Geometrías No Euclidianas PDF

matunivid093 (1387x2296x2 tiff) LOS MARCOS DE REFERENCIA [II, 22] 93 de lo que se quiere demostrar, sacar consecuencias... y llegar a algu- na flagrante contradicción que nos obligue a aceptar la falsedad del supuesto o, lo que es igual, la verdad de lo que deseáb...

matunivid093 (1387x2296x2 tiff) LOS MARCOS DE REFERENCIA [II, 22] 93 de lo que se quiere demostrar, sacar consecuencias... y llegar a algu- na flagrante contradicción que nos obligue a aceptar la falsedad del supuesto o, lo que es igual, la verdad de lo que deseábamos esta- blecer. Saccheri creyó que había conseguido su objetivo y que después de sacar muchas consecuencias de la negación del quinto postulado había llegado a la anhelada contradicción. Pero se equi- vocaba: la contradicción no surgía de la negación del quinto pos- tulado, sino de haber introducido sin darse cuenta en el curso del razonamiento una proposición que era equivalente al quinto pos- tulado y, por tanto, incompatible con su negación. Lo interesante del caso es que, en búsqueda de la inconsistencia, Saccheri fue sen- tando una serie de teoremas cuya demostración (presuntamente pro- visional) se apoyaba en hipótesis opuestas al quinto postulado. Dado que, en contra de las expectativas de su autor, dichos teoremas no conducen a ningún absurdo, nos adentran en geometrías alternati- vas que describen espacios diferentes al euclidiano. 22. LA PLURALIDAD DE LOS ESPACIOS GEOMÉTRICOS La obra precursora de Saccheri fue completada y culminada en el siglo XIX por N. I. Lobachevski, J. Bolyai y K. F. Gauss (Green- berg, 1994, 177-184 ), demostrando que es perfectamente lícito desde el punto de vista lógico edificar geometrías contrapuestas a la de Euclides, que toman como base las nociones comunes y los cuatro primeros postulados de éste, junto con la suposición de que por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas para- lelas (geometría hiperbólica), o bien, como hizo Bernhard Riemann un poco más tarde, que no se puede trazar ninguna (geometría elíp- tica) (ibíd., 428-452). La aportación de Riemann implicaba asi- mismo una transformación del segundo postulado, en el sentido de que ya no considera necesaria la prolongación de la recta hasta el infinito, sino sólo indefinidamente (Kline, 1974, 133-134). La distinción entre lo infinito y lo indefinido no era nueva: cualquier figura continua y cerrada, como la circunferencia, no tiene comien- zo ni fin, aunque sea finita. Lo que resultaba inédito era preten- der que una línea recta prolongada ininterrumpidamente pudiera llegar a cerrarse sobre sí misma en lugar de expandirse hasta el infi- nito. Pero sobre el infinito no tenemos experiencia, y el pensamiento de Riemann estaba vigorosamente aferrado a lo empírico. Duran-  matunivid094 (1398x2268x2 tiff) 94 MATERIA, UNIVERSO, VIDA [II, 22) te un tiempo se creyó que la Tierra era plana 11, idea que tuvo que sucumbir al hecho de que los marinos que seguían el mismo rumbo durante el tiempo suficiente terminaban arribando al puerto de par- tida. Así que hubo que sustituir el modelo de una Tierra plana, en la que rutas opuestas siempre se alejan, por una Tierra esférica, en la que acaban reuniéndose. Riemann no hizo otra cosa que formu- lar la atrevida conjetura: ¿y si con el espacio ocurre algo parecido a lo que ha pasado con la Tierra? (Le Corbelier, 1974, 144-150). El espacio euclidiano se parece a la Tierra plana (podríamos decir que tiene «curvatura cero»), porque en él los extremos de la recta se alejan y alejan sin reunirse jamás. Pero no es disparatado con- cebir un espacio curvo en el que, al igual que los meridianos de la esfera terrestre, las líneas «rectas» acaban cerrándose sobre sí mis- mas. En tal caso, el quinto postulado de Euclides no valdría, al igual que muchos otros teoremas, como el que predice que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°. La aparición de geometrías no euclidianas significa que el espa- cio geométrico se desdobla en una pluralidad de espacios que se rela- cionan con el espacio fisico de la misma manera que los «mundos posibles» de Leibniz con el mundo real. Asumiendo que el espacio verdaderamente existente es el que estudia la