Geometria Euclidea - Definizioni e Teoremi PDF

## Geometria Euclidea ### Definizioni e Teoremi **Definizioni ed Enti Primitivi** In geometria, per spiegare che cosa è un suo ente, cioè un oggetto geometrico, forniamo una definizione, cioè una frase con cui associamo un ente a tutte le sue caratteristiche. * "Un triangolo è un poligono con tr...

## Geometria Euclidea ### Definizioni e Teoremi **Definizioni ed Enti Primitivi** In geometria, per spiegare che cosa è un suo ente, cioè un oggetto geometrico, forniamo una definizione, cioè una frase con cui associamo un ente a tutte le sue caratteristiche. * "Un triangolo è un poligono con tre lati." Nel definire un ente facciamo riferimento ad altri enti, che devono essere già noti. Per esempio nella definizione di triangolo, abbiamo usato la parola poligono. Ma qualcuno potrebbe non sapere che cos'è un poligono. Anche questo ente va allora definito, usando a sua volta, altri enti geometrici, ancora da definire... Per interrompere questo procedimento, che potrebbe continuare all'infinito, è necessario che alcuni enti non vengano definiti e vengano accettati come noti. Questi enti sono chiamati **enti primitivi**. Il punto, la retta e il piano sono enti primitivi. Indichiamo i punti con lettere maiuscole, le rette con lettere minuscole, i piani con lettere minuscole dell'alfabeto greco. * Nella figura sono rappresentati: un piano **α**, una retta **r** e tre punti **A**, **B** e **C**. ### Postulati di Appartenenza e d'Ordine Abbiamo detto che punto, retta e piano sono enti primitivi. Ma se non li definiamo, come possiamo conoscerne le loro caratteristiche? Questo è possibile mediante dei postulati, e in particolare, mediante i postulati di appartenenza e d'ordine, che definiscono implicitamente gli enti primitivi attraverso le loro relazioni reciproche. #### Postulati di Appartenenza 1. Il piano è un insieme di punti. Le rette sono sottoinsiemi del piano. 2. A una retta appartengono almeno due punti distinti. 3. Nel piano esistono almeno tre punti che non appartengono alla stessa retta. 4. Due punti distinti appartengono entrambi a una retta e a una sola. Per il primo postulato, la retta è un insieme di punti, quindi possiamo usare il concetto di appartenenza. Dire che un punto P appartiene a una retta **r** è equivalente a dire che P sta su **r** o anche che **r** passa per P. Diciamo poi che tre o più punti sono **allineati** se appartengono a una stessa retta. Per il terzo postulato, nel piano esistono almeno tre punti non allineati. Il quarto postulato dice che, se consideriamo due punti distinti **A** e **B**, c'è sicuramente una retta che passa per **A** e **B** (appartengono a una retta) e tale retta è unica (appartengono a una sola retta). Diciamo allora che **A** e **B** **individuano** una retta, che chiamiamo retta **AB**. Una conseguenza del quarto postulato è che due rette distinte non possono avere più di un punto in comune. Se ne avessero più di uno, sarebbero la stessa retta, cioè sarebbero coincidenti. Diciamo che due rette con un punto in comune si **intersecano** in un punto e sono **incidenti**. Vediamo in un esempio come usare i postulati di appartenenza per dimostrare proprietà. #### Esempio * Dimostriamo che, data una retta **r** nel piano, c'è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta. Per il terzo postulato, nel piano esistono tre punti distinti, **P**, **Q** e **R**, non allineati. Se almeno uno tra **P** e **Q** non appartiene a **r**, la tesi è verificata. Supponiamo invece che entrambi i punti **P** e **Q** appartengano a **r**. Poiché **P**, **Q** e **R** non sono allineati, **R** non appartiene alla retta **r**: anche in questo caso la tesi è verificata. #### Postulati d'Ordine Ogni retta può essere orientata stabilendo su di essa un verso di percorrenza. Nell'esempio della figura a lato, diciamo che **A** precede **B**, oppure che **B** segue **A**, per l'orientamento della retta stabilisce una relazione fra i suoi punti e valgono i seguenti postulati: 1. Se **A** e **B** sono due punti distinti di una retta, o **A** precede **B** oppure **B** precede **A**. 2. Se **A** precede **B** e **B** precede **C**, allora **A** precede **C**. 3. Preso un punto **A** su una retta, c'è almeno un punto che precede **A** e uno che segue **A**. 4. Presi due punti **B** e **C** su una retta, con **B** che precede **C**, c'è almeno un punto **A** della retta che segue **B** e precede **C**. Per il postulato 1, non ci sono punti di una retta che non si possono confrontare tra loro e vale la proprietà antisimmetrica; per il postulato 2, vale la proprietà transitiva. Quindi la relazione considerata è una relazione d'ordine totale. Il postulato 3 dice che una retta è illimitata: su una retta non esistono né un primo punto, né un ultimo. Il quato postulato afferma invece che la retta è un **insieme denso**: fra due punti distinti esiste sempre un altro punto. Questo significa che una retta contiene infiniti punti. Infatti, presi due punti qualsiasi **A1** e **A2** di una retta, fra di essi per il postulato 4 c'è almeno un punto **A3** della retta. Per lo stesso postulato, fra **A1** e **A3** c'è almeno un punto **A4**. Il procedimento può essere ripetuto infinite volte. ### Teoremi e Postulati Le proprietà delle figure geometriche sono descritte mediante teoremi. * Un teorema è un enunciato di cui si fa vedere la verità mediante una dimostrazione. * Una dimostrazione è una sequenza di deduzioni che parte da quello che si suppone vero, l'ipotesi, e arriva a quello che si vuole dimostrare, la tesi. #### Esempio **Teorema**: In un rombo le diagonali sono perpendicolari. **Ipotesi**: ABCD rombo **Tesi**: BD ⊥ AC. Nella dimostrazione, le deduzioni possono basarsi, oltre che su altri teoremi già dimostrati, anche su alcune proprietà che si chiede di accettare come vere senza darne dimostrazione. Questi proprietà sono dette **postulati** o **assiomi**. Spesso, per chiarire meglio qual è l'ipotesi e qual è la tesi, si preferisce scrivere l'enunciato di un teorema nella forma: se ipotesi, allora tesi. Il teorema dell'esempio precedente si può scrivere così: * "se un quadrilatero è un rombo, allora le sue diagonali sono perpendicolari." In simboli, può anche essere scritto: ABCD rombo - BD ⊥ AC.