient 𝑂, 𝐴, 𝐵 et 𝐶 quatre points du plan. Les deux propositions suivantes sont équivalente : i. Le quadrilatère 𝑂𝐴𝐶𝐵 est un parallélogramme. ii. ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗. 3.2. Propriétés de l’addition vectorielle 3.2.1.Théorème Pour tous vecteurs 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ , nous avons : 1) 𝑢 ⃗ +𝑣 =𝑣+𝑢 ⃗ 2) (𝑢 ⃗ + 𝑣) + 𝑤 ⃗⃗ = 𝑢 ⃗ + (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ) ⃗ + ⃗0 = ⃗0 + 𝑢 3) 𝑢 ⃗ =𝑢 ⃗ 4) 𝑢 ⃗ ) = (−𝑢 ⃗ + (−𝑢 ⃗ = ⃗0 ⃗)+𝑢 SECONDE LES VECTEURS DU PLAN 3  3.3. Soustraction vectorielle 3.3.1.Définition Soient 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs. La soustraction de ces deux vecteurs, noté 𝑢 ⃗ − 𝑣 , est le vecteur défini par : 𝑢 ⃗ −𝑣 =𝑢 ⃗ + (−𝑣 ) 3.3.2. Remarques ✓ En général, nous avons 𝑢⃗ +𝑣 ≠𝑣−𝑢 ⃗. ✓ 𝑢 ⃗ et 𝑣 étant donnés, nous pouvons retenir la configuration « parallélogramme ». 4. Coordonnées d’un vecteur dans un repère 4.1. Définition ⃗ un vecteur et 𝑀(𝑥; 𝑦) le point tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Dans un repère (𝑂, 𝐼, 𝐽), soit 𝑢 𝑂𝑀 = 𝑢 ⃗. Les coordonnées de 𝑢 ⃗ sont (𝑥; 𝑦). 4.2. Propriété Dans un repère, si 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ) et 𝐵(𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ), ⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées : 𝐴𝐵 le vecteur 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 ) 4.3. Exemple Dans un plan muni d’un repère (𝑂, 𝐼, 𝐽), on considère les points 𝐴(−3 ; −1), 𝐵(5 ; −2), 𝐶(7 ; 3) et 𝐷(−1 ; 4). Démontrer que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme. SECONDE LES VECTEURS DU PLAN 4