Bases de la Fiabilité et de la Maintenance PDF

CHAPITRE II : LES BASES DE LA FIABILITE ET DE LA MAINTENANCE ============================================================ Formules Générales de Fiabilité =============================== Un certain nombre de formules générales de fiabilité sont souvent utilisées pour effectuer divers types d\'analy...

CHAPITRE II : LES BASES DE LA FIABILITE ET DE LA MAINTENANCE ============================================================ Formules Générales de Fiabilité =============================== Un certain nombre de formules générales de fiabilité sont souvent utilisées pour effectuer divers types d\'analyses de fiabilité. Quatre de ces formules sont présentées ci-dessous : La Densité de Probabilité de Défaillance ---------------------------------------- La densité de probabilité de défaillance est exprimée par : \ [\$\$f\\left( t \\right) = - \\frac{\\text{dR}\\left( t \\right)}{\\text{dt}}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 1 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où R(t) est la fiabilité du système à l\'instant t. f(t) est la densité de probabilité de défaillance. Exemple 1 Supposons que la fiabilité d\'un système électronique s\'exprime comme suit : \ [*R*~es~(*t*) = *e*^ − *λ*~es~\ t^ (2)]{.math.display}\ Où R~es~(t) est la fiabilité du système électronique à l\'instant t. λ~es~ est le taux de défaillance constant du système électronique. Obtenez une expression de la densité de probabilité défaillance du système électronique en utilisant l\'équation (1). En substituant l\'équation (2) dans l\'équation (1), on obtient : \ [\$\$f\\left( t \\right) = - \\frac{de\^{- \\lambda\_{\\text{es}}t}}{\\text{dt}} = \\lambda\_{\\text{es}}e\^{{- \\lambda}\_{\\text{es}}\\text{t\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }}\\ (3)\$\$]{.math.display}\ L\'équation (3) est donc l\'expression de la densité de probabilité de défaillance du système d\'électronique. Taux de Défaillance Dépendant du Temps -------------------------------------- Le taux de défaillance dépendant du temps s\'exprime comme suit : \ [\$\$\\lambda\\left( t \\right) = \\frac{f\\left( t \\right)}{R\\left( t \\right)}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 4 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où λ(t) est le taux de défaillance du système. L\'insertion de l\'équation (1) dans l\'équation (4) donne : \ [\$\$\\lambda\\left( t \\right) = - \\frac{1}{R\\left( t \\right)}\\frac{\\text{dR}\\left( t \\right)}{\\text{dt}}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 5 \\right)\$\$]{.math.display}\ Exemple 2 : Obtenez une expression pour le taux de défaillance d'un système électronique en utilisant les équations (2) et (5) et commentez le résultat final. En insérant l\'équation (2) dans l\'équation (5), on obtient : \ [\$\$\\lambda\\left( t \\right) = - \\frac{1}{e\^{- \\lambda\_{\\text{es}}t}}\\ \\frac{de\^{- \\lambda\_{\\text{es}}t}}{\\text{dt}} = \\lambda\_{\\text{es}}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 6 \\right)\$\$]{.math.display}\ Ainsi, le taux de défaillance du système électronique est donné par l\'équation (6). Le côté droit de cette équation n\'est pas une fonction du temps t. En d\'autres termes, il est constant. En général, on l\'appelle le taux de défaillance constant d\'un élément ou d\'un système parce qu\'il ne dépend pas du temps t. Fonction Générale de Fiabilité ------------------------------ La fonction de fiabilité générale