fisica, ¿cuál de las geo- metrías creadas por los matemáticos describe su forma mejor? Esta pregunta se la había hecho a sí mismo entre otros Gauss, pues- to que entre 1821 y 1825 midió un gigantesco triángulo 12 para comprobar si sus ángulos sumaban o no los 180°previstos por Eucli- des. Lobachevski hizo lo mismo eligiendo como vértices estrellas lejanas, en lugar de cumbres de montañas 13 Los resultados no fue- ron concluyentes, puesto que muchas de las nuevas geometrías prevén resultados próximos a los euclidianos en determinadas cir- cunstancias. Pero lo esencial es que la morfología del espacio se con- virtió en una ciencia empírica desde el mismo instante en que los matemáticos concibieron la posibilidad de numerosos espacios alter- nativos (a los tres que hemos mencionado no tardaron en sumarse, por obra de Riemann y otros, una corte de infinitos acólitos). Todavía a fines del siglo XIX el presidente del Transvaal Kruger rectificó al 11 navegante solitario Joshua Slocum, advirtiéndole que en realidad no viajaba «alre- dedor del mundo», sino «por el mundo» (Slocum, 1968, 180). 12 Comprendido entre Bocken, Hoher-Hagen e Inselberg (Papp; Babini, 1958, 8). 13 Sirio, Rige) y la estrellan.º 39 de Eridano (Torretti, 1994, 160).  matunivid095 (1387x2296x2 tiff) LOS MARCOS DE REFERENCIA [II, 22] 95 El motivo principal por el que muchas personas se muestran todavía hoy reacias a aceptar estas perspectivas se debe a que las geometrías no euclidianas resultan inconcebibles. No se trata de una nimiedad: las demostraciones de la geometría euclidiana son ante todo construcciones, es decir, algo que podemos pintar con la imaginación en una suerte de «espacio platónico» que tenemos en la mente. La intuición ha acompañado a la razón durante siglos en la investigación matemática; Descartes desconfiaba profunda- mente de un eventual divorcio entre ambas facultades 14 y Kant cifró el rigor de la matemática en «que se dé a priori la intuición corres- pondiente al concepto, es decir, que se construya el concepto» (Kant, 1989, 31). Así nos explicamos que Gauss renunciase a publicar unos descubrimientos que seguramente despertarían «el griterío de los beocios», aludiendo con ello a los filósofos kantianos (Dou, 1974, 34). La aparición de las geometrías no euclidianas constituye una evidencia de que la razón es más abarcante que la intuición, lo cual en cierto modo libera a la mente de estar encadenada a la sensibilidad, pero también puede ser valorado como una mutilación del espíritu, ya que, como advertía Leibniz a Locke: El origen de la escasa preocupación que tenemos por los bienes autén- ticos proviene en buena parte de que en las cuestiones y ocasiones en que los sentidos apenas intervienen, la mayor parte de nuestros pensa- mientos son, por así decirlo, sordos (en latín los califico de cogitationes caecas), es decir, carentes de percepción y de sensibilidad, y se redu- cen al empleo sin más de los caracteres, como los algebristas que cal- culan únicamente sin considerar más que de tarde en tarde las figuras geométricas tratadas; las palabras desempeñan en estas ocasiones un papel muy similar al de los caracteres de la aritmética o del álgebra. A menudo se razona con sólo palabras, sin tener prácticamente presentes los objetos mismos. Ahora bien, este conocimiento no puede afectarnos, pues para llegar a sentirse conmovido es necesario algo más vivo [Leib- niz, 1977, II 21]. No sólo nos dejaría apáticos, sino además desorientados, por- que para el geómetra tradicional la plasmación de sus deduccio- nes en la intuición pura del espacio sirve tanto para certificar su 14 «Debe tenerse muy presente que Descartes concibe siempre la solución de los problemas geométricos como una construcción de figuras, y no, al contrario de lo que podríamos suponer, como una solución algebraica satisfactoria» (Shea, 1993, 73).  