Résumé Vecteurs positions, Vitesses, Accélérations (PDF)

## Résumé Vecteurs positions, Vitesses, Accélérations **Pour les différents systèmes de coordonnées** ### Coordonnées Cartésiennes: - *OM* = *x*i + *y*j + *z*k - *V(M/R)* = *x*i + *y*j + *z*k - *δ(M/R)* = *x*i*² + *y*j*² + *z*k*² ### Coordonnées Polaires: - *OM* = *r*i*r* + *r*θ*j* - *V(M/R)* = *r...

## Résumé Vecteurs positions, Vitesses, Accélérations **Pour les différents systèmes de coordonnées** ### Coordonnées Cartésiennes: - *OM* = *x*i + *y*j + *z*k - *V(M/R)* = *x*i + *y*j + *z*k - *δ(M/R)* = *x*i*² + *y*j*² + *z*k*² ### Coordonnées Polaires: - *OM* = *r*i*r* + *r*θ*j* - *V(M/R)* = *r*i*r* + *r*θ*j* - *δ(M/R)* = (*r*i*r* + *r*θ*j* + *r*θ*² + *r*θ*²r*i*r* + *r*θ*²r*i*r* ### Coordonnées Cylindriques: - *OM* = *ρ*i*ρ* + *z*k - *V(M/R)* = *ρ*i*ρ* + *z*k - *δ(M/R)* = (*ρ*i*ρ* + *z*k) + (*ρ*θ*² + *ρ*θ*²)*ρ*i*ρ* + *ρ*θ*²z*k*² ### Coordonnées Curvilignes (Repère Frenet): - *OM* = *s*i*s* - *V* = *ds* = *V* = *s*i*s* - *δ* = *γ*i*s* + *w*i*n* - ||δ|| = *√γ*² + *w*² = *x*² + *y*² + *z*² ### Coordonnées Sphériques (r, θ ,φ): - *OM* = *r*i*r* + *r*θ*j* + *r*φ*k - *V(M/R)* = *r*i*r* + *r*θ*j* + *r*φ*k - *δ(M/R)* = (*r*i*r* - *re*²sin*θ*j* + *2r*θ*r*i*r* - *r*θ*²sin*θ*j*) + (*r*θ*² *r*φ*i*φ* + *r*φ²*cos*θ*k*² + *r*φ*sin*θ*j*) ### Relations Système de Coordonnées cartesiennes et les autres systèmes: | **Cartésiennes et polarines** | **Cartésiennes et cylindriques** | **Cartésiennes et sphériques** | |---|---|---| | *x* = *r*cos*θ*, *y* = *r*sin*θ* | *x* = *ρ*cos*θ*, *y* = *ρ*sin*θ* | *x* = *r*sin*θ*cos*φ*, *y* = *r*sin*θ*cos*φ*, *z* = *r*cos*θ*| | Avec *F* = *√x*² + *y*² | *z* = *z* avec *ρ* = *√x*² + *y*²| *F* = *√x*² + *y*² + *z*² | | *Tgo* = *y*/*x* | *θ* = 0 | (*ρ* = *√x*² + *y*² = *r*sin*θ*, *z* = *r*cos*θ*, *y /x* = *sin*φ/*cos*φ*) | ## Résumé Changement de Référentiels ### (Mouvement Relatif)s - *Référentiel fixe* → *Repère Absolu* → *R* → *Vecteur position Absolue OM* → *Vitesse Absolue Va* → *Accélération Absolue Sa* - *Référentiel mobile* → *Repère Relatif* → *R* → *Vecteur position Relative om* → *Vitesse Relative Vr* → *Accélération Relative r* - *Mouvement de R'/R* → *Mvt d'entrainement* → *Vitesse d'enthaimement Ve* → *Accélération d'entrainement re*. - *OM* = *OO'* + *OM* - *(M/R)* = *(R/R)* + *(M/R')* ### Mvt de Translation pure: - *R* en Translation par rapport à *R* => *S* = *0* (pas d'origine) - Translation pure => *V* = *0* - *R/R* → *S* = *0* (pas d'origine) - *V* = *dom/dt* + *V'* = *0* => *(R/R)* → *S* = *0* → *d* *R/R* = *0* - *Va* = *Ve* + *Vr* avec *Va* = *dom/dt*, *Vr* = *dom/dt*, *Ve* = *d* *0*/*dt* - *δa* = *δe* + *δr* + *δc* avec *δc* = *d* *r*/*dt*, *δe* = *d* *0*/*dt*, *δe* = *d* *0*/*dt* ### Mvt de Rotation pure: - *R* en Rotation/R → *S* = *0'*(morigine) - (Pacede Rotation) - *V* = *0* => *V* = *0* => *W* = *d* *θ/dt* = *w* - *Va* = *Ve* + *Vr* Rotation pure => *0* = *0'* = *d* *θ/dt* = *0* - *Va* = *dom/dt*, *Vr* = *dom/dt*, *Ve* = *w* *n* *om/dt* - *δa* = *δe* + *δr* + *δc* avec *δa* = *dva/dt*, *δr* = *dvr/dt*, *δe* = *dve/dt*, *δc* = *2* *w* *n* *vr/dt* - *δe* = *d* *w* *n* *om/dt* + *d* *n* *om/dt* + *w* *n* (*n* *om/dt*) ### Translation-Rotation - *Zet Rotation pure* => *δe* ≠ *0* + *δe*