peut être obtenue en utilisant l\'équation (5). Ainsi, en réarrangeant l\'équation (5), on obtient : \ [\$\$- \\lambda\\left( t \\right)\\ dt = \\frac{1}{R\\left( t \\right)}\\text{\\ dR}\\left( t \\right)\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (7)\$\$]{.math.display}\ En intégrant les deux côtés de l\'équation (7) sur l\'intervalle de temps \[0, t\], on obtient : \ [\$\$- \\int\_{0}\^{t}{\\lambda\\left( t \\right)\\text{dt}} = \\int\_{1}\^{R\\left( t \\right)}{\\frac{1}{R\\left( t \\right)}\\text{dR}\\left( t \\right)\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 8 \\right)}\$\$]{.math.display}\ Puisque, à t = 0 : R(t) = 1. En évaluant le côté droit de l\'équation (8), puis en réarrangeant, on obtient : \ [ln *R*(*t*) =  − ∫~0~^*t*^*λ*(*t*) dt (9)]{.math.display}\ Ainsi, à partir de l\'équation (9), on obtient : \ [*R*(*t*) = *e*^ − ∫~0~^*t*^*λ*(*t*)dt^                  (10)]{.math.display}\ L\'équation (10) est l\'expression générale de la fonction de fiabilité. Elle peut être utilisée pour obtenir l\'expression de la fiabilité d\'une entité ou un système lorsque ses temps de défaillance suivent n\'importe quelle distribution de probabilité continue dans le temps (par exemple, Rayleigh, Weibull et exponentielle). **Exemple 3 :** Supposons que les délais de défaillance d\'un système électronique soient distribués de manière exponentielle. Son taux de défaillance est donc constant et s\'élève à 0,004 défaillance par heure. Calculez la fiabilité du système électronique pour une mission de 8 heures. En insérant les valeurs des données spécifiées dans l\'équation (10), on obtient : \ [*R*(8) = *e*^ − ∫~0~^8^0.004 *dt*^ = *e*^ − 0.004 \* 8^ = 0.9685]{.math.display}\ La fiabilité du système électronique est donc de 0,9685. En d\'autres termes, il y a 96,85 % de chances que le système électronique ne présente pas de défaillance au cours de la période indiquée. Mean Time To Failure -------------------- Le temps moyen avant défaillance (MTTF) peut être obtenu en utilisant l\'une des trois formules suivantes : \ [*MTTF* = *E*(*t*) = ∫~0~^∞^*tf*(*t*)dt (11)]{.math.display}\ \ [*MTTF*= lim~*s* → 0~*R*(*s*) (12)]{.math.display}\ \ [*MTTF* = ∫~0~^∞^*R*(*t*)dt (13)]{.math.display}\ Où MTTF est le temps moyen avant défaillance. E(t) est la valeur attendue. s est la variable de la transformée de Laplace. R(s) est la transformée de Laplace de la fonction de fiabilité R(t). **Exemple 4 :** Prouvez à l\'aide de l\'équation (2) que les équations (12) et (13) donnent un résultat identique pour le temps moyen de défaillance le temps du système électronique. En prenant la transformée de Laplace de l\'équation (2), on obtient : \ [\$\$R\_{\\text{es}}\\left( s \\right) = \\int\_{0}\^{\\infty}e\^{- \\lambda\_{\\text{es}}t}e\^{- st}dt = \\frac{1}{s + \\lambda\_{\\text{es}}}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 14 \\right)\\text{\\ \\ }\$\$]{.math.display}\ Où R~es~(s) est la transformée de Laplace de la fonction de fiabilité du système électronique R~es~(t). En substituant l\'équation (14) à l\'équation (12), on obtient : \ [\$\$MTTF = \\lim\_{s \\rightarrow 0}\\frac{1}{s + \\lambda\_{\\text{es}}} = \\frac{1}{\\lambda\_{\\text{es}}}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 15 \\right)\$\$]{.math.display}\ En insérant l\'équation (2) dans l\'équation (13), on obtient \ [\$\$MTTF = \\int\_{0}\^{\\infty}e\^{- \\lambda\_{\\text{es}}t}dt = \\frac{1}{\\lambda\_{\\text{es}}}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 