matunivid096 (1398x2268x2 tiff) 96 MATERIA, UNIVERSO, VIDA [II, 22] corrección como para enderezar el rumbo seguido. Por eso no acep- tan una demostración hasta que la han «visto»: la representabilidad imaginativa equivale hasta cierto punto a un «criterio de verdad» o de «realidad». Suprimida ésta, la matemática cae en la órbita del pensamiento combinatorio, donde cualquier fórmula es válida siempre que se respeten los principios que aseguran la coherencia del discurso. No existe ningún criterio intrínseco que haga prefe- rible un espacio posible respecto de los demás: se trata de una mera cuestión de hecho, si lo que buscamos es la verdad, y de una cues- tión de gusto o comodidad, si lo que perseguimos es la pragmati- cidad. No obstante, hay quien piensa que la índole desnudamente abstracta de la nueva matemática es algo provisional. Los mate- máticos avezados tienen una especie de intuición para las deduc- ciones algebraicas y no sólo para las construcciones geométricas, lo que probablemente tiene que ver con el consejo que daba Des- cartes de repasar una y otra vez los razonamientos hasta ser capa- ces de abarcar con un solo acto de la mente todo el despliegue discursivo, para no depender de la memoria. La intuición sería equi- valente, y en último extremo se reduciría, a la aptitud y el hábito de integrar muchos pasos deductivos a la vez. Éste es al menos el parecer de algunos expertos: Si es que el uso de las geometrías multidimensionales y no eucli- dianas para ordenar nuestra experiencia continúa demostrando ser útil, de tal forma que nos vamos acostumbrando más y más a tratar con estas construcciones lógicas, si es que penetran en el curso de las escue- las medias, si es que por así decirlo, los aprendemos de labios de nues- tra madre de la misma forma que aprendemos la geometría euclidiana tridimensional, entonces a nadie se le ocurrirá ya decir que estas geo- metrías son contrarias a nuestra intuición. Serán consideradas como merecedoras del nivel intuitivo que se confiere a la geometría tridi- mensional euclidiana hoy día. Porque no es cierto, como Kant propu- so, que la intuición es un medio puramente a priori del conocimiento. Más bien es una fuerza de hábito enraizada en la inercia psicológica [Hahn, 1974, 213]. Tal vez lo consigamos en el futuro. Hoy todavía no está claro que la intuición sea englobable en el capítulo de las inercias de la mente. Entretanto, nos quedaremos con el ensanchamiento de las fronteras que ha traído el descubrimiento de las nuevas geometrías, dándonos acceso a los espacios abstractos. Para la fisica ha supues- to que la teoría del espacio fisico ya no es un feudo del matemáti-  matunivid097 (1387x2296x2 tiff) LOS MARCOS DE REFERENCIA [II, 23] 97 co, sino un lugar del encuentro entre razón y experiencia, como en las restantes partes de esa disciplina. Más adelante comproba- remos que los investigadores han empleado con provecho a lo largo del siglo XX esta nueva competencia, jugando con la forma del espa- cio junto con la de la materia y sus fuerzas para lograr un cuadro cada vez más ajustado a la realidad. Como consecuencia, ya esta- mos plenamente seguros de que la forma del espacio fisico no es euclidiana más que en una primera aproximación. La forma real varía según las regiones y escalas de dimensión que contemplemos. Hay muchos enigmas aquí y lo más seguro es que sigan abiertos por mucho tiempo. Curiosamente, uno de los puntos con el que se ha sido menos respetuoso es el relativo al número de dimensiones del espacio. 23. LAS DIMENSIONES DEL ESPACIO Aunque hayan sido los fisicos quienes han destronado a Eucli- des de su antiguo reinado sobre el espacio real, fueron los mate- máticos quienes se preocuparon de buscar alternativas para hacer- le la competencia. El estudio de los espacios en los que no sirve el axioma de las paralelas ha conducido a las geometrías no eucli- dianas. De la misma manera, el cuestionamiento del axioma de con- tinuidad 15 ha dado origen a geometrías no arquimedianas ( Green- berg, 1994, 454-460). Sin necesidad de buscar axiomas alternativos es concebible postular espacios multidimensionales: ¿por qué, en efecto, tiene que ser tres el número máximo de dimensiones del espacio? Cuando en el siglo XVII se establece un paralelismo entre la geometría y el álgebra por medio de la invención de la geome- tría analítica, los matemáticos descubren que los objetos geomé- tricos se corresponden con expresiones algebraicas: hay una ecua- ción para cada recta, para cada elipse, para cada esfera. Pero no ocurre lo mismo en sentido inverso: podemos representar en el espa- Que Hilbert formula así: «Sea A 1 un punto cualquiera sobre una recta entre 15 dos puntos cualesquiera A, B: constrúyanse los puntos A2 , A3 , Ai..., tales que A 1 esté entre A y A2 , A2 entre A 1 y A3, A3 entre A2 y A4 etc. y a la vez sean los seg- mentos AA 1, A 1A2, A2A3, A3Ai..., iguales entre sí, en este caso se dará siempre en la serie de puntos A2 , A3, A4... , un punto An tal que B se hallará entre A y An» (Hilbert, 1944, 15).  