Produit Scalaire PDF

Produit scalaire Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : 6 mai 2021 (https://courspasquet.fr) (https://mathweb.fr) Les différentes formules # » # » # »...

Produit scalaire Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : 6 mai 2021 (https://courspasquet.fr) (https://mathweb.fr) Les différentes formules # » # » # » # » # » # »
C AB · AC = kABk × kACk × cos AB , AC Exemple : 3 √ # » # » # » # »
2 AB · AC = AB × AC × cos AB , AC π √ π 4 = 5 × 3 2 × cos √ 4 √ 2 A 5 B = 15 2 × 2 = 15. C  # » # »
π # » # » AH × AB si 0 6 AB , AC 6 2 AB · AC = −AH × AB si π 6 AB# » # »
, AC 6 π 2 Exemple : # » # » AB · AC = AH × AB =5×3 A H B = 15. C 4 # » # » # » x   # » x0   AB · AC = xx0 + yy 0 avec AB et AC 0 y y 3 # » 5 # » 3     2 Exemple : AB et AC. B 1 3 # » # » AB · AC = 5 × 3 + 1 × 3 1 A = 15 + 3 = 18. O 1 2 3 4 5 6 # » # »
Remarque : à l’aide de la première et de la dernière formule, on peut calculer l’angle AB , AC pour le dernier exemple. # » # » # » # »
En effet, AB · AC = 18 = AB × AC × cos AB , AC. On en déduit alors que : # » # »
18 18 cos AB , AC = =√ √ ≈ 0, 832050294338. AB × AC 5 + 1 × 32 + 32 2 2 # » # »
D’où AB , AC ≈ cos−1 (0, 832050294338) ≈ 34◦. 1 Propriétés générales Orthogonalité : #» u ⊥ #» v ⇐⇒ #» u · #» v =0 Distributivité : #» u · #» #»
= #» v +w u · #» v + #» #» u ·w Commutativité : #» u · #» v = #» v · #» u Bilinéarité : k1 #» u · k2 #» v = (k1 × k2 ) #» u · #»

v Propriétés avec les normes #» 1 u · #» v = k #» u k2 + k #» v k2 − k #» u − #» v k2
2 #» u · #» u = k #» u k2 k #» u + #» v k2 = k #» u k2 + k #» v k2 + 2 #» u · #» 1 v #» u · #» v = k #» u + #» v k2 − k #» u k2 − k #» v k2
2 #» 1 v = k #» u · #» u + #» v k2 − k #» u − #» v k2
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