16 \\right)\$\$]{.math.display}\ Les équations (15) et (16) sont identiques. Cela prouve que les équations (12) et (13) donnent le même résultat pour le temps moyen de défaillance du système électronique. Configurations de fiabilité =========================== Un système électronique peut présenter différentes configurations lors de l\'analyse de fiabilité. Cette section traite l\'évaluation de la fiabilité pour ces configurations usuelles. Configuration en Séries : ------------------------- La configuration en série est la configuration / le réseau de la fiabilité le plus simple, et son schéma fonctionnel est illustré à la figure 1. Le diagramme représente un système en série de n unités, et chaque bloc du diagramme représente une unité. Pour que le système en série fonctionne correctement, ses n unités doivent toutes fonctionner normalement. En d\'autres termes, si l\'une des n unités tombe en panne, le système /configuration /réseau en série tombe en panne. La fiabilité du système/configuration/réseau en série, est exprimée par : \ [*R*~ss~ = *P*(*E*~1 ~*E*~2~*E*~3~.......*E*~*n*~) (17)]{.math.display}\ Où R~ss~ est la fiabilité du système en série. E~j~ est le fonctionnement réussi (c\'est-à-dire l\'événement réussi) de l\'unité j, pour j = 1, 2, 3, \..., n. P (E~1~E~2~E~3~\...E~n~) est la probabilité d\'occurrence des événements E~1~, E~2~, E~3~, \..., E~n~. Pour les unités à défaillance indépendante, l\'équation (17) devient : \ [*R*~ss~ = *P*(*E*~1~)*P*(*E*~2~)*P*(*E*~3~).........*P*(*E*~*n*~) (18)]{.math.display}\ Où : P(E~j~) est la probabilité d\'occurrence de l\'événement E~j~, pour j = 1, 2, 3, \..., n. Si nous laissons R~j~ = P(E~j~), pour j = 1, 2, 3, \..., n, l\'équation (18) devient : \ [\$\$R\_{\\text{ss}} = R\_{1}R\_{2}R\_{3}\\ldots\\ldots.R\_{n} = \\prod\_{j = 1}\^{n}{R\_{j}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 19 \\right)}\$\$]{.math.display}\ Où R~j~ est la fiabilité de l\'unité j, pour j = 1, 2, 3, \..., n. Pour un taux de défaillance constant λ~j~ de l\'unité j d\'après l\'équation (10) (c\'est-à-dire λ~j~(t) = λ~j~), on obtient : \ [*R*~*j*~(*t*) = *e*^ − *λ*~*j*~\ t^ (20)]{.math.display}\ Où R~j~(t) est la fiabilité de l\'unité j au temps t. En substituant l\'équation (20) dans l\'équation (19), on obtient : \ [\$\$R\_{\\text{ss}}\\left( t \\right) = e\^{- \\sum\_{j = 1}\^{n}{\\lambda\_{j}\\text{\\ t}}}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 21 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où R~ss~(t) est la fiabilité du système en série à l\'instant t. En substituant l\'équation (21) à l\'équation (13), nous obtenons l\'équation suivante pour le temps moyen avant défaillance d\'un système en série MTTF : \ [\$\$\\text{MTTF}\_{\\text{ss}} = \\int\_{0}\^{\\infty}{e\^{- \\sum\_{j = 1}\^{n}\\lambda\_{\\text{j\\ }}t}\\ dt = \\frac{1}{\\sum\_{j = 1}\^{n}\\lambda\_{j}}}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 22 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où MTTF~ss~ est le temps moyen de défaillance du système en série. En insérant l\'équation (21) dans l\'équation (5), nous obtenons l\'équation suivante pour le taux de défaillance du système en série : \ [\$\$\\lambda\_{\\text{ss}}\\left( t \\right) = - \\frac{1}{e\^{- \\sum\_{j = 1}\^{n}{\\lambda\_{j}t}}}\\ \\left( - \\sum\_{j = 1}\^{n}\\lambda\_{j} \\right)\\ e\^{- \\sum\_{j = 1}\^{n}{\\lambda\_{j}\\text{\\ t}}} = \\sum\_{j = 1}\^{n}\\lambda\_{j}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 