matunivid098 (1398x2268x2 tiff) 98 MATERIA, UNIVERSO, VIDA [II, 23] cio tridimensional las ecuaciones que poseen una, dos y tres varia- bles, pero no hay forma de hacerlo con las que tienen cuatro, trein- ta y dos o dos mil cuatrocientas quince. Hay contrapartidas espa- ciales para las expresiones algebraicas con hasta tres variables, pero no más. ¿Por qué? Parece que el espacio tridimensional se queda corto, es demasiado angosto para contener fórmulas que puedan variar en más de tres direcciones a la vez. ¿No habría forma de reme- diar esto? ¿Sería posible concebir espacios con cuatro, cinco, seis o más dimensiones? Uno de los inventores de la geometría analí- tica, Descartes, había afirmado con solemnidad que la materia no es más que sustancia extensa en longitud, anchura y profundidad, con lo que subrayaba que el espacio fisico es y no puede ser más que tridimensional. Aunque no hubiese ningún impedimento lógi- co para razonar con espacios multidimensionales, ni la experiencia alentaba tales especulaciones, ni la imaginación podía seguirlas. Una vez más, la estrecha interpretación de la intuición matemáti- ca cerraba el paso a un prometedor campo de investigación. Cuan- do tales cortapisas quedaron arrumbadas por el auge de las geo- metrías no euclidianas y las álgebras abstractas, empezaron a estudiarse también espacios con muchas, incluso infinitas dimen- siones. Y pronto los fisicos descubrieron las posibilidades que ofre- cían estas creaciones de la mente, tomándolas a veces como fic- ciones útiles y otras como entidades bien reales. Al socaire de la teoría de la relatividad, el matemático Minkowsky propuso consi- derar el tiempo como una «cuarta dimensión» del universo que, con ciertas peculiaridades, se entremezclaba con las tres espaciales. Muy poco después, el polaco Theodor Kaluza creó una teoría muy ambiciosa que conllevaba cuatro dimensiones espaciales, además del tiempo. Obviamente, se le preguntó dónde se escondía la dimen- sión extra, a lo cual respondió Osear Klein, otro fisico, que podría estar vuelta sobre sí misma y encerrada en un ámbito tan minús- culo ( 1Q- 32 cm) como para pasar desapercibida sin ningún proble- ma (Morris, 2000, 152-153). Aunque las ideas de Kaluza-Klein no tuvieron muchos partidarios en su época ( 1919-1926), hoy en día hay ideas mucho más extrañas y atrevidas en los programas de todos los simposios: lo más frecuente es hablar de diez dimen- siones, pero la cosa puede aumentar o disminuir de un día para otro. Todo esto resulta desconcertante y nos lleva a preguntamos por la noción misma de dimensión y el tipo de argumentos que tratan de restringir o ampliar su número. Hay una aproximación intuiti-  matunivid099 (1387x2296x2 tiff) LOS MARCOS DE REFERENCIA [II, 23] 99 va a esta idea basada en ejemplos muy conocidos: se dice que las líneas tienen una dimensión; las superficies, dos, y tres los volú- menes. El tiempo mismo también es unidimensional. La experiencia nos ayuda a aclarar estas intuiciones: sabemos que para buscar una persona por un camino basta con recorrerlo de punta a cabo una sola vez; en cambio, si se nos dice que está «en la calle», tenemos que salir a recorrer toda la ciudad a lo largo y a lo ancho; si queremos encontrar algo que, además de desplazarse por la superfi- cie «vuela», nos sentimos desalentados porque es casi imposible examinar todos los lugares en que puede estar. Se obtiene un concep- to de dimensión más exacto (más «racional») al idear un procedimien- to para localizar con exactitud un objeto dentro de un determina- do espacio. No hay más remedio que «cuantificar» todas y cada una de las posiciones posibles. Si el espacio en cuestión es una línea, basta con un número, que expresa la distancia a partir del punto que hayamos escogido como referencia (el «kilómetro cero» de nues- tro pequeño espacio). Si es una superficie harán falta dos (por ejem- plo, la distancia al punto «cero» y el ángulo que forma la recta que los une y otra recta dada que sirve para fijar direcciones --el «norte» convencional de ese espacio-). Si es un cubo o cual- quier otra figura con volumen, harán falta tres (quizás, las dos ante- riores más otra que determine cuánto hay que apartarse de un plano que hemos decidido considerar «horizontal»). Se dice que el tiem- po es unidimensional porque nos basta con un reloj o un calenda- rio (si no hay que precisar tanto) para ubicar cada instante en la escala cronológica: los momentos no se bifurcan, sino que se siguen unos a otros en hilera, cosa que entendemos perfectamente, porque tampoco somos capaces de concentrarnos más que en una sola cosa a la vez. Las dimensiones, en definitiva, indican el grado de diver- sidad interna de la cosa que se trate, espacio, tiempo o lo que sea. Y no cualquier tipo de diversidad, sino la que se despliega lineal y precisamente sobre una escala numerable. Por eso, los entes posee- dores de dimensiones son designables con tantos números como dimensiones tienen. Todo esto es aceptable pero ¿por qué ha de tener tres y sólo tres dimensiones el espacio? La unidimensionalidad del tiempo tam- bién podría extrañar, pero ha chocado menos, quizá porque el uno tiene una solidez monolítica de la que el tres carece. Han sido muchas las explicaciones que se han buscado para esta curiosa propiedad del espacio fisico. Muchos no se resignaban a considerarla una mera  matunivid100 (1398x2268x2 tiff) 100 MATERIA, UNIVERSO, VIDA [II, 23] cuestión de hecho y trataron de ampararla en algún derecho (Gosz- tonyi, 1976, II, 1066). En la antigüedad los pitagóricos se habían referido a la perfección intrínseca del número tres; los modernos buscarán argumentos menos esotéricos: el número de perpendi- culares que se puede trazar por un punto (Leibniz), la forma de la ley newtoniana de la atracción (Kant), las fuerzas fundamentales de la naturaleza (Schelling, 1996, 175 ss.), la dialéctica generado- ra de los elementos del espacio (Hegel). Todos estos ensayos persiguen una razón distinta de la que pueda ofrecer la lógica, ya que el camino a la cuarta dimensión no pare- ce estar obstruido por ninguna contradicción. Si lo único que pe- dimos es coherencia, el universo podría haber surgido con más dimensiones y también menos. Claro está que un mundo de dos dimensiones nos parecería demasiado chato, y si tuviese sólo una, demasiado estrecho. Pero podemos imaginarlos perfectamente (ahí están los mapas). Aparte de compadecer a los habitantes de tan empobrecidos ámbitos, nosotros, que los contemplamos desde el podio de la tercera dimensión, tenemos motivos para conjeturar que si fuesen perspicaces se darían cuenta de que a sus mundos les faltan dimensiones. Figurémonos, para empezar, un mundo de una dimensión, una especie de largo tubo poblado por seres linea- les incapaces de darse la vuelta, y constreñidos a ir hacia adelan- te o hacia atrás y nada más. Serán como pequeñas flechas y puede que en un momento dado se encuentren dos perfectamente iguales, con la misma longitud y todo lo demás, salvo que una de ellas apun- ta en una dirección y otra en la opuesta(-++-). Su simetría es perfecta, pero no pueden decir que sean iguales, porque para eso tendría que coincidir al superponerse, y cuando lo intentan, la punta de una cae sobre el fuste de la otra. En su mundo esta disparidad no tiene remedio, aunque si pudieran salir del conducto y darse la vuelta, descubrirían que después de todo sí son iguales. Pero, claro, para hacer eso tienen que evadirse del espacio unidimen- sional al que pertenecen y pasar durante unos instantes por otro que tenga al menos dos dimensiones. Como recuerdo de la excursión tornan a su mundo «vueltos del revés». De la misma manera, en un mundo bidimensional los objetos planos simétricos, como dos monedas idénticas, pero puestas una de «cara» y otra de «cruz», son equiparables si «volvemos hacia arriba» una de ellas, lo cual sólo es posible «saltando» o «pasando» de alguna manera por