23 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où λ~ss~(t) est le taux de défaillance du système en série. Le côté droit de l\'équation (23) est indépendant du temps t. Ainsi, le côté gauche de cette équation est simplement λss, le taux de défaillance du système/de la configuration/du réseau en série. Cela signifie que chaque fois que nous additionnons les taux de défaillance des unités/éléments, nous supposons automatiquement que ces unités/éléments forment une configuration/un réseau en série, un scénario de conception le plus défavorable en termes de fiabilité. **Exemple 5 :** Supposons qu\'un système électronique soit composé de quatre unités identiques et indépendantes, et que le taux de défaillance constant de chaque unité est de 0,0005 par heure. Pour que le système électronique fonctionne correctement, les quatre unités doivent toutes fonctionner normalement. Calculez ce qui suit : \- Le taux de défaillance du système électronique \- La fiabilité du système électronique pour une mission de 11 heures \- Le temps moyen de défaillance du système technique En insérant les valeurs données dans l\'équation (23), on obtient : \ [*λ*~ss~ = 4 \* (0.0005) = 0.002  *défaillance*/*heure*]{.math.display}\ L\'utilisation des valeurs de données spécifiées dans l\'équation (21) donne : \ [*R*~ss~(11) = *e*^ − 4 \* (0.0005) \* 11^ = 0.9782]{.math.display}\ En substituant les valeurs des données dans l\'équation (22), on obtient : \ [\$\$\\text{MTTF}\_{\\text{ss}} = \\frac{1}{4\*\\left( 0.0005 \\right)} = 500\\ \\text{heures}\$\$]{.math.display}\ Ainsi, le taux de défaillance, la fiabilité et le temps moyen avant défaillance du système électronique sont respectivement de 0,002 défaillance/heure, 0,9782 et 500 heures. Configuration parallèle ----------------------- Dans le cas d\'une configuration parallèle, le système est composé de n unités/éléments fonctionnant simultanément, et pour que le système fonctionne correctement, au moins une de ces unités/éléments doit fonctionner normalement. Le schéma fonctionnel d\'un système parallèle à n unités est illustré à la figure 2, et chaque bloc du schéma représente une unité. La probabilité de défaillance d\'un système parallèle, est exprimée par la formule suivante : \ [\$\$F\_{\\text{ps}} = P\\left( \\overline{E\_{1}.}\\overline{E\_{2}.}\\overline{E\_{3}}\\ldots\\overline{E\_{n}} \\right)\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 24 \\right)\$\$]{.math.display}\ - E~j~ est la défaillance (c\'est-à-dire l\'événement de défaillance) de l\'unité j, pour j = 1, 2, 3, \..., n. - P (E~1~E~2~E~3~\....E~n~) est la probabilité d\'occurrence des événements E~1,~ E~2~, E~3~,... et E~n~. F~ps~ est la probabilité de défaillance du système parallèle. Pour des unités parallèles à défaillance indépendante, l\'équation 24 devient : \ [\$\$F\_{\\text{ps}} = P\\left( \\overline{E\_{1}} \\right)P\\left( \\overline{E\_{2}} \\right)P\\left( \\overline{E\_{3}} \\right)\\ldots..P\\left( \\overline{E\_{n}} \\right)\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 25 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où : [\$P\\left( {\\overline{E}}\_{j} \\right)\$]{.math.inline} est la probabilité d\'occurrence de l\'événement de défaillance [\${\\overline{E}}\_{j}\$]{.math.inline}, pour j = 1, 2, 3, \..., n. Si nous posons [\$F\_{j} = P\\left( {\\overline{E}}\_{j} \\right)\$]{.math.inline}. Pour j = 1, 2, 3, \..., n, alors l\'équation (25) devient : \ [*F*~ps~ = *F*~1~*F*~2~*F*~3~...