un espacio de tres dimensiones. En resumidas cuentas: tanto los seres  matunivid101 (1387x2296x2 tiff) LOS MARCOS DE REFERENCIA [II, 24] 101 angostos como los aplanados tienen dentro de sus mundos un claro indicio de que hay dimensiones que les han sido negadas: la exis- tencia de objetos simétricos incongruentes. Lo más extraño del asunto es que nos pasa lo mismo en el mundo tridimensional: dentro de él descubrimos cosas muy parecidas, como las manos derecha e izquierda, que no son superponibles (para comprobar- lo, basta tratar de ponerse un guante en la mano equivocada). No podemos concebir que un acto mágico de prestidigitación -inclu- yendo una momentánea inmersión en la cuarta dimensión- nos transforme en el hermano gemelo que nos contempla al otro lado del espejo, pero es una incapacidad similar a la de las flechas del mundo unidimensional y las monedas del universo de dos dimen- siones. ¿Nos estamos perdiendo realmente dimensiones extra del espacio? Si un día vuelve alguien que salió de viaje convertido de diestro en zurdo y con el corazón a la derecha, habría que empe- zar a pensar que sí... Hasta entonces, y recordando el caso de los mundos de una y dos dimensiones, no hay duda de que al menos existen gérmenes de una cuarta dimensión, que tal vez no sea real, pero dificil es negar que sea posible. 24. LAS PROPIEDADES DEL ESPACIO Desde la perspectiva filosófica, lo que nos enseña la asombrosa creación matemática de espacios dotados de formas y propieda- des inconcebibles, que la física ha honrado con aplicaciones no menos sorprendentes, es que la problemática es mucho más rica de lo que nuestros clásicos sospecharon. Ellos deducían las propie- dades del espacio de lo que percibían y de lo que pensaban sobre su estatuto ontológico: para los atomistas el espacio es infinito, por- que infinitos son los átomos. Aristóteles piensa en un espacio finito, circunscrito por una esfera, ya que al ser accidente de las sustancias corpóreas no puede exceder los límites definidos por éstas. También considera que es heterogéneo, puesto que cree que hay varias clases de sustancias elementales y a cada una de ellas le corresponde una zona dentro del orbe, lo que significa que cada cuerpo tiene su lugar natural y que el espacio discrimina la cali- dad de sus contenidos. Después de Euclides, los metafísicos no dejaron de echar una mirada a sus Elementos antes de dictaminar sobre el espacio y sus propiedades y, al menos los que se mantu-  matunivid102 (1398x2268x2 tiff) 102 MATERIA, UNIVERSO, VIDA [II, 24] vieron al margen de la tradición aristotélica 16, coincidieron bastante en sus características morfológicas, aunque discrepasen respecto a todo lo demás. Así surgió un modelo euclidiano de espacio que fue acatado por pensadores tan dispares como los racionalistas, los empiristas y los idealistas. Este espacio era ilimitado e infini- to, tridimensional y homogéneo. La homogeneidad es quizá la pro- piedad más fundamental de este espacio (Capek, 1965, 35-49): sig- nifica que todas sus partes son iguales e intercambiables entre sí. Conlleva la ausencia de límites, porque cualquier periferia intro- duciría un principio de diferenciación. También la continuidad: el espacio se compone de partes y las partes de otras más pequeñas hasta el infinito; si se diesen unas partes mínimas, indivisibles, ya serian diferentes de las restantes. Otra cualidad importante es lapa- sividad del espacio, su indiferencia a ser ocupado o no, y por tal o cual sustancia. Si es caso, podría concebirse una resistencia glo- bal a ser ocupado o evacuado, pero no tiene sentido que pueda dar mejor acomodo aquí que allá, si todos los sitios son iguales. La relatividad de las posiciones también se sigue de la homoge- neidad, lo cual no afecta a la concepción absolutista de Newton, pues éste reconoce que las partes del espacio son indiscernibles. Asimismo se deduce de la homogeneidad la relatividad de las mag- nitudes, ya que en el espacio no hay un metro patrón (el que tene- mos está hecho de platino iridiado, como puntualizaban antaño los libros de texto), e incluso se puede libremente conjeturar que de un momento a otro el universo puede agrandarse o empeque- ñecer cien veces: puesto que todos los cuerpos lo harían en la misma proporción, ¿cómo detectarlo? Una característica importante de la geometría euclidiana y del modelo euclidiano de espacio es la «planitud», que se relaciona con el concepto de la «curvatura» del espacio, puesto de moda tras el auge de las geometrías no euclidianas. La curvatura es una pro- piedad que admitimos fácilmente para las líneas, que son «rec- 16 Investigadores contemporáneos no descartan recuperar el espacio hetero- géneo frente a la homogeidad euclidiana: «Se ha dicho con frecuencia, y hemos tenido la ocasión de repetirlo, que la ciencia moderna nació cuando el espacio aris- totélico, una de cuyas fuentes de información fue la organización y solidaridad del funcionamiento biológico, fue reemplazado por el espacio homogéneo e isó- tropo de Euclides. Sin embargo, la teoría de las estrucruras disipativas nos acerca más a la concepción de Aristóteles» (Prigogine; Stengers, 1983, 162).  matunivid103 (1387x2296x2 tiff) LOS MARCOS DE REFERENCIA [II, 24] 103 tas» si todos sus puntos están enfilados en la misma dirección y «curvas» si cambian de orientación con cierta regularidad, como ocurre con la circunferencia. Del mismo 1nodo, una superficie es «plana» cuando el camino más corto para unir dos puntos cuales- quiera de ella sin abandonarla es siempre una recta. Los matemá- ticos dan definiciones más rigurosas y universales, pero creo que las caracterizaciones aportadas sirven. En cierto modo curvatura y planitud son propiedades intrínsecas de los objetos que las poseen, pero se aprecian más fácilmente situándose fuera de ellos, lo que sólo es posible apelando a dimensiones «extras»: vemos perfecta- mente si una línea es recta o curva trazándola sobre un plano y com- probamos la planitud de una superficie contemplándola desde la triditnensionalidad de nuestro espacio. Pero que el espacio mismo en que nos movemos, con sus tres dimensiones «se curve» de algu- na forma, no entra dentro de nuestras expectativas. Si tuviésemos acceso siquiera intuitivo a una cuarta dimensión la cosa sería seguramente trivial, pero mientras eso no ocurra la imaginación se niega a «verlo». Sin embargo, hay propiedades intrínsecas de un espacio tridimensional que permiten hablar de planitud o curva- tura con perfecta coherencia. Por ejemplo, la geometría de Eucli- des demuestra que la suma de los tres ángulos de todos los trián- gulos «planos» es igual a 180º, mientras que si trazamos triángulos «curvos» sobre una esfera, la suma excederá de 180º. Pues bien, resulta que en las geometrías no euclidianas la suma de los ángu- los todos los triángulos mide más o menos esa cantidad, depen- diendo de cuál de ellas se trate. Asimismo, las rectas que siguen la misma dirección se mantienen equidistantes en la geometría eucli- diana, mientras que lo que hay más parecido a la recta sobre una esfera (la circunferencia máxima) se acaba cortando con las que apuntan en su misma dirección (como ocurre con los meridianos en el polo). Si pasamos a las geometrías no euclidianas, descubri- mos que las líneas equivalentes a las rectas -las que unen dos pun- tos por el camino más corto y llamamos «geodésicas»- se com- portan en unos casos más como las circunferencias máximas que como las rectas euclidianas, y en otros se separan paulatinamente a pesar de seguir direcciones idénticas. Todo esto nos hace pensar que se trata de espacios «curvos» -aunque la denominación pudie- ra ser discutible (Morris, 2000, 174-176)-, y algo de eso hay, por- que los que lo son parecen «cerrase» sobre sí mismos, o bien «abrir- se» mucho más que el de Euclides. En éste, por mucho que  matunivid104 (1398x2268x2 tiff) 104 MATERIA, UNIVERSO, VIDA [II, 25] prolonguemos una recta, sus extremos se distanciarán más y más, sin llegarse a encontrar jamás. Si hacemos la operación análoga en ciertos espacios no euclidianos, el encuentro sí se produce, y al igual que ocurrió con la expedición de Magallanes, navegando siempre en la misma dirección se vuelve al punto de partida. Partiendo de que no tengan límites, los espacios planos son tam- bién infinitos, mientras que hay espacios curvos que, aunque ili- mitados, son sin embargo finitos. Así pues, entre las propiedades