*F*~*n*~ (26)]{.math.display}\ Où : F~j~ est la probabilité de défaillance de l\'unité j, pour j = 1, 2, 3, \..., n. En soustrayant l\'équation (26) de l\'unité, on obtient : \ [*R*~ps~ = 1 − *F*~ps~ = 1 − *F*~1~*F*~2~*F*~3~...*F*~*n*~ (27)]{.math.display}\ Où : R~ps~ est la fiabilité du système parallèle. Pour un taux de défaillance constant λ~j~ de l\'unité j, en soustrayant l\'équation (20) de l\'unité, puis en l\'insérant dans l\'équation (27), on obtient : \ [*R*~ps~ = 1 − (1−*e*^ − *λ*~1~*t*^)(1−*e*^ − *λ*~2~*t*^)(1−*e*^ − *λ*~3~*t*^)...(1−*e*^ − *λ*~*n*~*t*^) (28)]{.math.display}\ Où : R~ps~(t) est la fiabilité du système parallèle au temps t. Pour des unités identiques, en substituant l\'équation (28) dans l\'équation (13), on obtient : \ [\$\$\\text{MTTF}\_{\\text{ps}} = \\int\_{0}\^{\\infty}{\\left\\lbrack 1 - \\left( 1 - e\^{\\text{λt}} \\right)\^{n} \\right\\rbrack dt = \\frac{1}{\\lambda}\\sum\_{j = 1}\^{n}\\frac{1}{j}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 29 \\right)}\$\$]{.math.display}\ Où : MTTF~ps~ est le temps moyen de défaillance du système parallèle. λ est le taux de défaillance constant unitaire. **Exemple 6 :** Supposons qu\'un système électronique soit composé de deux unités indépendantes et identiques en parallèle. Le taux de défaillance constant d\'une unité est de 0,0008 défaillance par heure. Calculer le temps moyen de défaillance et la fiabilité du système électronique pour une tâche de 15 heures. **Solution :** En insérant les valeurs données dans l\'équation (29), on obtient : \ [\$\$\\text{MTTF}\_{\\text{ps}} = \\frac{1}{\\left( 0.0008 \\right)}\\left( 1 + \\frac{1}{2} \\right) = 1875\\ \\text{heures}\$\$]{.math.display}\ En substituant les valeurs données dans l\'équation (28), on obtient : \ [*R*~ps~(15) = 1 − (1−*e*^ − (0.0008\*15)^)(1−*e*^ − (0.0008\*15)^) = 0.9998]{.math.display}\ Ainsi, le temps moyen de défaillance et la fiabilité du système d\'électronique sont respectivement de 1875 heures et 0,9998, respectivement. Configuration k-out-of-n ------------------------ La configuration k-out-of-n est un autre type de redondance dans lequel au moins k unités sur n unités actives doivent fonctionner normalement pour que le système fonctionne avec succès. Le schéma fonctionnel d\'un système ou configuration à k unités sur n est illustré à la figure 3.Chaque bloc du diagramme représente une unité. Pour k = 1 et k = n, les configurations en parallèle et en série sont des cas particuliers de cette configuration, respectivement. Pour des unités indépendantes et identiques, à l\'aide de la distribution binomiale, l\'expression de la fiabilité pour la configuration de k unités sur n, est donnée par la formule suivante : \ [\$\$R\_{\\frac{k}{n}} = \\sum\_{j = k}\^{n}{\\left( n\_{j} \\right)R\^{j}\\left( 1 - R \\right)\^{\\left( n - j \\right)}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 30 \\right)}\$\$]{.math.display}\ Où : \ [\$\$n\_{j} = \\frac{nǃ}{jǃ\\left( n - j \\right)ǃ}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 31 \\right)\$\$]{.math.display}\ R~k/n~ est la fiabilité de la configuration k sur n. R est la fiabilité de l\'unité. Pour des taux de défaillance constants d\'unités identiques, à l\'aide des équations (30) et (10), nous obtenons : \ [\$\$R\_{\\frac{k}{n}}\\left( t \\right) = \\sum\_{j = k}\^{n}n\_{j}e\^{- j\\lambda t}\\left( 1 - e\^{- \\lambda t} \\right)\^{n - j}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 