del espacio euclidiano está también la infinitud. La homogeneidad del espacio euclidiano le otorga otra pro- piedad relacionada con esto y es que su planitud se extiende igual- mente por doquier, ya que cabe pensar espacios en los que la pla- nitud y la curvatura se alternen de una región a otra, o en los que la curvatura sea «variable». Por último, y enlazando lo espacial con lo temporal, una prerrogativa del espacio euclidiano es que su estruc- tura es inalterable: el contenido fisico no lo afecta en absoluto y carece de una dinámica interna que le lleve a cambiar por sí mismo de forma. Como se verá más adelante, el modelo de espacio fisi- co actualmente aceptado se aleja en todos estos puntos del eucli- diano. En el capítulo dedicado al concepto de universo veremos que ahora mismo los expertos creen que nuestro espacio tiene curva- tura variable y es infinito. , ~5. LA GENERALIZACION DE LA IDEA DE ESPACIO. LOS ESPACIOS ABSTRACTOS No es imposible que junto a nuestro universo existan otros pres- tando realidad a espacios de diferentes tipos. Pero, aunque sólo hubiese un espacio real (¿y cómo podremos estar seguros de ello?), sus infinitos hermanos meramente posibles no serían superfluos. La investigación matemática del espacio ha servido para genera- lizar esta idea... y para descubrir que sirve para muchas otras cosas que para permitir que coexistan los cuerpos. Se ha llegado a definir el espacio simplemente como «lugar de dimensiones», entendiendo por dimensión cada ámbito lineal de medida irreduc- tible a los demás. Por eso, un espacio tiene n dimensiones cuando son necesarios n números -coordenadas- para determinar una posición dentro de él. Lo esencial del espacio, desde este punto de vista, es que despliegue un conjunto de posiciones que puedan  matunivid105 (1387x2296x2 tiff) LOS MARCOS DE REFERENCIA [II, 26] 105 ser ocupadas, sin que importe de qué manera ni por quién. Es un ámbito de posibilidades sin especificar, que van desde las califi- caciones en las diversas asignaturas de un curso, o el saldo de cada una de las cuentas corrientes abiertas en un banco, hasta los porcentajes de expectativa de votos de los partidos que concurren a unas elecciones. Tomando el primer ejemplo y suponiendo que hubiese 6 asignaturas, se podría describir la situación del un estu- diante diciendo que tras el primer parcial está situado en «la posi- ción»: (8, 6, 5, 7, 4, 5), y que después del segundo pasa a la: (7, 5, 5, 3, 6, 8), para acabar en junio en: (6, 5, 6, 5, 7, 8). Tiene sentido decir que su inteligencia y esfuerzo le han procurado un viaje a tra- vés de un espacio de seis dimensiones, en el que lo deseable es aca- bar en las cálidas zonas de las notas altas. Este tipo de representaciones que reservan una «dimensión» para cada una de las variables susceptibles de medida se está gene- ralizando cada vez más en las ciencias naturales y en las huma- nas. El objeto de estudio, ya sea una sustancia química, un producto industrial o un colectivo de psicópatas, se «mueve» dentro de un espacio especial, «abstracto», en el que se va configurando una evo- lución que no implica cambio de lugar, sino modificación de las variables que se han tomado en cuenta. En algunos casos, como la formulación matemática de la mecánica cuántica, se emplean espacios abstractos de configuración que pueden llegar a tener infi- nitas dimensiones. Las reglas para cambiar de posición (para mover- se) dentro de estos espacios llegan a ser refinadamente exóticas, al igual que los requisitos para ocupar un lugar en estos singula- res recintos. Para un número creciente de científicos, la opera- ción más decisiva de su trabajo es la geometrización, entendiendo por tal simplemente la representación de los individuos de la pobla- ción estudiada como puntos de espacios que definen de acuerdo con sus propias conveniencias teóricas (Ruelle, 1991, 75). 26. LA CRISIS DEL MODELO CLÁSICO DEL TIEMPO Y EL ESPACIO El paso del espacio fisico a los espacios abstractos de la mate- mática no es, en definitiva, más que un caso del ejercicio de la ana- logía, aunque tamizado por el rigor lógico y cuantificacional de esa ciencia. Existe igualmente un uso metafórico del concepto, que nos