32 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où R~k/n~(t) est la fiabilité de la configuration k sur n à l\'instant t. λ est le taux de défaillance constant unitaire. En insérant l\'équation (32) dans l\'équation (13), on obtient : \ [\$\$\\text{MTTF}\_{\\frac{k}{n}} = \\int\_{0}\^{\\infty}{\\left\\lbrack \\sum\_{j = k}\^{n}{\\left( n\_{j} \\right)e\^{- j\\lambda t}\\left( 1 - e\^{- \\lambda t} \\right)\^{n - j}} \\right\\rbrack\\text{dt}} = \\frac{1}{\\lambda}\\sum\_{j = k}\^{n}\\frac{1}{j}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 33 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où MTTF~k/n ~: est le temps moyen de défaillance de la configuration k sur n. **Exemple 7 :** Un système électronique comporte quatre unités indépendantes et identiques en parallèle. Au moins trois unités doivent fonctionner normalement pour assurer le bon fonctionnement du système électronique. Calculer le temps moyen de défaillance du système électronique, si le taux de défaillance constant de l\'unité est de 0,0002 défaillance/heure. **Solution :** En insérant les valeurs données dans l\'équation (33), on obtient : \ [\$\$\\text{MTTF}\_{\\frac{3}{4}} = \\frac{1}{0.0002}\\left( \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} \\right) = 2\\, 916,67\\ \\text{heures}\$\$]{.math.display}\ Ainsi, le temps moyen de défaillance du système électronique est de 2916,67 heures. Système en Attente (Standby System) ----------------------------------- Standby System est une autre configuration de fiabilité dans laquelle une seule unité fonctionne et les autres unités sont maintenues en mode d'attente. Le système entier contient (m + 1) unités, et dès que l\'unité de travail tombe en panne, le mécanisme de commutation détecte le dysfonctionnement et met en marche l\'une des unités de secours. Le système tombe en panne lorsque toutes les unités de secours fonctionnent mal. La figure 4 présente le schéma fonctionnel du Standby System avec une unité de travail et m unités de secours. Chaque bloc du diagramme représente une unité.  À l\'aide du schéma fonctionnel de la figure 4, pour des unités indépendantes et identiques, un taux de défaillance des unités dépendant du temps et un mécanisme de commutation parfait, nous écrivons l\'équation suivante pour la fiabilité du Standby System : \ [\$\$R\_{\\text{ss}}\\left( t \\right) = \\sum\_{J = 0}\^{m}\\frac{\\left\\lbrack \\int\_{0}\^{t}{\\lambda\\left( t \\right)\\text{dt}} \\right\\rbrack\^{j}e\^{- \\int\_{0}\^{\\infty}{\\lambda\\left( t \\right)\\text{dt}}}}{jǃ}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 34 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où R~ss~(t) est la fiabilité du standby system à l\'instant t. λ(t) est le taux de défaillance unitaire dépendant du temps. Pour un taux de défaillance unitaire constant (c\'est-à-dire λ(t) = λ), l\'équation (34) devient : \ [\$\$R\_{\\text{ss}}\\left( t \\right) = \\sum\_{j = 0}\^{m}\\frac{\\left( \\text{λt} \\right)\^{j}e\^{- \\lambda t}}{jǃ}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 35 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où λ est le taux de défaillance constant. En insérant l\'équation (35) dans l\'équation (13), on obtient le MTTF~ss ~: \ [\$\$\\text{MTTF}\_{\\text{ss}} = \\int\_{0}\^{\\infty}{R\_{\\text{ss}}\\left( t \\right)dt = \\frac{m + 1}{\\lambda}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 36 \\right)}\$\$]{.math.display}\ Où MTTF~ss~ est le temps moyen de défaillance du système de secours. **Exemple 8 :** Supposons qu\'un standby system contienne deux unités indépendantes et identiques (c\'est-à-dire l\'une en fonctionnement, l\'autre en attente). Le taux de défaillance constant de l\'unité est de 0,002 défaillance/heure. Calculez la fiabilité du système de secours pour une tâche de 60 heures et le temps moyen avant défaillance, en supposant que l\'unité de secours reste comme neuve dans son mode standby et que le mécanisme de commutation est parfait. **Solution :** En substituant les valeurs des données spécifiées dans l\'équation (35), on obtient : \ [\$\$R\_{\\text{ss}}\\left( 60 \\right) = \\frac{\\sum\_{j = 0}\^{1}{\\left( 0.002\*60 \\right)\^{j}e\^{- 0.002\*60}}}{jǃ} = 0.9933\$\$]{.math.display}\ De même, en insérant les valeurs données dans l\'équation (36), on obtient : \ [\$\$\\text{MTTF}\_{\\text{ss}} = \\frac{2}{0.002} = 1000\\ \\text{heures}\$\$]{.math.display}\ Ainsi, la fiabilité du standby system et le temps moyen avant défaillance sont respectivement de 0,9933 et 1000 heures. Configuration en Pont --------------------- Dans certains systèmes d\'électronique, les unités peuvent former une configuration en pont, comme le montre la figure 5. Chaque bloc représente une unité, et toutes les unités sont identifiées par des chiffres. Pour les unités indépendantes, la fiabilité de la figure 5 est exprimée comme suit : \ [*R*~bc~ = 2*R*~1~*R*~2~*R*~3~*R*~4~*R*~5~ + *R*~1~*R*~3~*R*~5~ + *R*~2~*R*~3~*R*~4~ + *R*~2~*R*~5~ + *R*~1~*R*~4~ − *R*~1~*R*~2~*R*~3~*R*~4~ − *R*~1~*R*~2~*R*~3~*R*~5~ − *R*~2~*R*~3~*R*~4~*R*~5~ − *R*~1~*R*~2~*R*~4~*R*~5~ − *R*~3~*R*~4~*R*~5~*R*~1~ (37) ]{.math.display}\ Où R~j~ est la fiabilité de la jème unité, pour j = 1, 2, 3, 4 et 5. R~bc~ est la fiabilité de la configuration du pont. Pour des unités identiques, l\'équation (37) devient : \ [*R*~bc~ = 2*R*^5^ − 5*R*^4^ + 2*R*^3^ + 2*R*^2^             (38)]{.math.display}\ Où R est la fiabilité de l\'unité. Pour un taux de défaillance constant, à l\'aide des équations (10) et (38), nous obtenons : \ [*R*~bc~(*t*) = 2*e*^ − 5*λt*^ − 5*e*^ − 4*λt*^ + 2*e*^ − 3*λt*^ + 2*e*^ − 2*λt*^            (39)]{.math.display}\ Où R~bc~(t) est la fiabilité de la configuration du pont à l\'instant t. λ est le taux de défaillance constant de l'unité. En substituant l\'équation (39) à l\'équation (13), on obtient : \ [\$\$\\text{MTTF}\_{\\text{bc}} = \\frac{49}{60\\lambda}\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\left( 40 \\right)\$\$]{.math.display}\ Où MTTF~bc~ est le temps moyen de défaillance de la configuration du pont. **Exemple 9 :** Supposons qu\'un système électronique comporte cinq unités identiques et indépendantes formant une configuration de pont. Le taux de défaillance constant de chaque unité est de 0,0005 défaillance/heure. Calculez le temps moyen de défaillance et la fiabilité de la configuration du pont pour une tâche de 400 heures. **Solution :** En insérant la valeur des données dans l\'équation (40), on obtient : \ [\$\$\\text{MTTF}\_{\\text{bc}} = \\frac{49}{60\*0.0005} = 1633.33\\ \\text{heures}\$\$]{.math.display}\ De même, en insérant les valeurs de données spécifiées dans l\'équation (39), on obtient : \ [*R*~bc~ = 2*e*^ − 5(0.0005)(400)^ − 5*e*^ − 4(0.0005)(400)^ + 2*e*^ − 3(0.0005)(400)^ + 2*e*^ − 2(0.0005)(400)^ = 0.9273]{.math.display}\ Ainsi, le temps moyen avant défaillance et la fiabilité de la configuration du pont sont respectivement de 1633,33 heures et de 0,9273.